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Ejercicios Propuesto
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Sem
estr
e2006-I
Guıa No 3. sistemas Lineales Estacionarios. 1/17
Guıa 2.
Sistemas Lineales Estacionarios.
1.-Sea u(t), una funcion continua en el intervalo real [0, 1], entonces la aplicacion que se muesta acontinuacion representa un sistema:
y(t) =
∫ t
0
u(τ)dτ, 0 ≤ t ≤ 1
el sistema ¿sera lineal y/o estacionario?
2.-
Dado una aplicacion de un sistema que se modela por medio de una funcion que esta definidamediante la integral:
y(s) =
∫
1
0
k(s, t)u(t)dt,
donde k(s, t), es una funcion continua de s y de t en el intervalo 0 ≤ s, t ≤ 1; y u(t) es unafuncion de t y continua en 0 ≤ t ≤ 1. Determinar si el sistema es el lineal y/o estacionario.Nota: La ecuacion integral anterior recibe el nombre de ecuacion integral de Fredholm deprimera especie.
3.-Dado un sistema monovariable caracterizado por la relacion de una entrada y una sola salida,esta dado por:
y la salida esta representada por:
y(t) =
∫
∞
−∞
u(τ)h(t− τ)dτ
¿Es esto un sistema lineal y/o estacionario?
UNEXPO “Antonio Jose de Sucre” / Vicerrectorado “Luis Caballero Mejıas” / Dpto. de Ing. de SistemasSeccion de Controles Industriales / Asignatura: Modelaje y Simulacion Digital.-Elaborado Por: Prof. David Jaen, Prof. Angel Ramos y Prep. Larry Mendoza.-
Sem
estr
e2006-I
Guıa No 3. sistemas Lineales Estacionarios. 2/17
4.-
Dado un sistema multivariable caracterizado por la relacion de dos entrada y dos sola salida, yeste representa un sistema electrico pasivo que se muestra a continuacion:
se sabe que la dos salida del sistema son de la forma:
y1(t) =
∫ t
0
2u1(τ)
(
1− e−τ)
dτ y2(t) =
∫ t
0
u2(τ)e4τ
dτ
¿Es un sistema lineal y/o estacionario?
5.- Cada una de las ecuaciones que se dan a continuacion representa un sistemas, comprobar: sison o no lineales y/o estacionario.
(i) y(t) =
∫ t
t0
eτ − t
u(τ)dτ (ii) y(t) = A(t)
∫ t
t0
eτ − t
u(τ)dτ
(iii) y(t) = A(t)u(t) +
∫ t
t0
u(τ)dτ (iv) y(t) = x0et0 − t
+
∫ t
t0
eτ − t
u(τ)dτ
(v) (vi)
(v) (vi)
6.- Demuestre que si en un sistema lineal estacionario y(t) es la salidad para la entrada u(t), en-tonces, y(t) es la salida para la entrada u(t).
7.-Considere un sistema definido por la ecuacion:
y(t) = u(t), t ≤ α
y(t) = 0, t > α
para cualquier u(t), donde α en una constante fija.
(i) ¿Es el sistema lineal? (ii) ¿Es estacionario?
UNEXPO “Antonio Jose de Sucre” / Vicerrectorado “Luis Caballero Mejıas” / Dpto. de Ing. de SistemasSeccion de Controles Industriales / Asignatura: Modelaje y Simulacion Digital.-Elaborado Por: Prof. David Jaen, Prof. Angel Ramos y Prep. Larry Mendoza.-
Sem
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e2006-I
Guıa No 3. sistemas Lineales Estacionarios. 3/17
8.- Considere un sistema lineal con entrada u y salidad y. Se realizan tres esperimentos en elsistema utilizando como entrada u1 , u2 y u3 para t ≥ 0. En cada cado el estado inicial ent = 0, x(0), es el mismo. la salidas obsevadas fueron y1 , y2 y y3 respectivamente. ¿Cuales delas siguientes tres afirmaciones son cierta si x(0) 6= 0?
(i) Si u3 = u1 + u2 , entonces y3 = y1 + y2 .
(ii) Si u3 = 1
2(u1 + u2), entonces y3 = 1
2(y1 + y2).
(iii) Si u3 = u1 − u2 , entonces y3 = y1 − y2 .
9.-Considere el sistema que se muestra a continuacion:
para t0 ≤ t < t1 , el interruptor s esta abierto y para t ≥ t1 , esta cerrado.
(i) ¿Es el sistema lineal? (ii) ¿Es estacionario?.
Nota: Suponga que la posicion de s depende de y(t). Si y(t) es positivo, s esta abierto y siy(t) es negativo, s esta cerrado.
10.- Dada las siguientes ecuaciones, mostrar por sustitucion que son solucion de la ecuaciondiferencial.
(i)
x(t) = eAt
x0
x(t) = Ax(t), x(0) = x0
( ii )
x(t) = eAt
x0 +
∫ t
0
eA(t− τ)
Bu(τ)dτ
x(t) = Ax(t) +Bu(t), x(0) = x0
(iii) ( iv )
x(t) = eAt∫ t
0
e−Aτ
dτ + eAt
x(t)−Ax(t) = 1
( v )
x(t) = eAt
x0 +
∫ t
t0
eA(t− τ)
Bu(τ)dτ
x(t) = Ax(t) +Bu(t), x(0) = x0
UNEXPO “Antonio Jose de Sucre” / Vicerrectorado “Luis Caballero Mejıas” / Dpto. de Ing. de SistemasSeccion de Controles Industriales / Asignatura: Modelaje y Simulacion Digital.-Elaborado Por: Prof. David Jaen, Prof. Angel Ramos y Prep. Larry Mendoza.-
Sem
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e2006-I
Guıa No 3. sistemas Lineales Estacionarios. 4/17
( vi )
x(t) =
∫ t
t0
e
A(t− τ)cos (A(τ − t))u(τ)dτ + u(τ)
x(t) + 2A (x(t)− x(t)) = u(t)− 2Au(t)
( vii )
x(t) =
∫ t
t0
e
A(t− τ)cos
(
A(τ − t))
dτ +A−1
x+ 2A(Ax(t)− x(t)) = A
(viii)
x(t) = x0eAt
+
∫ t
t0
e
A(t− s)B(s)u(s)ds+
∫ t
t0
e
A(t− s)F (s, F (s, x(s), u(s)))ds
˙x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t) + F (t, x(t), u(t))
(ix)
x(t) =
∫
cos θ(t)dt; ∧ y(t) =
∫
cos θ(t)dt
t(α) = f ′′(α) + f ′′(α)
x(α) = cos(α)f ′′(α) + sen (α)f ′(α)
y(α) = sen(α)f ′′(α)− cos (α)f ′(α)
(
x(t))2
+(
y(t))2
= 1
11.- Encuentre la matriz eAt
en lo siguientes casos:
Caso 1.-
( i ) A =
[
0 0
1 0
]
( ii ) A =
[
1 0
1 1
]
( iii ) A =
[
1 0
1 2
]
( iv ) A =
[
−2 −2−5 1
]
( v ) A =
[
3 −1−2 4
]
( vi ) A =
[
5 −24 −1
]
( vii ) A =
[
2 −15 −2
]
( viii ) A =
[
3 −51 −1
]
( ix ) A =
[
−10 −77 4
]
(x ) A =
[
−2 1
5 2
]
(xi ) A =
[
−12 7
−7 2
]
(xii ) A =1
2
[
3 5
−5 −3
]
(xiii ) A =
[
λ1 0
0 λ2
]
(xiv ) A =
[
σ ω
−ω σ
]
(xv ) A =
[
0 0
λ1 0
]
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Guıa No 3. sistemas Lineales Estacionarios. 5/17
7.-
Caso 2.-
( i ) A =
0 1 1
0 0 1
0 0 0
( ii ) A =
0 1 1
0 1 1
0 0 0
( iii ) A =
2 0 0
0 1 0
0 1 1
( iv ) A =
0 1 0
0 0 1
2 −5 4
( v ) A =
−1 1 0
1 1 0
0 0 1
( vi ) A =
1 0 2
0 1 3
0 0 1
( vii ) A =
0 1 0
0 0 1
−6 −1 −6
( viii ) A =
3 −1 1
2 0 1
1 −1 2
( ix ) A =
1 1 −2
−1 2 1
0 1 −1
(xi ) A =
4 6 6
1 3 2
−1 −5 −2
(xi ) A =
−1 −18 −7
1 −13 −4
−1 25 8
(xi ) A =
0 0 0
1 0 0
0 1 0
Caso 3.-
( i ) A =
1 1 0 00 2 1 00 0 3 00 0 0 4
( ii ) A =
2 1 0 00 2 0 00 0 3 10 0 0 3
( iii ) A =
−4 1 0 00 −4 1 00 0 −4 00 0 0 3
( iv ) A =
0 0 0 01 0 0 00 1 0 00 0 1 0
12.- Calcular la exponecial de una matriz, reduciendola po bloques de Jordan, cada una de lamatrices que se dan a continuacion.
( i ) J =
1 0 0 0 0
0 2 1 0 0
0 0 2 1 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 2
( ii ) J =
1 0 0 0 0
0 1 2 0 0
0 0 1 2 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
( iii ) J =
2 0 0 0 0
0 3 1 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 5 1
0 0 0 0 5
( iv ) J =
2 1 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 0 3 1 0 0
0 0 0 3 1 0
0 0 0 0 3 0
0 0 0 0 0 4
( v ) J =
4 1 0 0 0 0
0 4 0 0 0 0
0 0 3 1 0 0
0 0 0 3 1 0
0 0 0 0 3 0
0 0 0 0 0 4
( vi ) J =
4 1 0 0 0 0 0
0 4 0 0 0 0 0
0 0 3 1 0 0 0
0 0 0 3 1 0 0
0 0 0 0 3 0 0
0 0 0 0 0 5 1
0 0 0 0 0 0 4
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Guıa No 3. sistemas Lineales Estacionarios. 6/17
13.- Dada la siguientes matrices
A =
[
1 11 1
]
B =
1 1 11 1 11 1 1
(i) Demostrar que An = 2n−1A, donde n ∈ .
(ii) Hallar una forma de recurrencia para calcular Bn donde n ∈ .
14.- Dada la siguiente matriz
A =
1 0 10 0 01 0 1
(i) Demostrar que A4 = 8A (ii) Calcular An donde n ∈ .
15.- Sean la siguientes matrices:
A =
[
0 11 0
]
B =
[
1 00 −1
]
C =
[
α 1−α2
β
β −α
]
D =
[
a√1− a2√
1− a −a
]
Demuestre que:
(i) A4 = A2 = I, A5 = A3 = A, A2n, donde n ∈ A2n−1, donde n ∈
(ii) B4 = B2 = I, B5 = B3 = B, B2n, donde n ∈ B2n−1, donde n ∈
(iii) C4 = C2 = I, C5 = C3 = C,
(iv) D4 = D2 = I, D5 = D3 = D,
Buscar una formula de recurrencia para (B +B−1)n; (B +B−1)2n+1
16.- Dada la siguiente matrices
J =
[
0 −11 0
]
(i) Demostrar que:
(a) J2 = J4 = −I, (b) J3 = J5 = −J .
(ii) Calcular:
(a) J60, (b) J62, (c) J106, (d) J806, (e) J1228.
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Guıa No 3. sistemas Lineales Estacionarios. 7/17
17.- Sea la Matriz
A =
[
i 11 −i
]
donde i =√−1, demuestre que:
(i) A2 = 0, (ii) A = AT (iii) ATA = 0
18.- Dada la Matriz
A =
[
i 00 i
]
siendo i =√−1, halle una expresion para An para n ∈
19.- Demostrar que las matrices
A =
1 a1 b1
0 1 00 0 1
, B =
1 −a1 −b1
0 1 00 0 1
satisface la relacion AB = I
20.- Dada la matriz
A =
0 1 01 0 00 0 1
.
Demuestre que B−1 = B
21.- Sea la matriz
A =
2 2 00 3 11 0 1
.
Demostrar que
A−1 = 1
8
(
A2 − 6A+ 11I)
22.- Determine los valores de x para que la matriz A y B sea singular o no regular.
A =
3− x 2 21 4− x 1−2 −4 −1− x
B =
0 x− a x− b
x+ a 0 x− c
x+ b x+ c 0
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Guıa No 3. sistemas Lineales Estacionarios. 8/17
23.- Si
T (θ) =
[
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
]
(i) Demostrar que T (θ1)T (θ2) = T (θ2)T (θ1) = T (θ1 + θ2).
(ii) Conseguir la formula de recurrencia de: (T (θ) + T (θ)−1)n
24.- Demuestre que la matriz real
A =
[
a h
h b
]
donde a = b, se transforma en una matriz diagonal
B =
[
0 h− a
h+ a 0
]
mediante la expesion B = T−1AT , en donde:
T =
[
cosα − senα
senα cosα
]
halle el valor de α, para que exista esta transformacion.
25.- Sean tres matrices:
I =
0 1 0 0−1 0 0 00 0 0 −10 0 1 0
J =
0 0 1 00 0 0 1−1 0 0 00 −1 0 0
K =
0 0 0 10 0 −1 00 1 0 0−1 0 0 0
Demostrar que:I2 = J 2 = K2 = I · J · K = −I.
26.- Escribir, para dos matrices simetricas A y B, A ≥ B para indicar que A − B es definida nonegativa. Demostrar que A ≥ B no implica necesariamente que A2 ≥ B2.
27.- Denotemos como anteriormente por A ≥ B para A y B matrices simetricas, el hecho de queA−B sea definida o negativa. Demostrar que A ≥ B implica B−1 ≥ A−1.
28.- En consecuancia probar que B−1 ≥ A−1 si A y B son simetricas y A ≥ B > 0.
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Guıa No 3. sistemas Lineales Estacionarios. 9/17
29.- Dada la siguiente matriz demuestre que:
si A =
λ1
1 0 · · · 0
0 λ1
1 · · · 0
...
0 0 0 · · · 1
0 0 0 · · · λ1
⇒ eAt
=
eλ
1t
teλ
1t
t2
2!eλ
1t · · · · · · t
n−1
(n−1)!eλ
1t
0 eλ
1t
teλ
1t · · · · · · t
n−2
(n−2)!eλ
1t
......
.... . .
.........
.... . .
...
0 0 0 eλ
1t
30.- Use el resultado obtenido en el ejercicio anterior para obtener eAt
, si:
A =
λ1 1 0 0 0
0 λ1 1 0 0
0 0 λ1 0 0
0 0 0 λ2 1
0 0 0 0 λ2
31.- Dada la siguiente matriz demuestre que:
si A =
0 0 0 · · · 0
1 0 0 · · · 0
0 1 0 · · · 0
.... . .
. . .. . ....
. . .. . .
. . .
0 · · · · · · 0 1 0
⇒ eAt
=
1 0 0 · · · 0
t 1 0 · · · 0
t2
2!t 1 · · · 0
.... . .
. . .. . ....
. . .. . .
. . .
0tn−1
(n−1)!· · · · · ·
t2
2!t 1
32.- Use el resultado obtenido en el ejercicio anterior para obtener eAt
, si:
A =
0 0 0 0 0
1 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
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Guıa No 3. sistemas Lineales Estacionarios. 10/17
33.- Si BC = CB y si
A =
I 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·−B I 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · ·C −B I 0 · · · · · · · · · · · ·0 C −B I 0 · · · · · ·......
entonces
A−1 =
I 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·D1 I 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · ·D2 D1 I 0 · · · · · · · · · · · ·D3 D2 D1 I 0 · · · · · ·
Determinar la relaciones de recurrencia para los Di
34.- Encuentre una matriz B tal que eB
= C, en los siguintes casos:
( i )
λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ3
( ii )
eλ
eλ 1
2eλ
0 eλ
eλ
0 0 eλ
35.- Si A11 , A12 , A21 , A22 , son matrices cuadrada no singulares del mismo orden, se verifica que:
A =
[
A11 A12
A21 A22
]
es A−1 =
(
A11 −A12A−1
22A21
)
−1 (
A21 −A22A−1
12A11
)
−1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(
A12 −A11A−121
A22
)
−1 (
A22 −A21A−111
A12
)
−1
p
p
p
p
36.- Use el resultado anterior para encontrar la invesa de las matrices:
A =
1 0 1 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 1 1 1
B =
0 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
C =
4 4 2 1
1 4 3 2
2 3 4 1
1 2 3 4
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Guıa No 3. sistemas Lineales Estacionarios. 11/17
37.- Comprobar que la inversa de la matriz definida por bloques:
A =
[
A11 A12
A21 A22
]
es A−1 =
A−111
[
I +A12
(
A22 −A21A−111
A12
)]
−1 −A−111
A12
(
A22 −A21A−111
A12
)
−1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(
A22 −A21A−1
11A12
)
−1A21A
−1
11
(
A22 −A21A−1
11A12
)
−1
p
p
p
p
si la inversa indicada existe.
38.- Use el resultado anterior para encontrar la invesa de las matrices:
A =
1 0 1 2
0 1 0 1
2 0 1 2
1 4 2 1
B =
3 1 0 0
1 2 1 0
0 1 1 1
0 0 1 0
C =
1 2 3 1
1 3 3 2
2 3 3 3
1 1 1 1
39.- Sea la matriz:
A =
1 1 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0
use los resultados de los ejercicios 34 y 36 para hallar la inversa y muestre que los dos resultadoson iguales.
40.- Sea
A =
0 1 0
−2 3 1
0 0 −1
aproxime eAt
con I+At+ A2t2
2+ A3t3
6, y estime la magnitud de los errores cometido si t = 0, 01.
41.- Una matriz A, es nilpotente si A2 = A, demostrar: si A es una matriz nilpotente entonces:
eA
= I + (e − 1)A
42.- A partir de la defincion de eAt
, demuestre que:
( i ) AeAt
= eAt
A ( ii )
(
eAt)
−1
= e−At
( iii ) eA(t0 + t1) = e
At0eAt1 ⇔ AB = BA ( iv ) e
(A+B)t= e
AteBt
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Sem
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e2006-I
Guıa No 3. sistemas Lineales Estacionarios. 12/17
43.- Demuestre que x(t) = e
∫ t
0 A(z)dz; es solucion de x(t) = A(t)x(t), con condicion inicial x(0) = I,si y solo si,
A(t)
∫ t
0
A(z)dz =
(∫ t
0
A(z)dz
)
A(t), t ≥ 0
44.- De un ejemplo de una matriz A(t), para la cual esta condicion no es satisfecha.
45.- Sean x(t) y y(t), matrices soluciones de:
x(t) = Ax(t) +By(t)
y(t) = Cx(t) +Dy(t)
y considere el cambio Z = xy−1. Demuestre que Z satisface la ecuacion de Ricatti:
Z = AZ +B − ZCZ − ZD.
46.-Obtener la serie de perturbacion:
eA+ εB
= eA
+ εf1(A, B) + ε2f2(A,B) + · · · · · ·
Considerando eA+ εB
; como x(1), donde:
x(t) = (A+ εB)x(t), x(0) = I.
47.- Demuestre que la ecuacion x(s + t) = x(t)x(s), para −∞ < s, t < ∞; y la continuidad de x(t)
implica que x(t) = eAt
, para alguna matriz constante A.
48.- Si T−1(t), existe y es diferenciable para todo t, demuestre que:
d
dt[T−1(t)] = −T−1(t)
[
d
dtT (t)
]
T−1(t).
49.- Si la matriz de trancision de estado o matriz fundamental del sistema es: Φ(t) = L(t)eBt
; donde
B = L−1(t)(
A(t)L(t)− L′(t))
. Demostrar que Φ′(t) = A(t)Φ(t).
50.- Dado el siguiente sistema lineal homogeneo: x′(t) = A(t)x(t). Demostrar que al hacer el cambiox(t) = L(t)Z transforma el sistema lineal homogeneo a un sistema de coeficiente constante dela forma Z ′ = BZ; donde: B = L−1(t) (A(t)L(t)− L′(t)).
51.- Dado la matriz fundamental de sistema Φ(t) = A(t)eBt
; donde B es una matriz constante yademas existe la matriz investible A(t); entonces demostrar que A(t+ t0) = A(t).
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Guıa No 3. sistemas Lineales Estacionarios. 13/17
Observacion: El ejercicio 50 es resultado del Toerema de Erugin y en el ejercicio 51 esresultado del Teorema de Floquet.
52.- Sea la matriz fundamental del sistema lineal, el cual esta representado por relacion:
x(t) = A(t)e
[
tt0ln (x(t0))
]
donde A(t), es una matriz periodica, no singular, entonces se pide demostrar que:
A(t+ t0) = A(t).
53.- Demostrar que la transformacion lineal x(t) = B(t)y, donde:
B(t) = x(t)e
[
− tt0lnx(t0)
]
transforma el sistema lineal periodico x(t) = A(t)x(x), en el sistema lineal estacionario:
y = 1
t0lnx(t0).
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54.- Dado el circuitos R− L− C; que se muestra a continuacion:
(a ) Obtenga el modelo matematico.-
(b ) Encuentre las ecuaciones de estado yexpresela en su forma matricial e indiquelas matrices A, B, C y D.-
(c ) Resuelva las ecuaciones de estado, asumiendo que R = 2Ω; L = 1H; C = 1F ;
e(t) = 4et; las condiciones iniciales son x1(0) = 1; x2(0) = 1. Determine x1(t); x2(t)
y y(t).-
55.- Dado el circuitos R− L− C; que se muestra a continuacion:
(a ) Obtenga el modelo matematico.-
(b ) Encuentre las ecuaciones deestado y expresela en su formamatricial e indique las matricesA, B, C y D.-
(c ) Resuelva las ecuaciones de es-tado, sabiendo que R = 60Ω;L = 1 H; C = 0,01 F ; y
e(t) = 961et; las condiciones iniciales son x1(0) = x2(0) = 1. Determine I
L(t); , V
c(t);
y1(t) y y2(t).-
56.- Sea el circuitos R− L− C; que se muestra a continuacion:
(a ) Obtenga el modelo matematico.-
(b ) Encuentre las ecuaciones de estado yexpresela en su forma matricial e indiquelas matrices A, B, C y D.-
(c ) Resuelva las ecuaciones de estado, asum-iendo que R = 2 Ω; L = 1 H; C = 1
2F ;
i(t) = − sen (t); cos (t) las condiciones iniciales son x1(0) = x2(0) = 1. DetermineI
L(t); V
c(t) y y(t).-
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57.- Dado el sistema mecanico (masa-resorte-amortiguador); que se muestra a continuacion:
(a ) Obtenga el modelo matematico.-
(b ) Encuentre las ecuaciones de estado yexpresela en su forma matricial e indiquelas matrices A, B, C y D.-
(c ) Resuelva las ecuaciones de estado, asumien-do que m = 1
2kg. ; k = 1
2; β = 1 ;
u(t) = 2et; las condiciones iniciales son x1(0) = x2(0) = 1. Determine x1(t); x2(t)
y y1(t).-
58.- Sea un sistema mecanico (masa-resorte-amortiguador); que se muestra a continuacion:
(a ) Obtenga el modelo matematico.-
(b ) Encuentre las ecuaciones de estadoy expresela en su forma matricial eindique las matrices A, B, C y D.-
(c ) Resuelva las ecuaciones de estado,asumiendo que m = 1 kg.; k = 1;β = 2; u(t) = 2 sen (t); las condiciones iniciales son x1(0) = x2(0) = 1. Determinex1(t); x2(t) y y1(t).-
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59.-Encuentre las ecuaciones de estados para las redes electricas mostrada en la figura ( i )− ( viii )e indique las matrices A, B, C y D.
Figura ( i ) Figura ( ii )
Figura ( iii ) Figura ( iv )
Figura ( v ) Figura ( vi )
Figura ( vii ) Figura ( viii )
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60.- Encuentre las ecuaciones de estados para los sistemas mecanico mostrada en la figura ( i )− ( ii )e indique las matrices A, B, C y D.
Figura ( i ) Figura ( ii )
60.- Encuentre las ecuaciones de estados para los sistemas hidraulicos mostrada en la figura( i )− ( iv ) e indique las matrices A, B, C y D.
Figura ( i ) Figura ( ii )
Figura ( iii ) Figura ( iv )
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