Modul Rancob

8/18/2019 Modul Rancob

1/31

Daftar Isi

1 Rancangan Acak Lengkap 2

1.1 Analisis variansi untuk model tetap (Fix Model) . . . . . . . . . 21.2 Analisis variansi untuk model Acak (Random Model) . . . . . . . 6

2 Perbandingan Ganda 6

2.1 Kontras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Kontras Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Metode Scheffe’s 9

4 Rancangan Blok Acak Lengkap 10

4.1 Analisis statistik RBAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Estimasi Data hilang 13

6 Rancangan Bujur Sangkar Latin 15

6.1 Rancangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.2 Ulangan Bujur Sangkar Latin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

7 Rancangan Faktorial 20

7.1 Rancangan Faktorial dua Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.2 Analisis Statistik model perlakuan tetap . . . . . . . . . . . . . . 237.3 Perbandingan Ganda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.4 Satu observasi tiap sel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8 Rancangan Faktorial secara umum 29

9 Tugas Mandiri dan komputasi 31

1


2/31

1 Rancangan Acak Lengkap

Rancangan acak lengkap (RAL) adalah rancangan yang paling sederhana di-antara rancangan-rancangan percobaan yang baku. RAL digunakan jika kitaingin mempelajari a buah perlakuan dengan menggunakan sebanyak n ulanganuntuk setiap perlakuan atau menggunakan total na suatu percobaan.

Kelebihan Kekurangan1. Hanya cocok digunakan 1. Mudah menyusun rancanganuntuk beberapa perlakuan 2. Analisanya sederhana2. Unit perlakuan harus homogen 3. Banyaknya unit ekperimen

terhadap perlakuan tidak harus samaMisalkan ada 4 perlakuan A,B,C dan D. dengan 3 kali ulangan, sehingga jumlah unit percobaan adalah 12, dapat disusun dalam rancangan acak lengkapsebagai berikut:

A1 B3 B2 D1B1 A2 A3 D2D3 C 2 C 1 C 3

untuk percobaan yang menggunakan t perlakuan dan jumlah ulangan yang samauntuk masing-masing perlakuan sebanyak r ulangan, maka data pengamatanuntuk RAL diberikan dalam tabel 1:

Tabel 1: Data pengamatan RAL

Model linear rancangan acak lengkap didefinisikan sebagai berikut :yij = µ + τ i + εij

yij = Hasil observasi dari unit eksprimen ke j perlakuan i.τ i = efek (pengaruh) perlakuan ke i.εij = Efek random dari unit eksprimen ke j perlakuan i.

1.1 Analisis variansi untuk model tetap (Fix Model)

Perhatikan kembali tabel 1 bahwa yi.merepresentasikan total pengamatan padaperlakuan ke i. ȳi.adalah rata-rata pengamatan pada perlakuan ke i. y.. merep-

2


3/31

resentasikan total semua pengamatan dan ȳ.. adalah rata-rata semua penga-

matan, yang didefinisikan sebagaiyi. =

nyij ,

j=1

ȳi. = yi./n; i = 1, 2, . . . , a

y.. =ai=1

nj=1

yij , ȳ.. = y../N ; N = na.

Hipotesis uji mean t perlakuan, yakni E (yij) = µ + τ i = µi, i = 1, 2,...,aH 0 = µ1 = µ2 = · · · = µtH 1 = paling tidak adasatuµi = µj

Perhatikan bahwa perlakuan ke i mean ui terdiri dalam dua komponen µi =µ + τ i. karena µmerupakan mean semua perlakuan, maka

ai=1

µi

a = µ

maka

ai=1

τ i = 0

sehingga hipotesis di atas ekuivalen denganH 0 = τ 1 = τ 2 = · · · = τ t = 0H 1 = paling tidak adasatuτ i = 0.

Analisis variansi diturunkan dari partisi dari total variabilitas dalam komponenbagiannya. Jumlah kuadrat total terkoreksi

JK T =a

i=1n

j=1(yij − y..)

2

digunakan sebagai ukuran variabilitas keseluruhan dalam data. ini beralasankarena, jika J K T dibagi dengan derajat kebebasan na − 1 = N − 1, akan diper-oleh variansi sampel y , variansi sampel merupakan ukuran standar dalam vari-abilitas.Analisis variansi menggunakan metode kuadrat terkecil untuk mengetahui pen-dugaan pengaruh perlakuan.

ai=1

nj=1

(yij − µ)2 =

ai=1

nj=1

(τ i + εij)2

ai=1

nj=1

(yij − y..)2 =

ai=1

nj=1

((yi. − y..) + (yij − yi.))2

ataua

i=1n

j=1(yij − y..)

2 = na

i=1(yi. − y..)

2+a

i=1n

j=1(yij − yi.)

2+2a

i=1n

j=1((yi. − y..) (yij − yi.))

karenanj=1

(yij − yi.) = yi. − nyi. = yi. − n(yi./n) = 0

maka, diperolehai=1

nj=1

(yij − y..)2 = n

ai=1

(yi. − y..)2 +

ai=1

nj=1

(yij − yi.)2

dan dapat dituliskan secara simbolik sebagai

3


4/31

JK T = J K P + J K E

J K T : Jumlah kuadrat total, dengan derajat kebebasan N − 1.J K P : Jumlah kuadrat perlakuan, dengan derajat kebebasan t − 1.J K E : Jumlah kuadrat error, dengan derajat kebebasan N − a.dengan

RK P = J K P /(a − 1)RK E = J K E /(N − a)

RK P dan RK E disebut rata-rata kuadrat.JK T , JK P , dan J K E dapat juga dituliskan dalam bentuk lain, yaitu :

JK T =ai=1

nj=1

(yij − y..)2

=a

i=1n

j=1y2ij − 2yij

y..na +

y..2

(na)2=

ai=1

nj=1

y2ij − 2ai=1

nj=1

yijy..na

+

ai=1

nj=1

y..2

(na)2

=ai=1

nj=1

y2ij − 2y..y..na +

nay..2

(na2)

=ai=1

nj=1

y2ij − y..2

na

JK P =ai=1

nj=1

(ȳi. − y..)2

=ai=1

nj=1

y2i.n2 − 2

yi.n

y..na +

y..2

(na)2

=ai=1

nj=1

y2i.

n2

−2

ai=1

nj=1

yi.

n

y..

na +

a

i=1n

j=1y..2

(na)2

= na

i=1

y2i.n2 − 2y..

y..na +

nay..2

(na2)

=ai=1

y2i.n −

y..2

na

Nilai ekspektasi (nilai harapan) rata-rata kuadrat, yaitu

E (RK E ) = E JK EN −a

= 1N −aE

ai=1

nj=1

(yij − yi.)2

= 1N −aE

ai=1

nj=1

y2ij − 2yijyi. + y

2i

= 1

N −

t

E ti=1

rj=1

y2ij − 2nt

i=1

yijyi. + nt

i=1

y2i= 1N −aE

ai=1

nj=1

y2ij − 1n

ti=1

y2i .

Subtitusi yij = µ + τ i + εij , diperoleh

4


5/31

E (RK E ) = 1

N −

aE a

i=1

nj=1

(µ + τ i + εij)2 − 1

n

ai=1

nj=1

(µ + τ i + εij)2

.karena E (ε2ij) = σ

2, E (ε2i.) = nσ2 dan E (εij) = 0, maka

E (RK E ) = 1N −a

N µ2 + n

aj=1

τ i + N σ2 − N µ2 − na

j=1τ i − aσ2

= σ2

dengan cara yang sama diperoleh

E (RK E ) = σ2 +n

aj=1

τ 2i

a−1

dari hasil di atas, RK E = JK E /(N − a) mengestimasi σ2dan jika tidak adabeda rata-rata perlakuan berakibat τ i = 0, RK P = J K P /(a − 1) juga mengesti-masi σ2. Akan tetapi jika rata-rata perlakuan berbeda, nilai ekspektasi rata-rata

kuadrat lebih besar dari σ2

. Maka uji hipotesis tidak ada beda rata-rata per-lakuan dapat dilakukan dengan membandingkan RK P dan RK P . Uji statistikuntuk hipotesis tidak ada beda dalam rata-rata perlakuan adalah

F h = RK P RK E

H 0ditolak yang berarti terdapat beda rata-rata perlakuan jika

F h > F α,a−1,N −a

Prosedur uji statistik atau analisis variansi dapat dirangkum dalam tabel 2berikut :

Table 2: Analisis VariansiSumber V ariansi db JK RK F E (RK )

Perlakuan a − 1 JK P RK P RK P σ2 +n

aj=1

τ 2i

a−1

Sesatan N − a JK E RK E RK E σ2

Total N − 1

Table 3: Data PercobaanPersen berat Percobaan Total Rata-rata

Cotton 1 2 3 4 5 yi. yi.15 7 7 15 11 9 49 9.820 12 17 12 18 18 77 15.425 14 18 18 19 18 88 17.6

30 19 25 22 19 23 108 21.635 7 10 11 15 11 54 10.8

Contoh 1. Seorang mekanik tertarik dalam menentukan apakah berat cottondalam persen sebuah fiber sintetik berpengaruh terhadap kekuatan benang. Diamenggunakan rancangan Acak lengkap dengan 5 perlakuan dan 5 ulangan. Datadi berikan pada tabel 3 :

5


6/31

1.2 Analisis variansi untuk model Acak (Random Model)

Model linear adalah :yij = µ + τ i + εij

dengan τ i dan εij keduanya adalah variabel random (acak). Jika τ i memilikivarians σ2τ dan tidak berhubungan dengan εij . Varians perlakuan adalah

V (yij) = σ2τ + σ2

varians σ2τ dan σ2disebut komponen varians. Uji hipotesis untuk model ini

memerlukan asumsi bahwa {εij} ∼ N ID(0, σ2), {τ i} ∼ N ID(0, σ2τ ) dan τ i danεij tidak berhubungan.

H 0 : σ2τ = 0

H 1 : σ2τ > 0

Jika σ2τ = 0, semua perlakuan identik, tapi jika σ2τ > 0, terdapat variabilitas

antara perlakuan. Seperti sebelumnya uji hipotesis σ2τ = 0, adalah

F h = RK P RK E

Nilai ekspektasi (nilai harapan) rata-rata kuadrat, yaitu

E (RK p) = 1a−1

E (JK P ) = 1a−1

E

ai=1

y2i.n −

y2..N

= 1a−1E

a1n

i=1

ai=1

µ + τ i + εij

2− 1N

ai=1

nj=1

(µ + τ i + εij)

2= 1a−1

N µ2 + N σ2τ + aσ

2 − N µ2 − nσ2 − σ2

= σ2 + nσ2τ dengan cara yang sama diperoleh

E (RK E ) = σ2

prosedur uji statistik atau analisis variansi dapat dirangkum dalam tabel 4berikut :

2 Perbandingan Ganda

2.1 Kontras

Banyak metode perbandingan ganda menggunakan ide dari contrasts. Per-hatikan contoh 1. karena null hipotesis di tolak, maka terdapat persen beratmemiliki pengaruh yang berbeda dalam memproduksi kekuatan benang. tetapi

Table 4: Analisis VariansiSumber V ariansi db JK RK F E (RK )

Perlakuan a − 1 JK P RK P RK P σ2 + nσ2τ Sesatan N − a J K E RK E RK E σ2

Total N − 1

6


7/31

mana yang benar-benar berbeda? Mungkin kita menduga bahwa percobaan

level 4 dan 5 memiliki pengaruh yang sama, maka uji hipotesisnya adalahH 0 : µ4 = µ5 ekuivalen dengan H 0 : µ4 − µ5 = 0H 1 : µ4 = µ5 H 1 : µ4 − µ5 = 0

Jika kita menduga bahwa rata-rata persen berat level yang rendah (1 dan 2)tidak berbeda dengan rata-rata persen berat level yang tinggi (4 dan 5), makauji hipotesisnya

H 0 : µ1 + µ2 = µ4 + µ5 ekuivalen dengan H 0 : µ1 + µ2 − µ4 − µ5) = 0H 1 : µ1 + µ2 = µ4 + µ5 H 1 : µ1 + µ2 − µ4 − µ5 = 0

Secara umum, contrast adalah kombinasi parameter dalam bentuk

Γ =ai=1

ciµi

dimana koefisien contrast

ai=1ci = 0. sehingga kedua hipotesis di atas dapat

dituliskan dalam bentuk contrast :

H 0 :ai=1

ciµi = 0

H 1 :ai=1

ciµi = 0

dengan koefisien kontras berturut-turut yaitu , c1 = c2 = c3 = 0, c4 = 1, c5 = −1dan c1 = c2 = 1, c3 = 0, c4 = c5 = −1.

Pengujian hipotesis kontas dapat dilakukan dalam dua cara dasar. Yangpertama menggunakan metode uji t.Tuliskan kontras dalam bentuk total per-lakuan, yaitu

C =

ai=1ciyi

variansi dari kontras

V (C ) = nσ2ai=1

c2i

untuk ukuran sampel pada setiap perlakuan sama, jika null hipotesis benarmaka

ai=1

ciyi nσ2

ai=1

c2i

∼ N (0, 1)

Subtitusi variansi tak diketahui σ2

dengan estimasinya, yaitu rata-rata kuadraterror (RK E ) dan gunakan statsitik

th =

ai=1

ciyi nRK E

ai=1

c2i

7


8/31

null hipotesis ditolak jika |th| > tα/2,N −t.

Yang kedua menggunakan uji F . Akar dari variabel random t dengan vderajat kebebasan merupakan variabel random F dengan derajat kebebasannumerator 1 dan denumerator v. Oleh karena itu

F h = t2h =

ai=1

ciyi

2

nRK Eai=1

c2i

atau dapat dituliskan sebagai

F h = RK CRK E

= JK C/1RK E

dengan

JK C = ai=1

ciyi2

nai=1

c2i

Null hipotesis ditolak jika F h > F α,1,N −a.

2.2 Kontras Ortogonal

Dua kontras dengan koefisien {ci} dan {di} jika

ai=1

cidi = 0

atau, untuk rancangan yang tidak sama ulangnnya, jika

ai=1

ncidi = 0

Contoh kontras orthogonalPerlakuan koefisien1 (control) -2 02 (level 1) 1 -13 (level 2) 1 1

Contoh 2. Analisis Variansi. Perhatikan data pada contoh 1, andaikan per-cobaan mengikuti perbandingan rata-rata berikut:

Hipotesis KontrasH 0 : µ4 = µ5 C 1 = −y4. + y5.

H 0 : µ1 + µ3 = µ4 + µ5 C 2 = y1. + y3. − y4. − y5.H 0 : µ1 = µ3 C 3 = y1. − y3.H 0 : 4µ2 = µ1 + µ3 + µ4 + µ5 C 4 = −y1. + 4y2. − y3. − y4. − y5.

Perhatikan bahwa koefisien kontras orthogonal. Menggunakan tabel 3. nilaikontras dan jumlah kuadrat yaitu

8


9/31

C 1 = -1(88) +1(88) = −54 SS C 1 = (−54)2

5(2) = 291.60

C 2 = +1(49) +1(88) -1(108) -1(54) = −25 SSC 2 = (−

25)

2

5(4) = 31.25C 3 = +1(49) -1(88) = −39 SS C 3 =

(−39)2

5(2) = 152.10

C 4 = -1(49) +4(77) -1(88) -1(108) -1(54) = 9 SS C 4 = (9)2

5(20) = 0.81

Sumber V ariansi db JK RK F h p − valueC 1 : µ4 = µ5 291.60 1 291.60 36.18


10/31

Γ1 = µ1 + µ3 − µ4 − µ5 dan Γ2 = µ1 − µ4

maka nilai kontrasnya adalah :C 1 = y1. + y3. − y4. − y5. = 9.80 + 17.60 − 21.60 − 10.80 = 5.00

danC 1 = y1. − y4. = 9.80 − 21.60 = −11.80

sehingga diperoleh standar error :

S C 1 =

RK E

5i=1

(caiu/ni) =

8.06(1 + 1 + 1 + 1)/5 = 2.54

dan

S C 2 = RK E 5

i=1

(caiu/ni) = 8.06(1 + 1)/5 = 1.80dengan nilai kritis

S 0.01,1 = S C 1

(a − 1)F 0.01,a−1,N −a = 2.54

4(4.43) = 10.69dan

S 0.01,2 = S C 2

(a − 1)F 0.01,a−1,N −a = 1.80

4(4.43) = 7.58karena |C 1| < S 0.01,1, dapat disimpulkan bahwa kontras Γ1 = µ1 + µ3 − µ4 − µ5sama dengan nol, sehingga tidak ada alasan yang kuat untuk mengatakan bahwarata-rata perlakuan 1 dan 3 sebagai group berbeda dengan rata-rata 4 dan 5sebagai group. Tetapi, karena |C 2| > S 0.01,2, dapat disimpulkan bahwa kontrasΓ2 = µ1 − µ4 tidak sama dengan nol yang berarti bahwa rata-rata kekuatanperlakuan 1 dan 4 berbeda secara signifikan.

Dalam banyak praktik, hanya pasangan dari rata-rata saja yang diband-

ingkan atau akan di uji perbedaan antara semua pasangan rata-rata perlakuan.Hal ini dapat ditentukan dengan mengambil kontras Γ = µi − µj , untuk semuai = j. Metode Scheffe dapat dengan mudah diaplikasikan dalam masalah ini,namun bukan prosedur yang paling sensitif.

4 Rancangan Blok Acak Lengkap

Dalam penelitian, variabilitas muncul dari faktor gangguan yang dapat mem-pengaruhi hasil. Secara umum, faktor ganguan sebagai faktor desain yangmungkin memiliki pengaruh tetapi tidak diuji pengaruhnya. Kadang faktorganguan tidak diketahui dan tidak terkontrol, yang mana kita tidak menge-tahui bahwa faktor tersebut ada dan mungkin tingkatannya berubah ketika kita

melakukan penelitian. Randomisasi (pengacakan) merupakan cara untuk men-gatasi faktor gangguan tersebut. Dalam kasus yang lain, faktor ganguan dapatdiketahui tapi tidak terkontrol, Analisis covarian dapat digunakan untuk dataseperti ini. Ketika faktor gangguan diketahui dan terkontrol, sebuah desain blokdapat digunakan.

10


11/31

4.1 Analisis statistik RBAL

Andaikan terdapat a perlakuan dan b blok, desain RBAL ditunjukan dalamgambar di bawah. Terdapat satu observasi per perlakuan dalam setiap blok,dimana perlakuan di tempatkan secara acak dalam setiap blok. Oleh karenanyablok dikatakan sebagai batasan dalam pengacakan.

Model dalam RBAL adalah sebagai berikut

yij = µ + τ i + β j + ij ; i = 1, 2, . . . , a; j = 1, 2, . . . , b

dimana :µ : rata-rata keseluruhanτ i : efek perlakuan ke iβ j : efek blok ke jij : efek random NID(0, σ2)

efek perlakuan dan blok diturunkan dari rata-rata keseluruhan sedemikian se-hingga

ai=1

τ i = 0 danb

j=1β j = 0

sehingga RBAL dapat dimodelkan sebagai :

yij = µij + ij ; i = 1, 2, . . . , a; j = 1, 2, . . . , b

dengan µij = µ + τ i + β j . Karena rata-rata perlakuan yang akan di uji, makadapat dibentuk hipotesis

H 0 : µ1 = µ2 = · · · = µaH 1 : paling tidak satu µi = µj

Karena rata-rata perlakuan µi = 1b

bj=1(µ + τ i + β j.) = µ + τ i, maka hipotesis

di atas ekuivalen denganH 0 : τ 1 = τ 2 = · · · = τ a = 0H 1 : paling tidak satu τ i = 0Misalkan yi.adalah total semua observasi pada perlakuan ke i, y.j adalah

total semua observasi dalam blok j, y.. total semua observasi, dan N = abbanyaknya observasi, diekspresikan secara matematika

yi. =b

j=1

yij i = 1, 2, . . . , a

y.j =ai=1

yij j = 1, 2, . . . , b

y.. =ai=1

bj=1

yij =ai=1

yi. =b

j=1

y.j

ȳi.adalah rata-rata observasi pada perlakuan ke i, ȳ.j rata-rata observasi padablok ke j, ȳ.. rata-rata semua observasi, yaitu

11


12/31

ȳi. = yi./b ȳ.j = y.j/a ȳ.. = y../N

Dari persamaan linier diperoleh jumlah kuadrat terkoreksi adalah sebagaiberikut :

ai=1

bj=1

(yij − ȳ..) =ai=1

bj=1

(ȳi. − ȳ..) +

ȳ.j − ȳ..

+

yij − ȳi. − ȳ.j + ȳ..2

makaai=1

bj=1

(yij − ȳ..) = bai=1

(ȳi. − ȳ..)2 + a

bb=1

(ȳ.j − ȳ..)2 +

ai=1

bj=1

yij − ȳi. − ȳ.j + ȳ..

2+2

ai=1

bj=1

(ȳi. − ȳ..) (ȳ.j − ȳ..)

+2ai=1

bj=1

(ȳ.j − ȳ..)

yij − ȳi. − ȳ.j + ȳ..

dengan perhitungan aljabar tiga cross product terakhir adalah nol, oleh karena

ituai=1

bj=1

(yij − ȳ..) = bai=1

(ȳi. − ȳ..)2+a

bb=1

(ȳ.j − ȳ..)2+

ai=1

bj=1

yij − ȳi. − ȳ.j + ȳ..

2yang merepresentasikan partisi jumlah kuadrat total. Secara simbolik dapatdituliskan sebagai

J K T = J K P + J K B + J K E

atau dalam bentuk lain

SS T =ai=1

bj=1

y2ij − y..2

N

SS P = 1b

a

i=1

y2i. − y..2

N

SS B = 1a

bij=1

y2.j − y..2

N

dengan

SS E = SS T − SS P − SS B

Karena terdapat N observasi, maka J K T memiliki N − 1 derajat kebebasan.Terdapat a perlakuan dan b blok, maka J K P dan J K Bmasing-masing memilikia − 1 dan b − 1derajat kebebasan. Derajat kebebasan error adalah ab − 1 − (a −1) − (b − 1) = (a − 1)(b − 1).

Nilai ekpektasi dari rata-rata kuadrat, jika perlakuan dan blok adalah tetapdapat ditunjukan sebagai berikut :

E (RK P ) = σ2 +bai=1

τ i

a−1

E (RK B) = σ2 +a

bj=1

βi

b−1

E (RK E ) = σ2

12


13/31

Uji statsitik rata-rata perlakuan adalah F h = RK P RK E

, dengan daerah kritis dis-

tribusi F , yaitu H 0ditolak jika F 0 > F α,(a−

1),(a−

1)(b−

1). Prosedur dalam analisisvariansi dirangkum dalam tabel berikut :

Table 5: Analisis VariansiSumber V ariansi db JK RK F h

Perlakuan a − 1 JK P JK P a−1

RK P RK E

Blok b − 1 JK BJK Bb−1

Sesatan (a − 1)(b − 1) JK E JK E

(a−1)(b−1)

Total N − 1

Contoh :Kecepatan Potong dari 4 macam mesin (A,B,C,D) alat potong akan diband-ingkan dalam suatu percobaan. 5 macam benda yang berbeda kekerasannyadalam berbagai blok dalam percobaan tersebut. Data diberikan sebagai berikut:

Alat potongBlok A B C D

1 12 20 13 112 2 14 7 53 8 17 13 104 1 12 2 35 7 17 14 6

5 Estimasi Data hilang

Ketika menggunakan rancangan blok acak lengkap, kadang-kadang suatu ob-servasi dalam blok hilang. Hal ini terjadi karena ketidakhati-hatian, kesalahanpenelitian, alasan dalam kontrol kita misal kerusakan yang tidak dapat dihin-dari dalam unit penelitian. Data hilang dalam observasi memunculkan suatumasalah baru dalam analisis karena perlakuan tidak lagi ortogonal dalam blok.yaitu setiap perlakuan tidak muncul dalam setiap blok. Dalam hal ini akandi kenalkan prosedur untuk mengestimasi data hilang. Dalam estimasi data hilang

Andaikan observasi yijpada perlakuan i dalam blok ke j hilang di notasikanx, diilustrasikan dalam tabel berikut :

Secara umum, misalkan y.. merepresentasikan total keseluruhan dengan satudata hilang, y i.total pada perlakuan dengan satu data hilang, dan y

.jtotal pada

13


14/31

blok dengan satu data hilang. Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil,

data hilang x diestimasi sedemikian sehingga jumlah kuadrat eror seminimalmungkin. Karena SS E =

ai=1

bj=1

(yij − ȳi. − ȳ.j + ȳ..)2 , maka estimasi ekuivalen

dengan memilih x yang meminimalkan

SS E =ai=1

bj=1

y2ij − 1b

ai=1

bj=1

yij

2− 1a

bj=1

ai=1

yij

2+ 1ab

ai=1

bj=1

yij

2atau

SS E = x2 − 1b (y

i. + x)2 − 1a

yj. + x

2+ 1ab

y.. + x2

+ R

dimana R semua suku yang tidak memuat x. dari dSS Edx = 0, diperoleh :

x = ayi.+by

.j−y..

(a−1)(b−1)

yang merupakan nilai estimasi untuk data yang hilang.

14


15/31

6 Rancangan Bujur Sangkar Latin

6.1 Rancangan

Telah dipelajarai Rancangan Blok Acak lengkap yang merupakan rancangan un-tuk mengurangi residual error dalam percobaan dengan mengilangkan variabil-itas terhadap variabel ganguan yang diketahui dan terkontrol. Terdapat beber-apa tipe rancangan yang menggunakan prinsip blok. Sebagai contoh, andaikanseorang peneliti sedang mempelajari pengaruh dari lima formula bahan bakarroket yang berbeda yang digunakan dalam sistem pesawat ruang angkasa dalamlaju pembakaran. Setiap formula dicampur dari bahan baku yang cukup besaruntuk lima formula untuk di uji. Lebih dari itu, formula disiapkan oleh beberapaoperator dan mungkin secara substansial terdapat perbedaan keterampilan danpengalamannya. Maka, ini akan terlihat bahwa terdapat dua faktor gangguan

sebagai rata-rata dalam rancangan : bahan baku dan operator. Rancanganyang tepat untuk masalah ini yaitu menguji setiap formula secara tepat satuuntuk setiap bahan baku dan setiap formula yang dipersiapkan secara tepatsatu oleh setiap setiap operator. Perhatikan bahwa rancangan adalah uturanbujursangkar dan lima formula (Perlakuan) dinotasikan A,B,C,D,E. Rancanganini dinamakan Rancangan Bujur Sangkar Latin, ditunjukan dalam tabel berikut:

Bahan OperatorBaku 1 2 3 4 5

1 A=24 B=20 C=19 D=24 E=262 B=27 C=24 D=30 E=27 A=363 C=18 D=38 E=26 A=27 B=21

4 D=26 E=31 A=26 B=23 C=225 E=22 A=30 B=20 C=29 D=31

Rancangan bujur sangkar latin digunakan untuk mengeliminasi dua gang-guan variabilitas, yang secara sistematik dapat menggunakan blok dalam duacara. Maka, baris dan kolom secara aktual merupakan dua batasan dalam pen-gacakan. Secara umum, Bujur sangkar latin untuk p faktor atau bujur sangkar p × p adalah sebuah bujur sangkar yang memuat p baris dan p kolom. Setiapperlakuan hanya muncul sekali dalam setiap baris dan kolom, sebagai contoh

4 × 4A B D CB C A D

C D B AD A C B

5 × 5A D B E CD A C B EC B E D A

B E A C DE C D A B

6 × 6A D C E B FB A E C F DC E D F A B

D C F B E AF B A D C EE F B A D C

Statistik model untuk bujur sangkar latin adalah :

yijk = µ + αi + τ j + β k + ijk

i = 1, 2, · · · , p

j = 1, 2, · · · , p

k = 1, 2, · · · , p

15


16/31

dimana yijk adalah observasi dalam baris ke i dan kolom ke k untuk perlakuan

ke j, µadalah rata-rata keseluruhan, αi adalah pengaruh baris ke i, τ jadalahpengaruh perlakuan ke j, β kadalah pengaruh kolom ke k, dan ijkadalah efekrandom. Perhatikan bahwa ini adalah model pengaruh, model ini aditif secarasempurna, yaitu tidak ada interaksi antara baris, kolom dan perlakuan. Karenahanya terdapat satu perlakuan dalam setiap sel, hanya dua dari tiga indeksyang diperlukan untuk menunjukan suatu observasi tertentu.

Analisis variansi terdiri dari bagian jumlah kuadrat total dari N = p2 ob-servasi dalam komponen baris, kolom, perlakuan dan eror, sebagai contoh :

JK T = J K B + J K K + JK P + J K E

dengan derajat kebebasan masing-masing

p2 − 1 = p − 1 + p − 1 + p − 1 + ( p − 2)( p − 1)

dengan asumsi ijk ∼ N ID(0, σ2), Statistik yang sesuai untuk uji tidak terdapatperbedaan dalam rata-rata perlakuan adalah

F h = RK P RK E

dimana terdistribusi F α,p−1,( p−1)( p−2). Kita mungkin menguji tidak ada pen-garuh baris dan kolom dengan format pembagian RK Batau RK K dengan RK E .akan tetapi, karena baris dan kolom merepresentasikan batasan dalam penga-cakan, maka uji ini tidak sesuai. Prosedur perhitungan analisis variansi ditun-njukan pada tabel di bawah.

Table 6: Analisis Variansi Rancangan Bujur Sangkar LatinSumber V ariansi db JK RK F h

Perlakuan p − 1 1 p

pj=1

y2.j. − y2..N

JK P p−1

RK P RK E

Baris p − 1 1 p

pi=1

y2i.. − y2..N

JK B p−1

Kolom p − 1 1 p

pk=1

y2..k − y2..N

JK K p−1

Error ( p − 2)( p − 1) JK E = J K T − JK P − JK K JK E

( p−2)( p−1)

Total p2 − 1

i

j

k

y2ijk − y2..N

Example. Diberikan data masalah bahan bakar roket di atas, dimana bahanbaku dan operator merupakan batasan pengacakan. Rancangan percobaan yangdigunakan adalah Rancangan Bujur Sangkar Latin. Setelah dikurangkan 25 darimasing-masing unit, diperoleh data sebagai berikut :

16


17/31

Bahan OperatorBaku 1 2 3 4 5 y

i..1 A=-1 B=-5 C=-6 D=-1 E=-1 -142 B=-8 C=-1 D= 5 E= 2 A=11 93 C=-7 D=13 E= 1 A= 2 B=-4 54 D= 1 E= 6 A= 1 B=-2 C=-3 35 E=-3 A= 5 B=-5 C= 4 D= 6 7

y..k -18 18 -4 5 9 10= y...

Jumlah kuadrat total, Bahan baku (baris), dan operator (kolom) adalah sebagaiberikut :

JK T =

y2ijk − y2...N = 680 −

(10)2

25 = 676.

JK B = 1 p

pi=1 y

2i.. −

y2...N =

15

(−14)2 + 92 + 52 + 32 + 72

− (10)

2

25 = 68.

JK K = 1 p p

k=1 y2i.. −

y2...N =

15

(−18)2

+ 182

+ (−4)2

+ 52

+ 92

− (10)2

25 =150.Jumlah total perlakuan :

Perlakuan A B C D EJumlah Perlakuan y.1. = 18 y.2. = −24 y.3. = −13 y.4. = 24 y.5. = 5

Jumlah kuadray formula (Perlakuan) adalah

JK P = 1 p

pk=1 y

2.j. −

y2...N

= 15

(18)2 + (−4)2 + (−13)2 + 242 + 52

− (10)

2

25 =

330.Jumlah kuadrat sesatan diperoleh dari

JK S = J K T − JK P − J K B − JK K = 676 − 68 − 150 − 330 = 128.Maka Analisis Anova dapat di tampilkan dalam tabel Anova berikut :

Table 7: Tabel AnovaSumber V ariansi db J K RK F h

Perlakuan 4 330 82.5 7.73Bahan Baku 4 68 17

Operator 4 150 37.5Sesatan 12 128 10.67

Total 24 676

Karena F hitung lebih besar dari F tabel (2.08) maka dapat disimpulkan bahwaterdapat beda secara signifikan rata-rata laju pembakaran yang dihasilkan olehbahan bakar roket yang berbeda.

Jika terdapat saru unit percobaan hilang pada bujur sangkar latin p × p.

Data hilang dapat di estimasi dengan :

yijk = p(yi..+y

.j.+y

..k)−2y

...

( p−2)( p−1)

diman tanda aksen mengindifikasikan jumlah untuk baris, kolom dan perlakuanserta Total data dengan data hilang.

17


18/31


19/31

Table 8: Analisis Variansi RBSL ulangan Kasus 1

Sumber V ariansi db J K RK F h

Perlakuan p − 1 1 p

pj=1

pl=1

y2.j.l − y2..N

JK P p−1

RK P RK E

Baris p − 1 1np

pi=1

y2i... − y2..N

JK B p−1

Kolom p − 1 1np

pk=1

y2..k. − y2..N

JK K p−1

Ulangan n − 1 1 p2 pl=1

y2...l − y2..N

JK Rn−1

Error ( p − 2) [n( p + 1) − 3] Substraction JK E( p−2)[n( p+1)−3]Total np2 − 1

i j ky2ijkl −

y2..N

Kasus kedua

Asumsikan bahwa bahan baku baru tapi operator yang sama digunakan dalamsetiap ulangan sebanyak n. Maka, Sekarang terdapat lima baris baru (secaraumum, p baris baru) didalam setiap ulangan. Analisis variansi di berikan padatabel

Table 9: Analisis Variansi RBSL ulangan Kasus 2Sumber V ariansi db JK RK F h

Perlakuan p − 1 1np

p

j=1y2.j.. −

y2..N

JK P p−1

RK P RK E

Baris n( p − 1) 1 p pi=1

pl=1

y2i..l − y2..N

JK Bn( p−1)

Kolom p − 1 1np

pk=1

y2..k. − y2..N

JK K p−1


y2...l − y2..N

JK Rn−1

Error ( p − 2)(np − 1) Substraction JK E( p−2)(np−1)Total np2 − 1

i

j

k

y2ijkl − y2..N

Kasus ketiga

Dimana bahan baku baru dan operator baru digunakan pada setiap ulangansebanyak n. Analisis variansi di berikan pada tabel

19


20/31

Table 10: Analisis Variansi RBSL ulangan Kasus 3

Sumber V ariansi db JK RK F h

Perlakuan p − 1 1np

pj=1

y2.j.. − y2..N

JK P p−1

RK P RK E

Baris n( p − 1) 1 p

pi=1

pl=1

y2i..l − y2..N

JK Bn( p−1)

Kolom n( p − 1) 1 p

pk=1

pl=1

y2..kl − y2..N

JK kn( p−1)


y2...l − y2..N

JK Rn−1

Error ( p − 1) [n( p − 1) − 1] Substraction JK E( p−1)[n( p−1)−1]Total np2 − 1

i j ky2ijkl −

y2..N

7 Rancangan Faktorial

Banyak peneliti tertarik untuk mempelajari efek dari dua faktor atau lebih.Secara umum, Rancangan faktorial merupakan rancangan yang paling efisienuntuk tipe percobaan ini. Dengan rancangan faktorial, kita mengartikan bahwasetiap unit atau ulangan lengkap dari percobaan semua kemungkinan kombinasidari tingkat faktor di investigasi. Sebagai contoh, jika terdapat tingkat a untukfaktor A, dan tingkat b untuk faktor B, setiap ulangan mengandung semua kom-binasi perlakuan ab. Ketika faktor disusun dalam rancangan faktorial, seringdikatakan disilangkan.

Pengaruh dari sebuah faktor didefinisikan sebagai perubahan respon ter-hadap perubahan pada tingkat faktor. Ini disebut sebagai pengaruh utamakarena ini merupakan faktor primer dalam percobaan. Sebagai contoh, per-cobaan sederhana dalam gambar berikut :

Gambar di atas merupakan percobaan faktorial dua faktor (A, B) denganrancangan faktor dalam dua tingkat (high dan Low / dinotasikan - dan +).Pengaruh utama faktor A dua tingkat dapat digambarkan sebagai beda rata-rata antara respon tingkat low dan rata-rata respon tingkat High, yaitu :

A = 40+522 −

20+302

= 21.

20


21/31

yang berarti bahwa peningkatan faktor A tingkat low ke tingkat high menye-

babkan rata-rata respon meningkat 21 unit. Hal sama, pengaruh faktor B, yaituB = 30+52

2 − 20+40

2 = 11.

Dalam beberapa percobaan, mungkin ditemukan perbedaan respon antaratingkat dalam satu faktor tidak sama pada semua tingkat pada faktor yanglain. Ketika hal ini muncul, terdapat interaksi antara faktor. Sebagai contoh,perhatikan gambar kanan di atas. Pada tingkat low faktor B (B-), pengaruh Aadalah

A = 50 − 20 = 30

dan pada tingkat high faktor B (B+), pengaruh A adalah

A = 12 − 40 = −28

karena pengaruh A tergantung pada tingkat yang dipilih pada faktor B, makaterdapat interaksi antara A dan B. Besarnya pengaruh interaksi adalah bedarata-rata dalam hal ini dua pengaruh A atau AB =(-28-30)/2=-29. Interaksiyang besar dalam percobaan ini.

Rancangan faktorial memiliki keuntungan, rancangan ini lebih efisien diband-ingkan rancangan acak lengkap. Rancangan faktorial perlu ketika terdapat in-teraksi untuk menghindari kesimpulan yang menyesatkan. Rancangan faktorialmemungkinkan pengaruh suatu faktor untuk diestimasi dalam beberapa tingkatdari faktor yang lain, menghasilkan kesimpulan yang valid dalam rentang kon-disi percobaan.

7.1 Rancangan Faktorial dua FaktorRancangan faktorial yang paling sederhana hanya melibatkan dua faktor per-cobaan. Terdapat a tingkat untuk faktor A dan b tingkat untuk faktor B yangdisusun dalam dalam rancangan faktorial, yaitu setiap ulangan sebanyak ndalam percobaan terdapat semua ab kombinasi perlakuan.

Contoh. Seorang insiyur sedang merancang sebuah baterai yang digunakanuntuk alat yang akan kenakan dalam beberapa variasi suhu yang ekstrim. Pa-rameter rancangan yang hanya dapat dipilih dalam hal ini adalah bahan platuntuk baterai dan dia memiliki tiga kemungkinan pilihan. Ketika alat di bentukdan dikirim, insiyur tersebut tidak memiliki control terhadap suhu ekstrim yangakan dihadapi pada alat tersebut dan dia tahu dari pengalaman bahwa suhumungkin akan berpengaruh terhadap lama hidup baterai. Akan tetapi suhu da-

pat dikontrol di labolatorium pengembangan produk untuk tujuan pengujian.Insiyur memutuskan untuk menguji semua bahan plat dalam tiga tingkat suhu15, 70 dan 1250F , karena tingkat suhu tersebut konsisten terhadap lingkun-gan konsleting product. Empat baterai diuji pada setiap kombinasi bahan platdan suhu dan semua sebanyak 36 unit diuji secara random. Hasil percobaandiberikan dalam tabel

21


22/31

Tipe SuhuMaterial 15 70 125

1 130 155 34 40 20 7074 180 80 75 82 58

2 150 188 136 122 25 70159 126 106 115 58 45

3 138 110 174 120 96 104168 160 150 139 82 60

Dalam masalah ini, pertanyaan yang mucul adalah :

1. Apa ada pengaruh tipe bahan dan suhu dalam lama baterai?

2. Adakah pilihan bahan yang akan memberikan lama hidup yang seragamtanpa memperhatikan suhu?

Rancangan ini adalah sebuah contoh yang spesifik faktorial dua faktor darifaktorial secara umum. Misalkan yijkmerupakan unit respon ketika faktor Aberada pada tingkat ke i (i = 1, 2,...,a) dan faktor B berada pada tingkat ke j ( j = 1, 2,...,b) untuk ulangan ke k (k = 1, 2,..,n). Secara umum, percobaanfaktorial dua faktor diberikan dalam tabel di bawah ini,

Model pengaruh dalam percobaan faktorial diberikan sebagai berikut :

yijk = µ + τ i + β j + (τ β )ij + ijk

i = 1, 2,...,a

j = 1, 2,...,b

k = 1, 2,...,k

dimana µ pengaruh rata-rata keseluruhan, τ i pengaruh faktor baris A tingkatke i, β j pengaruh faktor kolom tingkat ke j, (τ β )ij pengaruh interaksi antara τ idan β j , dan ijk komponen acak sesatan. Kedua faktor diasumsikan tetap, danpengaruh perlakuan didefinisikan sebagai simpangan dari rata-rata keseluruhan,sehingga

ai=1 τ i = 0, dan

jj=1 β j = 0. Pengaruh interaksi juga diasumsikan

tetap, dan didefinisikan sebagai a

i (τ β )ij = b

j=1(τ β )ij = 0. Karena terdapatn ulangan dalam percobaan, maka terdapat abn total unit percobaan.

22


23/31

Dalam faktorial dua faktor, kedua faktor (baris dan kolom)/perlakuan, A

dan B sama-sama menarik untuk diperhatikan. Secara spesifik, yaitu mengujihipotesis kesamaan pengaruh perlakuan baris A,H 0 : τ 1 = τ 2 = · · · = τ a = 0H 1 : paling tidak satu τ i = 0

dan kesamaan pengaruh dari perlakuan kolom B,H 0 : β 1 = β 2 = · · · = β b = 0H 1 : paling tidak satu τ i = 0

serta apakah perlakuan baris dan kolom berpengaruh, maka perlu diujiH 0 : (τ β )ij = 0 untuk semua i, jH 1 : paling tidak satu (τ β )ij = 0

7.2 Analisis Statistik model perlakuan tetap

Andaikan yi..adalah jumlah seluruh observasi faktor A pada tingkat i, y.j.adalah jumlah seluruh observasi faktor B pada tingkat j , yij.adalah jumlah seluruh ob-servasi sel ij dan y... jumlah total observasi. ȳi..,ȳ.j.,ȳij.,ȳ...merupakan rata-ratabaris, kolom, sel dan total observasi, secara matematika didefinisikan sebagaiberikut :

yi.. = b

j=1

nk=1 yijk ȳi.. =

yi..bn i = 1, 2,...,a.

y.j. = a

i=1

nk=1 yijk ȳ.j. =

y.j.an j = 1, 2,...,a.

yij. = n

k=1 yijk ȳij. = yij.n i = 1, 2,...,a; j = 1, 2,...b.

y... = a

i=1

bj=1

nk=1 yijk ȳi.. =

yi..bn i = 1, 2,...,a.

Jumlah kuadrat total terkoreksi dapat dituliskan sebagai berikut :

Karena enam cross-product pada sisi kanan adalah nol. Perhatikan bahwa jumlah total kuadrat dipertisi dalam jumlah kuadrat baris (faktor A), jum-lah kuadrat kolom (faktor B), jumlah kuadrat interaksi A dan B, dan jumlahkuadrat sesatan (Error). Dari komponen terakhir pada sisi kanan, dapat dilihat

bahwa paling sedikit ada 2 ulangan (n ≥ 2) untuk mendapatkan jumlah kuadratsesatan. Secara simbolik dituliskan sebagai b erikut :

JK T = J K A + J K B + J K AB + J K E

dengan masing-masing komponen dihitung dengan menjabarkan jumlah kuadratsehingga diperoleh, Jumlah kuadrat total:

23


24/31

JK T = ai=1

bj=1

nk=1 y

2ijk −

y2...abn ,

jumlah kuadrat untuk pengaruh utama, yakni faktor A

JK A = 1bn

ai=1 y

2i.. −

y2...abn ,

dan faktor B

JK B = 1an

bj=1 y

2.j. −

y2...abn ,

jumlah kuadrat interkasi AB

JK AB = 1n

ai=1

bj=1 y

2ij. −

y2...abn − JK A − J K B,

dimana 1nai=1

bj=1 y

2ij.−

y2...abn disebut sebagai sub total. Serta jumlah kuadrat

sesatan (Error),JK E = J K T − JK AB − JK A − JK B,= J K T − sub total.

Karena faktor A dan B mempunyai tingkat a dan b, maka masing-masing memi-liki derajat kebebasan a − 1 dan b − 1. Derajat kebebasan interaksi yaitu derajatkebebasan sel (ab−1) dikurangi derajat kebebasan kedua faktor (A dan B), yakni(ab − 1) − (a − 1) − (b − 1) = (a − 1)(b − 1). Dengan setiap ab sel terdapat n − 1derajat kebebasan antara n ulangan, maka derjat kebebasan untuk error adalahab(n − 1). Sedangkan derajat kebebasan total yaitu abn − 1. Sehingga derajatkebebasan untuk setiap jumlah kuadrat dapat di tuliskan dalam tabel berikut :

Pengaruh Derajat kebebasanA a − 1

B b − 1AB (a − 1)(b − 1)Error ab(n − 1)Total abn − 1

Setiap jumlah kuadrat yang dibagi dengan derjata kebebasan adalah rata-ratakuadrat. Ekspektasi nilai dari rata-rata kuadrat yaitu sebagai berikut :

E (RK A) = E JK Aa−1

= σ2 +

bna

i=1 τ 2

i

a−1

E (RK B) = E JK Bb−1

= σ2 +

an b

j=1 β2

j

b−1

E (RK AB) = E

JK AB(a−1)(b−1)

= σ2 +

na

i=1

bj=1(τβ)

2

ij

(a−1)(b−1)

E (RK E ) = E JK Eab(n−1) = σ2Jika null hipotesis tidak ada pengaruh perlakuan A dan B, dan tidak ada inter-aksi adalah benar, maka estimasi semua RK A, RK B, RK AB dan RK E adalahσ2. Akan tetapi, jika terdapat perbedaan antara pengaruh perlakuan, makarata-rata kuadrat akan lebih besar dari RK E . Oleh karena itu, untuk men-guji signifikan dari kedua faktor dan interaksinya, hanya membagi masing-masing jumlah kuadrat dengan jumlah kuadrat sesatan (error). Nilai rasiobesar mengindikasikan bahwa data tidak menerima null hipotesis.

24


25/31

Jika diasumsikan memenuhi persamaan model dan kondisi sesatan (error)

ijkberdistribusi normal dan independen dengan variansi σ

2

, maka setiap ra-sio RK ARK E , RK BRK E

, dan RK ABRK E berdistribusi F dengan masing-masing derajat ke-bebasan pembilang (a − 1) , (b − 1)dan (a − 1) (b − 1) dan derajat kebebasanpenyebut ab(n−1) dan daerah kritis yaitu ujung atas dari distribusi F. Ringkasandari prosedur analisis variansi ditunjukan dalam tabel berikut :

Table 11: Analisis Variansi Faktorial dua faktorSumber V ariansi db JK RK F h

Perlakuan A a − 1 J K AJK P a−1

RK P RK E

Perlakuan B b − 1 JK BJK Bb−1

RK BRK E

Interaksi AB (a − 1)(b − 1) JK ABJK AB

(a−1)(b−1)RK ABRK E

Sesatan ab(n − 1) J K E JK E

ab(n−1)

Total abn − 1

Contoh :

Tabel berikut adalah hasil observasi yang diberikan dalam contoh sub section7.1. Total baris dan kolom ditunjukan dalam batas dari tabel, dan total selpada tanda kurung.

Tipe SuhuMaterial 15 70 125 yi..

1 130 155 34 40 20 7074 180 (539) 80 75 (229) 82 58 (230) 9982 150 188 136 122 25 70

159 126 (623) 106 115 (479) 58 45 (198) 13003 138 110 174 120 96 104

168 160 (576) 150 139 (583) 82 60 (342) 1501y.j. 1738 1291 770 3799= y...

diperoleh Analisis Varians,

Sumber V ariansi db J K RK F hTipe material 2 10,683.72 5,341.86 7.91

Suhu 2 39,118.72 19,559.36 28.97

Interaksi AB 4 9,613.78 2,403.44 3.56Sesatan 27 18,230.75 675.21Total 35 77,646.97

Karena F 0.05,4,27 = 2.73, dapat disimpulkan bahwa terdpat interaksi antara tipematerial dan suhu secara signifikan. Lebih dari itu, F 0.05,2,27 = 3.35, sehinggaefek faktor tipe material dan faktor suhu juga signifikan.

25


26/31

Untuk membantu dalam menafsirkan hasil percobaan ini, akan sangat mem-

bantu dengan sebuah grafik rata-rata respon pada setiap kombinasi perlakuan,yaitu sebagai berikut :

Interaksi yang signifikan ditunjukan dengan garis yang tidak sejajar. Secaraumum, hidup yang lebih lama dicapai pada suhu rendah tanpa memperhatikantipe material. Perubahan dari suhu rendah ke suhu sedang, hidup baterai den-gan tipe material 3 secara nyata meningkat, tetapi menurun untuk tipe 1 dan 2.Dari suhu sedang ke suhu tinggi, hidup baterai menurun untuk tipe material 2dan 3 dan pada dasarnya tidak berubah untuk tipe 1. Tipe material 3 terlihatmemberikan hasil yang paling baik jika kita ingin kehilangan sedikit efektifitashidup sebagai perubahan suhu.

7.3 Perbandingan Ganda

Ketika analisis variansi mengindikasikan bahwa baris atau kolom beda nyata,biasanya menarik untuk membandingkan antara rata-rata individual baris ataukolom untuk mengetahui letak beda nyata yang lebih spesifik. Metode per-bandingan ganda telah didiskusikan sebelumnya.

Untuk ilustrasi akan digunakan uji Tukey’s dalam percobaan ini, perhatikanbahwa percobaan ini, interaksi signifikan. Ketika interaksi signifikan, perbandin-gan antara rata-rata satu faktor (misal faktor A) mungkin terkaburkan oleh in-teraksi AB. Salah satu pendekatan untuk situasi ini adalah menetapkan faktorB pada suatu tingkat yang spesifik dan gunakan uji Tukey’s untuk uji rata-ratafaktor A pada tingkat tersebut. Misalkan akan dilihat perbedaan antara rata-rata tiga tipe material, karena interaksi signifikan, ambil perbandingan hanyapada satu tingkat suhu, katakanlah tingkat 2 (700F ). Rata-rata tiga tipe ma-

terial pada suhu 70

0

F berturut-turut :ȳ12. = 57.25 (tipe 1)ȳ22. = 119.75 (tipe 2)ȳ32. = 145.75 (tipe 3)

dan

T 0.05 = q 0.05(3, 27)

JK En = 3.50

675.21

4 = 45.47

diperoleh perbandingan pasangan :

26


27/31

3 vs. 1: 145.75-57.25=88.50 > T 0.05 = 45.473 vs. 2: 145.75-119.75=26.00 < T 0.05 = 45.472 vs. 1: 119.75-57.25=62.50 > T 0.05 = 45.47

Analisis ini mengindikasikan bahwa pada tingkat suhu 700F, rata-rata hidupbaterai sama untuk tipe 2 dan 3, dan rata-rata hidup baterai untuk tipe 1signifika lebih rendah dibandingkan antara kedua tipe 2 dan 3.

Jika interaksi signifikan, peneliti dapat membandingkan semua rata-rata selab untuk menentukan mana yang memiliki beda secara signifikan. Dalam anal-isis ini, beda antara rata-rata sel meliputi pengaruh interaksi seperti pengaruhutama. Dalam contoh ini, terdapat 36 perbandingan antara semua kemungkinanpasangan dalam 9 rata-rata sel.

7.4 Satu observasi tiap sel

Kadang-kadang, ditemui dalam percobaan dua faktor hanya terdapat satu ulan-gan, yaitu hanya terdapat satu observasi per sel. Jika terdapat dua faktor danhanya satu observasi per sel, model pengaruh yaitu

yij = µ + τ i + β j(τ β )ij + ij

i = 1, 2,...,a

j = 1, 2,..,b

analisis variansi untuk kondisi seperti ini dengan asumsi bahwa kedau faktoradalah tetap, ditunjukan dalam tabel berikut :

Table 12: Analisis Variansi satu observasi per selSumber V ariansi db J K RK F h

Perlakuan A a − 1 ai=1

y2i.b −

y2..ab

JK Aa−1

RK P RK E

Perlakuan B b − 1

bj=1

y2

.j

a − y2

..

abJK Bb−1

RK BRK E

Residual (AB) (a − 1)(b − 1) substraction JK Eab(n−1)

Total ab − 1 a

i=1

bj=1

y2ijb −

y2..ab

Dari pemeriksaan ekspektasi rata-rata kuadrat, kita lihat bahwa variansisesatan σ2 tidak terestimasi, yaitu pengaruh interaksi dua faktor dan eror per-cobaan tidak dapat dipisahkan secara jelas. Akibatnya, tidak ada uji untukefek utama, kecuali pengaruh interaksi adalah nol. Jika tidak interaksi tidakdisajikan (τ β )ij = 0 untuk semua i dan j dan sebuah model yang masuk akalyaitu :

yij = µ + τ i + β j + ij i = 1, 2,...,a j = 1, 2, . . ,b

Jika model ini sesuai, maka rata-rata kuadrat eror dalam tabel di atas adalahestimator tak bias σ2dan pengaruh utama dapat di uji dengan memandingkan jumlah kuadrat A dan B terhadap jumlah kuadrat sesatan (eror).

Sebuah uji yang dikembangkan oleh Tukey (1949) cukup membantu dalammenentukan keputusann jika interaksi disajikan. Prosedur asumsi bahwa bentukinteraksi sebagai berikut :

27


28/31

(τ β )ij = γ τ iβ j

dimana γ suatu konstanta yang tidak diketahui. Dengan mendefinisikan ben-tuk interaksi di atas, mungkin pendekatan regresi dapat digunakan untuk ujisignifikan bentuk interaksi. Partisi uji jumlah kuadrat sesatan dalam satu kom-ponen derajat kebebasan karena tidak aditiv (interaksi) dan sebuah komponenuntuk sesatan (error) dengan (a−)(b − 1) − 1 derajat kebebasan. Secara matem-atik, yaitu

JK N =

ai=1

bj=1 yijyi.y.j−y..

JK A+JK B+

y2..ab

2

abJK AJK B

dengan satu derajat kebebasan, dan

JK Er = J K Residual − JK N

dengan derajat kebebasan (a−)(b − 1) − 1. Untuk menguji adanya interaksi,hitung

F 0 = JK N

JK Er/[(a−)(b−1)−1]

jika F 0 > F α,1,(a−)(b−1)−1, Hipotesis tidak ada interaksi ditolak.

Contoh.

Limbah yang dihasilkan dalam proses kimia dipengaruhi oleh dua faktor, yaitutekanan dan suhu. Data dari replikasi tunggal sebuah percobaan faktorial ditunjukan dalam tabel berikut :

TekananSuhu 25 30 35 40 45 yi.100 5 4 6 3 5 23125 3 1 4 2 3 13150 1 1 3 1 2 8y.j 9 6 13 6 10 44= y..

Jumlah kuadrat :JK A =

1b

ai=1 y

2i. −

y2..ab =

15

232 + 132 + 82

− 44

2

(3)(5) = 23.33

JK B = 1a

bj=1 y

2.j −

y2..ab =

13

92 + 62 + 132 + 62 + 102

− 44

2

(3)(5) = 11.60

JK T = a

i=1

bj=1 y

2ij −

y2..ab = 166 − 129.07 = 36.93

dan

JK residual = J K T − JK A − JK B = 36.93 − 23.33 − 11.60 = 2.00 jumlah kuadrat untuk nonaditif, yaituai=1

bj=1 yijyi.y.j = (5)(23)(9) + (4)(23)(6) + · · · + (2)(8)(10) = 7236

JK N =

ai=1

bj=1 yijyi.y.j−y..

JK A+JK B+

y2..ab

2

abJK AJK B

= [7236−44(23.33+11.60+129.07)]2

(3)(5)(23.33)(11.60)

= 20.002

4059.42 = 0.0985

28


29/31

sehingga jumlah kuadrat eror adalah

JK Er = J K residual − JK N = 2.00 − 0.0985 = 1.9015Analisis variansi selengkapnya dapat disajikan dalam tabel Anova berikut :

Table 13: Analisis VariansiSumber V ariansi db JK RK F h

Perlakuan A 2 23.33 11.67 42.97Perlakuan B 4 11.60 2.90 10.68

Nonaditif 1 0.0985 0.0985 0.36Er 7 1.9015 0.2716

Total 14 36.93

Uji statistik untuk nonaditif yaitu F 0 = 0.36 < F tabel(F 0.05,1,7), maka dapat

dismpulkan bahwa ridak ada bukti interaksi dalam data tersebut. pengaruhutama suhu dan tekanan signifikaan.

Model rancangan faktorial dua faktor dengan satu observasi per sel nampaktepat seperti model rancangan blok acak lengkap. Dalam kenyataannya Tukeyderajat kebebasan tunggak untuk nonaditif dapat diaplikasikan secara langsunguntuk interaksi dalam model acak lengkap. Akan tetapi, ingat bahwa situasipercobaan untuk menjalankan model blok acak dan faktorial sangat berbeda.Dalam modelvfaktorial, semua ab dijalakan dalam urutasn yang acak, tetapidalam model acak lengkap, pengacakan hanya muncul dalam setiap blok. Blokadalah batasan dalam pengacakan. Dengan demikian penggunaan dan inter-pretasi dari kedua model ini adalah sangat berbeda.

8 Rancangan Faktorial secara umum

Hasil dari rancangan faktorial dua faktor dapat dikembangkan kedalam bentukumu dimana terdapat a tingkat faktor A, b tingkat faktor B, c tingkat faktorC dan seterusnya disusun dalam sebuah rancangan faktorial. Secara umum,akan terdapat abc...n total observasi jika terdapat n ulangan untuk percobaanlengkap. Sekali lagi, perhatikan bahwa harus ada minimal dua ulangan ( n ≥ 2)untuk menentukan jumlah kuadrat sesatan jika semua kemungkinan interaksiterdapat dalam model.

Jika semua faktor dalam percobaan adalah tetap, mudah untuk merumuskandan menguji hipotesis pengaruh utama dan interaksi. Untuk model tetap, ujistatistik untuk setiap efek utama dan interaksi dapat dibentuk dengan mem-

bagi jumlah kuadrat masing-masing dengan jumlah kuadrat sesatan. Uji yangdigunakan adalah uji F dengan derajat kebebasan untuk efek utama, jumlahtingkat faktor dikurangi satu, dan derajat kebebasan interaksi adalah perkalianantara derajat kebebasan faktor yang saling berinteraksi.

Sebagai contoh, untuk model analisis variansi tiga faktor

yijkl = µ + τ i + β j + γ k + (τ β )ij + (τ γ )ik + (βγ )jk + (τ βγ )ijk + ijkl

29


30/31

i = 1, 2,...,a; j = 1, 2,...,b; k = 1, 2,...,c; l = 1, 2,...,n.

Diasumsikan bahwa faktor A,B, dan C adalah tetap, tabel Analisis Variansidiberikan dalam tabel berikut :

Table 14: Analisis Variansi Faktorial tiga faktorSumber V ariansi db JK RK F h

Perlakuan A a − 1 JK AJK P a−1

RK P RK E

Perlakuan B b − 1 JK BJK Bb−1

RK BRK E

Perlakuan C c − 1 JK C JK Cc−1

RK CRK E

Interaksi AB (a − 1)(b − 1) JK ABJK AB

(a−1)(b−1)RK ABRK E

Interaksi AC (a − 1)(c − 1) JK AC JK AC

(a−1)(C −1)RK ACRK E

Interaksi BC (b − 1)(c − 1) JK BC JK BC

(b−1)(c−1)RK BCRK E

Interaksi ABC (a − 1)(b − 1)(c − 1) J K ABC JK ABc(a−1)(b−1)(c−1) RK ABC

RK E

Sesatan abc(n − 1) JK E JK E

ab(n−1)

Total abcn − 1

dengan

JK T =ai=1

bj=1

ck=1

nl=1

yijkl − y2....abcn

JK A = 1bcn

ai=1

y2i... − y2....abcn

JK B = 1acn

b

j=1y2.j.. −

y2....abcn

JK C = 1abnck=1

y2..k. − y2....abcn

Untuk menghitung jumlah kuadrat inteaksi dua faktor, diperlukan total dariA x B, A x C dan B x C. diperoleh jumlah kuadrat

JK AB = 1cn

ai=1

bj=1

y2ij.. − y2....abcn − J K A − JK B = J K Subtotal(AB) − J K A − J K B

JK AC = 1bn

ai=1

cbk=1

y2i.k. − y2....abcn − JK A− J K C = J K Subtotal(AC ) − J K A− JK C

JK BC = 1an

bj=1

ck=1

y2.jk.− y2....abcn −JK B−JK C = J K Subtotal(BC )−JK B−JK C

Perhatikan bahwa jumlah kuadrat untuk subtotal dua faktor diperoleh dari totaldalam setiap dua arah tabel. Jumlah kuadrat interaksi tiga faktor dihitung dari

total sel tiga arah {yijk.},yaitu

JK ABC = 1n

ai=1

bj=1

ck=1

yijk. − y2....abcn − JK A − JK B − JK C − JK AB − JK AC − JK BC

= J K subtotal(ABC ) − JK A − JK B − JK C − JK AB − JK AC − JK BC dan

JK S = J K T − JK subtotal(ABC )

30


31/31

9 Tugas Mandiri dan komputasi

1. Rancangan Faktorial 2k

Ambil spesifikasi Rancangan 22, dan rancangan 23, kemudian generalisasiuntuk rancangan 2k.

2. Rancangan Faktorial 3k

Ambil spesifikasi Rancangan 32, dan rancangan 33, kemudian generalisasiuntuk rancangan 3k.

3. Pembauran (confounding) rancangan faktorial 2k

Confounding dalam dua blok, dan empat blok, kemudian generalisasi un-tuk 2 pblok.

4. Pembauran (confounding) rancangan faktorial 3k

Confounding dalam tiga blok, dan sembilan blok, kemudian generalisasiuntuk 3 pblok.

31

Documents

Modul Rancob