moadele dareje 1

ir.bankejozve.www لیفی و موضوعیـأتاولین سایت فروش جزوات

09376200601

7

:معادالت دیفرانسیل مرتبه اول :معادله دیفرانسیل با متغیرهاي تفکیک پذیر) الفنامیم هر گاه بتوان آن را به صورت معادله دیفرانسیل مرتبه اول را تفکیک پذیر یا جدایی پذیر می: تعریف

( ) ( ) 0f y dy g x dx+ .نمایش داد= از معادالت زیر کدام تفکیک پذیر است؟: مثال

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

)1 3 1 2 1

3 1 2 1

13 1 3 1 02 1 2 1

y x ydy x ydx

dy x dx dy x dxy y

′ = − +

= − +

⇒ = − ⇒ − − =+ +

.بنابراین تفکیک پذیر است)2 0

0

y ay bdy dyay b ay bdx dx

′ + + =

+ + = ⇒ = − −

.تفکیک پذیر نیست

( )) ( )22

1 13 1 1 0 0xydx y dy xdx y dyyy

+ − + = ⇒ + − + =

.تفکیک پذیر است

) 2 3 2 34 dyy x y xy x y xydx

′ = + ⇒ = +

.تفکیک پذیر نیست :روش حل

)براي حل معادله دیفرانسیل تفکیک پذیر به صورت ) ( ) 0f y dy g x dx+ -از دو طرف انتگرال می =

.گیریم .معادالت دیفرانسیل زیر در صورت تفکیک پذیري حل کنید: مثال


09376200601

8

( )) ( )2 11 2 3 3 2 0x dx y dyy

− + + + =

:پس داریممعادله تفکیک پذیر است

( ) ( )

ln

2

2 3

12 3 3 2 0

3 2

x dx y dyy

x x y y y c

− + + + =

− + + + =

∫ ∫

( )) 22 3 1 0yx y dx dyx

+ + =

:کنیمضرب میxابتدا دو طرف را در

( )2 23 1 0x y dx dy+ + =

2دو طرف را بر 1y :کنیمتقسیم می+

223 01yx dx dy

y+ =

+

.در نتیجه تفکیک پذیر است

ln2 3 22

13 121yx dx dy x y c

y+ = + + =

+∫ ∫

( ) ( )

) 13 2 31 1 2 32 3

xyy

dy x x dx y dydx y

−′ =−

−= ⇒ − = −

−

.پس تفکیک پذیر است

( ) ( ) ( )2

2

2 2

1 2 3 321 32

xx dx y dy x y y c

x x y y c

⇒ − = − ⇒ − − − =

− − + =

∫ ∫


09376200601

9

)2 2

22 2 2

41

1 1

xyy x

dy x xdxy dydx y x x

′ =+

= ⇒ =+ +

.تفکیک پذیر است3

2 22

131xdx yy dy x c

x⇒ = ⇒ = + +

+∫ ∫

( )) cos sincossin

5 1 22

1

x ydy x ydxy xdy dxy x

− =

=−


cos ( )sinln sin ln

22 12 2 1

y dy dxy x

y x x c

= +−

⇒ = + − +

∫ ∫

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

)

ln ln

2

2 2

22

6 1 2 0

1 2 0 1 212 12 21

y dx y xy dy

y dx y x dy y dx y x dy

dx y dy x y cx y

− − + =

− − + = ⇒ − = +

= ⇒ + = − ++ −

uتغییر متغیر : نکته ax by= )معادله دیفرانسیل + )y F ax by c′ = + را به معادله تفکیک پذیر + .کندتبدیل می .معادالت زیر را حل کنید: مثال


09376200601

10

( ))

,

2

2

22

1 4 14 1 4 4

4 4

4 4

y y xu y x u y y u

duu u u y udx

du duu dxdx u

′ = + −

′ ′ ′ ′= + − ⇒ = + ⇒ = −

′ ′ ′ ′⇒ − = ⇒ = + =

= + ⇒ =+


arctan

arctan( )

21 1

2 241 4 12 2

udu dx x cu

y x x c

= ⇒ = ++

+ −⇒ = +

∫ ∫

( )

( ) ( )

) cos

cos cos ,

cos seccos cos

ln sec tan ln sec tan

2 1

1 1

1 1

1

dy x ydx

u x y u y y uduu u u u udx

du duu dx du dx udu x cdx u u

u u x y x y x c

= + −

′ ′ ′ ′= + ⇒ = + ⇒ = −

′ ′ ′⇒ − = − ⇒ = =

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = +

⇒ + = ≥ + + + = +

∫ ∫ ∫


09376200601

11

( ) ( ))

( )

ln ln

3 2 3 1 2 3 2 022 3 2 3 3

2 1 3 3 3 3 3 3 2 42 23 2 2 2 27 2

2 791 7

9 7 2 3 9 7 2 3

x y dx x y dyuu x y u y y

u u u u u uu uu u u u

du u u du dxdx u u

du dxu

u u x c x y x y x c

+ − + + + =

′ −′ ′ ′= + ⇒ = + ⇒ =

′ − − − − + − + − + + +′ ′= ⇒ − = ⇒ = + =+ + + +

− + +⇒ = ⇒ =

+ − +

⇒ − + =− +

⇒ − − − + = + ⇒ − − − − − = +

∫ ∫

:معادالت دیفرانسیل همگن) ب

)تابع : تعریف ),f x y را همگن از درجهn گوییم هر گاه رابطه( ) ( ), ,nf tx ty t f x y= براي کلیه,مقادیر ,t y xاند برقرار باشدکه به نحو مناسب محدود شده.

)معادله دیفرانسیل : تعریف ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ را همگن نامیم هر گاه توابع =

( ) ( ), , ,N x y M x yهمگن و از درجه یک باشند.

)معادله دیفرانسیل : تعریف ),y f x y′ )را همگن گوییم هر گاه = ),f x y تابعی همگن و از درجه صفر

)باشد یعنی ) ( ), ,f tx ty f x y=. کدامیک از معادالت زیر همگن است؟: مثال

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

)

, , ,

,

,

, ,

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2

1 0

همگن و از درجه دو همگن و از درجه دو

معادلـــه دیفرانســـیل همگـــن اســـت

x y dx xydy

M x y x y N x y xy

M tx ty tx ty t x t y t x y

t M x y

N tx ty tx ty t xy t N x y

+ − =

= + =

= + = + = +

=

= = =

⇒


09376200601

12

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

)

,

,

2 2

2 2

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2

معادله همگــن اســت

x yyx y

t x ytx ty t x t yf tx tyt x t y t x ytx ty

x y f x yx y

−′ =+

−− −= = =

+ ++

−= = ⇒

+

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

) sin( )

, sin( ) , ,

, sin( ) sin( ) ,

, ,

3 0

ــک همگن از درجه ی

ــک همگن از درجه ی معادلـــه دیفرانســـیل همگـــن اســـت

yx ydyx

yM x y x N x y yxty yM tx ty tx tx tM x ytx x

N tx ty ty tN x y

+ =

= =

= = =

= =

⇒

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

) ln ln

, ln ln ln( ) , ,

, ln( ) ln( ) ,

, ,

4 3 0

3

همگن و از درجــه صــفر

3 3 ــک همگن و از درجه یــت ــن نیسـ ــیل همگـ ــه دیفرانسـ معادلـ

y x dx xdyyM x y y x N x y xx

ty yM tx ty M x ytx x

N tx ty tx t x tN x y

− + =

= − = =

= = =

= = =

⇒

: روش حل

yzبا تغییر متغیر x

:لذا کافی است قرار دهیم. شودمعادله دیفرانسیل همگن به معادله تفکیک پذیر تبدیل می=

dy xdz zdxy xz dy dzx z y xz z

dx dx

= += ⇒ ′ ′= + ⇒ = +


09376200601

13

)معادله دیفرانسیل : مثال )2 2 0x y dx xydy+ − .را حل کنید= :دهیمقرار میدر مثال قبل دیدیم معادله همگن است پس

( ) ( )

( )

,

ln , ln ( )

2

2 2 2 2

2 2 3 2 2

2 2 2 3 2 2

22

0

1 00

0

12 2

x

y xz dy xdz zdx

x x z dx x z xdz zdx

x z dx x zdz x z dx

x dx x z dx x zdz x z dzdxdx xzdz zdzx

z y yx c z x cx x

÷

= = +

⇒ + − + =

⇒ + − − =

⇒ + − − =

→ − = ⇒ =

⇒ = + = ⇒ + +

معادله دیفرانسیل : مثالx yyx y

−′ =+

.را حل کنید

( ) ( ) ( )( ) ( ), , ,

t x yx y tx ty x yf x y f tx ty f x yx y tx ty t x y x y

−− − −= ⇒ = = = =

+ + + +

⇒ معادلـــه دیفرانســـیل همگـــن اســـت y,دهیم قرار می xz y xz z′ ′= = :پس داریم+

ln ln

ln ( ) ( ) ln

2

22

2

1 1 11 1 1

1 1 1 221 21 1 22

x xz z dz z dz z z zxz z x z xx xz z dx z dx z

z dxdz z z x cxz z

y y x cx x

− − − − − −′ + = = ⇒ = − ⇒ =+ + + +

+⇒ = ⇒ − − − = +

− −

⇒ − − − = +

.زیر را حل کنیدمعادله دیفرانسیل : مثال

( )2 2 0x xy y dx xydy− + − =


09376200601

14

)واضح است که معادله دیفرانسیل همگن است زیرا هر دو تابع ) ( ), , ,N x y M x y 2همگن از درجه .هستند

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

ln ln ln ln

2

22

2 2 2 2 2 2 3

0

0 0

1 111 1

1 1

x

y xz dy zdx xdz

x x zx zx dx x zx zdx xdz

x dx zx dx z x dx x z dx x zdz dx zdx xzdzdx zz dx xzdz dzx z

dx dzx z

y yx z z c x cx x

÷

= ⇒ = +

− + − + =

− + − − = → − − =

⇒ − = ⇒ =−

⇒ = − +−

⇒ = − − − + ⇒ = − − − +

∫ ∫

)در معادله دیفرانسیل : نکته )1 1 1 2 2 2a x b y c y a x b y c′+ + = + هر گاه . را در نظر بگیرید+

1 2 1 2 0a b b a− u,آنگاه تغییر متغیر ≠ x k v y h= + = - معادله را به یک معادله همگن تبدیل می+

. کند .با استفاده از نکته فوق معادالت زیر را حل کنید: مثال

) 2 11 dy x ydx x y

− += −

+


09376200601

15

( )

( )( )

( )

,,

,

1 2 2 1 2 1 3 0

2 2 12 2 1

2 1 0 1 13 10 3 3

221

a b a b u x k v y hx u k y v h

u v k hdy dv u k v hdx du u k v h u v k h

k hk k h

k hv

dv u v u Ivdu u vu

− = − − = ≠ ⇒ = + = +

⇒ = − = −

− − − −− − + += = − = −

− + − + − +

− − =⇒ = ⇒ = = − + =

−−⇒ = − = −

+ +

vzدهیم قرار میu

vو لذا = zu= . از دو طرف نسبت بهuگیریم و در معادله مشتق می( )Iدهیمقرار می:

ln arctan ln

2

2

2 2

2

2 2 21 1 1

21

1 1 12 2

1 122 2 2

dv dz z dz z z z zz u u zdu du z du z z

zz

z du zdz dz duu uz z

zz u c

− − + − + − −= + = − ⇒ = − =

+ + +− −

=++ +

⇒ = − ⇒ = −+ +

⇒ + + = − +

∫ ∫

3,با توجه به 1 13 1 3

v yz u xu x

−= = = +

+ :صورت زیر استجواب نهایی به

ln ( ) arctan ( ) ln21 3 1 1 1 3 1 122 3 1 3 1 32 2y y x cx x

− −+ + = − + +

+ +

( ) ( ))2 2 1 021

x y dx y dydy x ydx y

+ + − =

+= −

−


09376200601

16

1چون 2 2 1 1 2 3 0a b a b− = − − = − v,پس از تغییر متغیر ≠ y h u x k= + = -استفاده می+

y,در این صورت . کنیم v h x u k= − = :لذا−

( )( )

2 22 21 1

u k k hdv u k v hdu v h v h

+ − +− + −= − = −

− − − +

: بایستی داشته باشیم2 01 0

k hh

+ = + =

2,پس 1k h= = :در این صورت. آیدبدست می−

2 2dv u v udu v v

+= − = − −

vzدهیم قرار میu

:داریم=

( )( )

( ) ( )

ln ln

ln ln

2

2

2

2 2

211

1 1 2 12 2

11

1 1 1 11 1

1 112 11 1 11 212 2 12

u xyzx

dz dz z zz u u zdu z du z z

zdz z duu dzdu z uz

z zdz du dz duu uz z

z u czy x cyx

x

= +−

=+

− − −+ = − − ⇒ = − − − =

− +⇒ = ⇒ = −

+

+ −⇒ = − ⇒ = −

+ +

⇒ + + = − ++−

→ + + = − + +−+ ++

∫ ∫ ∫ ∫

:معادله دیفرانسیل کامل

)معادله دیفرانسیل : تعریف ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ نامیم هر گاه تابع کامل میرا =

( ),z f x y= موجود باشد به طوریکه( ) ( ), , ,f fN x y M x yy x

∂ ∂= =

∂ ∂در این حالت .

)جواب عمومی معادله دیفرانسیل به صورت ),f x y c=باشدمی.


09376200601

17

)معادله : قضیه ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ کامل است هر گاه =M Ny x

∂ ∂=

∂ ∂.

)نشان دهید معادله : مثال ) ( )12 1 3 0y x dx x dyy

− + + − + .کامل است=

( )

( )

,

,

2 1 11 معادلــه کامــل اســت 3 1

MM x y y xM Nyy xN x y x N

yx

∂= − + = ∂ ∂∂ ⇒ ⇒ = ⇒ ∂ ∂= − + ∂ = ∂

2نشان دهید معادله : مثال2

xy

xyyey

y xe+′ =−

.کامل است

( )( )

( ) ( )

,( ) ( )

, ( )

2 2 222

2 2 02

معادلـــه دیفرانســـیل کامـــل اســـت

xyxy xy

xy

xyxy xy

xy

xy xy

xy xy

dy ye y xe dy ye dxdx y xe

M x y yey xe dy ye dx

N x y y xe

M e yxe M NxN x xe xyex

+= ⇒ − = +

−

= − −⇒ − + − − = ⇒ = −

∂ = − − ∂ ∂ ∂ ⇒ = ⇒∂ ∂ ∂ = − − ∂

:روش حل

)معادله دیفرانسیل )2 0ydx x y dy+ + .کنیدرا حل =

( )( )

,

, 2

1 معادلــه کامــل اســت

1

MM x y y M Nx

N x xN x y x yx

∂ == ∂ ∂ ∂⇒ ⇒ = ⇒ ∂ ∂ ∂= + = ∂


09376200601

18

)تابعی مانند ),f x y وجود دارد که( ) ( ),,

f x yM x y y

x∂

= =∂

و

( ) ( ),, 2f x y

N x y yy

∂= =

∂.

)از ),f x yy

x∂

=∂

.گیریمانتگرال میyبا فرض ثابت بودن xنسبت به

( ) ( ) ( ),,

f x ydx ydx f x y yx h y

x∂

= ⇒ = +∂∫ ∫

( )h y را تابعی بر حسبyپس داریم. گیریمبه عنوان ثابت انتگرال گیري در نظر می:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

,

,,

,

32

2

3

3

3

f x yx h y

y yh y y h yf x y

N x y x yy

yf x y yx

∂′= + ∂ ′⇒ = ⇒ =

∂ = = + ∂

⇒ = +

)حال بنابر مطالب فوق جواب عمومی معادله داده شده عبارتست از ),f x y c= 31و یا3xy y c+ =.

معادله دیفرانسیل : مثال2

21

1xyy

x y−′ =

− .را حل کنید


09376200601

19

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

,

,

, ,

,

,

,

22 2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

1 1 1 01

21 معادلــه کامــل اســت

1 2

1 1

2

1 1

dy xy xy dx x y dydx x y

M xyM x y xy y M N

N y yN x y x y xyy

f x y f x yx y dx xy dx

x xx yf x y x h y

f x yx y h y x y h y h y y

y

f x y

−= ⇒ − + − + =

−

∂ = = − ∂ ∂ ∂ ⇒ ⇒ = ⇒ ∂ ∂ ∂= − + = ∂

∂ ∂= − ⇒ = −

∂ ∂

⇒ = − +

∂′ ′= + = − ⇒ = − ⇒ = −

∂

⇒

∫ ∫

( ),2 2

2x yc f x y x y c= ⇒ = − − =

)معادله دیفرانسیل : مثال )cos sin2 0ydx y x y dy+ − .را حل کنید=


09376200601

20

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

sin, cos

, sin sin

, ,cos cos

, cos

,sin

,, sin

, cos

2

32

2

3

3

3

M yM x y y yNN x y y x y yy

f x y f x yy dx ydx

x xf x y x y h y

f x yx y h y

y yh y y h yf x y

N x y y x yy

yf x y c x y c

∂ = −= ∂ ⇒ ∂= − = − ∂

∂ ∂= ⇒ =

∂ ∂⇒ = +

∂′= − + ∂ ′⇒ = ⇒ =

∂ = = − ∂

⇒ = ⇒ + =

∫ ∫

.دیفرانسیل جداشدنی، کامل استهر معادله : نکته .معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید: مثال

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( )

ln

,

, ln

1

1

1

1

11 2 2 0

11 2 2 1

1 2 2 2 1 12 21

x ydx x dyy

M xy

M x y x yNx x x xN x y x

yx

−

−

−

−

− + − + =

∂ = − ∂ = −∂ ⇒ = = = ∂ − − −= − +

= −

:لذا داریم. پس معادله دیفرانسیل کامل است


09376200601

21

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

, ,

, ln

,ln

,, ln ln

ln ln

ln ln ln

, ln ln ln

1 11 1

1

1

1 12 2 2 1

12 1

12 2

1 2

f x y f x yx y dx x ydx

x xf x y y x h y

f x yx h y

yf x y

N x y x xy y y

xy

h y h y y yy

f x y y x h y y y c

− −∂ ∂= − ⇒ = −

∂ ∂⇒ = − +

∂= − + ∂

∂ = = − + = − +∂

= + − +

′⇒ = + ⇒ = +

⇒ = − + + + =

∫ ∫

.معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید: مثال

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

sin sin

sin, sin

, sin sin cos sin

, ,sin sin

, cos

,cos

2 2 2

2

2 2

2 2

3

3 2 2 2 3 0

2 23 2 22 3 4 2 2

معادلــه کامــل اســت

3 2 2 3 2 2

2

2

x y x dx x y dy

M xM x y x y x yNN x y x y x x xx

f x y f x yx y x dx x y x dx

x xf x y x y x h y

f x yx

y

+ + + =

∂ = = + ∂ ⇒ ∂= + = = ∂

⇒

∂ ∂= + ⇒ = +

∂ ∂⇒ = − +

∂= − +

∂

∫ ∫

( ) ( )( ) ( )

, cos sin

,, sin cos

2

2 2 2

1 2 2

2 3 1 2 3

h y x x

f x yN x y x y x y

y

′ − =

∂ = = + = − + ∂


09376200601

22

( ) ( )( ), cos

2 3

3 3

1 32

h y y h y y y

f x y x y x y y c

′⇒ = + ⇒ = +

⇒ = − + + =

:عامل انتگرال ساز

)تابع : تعریف ),h x y را عامل انتگرال ساز معادله دیفرانسیل( ), ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =

)نامیم هر گاه با ضرب ),h x y در طرفین معادله به یک معادله کامل تبدیل شود.

)نشان دهید : مثال ), 2 21h x y

x yیک عامل انتگرال ساز براي معادله =

( )2 0ydx x x y dy+ + . باشدمی=

)معادله )2 0ydx x x y dy+ + )کامل نیست زیرا = ),M x y y=

( ), 2N x y x x y= :پس +

,1 1 2M N xyy x

∂ ∂= = +

∂ ∂

)با ضرب ),h x y داریمدر دو طرف معادله:

( )( )( ) ( )

( )

( )

( )

, , ,

22 2 2 2

2 2

2 2

2 4 2 2 22

2

2 2 22

1 1 1 1 0

1 1 1

1

1

ydx x x y dy dx dyyx y x y xy

M x y N x yyx y xy

M x xy x y x yx y

N yx x yxy

+ + = + + =

⇒ = = +

∂ − − −= = =

∂

∂ − −= =

∂

)بنابراین . معادله کامل شد ),h x yیک عامل انتگرال ساز است. :دهیمدر زیر دو روش براي یافتن عامل انتگرالساز ارائه می


09376200601

23

yاگر عبارت ) 1 xM NN−

)مانند xتابعی فقط بر حسب )g x باشد، آنگاه عامل انتگرالساز آن به صورت

( ) ( )g x dxh x e .باشدمی=∫

yاگر عبارت ) 2 xM NM−

−)مانند yتابعی فقط بر حسب )k y باشد، آنگاه عامل انتگرالساز به صورت

( ) ( )k y dyh y e .باشدمی=∫

x,الزم به ذکر است yN MN Mx y

∂ ∂= =

∂ ∂.

)معادله : مثال )2 0ydx x y x dy+ − .را حل کنید=

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ln ln

, ,

2

2

2 2

22 2

2

1 2 1 کامـــل نیســـت

2 11 2 1 2 2 21

1

y x

dxg x dx x xx

M x y y N x y x y xM N xyy x

M N xyxy xy g xN x xy xx y x x y x

h x e e e e xx

−− − −

= = −

∂ ∂= = − ⇒

∂ ∂− −− + −

= = = = − =− −− −

∫∫= = = = = =

)دو طرف را در ) 21h x

x :کنیمضرب می=

( )

( )

( ) ( )

,

,

2

2 2 2

22

2

10 0

1

1 معادلــه جدیــد کامــل اســت 1

y x y x ydx dy dx y dyxx x x

MyM x yy xxNN x y y

x x x

−+ = ⇒ + − =

∂ == ∂ ⇒ ⇒ ∂ = − = ∂

)پس تابعی مانند ),f x yوجود دارد که:


09376200601

24

( ) ( ), , ,21f f yy N x y M x y

x x y x∂ ∂

= − = = =∂ ∂

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

,

,

,

,,

,

x ــیریم ــی گـ ــرال مـ ــه انتگـ ــبت بـ نسـ2 2

2

2

1

12

2

f x yf y ydx dxx xx x

y h y f x yx

f x yh y

y xf x y yN x y y h y y h y

y xy yf x y cx

∂∂= → =

∂ ∂−

= + =

∂′= − +

∂

∂′= = − ⇒ = ⇒ =

∂

⇒ = − + +

∫ ∫

)عامل انتگرالساز معادله : مثال ) ( )2 1 0y x y dx x y dy+ + + − .را بیابید=

( )( )

( ) ( )

,

,

2 2 کامـــل نیســـت

2 1 1

2 1 12 1dxy x x

M x yM x y yx y yNN x y x yx

M N x y g x h x e eN x y

∂ = + = + ∂ ⇒ ⇒ ∂= + − =

∂− + − ∫⇒ = = = ⇒ = =

+ −

)عامل انتگرالساز معادله : مثال ) 2 31 3 0xy y y xy′− + + .را بدست آورید=


09376200601

25

( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ln

( )

3

2 3

2 3

22 2

2 3 2 2

2

33

3

1 3 0

3 1 0

2 9 2 9 9 33 3

3 3 1 33 1

1

y x

dyk y dy yy

dyxy y xydx

y xy dx xy dy

M y xy M N y xy y xy yyMN y xy xy yy

xy xy

k yyy xy

h y e e e yy

−−−

− + + =

+ + − =

∂ = + − + + +∂ ⇒ = = −∂ − + − += − ∂ +

= = − =− +

∫∫⇒ = = = = =

: نکته

)اگر ) 1 ),y xM Nf x y

yN xM−

=−

باشد در این صورت معادله دیفرانسیل داراي عامل انتگرالساز به فرم

( ) ( ) ,f z dzh z e z xy∫= .خواهد بود=

)معادله دیفرانسیل : مثال )4 2 0y x y dx xdy+ + .را حل کنید=

( )ln

,

,

4

4 4

5 2 5 2

2 22 2 2

1 2 1

1 2 1 2 2

1 1

y x

dzzz

M Nx yy x

M N x y x yyN xM xyxy xy x y x y

h e e h x yz x y

− −

∂ ∂= + =

∂ ∂− + −

⇒ = = = −− − − −

∫⇒ = = = ⇒ =

)طرفین معادله را در ),h x yکنیمضرب می.


09376200601

26

( ) ( )

( )

4 2 4 22 2 2 2

22 2

1 10 0

1 1 0

y x y dx xdy y x y dx xdyx y x y

x dx dyx y xy

+ + = ⇒ + + =

⇒ + + =

.دهیم معادله جدید کامل استنشان می

,2 2 2 21 1 M کامــل اســت N

y xx y x y∂ ∂

= − = − ⇒∂ ∂

)پس تابعی مانند : کنیمحال معادله دیفرانسیل را حل می ),f x yوجود دارد به طوري که:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )

, , ,

, ( ) ,

,

32

2

2

2

1 13

1

01

f fM x y N x yx y

f xdx M x y dx x dx h y f x yx xyx y

f h yx xy

h y h y cN x y

xy

∂ ∂= =

∂ ∂

∂= = − + = − + + =

∂

∂ ′= + ∂ ′⇒ = ⇒ ==

∫ ∫ ∫

: بنابراین31

3x c

xy− + =

اگر ) 2( ) ( )2 2

2y xM N

f x yxN yM

−= +

−باشد در این صورت معادله دیفرانسیل داراي عامل انتگرالساز به

)صورت ) ( ) , 2 2f z dzh z e z x y∫= = .خواهد بود+

)در معادله دیفرانسیل : مثال ) ( )2 0x xy dx y x dy− + + .عامل انتگرالساز را بدست آورید=


09376200601

27

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

ln,

2 23 2 3 2

3 32 2

3 32 22 2

کامـــل نیســـت2

2 3 3 12 22 2

1 1

y x

dz zz

M xy

N xx

M N x x xxN yM x yyx x xy xy x xy

h z e e h x yx yz

− −

∂ = − ∂ ⇒∂ = ∂

− − − −= = = − ×

− ++ − + +

∫= = = ⇒ =+

اگر در یک معادله ) 3( )

( )2

y xy M N xfxM yN y

−=

+باشد در این صورت معادله دیفرانسیل داراي عامل انتگرالساز

)به صورت ) ( ) ,f z dz xh z e zy

∫= .خواهد بود=

24عامل انتگرالساز معادله : مثال 0y dx xydy− .را بدست آورید=

8ــت ــل نیسـ ــیل کامـ ــه دیفرانسـ معادلـ

M yy

N yx

∂ = ∂ ⇒∂ = − ∂

( )( ) ( )2 2 3

2 2 2 28 9 9 34 3 3

y y y y y y yxxy xy xy xy

− −= = =

−

xzبا فرض y

:داریم=

( ) ( )ln ln ,3

33 3 3

dzz zz xh z e e e z h x y

y ∫= = = = ⇒ =


09376200601

28

اگر ) 4( )

( )2

y xx M N yfxM yN x

−= −

+باشد در این صورت معادله دیفرانسیل داراي عامل انتگرالساز به فرم

( ) ( ) ,f z dz yh z e zx

∫= .خواهد بود=

xعامل انتگرالساز به صورت yα β:

)هر گاه ) ( ), , ,N x y M x yآنگاه از این اي باشند و جمع توانهایمتناظر با هم برابر باشند به صورت چند جمله .کنیمروش به صورت زیر استفاده می

β,: مثال α را طوري بدست آورید کهx yα β عامل انتگرالساز معادله زیر باشد.

( ) ( )2 2 2 0xy y dx x y x dy+ + − =

xبا ضرب yα β در دو طرف معادله فوق داریم:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

,

,

2 2

1 2 1 2 1 1

1 1

1 1

2 02 0

2 1ــودن شــرط کامــل ب

2 2 1

2 2 01 2 1 2 3 2 3 1

x y xy y dx x y x dy

x y x y dx x y x dy

M x y x yM Nyy xN x y x y

x

h x y x

α β

α β α β α β α

α β α β

α β α β

β β

α α

β α β α α ββ α β α α α α β

+ + + + + +

+ +

+ +

+ + − =

+ + − =

∂ = + + + ∂ ∂∂ = ∂ ∂∂ = + − + ∂+ = + − = ⇒ =

⇒ ⇒ + = − + + = − ⇒ + = − ⇒ = = −

⇒ = 1 1 1y x yxy

α β − −= =

)یک عامل انتگرالساز براي معادله : مثال )2 3 0y xy dx xdy− − .بدست آورید =


09376200601

29

( )( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ),

1 1 2 1

1 1

2

2 3 02 3 0

2 1 3 2

1

2 1 1 2 2 1 1 13 2 0 2 0 2

x y y xy dx x y xdy

x y x y dx x y dy

M x y x yy

N x yx

h x y x y xy

α β α β

α β α β α β

α β α β

α β

α β

β β

α

β α α α

β β β

+ + + +

+ +

−

− − =

− − =

∂= + − +

∂∂

= − +∂

+ = + ⇒ − + = + ⇒ = ⇒ = =− + = ⇒ + = ⇒ = −

)عامل انتگرالساز براي معادله : مثال ) ( )2 3 2 32 3 1 0y x y dx x x y dy+ + − .بدست آورید =

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ), ,

2 4 3 3

2 4 3 3

2 4 1 3 3 1

2 3

2 3

7 95 5

2 3 02 3 0

2 3 0

2 4 3 1 2 4 33 1 13 1

7 95 5

x y y dx x y x dy

x y x y y dx x y x y x dy

x y x y dx x y x y dy

M x y x yy

N x y x yx

h x y x y x y

α β α β

α β α β α β α β

α β α β

α β α β

α β

β β β α

β αα α

α β

+ + + + + +

+ +

+ +

−

+ + − =

+ + − =

+ + − =

∂ = + + + + = +∂ ⇒ + = − +∂ = + − + ∂

⇒ = = − ⇒ = =

:اول معادالت دیفرانسیل خطی مرتبه

)معادالت دیفرانسیل به شکل : تعریف ) ( )y p x y q x′ + این . نامیمرا معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول می=

)معادالت داراي عامل انتگرالساز به فرم ) ( )p x dxh x e∫=باشد و جواب عمومی آن به صورت زیر استمی:

( ) ( ) ( )1y q x h x dx ch x

= + ∫


09376200601

30

sinجواب عمومی معادله : مثال2

2 xy yx x

′ + .را بدست آورید=

( )

( )( )

( )

ln ln

sin

sin cos

22

2 2

22 2

2

1 1

dx x xx

p xx h x e e e x

xq xx

xy x dx c x cxx x

= ∫⇒ = = = = =

⇒ = + = − + ∫

cotجواب عمومی معادله : مثال cos2y y x x′ + .را بدست آورید=

( )( )

( )

( )

coscot lnsinsin

cotsin

cos

cos sin sinsin sin

cossin

21 12 2

1 1 22

xdxxdx xxp x x

h x e e e xq x x

y x xdx c xdx cx x

x cx

= ∫∫⇒ = = = ==

⇒ = + = +

= − +

∫ ∫

2معادله دیفرانسیل : مثال xy y e′ + .را حل کنید=

( )( )

( ) ( )

( )

2 2

2 3 32 2 2

2

1 1 1 13

p x dx dx xx

x x x xx x x

p xh x e e e

q x e

y e e dx c e dx c e ce e e

= ∫ ∫⇒ = = ==

⇒ = + = + = + ∫ ∫

)معادله دیفرانسیل : مثال ), 0 0y xy x y′ − = .را حل کنید=


09376200601

31

( )( )

( ) ( )

( )

( )

2

2 2 2 2

2

2

2

2 2 2 2

2

12

1 1

0 0 0 1 1 1

xp x dx xdx

x x x x

x

x

p x xh x e e e

q x x

y xe dx c e e c cee

y c c y e

−−

− −

−

= − ∫ ∫⇒ = = ==

⇒ = + = − + = − +

= ⇒ = − + ⇒ = ⇒ = −

∫

tanمعادله دیفرانسیل : مثال sec3dyx y x xdx

+ .را حل کنید=

tanبراي حل دو طرف معادله را به xخطی تبدیل شودکنیم تا به معادله تقسیم می.

sec coscottan tan

11 3 3dy x xy x y xy x

dx x x′+ = ⇒ + = sin

cosxx

( )( )

( )cos

cot lnsinsin

cot csccot

sincsc

csc .sinsin sin

( )sin

2

3

31 13 3

1 32

xdxxdx xx

y xy x xp x x

h x e e e xq x x x

y x x xdx c xdx cx xxy c

x

′⇒ + =

= ∫∫⇒ = = = ==

⇒ = + = +

= +

∫ ∫

:معادله برنولی

)معادالتی به شکل ) ( ) ( ),01ny p x y q x y n′ + = .نامیمرا معادله برنولی می≠

:داریم. کنیمضرب می−nyبراي حل دو طرف این معادله را در

( ) ( )1n ny y p x y q x− −′ + =

1دهیم اکنون قرار می nz y )لذا =− )1 nz n y y−′ ′= .شودو معادله فوق به معادله خطی مرتبه اول تبدیل می−


09376200601

32

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1

11 1

n

n

z p x y q xn

z n p x y n q x

−

−

′+ =

−

′ + − = −

.کنیمحال این معادله را به روش معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول حل می

2معادله : مثال 3yy x yx

′ + .مرتبه اول بنویسیدرا به صورت خطی =

3کنیم لذا ضرب می−3yدو طرف را در 2 21y y y xx

− −′ + :دهیمحال قرار می=

2 3 2 21 22 22zz y z y y z x z z x

x x− − ′

′ ′ ′= ⇒ = − ⇒ + = ⇒ − = −−

1yمعادله : مثال y xyx

′ + .را حل کنید=

معادله برنولی به صورت 121y y xy

x′ + باشد دو طرف را در می =

12y

− .کنیمضرب می

( ) ( )

( )ln ln

,

,

.

, ( )

12

1 1 1 1 1 112 2 2 2 2 2

12

1 12 2

212 222

1 1 12

1 1 11 2 2 2 22

1 12 2

1 14 4

dx x xx

y y y x y y y x z y z y yx x

z x xy x z z p x q xx x x

h x e e e x

x xz x dx c dx cx x

x xc z y y z y cx x

− − − −′ ′ ′ ′+ = ⇒ + = = ⇒ =

′′⇒ + = ⇒ + = ⇒ = =

∫⇒ = = = =

= + = +

= + = ⇒ = ⇒ = +

∫

2dyمعادله دیفرانسیل : مثال y xydx

− .را حل کنید=


09376200601

33

:کنیمضرب می−2yدو طرف را در

( ) ( )

( )

( )

,

,

2 1 1 2

1

1

11

1 1 1 1

1 1

dx x

x x xx x

x

y y y x z y z y yz z x z z x p x q x x

h x e e

z xe dx c x e c x cee e

x cey

− − − −

−

−

′ ′ ′− = = ⇒ = −′

′⇒ − = ⇒ + = − ⇒ = = −−

∫= =

⇒ = − + = − + = − +

⇒ = − +

∫

. توانید آنرا در جزوه انتگرال مطالعه کنیداستفاده شد که می∫xxeدر حل از انتگرال جزء به جزء براي محاسبه

)معادله دیفرانسیل : مثال )52 2 0xy y dx xdy− + .را حل کنید=5 5

5

2 2 0 2 2

2

xy dx ydx xdy ydx xdy xydy y ydx x

− + = ⇒ − + = −

⇒ − = −

:کنیمضرب می−5yمعادله به معادله برنولی تبدیل شد دو طرف را در

( ) ( )

( ) ln ln

,

,

2

45 4 5

2 2 2 2

2 32 2

4 32

1 422 21 4 44 2

1 1 44 31 4

3

dxdx x xx x

dy yy z y z y ydx xz z z z p x q x

x x x

h x e e e e x

z x dx c x cx x

y x cx

−− − −

−

′ ′− = − ⇒ = = −

′′⇒ − = − ⇒ + = ⇒ = =

−

∫ ∫= = = = =

= + = + ⇒ = +

∫


09376200601

34

)معادله دیفرانسیل مرتبه اول به صورت کلی : نکته ) ( ) ( ) ( )f y y f y p x q x′ ′ + با تغییر متغیر =

( )u f y= شود زیرا مرتبه اول میتبدیل به معادله دیفرانسیل خطی( )z f y= و( )z f y y′ ′ پس =′

( ) ( )z zp x q x′ + .باشدکه یک معادله خطی مرتبه اول می=cosمعادله دیفرانسیل : مثال sin 1y y y x′ + = .را به یک معادله مرتبه اول خطی تبدیل کنید+

sinzدهیم قرار می y= پسcosz y y′ :با قرار دادن در معادله اول داریم=′

1z z x′ + = + .باشدکه یک معادله خطی مرتبه اول می

Documents

moadele dareje 1