MODUL MTEMATIKA KELAS XII.docx

7/24/2019 MODUL MTEMATIKA KELAS XII.docx

1/37

BAB I MATRIKS

Kompetensi Dasar1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yangdianutnya.1.2 Menghayati perilaku disiplin, sikap kerjasama, sikap kritis dan

cermat dalam bekerja menyelesaikan masalah kontekstual1.3 Menganalisis konsep, nilai determinan dan sifat operasi matriksserta menerapkannya dalam menentukan invers matriks dan dalammemecahkan masalah

1. Menyajikan dan menyelesaikan model matematika dalam bentukpersamaan matriks dari suatu masalah nyata yang berkaitan denganpersamaan linier.

!engalaman "elajarMelalui pembelajaran matriks, sis#a memperoleh pengalaman belajar $

1. Mengamati dan menemukan konsep determinan matriks besertasifat operasi dterminan matriks

2. Mengamati dan menemukan konsep invers dari matriks3. Menerapkan konsep matriks dalam menyelesaikan masalah

sehari%hari.

A. DETERMINANMisalkan & adalah matriks kuadrat maka determinan matriks

tersebut dinyatakan dengan det'&( atau ) & ). Determinan & dikatakan

berordo n, jika & merupakan matriks kuadrat berordo n*n.+ara menghitung nilai determinan suatu matriks $

1. Determinan Matriks berordo Satu

Misalkan & adalah matriks bujursangkar berordo 1

& -a11, maka det & ) & ) a11

2. Determinan Matriks berordo dua dan tiga (2x2 !x!"

Determinan matriks yang berordo 2*2 dide/nisikan sebagai $

21122211

2221

1211aaaa

aa

aaA ==

0ebagai contoh $

Determinan dari matriks

=

41

32A

adalah $

1


2/37

( ) ( ) 5134241

32==

=A

Determinan matriks yang berordo 3*3

ika

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

maka nilai determinan dari matriks & adalah$

Dengan +ara 0arrus $

332112322311312213322313322312332211

3231

2221

1211

333231

232221

131211

333231

232221

131211

det aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

++=

==

0ebagai contoh $

ika matriks

=020

412301

A

maka nilai determinannya adalah $

40801200det

0.2.02.4.10.1.32.2.30.4.00.1.1det

20

12

01

020

412

301

020

412

301

=++=

++=

==

A

A

A

#atatan $ #ara Sarrus %an&a bo'e% digunakan ada matriks ! x

!

!. Ni'ai Determinan dengan Ko)aktor

ntuk mencari nilai matriks berordo n*n dapat diselesaikan

dengan cara menggunakan kofaktor, tetapi haruslah dikenal dulu minor

dari elemen matriks. Minor dari elemen a ij, dimana aijmerupakan satu2


3/37

elemen dari matriks kuadrat &, dinyatakan oleh M ij dan dide/nisikan

sebagai determinan dari bagian matriks & diluar baris ke%i dan kolom

ke%j. "ilangan (*1"i+, . Mi, dinyatakan dengan cijdan disebut kofaktor

dari elemen aij$

cij '%1(ij. Mij

Determinan dari matriks kuadrat & dengan ordo n*n dapat

dihitung dengan mengalikan elemen%elemen dalam suatu baris 'atau

kolom( dengan kofaktor%kofaktornya dan menambahkan hasil%hasil kali

yang dihasilkan, yakni untuk setiapni1

dannj 1

, maka $

njnjjjjj cacacaA +++= ...2211

'ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j(, dan

ininiiii cacacaA +++= ...2211

'ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i(

0ebagai contoh $

ika matriks

=020

412

301

A


a" Dengan memergunakan baris ke*1 (i-1"

Det & ) & ) a11c11 a12c12 a13c13

40.12.220

12

00.40.200

42

82.40.102

41

13

12

11

===

===

===

M

M

M

i,- (*1"i+,. Mi,

c11 '%1(11. '%4( %4

c12 '%1(12

. '5( 5c13 '%1(13. '(

3


4/37

4

)4(.30.0)8(.1

131312121111

=++=

++= cacacaA

b" Dengan memergunakan ko'om ke*1 (,-1"

31.34.041

30

62.30.002

30

82.40.102

41

31

21

11

===

===

===

M

M

M

i,- (*1"i+,

. Mi,

c11 '%1(11. '%4( %4

c21 '%1(21. '%6( 6

c31 '%1(31. '%3( %3

4

3.06.2)8(.1

313121211111

=++=

++= cacacaA

#onto% /ain0$

ika matriks

=

3232

9375

2332

7243

A


a#ab $

Dengan menggunakan bari ke*1 (i-1"

1

)5(2)6(3)9(3

)914(2)2721(3)189(3

23

372

33

973

32

9331

323

937

233

1)(c 1111

=+=

+=

++== +


5/37

[ ]

[ ]

1

)8918()4(2)3(3)9(2

)610(2)1815(3)189(2

22

352

32

953

32

9321

322

935

232

1)(c 2112

=++=

+=

+=

+== +

1

)1(2)3(3)6(2

)1415(2)1815(3)2721(2

32

752

32

953

33

9721

332

975

232

1)(c 3113

=+=

+=

++== +

[ ]

[ ]

[ ]

1

31210

)1(3)4(3)5(2

)1415(3)610(3)914(2

32

753

22

353

23

3721

232

375

332

1)(c 4114

=

+=+=

+=

+== +

2

1)7(1)2(4(1)3(1)

aaaaA 14131211

=++=

+++=

adi det'&( %2

Soa' /ati%an

1. 7itung determinan dari matriks 8 matriks berikut ini $

a.

441

310

112

b.

312

322

121

k

k

k

2. Diketahui $

=

123

215

421

A

9


6/37

7itung determinan matriks & dengan cara $

a. 0arrus

b. Kofaktor

% Menggunakan baris ke%1 'i1(

% Menggunakan kolom ke%1 'j1(

3. +arilah semua nilai dimana determinan berikut sama dengan 5

33

42

. Dengan menggunakan ko)aktor cari determinan dari matriks &

berikut $

=

3573

5142

11216253

A

B. INERS MATRIKS

Matriks persegiA mempunyai invers, jika ada matriks B sedemikian

hinggannIBAAB ==dengan I matriks identitas. !ada persamaan

nnIBAAB == , A dan B disebut saling invers. "erikut ini adalah

syarat suatu matriksA mempunyai invers.

: ika ;A= 5, maka matriks A tidak mempunyai invers.


7/37

=

=

=

10

01

32

75

52

73

10

01

52

73

32

75

BA

AB

!erhatikan bah#a &""&@2A2sehingga dapat dikatakan bah#a &

dan " saling invers..

ntuk matriks

=

dc

baA

berordo 2 A2 ini, kita dapat menentukan

inversnya sebagai berikut

=

=

ac

bd

bcadA

AAdjA

A

1

det

1

1

1

ntuk menentukan invers suatu matriks dengan ordo 3A 3, kalian

harus memahami tentang matriks minor, kofaktor, dan adjoint.

B.1. Ad,oint

Misalkan suatu matriks A berordo n A n denganAij kofaktor dari

matriksA, maka

&djoint & '&dj &(

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

21

22212

12111

ntuk matrik & berordo 3A3 maka

=

332313

322212

312111

AAA

AAA

AAA

AAdj

+ontoh$

B


8/37

>entukan invers dari matriks

=

801

352

321

A

!enyelesaian$

( )

( )

( ) 22001

21

53881

31

1601680

32

55001

52

1331681

32

4004080

35

1320150640

01

52

21

801

352

321

23

22

21

13

12

11

===

===

===

===

===

===

=++=

=

A

A

A

A

A

A

A

A

( )

=

==

=

===

===

===

125

3513

91640

1

125

3513

91640

125

3513

91640

14552

21

36332

31

915635

32

1

33

32

31

A

AAdjA

AAdj

A

A

A

4


9/37

1. >entukanlah syarat agar matriks

+

baa

aba

tidak

mempunyai invers?

2. Diketahui matriks

=

42

31A

. >unjukkan bah#a '&%1(t '&t(%1

?

3. Diketahui matriks

== 3412

5374 BdanA

.

ika ;&t; k;"t;,tentukan nilai k?

. >unjukkan bah#a4519732204

26143

89783

57312

habis dibagi 1C?

C

ASA KEMAM34AN


10/37

c. Menyelesaikan Masalah dengan Mempergunakan Matriks

!ada bab sebelumnya telah dibahas tentang penyelesaian systempersamaan linear dengan menggunakan metode gra/k, metodeeliminasi, dan metode substitusi. !ada bab ini, kita akan menyelesaikan

system persamaan linear tersebut dengan menggunakan matriks.Misalkan, sistem persamaan linear berikut.ax by ecx dy f

0istem persamaan linear tersebut dapat kita tuliskan dalam persamaanmatriks berikut.

=

f

e

y

x

dc

ba

!ersamaan matriks ini dapat kita selesaikan dengan menggunakan sifatberikut.

1.ika &", maka &%1", dengan )A) = 52.ika &", maka "&%1, dengan )A) = 5

+ontoh$>entukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut?3x % y 99x 6y 1

!enyelesaian$

>erlebih dahulu, ubah sistem persamaan linear tersebut menjadipersamaan matriks berikut.

BXA

y

x

=

1

5

65

43

Kemudian, tentukan determinan matriksA, yaitu $

( ) 3820186543 ==

=A

!enyelesaian sistem persamaan linear tersebut dapat kitatentukan dengan cara berikut.

15


11/37

19

11

19

17,

19

1119

17

1

5

35

46

38

1

35

46

38

1

1

1

==

=

=

=

ydanxjadi

BAA

y

x

A

0elain dengan cara di atas, sistem persamaan linear dapat jugadiselesaikan dengan menggunakan aturan +ramer berikut.

ika &" makaA

Ax

AAx

AAx jj === ,,, 2211

Aj adalah matriks yang didapat dengan mengganti elemen%elemen pada kolom%j dari matriks A dengan elemen%elemenmatriks B.

+ontoh$>entukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut?

3x % y 99x 6y 1

!enyelesaian$>erlebih dahulu tentukan ;&;,;&1;, dan ;&2;

19

11

38

22

19

17

38

34

2215

53

3461

45

3865

43

21

2

1

=

=====

=

=

=

=

=

=

A

Aydan

A

Axjadi

A

A

A

Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear tersebutadalah

19

11

19

17== ydanx

11


12/37

Diketahui$ 2* % 9y 2E B F * 2y % E 3 F 3* 8 y %6E 9

Penyelesaian:

0!G>7 tsb mempunyai mn dan akan dihitung apakah det'&(5

046610

1091

6100

421

1090

643

421

252

=

=

=

=A

46

645423

257

=x

546

19268172

46

019260817

257

=

=

46

653

431

272

=y

146

269

1752

46

0269

0175

272

=

=

46

543

321

752

=z

146

410

191

46

4100

321

190

=

=

adi * 9, y 1, E 1

1. 0elidikilah apakah matriks%matriks berikut mempunyai inversH ikamempunyai invers

tentukan inversnya .

a(. &

43

32

c(. +

31

42

e(. I

12

48

12

ASA KEMAM34AN


13/37

b(. "

12

24

d(. D

34

67

2. +arilah nilai * dan y pada sistem persamaan linier berikut dengancara matriks ?

a(.

=+=72

425

yx

yx

c(.

=++=

0243

62

yx

yx

b(.

==+754

932

yx

yx

d(.

=+=0142

01337

yx

yx

3. +arilah matriks pada persamaan matriks berikut.

a(.

=

1917

1412

43

32X

b(.

=

187

136

31

52.X

c(.

=

612

15

63

12

X

9. +arilah nilai * ,y dan E pada sistem persamaan linier berikut dengancara matriks ?

a(.

=++=+=+

1122

5243

8432

zyx

zyx

zyx

b(.

=+=++=

17432

19325

1143

zyx

zyx

zyx

c(.

=+==+

132

622

2332

zy

zx

yx

13


14/37

d(.

=+==+

33

332

42

yx

zy

zx

Soa'*soa' 3i'i%an ganda

"erilah tanda silang pada huruf & , " , + , D dan I sesuai denganpilihan ja#aban yang paling tepat ?

1. Diketahui K

1138

45

32

c

b

a

dan G

1148

2145

326

b

jika K G maka cadalah . . .

a. 16 b. 19 c. 1 d. 13e. 12

2. Diketahui

+

=

+ 32

24

55

24

qqp

maka . . .a. p 1 dan J %2 d. p 1 dan J 4

b. p 1 dan J 2 e. p 9 dan J 2 c. p %1 dan J 2

3. ika &

43

21

"

10

32

+

01

25

makabentuk yang palingsederhana dari

'&+( 8 '&"( adalah . . . .

a.

45

45

c.

44

04

e.

11

17

b.

52

74

d.

11

13

. 7asil kali

654

321

65

43

21

adalah . . . .

1

ASA KEMAM34AN


15/37

a.

6449

2822

c.

30154

641

e.

65

43

21

b.

6428

4922

d.

30154

1682

9 . 2

2

1

21

1

3

3

0

3

k

3

1

2

2

3

2

maka k adalah . . . . a. % b. %2 c. 2 d. 3 e.

6 . ika

a3

14

+

72

11

ba

207

151

maka nilai b adalah . . . .a. 1 b. 2 c. 3 d.

e. 9

B . ika diketahui matriks &

22

11

dan "

2411

maka '& "(2sama dengan . . .

a.

96

04

c.

1612

04

e.

9604

b.

96

04

d.

9604

4. Diketahui matriks &

cb

a

32

4

dan "

++7

1232

ba

abc

jika & 2"t

maka nilai c .

19


16/37

a. 2 b. 3 c. 9 d. 4e. 15

16


17/37

BAB II B4N5A 3ERT4MB4AN DAN 3E/4R4AN


cermat dalam bekerja menyelesaikan masalah kontekstual2.3 Mendeskripsikan konsep barisan dan deret pada konteks dunianyata, seperti bunga, pertumbuhan dan peluruhan.

2. Mengidenti/kasikan, menyajikan model matematika danmenyelesaikan masalah keseharian yang berkaitan dengan barisandan deret aritmatika, geometri dan yang lainnya.

!engalaman "elajarMelalui pembelajaran pertumbuhan dan peluruhan sis#a memperolehpengalaman belajar $

a. mengamati dan mendeskiripsikan karakteristik masalahpertumbuhan dan peluruhan

b. mengamati dan menerapkan konsep barisan dan deret geometriuntuk menyelesaikan masalah pertumbuhan dan peluruhan

A. Bunga Tungga' dan Bunga Ma,emuk

A.1 B4N5A T4N55A/3engertian Bunga

"unga adalah jasa dari simpanan atau pinjaman yang

dibayarkan pada akhir suatu jangka #aktu yang ditentukan ataspersetujuan bersama.

3engertian Bunga Tungga'"unga tunggal adalah bunga yang timbul pada setiap akhir

jangka #aktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal'besarnya modal tetap(.

"esarnya bunga berbanding senilai dengan persentase dan lama#aktunya dan umumnya berbanding senilai pula dengan besarnyamodal.

ika modal sebesar M dibungakan dengan bunga p L setahun maka$a 0etelah t tahun, besarnya bunga$

tp

MI =100

b 0etelah t bulan, besarnya bunga$

12100

tpMI =

1B


18/37

c 0etelah t hari, besarnya bunga$- ika satu tahun 365 hari, maka$

360100tpMI =

- ika satu tahun 369 hari, maka$

365100

tpMI =

- ika satu tahun 366 hari 'tahun kabisat(, maka$

366100

tpMI =

Contoh:

"udi meminjam uang sebesar p 1.555.555,55 kepada Ididengan tingkat bunga 14L pertahun. 7itung besarnya bungaselama$a( 2 tahunb( 6 bulanc( 95 harid( 2 tahun 6 bulan dan 95 hari?

3en&e'esaian

M 1.555.555 dan p 14

a" Besarn&a bunga se'ama 2 ta%un

i p

100x M x t

i 18

100x1000000x2 365555

adi besarnya bunga selama 2 tahun sebesar p 365.555,55

b" Besarn&a bunga se'ama 6 bu'an$

i p

100 * M *t

12

i 18

100 * 1000000 *6

12 C5555

adi besarnya bunga adalah p C5.555,55

" Besarn&a bunga se'ama 78 %ari$

14


19/37

i p

100 * M *t

360

i 18

100 * 1000000 *50

360 29555

adi besarnya bunga dalam 95 hari adalah sebesar p 29.555,55

d" Besarn&a bunga da'am 2 ta%un 6 bu'an dan 78 %aridapat dicari dengan jalan menjumlahkan bunga 2 tahun bunga6 bulan bunga 95 hari$

&tau dapat dicari dengan jalan menghitung #aktu seluruhnyadalam hari,sehingga 2 tahun 6 bulan 95 hari C95 hari, sehingga$

i p

100 * M *t

360

i 18

100 * 1555555*950

360 B9555

adi besarnya bunga selama 2 tahun 6 bulan dan 95 hari adalahp B9.555,55

1 &delia meminjam uang sebesar p. 455.555,% dan harusmengembalikan setelah satu bulan sebesar p. 1.555.555,%. "erapapersen perbulankah bunga tunggal atas hutang &deliaH

2 ika besar bunga tunggal sebuah pinjaman perbulan adalah 4 L,

berapa jumlah uang yang harus dikembalikan "agus jika iameminjam p. 1.555.555,% dan dikembalikan setelah 15 bulanH

3 +anda harus mengembalikan pinjamannya setelah 6 bulan sebesarp. 455.555,% ika pada pinjaman tersebut berlaku bunga tunggal 3L perbulan, berapakah hutang +anda sebenarnya.

B. B4N5A MA9EM4K

ika kita menyimpan modal berupa uang di bank selama periodebunga tertentu, misalnya satu tahun maka setelah satu tahun kita akanmendapatkan bunga sebesar p L kali modal yang kita bungakan. ika

1C

ASA KEMAM34AN


20/37

bunga itu tidak kita ambil, tetapi ditambahkan pada modal a#al untukdibungakan lagi pada periode berikutnya, sehingga besarnya bungapada setiap periode berikutnya berbeda jumlahnya 'menjadi bungaberbunga(, maka dikatakan modal tersebut dibungakan atas dasarbunga majemuk.

a. 3erbedaan Bunga Tungga' dan Bunga Ma,emuk

"unga tunggal dihitung berdasarkan modal yang sama setiapperiode sedangkan bunga majemuk dihitung berdasarkan modala#al yang sudah ditambahkan dengan bunga.

b. 3er%itungan Ni'ai Ak%ir Moda'a Dengan menggunakan rumus

ika modal sebesar M dibungakan atas dasar bunga majemuksebesar p L setahun selama n tahun, maka besarnya modalsetelah n tahun adalah$

0etelah satu tahun

MP

MM100

1 +=

+=

1001

PM

0etelah dua tahun

++ += 1001

10010012 PMPPMM

2

1001

1001

1001

+=

+

+=

PM

PPM

0etelah n tahun

+ontoh soal

Modal sebesar p 1.555.555,55 diperbungakan dengan dasar bunga

majemuk 3L setahun. 7itunglah nilai akhir modal setelah 3 tahun.

a#ab $ Misalkan M 1.555.555,55, n 3 tahun, p 3L.M3 M '1i(3

25

n

n

PMM

+=

1001


21/37

1.555.555 '15,53(3

1.555.555 '1,53(3

1.555.555 * 1,5C2B2B

1.5C2.B2B

adi nilai akhir setelah 3 tahun p 1.5C2.B2B,55

/ATIAN1 +arilah nilai akhir modal besarnya p 255.555,% yang diperbungakan

dengan bunga majemuk 15 L tiap semester selama 1 tahun 3 bulan.

2 7itunglah nilai tunai dari p 16.C55,% yang harus dibayar 2 tahunkemudian dengan bunga majemuk 35 L setahun.

3 ang sebesar p 155.555 diperbungakan dengan bunga majemuk 3N L setiap tri#ulan. 0etelah berapa lamakah uang itudiperbungakan, agar supaya uang itu jumlahnya menjadi p1C4.CB4,44.

Modal sebesar p 95.555,% disimpan dengan bunga majemuk 15 Ltiap catur #ulan. 7itunglah nilai akhir modal itu setelah satu tahun.

9 7itung nilai akhir modal yang besarnya p 25.555,% diperbungakanselama 1 tahun 3 bulan atas dasar bunga majemuk 25 L tiapsetengah tahun.

6 7itunglah nilai tunai dari p 149.C55,% yang harus dibayarkan 2tahun bulan kemudian, dengan bunga majemuk 35 L setahun.

B 7itung nilai tunai uang p 255.555,% yang harus dibayar 4 tahun 2

bulan kemudian, apabila dasar bunga majemuk L setiap semester.4 +arilah nilai tunai dari p 295.555,% yang harus dibayar 9 tahun 2

bulan kemudian dengan bunga majemuk 2 1O2 L tiap tri#ulan.

#. Mode' 3ertumbu%an 3enduduk

!enerapan deret ukur yang paling konvensional di bidangekonomi adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk. 0ebagaimanapernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti

pola deret ukur. 0ecara matematik, hal ini dapat dirumuskan sebagai $Pt= P1 R t-1Dimana

21

ASA KEMAM34AN


22/37

1 r!1 jumlah pada tahun pertama 'basis(!t jumlah pada tahun ke%tr persentase pertumbuhan per%tahun

t indeks #aktu 'tahun(+ontoh 0oal 1.

!enduduk suatu kota berjumlah 1 juta pada tahun 1CC1, tingkatpertumbuhannya L per tahun. 7itunglah jumlah penduduk kotatersebut pada tahun 2556.

a#aban $

!1 1.555.555

r 5,5 1,5!2556 !16 1555555 '1,5(19

1.555.555 ' 1,455C3( 1.455.C3

+ontoh 0oal 2.

umlah penduduk kota pada tahun 1CC mencapai 2 juta ji#a.

"ila jumlah penduduk di kota tersebut meningkat dengan laju 2,9L

pertahun dan andaikan laju pertambhan itu tetap sebesar itu dalamsetiap tahunnya, tentukanlah banyaknya penduduk di kota pada

tahun 1CCC.

!enyelesaian $

!ertumbuhan penduduk pada dasarnya sama dengan pertambahantabungan yang disimpan di "ank. adi, apabila banyaknya pendudukmula%mula ! dengan tingkat kenaikan penduduk @L, sedangkan

banyaknya penduduk setelah t tahun adalah !t, maka tentunyabanyaknya penduduk pada saat t tahun adalah $

!t !'1 @(t

adi, dari soal di atas kita dapatkan, banyaknya penduduk di kota pada tahun 1CCC 'setelah 9 tahun( menjadi $

!9 2.555.555 '1 5,529(9

2 . 156. '1,529(9

Dengan bantuan kalkulator, kita dapatkan!9 2 . 156'1,529(9

2 . 156'1,131(22


23/37

2.262.416 'dibulatkan(.

0oal

1 !ada tahun 2515, jumlah penduduk Kabupaten & adalah 2B4.B1

ji#a. "erapakah perkiraan jumlah penduduk Kabupaten & padatahun 2525, jika diketahui laju pertumbuhan pendudukgeometriknya adalah 3,53 persen.

2 !ada tahun 2555, jumlah penduduk Kabupaten & adalah 256.B35ji#a. Kemudian pada tahun 2515, jumlah penduduk Kabupaten &menjadi 2B4.B1 ji#a. "erapakah laju pertumbuhan pendudukgeometrik Kabupaten & per tahunH

23


24/37

BAB III MATRIKS


cermat dalam bekerja menyelesaikan masalah kontekstual3.3 Memiliki dan menunjukkan rasa ingin tahu, motivasi internal, rasasenang dan tertarik dan percaya diri dalam melakukan kegiatanbelajar, ataupun memecahkan masalah nyata.

3. Menganalisa konsep dan sifat diagonal ruang, diagonal bidang,dan bidang diagonal dalam bangun ruang dimensi tiga sertamenerapkannya dalam memecahkan masalah.

3.9 Menggunakan berbagai prinsip dan sifat diagonal ruang, diagonalbidang, dan bidang diagonal dalam bangun ruang dimensi tiga sertamenerapkannya dalam memecahkan masalah.

!engalaman belajar3.1 Mengidenti/kasikan diagonal ruang, diagonal bidang, dan

bidang diagonal dalam bangun ruang dimensi tiga.3.2 Menemukan sifat diagonal ruang, diagonal bidang, dan

bidang diagonal dalm ruang dimensi tiga3.3 Menerapkan konsep dan sifat diagonal ruang, diagonal

bidang, dan bidang diagonal dalam memecahkan masalah.

Dalam kehidupan sehari%hari kita seing melihat benda%berbentuk balok,misalnya penghapus, pembungkus sabun mandi, dan lain sebagainya.Di dalam balok kita akan mengenal istilah diagonal bidang ataudiagonal sisi, diagonal ruang dan bidang diagonal.

A. Diagona' Bidang Ba'okDiagnal bidang s!at! bal" adala# r!as garis yang

$eng#!b!ng"an d!a titi" s!d!t yang ber#ada%an %ada setia% bidangata! sisi bal". ntuk memahami de/nisi tersebut coba perhatikanbidang >PQ pada gambar di ba#ah ini.

uas garis yang menghubungkan titik sudut > dan P serta dan

Q disebut diagonal bidang atau diagonal sisi. Dengan demikian, bidang>PQ mempunyai dua diagonal bidang, yaitu >P dan Q . adi, setiapbidang pada balok mempunyai dua diagonal bidang. Karena balok

2


25/37

memiliki 6 bidang sisi, maka bal" $e$ili"i 1& diagnal bidang ata!diagnal sisi. "agaimana cara menghitung panjang diagonal bidangatau diagonal sisi pada balokH

ntuk mencari panjang diagonal bidang atau sisi dapat

menggunakan teorema phytagoras. 0ekarang perhatikan gambar balokdi ba#ah ini.

Misalkan balok !R0.>PQ di atas memiliki panjang %, lebar l, dantinggi t. Maka panjang >P dapat dihitung dengan menggunakanteorema phytagoras, di mana segitiga >P siku%siku di . 0ehingga$

>P S'>2 P2(>P S'%2 l2(

ntuk lebih memantapkan pemahaman &nda tentang diagonal sisi,silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

#onto% Soa'. !erhatikan gambar di ba#ah berikut ini.

Diketahui panjang &" 12 cm, "+ 4 cm dan &I 9 cm. 7itunglah$a( panjang &Tb( panjang &+c( panjang &7Penyelesaian'

29


26/37

a( !anjang &T dapat dihitung dengan teorema phytagoras. !erhatikansegitiga &"T siku%siku di ", maka$&T S'&"2 "T2(&T S'122 92(&T S'1 29(&T S16C&T 13 cm

b( !erhatikan segitiga &"+ siku%siku di ", maka$&+ S'&"2 "+2(&T S'122 42(&T S'1 6(&T S254&T S13 cm

c( !erhatikan segitiga &I7 siku%siku di I, maka$&+ S'&I2 I72(&T S'92 42(&T S'29 6(

&T S4C cm

Diagona' Ruang Ba'okDiagnal r!ang %ada bal" adala# r!as garis yang

$eng#!b!ng"an d!a titi" s!d!t yang ber#ada%an dala$ s!at! r!ang .ntuk memahami de/nisi tersebut coba perhatikan gambar berikut diba#ah ini.

7ubungkan titik ! dan P, R dan Q, dan >, atau 0 dan . Uaris!P, garis RQ, garis >, dan garis 0 disebut diagonal ruang. Diagonal%diagonal ruang tersebut akan berpotongan di satu titik. 0uatu bal"

26


27/37

$e$ili"i e$%at b!a# diagnal r!ang yang sama panjang danberpotongan pada satu titik. "agaimana menghitung panjang diagonalruang balokH

0ama seperti mencari diagonal bidang, untuk mencari diagonal

ruang juga menggunakan teorema phyagoras. 0ekarang perhatikangambar di ba#ah ini.

Misalkan balok &"+D.ITU7 di atas memiliki panjang %, lebar l,dan tinggi t. Maka panjang &U dapat dihitung dengan menggunakanteorema phytagoras. >etapi sebelum itu harus cari panjang &+, di mana&+ merupakan diagonal sisi. 0ekarang perhatikan segitiga &"+ siku%siku di ". 0ehingga$&+ S'&"2 "+2(&+ S'%2 l2(

0ekarang cari panjang &U dengan teorema phytagoras juga. 0ekarangperhatikan segitiga &+U siku%siku di U. 0ehingga$&U S'&+2 +U2(&U S'S'%2 l2(2 t2(&U S'%2 l2 t2(

Misalkan diagonal ruang balok adalah d maka secara umum diagonalruang balok dapat dirumuskan$d S'%2 l2 t2(

ntuk lebih memantapkan pemahaman &nda tentang diagonal ruang,silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

#onto% Soa'0ebuah balok memiliki panjang 12 cm, lebar 4 cm dan tinggi cm.7itung berapa

Penyelesaian'd S'%2 l2 t2(d S'1&2 (2 )2(d S22d S1 cm

Bidang Diagona'

2B


28/37

Bidang diagnal s!at! bal" adala# bidang yang dibatasi le# d!ar!s!" dan d!a diagnal bidang s!at! bal"*ntuk memahami de/nisitersebut coba perhatikan balok !R0.>PQ pada gambar di ba#ah ini.

"idang !P> dan !QPR disebut bidang diagonal. adi balok memilikienam bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiappasangnya kongruen. "agaimana menghitung luas bidang diagonalH

ntuk menghitung luas bidang diagonal dapat menggunakan rumusluas persegi panjang. ntuk lebih memantapkan pemahaman &ndatentang diagonal ruang, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

#onto% Soa'!erhatikan gambar di ba#ah berikut ini.

Diketahui panjang &" 12 cm, "+ 4 cm dan &I 6 cm. 7itunglahluas bidang diagonal &"U7?Penyelesaiaan'

ika digambarkan akan tampak seperti gambar di ba#ah ini.

>erlebih dahulu harus cari panjang "U dengan teorema phytagoras."U S'"+2 +U2("U S'42 62("U S'6 36("U S155

"U 15 cm

24
http://mafia.mafiaol.com/2013/01/keliling-dan-luas-persegi-panjang.htmlhttp://mafia.mafiaol.com/2013/01/keliling-dan-luas-persegi-panjang.html


29/37

Guas bidang diagonal &"U7 dapat dicari dengan rumus persegipanjang, yakni$Guas &"U7 &" . "UGuas &"U7 12 cm . 15 cmGuas &"U7 125 cm2

10ebuah kubus KGM.V

2Kubus dengan panjang sisi 12 cm. >entukan

a( panjang diagonal bidang sisi kubusb( panjang diagonal ruang.

3. Kubus &"+D.ITU7 dengan panjang sisi 12 cm. >itik ! adalahperpotongan diagonal bidang &"+D. >entukan jarak titik ! ke titik U

. Diketahui kubus &"+D.ITU7 dengan panjang rusuk 6cm. arak titik "ke diagonal ruang &U adalahcm.

9. !risma segi 8 beraturan &"+D.ITU7 dengan rusuk 6 cm dan tinggiprisma 4 cm. >itik potong diagonal &+ dan "D adalah >, jarak titik Dke >7 cm.

6. Diketahui limas beraturan >.&"+D. !anjang rusuk alas 12 cm, danpanjang rusuk tegak 12S2 cm. arak & ke >+ adalah cm.

B. Diketahui "idang empat >.&"+ dengan &>, &" dan &+ saling tegaklurus di &. ika panjang &"&+&> 9 cm, maka jarak titik &kebidang >"+ adalah cm

4. !anjang rusuk kubus &"+D.ITU7 adalah 6 cm. ika 0 adalah titik

potong IU dan T7, maka jarak D7 ke &0 adalah cm.C. Diketahui kubus &"+D.ITU7 dengan panjang rusuk 6S3 cm. arak

bidang &+7 dan IU" adalah cm.

15. Diketahui bidang empat beraturan &"+D dengan panjang rusuk 4cm. Kosinus sudut antara bidang &"+ dan bidang &"D adalah .

2C

ASA KEMAM34AN


30/37

BAB I INTE5RA/ TENT4

Kompetensi Dasar.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yangdianutnya..2 Menghayati perilaku disiplin, sikap kerjasama, sikap kritis dan

cermat dalam bekerja menyelesaikan masalah kontekstual.3 Memiliki dan menunjukkan rasa ingin tahu, motivasi internal, rasasenang dan tertarik dan percaya diri dalam melakukan kegiatanbelajar, ataupun memecahkan masalah nyata.

. Memahami konsep jumalh ieman dan integral tentu suatu fungsidengan menggunakan fungsi%fungsi sederhana non negative.

.9 Menggunakan teorema fundamental Kalkulus untuk menemukanhubungan antara integral dalam integral tentu dan dalam integraltak tentu.

.6 Mengolah data dan membuat model fungsi sederhana nonnegative dari masalah nyata serta menginterpretasikan masalahdalam gambar dan menyelesaikan masalah dengan menggunakankonsep dan aturan integral tentu.

.B Mengajukan masalah nyata dan mengidenti/kasi sifatfundamental kalkulus dan integral tentu fungsi sederhan sertamenerapkannya dalam pemecahan masalah.

!engalaman "elajarMelalui pembelajaran integral tertentu, sis#a memperoleh pengalamanbelajar $1 Mengaproksimasi luas daerah dengan menggunakan jumlah

polygon%poligon 'segi empat(.2 Menemukan konsep jumlah iemann dengan menggunakan konsepsigma dan jumlah polygon polygon

3 Mende/nisikan integral tentu menggunakan konsep jumlah ieman.

&. INTE5RA/ TENT4

!erhatikan gambar di ba#ah ini $

Guas daerah dari * a hingga * b adalah G'b( 8 G'a( .. '1(

Guas 0>

h.f'*(

Documents

MODUL MTEMATIKA KELAS XII.docx