Modelos booleanos de regulación genética

Modelos booleanosde regulación genética

Modelos booleanosde regulación genética

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Extendiendo el paradigmaExtendiendo el paradigmaExtendiendo el paradigmaExtendiendo el paradigma

hematocitos célula muscularneurona

A pesar de tener el mismo genoma, las células pueden ser muy distintas.

Además, puede estar haciendo cosas distintas en un momento y en otro.

Redes de regulaciónRedes de regulaciónRedes de regulaciónRedes de regulación

•Lo que distingue la naturaleza y estado de una célula son las moléculas que contiene.

•En relación al genoma, lo que interesa es qué genes están siendo expresados, y en qué cantidad.

IonChannels

Receptors

TranscriptionFactors

Ligands

ELECTROPHYSIOLOGY

Extracellularspace

Cytoplasm

NucleusTranslation + processing

cis sites

IntracellularSignaling

GeneticRegulatoryNetwork

mRNA


Para modelar la relación entre todas esas entidades, se han propuesto diversos modelos, con distintos:

•Niveles de continuidad (variables binarias, discretas, continuas)•Niveles de estocasticidad (deterministas o probabilistas)

...que a su vez los hacen diferir en

•Realismo•Cantidad de parámetros (cantidad de datos!)

Así que hay desde redes booleanas hasta ecuaciones diferenciales parciales estocásticas.


En estos modelos las entidades pueden ser:

•Moléculas (proteínas, RNA, etc.)

•Componentes celulares

•Condiciones ambientales

•Reacciones químicas

•Etc.


Y las interacciones pueden ser:

•Transformación en una reacción

•Relación catalítica

•Regulación de transcripción

•Regulación de traducción

•Activación / desactivación

•Etc...



Para entender una célula, habría que entender algo así:


Aún estamos muy lejos.

Los modelos funcionales hoy en día no pasan en general de una docena de nodos (entidades).

Para hacernos una idea del tipo de comportamiento y dificultades que aparecen, hablaremos del tipo más simple de modelo: redes booleanas.


Asumimos:

-estados binarios para las entidades (nodos)

-funciones booleanas para las relaciones

Por lo general también se asume iteración paralela (todos los nodos se actualizan al mismo tiempo).

Redes booleanasRedes booleanasRedes booleanasRedes booleanas

AND

NOT

NAND

Ventajas:

•Permiten analizar comportamientos cualitativos de la red•Su construcción requiere relativamente pocos datos.

Desventajas:

•No es cuantitativo•No puede modelar señales con intensidad variable•Ergo, no es realista.•Es difícil incluir el “ruido” (azar) del sistema vivo.


Ventajas:

•Permiten analizar comportamientos cualitativos de la red•Su construcción requiere relativamente pocos datos.

Desventajas:

•No es cuantitativo•No puede modelar señales con intensidad variable•Ergo, no es realista.•Es difícil incluir el “ruido” (azar) del sistema vivo.


Las redes booleanas son el caso más simple de redes de autómatas (MEF puestas en un grafo).

Las podemos ver como un digrafo (G,V) con estados booleanos en los nodos, y funciones de actualización que dependen de los nodos incidentes.

O como funciones F:{0,1}n{0,1}n.

Modo de iteración: en el caso más simple, es paralelo (síncrono) todos los nodos se iteran a la vez, así que simplemente se aplica F.


Como el sistema es finito, siempre caemos en ciclos de algún largo p (es decir, un punto fijo de Fp).

Y podemos visualizar ciclos y transientes haciendo el grafo de transiciones del sistema.


f1 = x4

f2 = x4 x3

f3 = x2 x4

f4 = x2 x1 x3

Grafo de transicionesGrafo de transicionesGrafo de transicionesGrafo de transiciones


Nota: la cantidad de estados del sistema es 2n

crece exponencialmente con n

Hay una serie de problemas NP duros asociados a la dinámica.

•Por ejemplo: dada una RB, encontrar un punto fijo.

NP completo.


Aparte de la iteración más simple (paralela, determinística), se usan varias alternativas.

•Iteración secuencial: iteramos primero el nodo 1, luego el 2, ..., hasta el n-ésimo, y luego volvemos al 1.

•Iteración por bloques: le asignamos a cada nodo un bloque de iteración, y ponemos un orden a esos bloques. Iteramos los bloques uno después de otro, pero cada bloque se itera en paralelo.

Modos de iteraciónModos de iteraciónModos de iteraciónModos de iteración

Eso agota las opciones determinísticas que iteran todos los nodos 1 y sólo 1 vez por vuelta.

Alternativas probabilistas:

•Iteración asíncrona: en cada paso escogemos un nodo al azar y lo iteramos.

•Combinaciones varias.


Nota:

•los puntos fijos no dependen del modo de iteración.

Ergo, el cambio en el modo de iteración afecta sólo los ciclos y transientes del sistema.

En lo que sigue asumiré iteración paralela, salvo que se indique otra cosa.


Conviene distinguir algunos tipos de funciones booleanas que aparecen al modelar (y le dan a la red dinámicas particulares).

•Funciones de umbral: se pueden escribir como

Tipos de funcionesTipos de funcionesTipos de funcionesTipos de funciones

no si0

1),,,( 21

ij

jji

ni

xwxxxf

donde los wij son pesos y los i son umbrales.

Es el tipo de función que aparece en las redes neuronales discretas.

Funciones canalizadoras: existe algún input que, con un valor, determina el resultado. Si está en el otro valor, no lo determina.


•Canalizadoras anidadas: existe un orden en los inputs; uno es canalizador, en su defecto el siguiente lo es, etc.

En general las funciones canalizadoras aumentan la estabilidad de la dinámica.

Una red canalizadora anidada


f1 = x4

f2 = x4 x3

f3 = x2 x4

f4 = x2 x1 x3

•Funciones monótonas: fi es monótona en el input j si se verifica siempre


),,,,1,,,(),,,,0,,,( 111111 njjinjji xxxxfxxxxf

Una red en que todas las funciones son monótonas en todos sus argumentos tiene la gracia de que se pueden asociar signos a los arcos: el efecto de un nodo sobre otro siempre es, ora positivo (+1), ora negativo (-1).

Nota: tanto las funciones de umbral como las canalizadoras son monótonas.

o si se verifica siempre la desigualdad contraria (monótona creciente, o decreciente).


f1 = x2

f2 = (x1 x3)f3 = x1 (x2 x3)

•Ejemplo de red con funciones monótonas:

Un circuito de largo L es un camino cerrado en el grafo: xc(1)xc(2)...xc(L), (xc(i),xc(i+1))V para todo i, (xc(L),xc(1))V

Así que tiene L nodos, y L arcos. Es simple si no repite nodos.

Decimos que un circuito es positivo si el producto de los signos de sus arcos es +1, y negativo en caso contrario.

Circuitos positivos y negativosCircuitos positivos y negativosCircuitos positivos y negativosCircuitos positivos y negativos

Circuitos simples:Negativos: 1 2 1 3 2 2 3Positivos: 3

Un circuito representa una acción de un estado sobre si mismo (feedback loop).

La presencia de circuitos positivos está asociada a la existencia de atractores múltiples (en un atractor, el nodo está "bajo" y se refuerza así; en el otro, está "alto")

"multiestacionaridad"

La presencia de circuitos negativos está asociada a la estabilidad (si el valor está alto, tiende a bajo, y viceversa)

"homeostasis"

Circuitos positivos y negativosCircuitos positivos y negativosCircuitos positivos y negativosCircuitos positivos y negativos

Algunos problemas clásicos:

•Analizar la dinámica (atractores, estabilidad, etc.) de una red dada.

•Estudio estadístico de clases de redes (definidas a través de su conectividad, topología, tipo de funciones, etc.)

•Reconstrucción de redes a partir de información parcial sobre su dinámica (atractores, algunas interacciones, ...)

Problemas de estudio típicosProblemas de estudio típicosProblemas de estudio típicosProblemas de estudio típicos

Estudio estadístico clásico: Random Boolean Networks (RBN), o "redes de Kauffman".

Stuart Kauffman, ~1969

Redes booleanas aleatoriasRedes booleanas aleatoriasRedes booleanas aleatoriasRedes booleanas aleatorias

Las redes son determinísticas.

Lo "random" viene de su generación aleatoria, para estudiar estadísticamente el comportamiento.

Preguntas (entre otras): •¿Qué tanta estabilidad sale de la estructura de la red?•Entender los roles relativos del azar y de la selección natural en la construcción de las GRN.

Modelo NK:

•N nodos•K inputs por nodo (desde otros nodos), al azar•Funciones booleanas escogidas al azar

Para N=8, k=2, ~270 redes distintas (muchas equivalentes, pero aún así, hartas).


Encuentra varios tipos de comportamiento:

Orden ( k = 1 )

•La mayoría de los nodos se puede perturbar, sin modificar el atractor alcanzado.

•Perturbaciones pequeñas provocan cambios pequeños.

•Casi todos los nodos se estabilizan rápido.

•El atractor alcanzado es corto, O(1). La cantidad de atractores es O(2N).


Caos ( k 3 ):

•Muy sensible a perturbaciones: cambios pequeños se amplifican exponencialmente.

•Pocos nodos se estabilizan.

•Pocos atractores, pero largos: O(2N)

[recordar que 2N es el tamaño del espacio de configuraciones, "espacio de fase" para los físicos]


Pero para k = 2:

•Sensibilidad intermedia a perturbaciones: Algunos cambios afectan poco, otros afectan harto.

•Muchos nodos se estabilizan, pero persisten "zonas de actividad".

[Si se dibuja la red poniendo cerca los nodos que están linkeados, lo que se ve son "islas" de actividad dentro de un "mar" de nodos constantes.]


Pero para k = 2:

•Ciclos límite no son largos, duran O(n) pasos.

•Cantidad de atractores también escala como O(n).

Hay una reducción efectiva del espacio de fase:

Para n=100, de 2100 configuraciones posibles, el sistema "escoge" quedarse en ~10 atractores, de largo ~10 un conjunto de 100 configuraciones!


k=2 es aprox. el promedio en redes de regulación genética reales.

Kauffman identifica los atractores con tipos de células, alcanzados después de la diferenciación (glóbulos blancos, neuronas, etc.), y el transiente con el proceso de desarrollo.

Para las cantidades de genes, y la cantidad de tipos de células, que se estimaban en los 70, cuadraban las cantidades.


Más tarde se ha visto que habían problemas:

•La cantidad de tipos celulares estaba sub-estimada.

•La cantidad de genes estaba sobreestimada.

•Hay más formas de regulación (y más compleja) que lo que se suponía.

•La topología no parece ser aleatoria, y su estructura específica parece ser relevante para la dinámica. Sobre eso, volveremos.

Pero de todos modos lo de Kauffman fue una buena aproximación, y hasta hoy es punto de referencia.


¿Qué tiene de especial k=2 ?

Un cálculo vía aproximación "mean field" (cosas de físicos, tomar el promedio de los estados y las interacciones).

Consideremos dos configuraciones iniciales X e Y que están a distancia de Hamming D.

•En promedio, cada nodo controla (incide sobre) k nodos.

•En promedio, las nodos que difieren entre X e Y controlan kD nodos.



•En cada uno de esos nodos cuya preimagen diferirá entre X e Y, hay probabilidad ½ de que eso afecte el nuevo valor.

•Por lo tanto en promedio los nodos que diferirán entre F(X) y F(Y) serán kD/2.

La distancia entre Ft(X) y Ft(Y) será


YXDkYFXFD

ttt ,

2)(),(



YXDkYFXFD

ttt ,

2)(),(

•Para k<2, las órbitas se acercan.

•Para k>2, se alejan exponencialmente.

•k=2 es el valor crítico: la distancia no se mantendrá constante, pero dependerá de fluctuaciones locales no capturadas por esta aproximación mean field.

Nota: sólo se supuso que k era el grado promedio.Los experimentos confirman esto: basta que la cantidad promedio de inputs sea k.

Complicando un poco más el modelo:

Supongamos ahora que al escoger la función booleana al azar, no se toma probabilidad ½ de 1 y 0 en cada item de la tabla, sino probabilidad p de poner un 1.

En tal caso k=2 ya no es crítico. Un desarrollo un poco más complicado [ver el apunte de Gross] muestra que en ese caso


)1(21pp

kc


Los dibujos ilustran la dinámica para distintos regímenes (horizontal: nodos; vertical hacia arriba: tiempo).

Derrida y Pomeau (1986) hicieron este análisis, y mostraron que efectivamente hay un cambio de fase en la frontera entre el orden y el caos.

[En realidad lo demostraron suponiendo que las funciones se vuelven a escoger al azar a cada vuelta; sin embargo mostraron después que para N el comportamiento coincide con el usual (funciones escogidas sólo al comienzo)].


¿Por qué k=2 en las redes biológicas? ¿Por qué la vida escogió (al parecer) el borde del caos?

k>2:•la dinámica se vuelve inestable: malo para una célula!

La selección natural lo eliminará.

k<2: •hay poca flexibilidad•poco orden, con O(2N) atractores•además, hay "espacio" para agregar conexiones

La selección natural hara crecer k.


El efecto de perturbaciones en la red (N,2) sigue leyes de potencia:

•muchas con poco efecto (típicamente, entre 80 y 95%)

•unas pocas con grandes efectos.

Es el régimen óptimo para el procesamiento de la información:

•hay donde guardarla (a diferencia del caso caótico)

•y tiene como propagarse (a diferencia del caso ordenado, donde perturbaciones pequeñas sólo provocan cambios pequeños).


Pero volviendo al caso de los genes: ¿qué tan sencillo es modelar fenómenos biológicos con RB?

Problemas:

•A veces simplemente no se puede (pero en ese caso es útil demostrar que no se puede, i.e., mostrar que el comportamiento del sistema requiere un modelo de otro tipo).

•Por lo general no se tiene información completa, así que hay que resolver alguna forma del problema inverso (RB, dados los atractores, y algunas interacciones conocidas).

Redes de regulación génicaRedes de regulación génicaRedes de regulación génicaRedes de regulación génica

Ejemplo: cascada de la caspasa, generando apoptosis (muerte celular).

Típico mono de paper biológico. ¿Bastará modelar booleanamente las interacciones?


En este caso al parecer sí: el modelo "booleanizado" permitió predecir de manera efectiva el efecto de dos posibles medicamentos para intervenir en el proceso.


Otro caso (un modelo "clásico"): formación de la flor en Arabidopsis thaliana


Cuatro zonas, concéntricas

correspondientes a los traslapes de tres genes

Fenotipos mutantes


A C

sepa

lse

pal

carp

elca

rpel

BC

carp

elst

amen

stam

enca

rpel

BA

sepa

lpe

tal

peta

lse

pal

A

sepa

lse

pal

sepa

lse

pal

Red de Mendoza et al.

B

A

C

•Red booleana, funciones tipo umbral


•Iteración por bloques


Cuadraba, pero no predecía todos los fenotipos experimentales.


A la izquierda, una red más reciente para el mismo caso.

No sólo agrega nodos: además algunos tienen tres estados.

Se está trabajando en otra mucho mayor.

Recordemos cómo era la topología que usó Kauffman:

•Cada nodo recibe input desde k nodos, al azar.

La importancia de la topologíaLa importancia de la topologíaLa importancia de la topologíaLa importancia de la topología

•Ergo, el grado de entrada de los nodos es k, y el de salida es una binomial con media k. Ó, aproximando, una Poisson de parámetro k.

•No hay nodos "escogidos", que se salgan mucho de la norma.

•No hay grupos de nodos que estén especialmente conectados entre sí. Es "todos con todos".

No es realista. Incluso en 1970 se sabía que:

•Algunos grupos de genes interactúan más entre sí, que con el resto de lo genes de la célula.

•Algunos genes regulan mucho más que la media (proteínas que se dedican a regular "factores de transcripción).

La duda era: esos rasgos de la topología, ¿influirán en la dinámica?

No había teoría. Ni modelos alternativos para un grafo aleatorio.


Veamos un ejemplo para una dinámica bastante simple.

•k = 7.

•Función booleana idéntica en todos los nodos:

•Sea s la suma de los 7 inputs en el tiempo t•En t+1 paso a 1 si 1 s 6, a 0 si s =0 ó s =7.

•Evalúo, después de cada iteración, la proporción de nodos que están en 1.

•Los siguientes gráficos son con N=10.000


Resultado: caótico.


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

De hecho, si hacemos una aproximación mean field se ve que para r% de 1's en tiempo t, la proporción en t+1 es 1-(1-r)7-r7.

Y se demuestra que la función r1-(1-r)7-r7 es caótica (como lo era la logística de parámetro 4).

Como la regla es homogénea, podemos aplicarla como autómata celular. Es decir, irnos al extremo contrario e imponer una topología completamente regular.


Ponemos entonces los N nodos en un círculo, y cada uno recibirá input de sus tres vecinos en cada dirección (y de sí mismo). La función es la misma.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 3 5 7 9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

Resultado: orden! [La fluctuación es un efecto del tamaño finito; tiende a desaparecer con N].

Son casos extremos, por cierto.

¿Cómo podemos interpolar entre un caso y otro?

•Introducimos un parámetro p en la construcción de la red.

•Asignamos los 7 inputs más cercanos, como en el segundo caso.

•"Repensamos" ahora cada uno de ellos. Con probabilidad p, lo reasignamos de modo que venga de un nodo escogido al azar.

Con p=1, tenemos el primer caso (grafo aleatorio).

Con p=0, tenemos el segundo (malla regular).


p = 0.3


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 3 5 7 9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

p = 0.45


p

% d

e 1

's

Diagrama hecho con N=1.500.000.

Moralejas:

•Incluso para funciones muy simples, la topología puede ser decisiva para la dinámica.

•Hay diferencia entre un grafo aleatorio, y uno en que haya algún nivel de orden.

•Puede haber sensibilidad dinámica a variaciones pequeñas en un parámetro que define la topología.

Y eso que el caso que vimos no se metió con otras formas de modificar la topología; por ejemplo, el modelo siguió siendo "democrático" (no había nodos especialmente conectados).


Redes complejasRedes complejasRedes complejasRedes complejas

Redes complejasRedes complejasRedes complejasRedes complejas

•El énfasis pasa definitivamente a la topología.•Incluso sin dinámica (sin “T”) las características de la topología son tema de estudio (no trivial; reciente; hot).

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