Model mieszania wód Rudawy i Wisły

Model mieszania wód Model mieszania wód Rudawy i WisłyRudawy i Wisły

Monika BarczykMonika Barczyk

Promotor: Dr Przemysław WachniewPromotor: Dr Przemysław Wachniew

21 maja 200321 maja 2003

21.05.2003 Monika Barczyk 2

PLANPLAN

» CelCel» WstępWstęp» Podstawy chemiczne Podstawy chemiczne » Podstawy fizycznePodstawy fizyczne» Podstawy numerycznePodstawy numeryczne» Symulacja (wstępne Symulacja (wstępne

wyniki)wyniki)» PodsumowaniePodsumowanie» Literatura Literatura


CelCel

Modelowanie mieszania się wód Modelowanie mieszania się wód Wisły i RudawyWisły i Rudawy

» analiza procesu mieszania z uwzględnieniem zakrętu za dopływem,

» na przykładzie wybranych substancji rozpuszczonych w wodzie,

» obserwacje przemieszczania się wrzuconego znacznika,

» zmiany przy różnych przepływach,» pomoc w pobieraniu próbek.



CelCel

Modelowanie mieszania się wód Modelowanie mieszania się wód Wisły i RudawyWisły i Rudawy

» analiza procesu mieszania z uwzględnieniem zakrętu za dopływem,

» na przykładzie wybranych substancji rozpuszczonych w wodzie,

» obserwacje przemieszczania się wrzuconego znacznika,

» zmiany przy różnych przepływach,» pomoc w pobieraniu próbek.


WstępWstęp» Ważna rola rzekWażna rola rzek

- odnawialne źródło wody słodkiej;- odbiornik wód zużytych i przetworzonych; - znaczenie w globalnym obiegu węgla - miejsce działań inżynierskich

- ochrona przed powodziami,- wykorzystanie słodkiej wody,

» Potrzeba analizy i opisu Potrzeba analizy i opisu » przepływu wody,» migracji rozpuszczonych substancji,» ewolucji w czasie i przestrzeni.


Substancje transportowane w Substancje transportowane w rzekachrzekach

» woda,» zawieszona materia nieorganiczna,» zawieszona i rozpuszczona materia

organiczna,» rozpuszczone jony główne - o

dominujących stężeniach (Ca2+,Na+, Mg2+,K+, HCO3

-, SO2-,Cl-) mające wpływ na przewodność elektrolityczną,

» gazy (N2, CO2, O2),

» i inne ...

Podstawy chemicznePodstawy chemiczne


Most Grunwaldzki

Wisła

Ru

daw

a Most D

ęb

icki

Mapa obszaru

pobierania danych


Wykonane badania Wykonane badania

» zapoznanie się ze zmiennością zapoznanie się ze zmiennością mierzonych substancji wraz z mierzonych substancji wraz z głębokością i szerokością,głębokością i szerokością,

» ustalenie „najlepszej” głębokości do ustalenie „najlepszej” głębokości do pobieranie próbekpobieranie próbek



Głębokość - Most Dębicki

-1

-2

-2,6-2,8 -2,8

-2,7-2,6

-2

-1,4

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

pkt pomiarowe [m]

głę

bo

kość

[m

]

Głębokość - Most Grunwaldzki

-2,4

-4,4

-2,4-2,6

-3-3,4

-3,6-4

-5,25

-3,2

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

pkt pomiarowe [m]

głę

bo

kość

[m

]


» Głębokość

Plan:Plan:

wykorzystanie wykorzystanie danych o przekrojach danych o przekrojach z Zakładu Hydrologiiz Zakładu Hydrologii



» temperatura

» Rozpuszczone gazy O2 i CO2

- występują w wodzie w znacznych ilościach

Wisła:Wisła: Rudawa:Rudawa:

OO22 : : 10 mg/litr 11,4 mg/litr

» pH wody (stężenie jonów wodorowych) Wisła:Wisła: Rudawa:Rudawa:

pH:pH: 7,74 8,07

» przewodnictwo elektryczne (przybliżony wskaźnik ogólnej ilości rozpuszczonych jonów)

» metan CH4Podane wartości są wartościami średnimi mierzonym jednego dnia, mniej więcej o tej samej porze, w różnych pkt Wisły i u ujścia Rudawy, na różnych głębokościach.

Wykonane badania Wykonane badania

Plan:Plan:

wykorzystanie wykorzystanie danych o danych o przepływach z przepływach z Instytutu MeteorologiInstytutu Meteorologi


„„Addytywnośc” Addytywnośc” fizykochemicznych własności fizykochemicznych własności wody na krótkich odcinkachwody na krótkich odcinkach

» Zmiany stężenia rozpuszczonych substancji:- transport,transport,- wymiana z atmosferąwymiana z atmosferą - rzędu kilku dni,- procesy biologiczneprocesy biologiczne m. in. Fotosynteza

(podwyższenie O2, zmniejszenie CO2) respiracja (zmniejszenie O2, podwyższenie CO2), - zmiany sezonowe, dobowe - nie mają znaczenia na małych odcinkach;


» model mieszania się Wisły z Rudawą powinien być podobny dla substancji rozpuszczonych takich jak np. O2, CO2, przewodnictwo ;

» w małej skali czaso-przestrzennej procesy w małej skali czaso-przestrzennej procesy inne niż transport powinny być nieistotne;inne niż transport powinny być nieistotne;


Równania przepływuRównania przepływu» Równania ReynoldsaRównania Reynoldsa

» Równanie ciągłościRównanie ciągłości 0

zv

y

v

xv zyx

Podstawy fizycznePodstawy fizyczne

xT

xx

zx

yx

xx

T

vxp

Fzv

vyv

vxv

vtv

pt

)(11

:x

)(11

)(

Okierunku dla ściszczególno w

vFvvv

),,( ),,,( ),,,( ),,,( zyxvvzyxvvzyxvvvvv zzyyxxzyx vprędkość -

- gęstość cieczy - czas t T- współczynnik lepkości

dynamicznej

- współczynnik lepkości

burzliwej- siły masowe),,( zyx FFFF T


Przepływ ustalony, płaski, Przepływ ustalony, płaski, nieściśliwynieściśliwy

xv

yvyx

y

v

xv

yxyx

,:),(0

),,( ),,( ),0,,( yxvvyxvvvv yyxxyx v, ,0 constdtd v

Równanie ciągłości:

Funkcja prądu

Pole prędkości

=> prosty opis pola prędkości i pola prądu



Równanie Laplace’aRównanie Laplace’aRuch bezwirowy => Ruch bezwirowy =>

0

x

v

yv yx

xv

yv yx

,

0vrot

02

2

2

2

yx



Warunki brzegowe dla Warunki brzegowe dla Rozważmy jeden wymiar:Rozważmy jeden wymiar:

)0()(

),(

0

dQ

dyvQ

Cyxfdyvy

v

d

x

xx


x

y

0

d

xv0)0( :by tak Cdobieramy

:wtedy Qd )(0

Q


Warunki brzegowe dla Warunki brzegowe dla (2) (2)Dla opływowych ścian Dla opływowych ścian

nieprzepuszczalnych:nieprzepuszczalnych:

0

0

brzegy

y

xv

v


x

y

0xv

const

const

constbrzeg

exˆ jest kierunkiem wzdłuż brzegu


Transport substancjiTransport substancji

» Miara czynnika Miara czynnika KoncentracjaKoncentracja

» Transport Transport Strumień Strumień

AdwekcjaAdwekcja

Transport = Transport = DyfuzjaDyfuzja

Promieniowanie Promieniowanie (nie odgrywa żadnego

znaczenia)

3 mkgWM

c

Masa czynnika

Objętość

smkg 2



AdwekcjaAdwekcja

» Wywołana przez ruch wody

- dla nie powoduje zmiany kształtu początkowego rozkładu koncentracji

- środek ciężkości rozkładu koncentracji porusza się ze średnią prędkością ośrodka

cvadwekcyjny

strumień masy prędkość ośrodka

constv



DyfuzjaDyfuzja» Proces przenoszenia czynnika w kierunku

zmniejszającej się koncentracji I Prawo I Prawo

dyfuzjidyfuzji

FickaFicka

- dyfuzja molekularna -> dla przepływu laminarnego liczba Reynoldsa

- zależy od własności fizycznych roztworu, temperatury;

-

» Proces nieodwracalny

cDMdyfuzyjny

strumień masy współczynnik dyfuzji

molekularnej

gradient

koncentracji

1100Re vl

l - charakterystyczny rozmiar

- współczyn. lepkości

MD

sm

DM2

610



Równanie przenoszenia Równanie przenoszenia adwekcyjno - dyfuzyjnego adwekcyjno - dyfuzyjnego

» Zmiana w czasie zawartości czynnika Zmiana w czasie zawartości czynnika rozpuszczonego w wodzierozpuszczonego w wodzie

0

ddcdt

qn

przemiany powodująceprzemiany powodujące

wzrost lub zanik czynnika wzrost lub zanik czynnika

przepływ strumienia masyprzepływ strumienia masy

przez powierzchnię przez powierzchnię

- gęstość źródła wewnętrznego - gęstość źródła wewnętrznego (określa intensywność generowania lub zanikania czynnika w

jednostce objętości wody)

- strumień masy przepływający przez powierzchnię - strumień masy przepływający przez powierzchnię

- wektor normalny do powierzchni - wektor normalny do powierzchni

qn


objętość

d

C(x,y,z,t)

x

yz


Równanie przenoszenia (2)Równanie przenoszenia (2)» Uwzględniając lokalne fluktuacje prędkości

i ciśnienia o charakterze losowym, fluktuacje koncentracji

- po przekształceniach i wprowadzeniu dyfuzji burzliwej

- pominięciu dyfuzji molekularnej

» dla przepływu płaskiego, gdy nie generują się i nie znikają domieszki:

0)graddiv( cctc BDv

,10 ),,,diag(2

3 Bz

By

Bx

BBz

By

Bx

B DDDsm

DDDD D

dla war. izotropowychMB DD

0)()()()(

yc

Dyx

cD

xcv

ycv

xtc BB

yx

transport trójwymiarowy transport trójwymiarowy

uśredniony w czasieuśredniony w czasie



Podstawy numerycznePodstawy numeryczne

» Metoda różnic skończonychMetoda różnic skończonych» jedna z najczęściej stosownych metod rozwiązywania

równań różniczkowych cząstkowych;

» polega ona na bezpośrednim zastąpieniu równania

różniczkowego przez odpowiednie równanie różnicowe; » obszar ciągły zastępujemy obszarem dyskretnym:


t

x

n+1

n

xj-1 xj xj+1

t

x

j=N


Metoda różnic skończonychMetoda różnic skończonych

» Aproksymacja pierwszej pochodnej:Aproksymacja pierwszej pochodnej:

ilorazem różnicowym przednim:

ilorazem różnicowym wstecznym:

ilorazem różnicowym centralnym:

)(1 xOx

ff

xf

nj

nj

n

j

)(1 xOx

ff

xf

nj

nj

n

j

)(2

211 xOx

ff

xf

nj

nj

n

j



Metoda różnic skończonychMetoda różnic skończonych

» Aproksymacja drugiej pochodnej:Aproksymacja drugiej pochodnej:

formułą trzypunktową symetryczną:

formułą trzypunktową niesymetryczną:

)(2

42

11

2

2

xOx

fff

x

fnj

nnj

n

j

j

)(2 4

221

2

2

xOx

fff

x

fnj

nj

nj

n

j



Obliczanie równania przenoszenia Obliczanie równania przenoszenia - etapy- etapy

» Tworzenie siatki,Tworzenie siatki,

» Obliczanie funkcji prądu z rów. Obliczanie funkcji prądu z rów. Laplace’a dla zadanych warunków Laplace’a dla zadanych warunków brzegowo –początkowych,brzegowo –początkowych,

» Obliczanie pola przepływu Obliczanie pola przepływu wykorzystując funkcję prądu,wykorzystując funkcję prądu,

» Obliczanie koncentracji w danym Obliczanie koncentracji w danym polu przepływu z wykorzystaniem polu przepływu z wykorzystaniem warunków brzegowych.warunków brzegowych.

SymulacjaSymulacja


SiatkaSiatka

SymulacjaSymulacja


SiatkaSiatka

SymulacjaSymulacja


Obliczanie funkcji prąduObliczanie funkcji prądu

» rów Laplace’a po dyskretyzacji:rów Laplace’a po dyskretyzacji:

» rozwiąz. metodą nadrelaksacji, rozwiąz. metodą nadrelaksacji, która daje wzór:która daje wzór:

zbieżne dla w liczonym przypadku

02

2

2

2

yx

yxjijijijiji dla ,04 ,1,,11,,1

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji ,1,,1

11,

1,1,

1, 4

41

20 4.1

SymulacjaSymulacja


SymulacjaSymulacja x=y=1t=0,1przepływy: Q1=2.5, Q2=1

Q1

Q2


SymulacjaSymulacja x=y=1t=0,1przepływy: Q1=2.5, Q2=1liczba kroków: 2000

1=0

3=3,5

2=2,5


SymulacjaSymulacja x=y=1t=0,1przepływy: Q1=1 , Q2=3,5liczba kroków: 2000

1=0

3=4,5

2=1


Obliczanie pola prędkościObliczanie pola prędkości

xv

yu

,),(),( vuvv yx v

yu jiji

ji

21,1,

,

xv jiji

ji

2,1,1

,

SymulacjaSymulacja










Obliczanie koncentracjiObliczanie koncentracji

» Schemat różnicowy „pod prąd” (schemat jawny) 21,

1, , AAAdwAdwDyftcc n

jinji

yc

vxc

uy

c

x

cD

tc

2

2

2

2

21,,1,

2,1,,1 22

y

ccc

x

cccDDyf

nji

nji

nji

nji

nji

nji

0,

0,

,,1

,1,

1

ux

ccu

ux

ccu

A nji

nji

nji

nji

0,

0,

,1,

1,,

2

vy

ccv

vy

ccv

A nji

nji

nji

nji

Dx

ux

t2

,min :stabilny2

SymulacjaSymulacja


SymulacjaSymulacja x=y=1t=0,1przepływy: Q1=2.5, Q2=1liczba kroków: 35 000


SymulacjaSymulacja x=y=1t=0,1przepływy: Q1=1 , Q2=3,5liczba kroków: 25 000


przemieszczanie się wrzuconego przemieszczanie się wrzuconego znacznika:znacznika:

x=y=1t=0,1przepływy: Q1=1 , Q2=3,5liczba kroków: 25 000

gif avi


PODSUMOWANIEPODSUMOWANIE

» Pobranie próbek w celu ustawienia rzeczywistych warunków początkowo brzegowych;

» Przygotowanie realistycznej siatki;» Dopracowanie obliczania pola

prędkości;» Rozpatrzenie możliwości użycia innych

schematów liczenia równania przenoszenia (Schemat QUCKSET, Schemat Cranka-Nicolsona);

» Porównanie wyników symulacji z wynikami pomiarów.


LiteraturaLiteratura

» Ryszard Gryboś Ryszard Gryboś „Podstawy mechaniki płynów”;;

» Jerzy Sawicki Jerzy Sawicki „Przepływ ze swobodna powierzchnią” ii „Podstawy mechaniki płynów”;;

» Romuald Szymkiewicz Romuald Szymkiewicz „Modelowanie matematyczne przepływów w rzekach i kanałach”;;

» Ake Björck Ake Björck „Metody numeryczne”;;

» J. David Allan J. David Allan „Ekologia wód płynących”;;

» www i inn...www i inn...



Równanie przenoszenia (2)Równanie przenoszenia (2)

» z tw. Gaussa-Ostrogradskiego z tw. Gaussa-Ostrogradskiego

ddivd qqn

0)graddiv(

0div

cctc

tc

MDv

q

Tzyx vvv ),,(v ),,diag( M

zMy

Mx DDDMD


Documents

Model mieszania wód Rudawy i Wisły