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Método de Euler y Runge Kutta
Integrantes:
Marco Rodríguez C.I: 25568792
Cruz Waldrop C.I: 25059313
21 de junio del 2016
Universidad Nororiental Privada Gran Mariscal de Ayacucho
Núcleo: El Tigre
Asignatura: Métodos Numéricos
Introducción Si hablamos de las ecuaciones diferenciales es casi natural modelar o hacer simulaciones de situaciones reales donde pueden existir cambios de una o varias funciones desconocidas con respecto a variables que se pueden llamar independientes. Si bien son situaciones reales, dichas situaciones necesitan una solución, ya que por lo general son problemas que se plantean y que envuelven una sola ecuación diferencial acoplada en varias funciones que pueden ser o no desconocidas. Por lo general cuando se tiene una situación y estas se transforman en ecuaciones usualmente estas ecuaciones vienen acompañadas de una condición adicional que logra especificar el estado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto conjuntamente con una ecuación diferencial forman lo que se conoce como problemas de valor inicial.
Método de Euler
o Método de las tangentes
Antecedentes Fue creado por el suizo fisico-matemático Leonhard Paul Euler (1707-1783) a quien se le atribuyo el titulo del principal matemático del sigo XVII y uno de los mas grandes y prolificos de todos los tiempos.
Formas de interpretar una ecuación Diferencial
1. Analiticamente: es la resolución matemática de ecuaciones a traves de los simbolos
2. Cualitativamente: es el análisis e interpretación de la ecuación en terminos generalmente graficos para conocer el comportamiento del fenomeno simulado
3. Númericamente:es el estudio de las ecuaciones diferenciasles mediante la utilización de construcción de algoritmos computaciones para dar aproximaciones mas exactas
¿Cuando usar el Método de Euler?
Se utiliza cuando las ecuaciones diferenciales no tienen una solución análitica, aunque en problemas reales se evita de utilizar este método ya que el error de las curvas generadas con respecto al comportamiento real es mayor que el error que genera mediante otros métodos.
Es un procedimiento de integración numérica que se utiliza para poder resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado, es decir, con el método de Euler se logra obtener una solución aproximada en un conjunto finito de puntos partiendo de la ecuación de la recta. y’ = f(x, y), y(x0) = y0
Definición
Caracteristicas del Método de Euler
El método aproxima a la
función solución por medio de una línea poligonal.
Solo se puede obtener como resultado una
única solución al problema
Se hace un incremento
independiente de la variable h
El uso de este método viene
dado si la interpretación de la ecuación no se
puede dar de forma analitica
Es el método mas sencillo para la resolución de
ecuaciones diferenciales
Con el uso del Método de Euler se supone que se
verifica la hipotesis del
Teorema de Picard
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Pasos para resolver ecuaciones diferenciales a traves del Método de Euler
Se multiplican los
intervalos que van de “X” a
“x.” en “n” cantidad de sub-
intervalos con ancho “h”;
es decir:
Con esto se obtine un
conjunto discreto de
“n+1” puntos . Para
los que se debe
cumplir lo siguiente:
𝑥𝑖 = 𝑥0 + ih.0 ≤ i ≤ ℎ =
𝑋1 − 𝑋0
𝑛
Ya con la condición
inicial y x0= y0 que
representa el punto
P0 =(x0,y0) y por
donde pasa la curva
obtenemos la solución
de la ecuación del
planteamiento inicial:
F(x) =y
Con el punto “P0” se
puede evaluar la
primera derivada de
F(x) en ese punto; por
lo tanto:
F’(x)=𝑑𝑦
𝑑𝑥= f(X0, Y0)
Con esta información se
traza una recta, aquella
que pasa por “Po” y de
pendiente “F(xo, yo)”. Esta
recta aproxima “F(x) en
una vecinidad de “x1”
Se toma la recta como reemplazo
de F(x) y se localiza en ella el
valor de y correspondiente a
x1.
Enotnces, se puede
deducir segun esta
información para la
grafica que:
𝑦1−𝑦𝑜
𝑥1−𝑥𝑜= f(xo,yo)
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Ejercicio Práctico
El ejemplo práctico se saco del siguiente link:
https://issuu.com/luiseduardovivar/docs/monografia_metodo_de_euler
Ventajas • Mientras mas se divide el
tamaño del paso de h, los errores disminuyen
• Es un método muy sencillo de implementar pero de orden bajo por lo que dependiendo del grado de precisión que deseas el h puede ser muy pequeña
• Una forma de mejorar el método es utilizar una mejor aproximación a la integral.
Ventajas y Desventajas del Método de Euler
Desventajas • Tiene errores cuando la
pendiente instantanea cambia rapidamente dentro de la x.
• Para mejores aproximaciones no solo se debe considerar el punto inicial, sino un promedio del inicial y el final, el problema es que no se conoce el valor de y en ese punto final
Método de Runge-Kutta
Método de Euler de Segundo Orden.
Antecedentes Fue desarrollado inicialmente alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutt
Teorias
En cada paso el método de Euler se mueve a lo largo de la tangente de una cierta curva que esta "cerca" a la curva desconocida o buscada. Los métodos Runge-Kutta extienden esta idea geométrica al utilizar varias derivadas o tangentes intermedias, en lugar de solo una, para aproximar la función desconocida. Los métodos Runge-Kutta más simples se obtienen usando dos derivadas intermedias.
¿Cuando usar el Método de Runge-Kutta?
Cuando se desea resolver modelos analíticamente complejos mediante la aplicación de técnicas matemáticas básicas (estas técnicas numéricas, son las bases para la solución y simulación de problemas complejos utilizando computadoras), por ejemplo, en ingeniería mecánica, se utilizan para resolver de forma aproximada casos o aplicaciones especiales de las ecuaciones de navier-Stokes, aplicando técnicas numéricas y posteriormente resolviéndolas en una computadora ( a estas técnicas se les conoce como CFD o computational fluid Dynamics).
Se define como el Método de iteraciones que extiende la idea geométrica y utiliza varias derivadas o tangentes intermedias para poder aproximar la función desconocida.
Definición
xn+1 = xn + h(∑si=1 bi ki) con ki = f( xn + ∑sj=1aij kk, tn + hci) Y el error cumple la condición: Max | X( tt) - xi| ≤ Ch tp
Caracteristicas Método de Runge-Kutta
Son una especialización de los
métodos numéricos a un paso.
Sustituye el problema de
valor inicial por la integral
equivalente
Aunque posee el error
local de truncamiento del
método de Taylor, este
prescienden del cálculo y
evaluación de las
derivadas de la función
f(t,y)
El Método de Runge-Kutta puede
ser de segundo, tercer o cuarto
orden.
Forma parte de la familia
de los métodos iterativos
tanto implicitos como
explicitos para aproximar
las solcuiones de
ecuaciones diferenciales
de primer orden
El método de Euler es el
método de Runge- Kutta
de orden 1
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Notas importantes para resolver ecuaciones diferenciales a traves del Método e Runge-kutta
Siendo Runge-Kutta una especialización de los métodos numéricos a un paso. Fundamentalmente, lo que caracteriza a este método es que el error en cada paso i es de la forma: Ei = Chk
Siendo C una constante real positiva, al número k se le llama orden del método y h ya sabemos que es el tamaño del paso en cada nodo.
Además de ello en dicho método se le llama etapas a las sucesivas evaluaciones de la función f en cada paso. El número de etapas de un método de Runge-Kutta es el número de veces que la función es evaluada en cada paso i, Este concepto es importante porque evaluar la función requiere un coste computacional (a veces alto) por tanto se prefieren métodos con el menor número posible de etapas.
Ejercicio Práctico
El ejemplo práctico se saco del siguiente link:
http://campus.usal.es/~mpg/Personales/PersonalMAGL/Docencia/MetN
umTema4Teo(09-10).pdf
Ventajas • Solo requiere de la funcion
f(x,y) y con ello es que se trabaja.
• Suele usarse para mayos exactitud.
• Es facil para su programación.
Ventajas y Desventajas del Método de Runge-Kutta
Desventajas • El lado derecho de la
ecuación diferencial debe evaluarse muchas veces en cada etapa.
• El consumo de tiempo y costo es mayor que otros métodos.
Pogramas asociados tanto al Método de Euler como a Runge-Kutta
Debido a que dichos Métodos se trabajan a
tráves de cálculos númericos que llevan dentro
la resolución de ecuaciones diferenciales
ordinales, los siguientes software son tan
potentes que tienen la habilidad de poder
resolver por cualquiera de los dos casos:
MatLab
Es un software extraordinariamente potente para
la realización de cálculos numéricos, representaciones
gráficas y tratamiento de datos. Permite la resolución de un
amplio espectro de problemas de forma analítica o numérica
utilizando métodos basados en el cálculo matricial.
http://www.mathworks.com/products/matlab/
GNU Octave
Es un lenguaje de alto nivel destinado para el cálculo
numérico. Provee una interfaz sencilla, orientada a la línea de comandos (consola). Permite la
resolución de problemas numéricos, lineales y no lineales.
http://www.gnu.org/software/octave/download.html
SAGE
Sistema Algebraico
Computacional basado en
lenguajes de programación
orientado a objetos. Puede ser
usado para calcular señales,
análisis estadísticos, simulación
de fluidos dinámicos, optimización
numérica y modelados.
http://www.sagemath.org/download.html
Conclusión La resolución de distintos problemas de la cotidianidad y muchos de ellos de ingeniería están asociados por lo general a resultados numéricos. Si bien con todo lo estudiado nos podemos dar cuenta que para la resolución de estos problemas es el Método de Runge-kutta la mejor elección entre el método de Euler es también muy fácil aumentar la precisión si utilizamos pasos mas pequeños entre los puntos con Euler el cual da mayor simplicidad. Aun así sigue siendo Runge-kutta el Método mas utilizado para proporcionar pequeños márgenes de errores con respecto a ala solución real del problema con la ventaja de que es mas fácil que programar un software de este método para realizar las iteraciones necesarias
Referencias Método de Euler
⊸ https://issuu.com/luiseduardovivar/docs/monografia_m
etodo_de_euler
⊸ https://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
⊸ http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/mnedo/32_Euler.html
⊸ http://www.sc.ehu.es/sbweb/energias-
renovables/MATLAB/numerico/diferencial/diferencial.ht
ml
⊸ http://campus.usal.es/~mpg/Personales/PersonalMAG
L/Docencia/MetNumTema4Teo(09-10).pdf
Referencias Método de Runge-Kutta
⊸ http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/mnedo/34_RK.html
⊸ https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Rung
e-Kutta
⊸ http://es.slideshare.net/DesireO/trabajo-range-kutta-
computacion
