PROBLEM

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Las ecuaciones diferenciales estn insertas en nuestra vida en distintos mbitos. Por lo cual se nos hace necesario comprenderlas y manejarlas. Sin embargo, al trabajar este tipo de ecuaciones nos percatamos no siempre es posible resolverlas mediante un procedimiento analtico por lo cual se hace necesario recurrir a un mtodo numrico.

Para esto se desarrollo en el siglo XIX:

MTODO DE RUNGE-KUTTAPara Ecuaciones Diferenciales

METODO DE RUNGE-KUTTA

Mtodo genrico de resolucin numrica de ecuaciones diferenciales de la forma:

Procede al mtodo de Euler creado en el siglo XVI, dando resultados mas exactos.

Euler

Cada paso se mueve a lo largo de la tangente de una cierta curva que esta "cerca" a la curva desconocida o buscada

Runge-Kutta

Utiliza varias rdenes (derivadas o tangentes intermedia), en lugar de solo una, para aproximar la funcin desconocida

.

SE QUIERE CALCULAR YN+1Y(XN+1). ENTONCES:

La regla de Simpson para integracin numrica produce:

Se quiere definir yn+1 de modo que :

Se reemplazan las pendientes (reales) y(xn), y(xn + h), y(xn+1/2h) y y(xn+1), respectivamente, con las siguientes estimaciones:o

Pendiente de Xn, segn el mtodo de Euler:

o

Estimacin de la pendiente en el punto medio del intervalo (xn, xn+1), segn mtodo de Euler

Valor mejorado para la pendiente en el punto medio, segn mtodo de Euler

Pendiente mejorada en xn+1, usando la pendiente mejorada k3 en el punto medio para pasar a xn+1

Cuando se hacen esas sustituciones en la ecuacin

El resultado es la frmula iterativa.

El uso de esta frmula para calcular las aproximaciones sucesivas y1, y2, y3,. Constituye el mtodo de Runge-Kutta.

EJEMPLO METODO DE CUARTO ORDEN.

Encontrar y(3)

usando, h=0.5

SE UTILIZAN LAS SIGUIENTES ESTIMACIONES

CONCLUSINcomparacin con el mtodo de Euler, el mtodo de Runge-Kutta es mucho ms eficiente y exacto debido a la cantidad de rdenes (derivadas intermedias). En