1

Modelování zajištění v rámci rezerv a solventnosti v neživotní pojišťovně

Radka TrchováReserving and Actuarial Analysis

Allianz Elementar, Austria

2

Agenda

• Zajištění v rezervovacích modelech

• Model uvažující jednotlivé škody

• Parametrizace modelu

• Simulace

• Zajištění

• Optimalizace zajištění

• Závěr

3

Základní rezervovací metody v praxi

• V praxi se užívají obvykle dvě metody– Užití známých modelů na data očištěná o zajištění– Užití známých modelů pro hrubé škody a následné užití

proporcionální metody

• Známé modely– Deterministické

• Chain ladder • Bornhütter-Fergusson• ...

– Stochastické• Over Dispersed Poisson• Mack metoda• ...

4

Příklad – brutto Chain LadderAY 0 1 2

2004 10 15 17.52004 20 30 352004 - 15 17.52005 10 152005 20 302005 - 152006 102006 20

AY 0 1 22004 30 60 702005 30 602006 30

AY 0 1 2 Res2004 30 60 70 02005 30 60 70 102006 30 60 70 40

50

Trojúhelník jednotlivých zapl. škod

Kumulativní trojúhelník zapl. škod

Chain Ladder faktory

Doplněný kumulativní trojúhelník

Překpokládejme, že v každém roce vzniknou 3 škody:

•2 škody mají první platbu hned•1 škoda má první platbu až v 2. roce

Máme dva typy škod:•malá škoda: 10 15 17.5 •velká škoda: 20 30 35

Metoda Chain Ladder dává odhad škodní rezervy ve výši 50.

AY 0 1c_j 2.00 1.17

5

Příklad – netto Chain Ladderprio AY 0 1 220 2004 10 15 17.520 2004 20 20 2020 2004 - 15 17.520 2005 10 1520 2005 20 2020 2005 - 15- 2006 10- 2006 20

AY 0 1 22004 30 50 552005 30 502006 30

AY 0 1 2 Res2004 30 50 55 02005 30 50 55 52006 30 50 55 25

30

AY 0 1c_j 1.67 1.10

Trojúhelník jednotlivých zapl. škod

Kumulativní trojúhelník zapl. škod

Chain Ladder faktory

Doplněný kumulativní trojúhelník

Překpokládejme zajištění:•XL-zajištění s prioritou 20 v letech

2004, 2005•Žádné zajištění (nebo XL-zajištění s

prioritou např. 40) v roce 2006

Metoda Chain Ladder aplikovaná na trojúhelník čistých škod dává odhad škodní rezervy ve výši 30.

6

Příklad – netto úvahou

AY 0 1 2 Res2004 30 60 70 02005 30 60 70 102006 30 60 70 40

50

AY 0 1 2 Res2004 30 50 55 02005 30 50 55 52006 30 50 55 25

30

AY 0 1 2 Res2004 30 60 70 02005 30 60 55 52006 30 60 70 40

45

Brutto Chain Ladder Netto Chain Ladder

Úvaha: Pro rok 2006 užijeme odhad metodou Chain Ladder pro hrubé škody, protože v tomto roce není zajištění

Metoda Chain Ladder užitá na trojúhelník čistých škod pododhaduje škodní rezervu o 33%.Předpoklady metody CL nejsou splněny (nezávislost výv. faktorů na roce vzniku škody).

7

Příklad – proporcionální metoda

AY 0 1 22004 20 20 17.52004 35 35 352004 - 20 17.52005 20 202005 35 352005 - 202006 202006 35

Trojúhelník jednotlivých hlášených škod

Hlášené hrubé škody: 200 Hlášené čisté škody: 170

Individuální rezerva brutto: 40 Individuální rezerva netto: 35

Podíl netto individuální rezervy: 35/40 = 0.875

Netto IBNR rezerva = 0.875*50 = 43.75

Překpokládejme že • malé škody jsou rezervovány 20

(princip obezřetnosti) a v posledním výv. Roce jsou opraveny na konečnou hodnotu 17.5

• velké škody jsou rezervovány 35 (přesnější analýza škody)

Proporcionální metoda dává odhad netto rezervy 43.75, což je jen o 2.8% nižší než odhad úvahou.

8

Výpočet netto rezerv - problémy

• Chain Ladder metoda aplikovaná na trojúhelník čistých škod• Předpoklad metody nezávislosti vývojových faktorů není splněn

• Proporcionální metoda je zavislá na politice individuálních rezerv, která se v průběhu času mění

• Při modelování celého rozdělení škodní rezervy je situace ještě horší

V praxi je situace mnohem složitější• Zajistná struktura a parametry se mohou měnit každý rok• Zajištění se obvykle mění v průběhu pojistného cyklu• Předpoklady modelů nejsou často splněny již pro hrubé škody a je nutno

metody upravit na základě bližší informace

Problémy

Potřebujeme model, který zajištění lépe zohledňuje

9

Intuitivní úvahaPro modelování jednotlivých škod užijeme kolektivní model

lkjsj

lkjs

lkjs EdYY ,1,,,,1,

~)1(1

jsrjYXj

l

N

k

lkjsjs

ls

,...,0,,...,0,0

~

1,,,

,

Kde

s Rok vzniku škody

j Vývojový rok

Počet škod vzniklých v roce s a hlášených poprvé ve vývojovém roce j

Jednotlivé škody

Pro jednotlivé škody užít multiplikativní model

jsN ,

~

kjsY ,,

l Vývojový rok první platby

10

Model pro počty škodKumulativní trojuhelník počtů škod

Inkrementální počty škod

Model

11

Model pro počty škod

Z předpokladu Poissonova rozdělení plyne

Střední hodnota

Variance

12

Model pro počty škod

Pro střední hodnotu konečného počtu škod lze rekurzivně odvodit

Podobně lze odvodit pro rozptyl

Rozptyl konečného počtu škod je lineární funkcí Nt-j,j

13

Model pro výše škodIntuitivní úvaha spočívá v užití multiplikativního modelu

lkjs

lkjs YY ,,,1,

pro škody, které se již v trojuhelníku objevily.Pro Ẽl

s,j+1,k předpokládáme, že mají střední hodnotu 1, stejné druhé a třetí momenty pro stejné j,k,l a nezávisí na Yl

s,j,k

Problém: pro uzavřené škody máme

lkjsj

lkjs

lkjs EdYY ,1,,,,1,

~)1(1

Zavedeme veličinu Jls,j,k, která indikuje, zda je škoda otevřená

pokud je škoda Yls,j,k na konci výv. roku j otevřená

pokud je škoda Yls,j,k na konci výv. roku j uzavřená

Ẽls,j+1,k = 0 závislost na stavu Yl

s,j,k

14

Model pro výše škod

Zavedeme pravděpodobnosti uzavření škody qj+1 ve vývojovém roce j

Podobně pro škody mající první platbu

Snadno se ukáže

Pomocí Jls,j,k lze model pro otevřené i uzavřené škody vyjádřit jako

s pstís pstí

s pstís pstí

15

Celkový model

jlrjYXj

l

N

k

lkjsjs

ls

,...,0,,...,0,0

~

1,,,

,

Pro škody již se v trojuhelníku vyskytující lze pak užít multiplikativní model z předpokladu

Rozdělením na škody mající první platbu do vývojového roku j a škody mající první platbu ve výv. roce j+1 dostáváme pro Xs,j+1

16

Celkový modelCelkové škody lze také rozložit na otevřené a uzavřené

kde pro škody otevřené máme

a pro škody ouzavřené máme

17

Celkový modelOznačme Is,j informaci o škodách z roku s dostupnou ve vývojovém roce j

Máme tedy

Snadno se ukáže

a pro otevřené škody

18

Celkový model

První člen je roven

což je díky rovno

a to je rovno

Druhý člen je střední hodnota složeného Poissonova rozdělení

19

RezervaNediskontovaná rezerva bez bezpečnostní přirážky má tvar

Střední hodnota v sumě se vyjádří pomocí vložených středních hodnot

Dosazením za vnitřní střední hodnotu dostáváme

což je rovno

Rekurze

20

Rezerva

Očekávané budoucí platby na škody, které již měly platbu

Očekávané platby na škody, které ještě platbu neměly

Koeficienty

se zkládají pouze z deterministicých parametrů modelu

, kum. výv. faktory,

21

Parametrizace – malé škody

Trojuhelník malých zaplacených škod

Pro přesnější parametrizaci velkých škod rozdělíme škody na malé a velké

Pro malé škody užijeme model

22

Parametrizace – malé škodyVývojové faktory

Výběr vývojových faktorů

23

Parametrizace – malé škody

Small losses development factors - Tail factors

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08

1.10

1.12

1.14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

development year

c_j Weibull fit Power fit Exponential fit Sherman fit

Koncové faktory

Suma kvadratických odchylek:

24

Malé škody v 0-tém vývojovém roce

Small losses in development year 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X_

t,0

in M

io.

accident year

U malých škod v nultém vývojovém roce lze pozorovat cyklus

Dobrý odhad dává polynom čtvrtého stupně

25

Parametrizace – počty škod

b_j - Tail factors

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

development year

b_j Weibull fit Power fit Exponential fit Sherman fit

Parametr lambda se stanoví metodou momentů

Suma kvadratických odchylek:

26

Parametrizace – výše škodLarge loss development factors - Tail factors

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

development year

d_j Weibull fit Power fit Exponential fit Sherman fit

Momenty pro výši první platby předpokládáme LN-rozdělení

dj se stanoví jako vhodný vážený průměr ds,j

Opticky nejlepší koncový faktor dává exponenciální křivka, která má však největší kvadratickou odchylku (důvodem je špatný fit v prvním vývojovém roce)

27

Parametrizace – pst zavření škody

Probabilities of closing a large claim

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

development year

Pro pozdější vývojové roky je k dispozici poměrně málo pozorování

Významný je především rozdíl pro nultý vývojový rokOd pátého vývojového roku předpokládáme hodnotu 0.35

28

Chybové členy

Histogram of large loss development error terms

0

50

100

150

200

250

300

0 <=0.5 <=1 <=1.5 <=2 <=2.5 <=3 <=3.5 <=4 <=4.5 <=5 <=10 <=20 >20

Interval

E_

s,j+

1,k

^l

Chybové členy vývoje malých škod

Chybové členy vývoje velkých škod

Histogram of logarithm of large loss dev. error terms

0

5

10

15

20

25

30

35

<=-4<=-3.5

<=-3<=-2.5

<=-2<=-1.5

<=-1<=-0.5

<0 <0.5<=1

<=1.5

<=2<=2.5

<=3>3

Interval

nu

mb

er

of

ln(E

_s

,j+1

,k^

l)

Histogram chybových členů velkých škod

U velkých škod se často vyskytují roky, kdy není učiněna žádná platba a hodnota chybového členu je rovna nule.

29

Celková brutto rezervaRozdělení celkové brutto rezervy bylo stanoveno pomocí 1000 simulací

lkjsj

lkjs

lkjs EdYY ,1,,,,1,

~)1(1

Počty škod byly simulovány dle modelu

Výše nových škod byly simulovány pomocí LN-rozdělení, uzavření škod dle 0-1 rozdělení a vývoj otevřených škod dle

Rozdělení celkové rezervy je relativně symetrické

30

Rezerva dle roku vzniku škody

• Dle očekávání roste rezerva s rokem vzniku škody

• Nejnižší rezerva je pro roky nejvíce vypořádané

Velká škoda – požár tunelové lanovky Kaprun – postihla více pojistitelů

31

Sm. odchylky a variační koeficienty

Směrodatná odchylka stoupá s rokem vzniku škody

Směrodatná odchylka klesá s rokem vzniku škody

1. škoda

1. škoda2. škoda

2. škoda

32

Rozdělení rezervy jednotl. let vzniku škody

Rozdělení rezerv v jednotlivých letech vzniku škody jsou výrazně méně symetrické

33

Model – Škody netto

Kvóta (Q%)

Z = (1-Q%)S

XL Zajištění (L xs P)

Yi = min(max(Xi – P, 0), L)

Navíc dodatečné zajistné - reinstatements

SL Zajištění (L xs P)

Z = min(max(S – P, 0), L)

34

Zajistný efekt

Vlastnosti

LN-rozdělení:

Pareto:

35

Netto rezerva při XL-zajištění

Rezerva na škody, které již měly platbu Rezerva na škody budoucí

Zajistný efekt

Budoucí vývoj

Budoucí vývoj

36

Netto rezerva při XL-zajištěnídeterministický odhad

37

Netto rezerva při SL-zajištění

Zajistný efekt

Užíváme prioritu očištěnou o škody, které jsou při It-j,j uzavřené

Platby, které již byly učiněné

38

Model s XL-zajištěním

Rozdělení netto rezervy má kratší pravý konec – menší pravděpodobnost velkého škodního úhrnu

39

Model s XL-zajištěním

Distribuční funkce netto rezervy konverguje dříve k 1(je posunuta více doleva)

40

Kalkulace rizikového kapitáluVývoj rizikové rezervy

Pmtt+1 jsou platby za škody v čase t+1

Výše rizikového kapitálu se stanoví z požadavku

Pro odhad v jednokrokovém modelu lze užít NP2 aproximace

Bt+1 je pojistné placené na konci roku, F = 1+i, G = 1+(1-)i, je průměrná doba plateb za škody a ut je výše alokovaného kapitálu na konci roku t

Je třeba odvodit příslušné střední hodnoty

41

Simulace rizikového kapitáluZ požadavku

plyne

Po úpravě dostaneme

Při označení

máme

Simulujeme veličinu a hodnota u je příslušný kvantilZde již potřebujeme předpoklady o rozdělení výší škod a chybových členů

42

Economic value added (EVA)Economic value added je definována jako hospodářský výsledek po odečtení nákladů na kapitál

Cost of capital je tvořeno bezrizikovou úrokovou mírou plus přirážka

Hospodářský výsledek je dle našeho modelu

Neboli součet výsledku z pojistné činnosti a úroku z kapitálu

EVA lze tedy vyjádřit také jako

43

Return on Equity (ROE)

Return on equity je definován jako hospodářský výsledek v procentech kapitálu

Z předchozích úvah plyne vztah mezi EVA a ROE

Snadno tedy plyne, že pojistitel produkuje kladnou přidanou hodnotu (EVA) právě tehdy, když jeho return on equity přesahuje jeho náklady na kapitál

44

Reinsurance EVA

Přidaná hodnota ze zajištění je rozdílem přidané hodnoty brutto a netto

Snadno se ukáže, že to je rovno ušetřeným nákladům z ušětřeného kapitálu po odečtení nákladů na zajištění

Ušetřený kapitál:

Náklady na zajištění jsou opakem výsledku zajistitele:

Snadno se ukáže

45

Efficient frontier

IST

uIST Capital (u)

Res

ultU

W

ResultIST

EVA

uIST*iCoC

Efficient frontierMax EVA

EVA>0

46

Výhody modelu

• Intenzivnější užití dat• Explicitní zohlednění zajištění• Možnost implementace aproximativní verze v

Excelu• Možnost rozšíření o další typy rizik, především

investiční riziko (total balance sheet view)

47

Problémy

• Dostupnost dat• Velké množství parametrů, riziko odhadu parametrů• Model je nutné rozšířit o odhad rizika parametrů• Model je nutné zozšířit o modelování více

obchodních odvětví včetně závislostí mezi nimi

48

Další oblasti vývoje

• Snížení množství parametrů např. Užitím parametrických funkcí

• Modelování rizika paramerů• Modelování více obchodních linek a závislostí

mezi nimi• Rozšíření modelu o investiční riziko a úvěrové

riziko ze zajištění• Testování modelu na velkém množství dat v praxi