MODUL MATEMATIKA TA 2020 - 2021 By : IKA MARIANG, S · integral yang nilainya tak tentu. Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk menentukan nilai

MODUL MATEMATIKA TA 2020 - 2021

By : IKA MARIANG, S.Pd Email : [email protected]

YAYASAN TERANG BAGI SEJAHTERA BANGSA

PKBM TERANG BANGSA

Jl. Permata Hijau BB 11 Pondok Hasanudin, Semarang

Telp. (024)3581777

Email : [email protected]

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

Matematika Mahir 2.2

PKBM Terang Bangsa 2

BAB I INTEGRAL

A. INTEGRAL TENTU DAN INTEGRAL TAK TENTU

Integral adalah kebalikan dari turunan (diferensial). Oleh karena itu integral disebut

juga anti diferensial. Ada 2 macam integral, yaitu integral tentu dan integral tak tentu.

Integral tentu yaitu integral yang nilainya tertentu, sedangkan integral tak tentu, yaitu

integral yang nilainya tak tentu. Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang

nanti berguna untuk menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam

kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang,

menentukan volume benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral

tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang menggunakan

integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu

yang lain yang mempergunakannya.

1. INTEGRAL TAK TENTU

Karena integral merupakan kebalikan (invers) dari turunan, maka untuk menemukan

rumus integral kita beranjak dari turunan. Turunan suatu fungsi y = f(x) adalah y „ = f „

(x) atau dx

dy, sedangkan notasi integral dari suatu fungsi y = f(x) adalah

dxxfdxy )( yang dibaca “ integral y terhadap x ”.

Turunan suatu fungsi konstan adalah 0 atau integral 0 adalah suatu fungsi konstan,

biasanya diwakili oleh notasi c karena c melambangkan bilangan yang bisa ditempati

bilangan apa saja/ tak tentu.

Rumus umum integral dari naxy adalah cx

n

a n

1

1 atau ditulis :

cxn

adxax nn 1

1untuk 1n

Contoh 1 : Tentukan :

dxxxd

dxx

c

dxxxxxb

dxxa

2.

3

8.

27635.

2.

4

234

3



Penyelesaian :

cxcxdxxdxxxd

cx

cxdxxdxx

c

cxxxxxdxxxxxb

cxcxdxxa

2

5

2

5

2

3

3

34

4

2345234

443

5

4

2

5

222.

9

8

)3(3

8

3

8

3

8.

22

72

4

327635.

2

1

4

22.

LATIHAN SOAL

1. Integralkan !

dxxx

xxj

dxx

xxi

dxxxh

dxxxg

dxxf

dxxxxe

dxxxxxd

dxx

c

dxxb

dxxa

2

2

23

2

2

32

234

4

5

1.

45.

1.

6.

32.

8326.

75243.

1.

5.

2.

2. PEMAKAIAN INTEGRAL TAK TENTU

Pada integral tak tentu terdapat nilai konstanta c yang tidak tentu nilainya. Untuk

menentukan fungsi f dari suatu fungsi turunan, maka harus ada data yang lain sehingga

harga c dapat diketahui.

Contoh 1 : Diketahui f „(x) = 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan rumus f(x) !

Penyelesaian :

182.3)2(2

518)2(

32

5)35()(

2

2

cf

cxxdxxxf

18610 c

1816 c

2 c

Jadi 232

5)( 2 xxxf



Contoh 2 : Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang melalui titik

(3,4) ditentukan 583 2 xxdx

dy, maka tentukan persamaan/ rumus kurva

tersebut !

Penyelesaian :

43.53.434)3(

54)583()(

23

232

cf

cxxxdxxxxf

4153627 c

2 c

Jadi f(x) = 254 23 xxx

LATIHAN SOAL 1. Tentukan rumus f(x) jika diketahui :

a. f „(x) = 2x dan f(4) = 10

b. f „(x) = 8x – 3 dan f(-1) = 10

c. f „(x) = 2

2 1

xx dan f(1) =

3

1

2. Diketahui titik (3,2) terletak pada kurva dan gradien garis singgung di titik (x,y) pada

kurva tersebut didefinisikan 2x – 3. Tentukan persamaan kurva tersebut !

3. Kecepatan suatu benda bergerak dinyatakan oleh 1612)( 2 tttv . Setelah benda itu

bergerak 1 detik, jarak yang ditempuh 4 m. Tentukan persamaan gerak dari benda itu !

3. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI

Cara menentukan integral dengan menggunakan cara substitusi-1 yaitu dengan

mengubah bentuk integral tersebut ke bentuk lain dengan notasi lain yang lebih

sederhana sehingga mudah menyelesaikannya. Cara ini digunakan jika bagian yang satu

ada kaitan turunan dari bagian yang lain.

Contoh 1 :Tentukan integral dari :

dxxxa 102 )14(2.

Penyelesaian :

a. Misal : 14 2 xu

Maka:

x

dudx

xdx

du

8

8

Sehingga :

cxcuduux

duuxdxxx 112111010102 )14(

44

1

11.4

1

4

1

8..2)14(2



LATIHAN SOAL

Tentukan integral dari fungsi –fungsi berikut dengan menggunakan metode substitusi !

dxxx

dxxx

dxxx

dxx

dxx

dxx

dxx

2

432

62

5 3

4

5

5

66.7

512.6

44.5

42.4

15

2.3

46.2

32.1

4. INTEGRAL TENTU

Dirumuskan:

b

a

b

aaFbFxFdxxf )()()()(

Contoh 1 : Hitunglah

3

1

2 )13( dxxx

Penyelesaian:

1211.2133.232)143( 23233

1

23

3

1

2 xxxdxxx

LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilai integral di bawah ini :

2

1

2

1

1

2

4

0

1

2

2

3

0

1.

625.

12.

6.

4.

dxx

xe

dxxxd

dxxxc

dxxb

dxxa

2. Tentukan nilai a jika diketahui :



2

11.

18.

2

1

2

0

a

a

dxx

b

dxxa

3. Tentukan a jika

2

1

62 dxax

4. Tentukan nilai integral dari :

dxxd

dxx

c

dxxb

dxxa

3

2

5 3

1

0

4

2

2

5

5

3

1

42.

1

2.

46.

32.

5. Tunjukkan dengan arsiran, luas daerah yang dinyatakan dengan integral berikut :

2

2

3

3

3

2

3

2

2

4

0

.

4.

.

3.

dxxd

dxxc

dxxb

dxxa

B. LUAS BENDA PUTAR

1. DAERAH ANTARA BEBERAPA KURVA

Daerah antara dua kurva yaitu daerah yang dibatasi oleh dua kurva tersebut dengan

selang batas tertentu. Selang batas tersebut bisa batas yang ditentukan atau titik potong

kedua kurva tersebut.

Contoh 1 : Lukislah daerah antara garis y = x dan kurva 2xy !

Penyelesaian :

LATIHAN SOAL

Y

y = x2

y = x

1

X 1



Lukislah daerah antara beberapa kurva di bawah ini :

54,,82.8

4,12.7

.6

44.5

.4

2.3

3,.2

32,3,2.1

2

2

22

3

22

xdanxxxy

Xsumbudanxxy

xydanxy

xxydanxxy

xydanxy

xydanxy

ydanxyxy

ydanyxx

2. LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT

Luas daerah antara kurva y = f(x) dengan sumbu koordinat X pada selang bxa

dimana

daerahnya ada di atas sumbu X adalah :

b

a

dxxfL )(

daerahnya ada di bawah sumbu X adalah : b

a

dxxfL )(

Contoh 1 : Tentukan luas daerah antara kurva y = 3x , sumbu X , x = -1 dan x = 1 !

Penyelesaian : Y

-1 0 1 X

1

0

1

0

4

0

1

43

0

1

3

2

1)0

4

1()

4

10(

4

1

4

1xxdxxdxxL satuan luas.

LATIHAN SOAL

1. Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :

a. Y b. Y

y = x + 2 y = 2x

2

X

-2 0 2 X 0 3

Y y = 3x

c.

X

-4 4



2. Tentukan luas daerah antara kurva berikut dan sumbu koordinat atau garis yang

ditentukan :

a. 12 xy , sumbu X, x = -2 dan x = 3

b. 2xy , sumbu X, x = 0 dan x = 2

c. 12 xy dan sumbu X

3. LUAS ANTARA DUA KURVA

Untuk menentukan luas daerah antara dua kurva, kita berdasarkan luas antara kurva dan

sumbu koordinat.

Perhatikan gambar di bawah ini :

Y y = f(x)

y = g(x)

0 a b X

Jadi :

b

a

xgxfL )()(

Contoh 1: Tentukan luas daerah antara kurva xxy 32 dan y = 2x + 2 !

Penyelesaian :

Titik potong kedua kurva yaitu :

120)1(22232 xatauxxxxxx

Y

-2 1

0 X

2

14)2()3()22(

1

2

2

1

2

2

dxxxdxxxxL satuan luas.



LATIHAN SOAL 1. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :

a. b.

Y y = 2x

y = 2x Y

y = x

02X X

y = x 0 1

2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva berikut :

0134.

.

6,.

02.

2.

039.

2.

2

2

2

2

22

2

2

yxdanxxyg

xydanxyf

Ysumbudanxyxye

yxdanxyd

xxydanxyc

yxdanxyb

xydanxya



BAB 2

PROGRAM LINIER

A. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel Bentuk umum :

ax + by< c

ax + by> c

ax + by c

ax + by c

x, y adalah variabel

a, b, dan c R

Contoh : Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 4y 8

Jawab :

Langkah I: Menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y dengan membuat

tabel sbb :

x 0 4

y 2 0

Jadi titik potong dengan sumbu x (4,0) dan dengan sumbu y (0,2)

Langkah II: Sketsa koordinatnya

DP

Langkah III: Dari gambar diatas terlihat bahwa daerah penyelesaian (DP) untuk

pertidaksamaan 2x + 4y 8

B. Menentukan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan liniear

dengan dua variabel. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah gabungan dua atau lebih

pertidaksamaan linear dua variabel.

Contoh :

Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear

x + y 5

x + 2y 6

x 0

y 0

Jawab :

x + y 5

x 0 5

y 5 0

4

2

x

y



x + 2y 6

x 0 6

y 3 0

DP

Tugas I

1. Gambarlah pada bidang cartesius, himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

linear berikut :

a. 3x + y 6, 5x + 4y 20, x 0, y 0

b. 2x + y 10, 3x + 2y 18, x 0, y 0

2. Tulislah sistem pertidaksamaan dari daerah penyelesaian berikut :

a.

DP

B. Menentukan fungsi tujuan dan kendala dari program linear Program linear adalah suat metode atau suatu cara untuk memecahkan masalah

menjadi optimal (maksimum atau minimum) yang memuat batasan-batasan yang dapat

diubah atau diterjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Penyelesaian

pertidaksamaan linear terdapat dalam daerah himpunan penyelesaian. Dari beberapa

penyelesaian terdapat satu penyelesaian terbaik yang selanjutnya disebut penyelesaian

optimum dari suatu fungsi. Fungsi ini disebut dengan fungsi tujuan atau objektif.

Model matematika adalah rumusan matematika yang berupa persamaan,

pertidaksamaan, atau fungsi yang diperoleh dari hasil penafsiran atau terjemahan suatu

masalah ke dalam bahasa matematika.

x

y

6 5

5

3

x

y

6 4

6 5



Contoh :

Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas 48 buah tempat duduk yang terbagi dalam

dua kelas yaitu kelas A dan kelas B. Setiap penumpang kelas A diberi hak yaitu

membawa barang 60 kg, sedang penumpang kelas B diberi hak membawa barang hanya

20 kg, tempat bagasi paling banyak dapat memuat 1440 kg. Bila banyaknya penumpang

kelas A sebanyak x orang sedang kelas B sebanyak y orang. Tentukan model

matematikanya.

Jawab :

Langkah I: Terjemahkan ke dalam model matematika

Kelas A Kelas B

Bagasi 60 kg 20 kg

Penumpang x orang y orang

Langkah II: Ubah model matematika ke pertidaksamaan linear

Bagasi : 60x + 20y 1440 3x + y 72

Penumpang : x + y 48

Banyak penumpang tidak pernah negatif : x 0, y 0

Sehingga diperoleh model matematikanya adalah :

3x + y 72

x + y 48

x 0

y 0

Tugas II

1. Suatu perusahaan merencanakan membangun rumah untuk 600 orang. Banyaknya rumah

yang akan dibangun tidak lebih dari 120 buah. Rumah jenis I biaya sewanya Rp.

100.000,- tiap bulan dan ditempati 4 orang, rumah jenis II biaya sewanya Rp. 125.000,-

tiap bulan dan ditempati oleh 6 orang. Buatlah model matematikanya.

2. Sebuah pabrik membuat sepeda motor dan sepeda gunung setiap bulan dapat membuat

sebanyak-banyaknya 100 sepeda gunung, sedangkan sepeda motor dapat dibuat

sedikitnya 20 buah dan sebanyak-banyaknya 70 buah tiap bulan. Kapasitas produksi

pabrik sebanyak-banyaknya 150 buah kendaraan dalam sebulan. Jika harga setiap sepeda

motor 5 juta rupiah dan harga sepeda gunung 1 juta rupiah.

a. Buatlah model matematikanya

b. Tentukan daerah penyelesaian yang sesuai

3. Seorang petani memerlukan zat kimia unsur A, B, dan C sebanyak 60 kg, 120 kg, dan 50

kg untuk memupuk kebun sayurnya. Dalam setiap kaleng pupuk cair mengandung zat A

= 1 kg, zat B = 3 kg, dan zat C = 1 kg. Pupuk kering tiap kantong mengandung zat A =

2kg, zat B = 2 kg, dan zat C = 1 kg. Harga 1 kantong pupuk cair Rp. 30.000,- sedangkan

pupuk kering Rp. 25.000,-

a. Buatlah model matematikanya

b. Tentukan daerah penyelesaiannya

4. Seorang tukang parkir mengelola lahan parkir seluas 588 m2, diperuntukkan untuk

menampung kendaraan jenis bus dan sedan. Luas rata-rata untuk parkir bus adalah 24

m2, sedangkan untuk sedan memerlukan 6 m

2. Lahan parkir tersebut tidak mampu

menampung sedan dan bus melebihi 38 kendaraan. Tentukan model matematika dari

permasalahan diatas.



4. Menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan (fungsi objektif) dengan

metode uji titik pojok. Fungsi tujuan atau objektif dapat dinotasikan f(x,y) = ax + by.

Nilai optimum dari bentuk f(x,y) = ax + by dilakukan dengan cara menghitung nilai

f(x,y) = ax + by untuk setiap titik pojok (titik sudut) dari daerah penyelesaian (DP),

kemudian dibandingkan yang selanjutnya ditetapkan nilai terbesar sebagai nilai

maksimum dan nilai terkecil sebagai nilai minimum.

Contoh :

Seorang pedagang mempunyai dagangan beras merk A dan merk B. Beras A dibeli

dengan harga Rp. 6000,- per kg dan dijual dengan laba Rp. 400,- per kg, sedangkan

beras B dibeli dengan harga Rp. 3000,- per kg dan dijual dengan laba Rp. 300,- per kg.

Pedagang itu hanya mempunyai modal Rp. 240.000,- dan kiosnya hanya dapat

menampung paling banyak 500 kg beras.

a. Berapakah banyak beras A dan B yang harus dibeli agar mendapat untung yang

sebanyak-banyaknya (maksimum)

b. Tentukan besar keuntungan maksimumnya

Jawab :

Langkah I: Terjemahkan ke dalam model matematikanya

Beras Jumlah Harga Laba

A x 6000 400

B y 3000 300

Persediaan 500 240.000

Langkah II: Tentukan fungsi tujuan: Untung = 400x + 300y

Langkah III: Ubah model matematika ke sistem pertidaksamaan linearnya :

x + y 500

6000x + 3000y 240.000 2x + y 800

x 0

y 0

Langkah IV: Sketsa grafik dan tentukan daerah himpunan penyelesaian

x + y = 500

X 0 500

Y 500 0

2x + y = 800

X 0 400

Y 800 0



DP

Langkah V: Temukan masing-masing titik pojok daerah penyelesaian grafik di atas:

Eliminasi persamaan (1) dan (2)

x + y = 500

2x + y = 800

- x = - 300

x = 300

y = 200

Dengan metode uji titik pojok, ditentukan keuntungan maksimum dengan tabel sbb :

Titik pojok Untung = 400x + 300y

(0, 0) 0 + 0 = 0

(400, 0) 160.000 + 0 = 160.000

(300, 200) 120.000 + 60.000 = 180.000

(0, 500) 0 + 150.000 = 150.000

Berdasarkan tabel diatas, diperoleh keuntungan maksimum yang dapat dicapai adalah

180.000, dengan rokok A yang dibeli sebanyak 300 bungkus, dan rokok B sebanyak 200

bungkus.

Tugas III

1. Seorang pedagang roti mempunyai modal 400.000,-. Roti jenis A dibeli dengan

harga 1000,- dan roti jenis B dibeli dengan harga 500,-. Sedangkan tempat roti hanya

mampu menampung tidak lebih dari 500 buah. Keuntungan tiap roti jenis A 200,-

dan keuntungan tiap roti jenis B 150,-.

a. Hitunglah keuntungan sebanyak-banyaknya.

b. Berapa sebaiknya roti jenis A dan jenis B yang harus dibeli agar pedagang

mendapat keuntungan yang sebanyak-banyaknya.

2. Seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual apel dan pisang.

Harga pembelian pisang 4.000,- per kg dan apel 10.000, - per kg. Penjaja buah

tersebut mempunyai modal 2.500.000,-. Sedangkan muatan gerobak tidak melebihi

400 kg. Jika keuntungan tiap kg apel 2 kali keuntungan tiap kg pisang. Berapa kg

apel dan pisang yang harus dibeli agar keuntungan yang diperoleh maksimum.

x

y

500 400

800

500

x + y = 500

2x + y = 800



BAB 3

M A T R I K S BBB

A. PENGERTIAN DAN NOTASI MATRIKS

1. PENGERTIAN BARIS, KOLOM DAN ELEMEN SUATU MATRIKS

Matriks yaitu himpunan bilangan-bilangan yang tersusun menurut baris dan kolom

berbentuk persegi panjang dan ditulis diantara tanda kurung ( ) atau [ ].

Nama matriks dengan menggunakan huruf besar. Elemen-elemen suatu matriks

dengan huruf kecil sesuai nama matriks dengan indeks sesuai letak elemennya.

Contoh 1: Diketahui matriks A =

240

533

421

Tentukan :

a. banyak baris d. elemen-elemen kolom ke-3

b. banyak kolom e. 2.3b

c. elemen-elemen baris ke-2 f. 3.1b

Penyelesaian :

a. banyak baris = 3 baris

b. banyak kolom = 3 kolom

c. celemen-elemen baris ke-2 = 3, 3, - 5

d. elemen-elemen kolom ke-3 = 4, - 5, - 2

e. 2.3b = elemen baris ke-3 kolom ke-2 = - 4

f. 3.1b = elemen baris ke-1 kolom ke-3 = 4

2. ORDO MATRIKS

Yaitu banyaknya baris dan kolom yang menyatakan suatu matriks.

mxnA artinya matriks A berordo m x n yaitu banyaknya baris m buah dan banyaknya

kolom n buah.

Contoh 3: Diketahui

3205

4231P

Tentukan ordo matriks P!

Penyelesaian : Ordo matriks P = 2 x 4

3. JENIS-JENIS MATRIKS

1. Matriks Nol

Yaitu matriks yang setiap elemennya nol.

Misal :

00

00A



2. Matriks Baris

Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris

Misal : 3201B

3. Matriks Kolom

Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom.

Misal :

0

1

2

C

4. Matriks Bujur sangkar

Yaitu suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

Ordo matriks n x n sering disingkat dengan n saja.

Misal :

032

120

321

D

5. Matriks Diagonal

Yaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen-elemen diagonal

utamanya.

Misal :

300

020

001

E

6. Matriks Satuan (Identitas)

Yaitu matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, dan elemen

lainnya nol.

Misal :

100

010

001

F

7. Matriks Skalar

Yaitu matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya sama, tetapi

bukan nol dan semua elemen lainnya nol.

Misal :

300

030

003

G

8. Matriks Segitiga Atas

Yaitu matriks yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol.

Misal :

500

410

312

H

9. Matriks Segitiga Bawah

Yaitu matriks yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol.

Misal :

231

044

003

K



LATIHAN SOAL

1. Diketahui

53101

35230

54211

P

Tentukan :

a. elemen-elemen baris ke-2

b. elemen-elemen kolom ke-2

c. elemen-elemen kolom ke-4

d. elemen baris ke-1 kolom ke-3

e. elemen baris ke-3 kolom ke-5

f. ordo P

4. KESAMAAN DUA MATRIKS

Dua matriks dikatakan sama jika ordo dan elemen-elemen yang seletak sama.

Contoh 1: Mana matriks yang sama ?

43

21A

31

42B

43

21C

229

41D

Penyelesaian : Matriks yang sama yaitu matriks Adan C

Contoh 2: Tentukan x dan y dari

52

3

50

13

y

x

Penyelesaian : x = 1

2y = 0y = 0

5. TRANSPOSE MATRIKS

Transpose (putaran) matriks A yaitu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan

menukarkan elemen-elemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya elemen-elemen

pada kolom menjadi baris.

Transpose matriks A dinyatakan dengan TA

Contoh 3: Jika

654

321P maka tentukan TP

Penyelesaian :

63

52

41TP



LATIHAN SOAL

1. Tentukan x dan y dari :

a.

52

93

58

33

y

x b.

xy

x

0

14

30

12

1

c.

35

24

32

14

x

xy

x

y d.

4

12

yx

yx

2. Tentukan transposenya dari :

a.

054

321A b.

521

305

124

B

B. OPERASI MATRIKS

1. PENJUMLAHAN MATRIKS

Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Yang dijumlahkan yaitu elemen-

elemen yang seletak.

Contoh : Jika

21

43A dan

50

23B maka tentukan A + B

Penyelesaian : A + B = …

Sifat-sifat penjumlahan matriks :

1. A + B = B + A (bersifat komutatif)

2. A + (B + C) = (A + B) + C (bersifat asosiatif)

3. A + O = O + A = A (O matriks identitas dari penjumlahan)

4. A + (-A) = (-A) + A = O (-A matriks invers penjumlahan)

2. PENGURANGAN MATRIKS

Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Yang dikurangkan elemen-

elemen yang seletak.

Contoh 4: Jika

41

32A dan

53

14B , maka tentukan :

a. A – B b. B – A

Penyelesaian : a. A – B = …

b. B – A = …



Sifat-sifat Pengurangan matriks :

1. A – B B – A (tidak komutatif)

2. A – (B – C) = (A – B) – C (asosiatif)

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakanlah !

a.

5

3

2

10 b.

510

43

51

12

c. 312

5

d.

74

32

51

20

e.

753

143

824

315

2. Tentukan a, b, c dan d dari :

a.

11

30

51

48

dc

ba

b.

51

04

53

24

dcc

aba

3. PERKALIAN MATRIKS

3.1 PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL (SKALAR)

Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah sebuah

matriks yang berordo m x n dengan elemen-elemennya adalah hasil kali skalar k dengan

setiap elemen matriks A.

Contoh : Jika

31

24A dan

13

46B maka tentukan :

a. 2(A + B) b. 2A + 2B c. 2(3A) d. 6A

Penyelesaian : a. 2(A + B) = …

b. 2A + 2B = …

c. 2(3A) = …

d. 6A = …

Sifat-sifat perkalian skalar k dengan suatu matriks :

k(A + B) = kA + kB



3.2 PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS

Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A (matriks

kiri) sama dengan jumlah baris matriks B (matriks kanan).

Ordo hasil perkalian matriks mxnA dengan nxpB , misalnya matriks C yang akan berordo

mxp (seperti permainan domino).

Cara mengalikan matriks A dan B yaitu dengan menjumlahkan setiap perkalian

elemen pada baris matriks A dengan elemen kolom matriks B dan hasilnya diletakkan

sesuai dengan baris dan kolom pada matriks C (matriks hasil perkalian).

Misal :

dc

baA dan

usq

trpB maka :

AB =

usq

trp

dc

ba =

ductdscrdqcp

buatbsarbqap

Contoh 1: Diketahui 53,4

2,

43

21

CBA dan

87

65D .

Terntukan :

a. AB b. AC c. AD

Penyelesaian : a. AB = …

b. AC tidak dapat dikalikan, karena …

c. AD = …

Sifat-sifat perkalian matriks :

1. Umumnya tidak komutatif (AB BA)

2. Asosiatif : (AB)C = A(BC)

3. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC

Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA

4. Identitas : IA = AI = A

5. k(AB) = (kA)B

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakan !

a.

2

543 b.

40

1321

c.

1

5

14

30 d.

12

53

01

43

e.

332

514

421

207

364

125



2. Jika

243

021A dan

00

11

24

B maka tentukan :

a. TBA)( b.

TAB)(

C. INVERS MATRIKS

1. INVERS MATRIKS ORDO 2 x 2

ac

bd

bcadA

11

ad – bc disebut Determinan (D) atau A atau det(A).

Jadi bcadAAD )det( .

Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A disebut matriks

singular. Jika ad – bc 0 maka matriks A disebut matriks Non Singular.

Contoh 1: Tentukan determinan

15

32A

Penyelesaian : ....A

Contoh 2: Tentukan invers dari

13

25P

Penyelesaian : ....1 P

Jika ada persamaan matriks berbentuk :

AX = B maka X BA 1 X= matriks yang belum diketahui nilainya

XA = B maka X = 1BA

LATIHAN SOAL

1. Tentukan inversnya ! (jika ada)

a.

35

11A b.

04

15B c.

63

84C d.

58

610D

2. Tentukan matriks X jika :

a.

1514

58

02

54X b.

12

34

43

21X

2. DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 x 3

Cara menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 dengan menggunakan diagram

SARRUS, yaitu :

1. Salin kolom ke-1 dan ke-2 pada kolom ke-4 dan ke-5



2. Kurangkan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke bawah dengan jumlah

perkalian elemen-elemen pada diagonal ke atas.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

det (A) =

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

A

= ( ….. ) + ( …. ) + ( …. ) – ( … ) - ( … ) – ( … )

Contoh 1: Jika

341

431

321

P maka tentukan P

Penyelesaian :

........

........

........

............

............

............

P = …

=

LATIHAN SOAL

1. Tentukan determinan dari :

a.

130

123

021

A b.

211

033

124

B c.

214

301

425

C



BAB 4

BARISAN DAN DERET BILANGAN

Kalian pasti pernah ke bioskop bukan? Jika kalian memperhatikan, di setiap

kursi pada bioskop terdapat nomor-nomor yang berurutan. Misalkan nomor pada

kursi-kursi tersebut dimulai dari 1 sampai 100. Itu berarti, bilangan-bilangan pada

kursi-kursi tersebut berurutan dari 1 sampai 100.

Jarak dari setiap bilangan berurutan pada kursi-kursi tersebut adalah 1. Jarak

antar bilangan berurutan ini menunjukkan selisih antarbilangan, sehingga selisih

antara bilangan pertama dan kedua adalah 1 -0 = 1, Selisih antara bilangan kedua dan

ketiga adalah 2 - 1 = 1, dan seterusnya sehingga selisih antarbilangan pada kursi

tersebut adalah 1.

Bilangan-bilangan berurutan seperti pada kursi-kursi di bioskop ini memiliki

selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu

barisan bilangan. Barisan bilangan seperti ini disebut Barisan Aritmetika dengan

selisih setiap dua suku berurutannya disebut beda (b).

Bentuk umumnya barisan aritmetika adalah sebagai berikut :

Pada kursi-kursi tersebut, suku pertamanya 1, maka ditulis U1 = 0. Suku keduanya, U2

= 1. Beda antara suku pertama dan suku kedua adalah U2 - U1 = 1. Begitu seterusnya,

sehingga dapat dikatakan beda suku ke-n dengan suku sebelumnya adalah Un- Un-1

=1.

Sehingga dari sini diperoleh :

Jika suatu barisan aritmetika dimulai dari suku pertama a dengan beda/ selisih b,

maka didapatkan barisan seperti di bawah ini

. . . .

U1,U2,U3, . . . .,Un atau

a, (a+ b), (a+ 2b), . . . ., (a+ (n-1)b)

Un – Un-1 = b sehingga Un = Un-1 + b

Mulai dari

suku pertama

(a)

Dijumlahkan

dengan beda

(b)

Tuliskan

jumlahnya

a a+b a+2b a+3b a+(n-1)b

U1 U2 U3 U4 Un

+ b

+ b

+

b

+

b



Dari skema di atas, kita dapat melihat bahwa Un = a+(n-1)b

Jika setiap suku pada barisan aritmetika dijumlahkan maka diperoleh Deret

Aritmetika.

Deret aritmetika disimbolkan dengan Sn.

Bentuk umum dari Deret Aritmetika adalah:

U1+ U2 + U3 + . . . .+ Un atau

a + (a+ b) + (a+ 2b) + . . . . + (a+ (n-1)b)

Barisan dan Deret Geometri

Fajar memiliki sebuah kertas BC seperti gambar di bawah ini

Dia melipat kertas BC tersebut menjadi 2 bagian yang sama besar

Kemudian kertas BC yang telah terlipat 2 ini dilipat lagi menjadi 2 bagian yang sama

besar

Suku ke-n barisan aritmetika adalah Un = a+ (n-1) b

Dimana Un = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda

n - 1= banyaknya suku dikurangi 1

Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah :

Sn = 𝒏

𝟐 (2a + (n-1)b) atau

𝒏

𝟐 𝒂+ 𝑼𝒏

Dimana Sn = jumlah suku ke-n

n = banyaknya suku

a = suku pertama

b = beda

Un = suku ke-n



Kertas BC ini terus dilipat menjadi 2 bagian yang sama besar. Setelah melipat ini,

hasil lipatannya selalu dibuka sehingga terlihat bahwa kertas BC tersebut terbagi

menjadi 2 bagian sebelumnya.

Bagian kertas BC tersebut membentuk sebuah barisan bilangan seperti di bawah ini:

. . . .

Setiap suku berurutan dari barisan bilangan tersebut memiliki perbandingan yang

sama, yaitu 𝑈2

𝑈1=

𝑈3

𝑈2= ⋯ =

𝑈𝑛

𝑈𝑛−1= 2

Barisan bilangan seperti ini disebut Barisan Geometridengan perbandingan setiap dua

suku berurutannya dinamakan rasio (r).

Pada barisan geometri berlaku 𝑈𝑛

𝑈𝑛−1= 𝑟 sehingga Un = r Un-1

1 2 4

U1 U2 U3

Mulai dari

suku pertama

(a)

Dikalikan

dengan rasio

(r)

Tuliskan hasil

kalinya

a ar ar2 ar

3 ar

n-1

U1 U2 U3 U4 Un

x r x r

x r

x r

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah Sn= 𝒂 𝟏−𝒓𝒏

𝟏−𝒓 , |r| < 1

Suku ke-n barisan geometri adalah Un = arn-1

Dimana Un = suku ke-n

a = suku pertama

r = rasio

n - 1 = banyaknya suku dikurangi 1



I. Pilihlah satu jawaban yang tepat!

1. Jumlah ke-10 dari barisan : 3, 5, 7, 9, ….adalah ….

a. 11 b. 15 c. 19 d. 21 e. 27

2. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 2,5 meter danmemantul dengan ketinggian 3/5 kali

tinggi semula. Dansetiap kali memantul berikutnya, mencapai ketinggian 3/5kali

tinggi pantulan sebelumnya. Maka jarak lintasanbola sampai bola berhenti adalah ….

a. 5,5 m b. 7,2 m c. 9 m d. 12,5 m e. 10 m

3. Dalam deret geometri diketahui suku ke-2 = 10 dan suku ke-5 = 1250. Jumlah n suku

pertama deret tersebut adalah ….

a. 2(5n-1) b. 2(4

n) c.½ (5

n-1) d. ½ (5

n-1) e. ¼ (5

n-1)

4. Jumlah n suku yang pertama dari deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = 3n2 – 5n.

Beda dari deret tersebut adalah….

a. -6 b. -4 c. 2 d. 4 e. 160 m

5. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri dirumuskan dengan Sn = 23n-1

. Rasio deret

tersebut adalah...

a. 8 b. 7 c. 4 d. -1/8 e. -8

II. Jawablah pertanyaan berikut dengan jelas dan tepat!

1. Pertambahan penduduk di kota Kendal tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri.

Pada tahun 2000 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 2002 sebanyak 54 orang.

Hitunglah pertambahan penduduk pada tahun 2005!

2. Sardi menumpuk batu batako dalam bentuk barisan. Banyaknya batako pada baris

pertama lebih banyak satu batako dari banyaknya batako pada baris di atasnya.

Tumpukan batako dimulai dari 200 batako pada baris pertama dan baris terakhir satu

batako. Hitunglah jumlah semua batako yang ditumpuk!

3. Berdasarkan survei, populasi burung camarbertambah menjadi empat kali lipat setiap5

tahun. Jika pada tahun 2010 populasiburung camaradalah 640 ekor, berapakahpopulasi

burung camar tersebut pada tahun 2000?

4. Grafik hasil produksi suatu pabrik per tahun merupakan suatu garis lurus. Jika

produksi pada tahun pertama 150 unit dan pada tahun ketiga 190, tentukanlah produksi

tahun ke-10!

5. Falentine membeli barang kredit seharga Rp880.000,00. Ia melakukan pembayaran

dengan diangsur berturut-turut setiap bulan sebesar Rp25.000,00, Rp27.000,00,

Rp29.000,00, demikian seterusnya. Berapa lamakah kredit barang tersebut akan lunas?

LATIHAN

SOAL

Documents

MODUL MATEMATIKA TA 2020 - 2021 By : IKA MARIANG, S · integral yang nilainya tak tentu. Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk menentukan nilai