Upload
truongthu
View
224
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
MIKROÖKONÓMIA I.
ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék
Mikroökonómia I.
6. hétPREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ
Készítette:K®hegyi Gergely, Horn Dániel
Szakmai felel®s:K®hegyi Gergely
2010. június
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
ApreferenciarendezésmatematikaialapjaiA tananyagot készítette: K®hegyi Gergely
Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009)Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECON-könyvek (atovábbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004)Mikroökonómia el®adásvázlatok.http://econ.core.hu/∼kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG)felhasználásával.
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Vázlat
1 Speciális esetek
2 A preferenciarendezés matematikai alapjai
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Speciális preferenciák
A vagyontárgyak átlagos rhozama hasznos, de ahozam s kockázata káros. Apreferenciairányok ezértészak és nyugat (felfelé ésbalra) mutatnak, ennekkövetkeztében aközömbösségi görbéknövekv®k (pozitív ameredekségük).
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Speciális preferenciák (folyt.)
Az 1. zónában az X jószágis, és az Y jószág is hasznos,és a közömbösségi görbéknegatív meredekség¶ek. A 2.zónában az Y már telített,ezen a területen apreferenciairányok észak ésnyugat (felfelé és balra), ésa közömbösségi görbékpozitív meredekség¶ek. Ittmár a fogyasztónak kellene�zetni azért, hogy még egyszelet tortát megegyen.
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Speciális preferenciák (folyt.)
Y hasznos, de X semlegesjószág. A fogyasztónakmindegy, hogy több vagykevesebb jut neki Xjószágból. Az egyetlenpreferenciairány a felfelé, ésígy a közömbösségi görbékvízszintesek.
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Speciális preferenciák (folyt.)
Pl.: Arisztid izzókat szeretne venni. Úgy tudja, hogy ahagyományos izzó és az energiatakarékos izzó fényerejeugyanolyan, mindössze az élettartamukban különböznek. Azenergiatakarékos izzó háromszor annyi ideig világít, mint ahagyományos. Arisztid a palotáját korlátlan számú izzóvalvilágítaná ki a lehet® legtovább. Milyen függvény reprezentálja apreferenciáit?
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Speciális preferenciák (folyt.)
Pl.: Arisztid izzókat szeretne venni. Úgy tudja, hogy ahagyományos izzó és az energiatakarékos izzó fényerejeugyanolyan, mindössze az élettartamukban különböznek. Azenergiatakarékos izzó háromszor annyi ideig világít, mint ahagyományos. Arisztid a palotáját korlátlan számú izzóvalvilágítaná ki a lehet® legtovább. Milyen függvény reprezentálja apreferenciáit?x : hagyományos izzó, y : energiatakarékos izzó
U(x , y) = x + 3y
Pl.: Arisztid sonkásszendvicse mindig egy zsemléb®l és egy szeletsokából áll. Az üres zsemlét és a sonkát magában nem eszi meg.Viszont minél több sonkát fogyaszt annál jobban érzi magát.Milyen függvény reprezentálja a preferenciáit? Hogyan változnameg a függvény, ha ezentúl mindig két sonkával enné aszendvicset?
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Speciális preferenciák (folyt.)
Pl.: Arisztid sonkásszendvicse mindig egy zsemléb®l és egy szeletsokából áll. Az üres zsemlét és a sonkát magában nem eszi meg.Viszont minél több sonkát fogyaszt annál jobban érzi magát.x : zsemle (db), y : sonka (szelet)
U(x , y) = min{x ; y}
Hogyan változna meg a függvény, ha ezentúl mindig két sonkávalenné a szendvicset?
U(x , y) = min{2x ; y}
Pl.: Tasziló salátalevet készít. Víz, cukor stb. korlátlanmennyiségben állnak rendelkezésre, az egyetlen sz¶kös jószág azecet. Egy deciliter salátaléhez vagy két kanál 10%-os (x), vagy 1kanál 20%-os (y) ecetet használna fel. Minél több salátalevet tudkészíteni, annál jobban érzi magát. Milyen függvény reprezentáljaa preferenciáit?
y = x + 2y
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Speciális preferenciák (folyt.)
Pl.: Tasziló kerti ünnepséget rendez, amihez bevásárol m¶anyagkerti bútorokat. Megállapítja, hogy egy asztalnál (x) 6 széken (y)tudnak vendégek helyet foglalni. Minél több vendéget tud fogadniTasziló, akik (ill®en) asztalnál foglalhatnak majd helyet, annáljobban érzi magát. Kellemetlen viszont számára, ha valaki nemtud az asztalhoz ülni. Annál több vendéget semmiképpen sem hív,mint amennyi szék rendelkezésre áll. Milyen függvény reprezentáljaa preferenciáit az asztalok és székek vonatkozásában?
y = min{6x ; y}
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Nevezetes hasznossági függvények
Cobb�Douglas hasznossági függvény
U(x , y) = xayb
Tökéletes helyettesítés
U(x , y) = ax + by
Tökéletes kiegészítés
U(x , y) = min{ax ; by}
De�nícióAz U és U ′ hasznossági függvény által leírt skála ordinálisanekvivalens, ha U ′ az U pozitív monoton transzformáltja, azazköztük a következ® összefüggés áll fenn: U ′ = F (U), aholF : R→ R és dF
dU> 0
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Nevezetes hasznossági függvények (folyt.)
ÁllításHa U és U ′ hasznossági függvény által leírt skála ordinálisanekvivalens, akkor MRS = MRS ′.
BizonyításHa U ′ = F (U), akkor
MU ′x =
dFdU
∂U∂x
=dFdU
MUx
és
MU ′y =
dFdU
∂U∂y
=dFdU
MUy
. Emiatt
MRS ′ =MU ′
x
MU ′y
=MUx
MUy
= MRS
.
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Nevezetes hasznossági függvények (folyt.)
Pl.: Legyen U(x , y) = x3y5 egy hasznossági függvény. Melyikesetekben beszélhetünk pozitív monoton transzformációról?
F (U) = 10U,F (U(x , y)) = 10x3y5
F (U) = −3U,F (U(x , y)) = −3x3y5
F (U) = U2,F (U(x , y)) = x6y10
F (U) = 1/U,F (U(x , y)) = 1x3y5
F (U) = lnU,F (U(x , y)) = 3 ln x + 5 ln y
F (U) = −2/U,F (U(x , y)) = − 2x3y5
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
A jótékonyság modellezése
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
A jótékonyság modellezése (folyt.)
Jótékony célú adakozás 1994-ben, néhány kiemelt jövedelemsáv esetébenCsaládi Adakozók Átlagos Átlagos adakozásjövedelem részaránya adakozás a család(dollár) (százalék) (dollár) jövedelmének
arányában(százalék)
10 000�19 000 64 209 1,3630 000�39 999 80 474 1,3750 000�59 999 84 779 1,44100 000�124 999 92 1846 1,71150 000�199 999 96 3546 2,09500 000�999 999 97 27 491 4,151 000 000-nál több 100 244 586 4,88Átlagosan 75 960 2,14
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Matematikai ismétlés
De�nícióEgy A alaphalmaz esetén A× A tetsz®leges részhalmazát bináris(kétváltozós, vagy kéttagú) relációnak nevezzük:
(a, b) ∈ R ⊆ A× A⇔ aRb.
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Matematikai ismétlés (folyt.)
Pl.:1 H: a Föld lakosai, R : . . . magasabb, mint . . .2 H: R (valós számok), R :≤3 H: R (valós számok), R :=
4 H: R (valós számok), R :>
5 H: sík egyenesei, R : párhuzamos6 H: sík egyenesei, R : mer®leges7 H: Rn (n-dimenziós (euklideszi) tér vektorai, R :=
8 H: Rn (n-dimenziós (euklideszi) tér vektorai, R :≤ (pl.: def:x ≤ y, ha xi ≤ yi , i = 1, . . . , n)
9 H: magyarországi n®k, R : . . . testvére . . . -nak10 H: a Föld lakosai, R : . . . (vér)rokona. . .-nak11 H: magyarországi n®k, R : . . . anyja . . . -nak12 H: ez a csoport, R : . . . barátja . . . -nak
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Matematikai ismétlés (folyt.)
MegjegyzésA reláció fogalma több változóra könnyen általánosítható:R ⊆ A× A× . . .× A
De�níció (Relációk tulajdonságai)
Legyen A alaphalmaz és rajta R egy reláció.1 Teljesség: ∀x , y ∈ A esetén xRy vagy yRx vagy mindkett®.2 Re�exivitás: ∀x ∈ A-ra xRx.3 Tranzitivitás: ∀x , y , z ∈ A esetén, ha xRy és yRz ⇒ xRz.4 Szimmetria: ∀x , y ∈ A esetén, ha xRy ⇒ yRx.
De�nícióRendezési relációnak nevezünk egy relációt, ha teljes, re�exív éstranzitív.
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Matematikai ismétlés (folyt.)
De�nícióEkvivalencia relációnak nevezünk egy relációt, ha re�exív, tranzitívés szimmetrikus.
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Matematikai ismétlés (folyt.)
Pl.: A példaként megadott halmazok és reláció esetében döntsükel, hogy mely tulajdonságok teljesülnek.reláció+halmaz teljes re�exív tranzitív szimmetrikus
123456789101112
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Matematikai ismétlés (folyt.)
reláció+halmaz teljes re�exív tranzitív szimmetrikus1 Nem Nem X Nem2 X X X Nem3 Nem X X X4 Nem Nem X Nem5 Nem X X X6 Nem Nem Nem X7 Nem X X X8 Nem X X Nem9 Nem Nem ? X10 Nem ? Nem X11 Nem Nem Nem Nem12 Nem ? Nem ?
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Matematikailag kicsit precízebben
De�nícióA H fogyasztási halmaz felett értelmezett �⊆ H × H binárisrelációt preferenciarendezésnek nevezzük, ha
teljes,
re�exív,
tranzitív.
FeltevésRACIONALITÁSI POSZTULÁTUM: Feltesszük, hogy a fogyasztókízlése (preferenciái) reprezentálható minden fogyasztó esetében egy� preferenciarendezéssel. Ha x, y ∈ H a fogyasztási halmazjószágkosarai, akkor az x � y jelölése jelentése: A fogyasztólegalább annyira kedveli az y kosarat, mint az x kosarat.
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Matematikailag kicsit precízebben (folyt.)
De�nícióA ≺⊆ H × H relációt szigorú preferenciarelációnak nevezzük, ha akövetkez® teljesül
x ≺ y⇔ x � y, y � x
De�nícióA ∼⊆ H × H relációt közömbösségi preferenciarelációnaknevezzük, ha a következ® teljesül:
x ∼ y⇔ x � y, y � x
ÁllításA preferenciareláció rendezési reláció, a közömbösségipreferenciareláció pedig ekvivalenciareláció.
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Matematikailag kicsit precízebben (folyt.)
De�nícióAz x0-hoz képest gyengén preferált halmaz:
P(x0) ≡ {x|x0 � x}
Az x0-hoz képest közömbös halmaz:
K (x0) ≡ {x|x0 ∼ x}
A gyengén preferált halmaz határának képét a jószágtérbenközömbösségi görbének nevezzük.
Az x0-hoz képest gyengén diszpreferált halmaz:
D(x0) ≡ {x|x0 � x}
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Matematikailag kicsit precízebben (folyt.)
De�nícióPreferenciák tulajdonságai
Monotonitás: Ha xi ≤ yi ,∀i -re de valamely j-re xj < yj , akkorx ≺ y
Konvexitás: Ha x ∼ y esetén x � tx+ (1− t)y, t ∈ [0, 1]
Szigorú konvexitás: Ha x ∼ y eseténx ≺ x+ (1− t)y, t ∈ [0, 1]
(ínyenceknek) Folytonosság: Ha minden x0 ∈ H esetén D(x0)és P(x0) zárt összefügg® halmazok.
De�nícióAz U : H → R hasznossági függvény reprezentálja a �⊆ H × Hpreferenciarendezést akkor, ha
U(x) < U(y)⇔ x ≺ y
U(x) = U(y)⇔ x ∼ y
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Matematikailag kicsit precízebben (folyt.)
ÁllításREPREZENTÁCIÓS TÉTEL (G. Debreu) Ha a �⊆ H × Hpreferenciarendezés folytonos és monoton, akkor létezik olyanU : H → R hasznossági függvény, amely reprezentálja.
ÁllításLegyen V (z),V : R→ R egy tetsz®leges szigorúan monotonnövekv® valós függvény és tegyük fel, hogy az U : H → Rhasznossági függvény reprezentálja a �⊆ H × Hpreferenciarendezést. Ekkor a V [U(x)] összetett függvény isreprezentálja a �⊆ H × H preferenciarendezést.
ÁllításTegyük fel, hogy az U : H → R hasznossági függvény reprezentáljaa �⊆ H × H preferenciarendezést. Ekkor U(x) szigorúan monotonnövekv®, ha � monoton.
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Preferenciák eredete evolúciós megközelítésben
Pl.: Mostohák
Otthoni élelmiszer-fogyasztás, 1972�1985 és családszerkezet(átlag = 4305 dollár)Változó Az átlagtól való eltérés (dollár)Örökbefogadó anya gyermeke −204Mostohaanya gyermeke −274Nevel®anya és nevel®apa gyermeke −365
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Preferenciák eredete evolúciós megközelítésben(folyt.)
Pl.: Örökség
Fér� N®végrendelkez® végrendelkez®
Házastárs javára 69,8 42,4Gyermekek javára 21,7 47,6Összesen 91,5 90,0
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Preferenciák empirikus meghatározása
Statisztikai-ökonometriai módszerekkel, pl.: Lineáris regresszióvalHa a hasznossági függvény pl. Cobb�Douglas típusú, akkorordinális hasznosságot feltételezve logaritmikus transzformációvallinearizálható:
U(x1, x2, . . . , xn) = β1x1 + β2x2 + . . .+ βnxn
6. hét
K®hegyi - Horn
Speciális esetek
Apreferenciarendezésmatematikaialapjai
Preferenciák empirikus meghatározása (folyt.)
Pl. (Varian): Ingázás hasznossága
TW: teljes gyaloglási id® a buszhoz, vagy az autóhoz
TT: teljes utazási id® percben
C: utazás teljes költsége dollárban
A/W: autók/dolgozók aránya a háztartásban
R: háztartás �fajtája� (0, ha fekete, 1, ha fehér)
Z: 1, ha fehérgalléros, 0, ha kékgalléros munkás
U = −0, 147TW−0, 0411TT−2, 24C+3, 78(A/W )−2, 91R−2, 36Z