METROLOGIA ELECTRICA para electromecanica

GRADO EN INGENIERA ELCTRICA

Determinacin de las incertidumbres de medida Adenda (tema 6)

2012-2013

Metrologa Elctrica

Dr. Manuel Valcrcel Fontao

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIN A DISTANCIA

Metrologa Elctrica. Adenda. Curso 2012/2013 2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

INDICE

1. INTRODUCCION .............................................................................................................. 3

2. IDEAS GENERALES Y DEFINICIONES ........................................................................ 4

3. PLANTEAMIENTO GENERAL ....................................................................................... 6

4. EVALUACIN DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDIDA DE LAS ESTIMACIONES DE ENTRADA ..................................................................................... 8

5. CLCULO DE LA INCERTIDUMBRE TPICA DE LA ESTIMACIN DE SALIDA ............................................................................................................................ 10

6. INCERTIDUMBRE EXPANDIDA DE MEDIDA .......................................................... 10

7. PROCEDIMIENTO, PASO A PASO, PARA EL CLCULO DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDIDA. ................................................................................. 11

ANEXO A. GLOSARIO DE ALGUNOS TRMINOS UTILIZADOS ................................. 12

ANEXO B. FUENTES DE INCERTIDUMBRE DE MEDIDA ............................................. 14

ANEXO C. EJERCICIOS ........................................................................................................ 15

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1. INTRODUCCION

Esta Adenda aborda uno de los aspectos de tipo general que afectan a todas las medidas, tanto elctricas, como de otras magnitudes, que es el clculo de la incertidumbre de la medida.

La determinacin de las incertidumbres de medida tiene como objeto determinar en

cunto nos equivocamos, cada vez que se realiza una medida, para as poder establecer el intervalo de confianza donde razonablemente se encuentra el verdadero valor de la medicin.

Para ilustrar este problema, a continuacin se plantea el caso de la medida de la

temperatura ambiente de una sala. El caso parece sencillo, pues a cualquiera se le ocurre utilizar un termmetro y leer el valor que alcanza.

Sin embargo, desde el punto de vista metrolgico hay que formularse las preguntas

siguientes:

a) se conoce cmo mide el termmetro? b) se conoce con qu resolucin se puede leer el termmetro? c) se sabe si est cambiando la lectura? d) se utiliza correctamente el termmetro?. Si se sujeta con la mano, se est

calentando? e) La humedad relativa de la habitacin cambia mucho, se tiene en cuenta cmo

afecta esto al termmetro? f) importa en qu parte de la habitacin pongo el termmetro? g) se mide una nica vez o varias?

Todas estas preguntas tienen su respuesta y su influencia en el valor de la medicin, de manera ms o menos importante. Algunas de las cuestiones parecen sencillas, aunque conviene ser cautos, para poder obtener las respuestas adecuadas. As, a continuacin se relacionan los aspectos/criterios/fenmenos para poder tenerlos en cuenta a) cmo mide el termmetro?: depende de:

Su forma constructiva (bulbo, digital, etc.). Exactitud. Deriva con el tiempo.

b) con que resolucin puedo leer el termmetro? Si es digital puede ser con dcimas de grado, por ejemplo: una lectura de 23,4 C

supone un redondeo de todos los valores desde 23,35C hasta 23,45C. Si es analgico influye la vista del operador. Tener en cuenta que siempre existe un redondeo al registrar un valor numrico.

c) cmo vara la lectura? Debido a la variacin de la temperatura en la sala.


Por la variacin de las caractersticas propias del termmetro. Por otras influencias: modo de sujetarlo.

d) Se est calentado al sujetarlo con la mano? Para evaluar el efecto se puede sujetar con un soporte, dejarlo estabilizar y

comparar los resultados. Se puede formar al tcnico explicando la forma en que debe sujetar el termmetro. Se puede cambiar el mtodo de medida. En todo caso evaluar la influencia del operador.

e) cmo afecta la humedad relativa de la habitacin? Afectar sobre todo a las sondas y medidores electrnicos. El fabricante del termmetro deber estudiar como afecta la HR a la indicacin del

termmetro. En todo caso se deber valorar la influencia del entorno, por ejemplo debido a las

magnitudes de influencia siguientes: - Gravedad local - Tensin de alimentacin, en su caso.

- Presin - Flujo de aire. - Etc. - Vibraciones.

f) est definido el punto donde se debe medir la temperatura? La altura y el lugar de la sala donde site el termmetro influir en el resultado de

la medida. Tambin influir el momento, ya que habr variaciones ms o menos cclicas. En todos los casos se debe definir lo ms precisamente posible el mensurando. Existir una fuente de incertidumbre por este motivo.

g) una nica vez o varias?

Cuantas ms medidas se obtendr una mejor estimacin del valor de la medida. Las respuestas a estas preguntas, traducidas convenientemente a su valor numrico,

conformarn el intervalo donde podremos esperar que se encuentre el verdadero valor de la medicin, con un cierto grado de confianza.

2. IDEAS GENERALES Y DEFINICIONES

Como primera idea fundamental, hay que tener en cuenta por tanto que el resultado completo de una medicin consiste en el valor estimado del mesurando (X) y la incertidumbre expandida asociada (U). La expresin de la medicin se expresar como:

X U

El valor estimado (X) se obtendr de la lectura de los aparatos de medida (en el caso

de medidas directas), de los clculos derivados de varias lecturas, etc.. Ser el valor ledo (en caso de una nica lectura) o el valor medio de las medidas realizadas cuando haya varias lecturas. En otros casos X se obtendr de la medida de varias magnitudes combinando los resultados de estas medidas segn una funcin determinada.


La incertidumbre es el intervalo (realmente el semiintervalo) donde se encuentra el verdadero valor de X, en las condiciones de la medicin.

La determinacin de la incertidumbre (U) requiere un estudio detallado, que es el

objeto de esta Unidad Didctica. Segn lo sealado anteriormente, el resultado de la medida de la temperatura de la sala

del ejemplo sera:

X U

Donde: X = media de las medidas realizadas U = incertidumbre resultante de la combinacin de las fuentes de

incertidumbre antes sealadas, que no son ms que los valores numricos de los factores sealados como a) a g) del ejemplo.

La medida ser mejor cuanto ms pequeo sea el intervalo alrededor de X, esto es,

cuanto menor sea su incertidumbre U. Esto se consigue gracias a valores pequeos en los factores a) a g) del ejemplo o, en otras palabras, valores pequeos en las incertidumbres debidas a dichos factores, cuya composicin de lugar a una U pequea.

Es un tpico problema ingenieril tomar decisiones sobre la calidad de la medicin,

pues a menudo es un compromiso entre el valor de la incertidumbre que podamos asumir y las acciones a tomar para reducirla.

Por ejemplo, cuanto mejor sea el aparato de medida (factor a)), su incertidumbre

propia ser menor, como tambin su deriva con el tiempo. La resolucin del aparato (factor b)) tambin contribuye de manera muy efectiva en la calidad de la medicin. La variacin del mensurando (factor c)) es ms difcil de disminuir, dado que en muchas ocasiones no se puede actuar sobre el mismo. El factor d), es la influencia del operador (de la persona que maneja el aparato y efecta la medicin) cabe mejorarlo mediante la formacin, experiencia y conocimiento. Las magnitudes de influencia (factor e)) contribuyen de manera muy diferente a la incertidumbre de la medida y, en muchas ocasiones no resulta posible evitar su influencia; en cada caso es preciso analizar detenidamente cules afectan a la medida. Tambin es importante, sobre todo en un caso como el del ejemplo, definir bien la medicin (factor f)), pues la medicin de una sala depender del lugar exacto de la misma y de la variacin o estratificacin de la temperatura posible de una parte a otra de la misma. Finalmente, la repeticin de las medidas (factor g)) resulta una de las medidas ms efectivas para reducir la incertidumbre: cuantas ms medidas se hagan, su incertidumbre ser menor.

Por otra parte, con respecto a la expresin anterior valor de la incertidumbre que

podamos asumir, cabe sealar que en muchas ocasiones la realizacin de las mediciones tiene como objetivo saber si el valor del mensurando est dentro o no de unos lmites dados. Por ejemplo, saber si el calentamiento de unos devanados de un transformador superan o no un valor lmite dado. A menudo estos lmites se denominan tolerancia de la medida.

En la figura siguiente se representan las distintas situaciones que pueden presentarse

respecto a los lmites inferior y superior de una tolerancia de una medida. El valor obtenido se representa mediante los tramos verticales, donde el rombo es el valor de la medida y los dos


tramos por encima y por debajo de dicho punto representan la incertidumbre correspondiente.

caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 caso 5 En los casos 1 y 5 el resultado es claro: en el caso 1 el valor de la medida est dentro

de la tolerancia y en el 5 est claramente fuera. Los casos de dudas son los tres casos intermedios, en los que la incertidumbre condiciona el cumplimiento o no de la tolerancia, por cuanto si se consigue disminuirla, se podr estar en las mismas condiciones que los casos 1 5.

Todo lo anterior condiciona la eleccin del aparato de medida, su utilizacin, la persona que ejecuta la medida, las magnitudes de influencia, la repeticin de la medida, etc. de manera que la incertidumbre de la medida permita comparar el valor de la medida con la tolerancia de la misma. 3. PLANTEAMIENTO GENERAL

Como se ha indicado, la expresin del resultado de una medicin est completa slo cuando contiene tanto el valor atribuido al mensurando como la incertidumbre de medida asociada a dicho valor. En el presente documento, todas las magnitudes que no se conocen exactamente se tratan como variables aleatorias, incluso las magnitudes de influencia que pueden afectar al valor medido.

La incertidumbre de medida es un parmetro, asociado al resultado de una medicin, que caracteriza la dispersin de los valores que pueden atribuirse razonablemente al mensurando. En el presente documento, se utilizar el trmino abreviado incertidumbre en lugar de incertidumbre de medida siempre que no exista el riesgo de equvocos. El Anexo B contiene una lista de las fuentes tpicas de incertidumbre en una medicin.

Los mensurandos son las magnitudes particulares objeto de una medicin. En calibracin, es frecuente que slo se disponga de un mensurando o magnitud de salida Y, que depende de una serie de magnitudes de entrada Xi (i =1, 2, ..., N), de acuerdo con la relacin funcional siguiente, que se denomina funcin modelo:

),...,,( 21 NXXXfY = (2.1)

La funcin modelo f representa el procedimiento de medicin y el mtodo de

evaluacin. Describe cmo se obtienen los valores de la magnitud de salida Y a partir de los valores de las magnitudes de entrada.

Lmite superior

Lmite inferior


En medidas directas de magnitudes, en las que no interviene ms que la propia

magnitud en cuestin, la magnitud de entrada y la de salida es la misma y, por tanto: Y = X. Como ejemplo de funcin que combina dos magnitudes de entrada est el caso de la medida de potencia absorbida por una resistencia en cc a partir de la tensin y la intensidad; en este caso la funcin modelo Y sera el producto de las dos magnitudes de entrada Xi (V e I) y por tanto, tendr la expresin siguiente: IVP = .

En la mayora de los casos, la funcin modelo corresponde a una sola expresin analtica, pero en otros casos se necesitan varias expresiones de este tipo que incluyan correcciones y factores de correccin de los efectos sistemticos, en cuyo caso existe una relacin ms complicada que no se expresa explcitamente como una funcin. Es ms, f puede determinarse experimentalmente, existir slo como un algoritmo de clculo que deba ser numricamente evaluado, o ser una combinacin de todo ello.

El conjunto de magnitudes de entrada Xi puede agruparse en dos categoras, segn la forma en que se haya calculado el valor de la magnitud y la incertidumbre asociada al mismo:

- magnitudes cuyo valor estimado y cuya incertidumbre asociada se determinan directamente en la medicin. Estos valores pueden obtenerse, por ejemplo, a partir de una nica observacin, observaciones reiteradas o juicios basados en la experiencia. Pueden exigir la determinacin de correcciones de las lecturas del instrumento y de las magnitudes de influencia, como la temperatura ambiental, la presin baromtrica o la humedad relativa;

- magnitudes cuyo valor estimado e incertidumbre asociada se incorporan a la medicin

desde fuentes externas, tales como magnitudes asociadas a patrones de medida calibrados, materiales de referencia certificados o datos de referencia obtenidos de manuales.

Una estimacin del mensurando Y, la estimacin de salida expresada por y, se obtiene

de la ecuacin (2.1) utilizando las estimaciones de entrada xi como valores de las magnitudes de entrada Xi

),...,,( 21 Nxxxfy = (2.2)

(como se observa, se utiliza la notacin en maysculas cuando se trata de la magnitud y en minsculas cuando se trata del valor numrico de la misma).

Se supone que los valores de entrada xi son las mejores estimaciones (valores medios de las medidas realizadas: media aritmtica o el promedio, en el caso de varias lecturas) o la lectura obtenida (en el caso de una nica lectura) de la magnitud Xi..

As, suponiendo el caso de que la magnitud de entrada Xi sea medida repetidas veces,

tendr el valor Q. Con n (n >1) veces (observaciones estadsticamente independientes), el valor estimado de la magnitud es q , la media aritmtica o el promedio de todos los valores observados q j (j =1, 2, ..., n)


jqn

jnq

1

1

== (2.3)

Para calcular el intervalo de confianza se utiliza la desviacin tpica experimental de

la media aritmtica de las medidas, que proporciona una medida de la dispersin de los valores. Esta desviacin tpica se calcula a partir de la varianza de las mismas.

La expresin de la varianza s2(q) de los valores qj es la siguiente:

)(11

1)(2 qjqn

jnqs

== (2.4)

Su raz cuadrada se denomina desviacin tpica experimental. La mejor estimacin de la varianza de la media aritmtica q es la varianza experimental de la media aritmtica, que tiene el valor siguiente:

nqsqs )()(

22 = (2.5)

Su raz cuadrada positiva se denomina desviacin tpica experimental de la media

aritmtica. Finalmente, la incertidumbre tpica u(q) asociada a la estimacin de entrada q es la

desviacin tpica experimental de la media:

)()( qsqu = (2.6) La incertidumbre tpica de medida asociada a la estimacin de salida o al resultado de

la medicin y, expresada por u(y), es la desviacin tpica del mensurando Y. Se determina a partir de los valores estimados xi de las magnitudes de entrada Xi (estos valores estimados sern sus valores medios segn (2.3) en el caso de varias lecturas) y sus incertidumbres tpicas asociadas u(xi).

La incertidumbre tpica asociada a un estimado tiene la misma dimensin que ste. En algunos casos, puede utilizarse la incertidumbre tpica relativa de medida, que es

la incertidumbre tpica de medida asociada a un estimado dividida por el mdulo de dicho estimado y, por consiguiente, es adimensional. Este concepto no es aplicable cuando el estimado es igual a cero. 4. EVALUACIN DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDIDA DE LAS

ESTIMACIONES DE ENTRADA

La incertidumbre de medida asociada a las estimaciones de entrada se evala utilizando uno de los siguientes mtodos: Tipo A o Tipo B.


La evaluacin Tipo A de la incertidumbre tpica es el mtodo de evaluar la incertidumbre mediante el anlisis estadstico de una serie de observaciones. En este caso, la incertidumbre tpica es la desviacin tpica experimental de la medida (expresiones 2.4 a 2.6).

La evaluacin Tipo B de la incertidumbre tpica es el mtodo de evaluar la

incertidumbre mediante un procedimiento distinto al anlisis estadstico de una serie de observaciones. En este caso, la estimacin de la incertidumbre tpica se basa en otros conocimientos cientficos.

La evaluacin Tipo B de la incertidumbre tpica es la evaluacin de la incertidumbre asociada a un estimado xi de una magnitud de entrada Xi por otros medios distintos al anlisis estadstico de una serie de observaciones. La incertidumbre tpica u(xi) se evala aplicando un juicio cientfico basado en toda la informacin disponible sobre la posible variabilidad de Xi. Los valores que caigan dentro de esta categora pueden derivarse de:

Datos de certificados de calibracin de los equipos de medida utilizados. Valores adoptados de manuales tcnicos o tablas de reconocida solvencia. Datos de medidas previas. Especificaciones fiables de fabricantes de los equipos de medida. Conocimiento y experiencia con los mensurandos y los sistemas de medida

implicados. Valores recomendados asociados a la utilizacin de buenas prcticas de laboratorio

o normas.

Cada uno de estos aspectos tendr su incertidumbre asociada, aunque es frecuente que en muchos de ellos el valor sea despreciable o simplemente desconocido. En la tabla siguiente se recogen varios de los aspectos anteriores con su valor de incertidumbre y tipo de distribucin.

ASPECTO TIPO DE DISTRIBUCIN INCERTIDUMBRE Incertidumbre de calibracin, U, (con nivel de confianza

del 95%). Normal U /2

Intervalo de tolerancia de un equipo de medida de valor1

T Rectangular 3T

Resolucin de un equipo de medida, R Rectangular 32

R

Intervalo de amplitud T alrededor de un valor medio Triangular 6T

Tabla 3.1.

1 En ocasiones se utiliza coloquialmente el trmino precisin para referirse al lmite de tolerancia T del instrumento de medida.


5. CLCULO DE LA INCERTIDUMBRE TPICA DE LA ESTIMACIN DE SALIDA

Para el clculo de la incertidumbre tpica de la estimacin de salida de la funcin

),...,,( 21 Nxxxfy = (4.1)

se utiliza la ley de propagacin de incertidumbres:

)(22

1

2i

xX

N

i iy xuX

fuii ==

= (4.2) Se definen coeficientes de sensibilidad los factores siguientes:

ii xXii X

fc=

= (4.3)

Por lo que la expresin (4.2) se convierte en la siguiente:

)(21

22i

N

iiy xucu

== (4.4)

El valor de la incertidumbre de la medida es la raz cuadrada de la expresin anterior. Las expresiones anteriores se pueden considerar aceptables siempre que la funcin de

salida sea aproximadamente lineal, y siempre que adems las magnitudes de entrada Xi sean independientes unas de otras. Aunque se trata de una simplificacin, a efectos de esta asignatura se considera que se darn ambas circunstancias en todos los casos.

6. INCERTIDUMBRE EXPANDIDA DE MEDIDA

En el mbito de los laboratorios de calibracin se obtiene una incertidumbre expandida de medida U, que se calcula multiplicando la incertidumbre tpica u(y) de la estimacin de salida y por un factor de cobertura k.

U = k u(y) (5.1)

Este factor k ampla (extiende) la incertidumbre calculada y proporciona el nivel de confianza con el que se expresa el valor de incertidumbre. El nivel de confianza normalizado para el valor de la incertidumbre expandida es del 95 %.

Como se estudiar en la asignatura de estadstica, este factor podr tener distintos

valores segn el tipo de distribucin estadstica a la que se asocie el mensurando o funcin de salida. Lo ms habitual es considerar que se cumplen las condiciones del teorema central del lmite y que el mensurando presenta una distribucin normal (gausiana) en la que k=2 supone una probabilidad de cobertura de, aproximadamente, un 95%,


Cuando la incertidumbre asociada a la magnitud de salida no siga una distribucin normal, el factor de cobertura k ser distinto de 2 (puede ser mayor o menor). 7. PROCEDIMIENTO, PASO A PASO, PARA EL CLCULO DE LA

INCERTIDUMBRE DE MEDIDA. A continuacin, se ofrece una gua para la aplicacin prctica del presente documento:

a) Definir la funcin modelo. Cuando se trate de la medicin de una magnitud (X) de lectura directa, la funcin modelo ser Y = X + C (donde C representa la correccin a aplicar al instrumentoque, en algunos casos puede ser nula) Hay que tener en cuenta que es necesario que en la funcin modelo aparezcan todas las magnitudes de influencia (incluso aquellas cuyo mejor estimador es nulo) ya que aunque no intervienen en el clculo de la magnitud de salida, aportan incertidumbre. En el caso general, se tendr una funcin modelo del tipo de la expresin (2.1).

b) Determinar la incertidumbre tpica de las magnitudes de entrada.

As, para cada una de las magnitudes:

Se tendrn incertidumbres de tipo A cuando se efecten varias lecturas de una misma magnitud de entrada (expresiones 2.4 a 2.6).

Se tendrn incertidumbres de tipo B resultantes de los distintos elementos y aspectos que intervienen en la medicin: aparatos de medida, condiciones de la misma, etc. segn la tabla 3.1.

c) Determinar la incertidumbre combinada, a partir de la aplicacin de la ley de

propagacin de incertidumbres (expresin 4.4). d) Determinacin de la incertidumbre expandida, segn la expresin 5.1.


ANEXO A. GLOSARIO DE ALGUNOS TRMINOS UTILIZADOS

A1 media aritmtica :suma de valores dividido por el nmero de valores. A2 capacidad ptima de medida: incertidumbre de medicin ms pequea que puede conseguir un laboratorio para una determinada magnitud en condiciones ideales de medicin, dentro del alcance de su acreditacin. A3 correlacin : relacin entre dos o ms variables aleatorias dentro de una distribucin de dos o ms variables aleatorias. A4 coeficiente de correlacin : medida de la dependencia relativa mutua de dos variables aleatorias, igual a su covarianza dividida por la raz cuadrada positiva del producto de sus varianzas. A5 covarianza : medida de la dependencia mutua de dos variables aleatorias, igual al valor esperado del producto de las desviaciones de las dos variables aleatorias con respecto a sus respectivos valores esperados. A6 factor de cobertura : factor numrico utilizado como multiplicador de la incertidumbre tpica de medida para obtener una incertidumbre expandida de medicin. A7 probabilidad de cobertura : fraccin, generalmente grande, de la distribucin de valores que como resultado de una medicin, pueden atribuirse razonablemente al mensurando. A8 desviacin tpica experimental : raz cuadrada positiva de la varianza experimental A9 incertidumbre expandida: magnitud que define un intervalo en torno al resultado de una medicin que puede esperarse que incluya una fraccin grande de la distribucin de los valores que pueden atribuirse razonablemente al mensurando. A10 varianza experimental : magnitud que caracteriza la dispersin de los resultados de una serie de n observaciones del mismo mensurando dada por la ecuacin (3.2) del texto. A11 estimacin de entrada : valor estimado de una magnitud de entrada utilizado en la evaluacin del resultado de una medicin. A12 magnitud de entrada : magnitud de la que depende el mensurando y que se tiene en cuenta en el proceso de evaluar el resultado de una medicin. A13 mensurando : magnitud concreta objeto de la medicin. A14 estimacin de salida : resultado de una medicin calculado por la funcin modelo a partir de las estimaciones de entrada.


A15 magnitud de salida : magnitud que representa al mensurando en la evaluacin de una medicin. A16 estimacin combinada de la varianza: valor estimado de la varianza experimental obtenido de una larga serie de observaciones del mismo mensurando en mediciones bien caracterizadas y bajo control estadstico. A17 distribucin de probabilidad : funcin que da la probabilidad de que una variable aleatoria adopte cualquier valor o pertenezca a un determinado conjunto de valores. A18 variable aleatoria: variable que puede adoptar cualquier valor de un determinado conjunto de valores y que est asociada a una distribucin de probabilidad. A19 incertidumbre tpica relativa de medicin: incertidumbre tpica de una magnitud dividida por el valor estimado de dicha magnitud. A20 coeficiente de sensibilidad asociado a una estimacin de entrada: variacin diferencial en la estimacin de salida generada por una variacin diferencial en una estimacin de entrada dividida por la variacin en la estimacin de entrada. A21 desviacin tpica : raz cuadrada positiva de la varianza de una variable aleatoria. A22 incertidumbre tpica : incertidumbre de medida expresada como desviacin tpica. A23 Mtodo de evaluacin Tipo A mtodo de evaluacin de la incertidumbre de medida por anlisis estadstico de una serie de observaciones. A24 Mtodo de evaluacin Tipo B mtodo de evaluacin de la incertidumbre de medida por otro medio diferente al anlisis estadstico de una serie de observaciones. A25 incertidumbre de medida parmetro, asociado al resultado de una medicin, que caracteriza la dispersin de los valores que pueden atribuirse razonablemente al mensurando. A26 varianza: valor esperado del cuadrado de la desviacin de una variable aleatoria con respecto al valor esperado.


ANEXO B. FUENTES DE INCERTIDUMBRE DE MEDIDA B1. La incertidumbre del resultado de una medicin refleja la falta de un conocimiento completo del valor del mensurando. Un conocimiento completo exigira una cantidad infinita de informacin. Los fenmenos que contribuyen a la incertidumbre y, por tanto, al hecho de que el resultado de una medicin no pueda ser caracterizado con un nico valor, se denominan fuentes de incertidumbre. En la prctica, pueden existir muchas fuentes de incertidumbre en una medicin, entre ellas las siguientes:

a. definicin incompleta del mensurando; b. realizacin imperfecta de la definicin del mensurando; c. muestreo no representativo - la muestra medida no representa el mensurando

definido d. efectos no adecuadamente conocidos de las condiciones ambientales o

mediciones imperfectas de las mismas; e. desviaciones personales en la lectura de instrumentos analgicos; f. lmites en la discriminacin o resolucin del instrumento; g. valores inexactos de los patrones y materiales de referencia utilizados en la

medicin; h. valores inexactos de constantes y otros parmetros obtenidos de fuentes

externas y utilizados en el algoritmo para la obtencin de datos; i. aproximaciones e hiptesis incorporadas en el mtodo y el procedimiento de

medicin; j. variaciones en observaciones repetidas del mensurando realizadas en

condiciones aparentemente idnticas. B2 Estas fuentes no son necesariamente independientes. Algunas de las fuentes (a) - (i) pueden contribuir a (j).


ANEXO C. EJERCICIOS Ejercicio 1. Para medir la intensidad en una rama de un circuito se efectuaron las cuatro medidas siguientes: 3,42; 3,88; 2,99 y 3,17 A. Determinar:

La mejor estimacin del resultado del ensayo. La estimacin de la desviacin tpica experimental de una medida. La estimacin de la desviacin tpica experimental de la media. El resultado de la medida y su incertidumbre tpica.

Suponer que el ampermetro utilizado tiene una exactitud muy grande en comparacin con la variacin de las lecturas. Solucin: La mejor estimacin del resultado del ensayo es el valor medio: Desviacin tpica experimental: Desviacin tpica experimental de la media: Resultado de la medida: Ejercicio 2. Se conoce que la mejor estimacin de una medida de tensin es: U=106 V con unos lmites mximos de variacin de 1V, que siguen en cada caso una distribucin de probabilidad distinta. Calcular la incertidumbre tpica tipo B para cada uno de los casos siguientes:

a) distribucin normal con el 95%. b) distribucin normal con el 99%. c) distribucin triangular d) distribucin rectangular

Solucin:

a) u(U)=1/2 = 0,5 V b) u(U)=1/2,5 = 0,4 V

Ai 365,34

17,399,288,342,3 =+++=

Anisis i 193,0

4386,0)()( ===

Aiin

isi

ii 386,0)(11)(

4

1

2 == =

Ai )193,0365,3( =


c) u(U)=1/ 6 = 0,41 V d) u(U)=1/ 3 = 0,58 V

Ejercicio 3. Para la realizacin de una medida de tensin en cc, se han efectuado las mediciones siguientes:

lectura n Valor (V) 1 10,11 2 10,13 3 10,14 4 10,21 5 10,18

Se ha utilizado un voltmetro, cuyas caractersticas son las siguientes: tolerancia = 0,3 % de la lectura; y de su certificado de calibracin resulta que tiene un 0,5 % de incertidumbre expandida (k=2). Calcular el resultado de la medicin. Solucin: La funcin modelo es )()( 21 VVVV media ++= Por lo tanto, se tiene un nico coeficiente de sensibilidad = 1 (expresin 4.3). El valor medio de las cinco lecturas es = 10,154 V. Tambin se obtiene de manera inmediata las cantidades siguientes: Varianza = 0,00163; Desviacin tpica experimental:

Desviacin tpica experimental de la media:

Magnitud Fuente Valor de la

incertidumbre en %

Valor de la incertidumbre

en (V) factor

Vmedia

Tipo A

0,04037 51

1(V) Tolerancia (tipo B) 0,3 % 0,030462 31 2V) Certificado de calibracin (tipo B) 0,5 % 0,05077

Vnvsvs i 1778,0

504037,0)()( ===

Vvvn

vsi

ii 04037,0)(11)(

5

1

2 == =


Aplicando la ley de propagacin de incertidumbres, se calcula la incertidumbre

combinada:

La incertidumbre expandida ser: U (V) = 2. 0,0358 = 0,072 V

El valor final buscado ser: V = 10,154 0,072 V Ejercicio 4. Se trata de determinar la potencia elctrica consumida por un juguete (que funciona en cc) mediante medida de la tensin (V) y de la corriente consumida (I). Se obtienen los resultados siguientes: V=12,05 voltios u(V)=1,0% I=1,005 A u(I)=1,0% La impedancia interna del voltmetro es muy alta de forma que para los valores de incertidumbre del problema se puede considerar que I=I. Calcular la incertidumbre tpica asociada a la medida de potencia u(P). Solucin: La funcin modelo es: P = V . I

V=12,05 voltios I=1,005 A u(V)=1,0%= 0,1205voltios u(I)=1,0%= 0,01005 A P= V. I = 12,11 W

VVU 0,03585

04037,03

030462,02

05077,0)(222

=

+

+

=

V

A I I

V

WPWPu

dosustituyenIuVVuIPu

IuIPVu

VPPu

)17,011,12(17,0)(

)()()(

)()()(

22222

22

22

2

==

+=

+

=


lectura n Valor (V)1 12,072 12,023 12,044 12,075 12,06

lectura n Valor (I)1 1,0062 1,0023 1,0044 1,0065 1,0066 1,004

lectura n Valor (A) valor % valor FACTOR Valor en % en valor (A)1 1,006 uA= 0,0016 n 0,0664 0,00072 1,002 u tolerancia (0,4 %)= 0,4 0,0040 3 0,2309 0,00233 1,004 u calibr (0,9 %)= 0,9 0,0090 1/2 0,4500 0,00454 1,006 u combinada= 0,51 0,0055 1,006 u expandida= 1,02 0,010256 1,004

Valor medio = 1,005Varianza= 2,66667E-06

desv tpica= 0,0016

Datos Valor de la incertidumbre

lectura n Valor (V) valor % en valor FACTOR Valor en % en valor (V)1 12,07 uA= 0,0217 n 0,0804 0,009702 12,02 u tolerancia (0,3 %)= 0,3 0,0362 3 0,1732 0,020873 12,04 u calibr (0,5 %)= 0,5 0,0603 1/2 0,2500 0,030134 12,07 u combinada= 0,315 0,037925 12,06 u expandida= 0,629 0,07583

Valor medio = 12,05Varianza= 0,00047

desv tpica= 0,0217

Datos Valor de la incertidumbre

Ejercicio 5. Sobre el esquema del ejercicio anterior, calcular la incertidumbre tpica asociada a la medida de potencia u(P). A tal efecto, se han efectuado las lecturas que se recogen en las tablas adjuntas, con los aparatos cuyas caractersticas se incluyen seguidamente: Lecturas con el ampermetro: Lecturas con el voltmetro:

Caractersticas del ampermetro: Caractersticas del voltmetro: Tolerancia = 0,4 % Tolerancia = 0,3 % Incertidumbre de calibracin= 0,9 % Incertidumbre de calibracin= 0,5 % Solucin. Medida de intensidad

Medida de tensin


Potencia = P = U I = 12,11 W

------------- 0 -------------

WPWPu

dosustituyenIuVVuIPu

IuIPVu

VPPu

)15,011,12(15,0)(

)()()(

)()()(

22222

22

22

2

==

+=

+

=

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METROLOGIA ELECTRICA para electromecanica