MODEL INDEKS TUNGGAL

KELOMPOK 7NAMA ANGGOTA :

1. OCTAVIA ENDANG2. PUNGKY RETNO.P.3. ANISA NUR HAYATI4. YULIANA KRISTANTI.H.5. YOGI YUDHA P.6. DEVY FITRIAWAN 7. RAMA SAN CAHYA8. JAN QOMATULLAH

William Sharpe mengembangkan model yang disebut dengan model indeks tunggal. Dimana model ini digunakan untuk menyederhanakan perhitungan di model Markowitz dan juga digunakan untuk menghitung return ekspektasian dan risiko portofolio.

MODEL INDEKS TUNGGAL

• Model indeks tunggal didasarkan pada pengamatan bahwa harga dari suatu sekuritas berfluktuasi searah dengan indeks pasar.

• Hal ini menyarankan bahwa return-return dari sekuritas mungkin berkorelasi karena adanya reaksi umum (common response) terhadap perubahan-perubahan nilai pasar.

Dengan dasar ini, return sekuritas ke-i dapat dirumuskan:

Keterangan: • Ri = retrun sekuritas ke i• RM = tingkat retrun dari indeks pasar• ai = kompenen dari retrun sekuritas ke-i• βi = beta (dibahas bab 11)• αi = nilai ekspektasian dari return pasar yg independen

thdp return pasar• ei = kesalahan residu

Ri = ai + βi . RM

ai = αi + ei Ri = αi + βi . RM + ei

Komponen Model Indeks Tunggal

• Model indeks tunggal membagi return sekuritas ke dalam dua komponen utama, yaitu:

1.Komponen return yang unik dan independen terhadap return pasar (αi).

2.Komponen return yang berhubungan dengan return pasar (βi).

• Model indeks tunggal juga dinyataka dalam retrun ekspektasian, dirumuskan:

Contoh: Diketahui return ekspektasian dari indeks pasar adalah 25%. Bagian dari retrun ekspaktasian suatu sekuritas yg independen thdp pasar (αi) adalah 4% dan βi sebesar 0,75. Ternyata return realisasi sebesar 26%.

E(Ri) = E(αi) + E(βi . RM) + E(ei)

E(Ri) = αi + βi . E(RM)

• Jawaban:E(Ri) = αi + βi . E(RM) E(Ri) = 4% + 0,75 . 25%E(Ri) = 22,75%

Jadi nilai retrun realisasi berdasarkan model indeks tunggal adalah Ri = 22,75% + ei. Dan kesalahan estimasi (ei) adalah sebesar 26% - 22,75% = 3,25%

Jika nilai retrun realisasinya sama dengan nilai retrun yang diharapkan, maka investor mengestimasi retrun ekspektasian tanpa kesalahan.

Asumsi Model Indeks Tunggal • Kesalahan residu dari sekuritas ke-i tidak

berkovari dengan kesalahan residu sekuritas ke-j atau ei tidak berkovari (berkorelasi) dengan ej untuk semua nilai dari i dan j. Asumsi ini secara matematis dapat dituliskan sebagai:

Cov (ei,ej) = 0

E (ei.ej) = 0

• Return indeks pasar (RM) dan kesalahan residu untuk setiap sekuritas (ei) merupakan variabel-variabel acak. Oleh karena itu, ei tidak berkovari dengan return indeks pasar, RM. Asumsi ini dapat dinyatakan secara matematis sebagai:

Cov (ei,RM) = 0

E (ei.[RM-E(RM)]) = 0

VARIAN RETURN SEKURITAS MODEL INDEKS TUNGGAL

Secara umum varians return dari suatu sekuritas sebagai berikut:

E(Ri) = αi + βi . E(RM)

Ri = αi + βi . RM + eidisubtitusikan

Maka rumus varian return sekuritas berdasarkan model indekstunggal sebagai berikut:

Resiko (varian retrun) sekuritas yang dihitung berdasarkan model ini terdiri dari dua bagian:

1. Resiko yang berhubungan dengan pasar (market related risk), yaitu:

2. Resiko untuk masing – masing perusahaan (unique rsik), yaitu:

Contoh A:

• Retrun saham PT.A dan return indeks pasar selama 7 periode dan rata-rata aritmatikanya adalah sebagai berikut:

Diketahui αi dan βi adalah konstan dari waktu ke waktu. Dan βA untuk sekuritas PT.A adalah 1,7.

Periode ke-t

Retrun saham PT.A (RA)

Retrun Indeks Pasar (RM)

1234567

0,0600,0770,0950,1930,0470,1130,112

0,0400,0410,0500,0550,0150,0650,055

Rata-rata aritmatika

0,09957 0,04586

Hitunglah :

1. Nilai ekspektasian PT.A (αA) 2. Nilai ekspektasian dari kesalahan residu E(eA)3. Varian dari kesalahan residu4. Varian dari retrun pasar5. Total resiko berdasarkan model indeks tunggal dan varian

retrun sekuritas.

1.

Periode ke-t

eA,t = RA,t - αA – (ΒA . RM,t)

1234567

eA,1=0,060-0,0216-(1,7.0,040)=-0,0296eA,2=0,077-0,0216-(1,7.0,041)=-0,0143eA,3=0,095-0,0216-(1,7-0,050)=-0,0116eA,4=0,193-0,0216-(1,7-0,055)=0,0779eA,5=0,047-0,0216-(1,7-0,015)=0,0001eA,6=0,113-0,0216-(1,7-0,065)=0,0191eA,7=0,112-0,0216-(1,7-0,055)=0,0031

2.E(eA) = (-0,0296-0,0143-0,0116+0,0779 +0,0001-0,0191-0,0031) / (7-1) = 0

𝟒.𝛔𝐌𝟐 = ሾሺ𝟎,𝟎𝟒𝟎− 𝟎,𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔ሻ𝟐 +ሺ𝟎,𝟎𝟒𝟏 − 𝟎,𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔ሻ𝟐+ (𝟎,𝟎𝟓𝟎𝟎,𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔)𝟐 +ሺ𝟎,𝟎𝟎𝟓𝟓− 𝟎,𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔ሻ𝟐+ሺ𝟎,𝟎𝟏𝟓− 𝟎,𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔ሻ𝟐+ሺ𝟎,𝟎𝟔𝟓− 𝟎,𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔ሻ𝟐+ሺ𝟎,𝟎𝟓𝟓− 𝟎,𝟎𝟒𝟓𝟖𝟔ሻ𝟐ሿ/(𝟕− 𝟏) = 𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟓𝟔/𝟔= 𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔

3. 𝜎𝑒𝐴2 = [(−0,0296 − 0)2 + (−0,0143 − 0) +(-0,0116-0)2 + (0,0779 − 0)2 +(0,0001-0)2 + (−0,0191 − 0)2 +(-0,0031-0)2]/(7 − 1) = 0,0068/6 = 0,00128

5a.total resiko berdasarkan model indeks tunggal

b. Total resiko berdasarkan varian retrun sekuritas

𝜎𝐴2 = 𝛽𝐴2.𝜎𝑀2 + 𝜎𝑒𝐴2 = ሺ1,7ሻ2.0,00026+ 0,00128 = 0,002

𝜎𝐴2 = [(0,060− 0,09957)2+ሺ0,077− 0,09957ሻ2 +ሺ0,095− 0,09957ሻ2+ሺ0,193− 0,09957ሻ2 +ሺ0,047− 0,09957ሻ2+ሺ0,113− 0,09957ሻ2 +ሺ0,112− 0,09957ሻ2]/(7− 1) = 0,002

KOVARIAN RETURN ANTARA SEKURITAS MODEL INDEKS TUNGGAL

Rumus kovarian retrun antar dua sekuritas:

Contoh : Dua buah sekuritas A dan B masing-masing mempunyai Beta yaitu βA=1,7 dan βB=1,3. Varian return dari indeks pasar diketahui sebesar 0,00026. Kovarian antara sekuritas A dan B adalah : Jawab : σij= βA . βB . σM² = 1,7 . 1,3 . 0,00026 = 0,00057

𝝈𝒊𝒋 = 𝑬ቂ൫𝑹𝒊 − 𝑬ሺ𝑹𝒊ሻ൯.ቀ𝑹𝒋− 𝑬൫𝑹𝒋൯ቁቃ E(Ri,j) = αi + βi . E(RM)

Ri,j = αi + βi . RM + ei

disubtitusikan

𝝈𝒊𝒋 = 𝜷𝒊.𝜷𝒋.𝝈𝑴𝟐

PARAMETER – PARAMETER INPUT UNTUK MODEL MARKOWITZ

Model indeks tunggal dapat digunakan untuk menghitung return ekspektasi (E(Ri)), varians dari sekuritas (σi2), dan kovarians antar sekuritas (σij) yang merupakan parameter-parameter input untuk analisis portofolio menggunakan model Markowitz.

Contoh B:

Setelah perhitungan seperti contoh A :Diketahui :

Periode Ke-t

Return saham PT ‘A’ (RA)

Return saham PT ‘B’

(RB)

Return index Pasar (RM)

1234567

0,0600,0770,0950,1930,0470,1130,112

0,150,250,300,400,270,150,55

0,0400,0410,0500,0550,0150,0650,055

Rata-rata 0,09957 0,2957 0,04586

𝛽𝐴= 1,7,𝜎𝐴2 = 0,02,𝜎𝑀2 = 0,00026, 𝛽𝐵= 1,3,𝜎𝐵2 = 0,01998,𝑊𝐴.𝐵= 0,5

Hitunglah1) Kovarian antara return PT.A dan PT.B2) Resiko portofolio berdasarkan model indeks

tunggalJawab : 1.𝝈𝑨.𝑩= 𝜷𝑨.𝜷𝑩.𝝈𝑴𝟐

= 1.7.1,3.0,00026 = 0,00057

2. 𝝈𝒑𝟐 = 𝑾𝑨𝟐.𝝈𝑨𝟐 + 𝑾𝑩𝟐.𝝈𝑩𝟐 + 𝟐.𝒘𝑨.𝒘𝑩.𝝈𝑨𝑩 = (𝟎,𝟓)𝟐.𝟎,𝟎𝟎𝟐+ (𝟎,𝟓)𝟐.𝟎,𝟎𝟏𝟗𝟗𝟖+ 𝟐 .𝟎,𝟓.𝟎,𝟓 .𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟓𝟕 = 0,0035

ANALISIS PORTOFOLIO MENGGUNAKAN MODEL INDEKS TUNGGAL

𝑬ሺ𝑹𝑷ሻ= 𝒘𝒊.𝜶𝒊𝒏

𝒊=𝟏 + 𝒘𝒊.𝜷𝒊.𝑬(𝑹𝑴)𝒏𝒊=𝟏

1. Return Ekspektasi Portofolio

2. Resiko Portofolio

𝝈𝒑𝟐 = ( 𝒘𝒊.𝜷𝒊𝒏

𝒊=𝟏 )𝟐.𝝈𝑴𝟐 + ( 𝒘𝒊.𝝈𝒆𝒊𝒏

𝒊=𝟏 )𝟐

Contoh C:

model Makrowitz model indeks tunggaln + (n.(n-1)/2 (2.n+1)

1 1 32 3 53 6 74 10 95 15 116 21 137 28 158 36 179 45 1910 55 2120 210 4150 1,275 101

100 5,050 201200 20,100 401500 125,250 1,001

1,000 500,500 2,0015,000 12,502,500 10,001

10,000 50,005,000 20,001

Jumlah sekuritas (n)jumlah parameter yang harus dihitung

Dari contoh A dan B, telah dihitung besarnya 𝝈𝑴𝟐 = 𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔,𝝈𝒆𝑨𝟐 = 𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟐𝟖 dan 𝝈𝒆𝑩𝟐 = 𝟎,𝟎𝟏𝟗𝟓𝟒. diketahui 𝜷𝒂 = 𝟏,𝟕, 𝜷𝑩 = 𝟏,𝟑, wA = 0,5 dan wB = 0,5. Maka risiko portofolio yg dihitung berdasarkan model indeks tunggal:

𝝈𝒑𝟐 = ( 𝒘𝒊.𝜷𝒊𝒏

𝒊=𝟏 )𝟐.𝝈𝑴𝟐 + ( 𝒘𝒊.𝝈𝒆𝒊𝒏

𝒊=𝟏 )𝟐

= (𝟎,𝟓 .𝟏,𝟕+ 𝟎,𝟓 .𝟏,𝟑)𝟐.𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔+ (𝟎,𝟓 .𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟐𝟖+ 𝟎,𝟓 .𝟎,𝟎𝟏𝟗𝟓𝟒)𝟐 = 0,000585 + 0,0001084 = 0,0006934

Semakin banyak sekuritas dalam portofolio maka nilai resiko yang tidak sistematik akan semakin kecil nilainya dan akan bernilai nol jika jumlah sekuritas semakin besar. Resiko portofolio yang terdiversifikasi dengan baik hanya terdiri dari unsur sistematik saja. 𝝈𝑷𝟐 = 𝜷𝑷𝟐.𝝈𝑴𝟐

MODEL PASAR

Merupakan bentuk dari model indeks tunggal dengan batasan yang lebih sedikit. Bentuk model pasar yang sama dengan bentuk model indeks tunggal mempunyai return dan return ekspektasian sebagai berikut :

danRi = αi + βi . RM + ei

E(Ri) = αi + βi . E(RM)

PORTOFOLIO OPTIMAL BERDASARKAN MODEL INDEKS TUNGGAL

Dimana :ERBi = excess return to beta securitiesE(Ri) = Ekspektasi return berdasarkan

model indeks tunggal untuk sekuritas iRBR = Return bebas resikoBi = Beta Sekuritas i

i

BRii B

RREERB

a

Langkah-langkah untuk menentukan besarnya titik pembatas adalah sebagai berikut :1. Urutkan sekuritas berdasarkan nilai ERB

terbesar ke kecil, yang terbesar merupa-kan kandidat untuk dimasukkan ke dalam Portofolio Optimal

2. Hitung nilai Ai dan Bi untuk masing-masing sekuritas ke i, sebagai berikut

2

.

ei

iBRii

BRREA

2ei

ii

BB

2.a2.b

3. Menghitung nilai Ci

i2m

i2m

i Bσ1

AσC

σm2 = varian dari return Indeks Pasar.

Dengan mensubstitusikan nilai Ai dan Bi maka rumus Ci menjadi C*

4. Besarnya cut off point (C*) adalah nilai Ci yang terbesar

Sekuritas yang membentuk Portofolio Optimal adalah sekuritas yang mem-punyai nilai ERB lebih besar atau sama nilainya. ERB di titik C* adalah nilai ERB yang kecil, tidak disertakan dalam pem-bentukan Portofolio Optimal.

3.a

i

ii x

xw

5. Menentukan besarnya proporsi sekuritas

wi = Proporsi Sekuritas

k = jumlah sekuritas di portofolio

= beta sekuritas ke-i

= varian dari kesalahan residu sekuritas ke-i

ERBi=excess retrun to Beta sekuritas ke-i

C* =nilai Ci terbesar

*2

C iei

ii ERBz

5.a

5.b

i2ei

Contoh D:Nilai Saham E(Ri) Bi σei^2 ERBi

ABCDE

2019272325

2,001,502,001,501,80

5,04,07,55,02,0

56

8,58,6778,333

Diketahui:1. Retrun aktiva bebas resiko

(RBR)=10%2. Varian indeks pasar = 10%

Untuk masing –masing sekuritas dapat dihitung yg hasilnya disajikan ditabel berikut:

Nama Saham

E(Ri) Bi 𝝈𝒆𝒊𝟐 ERBi Ai Bi 𝑨𝒊𝒊𝒊=𝟏 𝑩𝒋𝒋

𝒋=𝟏 Ci

D C E B A

23 27 25 19 20

1,50 2,00 1,80 1,50 2,00

5,0 7,5 2,0 4,0 5,0

8,677 8,5 8,33 6 5

3,9 4,533 13,5 3,375 4

0,45 0,533 1,62 0,563 0,8

3,9 8,433 21,933 25,308 29,308

0,45 0,983 2,603 3,166 3,966

7,091 7,787 8,114 7,749 7,208

9,3

0,5

50,1.1023

.2

i

ei

iBRii

A

BRREA

Perhitungan:

45,00,5

50,1 2

2

2

ei

i

BiB

i2m

i2m

i Bσ1

AσC

sebelumnyaAiAiAjj

i

1

sebelumnyaBiBiBjj

i

1

Sekuritas yang membentuk portofolio optimal adalah sekuritas yang mempunyai Erb lebih besar dari Ci, yaitu sekuritas D, C, dan E

i Nama Saham

E(Ri) Bi 𝝈𝒆𝒊𝟐 ERBi Ci Zi Wi

1 2 3

D C E

23 27 25

1,50 2,00 1,80

5,0 7,5 2,0

8,677 8,5

8,333

7,091 7,787 8,114

0,159 0,103 0,197

0,346 0,224 0,429

Total 1,000

Nilai Zi di tabel dihitung berdasarkan rumus 5.b, sebagai berikut:Z1=(1,50/5,0)(8,677 – 8,114) = 0,159Z2=(2,00/7,5)(8,5 – 8,114) = 0,103Z3=(1,80/20)(8,333 – 8,114) = 0,197Besarnya nilai Σ Zj adalah sebesar Z1 + Z2 + Z3 atau 0,159 + 0,103 + 0.197=0,459.

Nilai wi merupakan proporsi sekuritas ke-i. dapat dihitung berdasarkan rumus 5.aW1 = 0,159/0,459 = 0,346 = 34,6%W2 = 0,103/0,459 = 0,225 = 22,5%W3 = 0,197/0,459 = 0,429 = 42,9%

SEKIANDAN

TERIMA KASIH