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Facultad de Economía y Empresa
Microeconomía I
Prof. Carlos R. Pitta
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Resumen:
Requisitos Matemáticos
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Optimización
• Las teorías económicas asumen que un
agente se encuentra buscando el valor
óptimo de alguna función
– Los consumidores buscan maximizar su
utilidad
– Las firmas maximizar sus ganancias
• A continuación revisaremos las
matemáticas empleadas en este tipo de
problemas
___________________________________
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___________________________________
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Funciones de una Variable
• Ejemplo simple: El administrador de una firma quiere maximizar sus ganancias (π)
)(qf
= f(q)
Cantidad
*
q*
Ganancias
Máximas
* ocurren en q*
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Funciones de una Variable
• Variando q veremos dónde ocurre el
máximo beneficio
– Un incremento de q1 a q2 ocasiona un
incremento en
= f(q)
Cantidad
*
q*
1
q1
2
q2
0
q
___________________________________
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___________________________________
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Funciones de una Variable
• Si el producto se incrementa más allá de q*,
las ganancias caerán
– Un incremento de q* a q3 origina una caída en
= f(q)
Cantidad
*
q*
0
q3
q3
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Derivadas
• La derivada de = f(q) es el límite de
/q para cambios pequeños de q
h
qfhqf
dq
df
dq
dh
)()(lim 11
0
• Su valor dependerá del valor de q1
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Slide 8
Valor de una derivada en un punto
• El evaluar una derivada en el punto q =
q1 puede ser escrito como sigue:
1qqdq
d
• En nuestro ejemplo previo,
0
1
qqdq
d0
3
qqdq
d0
*qqdq
d
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Condición de Primer Orden para un Máximo
• Para que una función de una variable
alcance su máximo valor en un punto,
la derivada en ese punto debe ser cero:
0 *qq
dq
df
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 10
Condiciones de Segundo Orden• La Condición de Primer Orden (d/dq)
es una condición necesaria pero no
suficiente para conseguir un máximo
Cantidad
*
q*
Si la función de ganancias tuviera
forma de U, la CPO sugeriría
elegir q*, con lo que sería
minimizada
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 11
Condiciones de Segundo Orden
• Esto significa que, para que q* sea un
óptimo,
* para 0 qqdq
d
y * para 0 qq
dq
d
• En q*, d/dq debe ser decreciente
– La derivada de d/dq debe ser negativa en
q*
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 12
Segundas Derivadas
• La derivada de una derivada se llama
segunda derivada
• La segunda derivada puede ser escrita
como:
)(" or or 2
2
2
2
qfdq
fd
dq
d
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Condición de Segundo Orden
• La Condición de Segundo Orden para
representar un máximo local es:
0)("*
*
2
2
qfdq
d
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___________________________________
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 14
Reglas para Derivar
0 entonces constante, una es si 1. dx
dbb
)(')]([
entonces constante, una es Si 2. xbfdx
xbfdb
1 entonces constante, es Si 3. bb
bxdx
dxb
xdx
xd 1ln 4.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 15
Reglas para Derivar
aaadx
da xx
constante todapara ln 5.
– Un caso especial de esta regla es
dex/dx = ex
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___________________________________
___________________________________
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 16
Reglas para Derivar
)(')(')]()([
6. xgxfdx
xgxfd
)()(')(')()]()([
7. xgxfxgxfdx
xgxfd
• Suponga que f(x) y g(x) son dos
funciones de x y f’(x) y que g’(x) existe
• Entonces:
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 17
Reglas para Derivar
0)( que siempre
)(g
)(')()()(')(
)(
8.2
xg
x
xgxfxgxf
dx
xg
xfd
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 18
Reglas para Derivar
dz
dg
dx
df
dz
dx
dx
dy
dz
dy 9.
• si y = f(x) y x = g(z) y si tanto f’(x) como
g’(x) existen, entonces:
– Es la llamada regla de la cadena
– Nos permite estudiar cómo una variable (z)
afecta a otra variable (y) por medio de su
influencia en alguna variable intermedia (x)
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___________________________________
___________________________________
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___________________________________
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Slide 19
Reglas para Derivar
axaxaxax
aeaedx
axd
axd
de
dx
de
)(
)( 10.
• Algunos ejemplos de la Regla de la
Cadena
x
aaxdx
axd
)ax(d
axlnd
dx
axlnd 11)()()( 11.
xx
xdx
xd
xd
xd
dx
xd 22
1)(
)(
)][ln()][ln( 12.
2
2
2
22
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Slide 20
Ejemplo: Maximización de Ganancias
• Suponga que la relación entre ganancias
y producto es
= 1,000q - 5q2
• La CPO para un máximo es
d/dq = 1,000 - 10q = 0
q* = 100
• Dado que la segunda derivada siempre
es -10, q = 100 es un máximo global
(CSO se satisface)
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___________________________________
___________________________________
Slide 21
Funciones con varias variables
• La mayoría de los objetivos de los
agentes económicos dependen de
muchas variables
– Pues estamos sujetos a disyuntivas
• La dependencia de una variable (y) de
una serie de otras variables
(x1,x2,…,xn) se escribe como:
),...,,( nxxxfy21
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___________________________________
___________________________________
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Slide 22
• La derivada parcial de y con respecto a
x1 se escribe como:
Derivadas Parciales
1
11
ó ó ó 1
ffx
f
x
yx
– Al calcular las derivadas parciales, todas
las otras x’s se mantienen constantes
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Slide 23
• Una definición más formal de la
derivada parcial es:
Derivadas Parciales
h
x,...,x,xfx,...,x,hxflim
x
f nn
hxx n
)()( 2121
0...1 ,,2
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Slide 24
Calculando derivadas parciales
212
2
211
1
2
221
2
121
2
y 2
entonces ,),( Si 1.
cxbxfx
f
bxaxfx
f
cxxbxaxxxfy
2121
21
2
2
1
1
21
y
entonces ,),( Si 2.
bxaxbxax
bxax
befx
faef
x
f
exxfy
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 25
Calculando derivadas parciales
2
2
21
1
1
2121
y
entonces ,lnln),( Si 3.
x
bf
x
f
x
af
x
f
xbxaxxfy
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 26
Derivadas Parciales
• Las derivadas parciales son las
expresiones matemáticas del supuesto
ceteris paribus
– Muestran como los cambios en una
variable afectan el resultado cuando las
demás influencias son permanecen
constantes
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___________________________________
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___________________________________
___________________________________
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Slide 27
Elasticidad• Las Elasticidades miden el efecto
proporcional que el cambio en una
variable tiene sobre otra
– No tiene unidades
• La elasticidad de y con respecto a x es
y
x
x
y
y
x
x
y
x
x
y
y
e xy
,
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 28
Elasticidad y Forma Funcional
• Suponga que
y = a + bx + otros términos
• En este caso,
bxa
xb
y
xb
y
x
x
ye xy ,
• ey,x no es una constante
– Es importante recordar el punto en el cual
la elasticidad será calculada
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 29
Elasticidad y Forma Funcional
• Suponga que
y = axb
• En este caso,
bax
xabx
y
x
x
ye
b
b
xy
1
,
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Slide 30
Elasticidad y Forma Funcional
• Suponga que
ln y = ln a + b ln x
• En este caso,
xln
ylnb
y
x
x
ye x,y
• Las elasticidades pueden ser
calculadas a través de diferenciación
logarítmica
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___________________________________
Slide 31
Derivadas Parciales de 2do Orden
• Las derivadas parciales de una
derivada son llamadas derivadas
parciales de segundo orden
ij
ijj
i fxx
f
x
xf
2)/(
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Slide 32
Teorema de Young
• Bajo condiciones generales, el orden en
el cual se realiza la diferenciación
parcial no importa
jiij ff
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Slide 33
Uso de derivadas de 2do orden• Las derivadas parciales de segundo
orden juegan un papel muy importante
en muchas teorías económicas
• Uno de los más importantes es la
derivada parcial propia de segundo
orden, fii– Muestra cómo y/xi cambia a medida que
xi crece
– Si fii < 0, esto indica una eficacia marginal
decreciente
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Slide 34
Funciones de varias variables
• Suponga que un agente desea maximizar
y = f (x1,x2,…,xn)
• El cambio en y a partir de un cambio en x1
(manteniendo las otras x’s constantes) es
1111
dxfdxx
fdy
– El cambio en y es igual al cambio en x1
multiplicado por la pendiente (medida en la
dirección de x1)
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___________________________________
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Slide 35
Diferenciales Totales
• Suponga que y = f(x1,x2,…,xn)
• Si todas las x’s se mueven un pequeño
monto, el efecto total sobre y será:
n
n
dxx
fdx
x
fdx
x
fdy
...
2
2
1
1
nndxfdxfdxfdy ...2211
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Slide 36 Condiciones de Primer Orden (CPO)
para un máximo• Una condición necesaria para un máximo
de la función f(x1,x2,…,xn) es que dy = 0
para cualquier combinación de pequeños
cambios en las x’s
– Esto solo puede ocurrir si:
0...21 nfff
• Un lugar en donde esta condición se cumpla
Es llamado un punto crítico
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Slide 37 Condiciones de Segundo Orden
(CSO)
• Dicha condición no es suficiente para
asegurar un máximo
– Necesitamos examinar las derivadas parciales
de segundo orden de la función f
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Slide 38
Encontrando un máximo• Suponga que y es una función de x1 y x2
y = - (x1 - 1)2 - (x2 - 2)2 + 10
y = - x12 + 2x1 - x2
2 + 4x2 + 5
• La condición de primer orden indica que:
042
022
2
2
1
1
xx
y
xx
y
Es decir 2
1
2
1
*
*
x
x
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 39
Funciones Implícitas• Una función “explícita” que es mostrada
con una variable dependiente (y) como
una función de una o más variables
independientes (x) tal que
y = mx + b
puede ser escrita como una función
“implícita”
y – mx – b = 0
f(x,y,m,b) = 0
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___________________________________
Slide 40
Derivadas de Funciones Implícitas • Algunas veces será útil calcular
derivadas directamente a partir de
funciones implícitas sin resolver las
variables directamente
– El diferencial total de f(x,y) = 0 es
0 = fxdx + fydy
– Esto significa que:
y
x
f
f
dx
dy
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Slide 41 Frontera de Posibilidades de
Producción
• Ejemplo anterior: x2 + 0.25y2 = 200
• Puede reescribirse: f(x,y) = x2 + 0.25y2 - 200 = 0
• Dado que fx = 2x y fy = 0.5y, el costo de
oportunidad entre x e y es:
y
x
y.
x
f
f
dx
dy
y
x 4
50
2
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 42
Teorema de la Función Implícita
• Es posible que no siempre sea posible resolver
funciones implícitas de la forma g(x,y)=0 para
funciones explícitas únicas de la forma y = f(x)
– Las condiciones necesarias imponen restricciones
sobre las varias derivativas parciales de las funciones
– En muchas aplicaciones económicas, estas
condiciones son las mismas que las condiciones de
segundo orden para un máximo (o un mínimo)
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 43
Teorema de la Envolvente
• El Teorema de la Envolvente se refiere a
cómo cambios en el valor óptimo de la
función cambian cuando variamos un
parámetro de la función
– Esto es más fácil de ver usando un ejemplo
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___________________________________
___________________________________
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___________________________________
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___________________________________
Slide 44
Teorema de la Envolvente
• Suponga que y es una función de x
y = -x2 + ax
• Para diferentes valores de a, esta función
representa una familia de parábolas
invertidas
• Si se le asigna a a un valor específico,
entonces y se transforma en una función
de x solamente, y el valor de x que
maximiza y puede ser calculado
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 45
Teorema de la Envolvente
Valor de a Valor de x* Valor de y*
0 0 0
1 1/2 1/4
2 1 1
3 3/2 9/4
4 2 4
5 5/2 25/4
6 3 9
Valores óptimos de x e y para distintos valores de a
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 46
Teorema de la Envolvente
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7
a
y*
A medida que a se
incrementa, el valor
Máximo de y crece
La relación entre
a e y es
cuadrática
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 47
Teorema de la Envolvente
• Suponga que estamos interesados en
cuánto cambia y* a medida que a cambia
• Podemos averiguarlo de dos formas:
– Calculando la pendiente de y directamente
– Manteniendo constante a x en su valor
óptimo y calculando y/a directamente
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 48
Teorema de la Envolvente
• Para calcular la pendiente de la función,
debemos solucionar el valor óptimo de x
para cualquier valor de a
dy/dx = -2x + a = 0
x* = a/2
• Sustituyendo, tenemos
y* = -(x*)2 + a(x*) = -(a/2)2 + a(a/2)
y* = -a2/4 + a2/2 = a2/4
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 49
Teorema de la Envolvente
• Por lo tanto,
dy*/da = 2a/4 = a/2
• ¡Ahorramos tiempo usando el Teorema de
la Envolvente!
– Para cambios pequeños en a, dy*/da puede
ser calculado manteniendo x en x* y
calculando y/a directamente a partir de y
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 50
Teorema de la Envolvente
y/ a = x
• Manteniendo x = x*
y/ a = x* = a/2
• ¡Es el mismo resultado que encontramos
anteriormente!
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 51
Teorema de la Envolvente
• El cambio en el valor óptimo de una función
con respecto a un parámetro de esa
función puede ser encontrado derivando
parcialmente la función objetivo y
manteniendo constante x (o varias x’s) en
su valor óptimo
)}(*{*
axxa
y
da
dy
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 52
Teorema de la Envolvente
• Este resultado puede ser extendido al caso en donde y es una función de varias variables
y = f(x1,…xn,a)
• Encontrar un valor óptimo para y requiere
resolver n ecuaciones de primer orden
y/xi = 0 (i = 1,…,n)
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
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___________________________________
Slide 53
Teorema de la Envolvente
• Los valores óptimos para estas x’s serán entonces una función de a
x1* = x1*(a)
x2* = x2*(a)
xn*= xn*(a)
.
.
.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 54
Teorema de la Envolvente
• Sustituyendo en la función objetivo original
nos da el valor óptimo de y (y*)
y* = f [x1*(a), x2*(a),…,xn*(a),a]
• Al diferenciar tenemos:
a
f
da
dx
x
f
da
dx
x
f
da
dx
x
f
da
dy n
n
...
*2
2
1
1
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 55
Teorema de la Envolvente
• Debido a que las condiciones de primer
orden, todos los términos excepto f/a son
iguales a 0 si las x’s se encuentran en sus
valores óptimos
• Por lo tanto,
a
f
da
*dy
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 56
Maximización con restricciones
• ¿Qué pasaría si no todos los valores de x’s
están disponibles?
– Los valores de x puede necesitar ser > 0
– Las decisiones de un consumidor se encuentran
limitadas por su capacidad de compra
• Un método usado para resolver problemas de
Maximización con Restricciones es el
Multiplicador Lagrangeano
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 57 Método de los Multiplicadores de Lagrange
• Suponga que deseamos encontrar los
valores de x1, x2,…, xn que maximizan
y = f(x1, x2,…, xn)
sujetos a la restricción
g(x1, x2,…, xn) = 0
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 58 Método de los Multiplicadores de Lagrange
• El método del Multiplicador
Lagrangeano comienza escribiendo la
expresión:
ℒ = f(x1, x2,…, xn ) + g(x1, x2,…, xn)
– es llamado un Multiplicador Lagrangeano
• Cuando la restricción es operativa, ℒ = f
– g(x1, x2,…, xn) = 0
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 59 Método de los Multiplicadores de Lagrange
• Condiciones de Primer Orden
ℒ /x1 = f1 + g1 = 0
ℒ /x2 = f2 + g2 = 0
.
ℒ /xn = fn + gn = 0
.
.
ℒ / = g(x1, x2,…, xn) = 0
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 60 Método de los Multiplicadores de Lagrange
• Las Condiciones de Primer Orden, por lo
general, pueden ser resueltas para x1,
x2,…, xn y
• La solución tendrá dos propiedades:
– los x’s obedecerán a la restricción
– estos x’s incrementarán los valores de ℒ (y
por lo tanto de f) tanto como sea posible
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 61 Método de los Multiplicadores de Lagrange
• El Multiplicador Lagrangeano () tiene
una importante interpretación económica
• Las Condiciones de Primer Orden
implican que:
f1/-g1 = f2/-g2 =…= fn/-gn =
– Los numeradores fi miden el beneficio
marginal de una unidad más de xi
– Los denominadores gi reflejan el peso
adicional de la restricción al usar más xi
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Slide 62 Método de los Multiplicadores de Lagrange
• En los valores óptimos de xi’s, el
cociente del beneficio marginal al costo
marginal de xi debería ser el mismo
para todo xi
• es el cociente costo-beneficio para
todo xi
i
i
x
x
de marginal costo
de marginal beneficio
___________________________________
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Slide 63 Método de los Multiplicadores de Lagrange
• Si la restricción es relajada ligeramente,
no importará qué xi cambia
• provee una medida de cómo la
relajación de la restricción afectará a y
– Provee un “precio sombra” a la restricción
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Slide 64 Método de los Multiplicadores de Lagrange
• Un valor de alto indica que cada xi
tiene un alto cociente costo-beneficio
• Un valor de bajo indica que cada xi
tiene un bajo cociente costo-beneficio
• = 0 implica que la restricción no es
operativa
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Slide 65
Dualidad
• Cualquier problema de Maximización
con Restricciones tiene un problema
dual en minimización restringida
– Lo que focaliza la atención sobre las
restricciones del problema original
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Slide 66
Dualidad
• Los individuos maximizan su utilidad
sujeto a una restricción presupuestaria
• Problema Dual: los individuos minimizan
sus gastos para lograr un determinado
nivel de utilidad
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Slide 67
Dualidad
• Las firmas minimizan los costos de los
insumos para producir un nivel
determinado de producto
• Problema Dual: Las firmas maximizan el
producto para un nivel dado de costo de
los insumos comprados
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Slide 68
Maximización con Restricciones
• Suponga que un granjero tiene cierto largo
de una tela metálica para cercar (P) y
desea cercar la mayor área rectangular
posible
– sean x e y los largos de los lados
• Problema: escoja x e y para maximizar el
área (A = x·y) sujeto a la restricción de
que el perímetro está fijo en P = 2x + 2y
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Slide 69
Maximización con Restricciones
• Escribiendo el Multiplicador Lagrangeano:
ℒ = x·y + (P - 2x - 2y)
• Las Condiciones de Primer Orden para un máximo son
ℒ /x = y - 2 = 0
ℒ /y = x - 2 = 0
ℒ / = P - 2x - 2y = 0
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Slide 70
Maximización con Restricciones
• Dado que y/2 = x/2 = , x debe ser igual a
y
– el campo cercado debe ser cuadrado
• Dado que x = y e y = 2, podemos usar la
restricción para deducir qué:
x = y = P/4
= P/8
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Slide 71
Maximización con Restricciones
• Interpretación del Multiplicador
Lagrangeano
– que un metro adicional de cerca agregaría
P/8 al área total
– El Multiplicador Lagrangeano provee
información acerca del valor implícito de la
restricción
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Slide 72
Maximización con Restricciones
• Problema Dual: escoja x e y para
minimizar el monto de cerca requerida
para cercar el área
minimizar P = 2x + 2y
sujeto a A = x·y
• Escribiendo el Lagrangeano:
ℒ D = 2x + 2y + D(A - xy)
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Slide 73
Maximización con Restricciones
• Condiciones de Primer Orden:
ℒ D/x = 2 - D·y = 0
ℒ D/y = 2 - D·x = 0
ℒ D/D = A - x·y = 0
• Resolviendo, tenemos
x = y = A1/2
• El Multiplicador Lagrangeano (D) = 2A-1/2
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Slide 74
Teorema de la Envolvente &
Maximización con Restricciones
• Suponga que queremos maximizar
y = f(x1,…,xn;a)
sujeto a la restricción
g(x1,…,xn;a) = 0
• Una manera de resolver es escribir la
expresión Lagrangeano y resolver las
Condiciones de Primer Orden
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Slide 75
Teorema de la Envolvente &
Maximización con Restricciones
• Por otra parte, podemos mostrar que
dy*/da = ℒ /a(x1*,…,xn*;a)
– El cambio en el valor máximo de y a partir de
un cambio en a puede ser encontrado
derivando parcialmente ℒ y evaluando la
derivada parcial en el punto óptimo
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Slide 76
Restricciones de Desigualdad
• En algunos problemas económicos las
restricciones no se satisfacen exactamente
• Suponga que queremos maximizar
y = f(x1,x2) sujeto a
g(x1,x2) 0,
x1 0, y
x2 0
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Slide 77
Restricciones de Desigualdad
• Una manera de resolver este problema
es introducir tres nuevas variables (a, b,
y c) para convertir las desigualdades en
igualdades
– Para asegurarnos que las desigualdades
serán satisfechas, elevaremos al cuadrado
estas nuevas variables para asegurar que
sus valores son > 0
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Slide 78
Restricciones de Desigualdad
g(x1,x2) - a2 = 0;
x1 - b2 = 0; y
x2 - c2 = 0
• Cualquier solución que cumpla estas 3
restricciones de igualdad también
cumplirá con las Restricciones de
Desigualdad
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Slide 79
Restricciones de Desigualdad
• Ahora podemos escribir el Lagrangeano
ℒ = f(x1,x2) + 1[g(x1,x2) - a2] + 2[x1 - b2] +
3[x2 - c2]
• Y habrá 8 Condiciones de Primer Orden
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Slide 80
Restricciones de Desigualdad
ℒ /x1 = f1 + 1g1 + 2 = 0
ℒ /x2 = f1 + 1g2 + 3 = 0
ℒ /a = -2a1 = 0
ℒ /b = -2b2 = 0
ℒ /c = -2c3 = 0
ℒ /1 = g(x1,x2) - a2 = 0
ℒ /2 = x1 - b2 = 0
ℒ /3 = x2 - c2 = 0
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Slide 81
Restricciones de Desigualdad
• De acuerdo con la tercera condición, ya
sea a ó 1 deben ser 0
– si a = 0, la restricción se cumple g(x1,x2)
exactamente
– si 1 = 0, la disponibilidad de cierta
holgura en la restricción implica que su
valor para la función objetivo es 0
• Relaciones similares de holgura
complementaria también aplicarán para
x1 y x2
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Slide 82
Restricciones de Desigualdad
• Éstos resultados son llamados las
condiciones de Kuhn-Tucker
– muestran que las soluciones a problemas
que involucran Restricciones de
Desigualdad diferirán de aquellas que
involucran restricciones de igualdad en
varios aspectos importantes
• Nos permite trabajar primordialmente con
restricciones que involucran desigualdades
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Slide 83
Condiciones de Segundo Orden -Funciones de una Variable
• Sea y = f(x)
• Una condición necesaria para un máximo
es que
dy/dx = f ’(x) = 0
– para asegurar que el punto es un máximo, y
debe ser decreciente para cualquier
movimiento que se aleje de el
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Slide 84
Condiciones de Segundo Orden -Funciones de una Variable
• El diferencial total mide el cambio en y
dy = f ’(x) dx
– para estar en un máximo, dy debe decrecer
para todo pequeño incremento de x
– para ver los cambios en dy, debemos usar la
segunda derivada de y
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Slide 85
Condiciones de Segundo Orden -Funciones de una Variable
– dado que d 2y < 0 , f ’’(x)dx2 < 0
– dado que dx2 debe ser > 0, f ’’(x) < 0
• Esto significa que la función f debe tener
una figura cóncava en el punto crítico
22 )(")("])('[
dxxfdxdxxfdxdx
dxxfdyd
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Slide 86
Condiciones de Segundo Orden -Funciones de DOS Variables
• Suponga que y = f(x1, x2)
• Las CPO para un máximo son:
y/x1 = f1 = 0
y/x2 = f2 = 0
– para asegurar que un punto es un máximo, y
debe disminuir para movimientos en cualquier
dirección que se aleje del punto crítico
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Slide 87
Condiciones de Segundo Orden -Funciones de DOS Variables
• f1 y f2 deben ser decrecientes en el punto
crítico
• También debemos aplicar condiciones en
las derivadas parciales cruzadas (f12 = f21)
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Slide 88
Condiciones de Segundo Orden -Funciones de DOS Variables
• El diferencial total de y está dado por:
dy = f1 dx1 + f2 dx2
• El diferencial total de dicha función es:
d 2y = (f11dx1 + f12dx2)dx1 + (f21dx1 + f22dx2)dx2
d 2y = f11dx12 + f12dx2dx1 + f21dx1 dx2 + f22dx2
2
• Por el teorema de Young, f12 = f21 y
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2
2
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Slide 89
Condiciones de Segundo Orden -Funciones de DOS Variables
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2
2
• Para que esta ecuación sea < 0 para
cualquier dx1 y dx2 , f11 y f22 deben ser
negativos
• Si ocurre que ni dx1 ni dx2 son 0, entonces
d 2y será < 0 solo si
f11 f22 - f122 > 0
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Slide 90 Maximización con
Restricciones• Suponga que queremos escoger x1 y x2
para maximizar
y = f(x1, x2)
• sujeto a una restricción lineal
c - b1x1 - b2x2 = 0
• Podemos escribir el Lagrangeano:
ℒ = f(x1, x2) + (c - b1x1 - b2x2)
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Slide 91
Maximización con Restricciones
• Las Condiciones de Primer Orden son
f1 - b1 = 0
f2 - b2 = 0
c - b1x1 - b2x2 = 0
• Para asegurar que tenemos un máximo,
debemos usar la “segunda” diferencial
total
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2
2
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Slide 92
Maximización con Restricciones
• Solo valores de x1 e x2 que satisfacen las
restricciones pueden ser considerados
como alternativas válidas al punto crítico
• Debemos calcular el diferencial total de
la restricción
-b1 dx1 - b2 dx2 = 0
dx2 = -(b1/b2)dx1
– estos son cambios relativos permitidos en x1
e x2
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Slide 93
Maximización con Restricciones
• Dado que las CPO implican que f1/f2 =
b1/b2, tenemos
dx2 = -(f1/f2) dx1
• Dado que
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2
2
podemos sustituir por dx2 y tener
d 2y = f11dx12 - 2f12(f1/f2)dx1
2 + f22(f12/f2
2)dx12
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Slide 94
Maximización con Restricciones
• Combinando dichos términos y
arreglando, tenemos
d 2y = f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f1
2 [dx12/ f2
2]
• Por lo tanto, para d 2y < 0, debe ser
cierto que:
f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f1
2 < 0
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Slide 95
Maximización con Restriccionesf11 f2
2 - 2f12f1f2 + f22f12 < 0
• Esta ecuación caracteriza a un conjunto de
funciones llamadas cuasi-cóncavas
– dos puntos cualesquiera dentro del conjunto
pueden ser unidos por una línea contenida
completamente en el set
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Slide 96
Funciones Cóncavas y Cuasi-Cóncavas
• Las diferencias entre funciones
cóncavas y cuasi-cóncavas pueden ser
ilustradas mediante la función
y = f(x1,x2) = (x1x2)k
Donde x1 > 0, x2 > 0, y k > 0
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Slide 97
Funciones Cóncavas y Cuasi-Cóncavas
• Sin importar el valor que k tome, esta
función es cuasi-cóncava
• PERO, dependiendo del valor de k, la
función será cóncava o no
– si k < 0.5, la función es cóncava
– si k > 0.5, la función es convexa
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Slide 98
Funciones Homogéneas
• Se dice que una función f(x1,x2,…xn) es
homogénea de grado k si
f(tx1,tx2,…txn) = tk f(x1,x2,…xn)
– cuando k = 1, aumentar al doble todos sus
argumentos doblará el valor de la función
misma
– cuando k = 0, doblar todos sus argumentos
dejará el valor de la función sin cambios
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Slide 99
Funciones Homogéneas
• Si una función es homogénea de grado
k, las derivadas parciales de la función
serán homogéneas de grado k-1
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Slide 100
Teorema de Euler
• Si derivamos la definición de
homogeneidad con respecto al factor de
proporción t, obtenemos
ktk-1f(x1,…,xn) = x1f1(tx1,…,txn) + … + xnfn(x1,…,xn)
• Esta relación es llamada el Teorema de
Euler
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Slide 101
Teorema de Euler
• Para una función homogénea, existe
una relación definida entre el valor de
la función y el valor de sus derivadas
parciales
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Slide 102
Funciones Homotéticas
• Una función homotética es aquella
formada al tomar una transformación
monótona creciente de una función
homogénea
– en general no poseen las características
de homogeneidad de las funciones
generadoras
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Slide 103
Funciones Homotéticas
• Tanto para Funciones Homogéneas
como para Funciones Homotéticas, la
disyuntiva implícita entre las variables
en la función depende solamente de las
razones de dichas variables, y no de
sus valores absolutos
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Slide 104
Funciones Homotéticas
• Suponga que examinamos la función de
dos variables f(x,y) = 0
• El intercambio implícito entre x e y para
una función de dos variables es:
dy/dx = -fx/fy
• Si asumimos que f es homogénea de
grado k, sus derivadas parciales serán
homogéneas de grado k-1
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Slide 105
Funciones Homotéticas
• El intercambio implícito entre x e y es:
),(
),(
),(
),(1
1
tytxf
tytxf
tytxft
tytxft
dx
dy
y
x
y
k
x
k
• Si t = 1/y,
1
1
,
,
y
xf
y
xf
dx
dy
y
x
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Slide 106
Funciones Homotéticas
• El intercambio no se ve afectado por
una transformación monotónica y
permanece como función solamente de
la razón de x a y
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