Metodos numericos ES - · PDF fileCodigo para la creacion de una calculadora del metodo de bairstow (matlab)

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UNIVERSIDAD AUTONOMA

DE SINALOA IN

GEN

IER

IA E

N P

RO

CES

OS

IND

UST

RIA

LES

Metodos numericos

Profesor

Juan Manuel Mejia Camacho

Examen B

El mtodo de Bairstow

Alumno

Jess Manuel Rodrguez Valdez

Grupo

2-1

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Mtodo de Bairstow

El mtodo de Baristow es un proceso iterativo relacionado aproximadamente con

los mtodos deMuller y Newton-Raphson. Antes de proceder a la descripcin de la tcnica

matemtica, recurdese la forma factorizada de un polinomio.

f5(x)=(x+1)(x-4)(x-5)(x+3)(x-2) (7.28)Si se divide entre un factor que no es una raz (por

ejemplo, x+6), el coeficiente podra ser un polinomio de cuarto orden. Sin embargo, en

este caso, podra haber residuo.

Con estas bases se puede elaborar un algoritmo para determinar la raz de un polinomio:

1) suponiendo que el valor inicial de la raz es x = t, 2) al dividir el polinomio entre el factor

x-t, y 3) determinando si existe un residuo. Si no, el valor es perfecto y la raz es igual a t. Si

hay residuo, el valor puede ajustarse en forma sistemtica y el procedimiento repetirse

hasta que el residuo desaparezca y la raz sea localizada. Una vez hecho esto, el

procedimiento entero puede repetirse hasta que el coeficiente localice la raz.

El mtodo de Baristow se basa por lo ganeral en esta aproximacin. Consecuentemente, el

proceso matemtico depende de dividir el polinomio entre el factor. recurdese la

discusin del polinomio de la deflacin en la cual se concluye que la divisin sinttica

implica la divisin del polinomio entre un factor x t. Por ejemplo, el polinomio general.

puede dividirse entre el factor x t para producir un segundo polinomio que de un orden

bajo

con un residuo R= bo, donde los coeficientes son calculados por la relacion de recurrencia.

Para i = n-1 a 0

Obsrvese que si t fue una raz del polinomio original, el residuo bo seria igual a cero.

Para permitir la evaluacin de races complejas, el mtodo de Baristow divide el polinomio

entre el factor cuadratico .Si esto es hecho con la ecuacin (7.29), el resultado

es un nuevo polinomio

con un residuo

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Box-Mullerhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton

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Como con una divisin sinttica normal, la simple relacin de recurrencia puede usarse

para realizar la divisin entre un factor cuadratico:

Para i = n-1 a 0

El factor cuadratico se introduce para permitir la determinacin de las races complejas.

Esto se relaciona con el hecho de que, si los coeficientes del polinomio original son reales,

las races complejas se presentan en pares conjugados. Si es un divisor exacto

del polinomio, las races complejas pueden determinarse por la formula cuadratica.

Entonces el mtodo se reduce a determinar los valores de r y s que hacen que le factor

cuadratico sea un divisor exacto. En otras palabras, se busca los valores que hacen que el

residuo sea igual a cero.

La inspeccin de la ecuacin (7.31) conduce a concluir que el residuo debe ser cero, bo y

b1 deben ser cero. Debido a que es improbable que los valores iniciales para evaluar r y s

conduzcan a este resultado debemos determinar un camino sistemtico que modifica que

nuestros valores iniciales, de tal forma que bo y b1 tiendan a cero. Para hacer esto, El

mtodo de Baristow usa una estrategia si1milar a la de aproximacin de Newton-Raphson.

Ya que tanto bo como b1 son funciones de r y s, se pueden expandir usando la serie de

Taylor,

donde los valores del lado derecho son evaluados en r y s. Obsrvese que el segundo

termino y el termino de orden superior se han despreciado. Esto representa la

consideracin implcita de que -r y -s son tan pequeos que los trminos de orden

superior pueden despreciarse. Otro camino para expresar esta consideracin es que los

valores iniciales son adecuadamente cercanos a los valores de r y s de las races.

Los cambios, y , necesarios para mejorar nuestros valores iniciales se pueden

estimar al poner la ecuacin (7.33) igual a cero para dar

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Si las derivadas parciales, de las b, pueden determinarse, hay un sistema de dos

ecuaciones que pueden resolverse simultneamente para dos incgnitas, incremento r y

incremento s. Baristow muestra que las derivadas parciales pueden obtenerse por divisin

sinttica de las b en forma similar al camino en el cual las b en si mismas fueron derivadas:

Para i = n-2 a 1

donde

Entonces, las derivadas parciales se

obtienen por divisin sinttica de las b. As, las derivadas parciales pueden sustituirse en

las ecuaciones (7.34) y (7.35) junto con las b para dar

Estas ecuaciones pueden resolverse para incremento de r y incremento de s, las cuales

pueden emplearse para mejorar los valores iniciales de r y s. En cada paso, el error

aproximado en r y s puede se estimado como en

y

Cuando ambos errores estimados fallan bajo un criterio especificado de paro, , los

valores de las races pueden determinarse como

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En este punto, existen tres posibilidades:

1.- El coeficiente es un polinomio de tercer orden o mayor. Para este caso, el mtodo de

Baristow podra aplicarse al coeficiente para evaluar un nuevo valor de r y s. Los valores

anteriores de r y s pueden servir como valores iniciales para esta aplicacin.

2.- El coeficiente es cuadratico. Para este caso, el residuo de las dos races puede

evaluarse directamente con la ecuacin (7.39).

3.- El coeficiente es un polinomio de primer orden. Para este caso, el residuo es una sola

raz que se puede evaluar simplemente como

Ejemplo Mtodo de Baristow

Enunciado del problema. Emplee el mtodo de Baristow para determinar las races del

polinomio

Use los valores iniciales de r = s = -1 e iterando a un nivel de .

Solucin.

b5=1 b4=-4.5 b3=6.25 b2=0.375 b1=-10.5 b0=11.375

c5=1 c4=-5.5 c3=10.75 c2=-4.875 c1=-16.375

As las ecuaciones simultaneas para resolver y son

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Las cuales pueden resolver y . por lo tanto, nuestros valores

iniciales pueden corregirse como

y el error aproximado es

El siguiente calculo es repetido usando los valores revisados para r y s.

b5=1 b4=-4.1442 b3=5.5578 b2=-2.0276 b1=-1.8013 b0=2.1304

c5=1 c4=-4.7884 c3=8.7806 c2=-8.3454 c1=4.7874

por lo tanto se puede resolver

para y , los cuales pueden usarse para estimar la raz correcta

como

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El calculo puede continuar, con el resultado de que despus de cuatro iteraciones el

mtodo converge a los valores de

y .

La siguiente ecuacin puede emplearse para evaluar las races como

En este punto, el coeficiente es la ecuacin cubica

El mtodo de Baristow puede aplicarse a este polinomio usando resultados del paso

anterior, r= -0.5 y s = 0.5, como valores iniciales. Cinco iteraciones dan un estimado de r =2

y s = -1.249, el cual puede usarse para calcular

En este punto, el coeficiente es un polinomio de primer orden para determinar la quinta

raz: 2.

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Obsrvese que en el fondo el mtodo de Baristow es una evaluacin de las b y c va las

ecuaciones (7.32) y (7.36). Una de las fortalezas principales de este mtodo radica en que

es una forma concisa en la cual estas relaciones de recurrencia pueden ser programadas.

Algoritmo del mtodo de Bairstow

1. Inicio.

2. Ingrese el coeficiente que quiera calcular (el grado)

3. Ingrese el valor de p

4. Ingrese el valor de q

5. Ingrese valor de error

6. Si se cumple la condicin se repite hasta que no se cumpla

7. Se calcula x1 y x2

8. fin

Seudocodigo

Leer el orden del polinomio (n)

Leer los coeficientes del polinomio (arreglo a)

obtener los factores cuadraticos hasta que el polinomio reducido sea de grado 3

WHILE ( )

Calcular r y s, para residuo de cero

Obtener las races del factor cuadrtico

Determinar el polinomio reducido

actualizar el orden del polinomio ($n=n-2$)

END WHILE

IF (n==2) THEN

determinar las races del polinomio de grado 2

ELSE

determinar la raz del polinomio de grado 1

END_IF

END

http://cursos.itchihuahua.edu.mx/filter/tex/displaytex.php?texexp=%3Chttp://cursos.itchihuahua.edu.mx/filter/tex/displaytex.php?texexp=n%5Cgeq~3

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Diagrama de flujo

inicio

a,p,q,n

b(n+1)=0; b(n+2)=0; b(k)=a(k)-p*b(k+1)-

q*b(k+2);

c(n+1)=0; c(n+2)=0; c(i)=b(i)-p*c(i+1)-q*b(i+2);

P=(b(1)*c(4)-b(2)*c(3))/(c(2)*c(4)-(c(3))^2); Q=(b(2)*c(2)-b(1)*c(3))/(c(2)*c(4)-(c(3))^2);

Desde k=n,-1,1

Desde i=n,-1,1

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