Microscopie photothermique et endommagement laser

Annelise During

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Annelise During. Microscopie photothermique et endommagement laser. Physique Atomique[physics.atom-ph]. Universite de droit, d’economie et des sciences - Aix-Marseille III, 2002.Francais. <tel-00082735>

HAL Id: tel-00082735

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Submitted on 28 Jun 2006

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✠☛✡✛✚ ✡✁� � ✣✘✣✥✦✮✫✄✂✪★✦✓✖✫✮✗✠✤✂✁ ✦✝★ ✙✘✑✔✓✖✛ ✂ ✓✖✫✮✗✠✤ ✙✘✛ ✤✩★✠✤✘✗☎✄ ✙✘✑✝✆ ★☛✯✍✓✖✜❹ P❘◗❍❏ ▲❍P❘◗❍❏❷❋❍●❈P❘❋④P❘❏❈P❘▲❍❏❷⑥❍❑✹➡ ❩❭❚❱➡✌◗❍❚❱❑✌●✳❯❱➡✌❯③❚ ❻ P❘●❈⑥❍●❈❑✽⑥❍❑✠⑤❘●❖❩❭▲❍⑥❍❑✌◗❍●❷⑥❍❑✹❚➢❩✦▼✰❩❭❯❱❚❱❚✬❑♠❚❱❯❱❳✗❯✛▼❖❑♠❲◆◗❍❑

⑥❍P❘❯✬▼⑦❩✁�❘P❘❯❱●✠◗❍▲①⑥❍■ ✗ ❩❭◗❃▼⑦❯❱❏❈P❘❚❱■➥❋④P❘◗❍● ✩ ▼❖●❈❑✕⑥❍■✤▼❖❑✌➡✤▼✰❩❭❙❍❚❱❑ ❽ ➡✌P❘❳✗❋❃▼❖❑➥▼❖❑✌▲◆◗➽▲❍P➭▼✝❩➭❳✗❳✗❑✌▲◆▼✠⑥❍❑✕❏❈P❘▲❩❭❙❍❏❈P❘●❈❋❃▼❖❯❱P❘▲ ➼

⑩ P❘▲❍❏❈❯❱⑥❍■✌●❈P❘▲❍❏✔◗❍▲ ❳✗❯❱❚❱❯✬❑✌◗ ✡ ❽ ➡✌P❘▲❍❏✿▼❖❯✬▼❖◗❍■☎⑥ ❻ ◗❍▲★⑥❍■ ✗ ❩❭◗❃▼✭❩❭❙❍❏❈P❘●❈❙❬❩❭▲❨▼✔❋❍●❈■✌❏❈❑✌▲◆▼✭⑥❬❩❭▲❍❏✔◗❍▲❳✗❯❱❚✬❯✬❑✌◗ ✫ ❽ ❳✔❩➭▼❖●❈❯❱➡✌❑⑦▼❖●❖❩❭▲❍❏❈❋❬❩❭●❈❑✌▲❨▼❖❑➨➡✌P❘▲❍❏✿▼❖❯✬▼❖◗❍■✌❑➥⑥❍❑ �❘❑✌●❈●❈❑➨P❘◗❢⑥ ❻ ◗❍▲❍❑➨➡✌P❘◗❍➡✰➫❍❑➨⑥❍❯❱■✌❚✬❑✌➡✤▼❖●❈❯❱❲◆◗❍❑ ➼❂ ▲✔▲❍P❭▼✰❩❭▲◆▼✳⑥ ❼ ◗❍▲✔■✌❚❱■✌❳✗❑✌▲❨▼❷⑥❍❑✲�❘P❘❚❱◗❍❳✗❑ ❽ ❚❱❩⑦⑥❍❑✌▲❍❏❈❯✬▼❖■✥�❘P❘❚❱◗❍❳✗❯❱❲◆◗❍❑♠⑥❍❑✽❋❍◗❍❯❱❏❈❏❖❩❭▲❍➡✌❑✠❩❭❙❍❏❈P❘●❈❙④■✌❑❋❬❩❭●❤❚❱❑✦⑥❍■ ✗ ❩❭◗❃▼ ❽ dPA

dV

❽ ❑✌❏✿▼✽⑥❍P❘▲❍▲❍■✌❑✍❋❬❩❭●✦➤

dPA

dV= Re(

1

2jω0

~D1. ~E1

∗)

✵ ✡❘➼✔✡✍✡✈❉

❩✌�❘❑✌➡ ω0 = 2πcλ

= 2πλ

1√µ0ε0

➼⑨ ●✹⑥❬❩❭▲❍❏✠❚❱❑✪➡ ❩❭❏✠⑥ ❻ ◗❍▲✚❳✔❩➭▼❖■✌●❈❯➢❩❭◗☎❚❱❯❱▲❍■ ❩❭❯❱●❈❑ ❽ ~D1 = ε1

~E1

❽ ⑥ ❻ P✁� dPA

dV= 1

2ω0Re(jε1)|E1|2

➼⑧ ❑☎❋❍❚❱◗❍❏ ❽ ε1

ε0

= (n1 − jk1)2 = n2

1 − k21 − 2jn1k1

✵ ▲ ❑✤▼ ✞Ñ■✤▼✰❩❭▲❨▼✗❚❱❑✌❏✕❋❬❩❭●✿▼❖❯❱❑✌❏✕●❈■✌❑✌❚❱❚❱❑❑✤▼☎❯❱❳✔❩❭⑤❘❯✬▲❬❩❭❯✬●❈❑❢⑥❍❑①❚ ❻ ❯❱▲❍⑥❍❯❱➡✌❑❢➡✌P❘❳✗❋❍❚❱❑✙✂❃❑✚⑥❍◗➑❳✗❯❱❚❱❯✬❑✌◗ ❉✝➼ ✝➬❯❱▲❬❩❭❚❱❑✌❳✕❑✌▲◆▼ ❽ ❑✌▲➑❯❱▲❨▼❖●❈P❵⑥❍◗❍❯❱❏❖❩❭▲❨▼✂❚❱❑➡✌P❵❑✩✼✗➡✌❯❱❑✌▲❨▼✽⑥ ❻ ❩❭❙❍❏❈P❘●❈❋❃▼❖❯❱P❘▲ α = 4πk1

λ

❽ P❘▲☎P❘❙❃▼❖❯❱❑✤▲◆▼⑦➤

dPA

dV=

1

2α

√

ε0

µ0

n1|E1|2✵ ✡❘➼✔✡ ☎ ❉

✸ ▲◆▼❖●❈P◆⑥❍◗❍❯❱❏❈P❘▲❍❏✭❚ ❻ ❯❱▲◆▼❖❑✌▲❍❏❈❯✬▼❖■☎■✌❚❱❑✌➡✤▼❖●❈P❘❳✔❩❭⑤❘▲❍■✤▼❖❯❱❲◆◗❍❑➀❯❱▲❍➡✌❯❱⑥❍❑✌▲❨▼❖❑➀❳✗P ➦ ❑✌▲❍▲❍❑ P (r)❽ ➡ ❻ ❑✌❏✿▼ ✼ ✎ ✼

⑥❍❯❱●❈❑✘❚➢❩ ❋❍◗❍❯❱❏❈❏❖❩❭▲❍➡✌❑❄❳✗P ➦ ❑✌▲❍▲❍❑❄●❈❑ ☛✌◗❍❑✴❋❬❩❭●➘❚❱❑✘⑥❍■ ✗ ❩❭◗❃▼❇❋❬❩❭●☛◗❍▲❍❯✬▼❖■❄⑥❍❑❄❏❈◗❍● ✗ ❩❭➡✌❑❤➤ P = 12

√

ε0

µ0

n0|E0|2➼

✡✗✦

✝✁�✗✁✄✂ ✑ � ✕✗✞✆☎✞✝✖✌✍✞✏�✟� ✂ ✠☎✞☞☛✠✂✡� ✂ � ✂ �✟�✏✞✖✕✏✌✎✑☞☛ ☎✒✞☞☛✍✞✏� ✁✄✂✡✂✖✆ ✑✟✝ ✁✏�✒✑✟✂✠�☎☛

⑨ ▲☎❋③❑✌◗❃▼✹❩❭❚❱P❘●❈❏❤■✌➡✌●❈❯❱●❈❑ dPA

dV

❏❈P❘◗❍❏♠❚➢❩ ✗ P❘●❈❳✗❑➥➤

dPA

dV= α

n1

n0

I0|E1|2|E0|2

✵ ✡❘➼✔✡✌☞❨❉⑨ ● ❽ ❋③P❘◗❍●☎◗❍▲ ✗ ❩❭❯❱❏❈➡✌❑ ❩❭◗➑❚➢❩❭❏❈❑✌●☎❋③P❘❳✗❋④❑①⑤❨❩❭◗❍❏❈❏❈❯❱❑✌▲ ❽ ⑥❍❑➽⑥❍❯➢❩❭❳✗➧✤▼❖●❈❑✒✎ ✡★✰ ❑ 2 � ☎❭❩ ❽ ⑥❍❑

❋❍◗❍❯❱❏❈❏❖❩❭▲❍➡✌❑ P0

❽ ❳✗P❵⑥❍◗❍❚❱■✱✎✕❚➢❩ ✗ ●❈■✌❲◆◗❍❑✌▲❍➡✌❑ ν❽ ❚ ❻ ❯❱▲❨▼❖❑✌▲❍❏❈❯✬▼❖■✠❯❱▲❍➡✌❯❱⑥❍❑✌▲❨▼❖❑⑦❳✗P ➦ ❑✌▲❍▲❍❑⑦❏ ❻ ■✌➡✌●❈❯✬▼✍➤

P (r) =2P0

πa2e

−2r2

a2

✵ ✡❘➼✔✡ ✧◆❉⑨ ▲☎P❘❙❃▼❖❯❱❑✌▲❨▼♠⑥❍P❘▲❍➡ ❽ ❑✌▲☎▲❍P❭▼✰❩❭▲❨▼ ❁ ❚➢❩➨❏❈◗❍● ✗ ❩❭➡✌❑ ✎ ✡★✰ ❑ 2 ⑥❍❑⑦❚➢❩➨⑤❨❩❭◗❍❏❈❏❈❯❱❑✌▲❍▲❍❑⑦❋④P❘❳✗❋③❑✕➤

dPA

dV= 2α

n1

n0

P0

S

|E1|2|E0|2

✵ ✡❘➼✔✡✗✥❘❉⑧ ■✣✮❬▲❍❯❱❏❈❏❈P❘▲❍❏✽◗❍▲ ✗ ❩❭➡✤▼❖❑✌◗❍●❤❳✗P ➦ ❑✌▲ β ❏❈◗❍❋❍❋③P❘❏❈■✍❯❱▲❍⑥❍■✌❋④❑✌▲❍⑥❬❩❭▲❨▼✽⑥❍❑ ✂✂❑✤▼ ➦ ❏❈◗❍●♠❚❱❑ �❨P❘❚❱◗❍❳✗❑

⑥❍◗☎⑥❍■ ✗ ❩❭◗❃▼✹❑✤▼✽❋❍●❈❑✌▲❬❩❭▲❨▼✹❑✌▲☎➡✌P❘❳✗❋❃▼❖❑⑦❚❱❑✌❏♠❑ ✯ ❑✤▼❖❏✽⑥ ❻ ❯❱▲❨▼❖❑✌● ✗ ■✌●❈❑✌▲❍➡✌❑✌❏✹❑✤▼✽⑥❍❑✍●❈■✌❏❈P❘▲❬❩❭▲❍➡✌❑✍⑥❬❩❭▲❍❏✽❚❱❑⑥❍■ ✗ ❩❭◗❃▼✍➤ β � |E1|2

|E0|2➼

⑨ ▲☎P❘❙❃▼❖❯❱❑✌▲❨▼♠⑥❍P❘▲❍➡✕➤dPA

dV= 2α

n1

n0

βP0

S

✵ ✡❘➼✔✡✌✟❨❉❁ P❘❯✬▼♠❑✌▲❍➡✌P❘●❈❑✕➤

dPA =8π

λk1

n1

n0

βP0

SdV

✵ ✡❘➼✔✡✗✦❘❉⑩ ❑✤▼❈▼❖❑✗❑✙✂❃❋❍●❈❑✌❏❈❏❈❯❱P❘▲♣❋④❑✌●❈❳✗❑✤▼✍⑥❍❑✕➡ ❩❭❚❱➡✌◗❍❚❱❑✌●✦❚➢❩✭❋❍◗❍❯❱❏❈❏❖❩❭▲❍➡✌❑✔❩❭❙❍❏❈P❘●❈❙④■✌❑✗❋❬❩❭●✦◗❍▲➽⑥❍■ ✗ ❩❭◗❃▼✍⑥❍❑

�❘P❘❚❱◗❍❳✗❑✍⑥ ❼ ❑✤▼✹⑥ ❻ ❯❱▲❍⑥❍❯❱➡✌❑✍➡✌P❘❳✗❋❍❚❱❑✙✂❃❑ n1 − jk1❑✌▲ ✗ P❘▲❍➡✤▼❖❯❱P❘▲➀⑥❍❑✪❚➢❩✕⑥❍❑✌▲❍❏❈❯✬▼❖■✪⑥❍❑✪❋❍◗❍❯❱❏❈❏❖❩❭▲❍➡✌❑

❯❱▲❍➡✌❯❱⑥❍❑✌▲❨▼❖❑⑦❋❬❩❭●♠◗❍▲❍❯✬▼❖■⑦⑥❍❑✍❏❈◗❍● ✗ ❩❭➡✌❑ P0

S

➼ ⑨ ▲☎❏❈◗❍❋❍❋④P❘❏❈❑✌●❖❩✗❋❬❩❭●♠❚➢❩➨❏❈◗❍❯✬▼❖❑⑦❲◆◗❍❑ n1 ∼ n0❑✤▼ λ

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❯❱▲❍➡✌❯❱⑥❍❑✌▲❨▼❖❑⑦➩0

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➼ ⑨ ▲✂P❘❙❃▼❖❯❱❑✌▲❨▼✽❩❭❚❱P❘●❈❏❤⑥❍❑✌❏♠⑥❍❑✌▲❍❏❈❯✬▼❖■✌❏⑥❍❑✑❋❍◗❍❯❱❏❈❏❖❩❭▲❍➡✌❑✂■✌⑤❨❩❭❚✬❑✌❏ ✎ ✡ ✫ 5 � ✰ ❳ 2 ❑✤▼ ✡ ✫ 10 � ✰ ❳ 2 ●❈❑✌❏❈❋③❑✌➡✤▼❖❯✔�❨❑✌❳✗❑✌▲❨▼✗❑✤▼✕❚➢❩➀❋❍◗❍❯❱❏❈❏❖❩❭▲❍➡✌❑⑥❬➩

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pourP0

S= 100mW/mm2 : dPA ∼ (k1βdV ).1012W/m2

✵ ✡❘➼✔✡ ✮ ❉

pourP0

S= 10mW/µm2 : dPA ∼ (k1βdV ).1017W/m2

✵ ✡❘➼✔✡ ✱❨❉⑧ ❩❭▲❍❏➥❚❱❑✗▼✰❩❭❙❍❚❱❑ ❩❭◗ ✡❘➼✔✡ ❚❱❑✌❏✪❋❍◗❍❯❱❏❈❏❖❩❭▲❍➡✌❑✌❏✕❩❭❙❍❏❈P❘●❈❙④■✌❑✌❏➥❏❈P❘▲◆▼➥⑥❍P❘▲❍▲❍■✌❑✌❏➨❋③P❘◗❍● ☎✂▼✰❩❭❯❱❚✬❚✬❑✌❏✍⑥❍❑

❏❈❋④P❭▼✩⑥❍◗ ✗ ❩❭❯❱❏❈➡✌❑ ❩❭◗✍❋③P❘❳✗❋④❑✴❯❱▲❍➡✌❯❱⑥❍❑✌▲❨▼✩❑✤▼✩⑥❍❯ ✯ ■✌●❈❑✌▲❨▼❖❑✌❏❇▼✰❩❭❯❱❚❱❚✬❑✌❏➘⑥❍❑✳❋❬❩❭●✿▼❖❯❱➡✌◗❍❚❱❑✌❏ ❽ ❩✁�❨❑✌➡✳◗❍▲❍❑ �➭❩❭❚❱❑✌◗❍●◗❍▲❍❯✬▼✰❩❭❯❱●❈❑✠⑥❍❑ β

➼❅❄❻ P❘●❈⑥❍●❈❑✴⑥❍❑✳⑤❘●❖❩❭▲❍⑥❍❑✌◗❍●❇⑥❍❑✴❚➢❩❤❋❍◗❍❯❱❏❈❏❖❩❭▲❍➡✌❑❷❩❭❙❍❏❈P❘●❈❙③■✌❑❷❩❭❯❱▲❍❏❈❯❨P❘❙❃▼❖❑✌▲◆◗❍❑✳⑥❍P❘❯✬▼ ✩ ▼❖●❈❑✳➡✌P❘❳✗❋❬❩❭●❈■ ✎

❚➢❩✠⑥❍■✝▼✰❑✤➡✤▼❖❯✔�❵❯✬▼❖■❤⑥❍❑✌❏✴⑥❍❯❱❏❈❋④P❭❏❖❯✛▼✰❯ ✗ ❏✘⑥❍❑❤⑥❍■✩★❬❑✙✂❃❯❱P❘▲✕❋❍➫❍P❭▼❖P❭▼❖➫❍❑✌●❈❳✗❯❱❲◆◗❍❑ ➼ ⑩ ❑✌➡✌❯ �❭❩✦▲❍P❘◗❍❏❄❋④❑✌●❈❳✗❑✤▼❈▼❖●❈❑✡ ✮

☎✞✝✁� ✝✄✂ ✁✏✑ ☛ ✁☎✄ ✑✔✆ ✑ �☎✂ ✠✆☎ ☎ � ✠✏✑ ☛ ✂ ✂ ☛ ✑ �✒✑✝✂ ✠✆☎ ✑ ✌✎✁✟✞ ✞✖✕ ✑✔✞ �✗✁ ☎✝� ✞✕ ✂☞☛ ✂ ✆ ☎✝�✒✑✟✂✠� ✂✥✁☎✕ ✠✥✂✠✂ ✆✟✞☛✡☎✑✟✂✠� ✂✡� ✂ � ✂ �✟�✏✞✖✕✏✌✎✑☞☛ ☎✒✞

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Ý❷❐❮Ô❤➚ ✡❘➼ ✟✍✎✑✾ P❵⑥❍➧✤❚❱❑⑦■✤▼❖◗❍⑥❍❯❱■⑦❑✤▼♠▲❍P❭▼✰❩➭▼❖❯❱P❘▲❍❏❤◗❃▼❖❯❱❚❱❯✬❏❈■✌❑✌❏Ò✄✂❄ß③➶➬❰❇Ü✆☎③❒✈Ó③❒✔Ó❬❰ Ú✞✝✘Ï❇➴❃❰❇❐❮➶✘Ø✩❒❅ ❑✌❏✽➫ ➦ ❋④P❭▼❖➫❍➧✌❏❈❑✌❏✽❏❈P❘▲◆▼✽❚❱❑✌❏❤❏❈◗❍❯✔�❭❩❭▲❨▼❖❑✌❏⑦➤✎ ❚❱❑✌❏❤❳✗❯❱❚❱❯✬❑✌◗✄✂✭❏❈P❘▲◆▼♠❯❱▲☛✮❬▲❍❯❱❏❤⑥❬❩❭▲❍❏♠❚❱❑✌❏♠⑥❍❯❱●❈❑✌➡✤▼❖❯❱P❘▲❍❏✬✂✂❑✝▼ ➦✎ ❚ ❻ ❩❭❯❱●✩❑✤▼❄❚❱❑ ❏❈◗❍❙❍❏✿▼❖●❖❩➭▼✴❏❈P❘▲❨▼❄❯❱▲☛✮❬▲❍❯❱❏➬⑥❬❩❭▲❍❏❄❚➢❩✹⑥❍❯❱●❈❑✌➡✤▼❖❯❱P❘▲✹✳ ❑✤▼✴❏❈P❘▲❨▼❄❋❬❩❭● ✗ ❩❭❯✬▼❖❑✌❳✗❑✌▲◆▼✩▼❖●❖❩❭▲❍❏ ✼❋❬❩❭●❈❑✌▲❨▼❖❏✎ ❚❱❑✌❏ ✗ ❩❭❯❱❏❈➡✌❑ ❩❭◗✄✂✔❏❈P❘▲❍⑥❍❑✦❑✤▼ ❋④P❘❳✗❋③❑✹❏❈P❘▲◆▼❷▼❖P❘◗❍❏ ⑥❍❑✌◗✄✂✭❚❱P❵➡ ❩❭❚❱❑✌❳✕❑✌▲◆▼❷❋❬❩➭●✰❩➭❚❱❚❱➧✌❚❱❑✌❏ ➼ ➩❄◗❍❯❱❏❈❲◆◗❍❑➡✌❑✌❏➨⑥❍❑✌◗✄✂ ✗ ❩❭❯❱❏❈➡✌❑ ❩❭◗✄✂ ❏❈P❘▲❨▼➨⑤❨❩❭◗❍❏❈❏❈❯❱❑✌▲❍❏➨❑✤▼➨❋❍●❈■✌❏❈❑✌▲◆▼❖❑✌▲❨▼✗◗❍▲ � ❩❭❯❱❏✿▼✕❩❭◗ ▲❍❯✔�❘❑ ❩❭◗ ⑥❍❑✭❚➢❩➡✌P❘◗❍➡✰➫❍❑ ❽ ❚❱❑✍❋❬❩❭●❖❩❭❚❱❚❱■✌❚❱❯✬❏❈❳✕❑⑦❚❱P❵➡ ❩❭❚❇⑥❍❑✌❏ ✗ ❩❭❯❱❏❈➡✌❑ ❩❭◗✄✂➀❯❱❳✗❋③P❘❏❈❑✍❲◆◗❍❑➥❚➢❩✗❚❱P❘▲❍⑤❘◗❍❑✌◗❍●✽⑥❍❑ ❀ ❩ ➦❨✼❚❱❑✌❯❱⑤❘➫♣⑥❍◗ ✗ ❩❭❯❱❏❈➡✌❑ ❩❭◗Ñ❋④P❘❳✗❋④❑✭❏❈P❘❯✬▼➥⑤❘●❖❩❭▲❍⑥❍❑✭❋❬❩❭●➥●❖❩❭❋❍❋④P❘●✿▼✖✎❢❚ ❻ ■✌❋❬❩❭❯❱❏❈❏❈❑✌◗❍●➥⑥❍❑✭❚➢❩ ✳✌P❘▲❍❑❩❭❙❍❏❈P❘●❈❙❬❩❭▲❨▼❖❑✪❑✤▼✹❲◆◗❍❑✪➡✌❑✌❚❱❚❱❑⑦⑥❍◗ ✗ ❩❭❯❱❏❈➡✌❑ ❩❭◗➀❏❈P❘▲❍⑥❍❑✪❏❈P❘❯✬▼✽⑤❘●❖❩❭▲❍⑥❍❑✍❋❬❩❭●✽●❖❩❭❋❍❋④P❘●✿▼✹❩❭◗✄✂➀⑥❍❯❱❏ ✼▼✰❩❭▲❍➡✌❑✌❏➥❏❖◗❍●➥❚❱❑✌❏❈❲◆◗❍❑✌❚❱❚❱❑✌❏✪❏❈❑✑❋❍●❈P◆⑥❍◗❍❯✬▼➥❚➢❩➀⑥❍■✩★❬❑✙✂❃❯❱P❘▲ ➼ ⑨ ▲ ⑥❍❯❱❏❈➡✌◗❃▼❖❑✌●❖❩❢❋❍❚❱◗❍❏✪❚❱P❘❯❱▲♣⑥❍❑✭❚➢❩�➭❩❭❚❱❯❱⑥❍❯✬▼❖■✠⑥❍❑⑦➡✌❑✌❏✽➫ ➦ ❋④P❭▼❖➧✌❏❈❑✌❏✎ ❚❱❑❤⑥❍❯➢❩❭❳✗➧✤▼❖●❈❑✓✎ ✡✌✰ ❑ 2 ✵ ▲❍P❭▼❖■ ☎❭❩ ❉ ⑥❍◗ � ❩❭❯❱❏✿▼✴⑥❍◗✗❚➢❩❭❏❈❑✌●❄❋④P❘❳✗❋④❑❤❑✌❏✿▼✳⑤❘●❖❩❭▲❍⑥✗⑥❍❑✣�➭❩❭▲◆▼✳➡✌❑✌❚❱◗❍❯⑥❍◗☎❚➢❩❭❏❈❑✌●❤❏❈P❘▲❍⑥❍❑ ❽ ❩❭◗☎▲❍❯✔�❘❑ ❩❭◗☎⑥❍❑⑦❚ ❻ ■✌➡✰➫❬❩❭▲❨▼❖❯❱❚❱❚✬P❘▲✎ ❚❱❑✌❏✪●❈■✌❏❈❯❱❏✿▼✰❩❭▲❍➡✌❑✌❏➥▼❖➫❍❑✌●❈❳✗❯❱❲◆◗❍❑✌❏➥❯❱▲◆▼❖❑✌● ✗ ❩❭➡✌❯➢❩❭❚✬❑✌❏✍❑✌▲◆▼❖●❈❑✭❚➢❩➀➡✌P❘◗❍➡✰➫❍❑✑❑✤▼➨❚ ❻ ❩❭❯❱●⑦❑✤▼➨❑✌▲◆▼❖●❈❑✭❚➢❩➡✌P❘◗❍➡✰➫❍❑✍❑✤▼✽❚❱❑✦❏❈◗❍❙❍❏✿▼❖●❖❩➭▼✽❏❈P❘▲❨▼✽▲❍■✌⑤❘❚❱❯❱⑤❘❑ ❩❭❙❍❚❱❑✌❏

❅ ❑✍➡ ❩❭❚❱➡✌◗❍❚❇❑✌❏✿▼✹●❈■ ❩❭❚❱❯❱❏❈■⑦❋④P❭◗❍●✽◗❍▲ ✗ ❩❭❯❱❏❈➡✌❑ ❩❭◗➀❋③P❘❳✗❋④❑✍❑✌▲➀❯❱▲❍➡✌❯❱⑥❍❑✌▲❍➡✌❑✍▲❍P❭●❖❳✗❩❭❚❱❑ ➼③❹ P❘◗❍❏✽❋④P ✼❏❈P❘▲❍❏ r2 = x2 + y2

➼❁ P❘❯✬▼ T i(r, z, t) ❚➢❩✽▼❖❑✌❳✗❋③■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑ ⑥❬❩❭▲❍❏❄❚❱❑❷❳✗❯❱❚✬❯❱❑✌◗✪❯ ➼ ➩✩P❘◗❍●✘❚➢❩✹●❈❑✌➡✰➫❍❑✌●❈➡✝➫❍❑♠⑥❍❑✤❏❄❏❈P❘❚❱◗❃▼❖❯❱P❘▲❍❏ ❽P❘▲✂❏❈❑✍❋❍❚➢❩❭➡✌❑✦⑥❬❩❭▲❍❏♠❚❱❑✦➡ ❩❭⑥❍●❈❑⑦⑥ ❻ ◗❍▲☎●❈■✌⑤❘❯❱❳✗❑✦❋③❑✌●❈❳✔❩❭▲❍❑✌▲❨▼✽■✤▼✰❩❭❙❍❚❱❯☛❑✤▼✽P❘▲✂❋④P❘❏❈❑✕➤Ti(r, z, t) = Ti + T

′

i (r, z) + Ti(r, z, t)

⑧ ❩❭▲❍❏✗➡✌❑✤▼❈▼❖❑☎❑✙✂❃❋❍●❈❑✌❏❈❏❈❯❱P❘▲ ❽ Ti❑✌❏✿▼✗❚➢❩✏�❭❩❭❚❱❑✌◗❍●✕❳✗P ➦ ❑✌▲❍▲❍❑☎⑥❍❑✂❚➢❩❢▼❖❑✌❳✗❋④■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑✂⑥❬❩❭▲❍❏✗❚❱❑

❳✗❯❱❚✬❯✬❑✌◗➨❯❬❑✤▼ T′

i❑✌❏✿▼✳❚➢❩✠⑥❍❯❱❏✿▼❖●❈❯❱❙❍◗❃▼❖❯❱P❘▲➥⑥❍❑❤▼❖❑✌❳✗❋④■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑❤❏✿▼✰❩➭▼❖❯❱P❘▲❍▲❬❩❭❯❱●❈❑ ❯❱▲❍⑥❍◗❍❯✬▼❖❑ ❋❬❩❭●✴❚ ❻ ❯❱●❈●✰❩➭⑥❍❯➢❩ ✼

☎ ✡

✝✁�✗✁✄✂ ✑ � ✕✗✞✆☎✞✝✖✌✍✞✏�✟� ✂ ✠☎✞☞☛✠✂✡� ✂ � ✂ �✟�✏✞✖✕✏✌✎✑☞☛ ☎✒✞☞☛✍✞✏� ✁✄✂✡✂✖✆ ✑✟✝ ✁✏�✒✑✟✂✠�☎☛

▼❖❯❱P❘▲ ➼ ⑨ ▲✪❏❈◗❍❋❍❋③P❘❏❈❑✌●❖❩✹⑥❬❩❭▲❍❏✩❚➢❩❤❏❈◗❍❯✬▼❖❑✴❲◆◗❍❑❷❚❱❑✌❏ ✗ ❩❭➡✤▼❖❑✌◗❍●❈❏✩⑥ ❻ ❩❭❙❍❏❈P❘●❈❋❃▼❖❯❱P❘▲✍❏❈P❘▲❨▼ ✗ ❩❭❯❱❙❍❚❱❑✌❏ ➼ ⑧ ❩❭▲❍❏✩➡✌❑➡ ❩❭❏ ❽ ❚✬❑✌❏✳❋❍◗❍❯❱❏❈❏❖❩❭▲❍➡✌❑✌❏❤❩❭❙❍❏❈P❘●❈❙③■✌❑✌❏ ➡✌P❘▲❍⑥❍◗❍❯❱❏❈❑✌▲❨▼✘✎✍⑥❍❑✌❏❷■✌➡✰➫❬❩❭◗ ✯ ❑✌❳✗❑✌▲❨▼❖❏❷❏✿▼✝❩✈▼✰❯✬P❘▲❍▲❬❩❭❯❱●❈❑✌❏ ✗ ❩❭❯❱❙❍❚❱❑✌❏❲◆◗❍❯❷▲❍❑✭❳✗P◆⑥❍❯✔✮❬❑✌▲❨▼➥❲◆◗❍❑✔▼❖●❈➧✌❏➥❋③❑✌◗ ❚❱❑✔❋④P❘❯❱▲❨▼✪⑥❍❑ ✗ P❘▲❍➡✤▼❖❯❱P❘▲❍▲❍❑✌❳✗❑✌▲❨▼➥⑥❍❑✌❏➥➡✌P❘❳✗❋③P❘❏❖❩❭▲◆▼❖❏ ➼➬❅ ❑✌❏�❭❩❭❚❱❑✌◗❍●❈❏✳⑥❍❑✌❏❷❋❬❩❭●❖❩❭❳✗➧✤▼❖●❈❑✌❏✳P❘❋❃▼❖❯❱❲◆◗❍❑✌❏❷❑✤▼✳▼❖➫❍❑✌●❈❳✗❯❱❲◆◗❍❑✌❏✳◗❃▼❖❯❱❚❱❯❱❏❈■✌❏✴⑥❬❩❭▲❍❏❷▲❍P❘❏✳➡ ❩❭❚❱➡✌◗❍❚❱❏✳❏❈P❘▲❨▼ ⑥❍P❭▲❍➡➡✌❑✌❚❱❚❱❑✌❏♠❲◆◗❍❑✍➡✌❑✌❏✽⑤❘●❖❩❭▲❍⑥❍❑✌◗❍●❈❏✽❋❍●❈❑✌▲❍▲❍❑✌▲❨▼✱✎✕❚➢❩➥▼❖❑✌❳✗❋③■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❖❑⑦❳✗P ➦ ❑✌▲❍▲❍❑ ❽ ❋❍●❈❯❱❏❈❑⑦➡✌P❘❳✗❳✗❑⑦■✤▼✰❩❭▲❨▼❚➢❩✪▼❖❑✌❳✗❋④■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑✍❩❭❳➥❙❍❯➢❩❭▲❨▼❖❑ ➼

❅ ❑✌❏✍■✌❲◆◗❬❩➭▼❖❯❱P❘▲❍❏✦⑤❘P❘◗☛�❨❑✌●❈▲❬❩❭▲❨▼✍❚❱❑➨❋❍➫❍■✌▲❍P❘❳✗➧✌▲❍❑➨▼❖➫❍❑✌●❈❳✗❯❱❲◆◗❍❑✕❏❈P❘▲❨▼✍❋③P❘❏❈■✌❑✌❏✪⑥❬❩❭▲❍❏⑦❚ ❻ ➫ ➦ ❋④P ✼▼❖➫❍➧✌❏❈❑✍⑥❍❑✦▼❖●❖❩❭▲❍❏ ✗ ❑✌●✿▼✽❋❍◗❍●❈❑✌❳✗❑✌▲❨▼✽➡✌P❘▲❍⑥❍◗❍➡✤▼❖❯ ✗ ➼❬❂ ▲☎❑ ✯ ❑✤▼ ❽ ❯❱❚➘❩➨■✤▼❖■⑦❳✗P❘▲◆▼❖●❈■✦⑥❬❩❭▲❍❏ ✌ ✮✲✫ ✑ ❲◆◗❍❑✕➤✎ ❚❱❑✌❏✍❋④❑✌●✿▼❖❑✌❏➥❋❬❩❭●✍●❖❩ ➦ P❘▲❍▲❍❑✌❳✗❑✌▲❨▼➥❏❈P❘▲❨▼✪▼❖P❘◗✶✕✿P❘◗❍●❈❏✪▲❍■✌⑤❘❚❱❯❱⑤❘❑ ❩❭❙❍❚✬❑✌❏ ✎✂▼❖❑✌❳✗❋④■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑✔❩❭❳ ✼

❙❍❯➢❩❭▲❨▼❖❑✽➤➭❚❱❑✌◗❍●➬❑ ✯ ❑✤▼✘▲❍❑❷⑥❍❑✣�❵❯❱❑✌▲❨▼❄❏❈❑✌▲❍❏❈❯❱❙❍❚❱❑❷❲◆◗ ❻ ❩❭◗✄✂✪▼❖❑✌❳✗❋③■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑✌❏✘■✌❚❱❑✣�❘■✌❑✌❏ ❽ ⑥❍❑ ❚ ❻ P❘●❈⑥❍●❈❑⑥❍❑ ✡ ✫✲✫✲✫ ☛➨➼

✎ ❚ ❻ ❯❱▲ ★❬◗❍❑✌▲❍➡✌❑➨⑥❍❑✕❚➢❩✑➡✌P❘▲✸�❘❑✌➡✤▼❖❯❱P❘▲➽▲❬❩➭▼❖◗❍●❈❑✌❚❱❚❱❑➨⑥❬❩❭▲❍❏⑦❚❱❑✌❏ ★❬◗❍❯❱⑥❍❑✌❏⑦▲❍❑✕❏❈❑✗❳✔❩❭▲❍❯ ✗ ❑✌❏✿▼❖❑➥❲◆◗ ❻ ✎❙❬❩❭❏❈❏❈❑ ✗ ●❈■✌❲◆◗❍❑✌▲❍➡✌❑ ✵ ≃ ✡ ✫ ✧✥✳ ❉ ❑✤▼✘❚❱P❘●❈❏❈❲◆◗❍❑❷❚➢❩♠▼❖❑✌❳✗❋③■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑❷❏✿▼✰❩➭▼❖❯❱P❘▲❍▲❬❩❭❯❱●❈❑✳⑥❍❑❷❚ ❻ ■✌➡✰➫❬❩❭▲ ✼▼❖❯❱❚❱❚✬P❘▲✭❑✌❏✿▼♠❏❈◗❍❋④■✌●❈❯❱❑✌◗❍●❈❑ ✎➨➡✌❑✌❚✬❚❱❑✦⑥❍◗ ★❬◗❍❯❱⑥❍❑✦⑥❍❑✦❋❍❚❱◗❍❏❈❯❱❑✌◗❍●❈❏❤➡✌❑✌▲❨▼✰❩❭❯❱▲❍❑✌❏♠⑥❍❑✦⑥❍❑✌⑤❘●❈■✌❏ ❽ ➡ ❻ ❑✌❏✿▼✎➨⑥❍❯❱●❈❑✦❋④P❘◗❍●❤⑥❍❑✌❏✽❋❍◗❍❯❱❏❈❏❖❩❭▲❍➡✌❑✌❏✹❩❭❙❍❏❈P❘●❈❙④■✌❑✌❏✽⑥ ❻ ◗❍▲❍❑⑦⑥❍❯ ✳ ❩❭❯❱▲❍❑✦⑥❍❑ �Ñ❩✈▼❖▼❖❏ ➼⑧ ❑➀❋❍❚❱◗❍❏ ❽ ❚❱❑✌❏✗⑥❍■ ✗ P❘●❈❳✔❩➭▼❖❯❱P❘▲❍❏➥▼❖➫❍❑✌●❈❳✗P❵■✌❚➢❩❭❏✿▼❖❯❱❲◆◗❍❑✌❏✕❳✗P❵⑥❍❯✔✮❬❑✌▲❨▼✗❋④❑✌◗★❚➢❩✚●❈■✌❋❬❩❭●✿▼❖❯✬▼❖❯❱P❘▲ ⑥❍❑

▼❖❑✌❳✗❋④■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑✦⑥❍◗❍❑ ✎➨❚➢❩➥⑥❍❯ ✯ ◗❍❏❈❯❱P❘▲✑▼❖➫❍❑✌●❈❳✗❯❱❲◆◗❍❑ ✌ ✮ ✡ ✑ ➼

⑧ ❩❭▲❍❏✂➡✌❑✌❏✂➡✌P❘▲❍⑥❍❯✬▼❖❯❱P❘▲❍❏ ❽ ❚➢❩Ñ⑥❍❯❱❏✿▼❖●❈❯❱❙❍◗❃▼❖❯❱P❘▲★⑥❍❑✚▼❖❑✌❳✗❋④■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑✚⑥❬❩❭▲❍❏✑❚❱❑✌❏✭▼❖●❈P❘❯❱❏✭❳✗❯❱❚❱❯✬❑✌◗✄✂❏❖❩➭▼❖❯❱❏ ✗ ❩❭❯✬▼♠❩❭◗✄✂✂■✌❲◆◗❬❩➭▼❖❯❱P❘▲❍❏❤⑥❍❑⑦⑥❍❯ ✯ ◗❍❏❈❯❱P❘▲✂⑥❍❑⑦❚➢❩➥➡✰➫❬❩❭❚❱❑✌◗❍●♠❏❈◗❍❯✔�➭❩❭▲◆▼❖❑✌❏⑦➤

∇2T0(r, z, t) −ρ0C0

K0

.∂T0

∂t= 0

✵ ✡❘➼ ☎✬✫ ❉

∇2T1(r, z, t) −ρ1C1

K1

.∂T1

∂t= −Q1(r, z, t)

K1

✵ ✡❘➼ ☎ ✡✈❉

∇2T2(r, z, t) −ρ2C2

K2

.∂T2

∂t= 0

✵ ✡❘➼ ☎✍☎ ❉⑨ �✁�

1

✵ ● ❽ ✳ ❽ ▼ ❉ ❑✌❏✿▼✘❚➢❩✽❏❈P❘◗❍●❈➡✌❑❷⑥❍❑ ➡✰➫❬❩❭❚❱❑✌◗❍●✩❚❱❯❱■✌❑✬✎✽❚ ❻ ❩❭❙❍❏❈P❘●❈❋❃▼❖❯❱P❘▲✍P❘❋❃▼❖❯❱❲◆◗❍❑❷⑥❬❩❭▲❍❏➬❚➢❩♠➡✌P❘◗❍➡✝➫❍❑ ➼✸ ❚ ✗ ❩❭◗❃▼✽❩✶✕✿P❘◗❃▼❖❑✌●✲✎➨➡✌❑✌❏♠▼❖●❈P❘❯❱❏❤■✌❲◆◗❬❩✈▼✰❯✬P❘▲❍❏♠❚❱❑✌❏♠➡✌P❘▲❍⑥❍❯✬▼❖❯❱P❘▲❍❏❤❩❭◗✄✂✂❚❱❯❱❳✗❯✛▼❖❑✌❏✠➤✎ ⑩ P❘▲❨▼❖❯❱▲◆◗❍❯✬▼❖■✪⑥❍❑➥❚➢❩✗▼❖❑✌❳✗❋④■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑➨❩❭◗✄✂❢❯❱▲❨▼❖❑✌● ✗ ❩❭➡✌❑✌❏ ✵ ●❈■✌❏❈❯❱❏✿▼✰❩❭▲❍➡✌❑✌❏✠▼❖➫❍❑✌●❈❳✗❯❱❲◆◗❍❑✌❏✠❯❱▲❨▼❖❑✌● ✼✗ ❩❭➡✌❯➢❩❭❚❱❑✌❏ ▲❍■✌⑤❘❚❱❯❱⑤❘❑ ❩❭❙❍❚❱❑✌❏ ❉ ➤

T0(r, z = 0) = T1(r, z = 0)✵ ✡❘➼ ☎ ☞❨❉

T1(r, z = e) = T2(r, z = e)✵ ✡❘➼ ☎ ✧◆❉

✎ ⑩ P❘▲❨▼❖❯❱▲◆◗❍❯✬▼❖■✦⑥❍❑✌❏ ★❬◗✄✂✂⑥❍❑⑦➡✰➫❬❩❭❚❱❑✌◗❍●⑦➤

φC→A = K0∂T0

∂z|z=0 = K1

∂T1

∂z|z=0

✵ ✡❘➼ ☎ ✥❘❉

φC→S = −K1∂T1

∂z|z=e = −K2

∂T2

∂z|z=e

✵ ✡❘➼ ☎ ✟❨❉

☎✍☎

☎✞✝✁� ✝ ✝✁� ✂✝✑ ✡ ✠✆☎ ☎ �✏✞ ✝✠✂✠�✩✂ ✑ ✞ ☎✒✕ ✁✏�✒✑✟✂✠� ✠☎✞✡✠✥✂✠✂ ✆✟✞☛✡☎✑✟✂✠�✂✡� ✂ � ✂ �✟�✏✞✖✕✏✌✎✑☞☛ ☎✒✞

� ➶✘Ï✩➷➱➹➘Ó➽Ù➬Ó➽➹➘Ü❇➴➬Õ❵Ó③Ï✩➷❅ ❩✂❏❈P❘◗❍●❈➡✌❑✔⑥❍❑✗➡✰➫❬❩❭❚❱❑✌◗❍●⑦❏ ❻ ❑✙✂❃❋❍●❈❯❱❳✗❑✗❏❈❯❱❳✗❋❍❚❱❑✌❳✗❑✌▲❨▼ ✎✂❋❬❩❭●✿▼❖❯❱●✦⑥❍❑✗❚➢❩✑❋❍◗❍❯❱❏❈❏❖❩❭▲❍➡✌❑✔■✌❚❱❑✌➡✤▼❖●❈P ✼

❳✔❩❭⑤❘▲❍■✤▼❖❯❱❲◆◗❍❑✍❳✗P ➦ ❑✌▲❍▲❍❑✪⑥❍❯❱❏❈❏❈❯❱❋④■✌❑✪❋❬❩❭●✽◗❍▲❍❯✬▼❖■✍⑥❍❑ �❘P❘❚❱◗❍❳✗❑✍⑥❬❩❭▲❍❏✹❚❱❑✍❳✗❯❱❚✬❯✬❑✌◗☎⑥❍❯❱■✌❚❱❑✌➡✤▼❖●❈❯❱❲◆◗❍❑ ✡❘➼❀ ❑✌❋❍●❈❑✌▲❍P❘▲❍❏✽❚ ❻ ❑✙✂❃❋❍●❈❑✌❏❈❏❈❯❱P❘▲☎➡ ❩❭❚❱➡✤◗❍❚❱■✌❑✍❩❭◗✂❋❬❩❭●❖❩❭⑤❘●❖❩❭❋❍➫❍❑ ✡❘➼ ✧❍➼ ☎✭➤

dPA

dV(x, y, z) = α

n1

n0

P (x, y)|E1(x, y, z)|2|E0(x, y, z)|2

✵ ✡❘➼ ☎ ✦❘❉⑨ ▲☎❑✌▲☎⑥❍■✌⑥❍◗❍❯✬▼♠❚ ❻ ❑✙✂❃❋❍●❈❑✌❏❈❏❈❯❱P❘▲☎⑥❍❑⑦❚➢❩➨❏❈P❘◗❍●❈➡✌❑⑦⑥❍❑⑦➡✰➫❬❩❭❚❱❑✌◗❍●⑦➤

Q1(x, y, z, t) = αn1

n0

P (x, y, t)|E1(x, y, z)|2|E0(x, y, z)|2

✵ ✡❘➼ ☎✬✮ ❉❅ ❑✴➡ ❩❭❚❱➡✌◗❍❚❨⑥❍❑✴❚➢❩ ❏❈P❘◗❍●❈➡✌❑✳⑥❍❑✴➡✰➫❬❩❭❚❱❑✌◗❍●❇❚❱❯❱■✌❑✷✎♠❚ ❻ ❩❭❙❍❏❈P❘●❈❋❃▼❖❯❱P❘▲✦P❘❋❃▼❖❯❱❲◆◗❍❑❄❏❈❑✳●❖❩❭❳✗➧✌▲❍❑ ✎♠➡✌❑✌❚❱◗❍❯❘⑥❍❑

❚➢❩✍●❈■✌❋❬❩❭●✿▼❖❯✬▼❖❯❱P❘▲✔⑥❍◗✑➡✰➫❬❩❭❳✗❋✭■✌❚❱❑✌➡✤▼❖●❈❯❱❲◆◗❍❑✠⑥❬❩❭▲❍❏ ❚ ❻ ❑✌❳✗❋❍❯❱❚✬❑✌❳✕❑✌▲◆▼ ➼ ⑩ ❑✠➡ ❩❭❚❱➡✌◗❍❚④❑✌❏✿▼❤➡✌❚➢❩❭❏❈❏❈❯❱❲◆◗❍❑ ➼ ⑩ ❑❋❍●❈P❘❙❍❚❱➧✌❳✗❑♠▲ ❻ ❩ ➦ ❩❭▲◆▼❷❋❬❩❭❏✳⑥❍❑✽❏❈P❘❚❱◗❃▼❖❯❱P❘▲✗❩❭▲❬❩❭❚ ➦ ▼❖❯❱❲◆◗❍❑♠⑥❬❩❭▲❍❏❷❚❱❑♠➡ ❩❭❏✳⑤❘■✌▲❍■✌●❖❩❭❚③⑥ ❻ ◗❍▲✭❑✌❳✗❋❍❯❱❚❱❑✌❳✕❑✌▲❨▼❳➥◗❍❚✬▼❖❯❱➡✌P❘◗❍➡✰➫❍❑✌❏ ❽ ❯❱❚❄❑✌▲♣❑✌❏✿▼➥⑥❍❑✗❳ ✩ ❳✗❑✕❋③P❘◗❍●✍❚❱❑✕➡ ❩❭❚❱➡✌◗❍❚✴⑥❍❑✗❚➢❩✑⑥❍■✩★❬❑✙✂❃❯❱P❘▲♣❋❍➫❍P❭▼❖P❭▼❖➫❍❑✌●❈❳✗❯❱❲◆◗❍❑ ➼⑧ ❩❭▲❍❏❤❚➢❩➥❏❈◗❍❯✬▼❖❑ ❽ ▲❍P❘◗❍❏❤▲❍P❘◗❍❏❤❚❱❯❱❳✗❯✛▼❖❑✌●❈P❘▲❍❏❷⑥❍P❘▲❍➡✦❯❱➡✌❯☛❩❭◗✂➡ ❩❭❏❤⑥ ❻ ◗❍▲❍❑✦➡✌P❘◗❍➡✝➫❍❑⑦◗❍▲❍❯❱❲◆◗❍❑ ❽ ■✌➡✌❚➢❩❭❯❱●❈■✌❑❑✌▲☎❯❱▲❍➡✌❯❱⑥❍❑✌▲❍➡✌❑⑦▲❍P❘●❈❳✔❩❭❚❱❑ ➼

➩✘❩❭●❇❩❭❯❱❚❱❚✬❑✌◗❍●❈❏ ❽ ❚➢❩❤●❈■✌❋❬❩❭●✿▼❖❯✬▼❖❯❱P❘▲✦⑥❍◗✍➡✰➫❬❩❭❳✗❋⑦■✌❚❱❑✌➡✤▼❖●❈❯❱❲◆◗❍❑✴▲ ❻ ❑✌❏✿▼➬❋❬❩❭❏❇❏❈❑✌▲❍❏❈❯❱❙❍❚❱❑✌❳✗❑✌▲❨▼✩❳✗P❵⑥❍❯✔✮❬■✌❑❋❬❩❭●➨❚ ❻ ❩❭❙❍❏❈P❘●❈❋❃▼❖❯❱P❘▲ ⑥❍❑✂❚➢❩✚➡✌P❘◗❍➡✰➫❍❑✑▼✝❩➭▲◆▼✕❲◆◗❍❑☎➡✤❑✌❚❱❚❱❑ ✼ ➡✌❯ ●❈❑✌❏✿▼❖❑ ✗ ❩❭❯❱❙❍❚❱❑ ➼ ➩➬P❘◗❍●➨❏❈❯❱❳✗❋❍❚❱❯✔✮❬❑✌●➥▲❍P❘❏❑✙✂❃❋❍●❈❑✌❏❈❏❈❯❱P❘▲❍❏✽❩❭▲❬❩❭❚ ➦ ▼❖❯❱❲◆◗❍❑✌❏ ⑥❍◗✑➡✰➫❬❩❭❳✗❋✑■✌❚❱❑✌➡✤▼❖●❈❯❱❲◆◗❍❑ ❽ ▲❍P❘◗❍❏❤❏❈◗❍❋❍❋④P❘❏❈❑✌●❈P❘▲❍❏♠⑥❍P❘▲❍➡✠❋❬❩❭● ❚➢❩✪❏❈◗❍❯✬▼❖❑❲◆◗❍❑ k1 = 0

➼ ⑧ ❩❭▲❍❏✽➡✌❑✌❏♠➡✌P❘▲❍⑥❍❯✬▼❖❯❱P❘▲❍❏ ❽ P❘▲✂❋④❑✌◗❃▼✽■✌➡✌●❈❯❱●❈❑✓✌ ✮✸☎ ✑ ➤

|E1(x, y, z)|2|E0(x, y, z)|2 = |E1

E0

(z)|2 =t201D2

[1 + r212 + 2r12cos

4πn1

λ(e − z)]

✵ ✡❘➼ ☎ ✱❨❉

❩✌�❘❑✌➡ t01 = 2n0

n0+n1

❽r12 = n1−n2

n1+n2

❽r01 = n0−n1

n0+n1

❑✤▼ D = 1 + r201r

212 + 2r01r12cos

4πn1eλ

❹ P❘◗❍❏♠❋④P❘❏❈❑✌●❈P❘▲❍❏✽❋❬❩❭●❤❚➢❩➥❏❈◗❍❯✬▼❖❑✕➤ C1 = t201(1 + r212)/D

2 ❑✤▼ C2 = 2t201r212/D

2➼

⑨ ▲☎P❘❙❃▼❖❯❱❑✌▲❨▼✽❩❭❚❱P❘●❈❏✦➤

|E1

E0

(z)|2 = C1 + C2cos4πn1

λ(e − z)

✵ ✡❘➼ ☞ ✫ ❉❂ ▼✹❑✌▲➀●❖❑✤❳✗❋❍❚➢❩☞☛ ❩❭▲◆▼ |E1/E2|2 ❋❬❩❭●♠❏❈P❘▲➀❑✙✂❃❋❍●❈❑✌❏❈❏❖❯❱P❘▲ ✵ ✡❘➼ ☞ ✫ ❉ ❽ ❚➢❩✕➡✌P❘❳✗❋③P❘❏❖❩❭▲◆▼❖❑✍❏❈❯❱▲◆◗❍❏❈P✂✁ ✼

⑥❬❩❭❚❱❑✦⑥❍❑⑦❚➢❩➥❏❈P❘◗❍●❈➡✌❑✍⑥❍❑⑦➡✰➫❬❩❭❚❱❑✌◗❍●❤❏ ❻ ■✌➡✌●❈❯✬▼ ❽ ❑✌▲☎▲❍P❭▼✰❩➭▼❖❯❱P❘▲✑➡✌P❘❳✗❋❍❚❱❑✙✂❃❑✕➤

Q1(r, z, t) = αn1

n0

P0

πa2e−2 r2

a2 ejωt[C1 + C2cos4πn1

λ(e − z)]

✵ ✡❘➼ ☞☛✡✈❉❹ P❭▼❖P❘▲❍❏❤❲◆◗❍❑✦⑥❬❩❭▲❍❏❤❚❱❑✠➡ ❩❭❏ ⑥ ❻ ◗❍▲❍❑⑦➡✌P❘◗❍➡✰➫❍❑✦❳✗❯❱▲❍➡✌❑✠◗❍▲❍❯❱❲◆◗❍❑✠▼❖●❖❩❭▲❍❏❈❋❬❩❭●❈❑✌▲❨▼❖❑ ❽ ❚➢❩✪❏❈P❘◗❍●❈➡✌❑✦⑥❍❑

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❹ P❘◗❍❏✍➡✝➫❍❑✌●❈➡✰➫❍P❘▲❍❏✪⑥❍❑✌❏✪❏❈P❘❚❱◗❃▼❖❯❱P❘▲❍❏✦⑥❍❑✗❚➢❩ ✗ P❘●❈❳✗❑ Ti(r, z, t) = Ti(r, z)ejωt P✁� Ti(r, z)❑✌❏✿▼✔❚ ❻ ❩❭❳✗❋❍❚❱❯✛▼❖◗❍⑥❍❑✑➡✌P❘❳✗❋❍❚❱❑✙✂❃❑✂⑥❍❑☎❚➢❩①❋❬❩❭●✿▼❖❯❱❑✑❏❈❯❱▲◆◗❍❏❖P ✁✻⑥❬❩❭❚❱❑✂⑥❬❩❭▲❍❏✗❚❱❑✑▼❖❑✌❳✗❋❍❏ ➼ ➩❄◗❍❯❱❏❈❲◆◗❍❑☎❏❈P❘▲◆▼◗❍▲❍❯❱❲◆◗❍❑✌❳✗❑✌▲❨▼✔⑥❍■✤▼❖❑✌➡✤▼❖■✌❑✌❏✭❚❱❑✌❏✗⑤❘●❖❩❭▲❍⑥❍❑✌◗❍●❈❏✗⑥❬❩❭▲❍❏✗❚❱❑✑▼❖❑✌❳✗❋❍❏ ❽ ❏❈❑✌◗❍❚❱❑✌❏✔❚❱❑✌❏✕❏❈P❘❚❱◗❃▼❖❯❱P❘▲❍❏ Ti(r, z)❏❈❑✌●❈P❘▲❨▼❤➡ ❩❭❚❱➡✌◗❍❚❱■✌❑✌❏ ➼❍❁ P❘❯✬▼ Ti(σ, z) ❚➢❩⑦▼❖●❖❩❭▲❍❏ ✗ P❘●❈❳✗■✌❑✹⑥❍❑✢✝❬P❘◗❍●❈❯❱❑✌●✳●❖❩❭⑥❍❯➢❩❭❚❱❑✥✎✖☎✍⑥❍❯❱❳✗❑✌▲❍❏❈❯❱P❘▲❍❏✳⑥❍❑Ti(r, z)

❽ ▼❖❑✌❚❱❚❱❑✦❲◆◗❍❑✕➤

Ti(r, z) = 2π∫ ∞

0σJ0(2πσr)Ti(σ, z)dσ

✵ ✡❘➼ ☞ ☎ ❉✑0❑✌❏✿▼✹❚➢❩ ✗ P❘▲❍➡✤▼❖❯❱P❘▲✂⑥❍❑ ✛❷❑✌❏❈❏❈❑✌❚❇⑥ ❻ P❘●❈⑥❍●❈❑ ✫➨❑✤▼ σ ❚➢❩✹�➭❩❭●❈❯➢❩❭❙❍❚❱❑✠➡✌P❘▲✶✕✿◗❍⑤❘◗❍■✌❑✍⑥❍❑⑦● ➼❅ ❩✠▼❖●❖❩❭▲❍❏ ✗ P❘●❈❳✗■✌❑❤⑥❍❑✥✝❬P❘◗❍●❈❯❱❑✌●✘❑✌▲✗●❄⑥❍❑✌❏✴■✌❲◆◗❬❩➭▼❖❯❱P❘▲❍❏ ✵ ✡❘➼ ☎✬✫ ❉❤✵ ✡❘➼ ☎ ✡✈❉ ✵ ✡❘➼ ☎✍☎ ❉ ⑥❍P❘▲❍▲❍❑✽❩❭❚❱P❘●❈❏ ➤

∂2T0

∂z2(σ, z) − α2

0(σ)T0(σ, z) = 0✵ ✡❘➼ ☞✍☞❨❉

∂2T1

∂z2(σ, z) − α2

1(σ)T1(σ, z) = −R[C1 + C2cos4πn1

λ(e − z)]e−

a2σ2π2

2

✵ ✡❘➼ ☞✬✧◆❉

∂2T2

∂z2(σ, z) − α2

2(σ)T2(σ, z) = 0✵ ✡❘➼ ☞✻✥❘❉

❩✌�❘❑✌➡ α2i (σ) = 4π2σ2 + 2j

µ2

1

❑✤▼ R = P0

2K1

n0

n1

α

❅ ❩❤❏❈P❘❚❱◗❃▼❖❯❱P❘▲✦⑤❭■✌▲❍■✌●❖❩❭❚❱❑❄⑥❍❑✌❏❇■✌❲◆◗❬❩➭▼❖❯❱P❘▲❍❏➘➫❍P❘❳✗P❘⑤❘➧✌▲❍❑✌❏❇❑✌❏✿▼❇⑥❍❑✴❚➢❩ ✗ P❘●❈❳✗❑ ➤ Aieαiz+Bie

−αiz➼

⑧ ❑✂❋❍❚❱◗❍❏ ❽✘❶2❑✌❏✿▼✗▲◆◗❍❚❱❚❱❑✭❑✌▲ z = +∞ ❑✤▼ ❶

0❑✌❏✿▼✕▲❵◗❍❚❱❚✬❑✭❑✌▲ z = −∞ ❽ ⑥❍P❘▲❍➡ A2(σ) =

B0(σ) = 0➼

⑨ ▲ ❑✌▲ ⑥❍■✌⑥❍◗❍❯✬▼➨❚❱❑✌❏➨❑✙✂❃❋❍●❈❑✌❏❈❏❈❯❱P❘▲❍❏✕⑥❍❑✌❏➥▼❖●❖❩❭▲❍❏ ✗ P❘●❈❳✗■✌❑✌❏➨⑥❍❑✺✝❬P❘◗❍●❈❯❱❑✌●✪⑥❍❑✌❏➨▼❖❑✌❳✗❋③■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑✌❏⑥❬❩❭▲❍❏♠❚❱❑✌❏❤▼❖●❈P❘❯❱❏ ❳✗❯❱❚❱❯✬❑✌◗✄✂❢➤

T0(σ, z) = A0(σ)eα0z✵ ✡❘➼ ☞✍✟❨❉

T1(σ, z) = A1(σ)eα1z + B1(σ)e−α1z + H1(σ) + H2(σ)cos4πn1

λ(e − z)

✵ ✡❘➼ ☞✻✦❘❉

T2(σ, z) = B2(σ)e−α2(z−e)✵ ✡❘➼ ☞ ✮ ❉

P✁� H1(σ) = C1Re−a2σ2π2/2

α2

1(σ)

❽H2(σ) = C2R

e−a2σ2π2/2

α2

1(σ)+(

4πn1

λ)2❑✤▼ A0(σ), A1(σ), B1(σ), B2(σ) ❏❈P❘▲❨▼❤⑥❍❑✌❏ ✗ P❘▲❍➡✤▼❖❯❱P❘▲❍❏❷❲◆◗❍❑✠❚ ❻ P❘▲✔⑥❍■✤▼❖❑✌●❈❳✗❯❱▲❍❑✽⑤❘●☛✡❭➡✌❑✠❩❭◗✄✂➡✌P❘▲❍⑥❍❯✬▼❖❯❱P❘▲❍❏ ❚❱❯❱❳✗❯✛▼❖❑✌❏ ✵ ✡❘➼ ☎ ☞❨❉ ❽ ✵ ✡❘➼ ☎ ✧◆❉ ❽ ✵ ✡❘➼ ☎ ✥❘❉ ❑✤▼ ✵ ✡❘➼ ☎ ✟❨❉✝➼

☎ ✧

☎✞✝✁� ✝ ✝✁� ✂✝✑ ✡ ✠✆☎ ☎ �✏✞ ✝✠✂✠�✩✂ ✑ ✞ ☎✒✕ ✁✏�✒✑✟✂✠� ✠☎✞✡✠✥✂✠✂ ✆✟✞☛✡☎✑✟✂✠�✂✡� ✂ � ✂ �✟�✏✞✖✕✏✌✎✑☞☛ ☎✒✞

❅ ❑➥➡ ❩❭❚❱➡✌◗❍❚➬⑥❍❑➥➡✌❑✌❏✦❋❬❩❭●❖❩❭❳✗➧✤▼❖●❈❑✌❏✹❳✗P❘▲◆▼❖●❈❑✪❲◆◗❍❑➥❚❱❑✪▼❖❑✌●❈❳✗❑ R = P0

2K1

n0

n1

α ❑✌❏✿▼✦❑✌▲ ✗ ❩❭➡✤▼❖❑✌◗❍●⑥❬❩❭▲❍❏ ❚❱❑✌❏ ❑✙✂❃❋❍●❈❑✌❏❈❏❈❯❱P❘▲❍❏❤⑥❍❑✦❚➢❩✍⑥❍❯❱❏✿▼❖●❈❯❱❙❍◗❃▼❖❯❱P❘▲✔⑥❍❑✹▼❖❑✌❳✗❋④■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑✠❋④P❘◗❍●❷❚❱❑✌❏❷▼❖●❈P❘❯❱❏❷❳✗❯❱❚✬❯✬❑✌◗✄✂ ➼❃❅ ❑✌❏❋❬❩❭●❖❩❭❳✗➧✤▼❖●❈❑✌❏ ➩

0❑✤▼✚✞

1

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λ

❉ ▲ ❻ ❯❱▲❨▼❖❑✌●✫�❘❑✌▲❬❩❭▲◆▼ ❲◆◗❍❑✠⑥❬❩➭▲❍❏ ❀ ❽ ❚➢❩✍⑥❍❯❱❏✿▼❖●❈❯❱❙❍◗❃▼❖❯❱P❘▲✕⑥❍❑▼❖❑✌❳✗❋④■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑❄⑥❬❩❭▲❍❏❇❚❱❑✌❏➘▼❖●❈P❘❯❱❏☛❳✗❯❱❚❱❯✬❑✌◗✄✂✠❑✌❏✿▼✩⑥❍P❘▲❍➡❄▼❖P❘◗✶✕✿P❘◗❍●❈❏❇❋❍●❈P❘❋③P❘●✿▼❖❯❱P❘▲❍▲❍❑✌❚❱❚❱❑ ✎♠❚➢❩ ❋❍◗❍❯❱❏❈❏❖❩❭▲❍➡✌❑▼❖P❭▼✰❩❭❚❱❑✦➩

0⑥❍◗ ✗ ❩➭❯❱❏❈➡✌❑ ❩❭◗☎❑✙✂❃➡✌❯✬▼✰❩➭▼❖❑✌◗❍●♠❑✤▼✽❩❭◗☎➡✌P◆❑✩✼✗➡✌❯❱❑✌▲◆▼✽⑥ ❻ ❑✙✂❵▼❖❯❱▲❍➡✤▼❖❯❱P❘▲ ✞

1⑥❍❑✍❚➢❩➥➡✌P❘◗❍➡✰➫❍❑ ➼

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⑥❍◗ ✗ ❩❭❯❱❏❈➡✌❑ ❩❭◗✂❏❈P❘▲❍⑥❍❑ ➼❅❄❻ ❯❱▲❍⑥❍❯❱➡✌❑❤⑥❍❑♠●❈■ ✗ ●❖❩❭➡✤▼❖❯❱P❘▲✕⑥❍❑✌❏✴❳✔❩➭▼❖■✌●❈❯➢❩❭◗✄✂➥❑✌❏✿▼✳❑✌▲✗⑤❘■✌▲❍■✌●❖❩❭❚ ✗ P❘▲❍➡✤▼❖❯❱P❘▲✕⑥❍❑♠❚➢❩✹▼❖❑✌❳✗❋④■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑❑✤▼✭⑥❍❑☎❚➢❩➽❋❍●❈❑✌❏❈❏❈❯❱P❘▲ ➼✳❅ ❑✌❏✚�❭❩❭●❈❯➢❩➭▼❖❯❱P❘▲❍❏✕⑥ ❻ ❯❱▲❍⑥❍❯❱➡✌❑☎❯❱▲❍⑥❍◗❍❯✬▼❖❑✌❏✕❋❬❩❭●✔❚❱❑✌❏✗P❘▲❍⑥❍❑✌❏✗▼❖➫❍❑✌●❈❳✗❯❱❲◆◗❍❑✌❏✔❑✤▼❩❭➡✌P❘◗❍❏✿▼❖❯❱❲◆◗❍❑✌❏✴❋❍●❈P✌�❘P❵❲◆◗❍❑✌▲❨▼✳⑥❍P❘▲❍➡❤◗❍▲❍❑❤⑥❍■✣�❵❯➢❩➭▼❖❯❱P❘▲➨⑥❍◗ ✗ ❩❭❯❱❏❈➡✌❑ ❩❭◗✕❏❈P❘▲❍⑥❍❑ ➼❘✸ ❚❬❩✦■✤▼❖■❤❳✗P❘▲❨▼❖●❈■ ❲◆◗❍❑❚ ❻ ❑ ✯ ❑✤▼✘⑥❍❑❤❚ ❻ P❘▲❍⑥❍❑ ❩❭➡✌P❘◗❍❏✿▼❖❯❱❲◆◗❍❑ ❑✌❏✿▼✴▲❍■✌⑤❘❚❱❯❱⑤❘❑ ❩❭❙❍❚✬❑❷❋❬❩❭●➬●❖❩❭❋❍❋④P❘●✿▼✷✎✠➡✌❑✌❚❱◗❍❯❃⑥❍❑ ❚ ❻ P❘▲❍⑥❍❑✳▼❖➫❍❑✌●❈❳✗❯❱❲◆◗❍❑⑥❍P❘▲❨▼✽P❘▲ �❵❯❱❑✌▲◆▼♠⑥❍❑⑦➡ ❩❭❚❱➡✌◗❍❚❱❑✌●❤❚➢❩➥⑥❍❯❱❏✿▼❖●❈❯❱❙❍◗❃▼❖❯❱P❘▲✑⑥❍❑✦▼❖❑✌❳✗❋③■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑✓✌ ✮ ✡ ✑ ➼❅ ❑✌❏✂⑥❍■✣�❵❯➢❩➭▼❖❯❱P❘▲❍❏✭❳✗❑✌❏❈◗❍●❈■✌❑✌❏☎❏❈P❘▲❨▼ ✗ ❩❭❯❱❙❍❚✬❑✌❏ ❽ ❑✌▲➑⑤❘■✌▲❍■✌●❖❩❭❚✠❯❱▲ ✗ ■✌●❈❯❱❑✌◗❍●❈❑✌❏✺✎ 10−4 ●❖❩❭⑥❍❯➢❩❭▲ ➼⑧ ❩❭▲❍❏❤❚❱❑✹➡ ❩❭❏❤⑥ ❻ ◗❍▲✂❚➢❩❭❏❈❑✌●❷❋④P❘❳✗❋④❑ ✗ ❩❭❯❱❙❍❚✬❑✌❳✗❑✌▲❨▼ ✗ P❵➡ ❩❭❚❱❯✬❏❈■ ❽ ⑥❍❑✦❚❱P❘▲❍⑤❘◗❍❑✌◗❍● ⑥ ❻ P❭▲❍⑥❍❑ ✡ µ ❳✒❑✤▼❤⑥❍❑⑥❍❯➢❩❭❳✗➧✤▼❖●❈❑ ✎ ✡★✰ ❑ 2 ✡ ✫✲✫ µ ❳ ❽ P❘▲➀❋④❑✌◗❃▼✠➡✌P❘▲❍❏❈❯❱⑥❍■✌●❈❑✌●✽❲◆◗❍❑➥❚❱❑ ✗ ❩❭❯✬❏❖➡✤❑ ❩❭◗❢❏❈P❘▲❍⑥❍❑✪❯❱▲❨▼❖❑✌●❖❩❭⑤❘❯✬▼✽❩✌�❘❑✌➡❚❱❑✂❳✗❯❱❚✬❯✬❑✌◗ ❩❭➡✤▼❖❯ ✗ ❏❈◗❍●✗◗❍▲❍❑☎❚❱P❘▲❍⑤❘◗❍❑✌◗❍●✕⑥❍❑ ✡ ➡✌❳ ➼✴❅ ❑☎⑥❍■✌❋❍❚➢❩❭➡✌❑✌❳✗❑✌▲❨▼✕▼❖P❭▼✰❩❭❚❤➡✌P❘●❈●❈❑✌❏❈❋④P❘▲❍⑥❬❩❭▲❨▼⑥❍◗ ✗ ❩❭❯❱❏❈➡✌❑ ❩❭◗➀❏❖P❭▲❍⑥❍❑➥⑥❬❩❭▲❍❏✹❚❱❑✍❳✗❯❱❚❱❯✬❑✌◗➀❩❭➡✤▼❖❯ ✗ ❑✌❏✿▼✦❩❭❚❱P❘●❈❏✽⑥❍❑ ✡ µ ❳ ➼ ➩✘❩❭●✽➡✌P❘▲◆▼❖●❈❑ ❽ ⑥❬❩❭▲❍❏✹❚❱❑✍➡ ❩❭❏⑥ ❻ ◗❍▲☎❚➢❩❭❏❈❑✌●♠❋④P❘❳✗❋③❑ ✗ P❘●✿▼❖❑✌❳✗❑✌▲❨▼ ✗ P◆➡ ❩❭❚❱❯❱❏❈■ ❽ ⑥❍❑⑦⑥❍❯➢❩❭❳✗➧✤▼❖●❈❑ ✎ ✡★✰ ❑ 2 � ✡

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d

ds(n

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dθx =1

n

∂n

∂xdz et dθy =

1

n

∂n

∂ydz

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❚ ❻ ❩★✂❃❑ ✵ ⑨ ➦❍❉✝➼④❁ P❘❯✬▼♠❋✂❚➢❩➨❋❍●❈❑✌❏❈❏❈❯❱P❘▲☎❯✬▲❍❏❈▼✰❩❭▲❨▼✰❩❭▲❍■✌❑✦❑✌▲ ✾ ⑥❍◗❍❑ ✎➨❚ ❻ P❘▲❍⑥❍❑⑦❩❭➡✌P❘◗❍❏✿▼❖❯❱❲◆◗❍❑ ❽ P❘▲➀❩✑➤

dθy =1

n(∂n

∂T

∂T

∂y+

∂n

∂p

∂p

∂y)dz

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dθy =1

n

∂n

∂T

∂T

∂ydz

✵ ✡❘➼ ✧ ☎ ❉✸ ❚✳●❈❑✌❏✿▼❖❑ ✎☎❯❱▲❨▼❖■✌⑤❘●❈❑✌●✍➡✌❑✤▼❈▼❖❑✔⑥❍■✩★❬❑✙✂❃❯❱P❘▲ ❋❬❩➭●✪●❖❩❭❋❍❋④P❭●❈▼✹✎ ✳ ❽ ⑥❬❩❭▲❍❏✪➡✰➫❬❩❭❲◆◗❍❑✭❳✗❯❱❚✬❯✬❑✌◗ ➤✩❩❭❯❱● ❽

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❽y0➤

θyair(x0, y0, t) =1

n0

∂n0

∂T

∫ 0

−∞(∂T0

∂y(x, y, z, t))x=x0,y=y0

dz✵ ✡❘➼ ✧✸☞❨❉

θycouche(x0, y0, t) =1

n1

∂n1

∂T

∫ e

0(∂T1

∂y(x, y, z, t))x=x0,y=y0

dz✵ ✡❘➼ ✧✲✧◆❉

θysubstrat(x0, y0, t) =1

n2

∂n2

∂T

∫ +∞

e(∂T2

∂y(x, y, z, t))x=x0,y=y0

dz✵ ✡❘➼ ✧✵✥❘❉

⑩ P❘❳✗❋❃▼❖❑✘▼❖❑✌▲◆◗✍⑥❍❑✌❏➘⑥❍❯❱❏✿▼❖●❈❯❱❙❍◗❃▼❖❯❱P❘▲❍❏☛⑥❍❑✘▼❖❑✌❳✗❋③■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❖❑✘⑥❍P❘▲❍▲❍■✌❑✌❏✩❋❬❩❭●☛❚❱❑✌❏➘■✌❲◆◗❬❩➭▼❖❯❱P❘▲❍❏ ✵ ✡❘➼ ☞✍✟❨❉✵ ✡❘➼ ☞✻✦❘❉ ❑✤▼ ✵ ✡❘➼ ☞ ✮ ❉ ❽ ❚❱❑✌❏♠❑✙✂❃❋❍●❈❑✌❏❈❏❈❯❱P❘▲❍❏✽⑥❍❑✌❏♠⑥❍■✩★❬❑✙✂❃❯❱P❘▲❍❏✽❋❍●❈❑✌▲❍▲❍❑✌▲❨▼✹❚➢❩ ✗ P❘●❈❳✗❑➨➤

θyair(x0, y0, t) = − 1

n0

∂n0

∂T4π2ejωt y0

r0

∫ ∞

0σ2J1(2πσr0)

A0(σ)

α0(σ)dσ

✵ ✡❘➼ ✧✸✟❨❉

θycouche(x0, y0, t) = − 1n1

∂n1

∂T4π2ejωt y0

r0

∫ ∞0 σ2J1(2πσr0).

(A1(σ)α1(σ)

(eα1e − 1) + B1(σ)α1(σ)

(1 − eα1e) + H1(σ) + H2(σ) λ4πn1

sin4πn1eλ

)dσ

✵ ✡❘➼ ✧✵✦❘❉

θysubstrat(x0, y0, t) = − 1

n2

∂n2

∂T4π2ejωt y0

r0

∫ ∞

0σ2J1(2πσr0)

B2(σ)

α2(σ)dσ

✵ ✡❘➼ ✧ ✮ ❉

☎ ✟

☎✞✝✁� ✝ ✝✁� ✂✝✑ ✡ ✠✆☎ ☎ �✏✞ ✝✠✂✠�✩✂ ✑ ✞ ☎✒✕ ✁✏�✒✑✟✂✠� ✠☎✞✡✠✥✂✠✂ ✆✟✞☛✡☎✑✟✂✠�✂✡� ✂ � ✂ �✟�✏✞✖✕✏✌✎✑☞☛ ☎✒✞

P✁� r20 = x2

0 + y20❑✤▼ J1

❑✌❏✿▼✽❚➢❩ ✗ P❘▲❍➡✤▼❖❯❱P❘▲✂⑥❍❑ ✛❷❑✌❏❈❏❈❑✌❚❇⑥ ❻ P❘●❈⑥❍●❈❑ ✡❘➼

⑩ P❘❳✗❳✗❑✦❋③P❘◗❍●♠❚❱❑✌❏❤⑥❍❯❱❏✿▼❖●❈❯❱❙❍◗❃▼❖❯❱P❘▲❍❏ ⑥❍❑✦▼❖❑✌❳✗❋④■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑ ❽ P❘▲☎❋③❑✌◗❃▼✽❏❈P❘◗❍❚❱❯❱⑤❘▲❍❑✌●❤❲◆◗ ❻ ❩❭❋❍❋❬❩❭●❖❩✶✵❱▼❑✌▲ ✗ ❩❭➡✤▼❖❑✌◗❍●✠❚❱❑✍▼❖❑✌●❈❳✗❑ R = P0

2K1

n0

n1

α➼☛❅ ❑✌❏✠❋❬❩❭●❖❩❭❳✗➧✤▼❖●❈❑✌❏✦➩

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1

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λ

❉ ▲ ❻ ❯❱▲ ✼▼❖❑✌●✫�❘❑✌▲❬❩❭▲◆▼⑦❲◆◗❍❑➨⑥❬❩❭▲❍❏ ❀ ❽ ❚➢❩✔⑥❍■✩★❬❑✙✂❃❯❱P❘▲✚▼❖P❭▼✰❩❭❚❱❑✪❑✌❏✿▼⑦⑥❍P❘▲❍➡✪▼❖P❘◗✶✕✿P❘◗❍●❈❏✠❋❍●❖P❭❋④P❘●✿▼❖❯❱P❘▲❍▲❍❑✌❚❱❚❱❑ ✎✭❚➢❩❋❍◗❍❯❱❏❈❏❖❩❭▲❍➡✌❑✪▼❖P❭▼✰❩❭❚❱❑✪➩

0⑥❍◗ ✗ ❩❭❯❱❏❈➡✌❑ ❩❭◗❢❑✙✂❃➡✌❯✬▼✰❩➭▼❖❑✌◗❍●✠❑✤▼✦❩❭◗❢➡✌P❵❑✩✼✗➡✌❯❱❑✌▲❨▼✦⑥ ❻ ❑✙✂❵▼❖❯❱▲❍➡✤▼❖❯❱P❘▲ ✞

1⑥❍❑➥❚➢❩

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❑✤▼ dθz⑥❍❑❢❚ ❻ ❩❭▲❍⑤❘❚❱❑✂⑥❍❑➀⑥❍■✣�❵❯➢❩➭▼❖❯❱P❘▲

■✌❚❱■✌❳✗❑✌▲❨▼✰❩❭❯❱●❈❑ ❽ ❏❈◗❍❯✔�❭❩❭▲❨▼✭❚ ❻ ❩★✂❃❑ ✵ ⑨ ➦❍❉ ❑✤▼ ✵ ⑨ ✳ ❉ ●❈❑✌❏❈❋④❑✌➡✤▼❖❯✔�❘❑✌❳✗❑✌▲❨▼ ➼ ⑩ P❘❳✗❳✗❑✂❚❱❑✌❏✔⑥❍■✣�❵❯➢❩➭▼❖❯❱P❘▲❍❏❏❈P❘▲❨▼✔▼❖●❈➧✌❏ ✗ ❩❭❯❱❙❍❚❱❑✌❏ ❽ P❘▲ ➡✌P❘▲ ✗ P❘▲❍⑥❍●❖❩♣❚ ❻ ❩❭❙❍❏❈➡✌❯❱❏❈❏❈❑☎➡✌◗❍●✫�❵❯❱❚❱❯❱⑤❘▲❍❑✂❏✭❩✁�❨❑✌➡✺✂ ❏❈◗❍●✗▼❖P❘◗❃▼❖❑☎❚➢❩ ✳✌P❘▲❍❑⑥ ❻ ❯❱▲❨▼❖❑✌●❖❩❭➡✤▼❖❯❱P❘▲✂⑥❍◗✂●✰❩ ➦ P❘▲➀❩✁�❘❑✌➡✍❚❱❑✦⑤❘●❖❩❭⑥❍❯❱❑✌▲❨▼♠⑥ ❻ ❯❱▲❍⑥❍❯❱➡✌❑ ➼ ⑨ ▲✂P❘❙❃▼❖❯❱❑✌▲◆▼✽❩➭❚❱P❘●❈❏✦➤

dθy =1

n

∂n

∂ydx

✵ ✡❘➼ ✧✻✱❨❉

❑✤▼dθz =

1

n

∂n

∂zdx

✵ ✡❘➼✪✥ ✫ ❉❹ P❘◗❍❏✳▲❍P❘◗❍❏❷❯❱▲❨▼❖■✌●❈❑✌❏❈❏❈P❘▲❍❏❷◗❍▲❍❯❱❲◆◗❍❑✌❳✗❑✤▲◆▼✘✎⑦❚➢❩✦⑥❍■✣�❵❯➢❩➭▼❖❯❱P❘▲✗⑥❍◗ ✗ ❩❭❯❱❏❈➡✌❑ ❩❭◗✗❏❈❑✌❚❱P❘▲✗❚ ❻ ❩★✂❃❑ ✵ ⑨ ✳ ❉✝➼❂ ▲☎▲❍■✌⑤❘❚❱❯❱⑤❘❑ ❩❭▲❨▼❤❚ ❻ ❑ ✯ ❑✤▼♠⑥❍❑✍❚ ❻ P❘▲❍⑥❍❑✍❩❭➡✌P❘◗❍❏✿▼❖❯❱❲◆◗❍❑ ❽ P❘▲☎❩✂➤

dθz =1

n

∂n

∂T

∂T

∂zdx

✵ ✡❘➼✪✥✄✡✈❉✸ ❚➘●❈❑✌❏✿▼❖❑ ✎➨❯❱▲❨▼❖■✌⑤❘●❈❑✌●❤➡✌❑✤▼❈▼❖❑✍⑥❍■✩★❬❑✙✂❃❯❱P❘▲☎❋❬❩❭●❤●❖❩❭❋❍❋④P❘●✿▼✥✎ ✂ ❽ ⑥❬❩❭▲❍❏♠❚ ❻ ❩❭❯❱● ➼❹ P❘◗❍❏➨➡✌P❘▲❍❏❈❯❱⑥❍■✌●❈P❘▲❍❏➥▼❖P❘◗✶✕✿P❘◗❍●❈❏➥❲◆◗❍❑✑❚❱❑✭➡✌❑✌▲❨▼❖●❈❑✑⑥❍◗ ✗ ❩❭❯❱❏❈➡✌❑ ❩❭◗ ❋③P❘❳✗❋④❑✭❑✌❏✿▼✗❩❭◗ ❋④P❘❯✬▲◆▼ ⑨

⑥❬❩❭▲❍❏✠❚❱❑✪❋❍❚➢❩❭▲ ✂ ⑨ ➦ ✵ ❑✌▲ ✳ � ✫ ❉✝➼☛❅ ❑ ✗ ❩❭❯❱❏❈➡✌❑ ❩❭◗✚❏❈P❘▲❍⑥❍❑ ❽ ❚❱◗❍❯ ❽ ❏❈❑➥❋❍●❈P❘❋❬❩❭⑤❘❑✖✎✔◗❍▲❍❑➥⑥❍❯❱❏✿▼✰❩❭▲❍➡✌❑ z0⑥❍❑➨❚➢❩✔❏❈◗❍● ✗ ❩❭➡✌❑➨⑥❍❑➨❚ ❻ ■✌➡✰➫❬❩❭▲❨▼❖❯❱❚❱❚❱P❭▲ ➼ ⑨ ▲✚P❘❙❃▼❖❯❱❑✌▲◆▼✦❩❭❚❱P❘●❈❏✠❚❱❑✌❏✠❑✙✂❃❋❍●❈❑✌❏❈❏❈❯❱P❘▲❍❏⑦❏❈◗❍❯✔�❭❩❭▲❨▼❖❑✌❏✦❋④P❘◗❍●✠❚➢❩⑥❍■✣�❵❯➢❩➭▼❖❯❱P❘▲✑⑥❬❩❭▲❍❏♠❚ ❻ ❩❭❯❱● ❽ ❑✌▲ ✗ P❘▲❍➡✤▼❖❯❱P❘▲✂⑥❍❑ y0

❽z0➤

θzair(y0, z0, t) =1

n0

∂n0

∂T

∫ +∞

−∞(∂T0

∂y(x, y, z, t))x=x0,y=y0

dx✵ ✡❘➼✪✥ ☎ ❉

❁ P❘❯✬▼ ❽ ➡✤P❘❳✗❋❃▼❖❑✑▼✰❑✤▲❵◗ ⑥❍❑✂❚➢❩✚⑥❍❯❱❏✿▼❖●❈❯❱❙❍◗❃▼❖❯❱P❘▲ ⑥❍❑✂▼❖❑✌❳✗❋④■✌●❖❩➭▼❖◗❍●❈❑✂⑥❍P❘▲❍▲❍■✌❑☎❋❬❩❭●✕❚ ❻ ■✌❲◆◗❬❩➭▼❖❯❱P❘▲✵ ✡❘➼ ☞✍✟❨❉ ➤

θzair(y0, z0, t) = − 1

n0

∂n0

∂T

∫ +∞

−∞(∫ ∞

02πσA0(σ)α0(σ)eα0(σ)z0J0(2πσ

√

x2 + y20dσ)dx✵ ✡❘➼✪✥ ☞❨❉

☎ ✦

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❑ ✵ ▲❍❳ ❉ ▲ ✞ ☛✧✵ � ✰ ❳ ➼ ☛✍❉ ✌ ✥✬✱ ❽ ✮ ✧☞✑ ρ⑩ ✌ ✮ ✥✒✑ 1

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✼ ✡ ❽ ✡❘➼✔✡ ✫ −6

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❏❈◗❍❙❍❏✿▼❖●❖❩➭▼ ∞ ✡ ❽ ✧✸✟ ✫ ✡ ❽ ☞✻✦✬✱ ✡ ❽ ✟✍☞❃➼✔✡ ✫ 6✟ ❽ ✮ ➼✔✡ ✫ 6

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A = (Ai,j)i=1,n;j=1,p❑✤▼ D = (Di,j)i=1,n;j=1,p

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Cor(A,D)i,j =n

∑

k=1

p∑

l=1

ak,ldk−i,l−j

✵ ☎ ➼ ☞❘❉

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ai,j =Ai,j − Amoy

√

∑

k

∑

l(Ak,l − Amoy)2et Amoy =

∑

k

∑

l Ak,l

np

✵ ☎ ➼ ✧❨❉

⑨ ▲✗❋③❑✌◗❃▼ ❩❭❚✬P❘●❈❏❄⑥❍■✣✮❬▲❍❯❱●✴❚❱❑❤❳✔❩★✂❃❯❱❳➥◗❍❳❺⑥❍❑♠❚➢❩ ✗ P❘▲❍➡✤▼❖❯❱P❘▲✕⑥ ❻ ❯❱▲❨▼❖❑✌●❈➡✌P❘●❈●❈■✌❚➢❩➭▼❖❯❱P❘▲ ❽ ❲◆◗❍❑✽❚ ❻ P❘▲✕▲❍P❘❳ ✼❳✗❑✌●❖❩➨❋❬❩❭●❤❚➢❩➨❏❈◗❍❯✬▼❖❑✦➡✌P❵❑✩✼✗➡✌❯❱❑✌▲❨▼✽⑥❍❑⑦➡✌P❘●❈●❈■✌❚➢❩➭▼❖❯❱P❘▲✚➤

COR(A,D)i0,j0 = Max(Cor(A,D)i,j)✵ ☎ ➼✪✥❘❉

❅ ❩ �❭❩❭❚❱❑✌◗❍●✴⑥❍◗✭➡✌P❵❑✩✼✗➡✌❯❱❑✌▲❨▼ ⑥❍❑✽➡✌P❘●❈●❈■✌❚➢❩➭▼❖❯❱P❘▲✕❋④❑✌●❈❳✗❑✤▼ ❩❭❚❱P❘●❈❏✴⑥❍❑✹➡✰➫❍❯ ✯ ●❈❑✌●✳❚❱❑♠⑥❍❑✌⑤❘●❈■✹⑥❍❑✹●❈❑✌❏ ✼❏❈❑✌❳➥❙❍❚➢❩❭▲❍➡✌❑❤❑✌▲❨▼❖●❈❑❤❚❱❑✌❏✘⑥❍❑✌◗✄✂➨➡ ❩❭●✿▼❖P❘⑤❘●❖❩❭❋❍➫❍❯❱❑✌❏ ➼❘❅ ❑✌❏❄➡✌P❵P❘●❈⑥❍P❘▲❍▲❍■✌❑✌❏ ✵ ❯

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⑥❍❑✭⑥❍❯ ✯ ◗❍❏❈❯❱P❘▲ ✎➀❚➢❩☎❳ ✩ ❳✗❑✔❚❱P❘▲❍⑤❘◗❍❑✌◗❍●✪⑥ ❻ P❘▲❍⑥❍❑ ❽ ❋❍◗❍❯❱❏❈❲◆◗❍❑✭❚❱❑✌❏➥❳✗❑✌❏❈◗❍●❈❑✌❏➥❏❈P❘▲◆▼➥❏❈❯❱❳➨◗❍❚✬▼✰❩➭▲❍■✌❑✌❏ ➼⑧ ❑✔❋❍❚❱◗❍❏✍❯❱❚❄❑✌❏✿▼➥⑤❘■✌▲❍■✌●❖❩❭❚❱❑✌❳✗❑✌▲❨▼ ✗ ❩❭❯❱❙❍❚❱❑➨⑥❬❩❭▲❍❏✪❚❱❑✕➡ ❩❭❏✪⑥❍❑✔➡ ❩❭●✿▼❖P❘⑤❘●❖❩❭❋❍➫❍❯❱❑✌❏ ✎☎⑥❍❑✌❏✪❚❱P❘▲❍⑤❘◗❍❑✌◗❍●❈❏⑥ ❻ P❘▲❍⑥❍❑⑦⑥❍❯ ✯ ■✌●❈❑✌▲❨▼✰❑✤❏✽➡ ❩❭●❤❚❱❑✦⑥❍❯❱❏❈❋④P❘❏❈❯✬▼❖❯ ✗ ⑥❍❑⑦❋③P❘❏❈❯✬▼❖❯❱P❘▲❍▲❍❑✌❳✗❑✌▲❨▼♠❑✌❏✿▼✽●❈❑✌❚➢❩➭▼❖❯✔�❘❑✌❳✗❑✌▲◆▼❤❋❍●❈■✌➡✌❯❱❏ ➼❸ ▲✔⑥❍❑✌❏❷❯❱▲❍➡✌P❘▲ �❘■✌▲❍❯❱❑✌▲❨▼❖❏❷⑥❍❑✽➡✌❑✤▼❈▼❖❑✹❳✗■✤▼❖➫❍P◆⑥❍❑✽❑✌❏✿▼ ❲◆◗ ❻ ❑✌❚❱❚❱❑♠▲❍❑✹❋❍●❈❑✌▲❍⑥✔❑✌▲✭➡✌P❘❳✗❋❃▼❖❑✽❲◆◗ ❻ ◗❍▲❍❑❏❈❑✌◗❍❚❱❑✖�➭❩❭❚❱❑✌◗❍●✦⑥❍❑✕❚➢❩ ✗ P❘▲❍➡✤▼❖❯❱P❘▲✚⑥ ❻ ❯❱▲❨▼❖❑✌●❈➡✌P❘●❈●❈■✌❚➢❩➭▼❖❯❱P❘▲ ✵ ❚❱❑➨❳✔❩★✂❃❯❱❳➥◗❍❳ ❉✰➼☛❸ ▲①➡✌❑✌●✿▼✰❩❭❯❱▲①▲❍P❘❳➥❙❍●❈❑⑥ ❻ ❯❱▲ ✗ P❘●❈❳✔❩➭▼❖❯✬P❘▲❍❏➬➡✌P❘▲❨▼❖❑✌▲❵◗❍❑✌❏✴⑥❬❩❭▲❍❏❄➡✌❑✤▼❈▼❖❑ ✗ P❘▲❍➡✤▼❖❯❱P❘▲➨❏❈P❘▲❨▼✴⑥❍P❘▲❍➡❤❋④❑✌●❈⑥❍◗❍❑✌❏ ➼ ⑩ ❑✤▼❈▼❖❑♠❋④❑✌●✿▼❖❑❤⑥ ❻ ❯❱▲ ✼✗ P❘●❈❳✔❩➭▼❖❯✬P❘▲❍❏♠❋④❑✌◗❃▼✦❩✁�❨P❘❯❱●♠◗❍▲❍❑✪❯❱▲ ★❬◗❍❑✌▲❍➡✌❑✪❏❈◗❍●✹❚ ❻ ◗❃▼❖❯❱❚❱❯✬❏❖❩➭▼❖❯✬P❘▲✂⑥❍◗❢➡✌P❵❑✩✼✗➡✌❯❱❑✌▲❨▼✠⑥❍❑✪➡✌P❘●❈●❈■✌❚➢❩➭▼❖❯❱P❘▲⑥❬❩❭▲❍❏✽▲❍P❭▼❖●❈❑✍❩❭❋❍❋❍❚❱❯❱➡ ❩➭▼❖❯❱P❘▲ ➼❍❂ ▲➀❋❬❩❭●✿▼❖❯❱➡✌◗❍❚❱❯❱❑✌● ❽❬⑩❤⑨ ❀ ❑✌❏✿▼✹❋④❑✤◗❢❏❈■✌❚❱❑✤➡✤▼❖❯ ✗ ❑✤▼✹❋④❑✌◗❃▼✹❋❍●❈❑✌▲❍⑥❍●❈❑✍⑥❍❑✌❏�❭❩❭❚❱❑✌◗❍●❈❏❤●❈❑✌❚➢❩➭▼❖❯✔�❨❑✌❳✗❑✌▲❨▼❤■✌❚❱❑✣�❘■✌❑✌❏✽❳ ✩ ❳✗❑✦❋④P❘◗❍●❤⑥❍❑✌❏✲✮❬➡✰➫❍❯❱❑✌●❈❏♠▲❍P❘▲☎➡✌P❘●❈●❈■✌❚❱■✌❏ ➼❬❅❄❻ ❑✙✂❃❑✌❳✗❋❍❚❱❑⑦❋❍●❈■ ✼❏❈❑✌▲❨▼❖■✪❏❈◗❍●✽❚➢❩✖✮❬⑤❘◗❍●❈❑ ☎ ➼ ☞ ❳✗P❘▲❨▼❖●❈❑⑦❲◆◗❍❑✍❚➢❩✕➡✌P❘●❈●❈■✌❚➢❩➭▼❖❯❱P❘▲✑⑥❍❑✹☎✕❳✔❩➭▼❖●❈❯❱➡✌❑✌❏✥☎✬✫✹✂✏☎✬✫✔❩➭❚❱■ ❩➭▼❖P❘❯❱●❈❑✌❏➡✌❑✌▲❨▼❖●❈■✌❑✌❏✹▲❍P❘●❈❳✗■✌❑✌❏❤⑤❘■✌▲❍■✌●❈■✌❑✌❏✹▲◆◗❍❳✗■✌●❈❯❱❲◆◗❍❑✌❳✗❑✌▲❨▼✽❑✤❏❈▼✽❚❱P❘❯❱▲✭⑥ ❻ ✩ ▼❖●❈❑✍▲◆◗❍❚❱❚❱❑ ➼

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fǫM − ǫeff

ǫM + 2ǫeff

+ (1 − f)ǫD − ǫeff

ǫD + 2ǫeff

= 0✵ ☞❃➼✔✡ ✫ ❉

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ǫeff❑✌❏✿▼✽❚➢❩ ✗ P❘▲❍➡✤▼❖❯❱P❘▲✑⑥❍❯❱■✌❚❱❑✌➡✤▼❖●❈❯❱❲◆◗❍❑✦⑥❍◗☎❳✗❯❱❚✬❯✬❑✌◗✂❑ ✯ ❑✌➡✤▼❖❯ ✗✎

ǫM❑✌❏✿▼✽❚➢❩ ✗ P❘▲❍➡✤▼❖❯❱P❘▲✂⑥❍❯❱■✌❚❱❑✌➡✤▼❖●❈❯❱❲◆◗❍❑✦⑥❍◗☎❳✗■✤▼✰❩❭❚☛❏❈P❘◗❍❏ ✗ P❘●❈❳✗❑✦⑥ ❻ ❯❱▲❍➡✌❚✬◗❍❏❖❯✬P❘▲❍❏✎

ǫD❑✌❏✿▼✽❚➢❩ ✗ P❘▲❍➡✤▼❖❯❱P❘▲✂⑥❍❯❱■✌❚❱❑✌➡✤▼❖●❈❯❱❲◆◗❍❑✦⑥❍❑⑦❚➢❩➥❳✔❩➭▼❖●❈❯❱➡✌❑✠⑥❍❯❱■✌❚❱❑✌➡✤▼❖●❈❯❱❲◆◗❍❑✎

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ǫM(E) = 1 − E2p

(E2 − jEEτ )

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τ■✌▲❍❑✌●❈⑤❘❯❱❑✦⑥❍❑⑦●❈❑✌❚➢❩★✂❍❩➭▼❖❯❱P❘▲✑⑥❍◗☎❳✗■✤▼✰❩❭❚

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ǫD(E) = 1 +5

∑

i=1

Ai

(E2i − E2) + jγiE

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0.2 0.4 0.6 0.8 1.2lambda en microns

1.46

1.48

1.52

1.54

indice de refraction

0.2 0.4 0.6 0.8 1.2lambda en microns

0.005

0.01

0.015

0.02

coefficientd’extinction

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0

5000

10000

15000

20000

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