Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej

Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej

Rozwiązywanie równań Rozwiązywanie równań różniczkowychróżniczkowych

Równanie różniczkowe rzędu n

0,...,,,, nyyyyxf

Wzór ogólny

Cel rozwiązania równania różniczkowego

Matematyk: rozwiązanie analityczne w postaci funkcji

Inżynier: rozwiązanie w postaci w postaci wwartościartości funkcji funkcji dla kolejnych zmiennych niezależnych, czyli zbiór par (x1, y1), (x2,y1),...,(xn, yn) kiedy dana jest funkcja f(x, y, y', y",..,y(n)

)=0

Warunki początkowe

Zagadnienie początkoweZagadnienie początkowe

Zagadnienie brzegoweZagadnienie brzegowe

Warunki początkowe

Zagadnienie początkoweZagadnienie początkowe – wszystkie równania warunków początkowych podane są dla tej samej zmiennej niezależnej

02

2

bydt

dya

dt

yd

Warunki początkowe:

0t 00

tdt

dy 00 ty

Np. dla równania:

Warunki początkowe

Zagadnienie brzegoweZagadnienie brzegowe –równania warunków początkowych podane są dla co najmniej dwóch wartości zmiennej niezależnej

02

2

bydx

dya

dx

yd

Warunki brzegowe:

0x 00

xdx

dy 110 xy

Np. dla równania:

10xi

0x 00 xy 110 xy10xilub

Równania wyższych rzędów

Przekształca się do układów równań rzędu pierwszego

02

2

bydt

dya

dt

ydNp. w równaniu:

zdt

dy

podstawmy:

stąd:

dt

dz

dt

yd

2

2


zdt

dy

byazdt

dz0

Otrzymujemy układ równań pierwszego rzędu:

Równania wyższych rzędówDla równanie trzeciego rzędu

02

2

3

3

cydt

dyb

dt

yda

dt

yd

zdt

dy

02

2

cybzdt

dza

dt

zd


zdt

dy

0 cybzaxdt

dx

xdt

dz

Równanie trzeciego rzędu przechodzi w układ 3 równańpierwszego rzędu

Metody rozwiązywania r.r.

1.1. Metody wielokrokoweMetody wielokrokowe: yi+1 oblicza się na podstawie znanych yi, yi-1, yi-2,.., yi-p. Do wyliczenia punktu (xi+1, yi+1) wymagana jest wymagana jest znajomość znajomość p+p+11 punktów punktów obliczonych wcześniej

2.2. Metody klasy Rungego-KuttyMetody klasy Rungego-Kutty: yi+1 oblicza się na podstawie yi i pewnych wartości pośrednich F(xi+a, yi+b), gdzie

a należy do przedziału <0, h>b oblicza się wg algorytmu danej metody

Metoda Eulera

yxfdx

dy,

yxfh

y

x

y,

z warunkami początkowymi 0xx

00yy xx

hOyxfh

yyii

ii ,1

21 , hOyxhfyy iiii

II rząd

00 , yx 1y hxx 01, 2y hxx 12,

Metoda Eulera dla równań 2-go rzędu

dx

dyyxf

dx

yd,,

2

2

z warunkami początkowymi

0xx 00

yy xx

0

0

ydx

dy

xx

zyxfdx

dz

zdx

dy

,,

z warunkami początkowymi

0xx

00yy xx

00yz xx

Metoda Eulera dla równań 2-go rzędu

11

1

,, zyxhfzz

hzyy

iiii

iii

00

0

0

zy

y

x

1

1

01

z

y

hxx

2

2

12

z

y

hxx

Metody wielokrokoweTypy

1. Wykorzystujące wzory na wartość pochodnej w punkcie

2. Wykorzystujące wzory całkowania numerycznego

Zasada metod wielokrokowych

xi-p xi-3 xi-2 xi-1 xi xi+1

Metody wielokrokowe typ 1.

Pochodną w równaniu:

yxFy ,

Podstawia się odpowiednim wyrażeniem. Jeżeli zastosować najprostszy wzór na pochodną:

21 , hOyxhFyy iiii

Po podstawieniu:

m. Eulera

hOh

yyy ii

i

1

i przekształceniu:

hOh

yyyxF ii

ii

1,

Metody wielokrokowe typ 1.Jeżeli zastosować dokładniejszy wzór na pochodną:

311 ,2 hOyxhFyy iiii

Po podstawieniu:

2112

1hOyy

hy iii

2112

1, hOyy

hyxF iiii

i przekształceniu:

Metody wielokrokowe typ 1.Jeszcze większą dokładność otrzyma się stosując wzór:

4211 ,3

2

13

2

3hOyxhFyyyy iiiiii

Po podstawieniu:

3112 236

6

1hOyyyy

hy iiiii

iiiiii yxFhOyyyyh

,2366

1 3112

i przekształceniu:

Metody wielokrokowe typ 1.Podsumowanie

4211 ,3

2

13

2

3hOyxhFyyyy iiiiii

311 ,20 hOyxhFyyy iiiii

211 ,0 hOyxhFyyy iiiii

iipipiiii yxFbyayayayay ,... 1221101

Ogólny wzór metod wielokrokowych Ogólny wzór metod wielokrokowych jawnychjawnych


11

,i

pi

i

pi

dxyxFdxy

yxFy ,

Opierając się na operacji całkowania równania:

W granicach przedziału <i-p, i+1>

Lewa strona jest dokładnie równa różnicy wartości funkcjimiędzy punktami i-p, i+1:

1

1 ,i

pi

pii dxyxFyy

Metody wielokrokowe typ 2.Prawą stronę oblicza się całkując numerycznie jednąz metod.

1

1 ,i

i

ii dxyxFyy

Jeżeli zastosować metodę prostokątów to p = 0

21 ,, hOyxhFdxyxFyy ii

hx

x

ii

i

i

21 , hOyxhFyy iiii

m. Eulera!!

Metody wielokrokowe typ 2.Jeżeli zastosować metodę trapezów to p = 0

3111 ,,

2, hOyxFyxF

hdxyxFyy iiii

hx

x

ii

i

i

Równanie to jest Równanie to jest uwikłane zeuwikłane ze

względu na względu na yyii+1+1..

3111 ,,

2hOyxFyxF

hyy iiiiii

Metody takie nazywane są Metody takie nazywane są niejawnyminiejawnymi


Ponieważ ii yxF , to wartość pochodnej w punkcie i

Można ją oznaczyć iy , co upraszcza zapis

311 2

hOyyh

yy iiii

Metodę wielokrokową bazującą na całkowaniu metodą trapezów można ostatecznie zapisać

Rozwiązanie wymaga wykonania obliczeń iteracyjnych(w przypadku ogólnym)


1. Wstępne oszacowanie wartości yi+1.

2. Obliczenie pochodnej y'i+1=F(xi+1, yi+1)

3. Obliczenie yi+1 z wyprowadzonego wzoru

4. Porównanie oszacowanej i obliczonej wartości yi+1 . Jeżeli różnią się o więcej niż założona wartość to powrót do punktu 2.

Metody oparte o wzory całkowe mają większą dokładność niż bazujące na równaniach na

obliczenie pochodnych

Metody wielokrokowe typ.2

Stosując wzór całkowy Simpsona (p = 1)

511

1

1

1

1

43

, hOyyyh

dxyxFdxy iii

i

i

i

i

51111 4

3hOyyy

hyy iiiii

Otrzymuje się wzór niejawny

Metody wielokrokowe typ.2 podsumowanie

001 iii yhyy p=0

1001 22 iiii yh

yh

yy p=0

1111 33

4

3 iiiii yh

yh

yh

yy p=1

10111 ... ipippippii ybybybyy

Metody wielokrokowe wzór ogólny

ipipiiii ybyayayayay 1221101 ...

pipiipipiii ybybybyayayay ....... 1101101

Jest to ogólny wzór na metody wielokrokoweb0 = 0 to wzór jest jawny, b0 0 wzór jest niejawny

10111 ... ipippippii ybybybyy

Metody wielokrokowe dwuetapowe

Pierwszy krok można wykonać stosując metodę jawną opartą o wzory na pochodną. Np.:

1. 311 ,2* hOyxhFyy iiii

Pierwsze przybliżenie y*i+1 jest nazywane PROGNOZĄ(PREDICTOR)2. Obliczenie pochodnej y'i+1=F(xi+1 , y*i+1 )

3. Lepsze przybliżenie yi+1

311 2

hOyyh

yy iiii

Nazywane korektą (uściśleniem) - CORRECTOR

Punkty 2. i 3. powtarzane są iteracyjnie. Warunek zakończenia obliczeń iteracyjnych można

przedstawić następująco:

Ten sposób obliczeń nazywany jest Ten sposób obliczeń nazywany jest metodą predictor-corrector. metodą predictor-corrector.

Przedstawiona metoda nosi nazwę zmodyfikowanej metody Eulera

nki

ki hyy

1

11

Metody wielokrokowe dwuetapowe

Metoda Milne'a (1)

Metody wielokrokowe predictor-corrector

52131 22

3

4hOyyy

hyy iiiii

Prognoza:

Korekta:

51121 239

8

1hOyyyhyyy iiiiii

Metoda Milne'a (2)


7432151 1114261411

10

3hOyyyyy

hyy iiiiiii

Prognoza:

Korekta:

7321131 73212327

45

2hOyyyyyhyy iiiiiii

Wzory Adamsa


53211 9375955

24hOyyyy

hyy iiiiii

Prognoza (Adamsa-Bashfortha):

Korekta (Adamsa-Moultona):

52111 5199

24hOyyyy

hyy iiiiii

Obliczanie punktów początkowych w metodach wielokrokowych

Stosując metody wielokrokowe mamy dany warunek początkowy typu zagadnienie początkoweczyli współrzędne punktu początkowego x0 i y0.

Aby wykonać obliczenia metodą o pewnej wartości p potrzeba jeszcze p par xi, yi. Np. W pierwszej metodzie Milne'a p = 3. Pierwszą wartość jaką możemy obliczyć jest y4 a innym sposobem trzeba obliczyć y1, y2, y3.

Można wykorzystać rozwinięcie w szereg Taylora w otoczeniu punktu x0.

.......24

1

6

1

2

1 40

440

330

2200 yhiyhiyhiyihyihxyyi

Stabilność i zbieżność obliczeń

x0

y0

x1

y1

x2

y2 Y

x3

y3

Zbieżność oznacza, że:

xYhxyh

,lim0

h

Stabilność i zbieżność obliczeńWe wszystkich wzorach błąd jest dodatnią potęgą kroku:

hh 2

1

Ponieważ krok jest bardzo mały h << 1oraz

nn hh 2

1

nn hOhO

21

Przedstawione metody spełniają warunek zbieżności.

stąd

Stabilność i zbieżność obliczeńDefinicja stabilności

Rozwiązanie numeryczne równania różniczkowego jest Rozwiązanie numeryczne równania różniczkowego jest stabilne, jeżeli błąd wniesiony do obliczeń przez stabilne, jeżeli błąd wniesiony do obliczeń przez zaokrąglenie lub metodę zostanie w trakcie obliczeń zaokrąglenie lub metodę zostanie w trakcie obliczeń stłumiony lub rośnie wolniej od obliczonych wartości (błąd stłumiony lub rośnie wolniej od obliczonych wartości (błąd względny maleje)względny maleje)


Stabilność, tak jak zbieżność, zależy od kroku.

Błąd k-tego kroku obliczeń numerycznych to suma błędów metody i zaokrąglenia:

kz

km

k eee

h

ce zk

z 1 nm

km hce


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

błąd zaokrągleniabłąd m etodybłąd wypadkowy

hopt

Algorytm rozwiązywania równań różniczkowych metodą jawną O(h3)

1. Czytaj parametry punktów startowych x0, y0, x1, y1

2. Czytaj końcową wartość xk i krok h3. Podstaw za i wartość 2

5. Oblicz yi = yi-2+2hF(xi-1, yi-1)

6. Zwiększ i o 1

4. Oblicz xi = x0+i*h

7. Oblicz xi = x0+i*h8. Jeżeli xi <= xk to idź do punktu 59. Podstaw za n wartość i-110. Podstaw za i wartość 011. Drukuj xi oraz yi

14. Koniec

12. Zwiększ i o 113. Jeżeli i<=n to idź do punktu 11

Algorytm rozwiązywania równań różniczkowych metodą typu predictor-corrector

1. Czytaj parametry punktów startowych x0, y0, x1, y1

2. Czytaj końcową wartość xk oraz krok h3. Podstaw za i wartość 1

5. Oblicz yi+1 = yi-1+2hF(xi, yi)

7. Oblicz iiiii yxFyxFhyy ,*,2/ 11

8. Jeżeli |y* – yi+1|>h3 to idź do punktu 6

9. Zwiększ i o 1

4. Oblicz xi+1 = x0+(i+1)*h

10. Oblicz xi+1 = x0+(i+1)*h11. Jeżeli xi+1 <= xk to idź do punktu 5

6. Przyjmij y*= yi+1

Algorytm rozwiązywania równań różniczkowych metodą typu predictor-corrector

12. Podstaw za n wartość i-1

13. Podstaw za i wartość 0

14. Drukuj xi oraz yi

17. Koniec

15. Zwiększ i o 116. Jeżeli i<=n to idź do punktu 14

Documents

Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej