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Aula: INDEPEND ˆ ENCIA DE EVENTOS Ministrante Prof. Dr. Vladimir Belitsky, IME-USP 15 de agosto de 2017

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Aula: INDEPENDENCIA DE EVENTOSMinistrante Prof. Dr. Vladimir Belitsky,

IME-USP

15 de agosto de 2017

Independencia. Definicao formal 1/2.

Comeco com a definicao, e logo em seguida pretendo demonstrarque ela e uma formalizacao fiel daquilo que nossa intuicao concebecomo a independencia.

Definicao 1: Sejam A e B dois eventos arbitrarios definidos nummesmo experimento aleatorio, tambem arbitrario. Entao diz-se queo evento B nao depende do evento A, caso valer a igualdadeentre a probabilidade de B e a probabilidade condicional de B dadaa ocorrencia do evento A, isto e, caso

IP[B]

= IP[B∣∣A] (1)

O verbo independer usa-se comumente como o sinonimo de “naodepender”. Ja quando a igualdade (1) nao vale, diz-se que Bdepende de A.

Independencia. Definicao formal 2/2.

Aviso de imprortancia secundaria: O evento A da definicaoprecisa ter probabilidade nao nula. No nosso curso, tais eventosnao surgem; isso e natural. Mas no nosso patamar deconhecimento e bom acordar que nao se define a probabilidadecondicional quando o condicionador e um evento de probabilidadenula.

Independencia. Demonstracao de que a concepcaointuitiva bate com a definicao formal 1/6.

Considere o seguinte

Experimento aleatorio: Jose lanca uma moeda honesta e se essader “cara”, entao ele decide que vai chover e saira de casa comguardachuva (no caso de “coroa” ele nao levara guardachuva).

Um milessimo de segundo apos o termino do experimento do Jose,Maria lanca um dado equilibrado e, se esse mostrar “6” ela decideque vai chover e saira de casa com guardachuva (em qualqueroutro resultado do dado, ela nao levara guardachuva).

Independencia. Demonstracao de que a concepcaointuitiva bate com a definicao formal 2/6.

Eis o que a sua intuicao pensa:

A Maria sair de casa com guardachuva nao depende do Jose sairde casa com guardachuva.

Eu introduzo a seguinte notacao

A = Jose sair de casa com guardachuvaB = Maria sair de casa com guardachuva

e peco de sua intuicao expressar-se, agora e em tudo que se segue,com o uso desta notacao. Eis a resposta:

B independe de A

Independencia. Demonstracao de que a concepcaointuitiva bate com a definicao formal 3/6.

Agora peco a sua intuicao expressar a independencia alegada acimaalegada sem usar a palavra “independente” (finjo que eudesconheco esse conceito).

Eis a resposta de sua intuicao:

(*) saber que A ocorreu ou nao da nenhuma informacao sobre aocorrencia ou nao de B

Independencia. Demonstracao de que a concepcaointuitiva bate com a definicao formal 4/6.

Agora recordo a sua intuicao que ela conhece os conceitos“probabilidade” e “probabilidade condicional”, e que tais conceitosforam alinhados com a minha concepcao de probabilidade e deprobabilidade condicional, e peco se expressar com o uso dessesconceitos (ja que alinhamento mencionada garante que ireientender corretamente aquilo que a intuicao dizer). Eis a expressaosolicitada:

(1) A probabilidade de B ocorrer sabendo que A ocorreu e amesma que a probabilidade de B ocorrer sem saber que A ocorreu.

Independencia. Demonstracao de que a concepcaointuitiva bate com a definicao formal 5/6.

Apos uma leve hesitacao, sua intuicao acrescenta o seguinte:

(2) A probabilidade de B ocorrer sabendo que A nao ocorreu e amesma que a probabilidade de B ocorrer sem saber que A nao

ocorreu.

(3) A probabilidade de B nao ocorrer sabendo que A ocorreu e amesma que a probabilidade de B nao ocorrer sem saber que A

ocorreu.

(4) A probabilidade de B nao ocorrer sabendo que A nao ocorreu ea mesma que a probabilidade de B nao ocorrer sem saber que A

nao ocorreu.

E que sua intuicao nao sabe julgar se (1) – (4) sejam equivalentesentre si. Portanto, como a afirmacao original (*) abranja 4 casos,entao a intuicao decidiu emitir 4 expressoes. Posteriormente,demonstrarei que (1) – (4) sao equivalentes.

Independencia. Demonstracao de que a concepcaointuitiva bate com a definicao formal 6/6.

Agora eu pego a expressao (1) e escrevo essa usando os sımbolosque foram introduzidos para os conceito de probabilidade e deprobabilidade condicional. Atencao: eu nao mudo nada! sore-escrevo usando os sımbolos matematicos. Eis o resultado:

IP[B] = IP[B∣∣A]

Concluindo: a expressao intuitiva de independencia e a expressaoformal que determina a independencia via minha definicao formal(Definicao 1 da 1-a transparencia). Ponto final.

Independencia. Ilustracao por meio do Diagrama de Venn1/1.

Veja o desenho na lousa que ilustra – via o diagrama de Venn – aposicao generica de dois eventos B e A tais que B e independentede A.

Veja tambem o desenho que ilustra – via o diagrama de Venn – aposicao de eventos A e B que nao tem interseccao. Observe queisso e diferente da posicao dos eventos independentes.

Veja tambem o desenho que ilustra que o evento “tudo” (ou“sempre”) esta independente de qualquer evento A,

Independencia. Mais sobre a relacao entre a concepcaointuitiva e a definicao formal 1/2.

O uso cotidiano/intuitivo do conceito de independencia bateSEMPRE com a definicao formal (a qual e IP[B

∣∣A] = IP[B]). Oproblema e que a demostracao da relacao pode ser trabalhosadevido a dificuldade na revelacao da presenca de probabilidade emsituacoes cotidianas. Ainda mais: em muitos casos no cotidiano, oevento que nao depende do outro e o evento “sempre”, que,conforme mostramos acima, de fato independe de qualquer outroevento.

Independencia. Mais sobre a relacao entre a concepcaointuitiva e a definicao formal 1/2.

O pai da patria amada: “Independencia ou morte!”

Minha emregada domestica: “Independemente da previsao detempo, sempre levo guardachuva”.

Meu pior aluno: “E uma ... de disciplina; vou reprovar indpendentese estudar ou nao”.

Minha amada filinha: “Vou para Europa nas proximas feriasindependentemente de sua concordancia”.

Minha (ainda) esposa: “O divorcio vai acontecerindependentemente se voce desejar ou nao!!!”

Um ministro do meu querido Brasil: “Polıtica do Brasil independeda polıtica dos Estados Unidos.”

Independencia. Propriedades matematicas 1/7.

Dois teoremas que vao ajuda-nos a chegar a forma tradicional paraa definicao de independencia.

Teorema 1 (troca por complementar do evento condicionador):Se B independe de A entao B independe de Ac .

Teorema 2 (troca de lugares):Se B independe de A entao A independe de B.

Independencia. Propriedades matematicas 2/7.

Esta transparencia e para ser espreitada por um bom tempo ateque seu interior concordar com o fato de que ser complicada ecomplexa, a demonstracao do Teorema 2 nao tem como.

Tenho:IP[B

∣∣A] = IP[B]

quero deduzir disso que

IP[A∣∣B] = IP[A]

Agora pode passar para a transparencia seguinte onde encontra-sea prova formal.

Independencia. Propriedades matematicas 3/7.

Tomo um B que nao depende de A, faco a seguinte conta

IP[A∣∣B]

=IP[A ∩ B

]IP[B] (

usamos a formula da probabilidade condicional)

=IP[A ∩ B

]IP[B] IP

[A]

IP[A] =

IP[A ∩ B

]IP[A] IP

[A]

IP[B](multiplicamos por 1 =

IP[A]

IP[A]

e remanejamos)

=IP[B∣∣A]

IP[B] IP

[A]

usamos a formula da probabilidade condicional)

= IP[A] (

usamos a hipotese que IP[B∣∣A] = IP

[B])

e concluo que entao A nao depende de B.

Independencia. Propriedades matematicas 4/7.

Quanto a demostracao do Teorema 1, esta nao e mais complicadaque a do Teorema 2, e tambem, usa os mesmos recursos. Eu naoquero gastar tempo com a exposicao da demonstracao pois suaintuicao ja aceita a afirmacao do Teorema 1 como algo natural(esse e a expressao (2) da independencia emitida pela suaintuicao).

Independencia. Propriedades matematicas 5/7.

B independe de A

Teorema 1 Teorema 2

B independe de Ac A independe de B

Teorema 2 ↓ ↓Teorema 1

Ac independe de B A independe de Bc

Teorema 1↓ ↓Teorema 2

Ac independe de Bc Bc independe de A

Teorema 2 Teorema 1

Bc independe de Ac

Independencia. Propriedades matematicas 6/7.

O diagrama da transparencia anterior mostra que a relacao deindependencia e simetrica. A definicao abaixo reflete esta simetria:

Definicao 2 (a definicao de independencia em seu formatomatematico tradicional):Diz-se que events A e B sao independentes, caso

IP[B ∩ A

]= IP

[B]× IP

[A]

(2)

Independencia. Propriedades matematicas 7/7.

As definicoes 1 e 2 sao equivalentes, fato decorrente da definicaoda probabilidade condicional:

IP[B∣∣A] =

IP[B ∩ A]

IP[A]

(veja a demonstracao na lousa). Mas Definicao 2 possui a simetriaintrinsica da independencia ja embutida em sua formulacao. E poristo, que e mais usada.

E obvio (como consequencia dos argumentos ate o momentoapresentados) que a formula da Definicao 1 poderia ter sidoqualquer outra do tipo, por exemplo,

IP[Bc ] = IP[Bc∣∣A]

Independencia. Exercıcio 1 1/3.

Tres moedas honestas sao lancadas em sequencia (suponha, para asimplificacao da tarefa da construcao do modelo probabilıstico paraesse exemplo, que a primeira moeda e branca, a segunda e cinza ea terceira – preta). Considere dois eventos:A=“obter uma “cara” (h) e uma “coroa” (t) nos dois primeiroslancamentos, em qualquer ordem”,eB=“obter duas “caras” nos dois ultimos lancamentos”.

Verifique se A e B sao eventos sao idependentes.

Independencia. Exercıcio 1 2/3.Por metodo de diagrama de arvore, tempos Ω:

(h→ h→ h), (t → h→ h), (h→ t → h), (h→ h→ t),(t → t → h), (t → h→ t), (h→ t → t), (t → t → t),

e temos que a probabilidade de qualquer realizacao de Ω e 1/8.Para saber se os eventos sao independentes temos que confirmarque

IP[A ∩ B] = IP[A]× IP[B]. (3)

Observando o espaco amostral temos queA = (t → h→ h), (h→ t → h), (t → h→ t), (h→ t → t),B = (h→ h→ h), (t → h→ h) e, consequentemente,A ∩ B = (t → h→ h). A partir das probabilidades atribuidas eda definicao de probabilidade para eventos, calculamos:

IP[A] =4

8, IP[B] =

2

8e IP[A ∩ B] =

1

8

e como 4/8× 2/8 = 1/8, entao a iguladade (3) esta confirmada, oque significa que os eventos A e B sao independentes.

Independencia. Exercıcio 1 3/3 (a solucao ERRADA!).Por metodo de diagrama de arvore, tempos Ω:

(h→ h→ h), (t → h→ h), (h→ t → h), (h→ h→ t),(t → t → h), (t → h→ t), (h→ t → t), (t → t → t),

e temos que a probabilidade de qualquer realizacao de Ω e 1/8.Para saber se os eventos sao independentes temos que confirmarque

IP[A ∩ B] = IP[A]× IP[B]. (4)

Observando o espaco amostral temos queA = (t → h→ h), (h→ t → h), (t → h→ t), (h→ t → t),B = (h→ h→ h), (t → h→ h). A partir das probabilidadesatribuidas e da definicao de probabilidade para eventos, calculamos:

IP[A] =4

8, e IP[B] =

2

8. IP[A ∩ B] =

1

8

Agora calcularemos IP[A ∩ B] (aquı esta o erro):IP[A ∩ B] = IP[A]× IP[B] = 4

8 ×28 = 1

8 . Como 1/8 = 4/8× 2/8,entao a iguladade (4) esta confirmada, o que significa que oseventos A e B sao independentes.

Independencia para mais que dois eventos 1/2.Os eventos de uma colecao chamam-se independentes se, aotomar qualquer dois subcolecoes da colecao que nao tenhameventos comuns, as interseccoes das subcolecao foremindependentes.

Por exemplo, se alguem lhe disse que A,B,C ,D,E ,F saoindependentes, entao voce tem, segundo a definicao, que, porexemplo,

IP [(A ∩ C ) ∩ (B ∩ E ∩ F )] = IP [A ∩ C ]× IP [B ∩ E ∩ F ]

IP [A ∩ C ] = IP [A]× IP [C ]

IP [A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E ∩ F ] = IP [A]× IP [B]××IP [C ]× IP [D]× IP [E ]× IP [F ]

Nao haverao neste curso necessidades que exijam umaprofundamento maior no presente assunto. Tb nao sera cobradoem exercıcios e provas.

Independencia para mais que dois eventos 2/2.

Voce pode ter curiosidade de saber se

quando um evento B independe de um outro evento A, e esse, porsua vez, independe de um terceiro C , sera que B e C sejamobrigados a serem independentes

entao saiba que a resposta e “nao” e a demostracao esta na lousa(por diagrama de Venn).

Independencia como consequencia de estrutura deexprimento aleatorio 1/6.

Na parte de nosso curso que trata da Estataıstica, nao vamosVERIFICAR a independencia entre eventos. Vamos aproveitar daspropriedades decorrentes da independencia, sendo que a presencadesta GARANTIDA pela estrutura dos experimentos aleatoriosconsiderados.

A Propriedade da transparencia seguinte formula a garantia, e oexemplo subsequente esclarece os conceitos e o fenomeno.

Independencia como consequencia de estrutura deexprimento aleatorio 2/6.

PROPRIEDADE que garante independencia: Suponha quenum experimento aleatorio sequencial,

(i) as descricoes de cada etapa nao usam nem etapasanteriores nem seus resultados.

Suponha que no modelo probabilıstico de tal experiementoaleatorio foram definidos dois eventos, A e C , da maneira tal que

(ii) nao ha nenhuma etapa do experimento aleatorioque entra na descricao de A e de C ao mesmo tempo.

Entao A e B sao eventos independentes.

Independencia como consequencia de estrutura deexprimento aleatorio 3/6.

Exemplo. Tres moedas honestas sao lancadas em sequencia(suponha, para a simplificacao da tarefa da construcao do modeloprobabilıstico para esse exemplo, que a primeira moeda e branca, asegunda e cinza e a terceira – preta). Considere dois eventos:A=“obter uma “cara” (h) e uma “coroa” (t) nos dois primeiroslancamentos, em qualquer ordem”,eC=“obter “cara” no ultimo (terceiro) lancamento”.

Verifique se A e C sao eventos sao idependentes.

Independencia como consequencia de estrutura deexprimento aleatorio 4/6.

No exemplo com tres moedas,a condicao (i) esta satisfeita, pois na primeira etapa, lanca-seuma moeda, na segunda etapa, lanca-se outra moeda, mas ela e amesma para todo e qualquer resultado possıvel da primeira etapa,e na terceira, ultima etapa, lanca-se uma terceira moeda, tambemsempre, quer dizer, para qualquer combinacao dos resultados vistosnas duas primeiras etapas;a condicao (ii) esta satisfeita, pois o evento A foi descrito porresultados das primeiras duas moedas, enquento que o evento Cfoi descrito por resultados da terceira moeda.

De acordo com a PROPRIEDADE acima formulada, A e Cdevem sair independentes. Nos pretendemos confirmar talindependencia usando a definicao.

Independencia como consequencia de estrutura deexprimento aleatorio 5/6.

Por metodo de diagrama de arvore, tempos Ω:

(h→ h→ h), (t → h→ h), (h→ t → h), (h→ h→ t),(t → t → h), (t → h→ t), (h→ t → t), (t → t → t),

A = (t → h→ h), (h→ t → h), (t → h→ t), (h→ t → t),C = (h→ h→ h), (t → h→ h), (t → t → h), (h→ t → h) e,consequentemente, A ∩ C = (t → h→ h), (t → t → h). Apartir das probabilidades atribuidas e da definicao de probabilidadepara eventos, calculamos:

IP[A] =4

8, IP[C ] =

4

8e IP[A ∩ C ] =

2

8,

e como 4/8× 4/8 = 2/8, entao os eventos A e C saoindependentes.

Independencia como consequencia de estrutura deexprimento aleatorio 6/6.

Se voce analisar a razao por traz da igualdade que acarretou aindependencia, voce vai descobrir a ideia da demostracao daPROPRIEDADE generica. Mas isso e desnecessario no ambito dadisciplina.