MILO ARSENIJEVI1. STRUKTURA VREMENA

VREME I VREMENA

Poreklo pitanja o strukturi vremena sastav = struktura sastav vremena = struktura vremena Pitanje o strukuri vremena moe se formulisati pitanjem - kakav je sastav vremana? Tie se onoga to vreme ini, onoga iz ega se vreme sastoji kao i odnosa meu onim to vreme sainjava. Metodoloki gledano, prvo treba postaviti upravo pitanje o sastavu vremena, ali to ne znai da e odgovor moi dati distinktivne odredbe po kojima se vreme razlikuje od drugih srodnih fenomena. Ovo je pitanje bilo i istorijski prvo razmatrano i odnosilo se na strukturu vremena. Prvi su, naravno, Elejci. Problem vremena kao problem strukture kontinuuma Struktura je neto mnogostruko to se sastoji iz delova (elemenata) koji stoje u odreenom odnosu i time ine strukturu neim to je vie od prostog skupa. Ali ti elementi moraju biti sloeni na odreeni nain kako bi inili ba tu strukturu, a ne neku drugu. Oni se mogu sloiti na nov nain i tako initi novu strukturu, neto drugo. Vano je ustanoviti taan odnos i vezu meu elementima. ta se moe uzeti za elemenat vremena? Na prvi pogled, to deluje lako, moemo za tu svrhu uzeti godinu, mesec, dan ili no, ima tu puno kandidata. Ali, potraga za prirodnim elementima iz kojih vreme treba da se sastoji je jedno beznadeno nastojanje. Ipak, mi moramo izabrati neki vremenski interval kao konvencionalnu vremensku duinu. I to smatramo vremenskim elementom. Ali, to je potpuno prozivoljno. Pokazuje se da se pitanje o sastavu vremena svodi na pitanje o strukturi kontinuuma. A) Elejsko shvatanje kontinuuma a) Parmenid Ono to postoji mora biti homogeno, kontinuirano, neizdeljeno, neprekidno, nedeljivo. Ono nije mnotveno, a izmeu onoga to bi se nazvalo delovima ne bi moglo biti praznine, jer je praznina ono to ne postoji. Po ovom shvatanju dobijamo kontinuum koji nije struktuiran. Prva teorija o strukturi kontinuuma je odbacila nae prvo pitanje o vremenu, jer poto je vreme jedinstveno, homogeno i kontinuirano, ono uopte nije ni iz ega sastavljeno. b) Zenon Daje dokaze protiv mnotva, kae da se nikada ne moe doi ni do ega to je elementarnije od onoga od ega se u deobi polo, jer je svaki deo onoga to je kontinuirano i sm kontinuiran - svaki deo je isto toliko elementaran koliko i ono ega je deo. A kada bi kontinuum bio sastavljen od neega to smo nije kontinuirano, i time bilo nedeljivo, onda takvo neto ne bi imalo veliinu, pa ne bi moglo ni da povea neto emu bi se dodalo, niti da smanji neto od ega bi se oduzelo. To ne bi moglo biti sastavni deo. U generalizovanom obliku, Zenonov zakljuak kae da se entiteti viih dimenzija ne sastoje iz entiteta niih dimenzija. Njegovi argumenti ozbiljno dovode u pitanje pokuaj da se o kontinuumu govori kao o neem struktuiranom. Od Elejaca do Aristotela

1

c) Leukip i Demokrit Osporavaju princip po kom sve to vai za neto to je kontinuirano mora vaiti i za sve njegove delove. Onda se moe tvrditi da e se upornom deobom na kraju stii do neega elementarnog to e biti nedeljivo, iako je kontinuirano. Zato Leukip i Demokrit postuliraju postojanje mnotva atoma. Ali, sama praznina ostaje parmenidovski shvaena: jedinstvena, homogena, kontinuirana, i nestruktuirana. Logino je pretpostaviti da isto vai i za vreme: ono je jedinstveno, homogeno, kontinuirano i nestruktuirano. d) Empedokle Ne prihvata Parmenidov argument da ono to postoji mora biti homogeno i tvdi da je ono to je izvorno heterogeno i sastoji se iz vatre, vazduha, zemlje i vode. Praznine nema, ali ima umetanja ovih korena svega jednih u druge, ime nastaju razliite meavine. Ova 4 elementa imaju osobinu homogenosti, ali i kontinuiranosti, a ipak su zbog njihovog uzajamnog umetanja deljivi. To znai upravo ono to e Aristotel neglaavati - da je kontinuum neizdeljen ali deljiv i to u beskonanost. B) Aristotelova teorija kontinuuma Sve to je kontinuirano, pa i vreme, je aktualno neizdeljeno, ali je deljivo u beskonanost. Ali, mogunost deljenja u beskonanost ne povlai za sobom mogunost beskonane izdeljenosti. Vano je razlikovati aktualne delove i potencijalne delove. O strukturi kontinuuma je mogue govoriti, iako kontinuum nije struktuiran, jer se za ono to je kontuirano kae da nema delova. Kako? O njegovim delovima se govori kao o moguim delovima. Naglaava se razlika izmeu potencijalnog i aktualnog - prelaskom iz potencijalnosti u aktualnost deo postaje neto individuirano i samostalno, bilo tako to bi doslovno bio izdvojen iz kontinuuma, ili tako to bi stekao neko svojstvo, kojim bi se razlikovao od delova koji ga okruuju. Tako je Aristotel ipak dozvolio da se govori o strukturi kontinuuma. Kontinuum nema aktualnih delova, ali se moe govoriti o potencijalnim delovima, i mogu se ispitivati odnosi meu njima. Potencijalni delovi se mogu: - nadovezivati jedan na drugi - biti ukljueni jedan u drugi - preklapati jedan u drugi Ali problem je sledei: ako bismo sve delove koje Aristotel smatra potencijalnim smatrali kao aktualne, onda bi to znailo da se kontinuum na sve njih moe razloiti. Da li je uopte mogue jednovremeno izdvojiti sve delove iz jednog kontinuuma? To nije mogue, niti bi moglo da i oni, a i oni u koje su ukljueni, ili oni s kojima se preklapaju budu jednovremeno ekstrahovani. Aktualizacija se moe ostvariti uz pomo heterogenosti - svaki od potencijalnih delova e biti aktualizovan tako to svi delovi imaju neko karakteristino svojstvo. Problem bi bio to aktualizacija bilo kakvim datim svojstvom ostavlja neaktualizovanim one delove koji su ukljueni u aktualizovani deo. Tekoa je to je svako svojstvo - svojstvo dela koji i sam ima delove, pa uvek mora ostati delova koji nisu aktualizovani. Jasno se vidi zato je Aristotel insistirao da su delovi kontinuuma samo potencijalni delovi, jer ni pri jednoj aktualizaciji ne mogu SVI biti aktualizovani. Kant e ovakve celine iji su delovi samo potencijalni nazvati idealnim celinama (composita idealia), da bi ih razlikovao od stvarnih celina (composita realia), odnosno celina u pravom smislu rei, koje se zaista sastoje iz delova, koji su aktualni. Kontinuum je neto bez aktualnih delova, ali se ipak dozvoljava da se govori o strukturi kontinuuma s obzirom na razliite relacije u kojima se nalaze njegovi potencijalni delovi. C) Od Aristotela do Kantora

2

a) Epikurov finitizam On je govorio o neem to je nedeljivo, a to je neto sa veliinom. To neto apsolutno nedeljivo je ipak dovoljno veliko da d meru svemu i da bude gradivni element onog u ta je materijalni svet smeten, a to su prostor i vreme. Epikur proiruje argument zenonovskog tipa na prazninu, odnosno prostor, da bi to isto primenio i na vreme. Deobom prostora, i shodno tome, vremena, na kraju se nuno mora doi do neeg nedeljivog (topon, tj. hronom). Toponi i hronomi su neto to je manje od onog to je u opaaju najmanje,a to predstavlja perciptivni minimum. No, iako su veoma mali, konaan broj topona je uvek dovoljan da se iscrpi bilo koji konani prostor. Tekoa: Epikurova teorija zahteva reviziju itave geometrije. Zamislimo najmanji mogui egipatski trougao. Duzina hipotenuze bi iznosila 5 topona, a duzina kateta bi bila 3 i 4 topona. Na ovom trouglu ne bi bilo mogue spojiti sredinu katete od 4 topona sa hipotenuzom, jer bi sredina hipotenuze bila na sredini topona, koji kao ono to je apsolutno nedeljivo ne moe imati sredinu. Drugi primer je u vezi sa hrononima. Ako nekom telu treba izvestan neparan broj hronona da sa jednog datog mesta stigne na drugo mesto, i da mu ba onda kad se tamo zaputi s drugog mesta u suret istom brzinom poe neko drugo telo. Kad e se ova dva tela sudariti? Na pola hronona, to je s obzirom na nedeljivost hronona nemogue. b) Infinitezimalizam U celoj grkoj matematici vaio je Arhimedov axiom: Poav od bilo koje date take u prostoru bilo koja druga taka, koliko god bila udaljena od date take, moe dosegnuti ili premaiti u konanom broju koraka iste duine, ma koliko ti koraci inae bili kratki. To onda vai i za bilo koji dva vremenska trenutka. Uvoenje infinitezimala - beskonano malih veliina - znai negaciju Arhimedovog axioma, jer se bilo koje ma koliko malo, ali konano rastojanje u uobiajenom smislu moe iscrpsti samo beskonanim brojem infinitizemala. Infinitezimale su manje od bilo kojeg rastojanja u uobiajenom smislu. Razlog za njihovo uvoenje u matematiku je to u geometriji postoje razne nesamerljive veliine (dijagonala i stranica kvadrata). ak ih je i Arhimed koristio, ali samo u heuristike svrhe. Dobar je primer Lajbnicovih diferencijala koje je koristio pri izraunavanju koeficijenta pravca tangente krive u nekoj datoj taki. Odnos dy/dx ne sme biti 0/0 jer je takav odnos neodreen i ne govori nita o pravcu tangente. Ali ovaj odnos ne sme biti ni odnos dve konane veliine, jer bi odreivao koeficijent pravca seice, a ne tangente u datoj taki. Zato dx/dy mora biti neto izmeu, znai odnos dve infinitezimale.

D) Kantorova teorija kontinuuma

3

Kantor je bio nezadovoljan velikom svaom meu filozofima, jer su jedni sledili Aristotela, pa su elemente materije, pa i prostor i vreme ostavili potpuno neodreenim, a drugi sledili Epikura, pa su elementima proglaavali atome koji su ma koliko siuni bili, ipak imali veliinu. Kantorovom teorijom kontinuuma je odbaen Zenonov aksiom, i postalo je mogue tvrditi da se entiteti viih dimenzija sastoje iz entiteta niih dimenzija. Dakle, i prostor i vreme i materija su composita realia. Po pretpostavci, vreme je jednodimenzionalni linearni matematiku liniju kao jednodimenzionalni linearni kontinuum. Kantorova 2 uslova: 1. Tu vai uslov gustine: izmeu bilo koje 2 take na pravoj nalazi se trea taka. On onemoguava da se take slau sukcesivno, a da meu njima ne bude razmaka. U ma kojoj maloj okolini bilo koje date take nalazi se beskonano mnogo taaka. Takav skup Kantor naziva savrenim, ali takav skup ne ini nuno kontinuum. 2. Treba uvesti i drugi uslov, kojim se obezbeuje da svako beskonano nagomilavanje ima za graninu onu taku koja pripada osnovnom datom skupu taaka. Takav skup Kantor naziva koherentnim. Ako je linearno ureeni skup taaka i savren i koherentan, onda on tvori kontinuum. ta je na pravoj koja odgovara Erlihovom polju brojeva granina taka niza taaka koje odgovaraju brojevima , ,... (2 - 1)/2,...? Standardno bi to bila taka koja odgovara broju 1, ali u nestandatdnom modelu ima beskonano mnogo nestandardnih taaka koje se nalaze izmeu take koja odgovara broju 1 i bilo koje take koja odgovara nekom lanu navedenog niza. Nedostaje, dakle, jedinstvenost take nagomilavanja. Kantorova oba uslova bi vaila i u Erlihovom nestandardnom modelu kontinuuma, ako se ne bi podrazumevala jedinstvenost take nagomilavanja. Kantor je prvi otkrio koliko je taaka potrebno da tvore linearni kontinuum - beskonano. Beskonanost skupa prirodnih i beskonanost skupa racionalnih brojeva su istog ranga - ta dva skupa su ekvipotentna (iste moi). Ali kada se u razmatranje uzmu prirodni s jedne, i realni brojevi sa druge strane, nikakav princip reanja realnih brojeva nije pronaen - Kantor dokazuje da je beskonanost realnih brojeva vieg ranga. Aksiomatizacija aristotelovske i kantorovske teorije kontinuuma a) Jednodimenzionalni linearni kontinuum kao kantorovska takasta struktura Relaciona struktura je skup izvesnih elemenata koji stoje u odreenim relacijama. Pri interpretiranju formalne teorije, neki simboli postaju promenljive koje prelaze samo preko skupa elemenata strukture. Relacioni simboli oznaavaju relacije koje vae meu elementima strukture( binarne, trinarne, n-arne relacije). Svojstva su u stvari unarne relacije, jer kad se kae da elemenat ima neko svojstvo, pominje se samo on, i to jedanput (relacija identiteta nije svojstvo, ve binarna relacija, jer se isti objekat pominje 2 puta). kontinuum. Posmatraemo

4

Za izgradnju teorije nam trebaju simboli koji redom oznaavaju: negaciju, implikaciju, konjukciju, disjunkciju i ekvivalenciju, ako i univerzalni i egzistencijalni kvantifikator. Taka kantorovske jednodimenzionalne strukture bie oznaena sa: 1, 2,... n,.. (n = 1,2..) Za svake dve take vai da su ili identine () ili je jedna ispred druge (. > je inverzna relaciji pethoenja (