Modelli nello spazio degli stati - unibo.itsting.deis.unibo.it/sting/Members/diversi/Stati.pdf · Modelli nello spazio degli stati Teorema. Si consideri l’equazione differenziale

Modelli nello spazio degli stati


Stato: informazione che riassume, in ogni istante, l’effetto della storia passata del sistema

sul suo comportamento futuro.

x(t) = f (x(t), u(t), t)

y(t) = g (x(t), u(t), t)

x(t) stato (vettoren × 1)

u(t) ingresso (vettorer × 1)

y(t) uscita (vettorem × 1)

f : Rn ×Rr ×R → Rn funzione di velocita di transizione dello stato

g : Rn ×Rr ×R → Rm funzione di uscita

La conoscenza dello stato ad un istantet0, x(t0) e del segmento di funzione di ingresso

u[t0, t], t ≥ t0, determina univocamente il segmento di funzione di uscitay[t0, t].

u(·) −→ funzione finita e continua a tratti.

Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L–A – p. 1/29


Teorema.Si consideri l’equazione differenziale

x(t) = f ′ (x(t), t) . (1)

Essa ammette un’unica soluzionex(·) che soddisfa la condizione inizialex(t0) = x0

∀t0 ∈ R assegnato e∀x0 ∈ Rn se

1. ∀x ∈ Rn, f ′(x, ·) e continua a tratti pert ≥ t0;

2. ∀t ≥ t0 che non sia punto di discontinuita dif ′(x, ·) e per ogni coppia di vettorix1, x2

e soddisfatta lacondizione di Lipschitz

‖f ′(x1, t) − f ′(x2, t)‖ ≤ k(t) ‖x1 − x2‖,

dovek(t) e una funzione limitata e continua a tratti e‖ · ‖ e una qualunque norma di

Rn.

Corollario. Ogni soluzione dell’equazione differenziale (1)e una funzione continua.


Moto e traiettoria

x(t) = φ (t, t0, x0, u(·)) funzione di transizione dello stato

y(t) = γ (t, t0, x0, u(·)) funzione di risposta

Moto (movimento). La funzione di transizione dello stato, note la coppia(t0, x(t0)) e la

funzione di ingressou[t0, t1] fornisce l’insieme

{(t, x(t)) : x(t) = φ (t, t0, x(t0), u(·)) t = [t0, t1]} ,

che prende il nome dimoto.

Traiettoria. E l’immagine del moto nell’insieme degli stati:

{x(t) : x(t) = φ (t, t0, x(t0), u(·)) t = [t0, t1]} .

Analogamentee possibile definire larispostae latraiettoria delle uscite, riferendosi alle

coppie(t, y(t)) e alla funzione di rispostaγ(·).


Tipologie di modelli

Modelli algebrici:

y(t) = g(u(t), t).Modelli puramente dinamici:

x(t) = f (x(t), u(t), t)

y(t) = g (x(t), t) .Modelli stazionari:

x(t) = f (x(t), u(t))

y(t) = g (x(t), u(t)) .Modelli lineari:

x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)

y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t),dove:

A(t) (n × n): matrice dinamica,

B(t) (n × r): matrice di distribuzione degli ingressi,

C(t) (m × n): matrice di distribuzione delle uscite,

D(t) (m × r): legame algebrico ingresso–uscita.


Tipologie di modelli

Modelli lineari e stazionari:

x(t) = A x(t) + B u(t)

y(t) = C x(t) + D u(t).

X = insieme degli stati di un sistema dinamico

X =

insieme discreto

finito automi a stati finiti

numerabile reti di Petri

spazio vettoriale con dimensioni

finite sistemi a parametri concentrati

infinite sistemi a parametri distribuiti


Costruzione di un modello nello spazio degli stati

Determinazione di un modello matematico nello spazio deglistati:

1. Individuazione delle variabili di ingresso ed uscita;

2. Scelta delle variabili di stato;

3. Scrittura delle equazioni costitutive;

4. Eventuale elaborazione delle equazioni costitutive perpervenire ad un opportuno

aspetto formale delle stesse.

Passo 1.Dipende dal contesto (variabili manipolabili, variabili misurabili, etc.).

Passo 2.La scelta delle variabili di stato none univocamente definita. Nel caso di sistemi

fisici si individuano i sottosistemi elementari i grado di accumulare energia o materia, in

quanto rappresentano la “memoria” del sistema.

Passo 3.Interconnessione delle relazioni dei singoli sottosistemi: principi di Kirchoff,

equazioni cardinali della dinamica, leggi di Maxwell dell’elettromagnetismo, equazione di

Bernoulli, principi della termodinamica, bilanci di energia, bilanci di massa.

Passo 4.Cambiamenti di base.


Modelli lineari e stazionari


x(t) = A x(t) + B u(t), x(0) = x0

y(t) = C x(t) + D u(t).

La funzione di transizione dello stato e quella di risposta sono:

x(t) = eAtx0 +

∫ t

0

eA(t−τ)B u(τ) dτ

y(t) = C eAtx0 +

∫ t

0

C eA(t−τ)B u(τ) dτ + D u(t),

doveeAt l’esponenziale di matrice

eAt =

∞∑

i=0

Ai ti

i!= I + At +

A2 t2

2+ · · ·

eAt e una matricen × n sempre non singolare



Funzione di trasferimento: Y (s) = G(s) U(s)

G(s) = C (sI − A)−1B + D =

G11(s) G12(s) · · · G1r(s)...

......

Gm1(s) Gm2(s) · · · Gmr(s)

,

doveY (s) = L (y(t)) , U(s) = L (u(t)) (L indica la trasformata di Laplace) e

Gij(s) =Yi(s)

Uj(s).

Risposta impulsiva:

G(t) = L−1 (G(s)) = C eAtB + D δ(0) =

g11(t) g12(t) · · · g1r(t)...

......

gm1(t) gm2(t) · · · gmr(t)

,

doveδ(0) indica l’impulso di Dirac applicato all’istantet0 = 0.


Esponenziale di matrice

Propriet a dell’esponenziale di matrice

1. ddt

(

eAt)

= A eAt

2. eA(t1+t2) = eAt1eAt2

3.(

eAt)

−1= e−At

4.(

eAt)k

= eAkt, k scalare

5. e(A+B)t = eAteBt ⇔ AB = BA

Calcolo dell’esponenziale di matrice

eAt = L−1[

(sI − A)−1]

,

(sI − A)−1

=agg (sI − A)

det (sI − A),

dove agg(M) indica l’aggiunta della matriceM , ovvero la trasposta della matrice dei

complementi algebrici diM .

Gli elementi di(sI − A)−1 sono rapporti di polinomi ins. I polinomi a numeratore hanno

grado massimon − 1.Ing. Roberto Diversi Laboratorio di Modellistica e Simulazione L–A – p. 9/29

Antitrasformazione di funzioni razionali


F (s) =N(s)

D(s)=

bm sm + bm−1 sm−1 + · · · + b1 s + b0

sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0

1◦ caso:D(s) ha radici semplici

F (s) =N(s)

(s − λ1)(s − λ2) · · · (s − λn)=

n∑

i=1

Ki

(s − λi),

dove

Ki = [(s − λi) F (s)]s=λi.

⇓

f(t) = L−1(F (s)) =

n∑

i=1

Ki eλi t.



2◦ caso:D(s) ha radici multiple

F (s) =N(s)

(s − λ1)n1(s − λ2)n2 · · · (s − λh)nh

=h∑

i=1

ni∑

j=1

Kij

(s − λi)ni−j+1,

h∑

i=1

ni = n

dove

Kij =1

(j − 1)!

{

dj−1

dsj−1[(s − λi)

ni F (s)]

}

s=λi

.

⇓

f(t) = L−1(F (s)) =h∑

i=1

ni∑

j=1

Kij tni−j eλi t

(ni − j)!·

Osservazione:gli elementi dell’esponenziale di matrice sono costituitida combinazioni

lineari di termini del tipoK, K th, K eλt, K th eλt, K eλtsen (ωt + ϕ),

K th eλtsen (ωt + ϕ), che sono dettimodi del sistema.


Conversione di modelli


Da (A, B, C, D) ad equazione differenziale:

Y (s) = G(s) U(s) =(

C (sI − A)−1B + D)

U(s).

Da equazione differenziale ad(A, B, C, D):

G(s) =Y (s)

U(s)=

Y (s)

W (s)

W (s)

U(s),

W (s)

U(s)=

1

sn + an−1 sn−1 + · · · + a0

Y (s)

W (s)= bm sm + bm−1 sm−1 + · · · + b0.

Ponendo

x1(t) = w(t), x2(t) =d w(t)

dt, · · · xn(t) =

dn−1 w(t)

dtn−1,

dove

w(t) = L−1(W (s)),

si ha



xi(t) = xi+1(t) per i = 1, . . . , n − 1

xn(t) = −an−1 xn(t) − · · · − a0 x1(t) + u(t)

y(t) = bm xm+1(t) + · · · + b0 x1(t)

⇓

A =

0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0...

.. ....

0 · · · · · · 0 1

−a0 −a1 · · · · · · −an−1

B =

0

0...

0

1

C =[

b0 b1 · · · bm 0 · · · 0]


Sistemi equivalenti

Sistemi equivalenti (cambiamenti di base)

x(t) = A x(t) + B u(t), x(0) = x0

y(t) = C x(t) + D u(t).

SiaT una matricen × n non singolare. Si consideri un nuovo statoz(t) definito da

x(t) = T z(t), z(t) = T−1x(t).

Sostituendo nelle equazioni di stato ed uscita si ottiene:

z(t) = A′ z(t) + B′ u(t), z(0) = T−1x0

y(t) = C′ z(t) + D′ u(t),

con

A′ = T−1A T

B′ = T−1B

C′ = C T

D′ = D.


Sistemi equivalenti

Le matriciA edA′ si diconosimili.

Matrici simili hanno:

• gli stessi autovalori;

• lo stesso polinomio caratteristico;

• esponenziali di matrice simili.

Equivalenza di sistemi:dato uno stato inizialex0 per il sistema(A, B, C, D) e sempre

possibile determinare uno stato inizialez0 = T−1x0 per il sistema(A′, B′, C′, D′) in modo

tale che la rispostay(t) dei due sistemi sia la medesima se ad essi viene applicato lo stesso

ingresso.

Osservazioni:

• la scelta delle variabili di stato per un sistema dinamico non e univocamente definita

• le variabili di stato possono anche non avere significato fisico.


Modelli lineari non stazionari

Modelli lineari non stazionari

x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t), x(t0) = x0

y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t).

La funzione di transizione dello statoe

x(t) = Φ(t, t0)x0 +

∫ t

t0

Φ(t, τ) B(τ) u(τ) dτ,

doveΦ(t, t0) e il limite della successione di Peano–Baker

Φi(t, t0) = I +

∫ t

t0

A(τ) Φi−1(τ, t0) dτ Φ0(t, t0) = I,

che converge uniformemente.

Φ(t, t0) e sempre non singolare


Modelli non lineari stazionari

Modelli non lineari stazionari

x(t) = f (x(t), u(t)) , x(t0) = x0,

y(t) = g (x(t), u(t)) .

Non e possibile, in generale, determinare un’espressione analitica della soluzione

dell’equazione differenziale⇒ tecniche di integrazione numerica.

Stato di equilibrio: In un sistema dinamico uno statoxe e definito diequilibrio se esiste

una funzione di ingressou(·) tale che

xe = φ(t, t0, xe, u(·)) ∀t ∈ [t0, t1], ∀t0, t1, t1 > t0.

Cio implica chex(t) sia costante e che quindi la sua derivata sia nulla. Gli statidi equilibrio

relativi all’ingressou(t) sono dunque le soluzioni dell’equazione

f(xe, u(t)) = 0.

In modo analogo si puo definire unauscita di equilibrio.


Linearizzazione

Moto di riferimento: t0, x0 edu(·) fissati:

x(t) = φ(t, t0, x0, u(·)).

Si ha:

˙x(t) = f(x(t), u(t))

y(t) = g(x(t), u(t)).

Linearizzazione

Si considerino una perturbazione sullo stato inizialeδx0 ed una perturbazione sulla funzione

di ingressoδu(·). Si ottengono il moto e l’uscita perturbati

x(t) = φ(t, t0, x0 + δx0, u(·) + δu(·)) = x(t) + δx(t)

y(t) = y(t) + δy(t).

Si ha inoltre

x(t) = f(x(t) + δx(t), u(t) + δu(t)) = ˙x(t) + δx(t).


Linearizzazione

Sviluppando in serie di Taylorx(t) ey(t) nell’intorno di x(t) e u(t) con arresto ai termini

del primo ordine

x(t) ≈ f(x(t), u(t)) +∂f

∂x

∣

∣

∣

∣

x(t),u(t)

δx(t) +∂f

∂u

∣

∣

∣

∣

x(t),u(t)

δu(t)

y(t) ≈ g(x(t), u(t)) +∂g

∂x

∣

∣

∣

∣

x(t),u(t)

δx(t) +∂g

∂u

∣

∣

∣

∣

x(t),u(t)

δu(t).

Il modello linearizzatoe dunque del tipo

δx(t) = A(t) δx(t) + B(t) δu(t),

δy(t) = C(t) δx(t) + D(t) δu(t).

Se si linearizza nell’intorno di uno stato di equilibrioxe corrispondente ad un ingresso

costanteu:

δx(t) = A δx(t) + B δu(t),

δy(t) = C δx(t) + D δu(t),

doveδx(t) = x(t) − xe.


Stabilita

Stabilit aStabilit a di un moto rispetto a perturbazioni dello stato iniziale.Sia

δx1(t) = φ(t, t0, x0 + δx0, u(·)) − x(t), t ≥ t0.

Il moto x(·) si dicestabilerispetto a perturbazioni dello stato iniziale se

∀ ε > 0 ∃ η > 0 t.c. ‖δx1(t)‖ < ε, t ≥ t0 ∀ δx0 t.c. ‖δx0‖ < η.

Il moto x(·) si diceasintoticamente stabilerispetto a perturbazioni dello stato iniziale see

stabile e

limt→∞

‖δx1(t)‖ = 0, ∀ δx0 t.c. ‖δx0‖ < η.

Stabilit a di un moto rispetto a perturbazioni dell’ingresso.Sia

δx2(t) = φ(t, t0, x0, u(·) + δu(·)) − x(t), t ≥ t0.

Il moto x(·) si dicestabilerispetto a perturbazioni della funzione di ingresso se

∀ ε > 0 ∃ η > 0 t.c. ‖δx2(t)‖ < ε, t ≥ t0 ∀ δu(·) t.c. ‖δu(·)‖ < η.


Stabilita in piccolo e in grande

Stabilit a di uno stato di equilibrio. Le precedenti definizioni di stabilita rispetto a

perturbazioni dello stato iniziale e della funzione di ingresso valgono anche per gli stati di

equilibrio, che sono particolari moti. In tal casoe sufficiente sostituirexe ad x(t).

Stabilit a in piccolo e in grande

Stabilit a in piccolo (locale)=⇒ si riferisce alla capacita del moto o della risposta di

rispondere con variazioni comunque piccole a perturbazioni dello stato iniziale o della

funzione di ingresso (e quella considerata finora).

Stabilit a in grande=⇒ quando si vuole dare una misura dell’entita delle perturbazioni cui

corrisponde un comportamento stabile dei moti e delle traiettorie.

Dominio di stabilit a asintotica per un moto: se il moto di riferimentox(·) corrispondente

a t0, x0, u(·) e asintoticamente stabile, esiste un insieme di stati iniziali X0(t0, x0, u(·)) tale

che

limt→∞

‖δx1(t)‖ = 0, ∀ δx0 t.c. x0 + δx0 ∈ X0.

L’insiemeX0 e dettodominio di stabilita asintoticaper il moto di riferimento considerato.


Stabilita dei sistemi lineari stazionari.

Stabilit a asintotica globale di un moto:seX0(t0, x0, u(·)) coincide con l’intero spazio

degli stati il moto di riferimentox(·) si diceglobalmente asintoticamente stabile. Se cio

avviene per ogniu(·), il sistema si dice globalmente asintoticamente stabile per t ≥ t0.

Stabilit a dei sistemi lineari stazionari.Nei sistemi lineari e stazionari le stabilita rispetto a perturbazioni dello stato iniziale e

dell’ingresso non dipendono ne dal particolare moto di riferimento considerato ne dall’entita

delle perturbazioni.

Stabilit a semplice=⇒ tutti i modi di eAt devono essere limitati.

Stabilit a asintotica=⇒ tutti i modi di eAt devono tendere a zero pert → ∞.

Polinomio caratteristico p(λ) della matrice dinamicaA:

p(λ) = det (λ I − A) = λn + an−1λn−1 + · · · + a1 λ + a0.

Teorema di Cayley–Hamilton: p(A) = 0.

Polinomio minimo m(λ) della matrice dinamicaA: e il polinomiom(λ) di grado minimo

tale chem(A) = 0.


Stabilita dei sistemi lineari stazionari

Proprieta del polinomio minimo:

• e unico se considerato monico;

• e un divisore del polinomio caratteristico;

• ha come radici tutti gli autovalori diA;

• la molteplicita dell’autovalorei–esimo nel polinomio minimoe minore od uguale a

quella nel polinomio caratteristico;

• e il minimo comune multiplo dei denominatori degli elementidella matrice

(λ I − A)−1.

Teorema: il sistema(A, B, C, D) e semplicemente stabile se e solo se gli autovalori diA

hanno parte reale negativa o nulla; quelli a parte reale nulla devono avere molteplicita

unitaria nel polinomio minimo diA.

Teorema: il sistema(A, B, C, D) e asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori di

A hanno parte reale negativa.

La stabilita rispetto a perturbazioni dell’ingresso dipende, in generale, da un sottoinsieme

dei modi del sistema.


Stabilita dei sistemi non lineari stazionari

Stabilit a dei sistemi non lineari stazionari.Lo studio della stabilita semplice ed asintotica di un moto di riferimento (stato di equilibrio)

rispetto a perturbazioni dello stato iniziale si puo sempre ricondurre allo studio della

stabilita dello stato zero di un sistema privo di ingressi, infatti:

δx1(t) = f(x(t) + δx1(t), u(t)) − f(x(t), u(t)) = f ′(δx1(t)).

Il sistema da consideraree dunque del tipo:

x(t) = f(x(t)). (2)

Funzioni definite positive: una funzioneV (x) si dicedefinita positivain un intornoD

dell’origine dello spazio degli stati se per ognix ∈ D

• V (x) ha derivate parziali continue rispetto alle componenti dix;

• V (0) = 0;

• V (x) > 0, ∀x 6= 0.



Funzioni di Lyapunov: una funzioneV (x) si dice diLyapunovin un intornoD dell’origine

dello spazio degli stati del sistema (2) se

• V (x) e definita positiva inD;

• V (x) =[

∂V∂x1

∂V∂x2

· · · ∂V∂xn

]

f(x) ≤ 0, ∀x ∈ D.

Criteri di Lyapunov

Teorema (stabilita semplice):lo stato zero del sistema (2)e stabile per perturbazioni dello

stato iniziale se esiste una funzione di LyapunovV (x) in un intornoD dell’origine dello

spazio degli stati.

Teorema (stabilita asintotica): lo stato zero del sistema (2)e asintoticamente stabile per

perturbazioni dello stato iniziale se esiste una funzione di LyapunovV (x) in un intornoD

dell’origine dello spazio degli stati tale cheV (x) < 0, ∀x 6= 0.

Non esiste un metodo generale per determinare una funzione di Lyapunov.



Si consideri ora il modello linearizzato nell’intorno dello stato di equilibrioxe

corrispondente all’ingresso costanteu:

δx(t) = A δx(t) + B δu(t). (3)

Criterio ridotto di Lyapunov. La stabilita dello stato di equilibrio rispetto al qualee stato

ottenuto il modello linearizzato (3) dipende dagli autovalori della matriceA del modello

linearizzato. In particolare:

• xe e asintoticamente stabile se tutti gli autovalori diA hanno parte reale negativa;

• xe e instabile se uno o piu autovalori diA hanno parte reale positiva;

• se alcuni autovalori diA hanno parte reale negativa ed i rimanenti parte reale nulla non

e possibile trarre conclusioni sulla stabilita dixe.

Osservazione:per i sistemi non stazionari lo studio della stabilita si effettua introducendo

funzioni di LyapunovV (x, t) dipendenti in maniera esplicita anche dal tempo.


Modelli lineari stazionari discreti


x(t + 1) = A x(t) + B u(t), x(0) = x0, t = 0, 1, 2, 3, . . .

y(t) = C x(t) + D u(t).

La funzione di transizione dello stato e quella di risposta sono:

x(t) = At x0 +t−1∑

k=0

At−1−kB u(k)

y(t) = C At x0 +t−1∑

k=0

C At−1−kB u(k) + D u(t).

La potenza di matriceAt (singolare o non singolare) si puo calcolare utilizzando la

Z–trasformata:

At = Z−1{

(zI − A)−1z}

.



Osservazione:gli elementi della potenza di matrice sono combinazioni lineari di termini del

tipo K, K th, K λt, K ti λt−h, (1 ≤ i ≤ h), K ρt sen(θ t + ϕ), K ti ρt sen ((t − h)θ + ϕ).

Per quanto riguarda la stabilita valgono i seguenti teoremi.

Teorema: il sistema(A, B, C, D) e semplicemente stabile se e solo se gli autovalori diA

hanno modulo minore od uguale ad uno; quelli a modulo unitario devono avere molteplicita

unitaria nel polinomio minimo diA.

Teorema: il sistema(A, B, C, D) e asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori di

A hanno modulo minore di uno.

La stabilita rispetto a perturbazioni dell’ingresso dipende, in generale, da un sottoinsieme

dei modi del sistema.


Discretizzazione

Discretizzazione: modelli a dati campionati.

Se un modello a tempo discreto deriva dal campionamento, conun certo periodoT , di un

modello a tempo continuo si parla dimodello a dati campionati. La discretizzazione si puo

effettuare in diversi modi.

Nel caso ditenuta di ordine zerol’ingresso viene considerato costante tra due istanti di

campionamento; ne segue che le matriciAd, Bd, Cd, Dd del modello discreto si ricavano

dalle matriciA, B, C, D del modello continuo con le relazioni:

Ad = eAT , Bd =

(

∫ T

0

eAτdτ

)

B, Cd = C, Dd = D.

Osservazione:la matriceAd (la matriceAtd) di un modello a dati campionatie sempre non

singolare.

Osservazione:gli autovalori diAd sono gli esponenziali degli autovalori diA

⇓gli autovalori di un modello a dati campionati non possono avere parte reale negativa.


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