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Metodos numericos ES - · PDF fileCodigo para la creacion de una calculadora del metodo de bairstow (matlab)

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    UNIVERSIDAD AUTONOMA

    DE SINALOA IN

    GEN

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    IA E

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    OS

    IND

    UST

    RIA

    LES

    Metodos numericos

    Profesor

    Juan Manuel Mejia Camacho

    Examen B

    El mtodo de Bairstow

    Alumno

    Jess Manuel Rodrguez Valdez

    Grupo

    2-1

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    Mtodo de Bairstow

    El mtodo de Baristow es un proceso iterativo relacionado aproximadamente con

    los mtodos deMuller y Newton-Raphson. Antes de proceder a la descripcin de la tcnica

    matemtica, recurdese la forma factorizada de un polinomio.

    f5(x)=(x+1)(x-4)(x-5)(x+3)(x-2) (7.28)Si se divide entre un factor que no es una raz (por

    ejemplo, x+6), el coeficiente podra ser un polinomio de cuarto orden. Sin embargo, en

    este caso, podra haber residuo.

    Con estas bases se puede elaborar un algoritmo para determinar la raz de un polinomio:

    1) suponiendo que el valor inicial de la raz es x = t, 2) al dividir el polinomio entre el factor

    x-t, y 3) determinando si existe un residuo. Si no, el valor es perfecto y la raz es igual a t. Si

    hay residuo, el valor puede ajustarse en forma sistemtica y el procedimiento repetirse

    hasta que el residuo desaparezca y la raz sea localizada. Una vez hecho esto, el

    procedimiento entero puede repetirse hasta que el coeficiente localice la raz.

    El mtodo de Baristow se basa por lo ganeral en esta aproximacin. Consecuentemente, el

    proceso matemtico depende de dividir el polinomio entre el factor. recurdese la

    discusin del polinomio de la deflacin en la cual se concluye que la divisin sinttica

    implica la divisin del polinomio entre un factor x t. Por ejemplo, el polinomio general.

    puede dividirse entre el factor x t para producir un segundo polinomio que de un orden

    bajo

    con un residuo R= bo, donde los coeficientes son calculados por la relacion de recurrencia.

    Para i = n-1 a 0

    Obsrvese que si t fue una raz del polinomio original, el residuo bo seria igual a cero.

    Para permitir la evaluacin de races complejas, el mtodo de Baristow divide el polinomio

    entre el factor cuadratico .Si esto es hecho con la ecuacin (7.29), el resultado

    es un nuevo polinomio

    con un residuo

    http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Box-Mullerhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton

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    Como con una divisin sinttica normal, la simple relacin de recurrencia puede usarse

    para realizar la divisin entre un factor cuadratico:

    Para i = n-1 a 0

    El factor cuadratico se introduce para permitir la determinacin de las races complejas.

    Esto se relaciona con el hecho de que, si los coeficientes del polinomio original son reales,

    las races complejas se presentan en pares conjugados. Si es un divisor exacto

    del polinomio, las races complejas pueden determinarse por la formula cuadratica.

    Entonces el mtodo se reduce a determinar los valores de r y s que hacen que le factor

    cuadratico sea un divisor exacto. En otras palabras, se busca los valores que hacen que el

    residuo sea igual a cero.

    La inspeccin de la ecuacin (7.31) conduce a concluir que el residuo debe ser cero, bo y

    b1 deben ser cero. Debido a que es improbable que los valores iniciales para evaluar r y s

    conduzcan a este resultado debemos determinar un camino sistemtico que modifica que

    nuestros valores iniciales, de tal forma que bo y b1 tiendan a cero. Para hacer esto, El

    mtodo de Baristow usa una estrategia si1milar a la de aproximacin de Newton-Raphson.

    Ya que tanto bo como b1 son funciones de r y s, se pueden expandir usando la serie de

    Taylor,

    donde los valores del lado derecho son evaluados en r y s. Obsrvese que el segundo

    termino y el termino de orden superior se han despreciado. Esto representa la

    consideracin implcita de que -r y -s son tan pequeos que los trminos de orden

    superior pueden despreciarse. Otro camino para expresar esta consideracin es que los

    valores iniciales son adecuadamente cercanos a los valores de r y s de las races.

    Los cambios, y , necesarios para mejorar nuestros valores iniciales se pueden

    estimar al poner la ecuacin (7.33) igual a cero para dar

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    Si las derivadas parciales, de las b, pueden determinarse, hay un sistema de dos

    ecuaciones que pueden resolverse simultneamente para dos incgnitas, incremento r y

    incremento s. Baristow muestra que las derivadas parciales pueden obtenerse por divisin

    sinttica de las b en forma similar al camino en el cual las b en si mismas fueron derivadas:

    Para i = n-2 a 1

    donde

    Entonces, las derivadas parciales se

    obtienen por divisin sinttica de las b. As, las derivadas parciales pueden sustituirse en

    las ecuaciones (7.34) y (7.35) junto con las b para dar

    Estas ecuaciones pueden resolverse para incremento de r y incremento de s, las cuales

    pueden emplearse para mejorar los valores iniciales de r y s. En cada paso, el error

    aproximado en r y s puede se estimado como en

    y

    Cuando ambos errores estimados fallan bajo un criterio especificado de paro, , los

    valores de las races pueden determinarse como

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    En este punto, existen tres posibilidades:

    1.- El coeficiente es un polinomio de tercer orden o mayor. Para este caso, el mtodo de

    Baristow podra aplicarse al coeficiente para evaluar un nuevo valor de r y s. Los valores

    anteriores de r y s pueden servir como valores iniciales para esta aplicacin.

    2.- El coeficiente es cuadratico. Para este caso, el residuo de las dos races puede

    evaluarse directamente con la ecuacin (7.39).

    3.- El coeficiente es un polinomio de primer orden. Para este caso, el residuo es una sola

    raz que se puede evaluar simplemente como

    Ejemplo Mtodo de Baristow

    Enunciado del problema. Emplee el mtodo de Baristow para determinar las races del

    polinomio

    Use los valores iniciales de r = s = -1 e iterando a un nivel de .

    Solucin.

    b5=1 b4=-4.5 b3=6.25 b2=0.375 b1=-10.5 b0=11.375

    c5=1 c4=-5.5 c3=10.75 c2=-4.875 c1=-16.375

    As las ecuaciones simultaneas para resolver y son

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    Las cuales pueden resolver y . por lo tanto, nuestros valores

    iniciales pueden corregirse como

    y el error aproximado es

    El siguiente calculo es repetido usando los valores revisados para r y s.

    b5=1 b4=-4.1442 b3=5.5578 b2=-2.0276 b1=-1.8013 b0=2.1304

    c5=1 c4=-4.7884 c3=8.7806 c2=-8.3454 c1=4.7874

    por lo tanto se puede resolver

    para y , los cuales pueden usarse para estimar la raz correcta

    como

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    El calculo puede continuar, con el resultado de que despus de cuatro iteraciones el

    mtodo converge a los valores de

    y .

    La siguiente ecuacin puede emplearse para evaluar las races como

    En este punto, el coeficiente es la ecuacin cubica

    El mtodo de Baristow puede aplicarse a este polinomio usando resultados del paso

    anterior, r= -0.5 y s = 0.5, como valores iniciales. Cinco iteraciones dan un estimado de r =2

    y s = -1.249, el cual puede usarse para calcular

    En este punto, el coeficiente es un polinomio de primer orden para determinar la quinta

    raz: 2.

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    Obsrvese que en el fondo el mtodo de Baristow es una evaluacin de las b y c va las

    ecuaciones (7.32) y (7.36). Una de las fortalezas principales de este mtodo radica en que

    es una forma concisa en la cual estas relaciones de recurrencia pueden ser programadas.

    Algoritmo del mtodo de Bairstow

    1. Inicio.

    2. Ingrese el coeficiente que quiera calcular (el grado)

    3. Ingrese el valor de p

    4. Ingrese el valor de q

    5. Ingrese valor de error

    6. Si se cumple la condicin se repite hasta que no se cumpla

    7. Se calcula x1 y x2

    8. fin

    Seudocodigo

    Leer el orden del polinomio (n)

    Leer los coeficientes del polinomio (arreglo a)

    obtener los factores cuadraticos hasta que el polinomio reducido sea de grado 3

    WHILE ( )

    Calcular r y s, para residuo de cero

    Obtener las races del factor cuadrtico

    Determinar el polinomio reducido

    actualizar el orden del polinomio ($n=n-2$)

    END WHILE

    IF (n==2) THEN

    determinar las races del polinomio de grado 2

    ELSE

    determinar la raz del polinomio de grado 1

    END_IF

    END

    http://cursos.itchihuahua.edu.mx/filter/tex/displaytex.php?texexp=%3Chttp://cursos.itchihuahua.edu.mx/filter/tex/displaytex.php?texexp=n%5Cgeq~3

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    Diagrama de flujo

    inicio

    a,p,q,n

    b(n+1)=0; b(n+2)=0; b(k)=a(k)-p*b(k+1)-

    q*b(k+2);

    c(n+1)=0; c(n+2)=0; c(i)=b(i)-p*c(i+1)-q*b(i+2);

    P=(b(1)*c(4)-b(2)*c(3))/(c(2)*c(4)-(c(3))^2); Q=(b(2)*c(2)-b(1)*c(3))/(c(2)*c(4)-(c(3))^2);

    Desde k=n,-1,1

    Desde i=n,-1,1

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    P>E & Q&