Metody komputerowe

w inżynierii komunikacyjnej

Optymalizacja

doc. dr inż. Tadeusz Zieliński

r. ak. 2013/14

ko

szty

zła dobra jakość rozwiązania

koszty całkowite

koszty budowy

koszty eksploatacjiogra

nic

zenie

kosztó

w b

ud

ow

y

optim

um

Układ wykładu

podstawy teoretyczne wiadomości podstawowe

optymalizacja według jednego kryterium

optymalizacja wielokryterialna

metody poszukiwania ekstremum

podsumowanie

zastosowanie optymalizacji w projektowaniu dróg

historia

obecny zakres zastosowania

literatura

Podstawy teoretyczne

Wiadomości podstawowe

optymalizacja – wybór najlepszego rozwiązania

według zadanego kryterium

dwa rodzaje zagadnień optymalizacyjnych:

1. wybór najlepszego z „n” rozpatrywanych wariantów

(quasi-optymalizacja) – podejście praktyczne

analiza wielokryterialna

2. ustalenie ekstremum funkcji celu (funkcji optymalizującej)

– podejście czysto matematyczne

podstawowe znaczenie mają kryteria optymalizacji:

optymalizacja według jednego kryterium 1 funkcja celu

optymalizacja wielokryterialna (polikryterialna) > 1 funkcja

celu

Podstawy teoretyczne

Wiadomości podstawowe

Matematyczne sformułowanie problemu określenie zmiennych decyzyjnych, czyli wielkości występujących

w rozwiązywanym problemie, których wartości poszukujemy

(np.: wymiary elementów, współrzędne punktów, promienie łuków,

pochylenia niwelety):

x1, x2, ..., xn n – liczba zmiennych decyzyjnych

określenie dopuszczalnego obszaru rozwiązań (warunków

brzegowych), tzn. obszaru w którym muszą mieścić się zmienne

decyzyjne:

gj(x1, x2, ..., xn) ≥ 0 dla j= 1, 2, ... m m – liczba warunków

utworzenie funkcji celu, czyli kryterium określającego jakość

rozwiązania:

fc= f (x1, x2, ..., xn)

miara jakości rozwiązania = f (parametrów rozwiązania)

problem sprowadza się do:

wybrania kryterium i zbudowania funkcji celu

znalezienia rozwiązania przy zadanych ograniczeniach

Podstawy teoretyczne

Optymalizacja według jednego kryterium

najczęstszym kryterium są koszty całkowite:

Kc = Kb + Ke

ko

szty

zła dobra jakość rozwiązania

koszty całkowite

koszty budowy

koszty eksploatacji

ogra

nic

zenie

kosztó

w b

ud

ow

y

optim

um

Podstawy teoretyczne

Optymalizacja według jednego kryterium

tendencja do uwzględniania zmienności w czasie poziomu przydatności eksploatacyjnej uogólniona postać kryterium kosztów całkowitych:

Kc= Kb [Q, P(Q,t)] + Ke [Q, P(Q,t)] gdzie:

Kc – koszty całkowite

Kb – koszty budowy

Ke – koszty eksploatacji

Q – obciążenie użytkowe

P – przydatność (jakość) obiektu w procesie eksploatacji

t – czas eksploatacji

trudno wykorzystać taką postać funkcji, bo zależność P(t) jest trudna do określenia (często nieznana)

po

zio

m p

rzyd

atn

ości eksp

loata

cyjn

ej

t czas eksploatacji

P3(t)

P2(t)

P1(t)

b. dobry

dobry

ograniczony

nieprzydatny

projektowany okres eksploatacji

Podstawy teoretyczne

Optymalizacja według jednego kryterium

ostatnio tendencja do przejścia na kryteria

bardziej ogólne typu:

energia całkowita – globalny rachunek energii

zużytej na budowę i używanej w czasie

eksploatacji (żmudne i pracochłonne, trudno

precyzyjnie wyliczyć)

zadowolenie społeczne – na razie teoria, bo

trudno zapisać funkcję celu

Podstawy teoretyczne

Optymalizacja wielokryterialna zagadnienie znacznie bardziej skomplikowane

stosuje się następujące sposoby rozwiązania:

1. część kryteriów redukuje się zmieniając je na warunki ograniczające

dopuszczalny obszar rozwiązań, tzn. zamiast osiągania ekstremum dla jakiejś

cechy przyjmuje się pewien minimalny sposób jej spełnienia (np.: zamiast

minimum zużycia benzyny, warunek zużycia ≤ od dopuszczalnego)

2. sprowadza się do jednej funkcji celu:

fc= w1 fc1 + w2 fc2 + w3 fc3 + ... + wi fci

gdzie:

wi – przyjęte a priori wagi; wynikają ze znaczenia poszczególnych,

cząstkowych kryteriów fci

3. przypisanie poszczególnym kryteriom

różnych priorytetów, wymaga się, aby

rozwiązanie optymalne spełniało

z największą dokładnością kryterium 1,

następnie kryterium 2,

potem kryterium 3 itd.

Podstawy teoretyczne

Metody poszukiwania ekstremum

rachunek różniczkowy

programowanie liniowe

programowanie dynamiczne

przeszukiwanie obszaru rozwiązań

Podstawy teoretyczne

Metody poszukiwania ekstremum

Rachunek różniczkowy

aby znaleźć ekstremum funkcji celu

trzeba policzyć:

y’ – ekstremum funkcji znajduje się tam,

gdzie y’ = 0

y”:

maksimum – gdy: y” < 0

minimum – gdy: y” > 0

aby można było policzyć pochodne

muszą być spełnione 4 warunki

Podstawy teoretyczne

Metody poszukiwania ekstremum

Rachunek różniczkowy – warunki wykonania obliczeń

funkcja celu jest określona analitycznie

w obszarze możliwych rozwiązań:

musi być zapisana w postaci wyrażenia

y = f(x)

w praktyce często niespełnione, bo niektóre

parametry funkcji celu określone z tablic,

z wyników pomiarów lub opisane inaczej

(np. klotoida – rozwinięcie w szereg)

ekstremum leży wewnątrz analizowanego obszaru:

w praktyce często leży na krawędzi obszaru i y’ 0

funkcja celu ma ciągłą pierwszą pochodną:

w praktyce często niespełnione

równania otrzymane z różniczkowania funkcji

są rozwiązywalne:

nieraz nie jest spełnione dla skomplikowanych

postaci funkcji celu

wniosek: w praktyce inżynierskiej rachunek różniczkowy

najczęściej nieprzydatny

x fc

min

fc

fcmax

fcmin

xmin xmax

Podstawy teoretyczne

Metody poszukiwania ekstremum

Programowanie liniowe warunek stosowania – funkcja celu i funkcje opisujące warunki

brzegowe są liniowe zasady szczegółowe:

obszar dopuszczalnych rozwiązań

jest wypukły

funkcja celu osiąga ekstremum w

punkcie wierzchołkowym zbioru

możliwych rozwiązań metoda

rozwiązania:

wyznaczyć wierzchołki wieloboku

(wielościanu) dopuszczalnych rozwiązań

obliczyć dla tych punktów wartości

funkcji celu

wybrać wartość ekstremalną

w praktyce inżynierskiej:

bardzo rzadko są to funkcje liniowe czasami upraszcza się je do opisu

liniowego

stosowane w ograniczonym zakresie

przykład dla 2 zmiennych decyzyjnych

Podstawy teoretyczne

Metody poszukiwania ekstremum

Programowanie dynamiczne warunki stosowania:

funkcja celu ma postać sumy funkcji od poszczególnych zmiennych

decyzyjnych, czyli w funkcji celu zmienne decyzyjne nie występują wspólnie

w jednym składniku, np.:

może być postać: ax12 + bx1 + cx2

3

nie może być: a x1 x2

tzn. funkcja celu ma postać:

n

fc= fj (xi)

j=1

gdzie: fj (xi) – dowolna funkcja

w zasadzie najwyżej jeden warunek brzegowy (w praktyce bardzo mało);

przy ≥ 2 rozwiązanie bardzo się komplikuje

dla tych ograniczeń wniosek – rozwiązanie można znaleźć poszukując

oddzielnie ekstremów ze względu na każde xj

w praktyce inżynierskiej stosuje się do rozwiązania problemu

komiwojażera (zagadnienia transportowego)

Podstawy teoretyczne

Metody poszukiwania ekstremum

Przeszukiwanie obszaru rozwiązań

zasada – oblicza się funkcję celu dla wybranych wartości zmiennych decyzyjnych zbiór wartości fc ekstremum fc

zaleta – nie ma warunków stosowania (lub są bardzo delikatne)

różne metody przeszukiwania: systematyczne (regularne)

losowe

„z kluczem”

kombinowane

Podstawy teoretyczne

Metody poszukiwania ekstremum

Przeszukiwanie obszaru rozwiązań

Systematyczne (regularne) zasada:

ustala się Δ xi dla każdej zmiennej decyzyjnej xi

oblicza się wartości fc dla wszystkich możliwych kombinacji

liczba kombinacji bardzo silnie ze liczby zmiennych

decyzyjnych „i” ew. Δ xi

stosuje się automatyczną zmianę kroku (rozwiązanie

wielostopniowe):

duży krok wybranie podobszaru z obszaru dopuszczalnych

rozwiązań

dla tego podobszaru mniejszy krok zmniejszenie obszaru

poszukiwań itd.

wada – teoretycznie można zgubić ekstremum, jeśli było między

węzłami pierwotnej siatki

Podstawy teoretyczne

Metody poszukiwania ekstremum

Przeszukiwanie obszaru rozwiązań

Losowe zasada – wartości zmiennych decyzyjnych dobiera się losowo według

zadanych rozkładów prawdopodobieństwa; dla tych wartości oblicza się

funkcję celu

często stosuje się metodę Monte-Carlo; przykład zastosowania metody

do obliczenia powierzchni dla niecałkowalnej (nieciągłej) funkcji:

wada – wolna zbieżność wyników

z reguły stosuje się do wyznaczenia rozwiązania przybliżonego,

wokół którego poszukuje się ekstremum inną metodą

Fdolnej części = n dolnych

Fprostokąta n wszystkich

Podstawy teoretyczne

Metody poszukiwania ekstremum

Przeszukiwanie obszaru rozwiązań

„Z kluczem”

zasada – następny punkt poszukiwań zależy od

wartości funkcji celu w punkcie poprzednim:

przeszukiwanie siatki w kierunku ekstremalnej wartości:

oblicza się funkcje w sąsiednich węzłach i przechodzi się do

węzła o lepszej wartości funkcji

wada – można znaleźć ekstremum lokalne

przeszukiwanie w kierunku największego spadku:

ekstrapoluje się wyniki obliczenia funkcji celu w małym

obszarze, poszukuje się rozwiązania w kierunku,

gdzie |Δf|= max

nie zawsze da się stosować

Podstawy teoretyczne

Metody poszukiwania ekstremum

Przeszukiwanie obszaru rozwiązań

Kombinowane np. losowo-systematycznie – metoda

losowania na kuli i wyboru kierunku:

losuje się punkt P1 fc (P1)

na kuli o promieniu R losowo wybieramy punkty PR,

aż:

fc (PR) < fc (P1) – jeśli szukamy minimum

przeszukujemy prostą P1PR systematycznie,

szukając Pi takiego, że

fc (Pi) = min

Pi staje się środkiem kuli itd.

Podstawy teoretyczne

Podsumowanie najistotniejsze jest określenie kryterium optymalizacji:

nie ma rozwiązań najlepszych pod każdym względem, jest

optymalne pod względem jakiegoś kryterium ogromne znaczenie

doboru funkcji celu

jest to istotniejsze od bardzo precyzyjnego określenia położenia

ekstremum funkcji, ponieważ korzystniejsze jest ustalenie

przybliżonego położenia ekstremum właściwej funkcji celu niż

bardzo dokładne dla niewłaściwej funkcji (był opracowany program

do optymalizacji niwelety ze względu na minimalizację robót

ziemnych w przekroju)

kryterium minimum kosztów jest w praktyce określane

bardzo nieprecyzyjnie, opiera się na nieścisłych danych

konieczność analizy czułości (wrażliwości)

Zastosowanie optymalizacji w projektowaniu dróg

Historia 3 etapy rozwoju poszukiwań najlepszych rozwiązań:

1. wybór wariantu rozwiązania na wstępnym etapie

2. bardziej szczegółowe rozwiązanie kilku wariantów (możliwe dzięki zastosowaniu komputerów) wybór najlepszego; w Polsce trochę teoria, główny nacisk na tempa, a nie jakości rozwiązań

3. optymalizacja

drogownictwo na świecie jest na granicy 2 i 3 etapu; zależy od dziedziny:

projektowanie geometryczne – 2 etap (optymalizacja stosowana tylko dla niwelety)

projektowanie nawierzchni – bliżej 3 etapu

świat: W. Brytania – system HOPS

Francja – system Apollon (SETRA)

RFN – system EPOS

Polska: Politechnika Wrocławska – optymalizacja niwelety

Politechnika Warszawska: optymalizacja niwelety – prace dyplomowe

optymalizacja łącznic na węzłach – praca doktorska

Zastosowanie optymalizacji w projektowaniu dróg

Obecny zakres zastosowania

optymalizuje się: konstrukcje – obiekty, nawierzchnię; najszersze zastosowanie

geometrię drogi: niweletę (najczęściej, bo stosunkowo najprostsza); rzadko

trasę: etap wstępnej lokalizacji – korytarz; rzadko

ścisła lokalizacja – nieudane próby (system HOPS)

łącznie trasę + niweletę – praktycznie nie wyszło poza fazę wstępnych prac (system HOPS)

wykonawstwo: minimalizacja kosztu robót ziemnych (optymalizacja przewozów „skąd – dokąd”)

minimum czasu budowy przy ograniczonych środkach; powszechne

Literatura

Basiewicz T. – Procesy optymalizacyjne w projektowaniu dróg komunikacyjnych, sympozjum „Nowoczesne metody projektowania dróg komunikacyjnych”, Muszyna, 1974

Kuś S. – Projektowanie optymalne, Problemy Projektowania Dróg i Mostów (PPDiM) 1/78

Stańczyk S. – Numeryczne rozwiązania zagadnień optymalizacji, PPDiM 2/72

Pownug P. – Metodyka optymalizacji projektowania elementów trasy drogi, Raport Instytutu I. L. Pol. Wrocławskiej, praca doktorska, PRE nr 76/83

Domaradzki S. – Optymalizacja niwelety trasy drogowej ze względu na koszt robót ziemnych, praca dyplomowa 1983

Zieliński L. – Optymalizacja niwelety, praca dyplomowa na studium podyplomowym, 1976