Ministrante Profª. Drª. Danielle Durski Figueiredo

Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 11 Ministrante

Profª. Drª. Danielle Durski Figueiredo Material elaborado pelo Programa de Pré-Cálculo da Mackenzie

http://www.mackenzie.br/fileadmin/Graduacao/EE/Arquivos/Calculo_zero/trigonometria.pdf

1

Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 11

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11


12

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

1) Resolva as equações.

a) 1cos2 x .

b) 03cos2 x .

c) 0232 2 senxxsen .

d) 2

14

2

xsen , ]2,0[ x .

e) sentsent 234 , ]2,0[ t .

f) xsenx 32cos , [Dica: senxx

2cos

].

g) 0cos2 xsenxsenx .

h) tgxxtg 3213 2 .

i) 5cos11cos2 2 .


13

2) (UCSAL-BA) Se ],0[ x a equação 048 2 xsen tem duas soluções reais e distintas a e b . Sabendo que a > b, é verdade que:

a) ba 3 b) ba 2 c) 2

ba d) 3

ba e) 6

ba

3) (PUC-RJ) A equação xtgx cos tem, para x no intervalo

2,0

, uma raiz x sobre a qual podemos dizer:

a) 4

b) 22

sen c) 2

51sen d)

21cos e)

3

4) (UNIRIO) O conjunto solução da equação xsenx cos , sendo 20 x , é:

a)

4

b)

3

c)

45

d)

34,

3

e)

45,

4

Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 12 Ministrante

Profª. Drª. Silvana Heidemann Rocha Material elaborado pela

Profª. Drª. Silvana Heidemann Rocha

14

Funções trigonométricas hiperbólicas diretas

Seno hiperbólico e cosseno hiperbólico

Seja t um número real tal que t = 2Ah, onde Ah é a área do setor hiperbólico POQ no

sistema de coordenadas cartesiano abaixo e Q tem coordenadas (1,0).

Seja P um ponto que descreve o ramo direito de uma hipérbole unitária.

Denomina-se seno hiperbólico de t, denotado por senh t, a ordenada 1OP , onde P1 é a

projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas; e

cosseno hiperbólico de t, denotado por cosh t, a abscissa 2OP , onde P2 é a projeção ortogonal

de P sobre o eixo das abscissas.

Exemplo:

O seno hiperbólico de um número real x é definido por

2

xx eexsenh

,

onde x é denominado argumento do seno hiperbólico;

e o cosseno hiperbólico de um número real x é definido por

2 cosh

xx eex

,

onde x é denominado argumento do cosseno hiperbólico.

1

P

P2

P1

O Q x

y


15

De forma análoga às relações trigonométricas circulares, define-se:

tgh x = xx

xx

eeeextgh

xx

coshsenh

cotgh x = xx

xx

eeeexgh

senh x x

xtgh

cotcosh

1

xx eexh

xxh

2 seccosh

1 sec

xx eexxh

2 senh

1 seccos

Dessas definições, resultam as seguintes identidades:

cosh2 x – senh2 x = 1

1 – tgh2 x = sech2x (basta dividir ambos os membros de cosh2 x – senh2 x = 1 por cosh2x)

1 – cotgh2 x = -cossech2x (basta dividir ambos os membros de cosh2 x – senh2 x = 1 por -senh2x)

Devido a esse comportamento semelhante às funções trigonométricas circulares é que

as funções trigonométricas hiperbólicas f(x)=senh x, g(x)=cosh x, h(x)=tgh x,

j(x)= cotgh x, l(x)= sec xh e m(x)= xh seccos recebem o adjetivo trigonométricas.

O adjetivo hiperbólica deve-se ao fato do ponto P de coordenadas (cosh t, senh t) estar

sobre a hipérbole unitária x2 - y2 = 1, uma vez que cosh2 t – senh2 t = 1.

i.1) Função seno hiperbólico

É toda função do tipo

Reexsenhxfy

Rfx xx

2 )(

:

O domínio de 2

)(xx eexsenhxf

é D( f ) = R e a imagem é Im( f ) = R

O gráfico de xsenhxf )( pode ser obtido adicionando-se as ordenadas das funções

auxiliares g(x)= xe21 e h(x)= xe

21 .


16

Primeiramente, esboça-se os gráficos de g(x)= xe21 e h(x) = xe

21 (pode ser tracejado)

e, posteriormente, soma-se as ordenadas obtendo-se f(x) = g(x) + h(x).

i.2) Função cosseno hiperbólico


Reexxfy

Rfx xx

2 cosh)(

:

O domínio de 2

cosh)(xx eexxf

é D( f ) = R e a imagem é Im( f ) = ,1 .

O gráfico de xxf cosh)( pode ser obtido adicionando-se as ordenadas das funções

auxiliares g(x)= xe21 e h(x)= xe

21 .

Primeiramente, esboça-se os gráficos de g(x)= xe21 e h(x) = xe

21 (pode ser tracejado)

e, posteriormente, soma-se as ordenadas obtendo-se f(x) = g(x) + h(x).

f(x)=senh x

h(x) =

g(x) =

g(x) = h(x) =

f(x) = coshx


17

A função cosseno hiperbólico pode ser usada para descrever a forma de um cabo ou

corrente flexível, uniforme, cujas extremidades estão fixas a uma mesma altura.

A curva da função f(x) = cosh ( )ax

, a R , é denominada catenária (do latim: cadeia,

corrente). Seu emprego também se dá na arquitetura, na confecção de arcos.

i.3) Função tangente hiperbólica


R

eeeextghxfy

Rfx

xx

xx

)(

:

O domínio de xx

xx

eeeextghxf

)( é D( f ) = R e a imagem é Im( f ) = 1 ,1 .

O gráfico de f(x) = tgh x é dado por:

i.4) Função cotangente hiperbólica


R

eeeexghxfy

Rfx

xx

xx

cot)(

:

*

O domínio de xx

xx

eeeeghxxf

cot)( é D( f ) = R* e a imagem é

1

-1


18

Im( f ) = ,11- , O gráfico de f(x) = cotgh x é dado por: i.5) Função secante hiperbólica


R

eexhxfy

Rfx

xx

2 sec)(

:

O domínio de xx eexhxf

2 sec)( é D( f ) = R e a imagem é Im( f ) = 1 ,0 .

O gráfico de f(x) = sech x é dado por:

i.6) Função cossecante hiperbólica


1

-1

1


19

R

eexhxfy

Rx

f

xx

2 seccos)(

: *

O domínio de xx eexhxf

2 seccos)( é D( f ) = R* e a imagem é Im( f ) = R*.

O gráfico de f(x) = cossech x é dado por:

j) Funções trigonométricas hiperbólicas inversas

j.1) Função argumento do seno hiperbólico

Se xsenhxfy

RxRf

)(:

, então a inversa de f , denominada função argumento do

seno hiperbólico e denotada por argsenh x, é dada por

yygx

RyRfg

senh arg )(

:1

Como a função seno hiperbólico é bijetora em todo o seu domínio, então não é

necessário restringir um intervalo para definir sua função inversa.

Como y = senh x = 2

xx ee , então sua inversa é dada por

x = arg senh y = ln (y + )12 y

O gráfico de senh x arg

:

g(x)y

RxRg

é dado por:

x

y

y


20

j.2) Função argumento do cosseno hiperbólico

Se xxfyx

f cosh)(

,1,0:

, então a inversa de f , denominada função argumento do

cosseno hiperbólico e denotada por argcosh x, é dada por

yg(y)xy

fgcosh arg

,0,1:1

Como a função cosseno hiperbólico não é bijetora em todo o seu domínio, então é

necessário restringi-la a um intervalo para definir a função inversa, como feito acima.

Como y = cosh x = 2

xx ee , então sua inversa é dada por

x = argcosh y = ln (y + )12 y , y 1

O gráfico de xg(x)yx

gcosh arg

,0,1:

é dado por:

j.3) Função argumento da tangente hiperbólica

Se xtghxfyx

Rf )(

1,1:

, então a inversa de f , denominada função argumento da

tangente hiperbólica e denotada por argtgh x, é dada por

yygx

Ry

fg tgh )(

1,1:1

x

y

1


21

Como a função tangente hiperbólico é bijetora em todo o seu domínio, não é necessário

restringi-la a um intervalo para definir sua função inversa.

Como y = tgh x = xx

xx

eeee

, então sua inversa é dada por

x = arg tgh y = 21

yy

11ln , 11 y

O gráfico de xg(x)y

Rx

g tgh arg

1,1:

é dado por:

j.4) Função argumento da cotangente hiperbólica

Se xghxfyx

Rf

cot)(

,11,: *

, então a inversa de f , denominada função argumento

da cotangente hiperbólica e denotada por argcotgh x, é dada por

yg(y)x

Ry

fgcotgh arg

,11,: *1

Como y = cotgh x = xx

xx

eeee

, então sua inversa é dada por

x = arg cotgh y = 21

11ln

yy , 1y

O gráfico de yg(y)x

Ry

gcotgh arg

,11,: *

é:

-1 1 x

1 -1


22

j.5) Função argumento da secante hiperbólica:

Se xhxfyx

Rf

sec)(

1,0:


da secante hiperbólica e denotada por argsech x, é dada por

yygx

Ry

fgsech arg )(

1,0:1

Como y = sech x = xx ee 2 , então sua inversa é dada por

x = arg sech y =

y

y 211ln , 10 y

O gráfico de xg(x)y

Rx

gsech arg

1,0:

é dado por:

j.6) Função argumento da cossecante hiperbólica

1 x


23

Se xhxfy

Rx

Rf seccos)(

: **


da cossecante hiperbólica e denotada por argcosech x, é dada por

yygxR

yRfg

cossech arg )(: **1

Como y =cossech x = xx ee 2 , então sua inversa é dada por:

x = arg cossech y =

yy

y

211ln , 0y

O gráfico de

cossech x arg : **

yR

xRg

é dado por:

x

y


24

FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

1.1 Introdução (falar sobre Histórico, aplicações)

Compare as figuras 1 e 2 a seguir, destacando semelhanças e diferenças entre elas:

X

Y

.

O 1 -1

P (x, y) com x = cosh t

y = senh t

x

y

x2 y2 = 1 ⇒ cosh tsenh t = 1

t S

M . .

t = 2S, com S = AMOP área do setor hiperbólico MOP

Hipérbole:

x = cos t

y = sen t . P (x, y) com

x

y

X

Y

1 -1

-1

1

x2 + y2 = 1 ⇒ cos t + sen t = 1

O M . . t

S

t = 2S, com S = AMOP , pois 2πrad → πr

t rad → S

Daí, vem: πr t = 2πS ⇒ t = 2Sparaocasoder = 1

Circunferência:


25

Figura 1 – Hipérbole de equação cartesiana x2 – y2 = 1 Figura 2 – Circunferência de equação cartesiana x2 + y2 = 1


26

Conforme Thomas (2002), toda função 푓 que seja definida em um intervalo

centrado na origem pode ser escrita de uma maneira única como a soma de uma

função par e de uma função ímpar. A decomposição é:

Assim, escrevendo 푒 dessa maneira, tem-se:

As partes par e ímpar de 푒 são denominadas, respectivamente, cosseno

hiperbólico de x e seno hiperbólico de x.

Elas descrevem o movimento de ondas em sólidos elásticos e a forma dos fios

suspensos da rede elétrica. (THOMAS, 2002)

1.2 Definições

As funções hiperbólicas são definidas da seguinte maneira:

Seno hiperbólico de x: 푓:푅 ⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) = 푠푒푛ℎ푥 =

푓(푥) = ( ) ( ) + ( ) ( )

parte par parte ímpar

푒 = 푒 + 푒

2+푒 − 푒

2

Parte par parte ímpar


27

Cosseno hiperbólico de x: 푓:푅 ⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) =

cosh푥 =

Tangente hiperbólica de x: 푓:푅⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) = 푡푔ℎ푥 =

=푠푒푛ℎ푥cosh 푥 =

푒 − 푒푒 + 푒

Cotangente hiperbólica de x: 푓:푅∗ ⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) = 푐표푡푔ℎ푥 =

= 푐표푠ℎ푥senh푥 =

푒푥 + 푒−푥푒푥 −푒−푥

Secante hiperbólica de x: 푓:푅 ⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) = sech푥 =

=1

cosh푥 =2

푒 + 푒

Cossecante hiperbólica de x: 푓:푅∗ ⟶푅, 푦 = 푓(푥) =

푐표푠푠푒푐ℎ푥 =

= 1

senh푥 =2

푒 − 푒

1.3 Identidades hiperbólicas

EXERCÍCIO

1) Verifique as seguintes identidades:

a) 푐표푠ℎ 푥 −푠푒푛ℎ 푥 = 1

b) 푠푒푛ℎ(푎 + 푏) = 푠푒푛ℎ푥 cosh 푏 + 푠푒푛ℎ푏 cosh푎


28

c) 푠푒푛ℎ(푎 − 푏) = 푠푒푛ℎ푥 cosh 푏 − 푠푒푛ℎ푏 cosh푎

d) 푐표푠ℎ(푎 + 푏) = 푐표푠ℎ푎 cosh 푏 + 푠푒푛ℎ푎푠푒푛ℎ푏

e) 푐표푠ℎ(푎 − 푏) = 푐표푠ℎ푎 cosh 푏 − 푠푒푛ℎ푎푠푒푛ℎ푏

f) 푠푒푛ℎ2푥 = 2푠푒푛ℎ푥푐표푠ℎ푥

g) 푐표푠ℎ 2푥 = 푐표푠ℎ 푥 +푠푒푛ℎ2푥

h) 푐표푠ℎ 푥 =

i) 푠푒푛ℎ 푥 =

j) 푡푔ℎ 푥 = 1 − 푠푒푐ℎ 푥

k) 푐표푡푔ℎ 푥 = 1 + 푐표푠푠푒푐ℎ 푥

1.4 Gráficos das funções hiperbólicas

EXERCÍCIO 1) Represente graficamente as funções hiperbólicas

Observação:

O gráfico da função cosseno hiperbólico determina uma curva

denominada catenária.


29

Utilize um software matemático, por exemplo: Winplot.

2 Funções hiperbólicas inversas

2.1 Definições

As funções hiperbólicas inversas são definidas da seguinte maneira:

Argumento seno hiperbólico de x (denota-se por senh-1 x ou arg senh x)

푓:푅 ⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) = arg 푠푒푛ℎ푥

= ln(푥 + 푥 + 1)

Argumento cosseno hiperbólico de x (denota-se por cosh-1 x ou arg cosh

x)

푓: [1, +∞[⟶푅,

푦 = 푓(푥) = argcosh푥 = ln(푥 + 푥 − 1)

Argumento tangente hiperbólica de x (denota-se por tgh-1 x ou arg tgh

x)

푓:]− 1, 1[⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) = arg푡푔ℎ푥 = 12 ln 1 + 푥1− 푥


30

Argumento cotangente hiperbólica de x (denota-se por cotgh-1 x ou arg

cotgh x) 푓:푅 − [−1, 1] ⟶ 푅,

푦 = 푓(푥) = arg 푐표푡푔ℎ푥 = 12 ln 푥+ 1

푥− 1

Argumento secante hiperbólica de x (denota-se por sech-1 x ou arg sech

x) 푓: ]0, 1] ⟶푅,

푦 = 푓(푥) = arg sech 푥 = ln1 + 1− 푥 )

푥

Argumento cossecante hiperbólica de x (denota-se por cossech-1 x ou arg cossech x)

푓:푅∗ ⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) = arg 푐표푠푠푒푐ℎ푥 = ln1푥 +

1 + 푥 )|푥|

2.2 Identidades satisfeitas pelas funções hiperbólicas inversas

EXERCÍCIO

1) Verifique as seguintes identidades:

a) arg 푠푒푐ℎ푥 = arg cosh

b) arg 푐표푠푠푒푐ℎ푥 = arg senh

c) arg 푐표푡푔ℎ푥 = arg tgh


31

2.3 Gráficos das funções hiperbólicas inversas

EXERCÍCIO 1) Represente graficamente as funções hiperbólicas inversas

Use um software matemático, por exemplo, o Winplot.

2) A função denominada secante hiperbólica é definida por

푓: 푅 ⟶ 푅, 푦 = 푓(푥) = 푠푒푐ℎ푥 = 1

cosh 푥 =2

푒 + 푒

cujo gráfico está representado pela figura 1, a seguir:

Figura 1 – Gráfico da função secante hiperbólica

a) A função secante hiperbólica é uma função par? Justifique.

b) A função secante hiperbólica é uma função bijetora em todo seu

domínio? Justifique.


32

c) Restringindo o domínio da função secante hiperbólica ao intervalo [0, + [ ,

defina a função inversa da secante hiperbólica, denominada argumento secante hiperbólica de x.

3) A partir do gráfico das funções abaixo, verifique:

a) Se trata-se de uma função par, função ímpar ou nenhuma delas.

Justifique.

b) Se trata-se de uma função bijetora em todo seu domínio.

Justifique.

c) Obtenha a função inversa (domínio, contradomínio, lei de

associação) no maior intervalo onde a função seja bijetora.

2.1) seno hiberbólico

2.2) cosseno hiperbólico

REFERÊNCIAS

ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. V. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000.

ISTO É MATEMÁTICA. A catenária. Disponível em: < https://www.youtube.com/watch?v=yBH5ezzY_-0> Acesso em: 23/04/2015.

MUNEM, M. A.; FOULIS, D. J. Cálculo. 2. ed. V. 1. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1983.

PISKOUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. 11 ed. V. I. Porto: Edições Lopes da Silva,

1986

REFATTI, L.; BELTRAME, A. M. Funções hiperbólicas e cabos pendentes. In: Disc. Scientia. Série: Ciências Naturais e Tecnológicas. v. 5. , n. 1., p. 139-162. Santa Maria, 2004. Disponível em: <sites.unifra.br/Portals/36/tecnologicas/2004/Hiperbolicas.pdf> . Acesso em: 23/04/2015.

SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. 2. ed. V. 1. São Paulo: Makron Books,

1994.

THOMAS Jr., G. B. Cálculo. 10. ed. V. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2002.

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