Un aporte sobre mtodos para Resolucin del SEL

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.

Los mtodos deigualacin,sustitucinyreduccinconsisten en encontrar y resolver, para cada una de las incgnitas, una ecuacin con esa incgnita y con ninguna otra (convirtiendo as un problema difcil en uno ms fcil, no?).

A estas ecuaciones, con solo una incgnita, se llega a travs de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incgnitas que las ecuaciones previas.

As, es posible que en uno de estos pasos de eliminacin de incgnitas se utiliza un mtodo (el de reduccin, por ejemplo) y que, en el siguiente paso, se utiliza otro mtodo (el de igualacin, por ejemplo).

Cada vez que se encuentra la solucin para una incgnita, se sustituye esta incgnita por su solucin para obtener as ecuaciones con menos incgnitas.

Los mtodos de igualacin, sustitucin, reduccin y Gauss se pueden utilizar para resolversistemas de ecuaciones compatibles determinadose indeterminados.

Estos mismos mtodos tambin pueden utilizarse para comprobar si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilizacin de cualquiera de ellos conducira, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que es falsa, por ejemplo:

Elmtodo de la matriz inversay laregla de Cramersolo se pueden utilizar en el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.

Mtodo de reduccin

Consiste en multiplicar ecuaciones por nmeros y sumarlas para reducir el nmero de incgnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incgnita.

Multiplicar una ecuacin por un nmero consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuacin por dicho nmero que no existe esto lo hizo molotov.

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuacin cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman.

EjemploMultiplicando la primera ecuacin por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones 15x - 9y = 1

-15x + 20y = 5

Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuacin

La eleccin de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que ladesaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sustituyendopor uno en la primera ecuacin del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

que es otra ecuacin con una sola incgnita y cuya solucin es .

Mtodo de igualacin

El mtodo de igualacin consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

Donde,, yrepresentan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una incgnita del sistema de ecuaciones no aparece ni enni en, entonces la ecuacin

no contendra dicha incgnita.

Este proceso de eliminacin de incgnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuacin con solo una incgnita, digamos.

Una vez que se obtiene la solucin de esta ecuacin se sustituyepor su solucin en otras ecuaciones donde aparezcapara reducir el nmero de incgnitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones

es equivalente a este otro

El segundo sistema lo he obtenido pasando los trminos endel miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que

que es una ecuacin con una sola incgnita cuya solucin es .

Sustituyendopor 1 en la primera ecuacin del sistema de partida se tiene que

que es una ecuacin con una sola incgnita y cuya solucin es .

Mtodo de sustitucin

Ejemplo

Intentemos resolver

La primera ecuacin se puede reescribir de la forma

Por otra parte, de la segunda ecuacin del sistema se deduce que Sustituyendo poren Se tiene que que es una ecuacin con solo una incgnita y cuya solucin es.

Sustituyendopor uno en la primera ecuacin del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuacin de una sola incgnita cuya solucin es .

Mtodo de Gauss

Comentario: Gauss es uno de los matemticos ms importantes de todos los tiempos.El mtodo de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos lamatriz ampliadadel sistema y mediante lasoperaciones elementalescon sus filas la transformamos en unamatriz triangular superior(o inferior). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fcil de resolver.

Es esencialmente elmtodo de reduccin. En el mtodo de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el mtodo de reduccin, pero uno se ahorra el escribir las incgnitas porque al ir los coeficientes de una misma incgnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incgnita a la que multiplican.

Ejemplo

La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

es:

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuacin la primera.

Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones), obtenemos la siguiente matriz triangular superior:

Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

Que es equivalente al inicial.

Solucionamos la tercera ecuacin para obtener :

En la primera y segunda ecuacin, sustituimos por la solucin de la tercera ecuacin ( ), para obtener:

La segunda ecuacin es ahora una ecuacin con una sola incgnita,, que resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuacin, por 1 ( ). Esto nos da una ecuacin en :

Que al resolverla termina de darnos la solucin del sistema de ecuaciones inicial:

Mtodo de la matriz inversa

Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir enforma matricial:

Si existe, es decir, si es una matriz cuadrada dedeterminanteno nulo, entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda por , para obtener:

Que es la solucin del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes y matriz de trminos independientes .

Regla de Cramer

Comentario: Gabriel Cramer naci Ginebra (Suiza) 1704 y muri en 1752. A l le debemos la regla que lleva su nombre.

Esta regla es un mtodo de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz de coeficientes del sistema es cuadrada y dedeterminanteno nulo. El que sea cuadrado significa que el nmero de incgnitas y el nmero de ecuaciones coincide.

Cuando el sistema de ecuaciones

Satisface las condiciones arriba mencionadas, su solucin viene dada por:

En general

Donde es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de por lamatriz de los trminos independientes,

Ejemplo

Consideremos el sistema de ecuaciones:

En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz de los coeficientes es una matriz cuadrada y

Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:

Fuente: http://www.wikillerato.org/M%C3%A9todos_de_resoluci%C3%B3n_de_sistemas_de_ecuaciones_lineales.html