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MODELO IMPEDÂNCIA E CÁLCULO DE REDES Professor: Lissandro Brito Viena e-mail: [email protected] [email protected] Site: www.ifba.edu.br/professores/lissandro. - PowerPoint PPT Presentation
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1 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
MODELO IMPEDÂNCIA E CÁLCULO DE REDES
Professor: Lissandro Brito Viena e-mail: [email protected]
[email protected] Site: www.ifba.edu.br/professores/lissandro
2 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Vimos que a matriz admitância de barra é esparsa e possui muitos elementos nulos. Vimos também que a matriz admitância de barra pode ser construída ramo por ramo de admitâncias primitivas.
A matriz impedância de barra pode ser construída elemento por elemento usando algoritmos simples para incorporá um elemento por vez na representação do sistema.
O trabalho empregado na construção da matriz impedância de barra é muito maior que o trabalho empregado na construção da matriz admitância de barra.
3 de
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Entretanto o conteúdo de informação matriz impedância de barra é maior do que a da admitância de barra.
Veremos que cada elemento da diagonal da matriz impedância de barra reflete características importantes de todo sistema na forma da impedância de Thevénin da barra correspondente.
A matriz admitância de barra é amplamente usada no fluxo de potência, enquanto a matriz impedância de barra favorece a análise de faltas.
4 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
A matriz impedância e a matriz admitância de barra
Por definição:
Para uma rede de três nós independentes a forma padrão é:
Para compreender o significado físico das várias impedâncias da matriz, faremos uma comparação com a admitância de barra.
1bus busZ Y
11 12 13
bus 21 22 23
31 32 33
Z Z ZZ Z Z Z
Z Z Z
5 de
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Partindo com as equações nodais fornecidas por:
E com relação a barra 2 :
Se as tensões nas barras 1 e 3 são nulas curto-circuitando as barras 1 e 3 ao nó de referência e a tensão V2 é aplicada a barra 2 de tal forma que a corrente I2 entra na barra 2, então a admitância própria da barra 2 é:
bus bus busI Y V
2 21 1 22 2 23 3I Y V Y V Y V
1 3
222 V V 0
2
IY |V
6 de
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A admitância própria de uma barra particular deve ser medida colocando em curto todas as barras e então encontrando a razão entre a corrente injetada na barra pela tensão aplicada na mesma.
7 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
O resultado equivale a adicionar todas as admitâncias conectadas diretamente a barra, que é o procedimento quando não existem admitâncias mútuas.
8 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Já os termos fora da diagonal principal podem ser calculados através da seguinte forma.
Por definição Y12 é a razão do negativo da corrente da corrente deixando a rede no nó em curto (1) pela tensão V2. O negativo da corrente deixando a rede é utilizada desde que I1 é definida como a corrente entrando na rede.
A admitância resultante é o negativo da admitância conectada diretamente entre as barras (1) e (2).
1 3
1 11 1 12 2 13 3
112 V V 0
2
I Y V Y V Y VIY |V
9 de
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Para resolver a equação abaixo:
Observe que V e I são vetores colunas de tensão das barras e de corrente entrando nas barras a partir de fontes de corrente.
bus bus
bus
1 1bus
bus
bus
I Y V
Y I Y Y V
Z I VV Z I
10 de
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Expandindo a equação abaixo:
Considerando a equação da barra 2.
busV Z I
1 11 1 12 2 13 3
2 21 1 22 2 23 3
3 31 1 32 2 33 3
V Z I Z I Z IV Z I Z I Z IV Z I Z I Z I
1 3
2 21 1 22 2 23 3
222 I I 0
2
V Z I Z I Z IVZ |I
11 de
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O circuito é mostrado na figura abaixo:
12 de
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É possível medir a impedância de transferência entre quaisquer duas barras da seguinte maneira:
Por exemplo, Z12 :
As fontes de corrente I1 e I3 devem ser abertas.
Já Z32 :
1 11 1 12 2 13 3V Z I Z I Z I
1 3
1 11 1 12 2 13 3
112 I I 0
2
V Z I Z I Z IVZ |I
1 3
3 31 1 32 2 33 3
332 I I 0
2
V Z I Z I Z IVZ |I
13 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
O Teorema de Thévenin e Zbus
Iremos examinar a relação entre os elementos da impedância de barra e a impedância de Thévenin apresentada pela rede em cada uma de suas barras.
Para estabelecer a notação, denota-se as tensões de barra correspondentes aos valores iniciais de correntes de barra por I0 .
Quando as correntes de barra são modificadas de seus valores iniciais para os novos valores:
o obusV Z I
oI I I
14 de
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As novas tensões de barra são fornecidas pelo princípio da superposição:
Em que representa as variações nas tensões de barra de seus valores originais. Considere o seguinte esquema:
o obus bus busV Z I I Z I Z I
Vo ΔV
ΔV
15 de
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Considere o seguinte esquema:
Inicialmente consideramos que o circuito não está energizado de maneira que as correntes de barra I0 e as tensões correspondentes V0 são nulas.
16 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Então para dentro da barra (k) uma corrente ΔIk é injetada em direção ao sistema a partir de uma fonte de corrente conectada ao nó de referência.
Pelo princípio da superposição, haverá variação de tensão em cada barra do sistema por causa da variação da corrente injetada na barra (k).
Essa variação é dada através de um vetor:
0
o obus bus bus
VV 0
bus
V Z I I Z I Z I
V Z I
17 de
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Expandindo:
0
o obus bus bus
VV 0
bus
V Z I I Z I Z I
V Z I
18 de
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Simplificando as equações anteriores:
Supondo agora que as tensões de barras iniciais são não nulas, podemos adicionar essas variações na tensão de cada barra resultando na tensão final após a variação da corrente injetada na barra (k).
19 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
A tensão na barra (k) adquire um novo valor dado por:
O circuito correspondente a essa equação é mostrado abaixo:
0k k kk kV V Z I
20 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
A tensão na barra (k) adquire um novo valor dado por:
Conclusão importante:
A impedância Zkk = Zth corresponde à impedância de Thévenin entre a barra (k) e a referência.
0k k kk kV V Z I
21 de
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De maneira similar podemos determinar a impedância de Thévenin entre quaisquer duas barras (j) e (k).
Supomos que as correntes de barra são nulas para facilitar os cálculos.
22 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Em função das correntes injetadas nas barras (j) e (k), as tensões das barras sofrerão variações.
23 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Adicionando as variações de tensão nas barras (j) e (k) resulta em:
Colocando em (1) e em (2)
O circuito equivalente é mostrado a seguir:
0j j jj j jk k
0k k kj j kk k
V V Z I Z I
V V Z I Z I
(1)
(2)
jk j jk jZ I Z I kj k kj kZ I Z I
0j j jj jk j jk k j
0k k kj j k kk jk k
V V Z Z I Z I I
V V Z I I Z Z I
24 de
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O circuito equivalente é mostrado a seguir:
25 de
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O circuito da figura do slide anterior representa o circuito equivalente de Thévenin do sistema entre as barras (j) e (k).
Por inspeção, a tensão de circuito aberto da barra (k) para a barra (j):
E a impedância encontrada colocando um curto da barra (k) para a barra (j) é a impedância de Thévenin entre as barras (j) e (k):
0 0kj j k
0 0kj k j
V V V 0
V V V
th, jk jj kk jkZ Z Z 2Z
26 de
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Ao colocar uma impedância Zb entre as barras (k) e (j), a corrente é dada por:
0 0k j k j
bth, jk b b
V V V VI
Z Z Z
27 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
EXEMPLO 1:
28 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Para o sistema anterior, as equações através da matriz admitância nodal são dadas por:
Podemos encontrar as tensões de barra invertendo a matriz admitância nodal, além da própria matriz impedância de barra que relaciona as tensões de barra com as respectivas fontes de corrente.
29 de
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Zbus
30 de
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EXEMPLO 2: Um capacitor com reatância igual a 5 pu é conectado entre o nó de referência e a barra (4) do circuito exemplo 1. As tensões iniciais e as correspondentes correntes injetadas nas barras (3) e (4) foram definidas anteriormente. Encontre a corrente recebida pelo capacitor.
Solução: Não é preciso estudar todo circuito para analisar essa situação. Podemos simplificar o circuito e estudá-lo apenas com o equivalente de Thévenin na barra de interesse, que é a barra (4).
31 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
O circuito equivalente de Thévenin na barra (4) é constituído por uma fem interna (tensão de Thévenin) em série com a impedância equivalente de Thévenin entre a barra (4) e o nó de referência.
A tensão é a tensão da barra (4) antes da conexão do capacitor. A impedância de Thévenin Z44 na barra (4) completa o equivalente de Thévenin.
0 o4V 0,94866 20,7466
32 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
A corrente recebida pelo capacitor é dada por:
Essa corrente recebida pelo capacitor pode ser interpretada como o negativo da corrente injetada na barra (4). Considerando que , então as outras barras sofrerão mudanças em suas tensões devido à variação de corrente na barra (4).
44 cap
0 o4
capeq
Z Z
V 0,94866 20,7466I 0,22056 69,2534 puZ j0,6989 j5
4 capI I
33 de
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Modificação de uma matriz impedância de barra existente
Através do uso do circuito equivalente de Thévenin e de uma Zbus existente é possível encontrar novas tensões de barra após a adição de um novo ramo sem que ter que encontrar uma nova matriz impedância de barra.
Examinaremos como uma matriz impedância de barra existente pode ser modificada para adicionar novas barras ou conectar novas linhas as barras existentes.
34 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
É possível reconhecer diversos tipos de modificações pelas quais um ramo com impedância Zb é adicionada em uma rede com a matriz impedância de barra conhecida. A matriz impedância de barra original é identificada como Zorig, de dimensão N x N.
NOTAÇÃO
As barras existentes serão identificadas por números ou letras h, i, j, k. A letra p ou letra q designará uma nova barra a ser adicionada na rede para converter Zorig em uma matriz (N+1) x (N+1).
35 de
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Na barra (k) a tensão inicial será designada por e a nova tensão após a modificação de Zbus será identificada por Vk.
Denotará a variação de tensão na barra (k).
CASO 1: Adicionando Zb de uma nova barra (p) ao nó de referência
A adição de uma nova barra (p) conectada ao nó de referência através da impedância Zb sem qualquer conexão com outras barras da rede original não pode alterar as tensões de barra originais quando a corrente Ip é injetada na nova barra.
0kV
0k k kV V V
36 de
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Para o caso 1, as equações para as tensões de barra são fornecidas por:
37 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
CASO 2: Adicionando Zb de uma nova barra (p) a uma barra existente (k)
38 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
A corrente injetada Ip na barra (p) fará com que ocorra uma variação da corrente que entra na rede através da barra (k) original.
A corrente após essa mudança que entra na rede pela barra (k) será a soma Ik + Ip.
A corrente Ip que entra na rede através da barra (k) aumentará a tensão inicial (antes da conexão da nova barra) da barra (k) pela variação (Ip Zkk).
0k k p kkV V I Z
39 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
A tensão da nova (p) será maior do que a tensão da barra (k) sendo dada por:
E substituindo para :
Essa é a nova linha que deve adicionada na matriz impedância original do sistema.
0k p kk
p k p b
p k p b
V I Z
0p k p kk p b
V V I Z
V V I Z
V V I Z I Z
k1 1 k 2 2 kN N
0k
0p k p kk p b
Z I Z I ... Z I
p k1 1 k2 kN N kk b p
V
V V I Z I Z
V Z I Z I ... Z I (Z Z )I
40 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Para esse caso o esquema da nova matriz impedância de barra é mostrado abaixo:
Nova linha adicionada na matriz Zorig
41 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
CASO 3: Adicionando Zb de uma barra existente (k) ao nó de referência
Inicialmente conectamos uma nova barra (p) através de uma impedância Zb a barra existente (k) (correspondente ao caso 2). Depois colocamos a barra (p) em curto o que equivale ligar a impedância Zb entre a barra (k) e nó de referência.
pV 0
42 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Observe que no caso 3 não criamos uma nova barra permanente, ela é fictícia. Temos que utilizar a redução de Kron para eliminar a linha cuja tensão da barra é nula.
Os novos elementos da nova matriz impedância de barra são calculados através de:
h(N 1) (N 1)iatualhi hi
kk b
Z ZZ Z
Z Z
43 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
CASO 4: Adição de Zb entre duas barras existentes (j) e (k)
44 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Para efetuar os cálculos da nova matriz impedância de barra podemos analisar a situação onde ocorre variação na corrente injetada através de duas barras.
45 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Observa-se que a variação da tensão em cada barra é causada pelas correntes injetadas no sistema original através das barras (j) e (k).
A variação da tensão em cada barra (h) causada pela corrente injetada Ib através da barra (j) e –Ib através da barra (k) para dentro do sistema é dada por:
Baseado na definição de variação de tensão podemos escrever as equações para as tensões de barra. Por exemplo, para a barra 1:
h hj hk bV Z Z I
0
11
01 1 1
1 11 1 1j j 1k k 1N N 1j 1k b
VV
V V V
V Z I ... ...Z I Z I ...Z I Z Z I
46 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
De maneira similar para as barras (j) e (k):
Precisamos encontrar mais uma equação desde que Ib é desconhecida.
0
jj
0j j j
j j1 1 jj j jk k jN N jj jk b
VV
V V V
V Z I ... ...Z I Z I ...Z I Z Z I
0
kk
0k k k
k k1 1 kj j kk k kN N kj kk b
VV
V V V
V Z I ... ...Z I Z I ...Z I Z Z I
0 0j k b th, jk b0 V V I Z Z
47 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Precisamos encontrar mais uma equação desde que Ib é desconhecida.
0 0j k b th, jk b
j1 1 jj j jk k jN N k1 1 kj j kk k kN N
b th, jk b
j1 k1 1 jj kj j jk kk k jN kN N
b th, jk b
0 V V I Z Z
0 Z I ... ...Z I Z I ...Z I Z I ... ...Z I Z I ...Z I
I Z Z
0 Z Z I .. .. Z Z I Z Z I .. Z Z I
I Z Z
11
22
NN
b
IVIV
IVI0
Zorig
Lj-Lk
Cj - C
k
Zbb
48 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Precisamos encontrar mais uma equação desde que Ib é desconhecida.
Resulta em:
0 0j k b th, jk b0 V V I Z Z
49 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
O resultado final com a nova matriz impedância de barra é dado por:
Podemos eliminar a última linha de maneira que as tensões nas outras barras sejam compensadas pelos novos elementos da nova matriz.
bb th, jk b jj kk jk bZ Z Z Z Z 2Z Z
50 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Os novos elementos são calculados através de:
Removendo um ramo: um ramo de impedância Zb entre duas barras pode ser removido da rede pela adição do negativo de Zb entre os mesmos terminais.
h(N 1) (N 1)iatualhi hi
jj kk jk b
Z ZZ Z
Z Z 2Z Z
51 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Síntese dos casos anteriores
52 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Síntese dos casos anteriores
53 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Determinação direta de Zbus
No princípio tem-se uma lista de impedâncias de ramo mostrando as barras nas quais elas estão conectadas.
Inicialmente, escrevemos a equação para uma barra conectada através da impedância de ramo Za ao nó de referência.
Por exemplo, uma segunda barra é conectada ao nó de referência através da impedância Zb.
1 a 1V Z I
a1 1
b2 2
Z 0V I0 ZV I
54 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Exemplo 2:Determine a matriz impedância de barra da rede mostrada abaixo onde as impedâncias numeradas de 1 a 6 estão em pu.
55 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Solução:1)Temos uma matriz impedância de barra 1 x 1.
2) Criação de uma nova barra (2) conectada a uma barra existente (1) através da impedância z2=j0,25.
3) Criação de uma nova barra (3) conectada a uma barra existente (2) através da impedância z3=j0,4
1 1V j1,25 I
bus,1Z j1,25
bus,2
j1,25 j1,25Z
j1,25 j1,5
1 212
56 de
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A nova matriz impedância de barra é igual a:
4) Conexão de uma impedância (4) entre a barra (3) e a referência.Para esse caso criamos uma barra fictícia (p) e conectamos a impedância entre a barra (3) e a barra (p). Depois curto-circuitamos a barra (p).
bus,2
j1,25 j1,25Z
j1,25 j1,5
bus,3
j1,25 j1,25 j1,25Z j1,25 j1,5 j1,5
j1,25 j1,5 j1,9
1 2 31
2
3
j1,5 j0,4
57 de
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A nova matriz impedância de barra é igual a:
Observe que os outros elementos, com exceção de j3,15 na nova linha e na nova coluna correspondem a linha 3 e a coluna 3 da matriz original (Zbus3).
Podemos eliminar a linha (p) e a coluna (q) pela redução de Kron.
bus,p
j1,25 j1,25 j1,25 j1,25j1,25 j1,5 j1,5 j1,5
Z j1,25 j1,5 j1,9 j1,9j1,25 j1,5 j1,9 j3,15
1 2 3 p1
2
3
p
58 de
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A nova matriz impedância de barra é igual a:
5) Criação de uma nova barra (4) conectada à barra (3) através da impedância j0,2.
bus,4
j0,75397 j0,65476 j0,496032j0,65476 j0,78571 j0,59524
j0,496032Z
j0,7539j0,5952 74
1 2 31
2
3
bus,5
j0,75397 j0,65476 j0,496032 j0,496032j0,65476 j0,78571 j0,59524 j0,59524
j0,496032 j0,59524j0,496032 j0,59
Z j0,75397 j0,75397j0,75397 j0,9539524 7
1 2 3 4
1
2
3
4
59 de
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6) Adição entre duas barras existentes de uma impedância igual a j0,125. As barras são (2) e (4).
Aplica-se agora a redução de Kron para eliminar a linha e a coluna (q) através da fórmula abaixo:
bus,6
j0,75397 j0,65476 j0,496032 j0,496032j0,65476 j0,78571 j0,59524 j0,59524
j0,496032 j0,59524j0,496032 j
j0,15873j0,19047
Z j0,75397 j0,75397 j0,15873j0,75397 j0,95397 j0,35873
j0,15873 j0,190470,59524
j0,15873
j0,35873 j0,67421
1 2 3 4 q
1
2
3
4q
h(N 1) (N 1)iatualhi hi
jj kk jk b
Z ZZ Z
Z Z 2Z Z
60 de
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Continuando, tem-se que:
Essa é a matriz impedância de barra do sistema.
bus,7
j0,7166 j0,60992 j0,53340 j0,58049j0,60992 j0,73190 j0,64008 j0,69659
Zj0,53340 j0,64008 j0,71660 j0,66951j0,58049 j0,69659 j0,66951 j0,76310
61 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
EXEMPLO 3: Modifique a matriz impedância de barra abaixo para levar em consideração a conexão de um capacitor com reatância igual a 5 pu entre a barra (4) e o nó de referência. Encontre a tensão na barra (4) usando as impedâncias da nova matriz e as fontes de corrente abaixo. Compare este valor com o valor calculado no exemplo anterior.
busZ
busI
62 de
Instituto Federal da Bahia – IFBAProfessor: Lissandro
Trata-se do caso 3: Adição de uma impedância Zb entre uma barra existente e o nó de referência. Nesse caso cria-se uma barra temporária (p) e efetua-se o mesmo procedimento do caso 2.
63 de
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Como a tensão da nova barra é nula. Podemos eliminar a quinta linha e a quinta coluna.
A seguir, o cálculo de alguns elementos da nova matriz impedância de barra:
h(N 1) (N 1)iatualhi hi
jj kk jk b
Z ZZ Z
Z Z 2Z Z
atual11
j0,63677 j0,63677Z j0,73128 j0,82555j4,30110
64 de
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A matriz impedância de barra é dada por:
O vetor coluna de correntes é multiplicado pela matriz acima para obter os novos valores da tensões de barra.
atual11
j0,63677 j0,63677Z j0,73128 j0,82555j4,30110
atual24
j0,69890 j0,64178Z j0,64178 j0,74606j4,30110
o o4
o4
V j0,64065 1 90 j0,81247 0,68 135
V 1,03131 j0,39066 1,10281 20,7466 pu