Capitolul 3

Modelarea metod de studiu a ciberneticii economice

3.1. Modele discrete de ordin I. Ecuaii cu diferene de ordin I

Descriu bucle feedback cu o ntrziere/decalaj de o perioad. Ecuaiile cu diferen de ordin I reprezint cel mai simplu tip de ecuaii cu diferene i au urmtoarea form general:; (1)Unde t = timpul care a trecut de la nceputul procesului dinamic pe care-l studiem, este diferit de timpul calendaristic. Dac g 0 => ecuaie non-omogenDac g = 0 => ecuaie omogenDac = cst => ecuaie cu diferene liniar cu coeficient constantConform acestei ecuaii valoarea pe care o ia variabila Y n perioada t este egal cu suma dintre constanta g i un termen ce depinde de valoarea pe care a avut-o Y n perioada anterioar (t-1). n aplicaiile economice termenul g reprezint toate acele variabile care afecteaz valoarea curent al lui Y, altele dect propria lui valoare ntrziat. (reparametrizarea liniar a ecuaiei) Rearanjm ecuaia (1) fr s i alterm nelesul, prin scderea termenului . (2)

Ecuaia (2) conine aceeai informaie ca i ecuaia (1), doar c o prezint diferit. Variaia lui Y de la perioada t-1 la perioada t deprinde de valoarea sa n perioada t-1 i de valoarea lui g. Pentru ca structura acestei ecuaii cu diferene s fie folositoare n aplicaiile teoretice i econometrice, trebuie s mergem dincolo de a zice cum valoarea curent i anterioar sunt legate. Trebuie s extragem informaii exacte despre natura acestei relaii. Aceast relaie este denumit structur dinamic sau dinamica relaiei.

Ecuaia omogen:S considerm ecuaia omogen: (3)Trebuie s fie o adevrat relaie de cauzalitate, n sensul c trebuie s existe o legtur continu ntre valoarea trecut i cea curent a lui Y. Astfel:

(4)

Din moment ce am obinut ecuaia (3), ecuaia (4) nu conine informaii noi, doar prezint informaiile prealabile ntr-o form diferit. n final obinem o ecuaie care arat cum valoarea lui depinde de valoarea lui t. O expresie n care este o funcie a lui t i nu depinde de este numit funcia soluie pentru ecuaia cu diferene de ordin I cu coeficient constant. Funcia soluie ilustreaz rolul termenului n evoluia lui . Dac 0 < < 1; este o fracie pozitiv constant, atunci cu ct timpul va trece devine mai mic i va tinde ctre 0 cnd t va tinde ctre . Astfel Dac >1, pentru t =>

Funcia soluie:n cazul ecuaiilor omogene, majoritatea au o soluie de forma general:

(5)Unde, = rdcina ecuaiei cu diferene A = constant a crei valoare urmeaz s fie determinat din informaiile date n problem

nlocuind (5) n (3) rezult: (6) (Ecuaia caracteristic a ecuaiei cu diferene de ordin I cu coeficient constant) (7) (8)

Ecuaia numrul (8) este soluia. Din moment ce forma unei ecuaii ce determin valoarea lui Y n orice perioad rmne neschimbat rezult c:

Urmtorul pas este acela de a determina constanta A. Iniial nu avem suficiente date pentru a realiza acest lucru, de aceea este nevoie s aducem informaii suplimentare. Cea mai utilizat informaie adiional este cea referitoare la condiia iniial (la momentul 0). Nu este obligatoriu s ne referim la momentul t=0. Tot ceea ce ne trebuie este s cunoatem valoarea lui Y la o valoare specific a lui t.Ex: pt. t=0 rezult . Astfel ADin (4) =

Proprieti dinamice: Rolul rdcinii caracteristice ()Cazul nr. 1: Dac 0 < < 1; este o fracie pozitiv i A 0 =>

Cazul nr. 2: Dac >1, pentru t , daca A este pozitiv , daca A este negativ

Cazul nr. 3: Acesta este cazul rdcinii unitare, cnd =1 =>

Cazul nr. 4 = fracie negativ => 0, ns semnul lui alterneaz. Y converge spre 0 o dat cu trecerea timpului.Ex: = -0,5;

Cazul nr. 5: -1, Semnul lui Y alterneaz i diverge de la 0, se deprteaz de 0 cu fiecare sritur.Ex: = -2 =>

Acest grafic este reprezentarea matematic a unui ciclu de afaceri, alternanele seamn cu un comportament ciclic. cele mai multe cazuri, n special n aplicaiile empirice ale modelelor dinamice, dac gsim o rdcin negativ cea mai bun strategie este s reconsiderm structura modelului. Exist modele de ecuaii cu diferene care au un comportament ciclic, dar acestea necesit ecuaii cu diferene de ordin mai mare dect 1.

Ecuaii non-omogene:Considerm ecuaia non-omogen: (10); cu g constant sau nu. Pentru a rezolva aceast ecuaie trebuie s parcurgem 2 pai. Primul lucru este s rezolvm soluia particular a ecuaiei cu diferene. Apoi vom gsi soluia pentru partea omogen a ecuaiei i vom aduna cele dou pri pentru a obine soluia general. n aplicaiile economice soluia particular este echilibrul sistemului. n analiza dinamic, echilibrul unei ecuaii cu diferene este definit ca avnd proprietatea c dac sistemul este la acel punct nu exist nici o tendin de a se muta din acel punct, indiferent de valoarea lui t. Nu ne spune ns nimic referitor la ceea ce se intmpl cu valoarea lui Y, dac nu e egal cu valoarea de echilibru, dac va converge sau diverge la i de la valoarea de echilibru.Comportamentul lui Y n timp depinde de stabilitatea echilibrului. Dac Y va converge n timp spre valoarea echilibrului spunem c echilibrul este stabil, iar dac diverge de la valoarea echilibrului, atunci echilibrul este instabil.n general forma matematic a echilibrului, sau soluia unei ecuaii difereniale va fi determinat de forma matematic a lui g. Dac g este constant, atunci i soluia particular va fi constant, iar dac g este o funcie sau o variabil exogen, atunci soluia va fi o funcie a acelor variabile.a) g este o constant cunoscutLa echilibru, sistemul st la aceeai valoare o dat cu trecerea timpului. Astfel,, indifferent de valoarea lui t, = cst (11)

Dac g=0 rezult . Astfel 0 este valoarea de echilibru a lui Y.Atunci cnd =1 metoda cade. n acest caz prodedura normal este aceea de a ncerca ca forma a lui o funcie de aceeai form ca g, doar nmulit cu t. -1) nlocuind n (10) obinem G * t = * G ( t 1 ) + g G * t * ( 1 ) + * G = g (12) Pt c =1 deducem c G=g i (13)Atunci cnd 1 => Urmtorul pas este de a gsi o soluie la partea omogen a ecuaiei (10).

(14)Pentru a obine soluia general a ecuaiei trebuie s combinm soluia particular cu soluia prii omogene: (15) (16)Ultimul pas este acela de a determina constanta A, utiliznd o condiie iniial care ne spune c la momentul t=0, . nlocuind n relaia (16) rezult c . A = (17)A reprezint deviaia de la forma actual a valorii echilibrului lui Y, cantitatea dezechilibrului iniial.Soluia general a ecuaiei cu diferene de ordin I este: (18)

Rolul coeficientului de ajustare

Pentru a clarifica rolul termenului , vom utiliza soluia general a ecuaiei cu diferene: (19)Pentru t = 1 rezult = (20) este cantitatea din diferena iniial care rmne s fie nchis dup o perioad, aa c este proporia din decalajul original care rmne s fie nchis.

= 1- = 1- = (21)

1- reprezintn proporia din decalaj care s-a nchis dup o perioad. ne sune c diferena de la echilibru care rmne n perioada t este de ori mai mare dect cea din perioada t-1. = (22)

Dac 0< 1, avem situaia invers i echilibrul este unul instabil.1- = (23)

b) g este o funcie a lui tDac g este o funcie a timpului atunci i valoarea de echilibru este i ea o funcie a timpului.Ex: + (24)n acest caz, procesul de rezolvare a prii omogene a ecuaiei este exact ca i nainte, chiar dac timpul apare n , partea omogen are doar termeni n Y. Diferena reiese atunci cnd dorim s obinem soluia particular.Vom scrie o soluie de aceeai form ca i g.

= * + (25)Prin mprirea la B * B * = G * B = (26) * (27) t=0, Aceast metod va cdea pentru =, caz n care nmulim cu t prima ncercare de soluie i ncercm din nou. Presupunem c . Atunci soluia general a ecuaiei (24) este: * (28)Pentru t=0 obinem (29) A= * (30)

Cnd este fracie pozitiv echilibrul e stabil. Ecuaia nr. (30) arat c pentru a determina traiectoria lui Y, deviaia valorii actuale ale lui Y de la valoarea de echilibru este egal cu dezechilibrul iniial nmulit cu Cnd este fracie pozitiv, atunci dac t tinde la infinit, efectul dezechilibrului iniial dispare i Y converge spre valoarea de echilibru. Faptul c valoarea echilibrului este n micare, nu face diferen n ceea ce privete ajustarea dinamic. Ceea ce se ntmpl este c n loc s convearg spre o valoare a echilibrului neschimbtoare, converge spre o int n micare. (31) (32) (33)

Schimbarea n valoarea lui Y ntre perioadele t-1 i t depinde de cantitatea de dezechilibru n perioada t-1 i de schimabarea locaiei echilibrului.

Exemple de modele de Ecuaii cu diferene de ordin I

Multiplicatorul Keynesian:

Dei acest model este scris de obicei n termeni statici, procesul de ajustare de la echilibrul vechi la cel nou, din punct de vedere macroeconomic dup un oc este descris n termeni dinamici. Modelul economiei nchise Crucea Keynesian este:

Y = C + I + G (34) Condiia de echilibru Keynesian C = Co + c*Y; 0 1

C = Co + c * (1 - t ) * YC = Co + c * (1 - t ) *

= > 0G T = G t * Y = G t * G T =

2. Se cunoate modelul:Y=C+I+G

(Investiiile actuale = Investiii planificate + schimbri neplanificate n stocuri) (Firma va crete producia dac stocul scade)

Artai efectele n timp asupra V, C si I, dac taxele cresc pentru a acoperi cheltuielile guvernamentale (G) suplimentare.

Soluii:

= Y (1-c) ( T + + G)Y (1-c) + ( T + + G) reprezint o ecuaie cu diferene stabil n Y, deoarece coeficientul lui Y din termenul drept este negativ Starea de echilibru a lui Y este calculat fixnd => Y = Derivm ecuaia Y = n funcie de G i obinem c G care sunt finanate din creterea taxelor schimb punctual de echilibru pentru nivelul veniturilor. * = 1 Pentru a afla ce se ntmpl cu starea de echilibru a consumului derivm ecuaia:

Pentru c n starea de echilibru = 0 i este exogen: = = 0

3.2. Ecuaii discrete de ordin II

Forma general: (1)Procedura pentru determinarea soluiei generale este aceeai ca la ecuaiile cu diferene de ordin I. ncepem prin a determina soluia particular a ecuaiei ( soluia de echilibru ). Dac g este cst. => Dac g este o funcie => funcie

(2)Excepie: Dac , atunci (2) nu va putea fi soluieAstfel considerm: = G * t (3)Dac nlocuim n relaia nr. 1 rezultnd: (4)

G = (5)= * t (6)* t + * (t - 1) + * =g (7)

Rdcina caracteristic:Rdcini reale:Procedura pentru determinarea soluiei prii omogene este n general aceeai ca la ecuaia cu diferene de ordin 1. Partea omogen a ecuaiei este: : (8)Soluia prii omogene este de forma: = A * (9)A * /: (10)A * :/A (11)Acesta este o ecuaia de ordin II, care are 2 soluii date de expresia general: = (12)Ceea ce ne d 2 rdcini posibile pentru ecuaia caracteristic i 2 soluii posibile pentru partea omogen:= (13)= (13)Din modul n care aceste soluii au fost gsite, tim c una va fi soluia prii omogene.Teorema Superpoziiei: spune c putem combina cele 2 soluii ntr-una.= + (14)

Ca i n cazul ecuaiei cu diferene de ordin 1, soluia prii omogene a ecuaiei cu diferene controleaz dinamica sistemului.

Caz 1: Ambele rdcini sunt fracii pozitive ( pozitive i se afl n interiorul cercului unitate)Pp. , > 0

atunci cnd t 0 0 Echilibrul sistemului va fi stabil deoarece converge spre 0. Ambele rdcini sunt stabile.

Teorema Superpoziiei:Este valabil doar n circuite liniare.Curentul electric dintr-o latur a unui circuit n care exist mai multe surse este suma algebric a curenilor produi n acea latur de fiecare surs n parte, dac ar aciona singur n circuit, celelalte surse fiind scurt-circuitate sau nlocuite cu rezistena lor interioar.

Cazul nr. 2: Ambele rdcini sunt pozitive i mai mari ca 1. Ambele rdcini sunt pozitive i nafara cercului unitate.Dac t , Ambele rdcini sunt instabile. diverge de la 0.

Cazul nr. 3: Ambele rdcini sunt negative. n acest caz echilibrul va fi stabil dac ambele rdcini sunt fracii negative i instabil dac ambele rdcini sunt negative i n afara cercului unitate. Ca n cazul ecuaiei cu diferene de ordin 1, rdcinile negative determin un comportament alternativ cu componentele ecuaiei (14).

Rdcinile sunt stabile i fracii negative.

Rdcinile sunt instabile, negative i n afara cercului unitate.

Cazul nr. 4: O rdcin este stabil i una instabila) Presupunem c este real pozitiv, n interiorul cercului unitate ( 0 < este stabil) b) Presupunem c este real pozitiv, n afara cercului unitate ( este instabil) Fr a ine cont de valorile lui i , primul element al ecuaiei (14) se va comporta ca o ecuaie cu diferene de ordin 1 stabil, care converge spre 0; iar al doilea element se va comporta ca o ecuaie cu diferene de ordin 1 instabil, care diverge de la 0, sau se ndreapt spre .Comportamentul lui va fi suma comportamentelor celor 2 componente, ceea ce va determina c partea instabil va fi dominant, pe msur ce timpul va trece ea va fi mai mare, n timp ce partea stabil va fi mai mic. Partea stabil se va ndrepta spre 0, n timp ce partea instabil se va ndrepta spre .n final putem afirma c partea instabil va fi att de mare nct partea stabil nici nu se va mai observa. Sistemul va aprea c se va mica pe o traiectorie dat de o singur rdcin instabil a valorii lui Este posibil totui ca sistemul s apar a urma o cale stabil iniial.

Dac derivm ecuaia (14) n funcie de timp vom obine valoarea lui t pentru care panta este 0. Dac vom calcula com observa c depinde n parte i de magnitudinea termenilor i Atunci cnd ecuaia cu diferene de ordin II are o rdcin stabil i una instabil considerm c punctul de echilibru este un punct a.Dac panta instabil nu va domina i se va comporta ca i cnd ar exista o singur rdcin stabil.

Cazul nr. 5: Rdcini complexeEste cazul cnd discriminantul = < 0i i = ; = -1 (15) = = (16)> 0 = (17)Acestea se pot scrie ca o pereche de numere complexe conjugate de valoarea:

w w = z= [Type a quote from the document or the summary of an interesting point. You can position the text box anywhere in the document. Use the Text Box Tools tab to change the formatting of the pull quote text box.]

r = modulul sau valoarea absolut a perechii de numere complexe conjugater = (19)r * cos (w) = w (20)r * sin (w) = z (21)Astfel orice expresie de forma w poate fi scris ca form de r * [ cos (w) i* sin (w) ]Am obinut deci o expresie mult mai complicat pentru = + (22)

Teorema lui De Moivre = *

= *+ * = * (24)

Considerm , o pereche de numere complexe conjugate v i * , unde v i sunt numere reale. + = 2 v i (- ) = 2 = - 2notm + = B1i (- ) = B2= * (25)

Aceast expresie este important pentru ceea ce ne spune despre comportamentul unei ecuaii cu diferene de ordin II cu rdcini complexe conjugate. Sinusul i cosinusul sunt variabile ciclice i faptul c noi vom calcula sinusul i cosinusul pentru termenul (tw), care implic timpul, nseamn c vom determina sinusul i cosinusul pentru o expresie a crei valori se schimb pe msur ce timpul trece. sin (tw) cst cos (tw) cstOfer un element ciclic comportamentului lui Pe msur ce timpul trece, valoarea va urma o traiectorie ce depinde n parte de o pereche de elemente ciclice.

Rolul modulului rdcinilorr = pozitiv, realDac r > 1 Dac r < 1 0Astfel pentru ecuaia (25) stabilitatea n sensul de a converge sau diverge spre valoarea de echilibru este dat de termenul .Dac r < 1 0 i elementul constant ciclic dintre paranteze va fi nmulit cu un element ce devine din ce n ce mai mic, pn cnd produsul dintre cele dou, adic va converge spre 0. Vom considera acest caz un ciclu stabil, al crui reprezentare grafic este:

Dac r > 1 . Produsul celor dou pri devine din ce n ce mai mare, n valoare absolut, cu timpul. Vom avea o form ciclic , dar pe msur ce timpul trece, amplitudinea va crete obinnd o reprezentare grafic:

Modulul rdcinii determin stabilitatea sau instabilitatea echilibrului.r = (26)

Observaie: Dacnu avem rdcini complexe !

Astfel dac ecuaia cu diferene are rdcini complexe, ne referim la un echilibru ca scop, indiferent dac este stabil sau instabil, n funcie de valoarea modulului. Dac r =1 atunci sistemul se mic n ciclu, n jurul punctului de echilibru, indiferent dac converge sau diverge o dat cu trecerea timpului.

Proprietile ecuaiei caracteristice

Testul semnului:Considerm >0 rdcini reale

Teorema lui DescartesPentru ecuaia caracteristic, numrul rdcinilor pozitive nu poate fi mai mare dect numrul de schimbri n semnul coeficienilor ecuaiei, n timp ce numrul de rdcini negative nu poate depi numrul de continuri ale semnului.

( + + +) 2 rdcini negative( + - +) 2 rdcini pozitive

Testul de stabilitate:Putem obine informaii despre stabilitatea echilibrului direct din ecuaia caracteristic. Astfel, condiiile necesare i suficiente pentru stabilitate ( att pentru cazul rdcinilor reale, ct i pentru cazul celor complexe ) sunt:1 + + > 0 (27)1 - > 0 (28)1 - + > 0 (29)Dac toate cele trei condiii sunt satisfcute atunci rdcinile ecuaiei caracteristice vor fi stabile.

Soluia general= * + * + (30)n cazul ecuaiei cu diferene de ordin I, avem o singur constant necunoscut de rezolvat avem nevoie de o singur informaie suplimentar (). n cazul ecuaiei cu diferene de ordin II, avem nevoie de 2 constante, rezultnd nevoia de dou condiii iniiale (). = + + (31) = * + * + (32) (33) (34)Pentru = 0, sistemul va converge spre echilibru. (35)Cnd este satisfcut ecuaia (35), sistemul este pe braul stabil. Sistemul se va comporta ca o ecuaie cu diferene de ordin I cu rdcina stabil. Cnd =0 suntem pe braul instabil i sistemul se va comporta ca o ecuaie cu diferene de ordin I cu rdcina instabil.

Exemple de ecuaii cu diferene de ordin IIModelul Multiplicator- AcceleratorDac Modelul Multiplicatorului Keynesian este unul din modelele standard a ecuaiilor cu diferene de ordin I n economie, extensia sa n Modelul Multiplicator Accelerator este modelul standard pentru cele de ordin II. Se mai adaug o ecuaie a investiiilor. (1) (2)= (3)

Ultima ecuaie ne ilustreaz c investiiile au dou componente: partea autonom ( care n Modelul Multiplicatorului Keynesian reprezenta tot termenul I ) i un termen ce depinde cu un decalaj de o perioad de schimbrile la consum.n acest model rspunsul cheltuielilor cu investiiile la consum este explicat n sensul c cheltuielile cu investiiile rspund la ateptrile la profit. Astfel, ultima ecuaie spune c cheltuielile cu investiiile de astzi depind de consumul de ieri. Astfel se poate observa un decalaj ntre planurile de investiii i cheltuielile de investiii.

= = (4)

(5)Am obinut ecuaia cu diferene de ordin II a modelului. g = = cst (6)Se observ c am obinut aceeai valoare ca n cazul multiplicatorului Keynesian. Partea omogen a ecuaiei: (7) Ecuaia caracteristic: - (8) Rdcinile ecuaiei caracteristice: = (9) Testul semnului: Semnele elementelor ecuaiei caracteristice sunt: (+ - +) dac rdcinile sunt reale, atunci ambele sunt pozitive Produsul rdcinilor: >0 rdcinile dac sunt reale trebuie s aib acelai semn. Suma rdcinilor: >0 rdcinile sunt ambele pozitive Testul de stabilitate: 1 - + >0 1>0 Adevrat1 + >0 Adevrat1 + + >0 1+ 2 * >0 Adevrat

1 + >0 > -1 vc > -1* (1-c) v < (10)Pentru ca traiectoria sistemului s fie monoton, trebuie ca discriminantul s fie pozitiv. = 0 - 4 vc + 4v 0 vc - 4+ 4c0 vc 4 (1-c) v (11)Ecuaiile (10) i (11) nu pot fi satisfcute simultan. Dac (10) este adevrat atunci echilibrul este stabil i traiectoria lui Y este una ciclic. Aceast versiune a Modelului Multiplicator Accelerator implic comportament ciclic al economiei.

Modelul politicii de stabilizare Phillips: = + I + = Co + c * + , >0, >0

Am adugat o cheltuial guvernamental suplimentar, care depinde de schimbrile n Y dintre perioadele t-2 i t-1. Astfel, dac creterea lui Y este una pozitiv, atunci se reduc cheltuielile guvernamentale. Aceast idee ne ilustreaz c modelul este proiectat pentru a preveni o cretere prea rapid a economiei i a inflaiei.

= Co + c * + = Co+

Ecuaia caracteristic: Rdcinile ecuaiei caracteristice: = Cerinele de stabilitate: 1- c + Adevrat0 >01+ Adevrat

Observm c rdcinile sunt reale i nu vor fi oscilaii. Semnele ecuaiei caracteristice (+ - - ) (+ + - )Avem o rdcin pozitiv i o rdcin negativ.Rdcina negativ indic faptul c n ciuda situaiei c sistemul nu prezint oscilaii, va avea un element de alternare.

Modelul Cobweb al firmei

Introducem n plus o expresie pentru intrarea firmei.

(1) (2) (3)) , (4)

Ecuaia numrul 4 ilustreaz c numrul de firme pe pia n perioada t este egal cu numrul din perioada anterioar i un termen ajustat care depinde de diferena dintre nivelul preului n perioada t-1 i o valoare critic ().Dac n cazul unei piee perfect concureniale este un punct de minim de pe curba costului mediu al firmei.

(5)Avem astfel prin ecuaia 4 i 5 un sistem de dou ecuaii cu diferene de ordin II, cu dou variabile N i P. - ( ) * - () * + ( ) * - ( ) * - () * + ( ) * = - ( ) * - () * + ( ) * * * - ( ) * - () * +( ) * () * = - ( ) * + ( ) * * * - () * +( ) * = ( ) * - ( ) * * * Presupunem: - () * +( ) * = * * Aceasta este ecuaia cu diferene de ordin II n P - () * +( ) * = * * Preul de echilibru pe termen lung este preul critic pentru care numrul de firme rmne neschimbat n timp. Ecuaia caracteristic: Semnele ecuaiei: (+ - -) sau (+ + -)n ambele cazuri avem o singur schimbare de semn i o continuare, rezultnd o rdcin pozitiv i una negativ. Produsul rdcinilor: Dac rdcinile sunt complexe, ultimul termen al ecuaiei caracteristice ar trebui s fie pozitiv; rezultnd faptul c este negativ, deducem c rdcinile sunt reale. Rdcinile sunt de semne diferite. Din faptul c una din ele este negativ rezult c sistemul va reliefa alternane.

Modelul IS-LM dinamicntr-o economie cheltuielile reale se formeaz ca sum a cheltuielilor pentru consum, investiii i guvernamentale. Asfel cheltuielile reale sunt date de ecuaia:

00

Cererea de balane nominale reale: ; k,uDepinde pozitiv de nivelul venitului real i negativ de rata marginal a dobnzii.

Balanele monetare reale sunt date exogen:

Economia are dou piee principale: piaa bunurilor i serviciilor i piaa banilor. Fiecare dintre aceste piee ncearc s se ajusteze ctre echilibru, lucru care e descris de urmtoarele relaii de dinamic:(t) = * [ e(t) y(t) ]; >0 = (t) = ( ; >0Prima relaie arat c ajustarea pieei bunurilor se face astfel nct s se realizeze echilibrul dintre cererea pentru consum i oferta de produse existente pe pia.

A doua relaie exprim ajustarea pieei banilor n raport cu cererea de bani i oferta de bani care este dat exogen.Dac nlocuim n cele dou relaii mrimile cunoscute obinem:(t) = * [ e(t) y(t) ](t) = * [ - y(t) ](t) = * [ + * = (t) = ( = * k*y *u*r *Am obinut astfel un sistem de dou ecuaii difereniale neomogene cu coeficieni constani. Matriceal sistemul de mai sus se scrie astfel: = * + Dreptele de echilibru n planul de faze (y,r) se determin simplu punnd condiiile ca . Pentru prima condiie obinem: r = Curba ISSimilar pentru a doua condiie obinem: Curba LM Curba LM

Curba IS reprezint piaa bunurilor i a serviciiilor, curba investiiilor egale cu economisirile.IS reprezint toate combinaiile posibile dintre venit i rata dobnzii, care elibereaz piaa bunurilor i a serviciilor.Aceast pia se afl n stare de echilibru dac oferta agregat ( volumul de producie fabricat ntr-o perioad) este egal cu cererea agregat ( suma cheltuielilor tuturor agenilor economici planificate pentru aceast perioad ).Curba LM reprezint piaa monetar, curba cererii pentru mijloacele lichide egale cu masa monetar.LM reprezint toate combinaiile posibile dintre venit i rata dobnzii care elibereaz piaa banilor.Aceast pia se afl la echilibru dac este egal cu cererea de bani ( cantitatea de bani de care agenii economici au nevoie )

Acest punct reprezint echilibrul general al economiei i este notat cu . IS i LM se intersecteaz ntr-un punct de coordinate din spaiul fazelor (y,r).:

n figur sunt reprezentate i forele dinamice care acioneaz atunci cnd economia nu se afl la echilibru. Aceste fore sunt reprezentate de sgeile care sunt incluse n fiecare dintre cele patru cadrane ale spaiului de faz.Pentru a determina orientarea forelor respective, considerm pe rnd piaa bunurilor i apoi piaa banilor. Astfel, pentru pia bunurilor, curba IS reprezint locul geometric al punctelor n care aceast pia este la echilibru, adic cererea de bunuri este egal cu oferta de bunuri. Dac ne situm la dreapta acestei curbe, atunci:r de unde obinem:0 - hr -y

ceea ce implic < 0. Deci, la dreapta curbei IS venitul este descresctor. n acelai mod, stabilim c la stnga curbei IS, venitul este cresctorConsidernd apoi piaa banilor, pentru punctele aflate la dreapta curbei LM avem:

ceea ce implic:

de unde obinem > 0, deci rata dobnzii este cresctoare. Similar, pentru punctele aflate la stnga curbei LM, rata dobnzii este descresctoare. Punctele aflate chiar pe curba LM sunt cele care asigur echilibrul pieei banilor, deci n care cererea de bani este egal cu oferta de bani (dat exogen).Utiliznd acest model, putem s facem analize cantitative i calitative asupra evoluiei economiei ca urmare a apariiei unor ocuri i perturbaii. Astfel, dac considerm c economia este iniial la echilibru n punctul E0 i ea sufer ulterior o scdere a ofertei nominale de bani, aceasta scznd de la M0 la M1 atunci, evident, curba LM de echilibru a pieei banilor se va deplasa ntr-o nou poziie:

Se formeaz un nou punct de echilibru, E1 ctre care economia ncepe s se ndrepte. Exist, pentru aceasta, mai multe traiectorii posibile, notate n figur cu T1, T2, T3 i T4. Astfel, traiectoria T1 corespunde ipotezei extreme conform creia ajustarea pieei banilor are loc instantaneu, deci rata dobnzii va crete suficient de mult pentru a menine echilibrul pe pia banilor. Pe T1 economia se va deplasa de la E0 mai nti vertical n punctul A, deoarece venitul nu se modific nc, el rmnnd la nivelul y0. Dar, datorit creterii puternice a ratei dobnzii, investiiile vor scdea i, prin efectul multiplicator al acestora asupra venitului, acesta din urm va ncepe i el s scad. Pe msur ce venitul scade, cererea de bani scade i la fel rata dobnzii. Aceasta va continua s scad pn cnd se restabilete echilibrul pe piaa banilor. Acest lucru nseamn c ajustarea are loc de-a lungul curbei LM, cum arat de fapt i traiectoria T1. Pe msur ce rata dobnzii scade, venitul continu i el s scad, pn cnd se restabilete un nou echilibru n punctul E1.Traiectoria T2 corespunde cazului n care amndou piee se ajusteaz simultan i imperfect, pe msur ce economia trece din punctul de echilibru E0 n noul punct de echilibru E1. Astfel, rata dobnzii crete gradual pn cnd atinge un nivel r1, n timp ce venitul scade gradual pn cnd atinge un nivel y1. Dac economia evolueaz pe o astfel de traiectorie, atunci ea va atinge noul punct de echilibru fr s se manifeste anumite efecte negative legate de creteri exagerate ale ratei dobnzii, sau descreteri dramatice ale venitului. Dar nimeni nu ne spune c economia nu poate intra i pe alte traiectorii, cum ar fi T3 sau T4. De exemplu, n cazul traiectoriei T3, observm c are loc o evoluie n spiral a ratei dobnzii i a venitului. La fel, n cazul traiectoriei T4, avem creteri mari ale ratei dobnzii, urmate de descreteri rapide ale acesteia, ceea ce poate crea probleme pe pia banilor.O analiz similar se poate face n cazul unei creteri a masei monetare.

Se observ c, acum, curba LM se deplaseaz spre dreapta jos, formnd un nou punct de echilibru E1 cu curba IS. Se pot, de asemenea, analiza traiectoriile posibile ale economiei ntre cele dou puncte de echilibru i consecinele pe care fiecare dintre aceste traiectorii le are asupra pieei bunurilor, respectiv pieei banilor.

Exerciii: 1. Pentru un model IS-LM continuu se cunosc urmtoarele valori ai parametrilor:G = 50; k=0,25; c=0,75; t=0,25; u=0,5 h=1,525

a) S se arate c echilibrul iniial al economiei se gsete n punctul ( = (62, 15)b) O scdere a masei monetare reale la conduce la un nou punct de echilibru ( )?c) ntre cele dou puncte de echilibru evoluia economiei este descris de urmtoarele dou ecuaii dependente de valorile de ajustare i .

Considerm 3 combinaii posibile, fiecare corespunznd traiectoriilor T1, T2, T3.

T1: =0,05i =0,8T2: =0,1i =0,8T3: =0,5i =0,8

S se reprezinte cele 3 traiectorii i s se specific care dintre ele este admisibil.

Soluii:a) = y=62b) = Scderea masei monetare duce la creterea ratei dobnzii i la scderea venitului. 25 -0,5*y*0,4375 = 0,38125 * y -7,625 = 54, 375 ( 54,375; 17,18) este noul punct de echilibruc) = Pt. t=o

T3:

Economia cu trei sectoare

n acest caz sunt prezente la nivelul economiei unei ri: sectorul firmelor, sectorul gospodriilor i sectorul public sau guvernamental.Sectorul gospodriilor ofer spre nchiriere, pe piaa factorilor de producie: munca, materii prime i materiale. Aceti factori sunt nchiriai de sectorul firmelor, care i utilizeaz spre a crea producia ce va fi oferit pe piaa bunurilor i a serviciilor. De pe aceast pia, sectorul gospodriilor le cumpr pentru a le consuma.Sectorul public pentru a funciona are nevoie de venituri pe care le realizeaz colectnd taxe i impozite de la celelalte sectoare. Acesta contribuie la creterea veniturilor din sectorul gospodriilor prin transferuri: ajutoare sociale, ajutoare de omaj, burse etc.. Pe lng aceste pli, sectorul public realizeaz i cheltuieli destinate procurrii de bunuri i servicii (Ch. Guvernamentale). Producia de bunuri i serviciii realizate de guvern const n: educaie, sntate, aprare, administraie etc..

DB=G-T; G

Deficitul bugetar anual se acumuleaz i determin nivelul datoriei publice, pentru care se pltete dobnd.Funcionarea sistemului economiei cu 3 sectoare se poate reprezenta cu ajutorul urmtorului model matematic:

D = C + I + G C = ;

T= DB=G+TR-TD=Y

n acest model guvernul colecteaz taxe, efectueaz transferuri i realizeaz cheltuieli. Ultima ecuaie descrie evoluia procesului de ajustare a venitului total (Y) ctre valoarea sa de echilibru.

Rezolvarea modelului presupune determinarea venitului de echilibru, urmat de ajustarea dinamic a sistemului ctre echilibru.

D = c * (1-t) *Y +

nlocuind n relaia de echilibru rezult:

Y = c * (1-t) *Y +

; reprezint Cererea autonom

Dac oricare din componentele lui A se modific, atunci se modific i nivelul de echilibru al venitului. Schimbarea este msurat de multiplicatorul cheltuielilor autonome:

k = =

DB = G+TR-

O cretere a lui G sau TR duce la creterea deficitului bugetar, n timp ce o cretere a lui i tY duce la scderea acestuia.

A doua etap n rezolvarea modelului, dup determinarea valorii de echilibru a variabilelor endogene, este determinarea traiectoriei de ajustare ctre echilibru.

Y]

Aceasta este o ecuaie diferenial neomogen de ordin I, a crei soluie este:+ Soluia este stabil dac: -a*[1-c(1-t)] [1-c(1-t)] Exerciii:1. Se cunosc datele: c=0,9; t=1/3. Guvernul decide s i creasc cheltuielile pentru a obine creterea PIB-ului cu 750 u.m.. Cu ct trebuie s creasc G i care este politica? Ce se ntmpl cu deficitul?

Soluii: k = 2,5

DB=G-T+Tr DB = G t* Y DB = G t*k*G DB=50 u.m.2. Se cunosc datele: c=0,9; t=1/3, DB=15 u.m.a) Cu ct trebuie s se modifice nivelul investiiilor pentru a rezulta aceast cretere a deficitului bugetar?b) Cu ct trebuie s se modifice G pentru a rezulta aceast cretere?Soluii:a) DB = G-T+Tr = G + Tr tY-DB = - t * Y Y = -45 u.m.Y= k * I I= -18 u.m.b) DB = G t*k*G G=90

3. Ct este variaia venitului dac transferurile se modific cu 100 u.m.?Soluii:

Y =

4. Dac variaia taxelor autonome este de 10, ct va deveni valoarea venitului total?Soluii: Y = = -22.5 u.m.5. Se cunoate rata fiscalitii ca fiind egal cu 2/3. Cu ct va varia venitul?Soluii:k = 1,42Y= Y= A * A* A * = Exerciii:1. Stabilii punctele de echilibru a urmtoarelor sisteme discrete:a) x ( t + 1) = 5 0,2*x(t); x(0)=2b) x ( t + 1 ) = -2 + 3*x(t); x(0)=0,5c) x ( t + 1 ) = 3 + * x(t); x(0)=1Rezolvare:a) Punctele fixe sau de echilibru se ntlnesc dac:x (t+1) = x(t) = ;

2. Stabilii dac sistemele din exerciiul anterior sunt stabile sau instabile global.

Stabilitatea global a sistemelor liniare este ilustrat de panta ecuaiei cu diferene. Dac panta este negativ, atunci sistemul este stabil global. n caz contrar, sistemul este instabil.

Rezolvare:a) x ( t + 1) = 5 0,2*x(t) x(t) x(t+1) = 5 1,2 x(t) Panta este negativ, rezultnd un sistem stabil global

3. Convertii fiecare ecuaie liniar recursiv n ecuaie cu diferene echivalent. Utilizai ecuaiile cu diferene pentru a stabili punctul de echilibru i dac sistemele sunt stabile sau nu.a) x (t+1) = 2- 0,75*x(t)b) x (t+1) = 4 x(t)c) x (t+1) = 5 2*x(t)

Rezolvare:a) x (t+1) = 2- 0,75*x(t) x(t) x (t+1) = 2- 1,75*x(t) ( Ec. cu diferene )Punctul de echilibru: 2 0,75 * Panta este negativ echilibrul este stabil

4. Stabilii dac urmtoarele sisteme sunt stabile, instabile sau ciclice:a) y (t+1) = -0,5*y(t) + 3; y(0)=1b) 2 * y (t+1) + 3*y(t) = 4; y(0)=0,75Rezolvare:a) y (t+1) = -1,5*y(t) + 3; Panta este negativ echilibru stabili diagrama Cobweb ilustreaz c sistemul este stabil i oscileaz spre un echilibru.

5. Se d modelul:

p (t + 1) = 0,1 * [ ]q (t) = min []

Preul i cantitatea de echilibru sunt ?Rezolvare: p (t + 1) = 0,1 * [ ] p (t + 1) = 0,1 * [ ]p (t + 1) p(t) + 0,5 p(t) = 12La echilibru: = 24

, 52) = 526. Piaa de alune este dat de:

p (t - 1)q (t) = a) Care sunt preul i cantitatea de echilibru?b) Dac se percepe o tax de 9 $/unitate, care va fi noul pre de echilibru i va fi el atins?Rezolvare:a) La echilibru avem: i b) Primul pas este acela de a gsi o nou ecuaie pentru noua curb a ofertei ce include taxa. Din moment ce aceast tax se regsete n creterea preului, trebuie s exprimm preul ca o funcie a cantitii. *4

Dup aplicarea taxei curba ofertei devine:

Noul pre de echilibru i noua cantitate de echilibru sunt:52 - 0,5 *

=10,5

7. Se presupune c PIB-ul este de 6000 u.m. Veniturile personale disponibile Yd =5100 u.m., deficitul bugetar este 200, consumul este egal cu suma de 3800u.m. iar deficitul comercial -100.Se cere: a) nivelul economisirii b) investiiac) nivelul cheltuielilor guvernamentaleRezolvare:5100DB = G +Tr T = 200C =3800DC = X IM = -100; X= exporturi i IM = importuria) b) PIB = YY = C + I + G + NX; NX= export net + Tr 900 = - Tr + TDB = G +Tr T G = 1100 u.m.I = Y C- G NX = 6000 3800 1100 + 100 = 1200 u.m.

8. Datele de mai jos reprezint informaii referitoare la calcularea venitului naional pentru o anumit ar: PIB=6000u.m.; Investiia brut = 800 u.m.; Investiia net: 200 u.m.; consumul=4000u.m.; cheltuieli guvernamentale = 1100 u.m.; deficit bugetar = -30 u.m.. Se cere calcularea PIN, T-Tr, NX, Yd i S ( economisirea). Rezolvare:a) PIN = PIB A = 5400 u.m.I net = I brut A (amortizare) A = 600 u.m. b) DB = G + TR T TR T = - 1130 u.m.c) NX = PIB C I G =6000 4000 800 1100 = 100 u.m.d) Yd = Y T + TR = 4870 u.m.e) S = Yd C = 870 u.m.

9. Cunoscnd datele pentru o economie cu dou sectoare ( ; c = 0,7 i I= 1000 u.m.), s se determine efectul creterii investiiilor cu 50 u.m..Rezolvare:Y = + c * Y + I Y = Y = = 166,6 u.m.10. Din analiza dinamicii consumului i venitului pentru dou perioade succesive s-a obinut urmtorul tabel:PerioadaY ( venitul)C ( consumul)

0662625

1632605

S-a estimat c investiiile n echipamente ale sectorului privat vor crete n cu 20 u.m.. Ce se va ntmpla cu venitul n perioada ?Rezolvare:c = I = 20 Y = = 60 u.m.

Economia cu patru sectoare: - se mai adaug si sectorul extern NX D = C + I + G+NX C = ;

T= DB=G+TR-TD=Y

Exerciii:1. Se cunosc datele: c= 0,9; t = 1/3.a) Deficitul bugetar a crescut cu 15 u.m. Cu ct trebuie s se modifice nivelul investiiilor pentru a rezulta aceast cretere?b) Cu ct trebuie s se modifice cheltuielile guvernamentale?

Rezolvare:

a) DB = - t * Y Y = - 45 u.m.k = 2,5 Y = k * I I = -18 u.m.b) Y = k * G; DB = G + Tr - T DB = G t * k * G G = 90 u.m.2. Se cunosc datele: c= 0,9; t = 1/3.Cu ct trebuie s scad cheltuielile guvernamentale pentru a reduce deficitul bugetar cu 100 u.m.?

Rezolvare:DB = G + TR - - t * Y

Y = k * G DB = G t * k * G

k= 2,5 G = - 600 u.m.

3.3. Sisteme difereniale unidimensionale - Teoria ecuaiilor difereniale finite trateaz sistemele continue n timp, . Forma general a unei ecuaii difereniale liniare cu coeficieni constani de ordin n este urmtoarea:

+ Dac b=0, ecuaia este omogen. n caz contrar, ecuaia e neomogen. este notat i cu i reprezint modificarea marginal a lui y(t). Soluia ecuaiei este de forma y(t)=, cnd b=0.++=0++=0 - Ecuaia caracteristicSoluia ecuaiei neomogene este suma dintre soluia general a ecuaiei omogene plus o soluie particular . Soluia general a ecuaiei omogene este de forma: . Pentru n=2(t)++=b+=0+=0 a)

b)

c) (rdcini conjugate)= Conform formulelor lui Euler, .; unde Pentru determinarea soluiei particulare, punem condiia ca aceasta s verifice ecuaia neomogen. Soluia particular este ntotdeauna de forma termenului liber!

Exemple:Modelul lui Harrod unde S(t) reprezint economiile la momentul t, s e rata medie i marginal a economiilor i I(t) investiia ateptat.sY(t)=gFiind o ecuaie omogen . Y(0)== A y(t)=

Modelul LogisticProfesorul belgian P.F. Verhulst construiete modelul logistic ca reacie la teza maltusian a creterii explozive a populaiei. Malthus formuleaz urmtorul model al dinamicii populaiei:

ecuaie cu variabile separabile=n-P(0)=Teoria Verhulstian susine c volumul deceselor este n funcie de volumul populaiei; este o funcie ptratic al volumului populaiei.D(P(t))=; >0 - ecuaie de tip RicattiRealizm o schimbare de variabil:x(t)=(t)= (t)*(t)*= (t)= = n x(t) + (t)= z = cst

z==x(t)=+Pt t=0 x(0)=+=C=x(t)=[]P(t)= Curba LogisticAplicaie numeric: Cunoscnd n=0,007; =0,00005; P(0)=10000, =0,001. Ilustrnd procesul de dinamic a creterii populaiei la ipoteza Malthusian i Verhulstian.tP(t) MalthusP(t) Verhulst

0

1...

61