Mikroekonomie I Mikroekonomie I Použití grafů v mikroekonomiiPoužití grafů v mikroekonomii

Ing. Vojtěch JindraIng. Vojtěch JindraKatedra ekonomie (KE)Katedra ekonomie (KE)

Definice derivaceDefinice derivace Historické definice vyjadřovaly derivaci jako poměr, v jakém růst nějaké proměnné y Historické definice vyjadřovaly derivaci jako poměr, v jakém růst nějaké proměnné y

odpovídá změně jiné proměnné x, na které má ona proměnná nějakou funkční závislost.odpovídá změně jiné proměnné x, na které má ona proměnná nějakou funkční závislost. Nejjednodušší představa o derivaci je, že „derivace je mírou změny funkce v daném Nejjednodušší představa o derivaci je, že „derivace je mírou změny funkce v daném

bodě, resp. bodech“. Pro změnu hodnoty se používá symbol bodě, resp. bodech“. Pro změnu hodnoty se používá symbol Δ, Δ, takže tento poměr lze takže tento poměr lze symbolicky zapsat jakosymbolicky zapsat jako

ΔΔy y ΔΔx x

Derivace je hodnota podílu pro Derivace je hodnota podílu pro ΔΔx jdoucí k 0. Nahradíme-li konečně malý rozdíl x jdoucí k 0. Nahradíme-li konečně malý rozdíl ΔΔx x nekonečně malou změnou nekonečně malou změnou dxdx, získáme definici derivace, získáme definici derivace

ddyyddxx

což označuje poměr dvou infinitezimálních hodnot (odborně říkáme, že derivace je což označuje poměr dvou infinitezimálních hodnot (odborně říkáme, že derivace je podílem diferenciálů závislé a nezávislé proměnné). Tento zápis se čte podílem diferenciálů závislé a nezávislé proměnné). Tento zápis se čte dy podle dx dy podle dx a a pochází od Leibnize. Tento výraz je považován za symbol, nikoliv za obyčejný zlomek.pochází od Leibnize. Tento výraz je považován za symbol, nikoliv za obyčejný zlomek.

Možnosti vyjádření Možnosti vyjádření ekonomických souvislostíekonomických souvislostí

Ekonomické souvislosti lze vysvětlovat slovně, ilustrovat Ekonomické souvislosti lze vysvětlovat slovně, ilustrovat tabulkou, algebraicky nebo graficky.tabulkou, algebraicky nebo graficky.

Při grafickém vyjádření všech souvislostí si musíme nejprve Při grafickém vyjádření všech souvislostí si musíme nejprve přesně uvědomit, jaké veličiny nanášíme na osu x a na osu y, přesně uvědomit, jaké veličiny nanášíme na osu x a na osu y, tzn. co si představujeme pod obecně vyjádřenými veličinami tzn. co si představujeme pod obecně vyjádřenými veličinami X a Y.X a Y.

Možnosti grafického Možnosti grafického vyjádřenívyjádření

Vyjádření vztahu mezi množstvím X a YVyjádření vztahu mezi množstvím X a Y v tomto případě je na obou osách množství ve v tomto případě je na obou osách množství ve

fyzických jednotkáchfyzických jednotkách

Vyjádření vztahu mezi peněžní částkou (cenou) Vyjádření vztahu mezi peněžní částkou (cenou) a množstvíma množstvím Pozor na to, že v matematice je zvykem nanášet na Pozor na to, že v matematice je zvykem nanášet na osu osu

x nezávislex nezávisle proměnou a na proměnou a na osu y závisleosu y závisle proměnou. proměnou. V některých mikroekonomických grafech je to V některých mikroekonomických grafech je to často často opačně !opačně ! Např. graf nabídky a poptávky. Např. graf nabídky a poptávky.

Vztahy mezi proměnnýmiVztahy mezi proměnnými Většina grafů vyjadřuje vztah mezi dvěma proměnnými, Většina grafů vyjadřuje vztah mezi dvěma proměnnými,

tzn. že vyjadřuje pouze závislost jednoho jevu na druhém.tzn. že vyjadřuje pouze závislost jednoho jevu na druhém.

Existují 3 typy vztahů mezi proměnnýmiExistují 3 typy vztahů mezi proměnnými Přímý, kladný vztah – růst jedné proměnné je Přímý, kladný vztah – růst jedné proměnné je

doprovázen růstem druhé proměnnédoprovázen růstem druhé proměnné Nepřímý, záporný vztah – růst jedné proměnné Nepřímý, záporný vztah – růst jedné proměnné

doprovází pokles druhé proměnnédoprovází pokles druhé proměnné Vzájemná nezávislost proměnných – růst jedné Vzájemná nezávislost proměnných – růst jedné

proměnné nevede ke změně druhé proměnnéproměnné nevede ke změně druhé proměnné

Grafy – přímý a nepřímý Grafy – přímý a nepřímý vztahvztah

a)a) Při ceně 5 Kč je nabízené množství 5 Při ceně 5 Kč je nabízené množství 5 ks, při ceně 10 Kč je nabízeno 10ks.ks, při ceně 10 Kč je nabízeno 10ks.

b) Při ceně 5 Kč nakoupíte 10 ks, při ceně 10 Kč nakoupíte pouze 5 ks.

0 5 10

5

10

a) Přímý vztah

Q

P

0 5 10

5

b) Nepřímý vztah

Q

P

10

S

D

Vztah nezávislosti mezi Vztah nezávislosti mezi proměnnýmiproměnnými

Květinářka má v daném momentu Květinářka má v daném momentu pouze pouze dané množstvídané množství květin. květin.

Tzn., že i kdyby z nějakých Tzn., že i kdyby z nějakých důvodů důvodů cena cena květinkvětin rostla, rostla, nemůže nemůže jichjich nabídnout více. nabídnout více.

Pro danou chvíli platí vztah Pro danou chvíli platí vztah nezávislosti mezi cenou nezávislosti mezi cenou a nabízeným množstvím květin.a nabízeným množstvím květin.

množství41 2 3

Scena

Směrnice a sklon přímky a Směrnice a sklon přímky a křivkykřivky

Směrnice a sklon přímky :Směrnice a sklon přímky : změna proměnné na vertikální ose (y) ku změně změna proměnné na vertikální ose (y) ku změně

proměnné na horizontální ose (x)proměnné na horizontální ose (x) kladná směrnice : pokud je růst proměnné na ose x kladná směrnice : pokud je růst proměnné na ose x

provázen růstem proměnné na ose y, mezi proměnnými provázen růstem proměnné na ose y, mezi proměnnými je přímý vztah (obě se vyvíjejí ve stejném směru)je přímý vztah (obě se vyvíjejí ve stejném směru)

záporná směrnice : růst x vyvolá pokles y, mezi záporná směrnice : růst x vyvolá pokles y, mezi proměnnými je nepřímý vztah (vyvíjejí se protisměrně)proměnnými je nepřímý vztah (vyvíjejí se protisměrně)

Směrnice přímkySměrnice přímky

0 10 20

10

15

a) Kladná směrnice přímky

X

Y

5

10

5A

B

směrnice = 5/10 = 0,5

0 10 20

10

15

b) Záporná směrnice přímky

X

Y

510

5

C

D

směrnice = -5/10 = -0,5

Extrémní případy směrnice Extrémní případy směrnice přímkypřímky

0 10 20

10

15

X

Y

5

10

směrnice = 0/10 = 0

a) Směrnice rovnoběžky s osou X

0 10 20

10

15

X

Y

5

směrnice = ∞

b) Směrnice rovnoběžky s osou Y

Strmost přímkyStrmost přímky

Směrnice se někdy zaměňuje se strmostí. Strmost je ale pouze otázkou měřítka grafu!

0 3

3

X

Y

21

2

1

0

3

X

Y

31

2

1

2

Směrnice a sklon křivkySměrnice a sklon křivky Na rozdíl od směrnice přímky, která je konstantní v průběhu Na rozdíl od směrnice přímky, která je konstantní v průběhu

celé přímky, se celé přímky, se směrnice křivky mění!směrnice křivky mění!

Absolutní hodnota směrnice křivky udává sklon křivky. Absolutní hodnota směrnice křivky udává sklon křivky. Zároveň je třeba Zároveň je třeba rozlišovatrozlišovat směrnici (sklon křivky) směrnici (sklon křivky) v bodě v bodě a mezi bodya mezi body..

Směrnici křivky v bodě určíme tak, že narýsujeme tečnu Směrnici křivky v bodě určíme tak, že narýsujeme tečnu v tomto bodě.v tomto bodě.

Směrnice a sklon křivky v Směrnice a sklon křivky v boděbodě

Směrnice tečny Směrnice tečny aa vyjadřuje směrnici vyjadřuje směrnici křivky v křivky v tomto bodě.tomto bodě.

Směrnice v bodě B je Směrnice v bodě B je –40/10 = -4–40/10 = -4 tzn., že tzn., že proměnné na osách x a y jsou v nepřímém proměnné na osách x a y jsou v nepřímém vztahu.vztahu.

0 30

30

X

Y

2010

20

10

40

40

a

B

50

Změna směrnice křivkyZměna směrnice křivky

a) Křivka má kladnou směrnici do bodu A, v bodě A má směrnici nulovou, napravo od bodu A je záporná.

X

Y

A

a)

X

Y

B

b)

b) Křivka má nejprve zápornou směrnici, v bodě B nulovou a vpravo od bodu B kladnou

Směrnice a sklon křivky Směrnice a sklon křivky mezi dvěma bodymezi dvěma body

Narýsujeme spojnici Narýsujeme spojnici dvou bodů.dvou bodů.

Směrnice této Směrnice této spojnice je spojnice je průměrnou směrnicí průměrnou směrnicí křivky mezi dvěma křivky mezi dvěma body.body.

0 3

3

X

Y

21

2

1

4

4

A

B

Posun po křivce a posun Posun po křivce a posun křivkykřivky

X

Y

X

Y

a) Posun křivky a) Posun po křivce

Druhy ekonomických Druhy ekonomických veličin a vztahy mezi veličin a vztahy mezi

niminimi Veličiny stavové a veličiny tokové :Veličiny stavové a veličiny tokové :

veličina zvaná „tok“ – Měří proces, který probíhá po určité veličina zvaná „tok“ – Měří proces, který probíhá po určité časové období. Vyjadřuje se ve fyzických/peněžních časové období. Vyjadřuje se ve fyzických/peněžních jednotkách za určitý čas (HDP za 1 rok).jednotkách za určitý čas (HDP za 1 rok).

veličina nazývaná „stav“ (zásoba) – Vyjadřuje množství, veličina nazývaná „stav“ (zásoba) – Vyjadřuje množství, které existuje v určitém okamžiku na určitém místě. Měří které existuje v určitém okamžiku na určitém místě. Měří se ve fyzických/peněžních jednotkách.se ve fyzických/peněžních jednotkách.

Druhy ekonomických Druhy ekonomických veličin a vztahy mezi veličin a vztahy mezi

niminimi Veličiny celkové, mezní a průměrné :Veličiny celkové, mezní a průměrné :

celkové veličinycelkové veličiny: značí se „: značí se „TT“ z anglického Total “ z anglického Total (TC – Total Costs, TR – Total Revenue) Např.: na osu x se (TC – Total Costs, TR – Total Revenue) Např.: na osu x se nanáší množství a na osu y celkový objem peněžních nanáší množství a na osu y celkový objem peněžních prostředků.prostředků.

mezní veličinymezní veličiny: značíme „: značíme „MM“ – Marginal, mezní (dodatečné, “ – Marginal, mezní (dodatečné, přírůstkové, marginální) veličiny vyjadřují, o kolik se změní přírůstkové, marginální) veličiny vyjadřují, o kolik se změní jedna veličina, pokud se druhá změní o jednotku : jedna veličina, pokud se druhá změní o jednotku : M veličina = změna 1. vel./změna 2. o jednotkuM veličina = změna 1. vel./změna 2. o jednotku

průměrné veličinyprůměrné veličiny: značení „: značení „AA“– Average, vyjadřují, jak “– Average, vyjadřují, jak velký objem celkové veličiny připadá na jednu jednotku : velký objem celkové veličiny připadá na jednu jednotku : prům. vel. = množství 1./množství 2.prům. vel. = množství 1./množství 2.

CelkovCelková á

veličinveličinaa

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X

Y celkový počet bodů

počet hodin studia

A

B

C

D

E

F

G

H

celkový počet bodů

Veličiny Veličiny mezní a mezní a průměrnéprůměrné

0

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 X

Y

M

Počet bodů získaných další hodinou studia

(počet hodin studia)

(celkový počet bodů / počet hodin studia)

Průměrný počet bodů na 1 hodinu studia

A

Vztahy mezi Vztahy mezi ekonomickými veličinamiekonomickými veličinami

celkové X mezní veličiny celkové X mezní veličiny Pokud je celková veličina rostoucí, je mezní veličina Pokud je celková veličina rostoucí, je mezní veličina

kladná a naopak. V extrému celkové veličiny je mezní kladná a naopak. V extrému celkové veličiny je mezní rovna nule. (mezní veličina je směrnicí celkové)rovna nule. (mezní veličina je směrnicí celkové)

průměrné X mezní veličinyprůměrné X mezní veličiny Pokud průměrná veličina klesá, je mezní veličina menší Pokud průměrná veličina klesá, je mezní veličina menší

než průměrná veličina a naopak.než průměrná veličina a naopak. Je-li průměrná veličina v extrému (minimu nebo maximu), Je-li průměrná veličina v extrému (minimu nebo maximu),

je jí mezní veličina rovna.je jí mezní veličina rovna.