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Modelagem e Simulação de Sistemas.
Enrique Ortega
Unicamp, março 2006.
Revisão: junho 2007
www.unicamp.br/fea/ortega
Faculdade de Engenharia de Alimentos
Laboratório de Engenharia Ecológica e Informática Aplicada
Modelagem e simulação
a. As leis da Termodinâmica;
b. Os balanços de massa e energia;
c. O conceito de sistema fechado e aberto;
d. A tipologia das fontes de energia,
e. As funções que descrevem as interações entre os elementos de um sistema.
Para fazer a simulação de sistemas é necessário conhecer:
Para representar um sistema usaremos o diagrama de fluxos de energia.
Nesse diagrama usam-se símbolos gráficos (ícones) para mostrar os componentes e as interações do sistema.
Existem símbolos para: fontes externas, linhas de escoamento de energia e/ou massa, interações de forças e estoques de energia.
“Ecossistemas e Políticas Públicas”: http://www.unicamp.br/fea/ortega/eco
“Modelagem e simulação de Ecossistemas”: http://www.unicamp.br/fea/ortega/eco/ecosim
Fluxo de Energia
Produtor
Fonte externa ilimitada
Estoque interno
Transação
preço
Sumidouro de Energia
Fonte externa não renovávellimitada
ConsumidorInteração
Sistema ou subsistema
Interruptor
Símbolos com conexões
Fonte externa renovávellimitada
Existem várias técnicas de modelagem:
A determinística consiste em propor um tipo de comportamento entre forças, interações e produtos para um sistema, ela exige testar o desempenho do modelo e achar os valores corretos para os coeficientes utilizados.
a estatística, a fenomenológica, a determinística, e outras.
Porque simular? Geralmente interessa prever o desempenho de um sistema, observando como mudam os estoques internos com o tempo (Q versus T).
O modelo permite visualizar o impacto de:
alteração na composição das forças externas
formação de novos arranjos internos.
DQ = J*DT - K*Q*DT
Q
T
alteração nos fluxos internos
O modelo de um sistema permite ações de controle para melhorar o desempenho, e atingir certos padrões de qualidade.
Para fazer a simulação de um sistema pode usar-se qualquer linguagem de programação ou planilhas eletrônicas ou aplicativos específicos (MatLab, Matemática, Stella, iThink, Simile, EmSim).
Leis da Termodinâmica
Primeira lei: “A energia não se cria e não desaparece,ela apenas muda de forma"
E = constante = soma de energias
Segunda lei: "A energia potencial se converte em trabalho (W) e energia degradada (Q)"
E = W + Q
Princípios dos sistemas abertos (quarta e quinta leis da termodinâmica) :
"Os sistemas criam laços auto-catalíticos e se auto-organizam."
Os sistemas abertos evoluem e sua evolução depende da energia externa disponível, da organização interna e do aproveitamento dos resíduos do sistema.
“Os sistemas interagem para criar redes de fluxo de energia”.
As redes permitem aumentar a circulação de materiais e a captura de energia potencial disponível.
Princípios dos sistemas abertos
Os sistemas pulsam, eles se desenvolvem em ciclos de produção, consumo, reciclagem.
Os ciclos aumentam de intensidade e duração quando o sistema cresce.
O sistema cresce quando amplia suas fronteiras para incorporar mais estoques.
Do ponto de vista do sistema terrestre vive-se um momento de intenso consumo de estoques e esse crescimento é visto como um processo contínuo, autônomo e infinito, sendo que é apenas parte de um ciclo. Após o crescimento ocorre um declínio.
Os conceitos desenvolvidos pela Termodinâmica para a energia se aplicam também para a massa:M = constante no sistema = soma de massas
M disponível = M transformada + M dispersada
Exemplo 1. Fluxo constante de energia (J) e uma saída (kQ)
Temos um sistema que recebe o fluxo J, possui um estoque Q e apresenta uma vazão de saída proporcional ao volume do estoque Q. Como será o gráfico Q x T?
O fluxo constante J, expressado em energia ou massa por unidade de tempo permite durante o incremento de tempo DT (segundos) aumentar em DQ o estoque interno Q (Joules ou kg).
Diferença no estoque no intervalo DT = entrada ocorrida em DT- saída ocorrida em DT
Entrada de energia no intervalo de tempo DT: DQ (in) = J * DT -> (J/s).(s) ou (kg/s).(s)
O estoque tem um dreno e assumimos que a a vazão de saída é proporcional ao estoque de energia. Então a saída de energia no intervalo de tempo dT é: DQ (out) = K*Q*DT -> (1/s).(J).(s) ou (1/s).(kg).(s)
A equação do balanço de energia no intervalo DT é: Acumulação = Entrada - Saída DQ = DQ(in) - DQ(out)
DQ = J*DT - K*Q*DT
DQ = J*DT - K*Q*DT
Se o intervalo de tempo for unitário (DT = 1) a expressão fica como: DQ = J - K*Q Para simular a variação do estoque interno de energia Q no decorrer do tempo T teríamos que escrever em qualquer linguagem de programação o seguinte procedimento:
Inicio do programa Definir o tipo o os nomes das variáveis: J, Q, T, DT, K, TMAX e atribuir valores iniciais as variáveis:
J=4 Q=10K=0.05
Q = Q + DQ
T=0 DT=1 TMAX=10
Q versus T
0,000
10,000
20,000
30,000
40,000
50,000
60,000
70,000
80,000
0 10 20 30 40
Tempo
Est
oq
ue
inte
rno
Q versus T
0,000
20,000
40,000
60,000
80,000
100,000
120,000
140,000
160,000
0 10 20 30 40
Tempo
Est
oq
ue
inte
rno
Q versus T
0,000
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
0 10 20 30 40
Tempo
Est
oq
ue
inte
rno
K=0.05
K=0.0025
K=1.0
DQ = J*DT - K*Q*DT
J=4 Q=10
K=0.05 T=0
DT=1 TMAX=10
Applets Java
Modelos básicos
Q
Tanque
Energia externa
K*Q
Energia dispersada
J
Q
Dreno
K*Q
Energia dispersada
DQ = J - K*Q*DT
DQ = - K*Q*DT
Q
Estoque não renovável
K2*QK1*E
Q
Dreno
K2*Q
E
XEnergia externa
Fonte ilimitadaLaço de retro-alimentação
K1*J*Q
Dreno
DQ = K1*E – K2*Q
DQ = K1*J*Q – K2*Q
R
Q
Dreno
K2*Q*Q
XEnergia externa
Fonte ilimitadaLaço de retro-alimentação
X
K1*J*Q
Q
Dreno
K2*Q
XEnergia externa
Fonte limitada na origem + Laço de retro-alimentação
K1*R*Q
J
DQ = K1*R*Q – K2*Q
DQ = K1*J*Q – K2*Q*Q
Q
Dreno
K2*Q
X
Fonte limitada
E
R
Q
Dreno
K3*Q
XEnergia externa
K1*R*Q
J
EX
K1*E*Q
K2*E*QFonte limitada
Fonte limitada na origem
Laço de retro-alimentação
DQ = K1*E*Q – K2*Q
DQ = K1*R*Q + K2*E*Q – K3*Q
Uso da ferramenta EmSim para resolver o modelo SlowRen
Modelo
SlowRen
Desenvolvimento com recursos renováveis, inicialmente há grandes estoques disponíveis que se esgotam e depois se sustenta com fluxos contínuos.
Modelagem e simulação
Fonte de energia renovável de fluxo pequeno
Interação de consumo
Estoque de formação lenta
QE
DE/DT = + J – k4*E -k*E*Q DQ/DT = + k1*E*Q – k3*Q
-k4E
-k*E*Q
+ k1*E*Q
– k3*Q
Um balanço para cada nó.As vezes, também nas fontes!
Estoque de formação rápida
J
Diagrama sistêmico
QE
Je
k8
k6
k0
MSm
Jm
Re
k1 k2
k3
k9
k4
k5
k6
-> Simulação
-> Modelagem
-> Calibração (com dados dos fluxos e dos estoques)
Equações dos balanços dos estoques e das fontes
QE
Je
DQ/DT = + k4*Q*E – k5*Q - k6*Q
k8
k6
k0
MSm
Jm
Re
Re = Je / (1 + k0*E*M)
Je = Re + k0 E*M*Re DE/DT = + k1*M*E – k2*E –k3*E*Q
k1 k2
k3
k9
k4
k5
k6
DM/DT = + Jm + k6*Q – k8*M –k9*M*Re
Je
Equações dos balanços em torno dos estoques e das fontes
QE
Se
DQ/DT = + k4*Q*E – k5*Q - k6*Q
k8
k6
k0
MSm
Jm
Re
Re = Je / (1 + k0*M*E)
Je = Re + k0 E*M*Re DE/DT = + k1*E*M*Re – k2*B –k3*E*Q
k1 k2
k3
k9
k4
k5
k6
DM/DT = + Jm + k6*Q – k8*M –k9*M*Re
E
SlowRen
J
Fonte de energia externa limitada
Interação de consumo
Estoque de formação lenta
QE
S
DE/DT = + J – k4*E -k*E*Q
DQ/DT = + k1*E*Q – k3*Q
k4E
-k*E*Q
+ k1*E*Q
– k3*Q
SlowRen
DE/DT = + J – k4*E -k0*E*Q
DQ/DT = + k1*E*Q – k3*Q
Agora vamos a prática!