Witamy !Witamy !

Zapraszamy do obejrzenia prezentacji na temat :

Twierdzenia matematyczne, o których warto pamiętać.

Pola figur Pola figur płaskichpłaskich

W naszym otoczeniu jest wiele figur płaskich. Praktycznie wszystko, co nas otacza, składa się z figur płaskich. Wystarczy się tylko dobrze rozejrzeć.

KWADRATPole kwadratu możemy obliczyć z wzoru:

P=a2

a

a

ProstokątPole prostokąta jest równe iloczynowi jego wymiarów.

P=a*b

TrójkątZnając długość boku trójkąta i wysokość opuszczoną na

ten bok możemy obliczyć jego pole korzystając ze wzoru :

P= ha21

a

h

bc

.

Jeśli mamy podane boki trójkąta lecz nie znamy jego wysokości, to pole możemy obliczyć, że Wzoru Herona:

Równoległobok

Pole równoległoboku obliczamy, mając daną długość boku i odpowiadającą mu wysokość.

Wzór: P=a*h

a

bh

.

Romb

h

a

.

22d1d

1

1

² ²

TrapezObliczając pole trapezu musimy mieć dane długości

podstaw oraz jego wysokość.

Wzór:

h

a

b

.

Deltoid Obliczając pole deltoidu musimy mieć dane długości

dwóch przekątnych.

Wzór: P=2

2d

1d

d

d

1

2

.

KołoPole koła jest równe:

P=πr2

π- w przybliżeniu 3,14

r - promień koła

r

A teraz kilka zadań, byś mógł sprawdzić swoją wiedzę

oraz pamięć.

Zadanie 1Narysuj kwadrat o boku równym 4 cm. Oblicz jego pole. Dane: Szukane:a= 6 cm P= ?

4cm 4cm

P=a2

P=42

P=16 cm2

Odp : Pole kwadratu wynosi 16 cm2

Zadanie 2Obwód kwadratu wynosi 64 cm. Oblicz ile wynosi bok tego kwadratu

oraz ile wynosi jego pole. Dane : SzukaneOb= 64 cm P= ?

a= ?

Ob= 4*aa= 64/4a=16 P=a2

P= 162

P=256 cm2

Odp: Bok tego kwadratu wynosi 16 cm ,a jego pole 256 cm2

Zadanie 3Narysuj prostokąt którego boki wynoszą 5 cm i 6 cm. Oblicz jego pole.

Dane: Szukane : a= 5 cm P= ? b= 6 cm

5cm 6cmP=a*bP=5*6P=30 cm2

Odp: Pole tego prostokąta wynosi 30 cm2

Zadanie 4

Pole prostokąta wynosi 70 cm2 . Jeden bok ma 7 cm. Oblicz ile wynosi drugi bok tego prostokąta.

Dane: Szukane:

P= 70cm2 b= ?

a= 7cm Sprawdzenie:

P= a*b P=a*b

702 =7*b P=7*10

b=70/7 P=70 cm2

b=10cmOdp : Bok prostokąta wynosi 10 cm .

Zadanie 5

Podstawa trójkąta wynosi 4 cm, zaś wysokość opuszczona na tą podstawę ma 10 cm. Oblicz pole tego trójkąta i narysuj go.

Dane : Szukane:

a=4cm P = ?

h=10cm

P=1/2 a*h

P=1/2*4*10

P=20cm2

Odp : Pole tego trójkąta wynosi 20cm2

Zadanie 6

Narysuj trójkąt o wymiarach a=6 cm, zaś h=10cm. Oblicz jego pole.

Dane : Szukane:

a=6cm P= ?

h=10cm

P=1/2 a*h

P=1/2*6*10

P=30cm2

Odp: Pole tego trójkąta wynosi 30cm2

Zadanie 7 Oblicz pole równoległoboku, którego wymiary to a=6cm,

h=7cm.Dane: Szukane:

a=6cm P= ?

h=7cm

P=a*h

P=6*7

P=42cm2

Odp : Pole równoległoboku wynosi 42cm2

Zadanie 8

Oblicz pole równoległoboku którego wymiary to a=10cm i h=7 cm. Narysuj ten równoległobok.

Dane: Szukane:

a=10cm P = ?

h=7cm

P=a*h

P=10*7

P=70cm2

Odp : Pole tego równoległoboku wynosi 70cm2

Zadanie 9

Wymiary rombu to a=10cm i h=7cm. Narysuj i oblicz pole tego rombu.

Dane: Szukane:

a=10cm P= ?

h=7cm

P=a*h

P=10*7

P=70cm2

Zadanie 10

Przekątne rombu wynoszą równo 7 i 9 cm. Oblicz pole tego rombu.

Dane: Szukane:

e=7cm P= ?

f=9cm

P=e*f/2

P=7*9/2

P=31,5 cm2

Odp : Pole rombu wynosi 31,5 cm2

Zadanie 11

Narysuj trapez o wymiarach a=6, b=10, h=12.

a=6cm

b=10cm

h=12cm

Zadanie 12

Przekątne deltoidu wynoszą 10 i 12 cm. Oblicz jego pole.

Dane: Szukane :

e=10cm P = ?

f=12cm

P=e*f/2

P=10*12/2

P=60cm 2

Odp: Pole deltoidu wynosi 60cm 2

Zadanie 13

Pole deltoidu wynosi 30 cm2 zaś jedna z przekątnych 10 cm. Oblicz ile wynosi druga przekątna. Narysuj ten deltoid.

Odpowiedz:

P= 30 cm2 f=6

e=10cm Sprawdzenie:P=e*f/2 P=e*f/2=10*6/2

30=10*f/2 P=30 cm2

30=5*f

f=30/5

Zadanie 14

Promień koła wynosi 10 cm. Narysuj te koło i oblicz ile wynosi jego pole.

Dane: Szukane:

r=10cm P= ?

P=πr2

P102π

P=100 π

Odp: Pole koła wynosi 100 π

Zadanie 15

Obwód prostokąta wynosi 24 cm. Jeden z jego boków jest trzy razy większy od drugiego. Oblicz boki i pole tego prostokąta. Dane: Szukane:x-długość  jednego boku| 3 cm a= ?3x-długość drugiego boku | 3cm *3=9 cm b= ?

x+x+3x+3x = 248x=24 | :8x=3

P= ?

Zadanie 15

P = a * bP = 3 cm * 9 cm

P = 21 cm2

Odp :Boki tego prostokąta wynoszą 9 cm i 3 cm a pole 21 cm2

Twierdzenie Twierdzenie PitagorasaPitagorasa

PitagorasPitagoras- matematyk i filozof grecki, żył w VI –V wieku p.n.e.

Był założycielem słynnej szkoły pitagorejskiej, twórcą kierunku filozoficzno-religijnego nazywanego pitagoreizmem. Pitagorejczycy szczególnie znaczenie przypisywali liczbom. Ich mottem było : „wszystko jest liczbą”. Od pitagorejczyków pochodzi podział na liczby parzyste i nieparzyste. Opracowali również teorię wraz z twierdzeniem o sumie kątów trójkąta, czworokąta i wielokątów foremnych. Pitagorejczycy odkryli wiele właściwości liczb i można ich uznać za twórców początków teorii liczb. Oto słynne twierdzenie Pitagorasa :

Twierdzenie Pitagorasa

TWIERDZENIE

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości przeciwprostokątnej c jest równy sumie kwadratów

długości jego przyprostokątnych a i b.

Zadanie1Oblicz długość przeciw prostokątnej trójkąta prostokątnego jeżeli długości jego przyprostokątnych są równe 15 cm i 20 cm

Rozwiązanie :

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie odwrotne do twierdzenie Pitagorasa

Jeżeli kwadrat długości najdłuższego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, to ten trójkąt jest prostokątny.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenie PitagorasaZadanie 2 :

Oblicz długość jednej przyprostokątnej jeżeli dana jest długość przeciw prostokątnej i długość drugiej przyprostokątnej : a = 13 cm , b = 12cm

Rozwiązanie :

Twierdzenie odwrotne do twierdzenie Pitagorasa

Zadanie3Oblicz długość przekątnej kwadratu którego obwód jest równy 28 cm. Szukane:Rozwiązanie d= ? Ob. = 28 cma = 28 cm : 4= 7 cmKorzystamy ze wzoru na przekątną kwadratu

Odp : Przekątna kwadratu ma długość cm

Zadanie 4 :Oblicz promień okręgu wpisanegow trójkąt równoboczny o boku 10 cm

Rozwiązanie:korzystamy ze wzoru na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a .

_____ 6 6

____ __

Kwadrat sumy:

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożeniaKwadrat różnicy:

Wzory skróconego mnożeniaRóżnica kwadratów:

Zadanie 1.Oblicz :

(20+3) = 20 +2*20*3+3=400+120+9=529 (30-1) =30 -2*30*1+1=900-60+1=841 (30+2) =30 +2*30*2+2=900+120+4=1024 (20-1) =20 -2*20*1+1=400-40+1=361

Do wykonania tych zadań skorzystaliśmy z kwadratu sumy i kwadratu różnicy.

Zadanie 2. Dane iloczyny przekształć na sumy:

a). (x-4) * (x+4)= x -4

b). (4x-2y) * (4x+2y)=4x -2y

c). (3ax+b) * (3ax-b)=3ax -b

Zadanie 3. Dane sumy przekształć na iloczyny :

a). 2 - a = (2-a)*(2+a)

b). xz - 5 =(xz-5)*(xz+5)

c). 7 – 4x =(7-4x)*(7+4x)

Przekształcanie wzorówOto kilka przykładowych przekształceń

wzorów.

V= s: t | *t

V* t= sAby otrzymać wzór potrzebny do obliczenia s, należy:

1. Pomnożyć obustronnie przez t.

2. Po stronie gdzie znajduje się V powstaje potrzebne działanie, a po drugiej to co jest nam potrzebne.

Przekształcanie wzorów

F= m * g | :g

F : g= m

Aby przekształcić ten wzór tak aby otrzymać m, należy:

1.Podzielić obustronnie przez g, gdyż we wzorze F= m *g jest mnożenie.

2. Powstaje nam potrzebny wzór na obliczenie m.

Przekształcanie wzorów

a= V : t | *t

a * t= V

Aby obliczyć V z tego wzoru, należy:

1. Pomnożyć obustronnie przez t, ponieważ w tym wzorze występuje dzielenie .

2. Powstaje potrzebny wzór.

Przekształcanie wzorów

p= F : S | * S

p * S= F

Aby przekształcić wzór tak, aby obliczyć F, należy:

1. Pomnożyć obustronnie przez S.

2. Powstały wzór służy do obliczenia F.

QUIZ

1.Kto sformułował twierdzenie o trójkątach prostokątnych ? :

a) Pitagorasab) Euklidesc) Kartezjusz

QUIZ

Poprawna odpowiedź to

a

QUIZ2. Jaki jest wzór na pole równoległoboku ? :

a) (a+b) :2 b) P = a+ bc) P=a*h

Poprawna odpowiedź to :

c

QUIZ

QUIZ

3.Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów to :

a)

b)

c)

QUIZ

Poprawna odpowiedz to :

b

QUIZ

4.Suma miar kątów wewnętrznych trójkątajest równa :

a) 180° b) 360° c) 150°

QUIZPoprawna odpowiedź to

a

QUIZ5 .Obwód prostokąta wynosi 24 cm. Jeden z jego

boków jest trzy razy większy od drugiego. Oblicz boki i pole tego prostokąta

a) 3 cmb) 5 cm c ) 2 cm

QUIZPoprawna odpowiedź to

a

QUIZ6. Ile wynosi długość jednej przyprostokątnej jeżeli dana jest długość przeciw prostokątnej i długość drugiej przyprostokątnej : a = 13 cm , b = 12cm ?

a) 10 cmc) 3 cmd) 5 cm

Poprawna odpowiedź to :

c

QUIZ

Źródła

Podręcznik do matematyki „ Z Pitagorasem przez gimnazjum 2 ”

Autorzy

Pracę wykonali:

Anna Krajewska

Andżelika Krajewska

Kinga Kuskowska

Kamil Jachymowski

Dziękujemy.