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Ejemplos del uso de metodo de biseccióm
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Problema 8.4 Resuelto por bisección
Tenemos la ecuación:
Se dan los siguientes parámetros:
c=0.85(12)=10.2
c0=5
cent=12
Sustituyendo lo anterior en la ecuación e igualando a cero, tenemos:
Evaluamos la funcion f(t) para encontrar valores iniciales
t f(t)
0 ‐5.2
10 ‐2.89224032
20 ‐1.34530275
30 ‐0.30835948
40 0.38672437
Observamos el cambio de signo, y elegimos ta=30 y tb=40
Ahora la raiz aproximada se encuentra con la siguiente formula:
Evaluamos la f(t) en t=35
Como es positivo ahora calculamos tr con el nuevo valor de tb=35
Con ello, el erro aproximado respecto al valo anterior es:
. .
10.2 . .
. .
. .
Evaluando f(t) en t=32.5, obtenemos:
Como f(32.5) es negativo, ahora ta=32.5 y tb=35, por lo que tr=33.75
Con lo que se obtiene un error de:
Evaluando f(33.75), tenemos:
Como f(33.75) es negativo, ahora ta=33.75 y tb=35, con lo que tr=34.375, que genera un error de 1.8
Evaluando f(34.375) obtenemos que:
Como f(34.375) es positivo, ahora ta=33.75 y tb=34.375, con lo que tr=34.063, que genera un error d
Evaluando f(34.063) obtenemos que:
Como f(34.063) es positivo, ahora ta=33.75 y tb=34.063, con lo que tr=33.907, que genera un error d
Evaluando f(33.905) obtenemos que:
Como f(33.905) es negativo, ahora ta=33.907 y tb=34.063, con lo que tr=33.985, que genera un error
Evaluando f(33.905) obtenemos que:
Como f(33.985) es positivo, ahora ta=33.907 y tb=33.985, con lo que tr=33.945, que genera un error
Evaluando f(33.945) obtenemos que:
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
Como f(33.985) es negativo, ahora ta=33.945 y tb=33.985, con lo que tr=33.965, que genera un error
Por lo tanto, concluimos que el tiempo requerido es de aproximadamente de
. . . .
Problema 8.5 Método de bisección
Se da la ecuación:
Sustituyendo los valores dados e igualando a cero, tenemos:
Tabulamos la función para escoger valores iniciales
x f(x)
0 ‐0.01591902
5 ‐0.01561787
10 ‐0.01439302
15 ‐0.00585043
20 0.734
Vemos que hay cambio de signo, por lo que ta=15 y tb=20
La raiz aproximada se encuentra en :
Evaluamos la función en x=17.5 y tenemos que:
Como es positivo, el valor de xa=15 y xb =17.5, por lo que la nueva raiz
Con esto el error aproximado es de:
Evaluamos f(16.25):
Como es positivo, tenemos que xa=15 y xb =16.25, por lo que la nueva r
,
, ,
Evaluamos f(15.625):
Como es negativo, tenemos que xa=15.625 y xb =16.25, por lo que la nu
Evaluamos f(15.938):
Como es positivo, tenemos que xa=15.625 y xb =15.938, por lo que la n
818%
Evaluamos f(15.782):
de 0.916% Como es negativo, tenemos que xa=15.782 y xb =15.938, por lo que la n
Este procedimiento lo continuamos hasta que el error se mínimo, los re
i xa xb xr f(xr)
0 15 20 17.5 0.02578814
de 0.46% 1 15 17.5 16.25 0.00309589
2 15 16.25 15.625 ‐0.00227705
3 15.625 16.25 15.9375 0.00012291
4 15.625 15.9375 15.78125 ‐0.00113948
5 15.78125 15.9375 15.859375 ‐0.00052493
6 15.859375 15.9375 15.8984375 ‐0.00020531
r de 0.23% 7 15.8984375 15.9375 15.9179688 ‐4.2295E‐05
8 15.9179688 15.9375 15.9277344 4.003E‐05
9 15.9179688 15.9277344 15.9228516 ‐1.201E‐06
10 15.9228516 15.9277344 15.925293 1.9397E‐05
11 15.9228516 15.925293 15.9240723 9.0939E‐06
12 15.9228516 15.9240723 15.9234619 3.9454E‐06
13 15.9228516 15.9234619 15.9231567 1.3719E‐06
14 15.9228516 15.9231567 15.9230042 8.5386E‐08
de 0.12%
Con un error del 0.001%, el valor de x es 15.9
.
. .01
.
. .1
r de 0.06%
33.965
Problema 8.9
Tenemos la ec
Sustituyendo l
Tabulamos la f
h
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Existe un camb
Entonces hr es
Evaluamos f(0
aproximada es xr=16.25 Como es posit
Evaluamos f(0
Como es nega
Continuamos c
iteración
0
raiz aproximada es xr=15.625, obteniendose un error de 4% 1
2
3
4
5
6
7
8
ueva raiz aproximada es xr=15.625, obteniendose un error de 1.96% 9
10
11
12
13
ueva raiz aproximada es xr=15.782, obteniendose un error de 0.99%
nueva raiz aproximada es xr=15.860, obteniendose un error de 0.49%
esultados los podemos ver en la siguiente tabla
Ea
7.69230769
4
1.96078431
0.99009901
0.49261084
0.24570025
0.12269939
0.06131208
0.03066544
0.01533037
0.00766577
0.00383303
0.00191655
0.00095829
923
Método de bisección
cuación:
Nota: La fórmula que trae el problema esta mal, porque pone k2, cuando debe ser h
los datos dados e igualando a cero, tenemos:
función para buscar valores iniciales
f(h)
‐2.25
‐2.15889381
‐1.89814162
‐1.48659299
‐0.94309746
‐0.28650459
0.46433605
bio de signo, por lo que ha=0.5 y hb=0.6
s:
0.55):
tivo, ahora ha=0.5 y hb=0.55, con lo que hr=0.525
0.525):
tivo, ahora ha=0.525 y hb=0.55, con lo que hr=0.5375
con el procedimiento hasta que el error sea minimo, y obtenemos la siguiente tabla
ha hb hr f(hr) Ea
0.5 0.6 0.55 0.07831286
0.5 0.55 0.525 ‐0.10689385 4.76190476
.078
0.525 0.55 0.5375 ‐0.01497158 2.3255814
0.5375 0.55 0.54375 0.03150266 1.14942529
0.5375 0.54375 0.540625 0.00822326 0.57803468
0.5375 0.540625 0.5390625 ‐0.00338477 0.28985507
0.5390625 0.540625 0.53984375 0.0024166 0.1447178
0.5390625 0.53984375 0.53945313 ‐0.00048475 0.0724113
0.53945313 0.53984375 0.53964844 0.00096576 0.03619254
0.53945313 0.53964844 0.53955078 0.00024047 0.01809955
0.53945313 0.53955078 0.53950195 ‐0.00012215 0.00905059
0.53950195 0.53955078 0.53952637 5.9154E‐05 0.00452509
0.53950195 0.53952637 0.53951416 ‐3.1499E‐05 0.0022626
0.53951416 0.53952637 0.53952026 1.3828E‐05 0.00113129
Con un error del 0.001%, el valor de h es igual a 0.53951 m
Problema 8.10
Usando la primera ecuación, tenemos que:
2
Calculamos g'(h);
Encontramos el rango de valores para que:
Tabulamos g'(h),
h g'(h)
0 0
0.5 0.23608731
1 0.66110736
1.5 0.96338174
1.51 0.96826141
1.52 0.97310607
1.53 0.97791624
1.54 0.98269248
1.55 0.98743532
1.56 0.99214526
1.57 0.99682283
1.58 1.00146854
Entonces, cualquier numero entre 0 y 1.57 es estable para el método de
Usando la segunda ecuación, tenemos que:
Calculamos g'(h)
Tabulamos g'(h) para encontrar
h g'(h)
1.25 0.99686641
2.25 0.75776897
12.25 0.4175399
112.25 0.19932382
1112.25 0.09280009
11112.25 0.04308722
111112.25 0.01999993
1111112.25 0.00928317
2111112.25 0.00749512
Se tiene que para el metodo del punto fijo es estable desde h=1.25 hast
0.01 #¡NUM!
0.02
/
Problema 8.15
Se tiene la ecuación:
Sustituyendo los datos e igualndo a cero:
a) Tabulamos la función para encontrar un valor inicial apropiado
t f(t)
0 ‐5.5
0.1 ‐4.22912421
0.2 ‐1.95118944
0.3 0.85650662
0.4 3.69861672
0.5 6.13928347
Se observa que la raiz se encuentra cerca de t=0.25
b) Calculamos la derivada de f(t):
La itearción comienza con t=0.25, y la nueva raiz se calcula con;
Los resulatado aparecen en la siguiente tabla:
i ti f(ti) f'(ti)
el punto fijo 0 0.25 ‐0.58204508 28.2870657
1 0.27057637 0.00513476 28.7507228
2 0.27039777 2.7764E‐07 28.747611
Por lo tanto el tiempo requerido es de 0.27
c) Para el metodo de la secante se usa la siguiente formula:
3.5 .
.
‐10
‐5
0
5
10
0 0.1
. .
Como valores iniciales usamos t=0.25 y t=0.30, los calculos se realizan e
i ti‐1 ti f(ti‐1)
0 0.25 0.3 ‐0.58204508
1 0.3 0.27023025 0.85650662
2 0.27023025 0.27039668 ‐0.00481548
Por lo tanto el tiempo requerido es de 0.27
ta h=infinito.
Problema 8.16
Sustituyendo en la fórmula lo
Tabulamos para encontra va
P/A
0
10
20
Existe un cambio de signo, p
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
ti+1 Ea 9
0.27057637 7.60464347 10
0.27039777 0.06604926 11
0.27039776 3.5717E‐06 12
13
704 14
15
16
17
18
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Título del gráfico
19
en la siguiente tabla: Entonces e
f(ti) ti+1 Ea
0.85650662 0.27023025 0.11016441
‐0.00481548 0.27039668 0.00061553
‐3.1066E‐05 0.27039776 3.9967E‐06
702
os valores dados e igualando a cero obtenemos:
alores iniciales:
f(P/A)
178.571429
100.202889
‐259.474908
or lo que (P/A)1=10 y (P/A)2=20, usamos el método de biseccion en la siguiente tabla y la siguiente f
(P/A)1 (P/A)2 (P/A)r f(P/A)r Ea
10 20 15 7.65218552
15 20 17.5 ‐82.6628011 14.2857143
15 17.5 16.25 ‐31.2526867 7.69230769
15 16.25 15.625 ‐10.545213 4
15 15.625 15.3125 ‐1.16270307 2.04081633
15 15.3125 15.15625 3.3123601 1.03092784
15.15625 15.3125 15.234375 1.09213354 0.51282051
15.234375 15.3125 15.2734375 ‐0.03090709 0.25575448
15.234375 15.2734375 15.2539063 0.53170115 0.12804097
15.2539063 15.2734375 15.2636719 0.25066982 0.06397953
15.2636719 15.2734375 15.2685547 0.10994967 0.03197953
15.2685547 15.2734375 15.2709961 0.03953838 0.01598721
15.2709961 15.2734375 15.2722168 0.00431992 0.00799297
15.2722168 15.2734375 15.2728271 ‐0.01329251 0.00399632
15.2722168 15.2728271 15.272522 ‐0.00448603 0.0019982
15.2722168 15.272522 15.2723694 ‐8.2988E‐05 0.00099911
15.2722168 15.2723694 15.2722931 0.00211848 0.00049956
15.2722931 15.2723694 15.2723312 0.00101775 0.00024978
15.2723312 15.2723694 15.2723503 0.00046738 0.00012489
15.2723503 15.2723694 15.2723598 0.0001922 6.2444E‐05
el valor de P/A que se busca es de 15.2723598
Problema 8.17
Tomando la ecuación y sustituyendo todos los datos, ten
Simplificando e igualando a cero:
Tabulamos para encontrar valores iniciales
TA f(TA)
0 #¡DIV/0!
500 24.7773153
1000 6.45543485
formula: 1500 1.13404648
2000 ‐1.44358098
Observado el cambio de signo, tenemos que TA1=1500 y
Usando la formula de la bisección:
Los calculos se muestran en la siguiente tabla:
i TA1 TA2 (TA)r
0 1500 2000 1750
1 1500 1750 1625
2 1625 1750 1687.5
3 1625 1687.5 1656.25
4 1656.25 1687.5 1671.875
5 1671.875 1687.5 1679.6875
6 1679.6875 1687.5 1683.59375
7 1683.59375 1687.5 1685.54688
8 1683.59375 1685.54688 1684.57031
9 1683.59375 1684.57031 1684.08203
10 1684.08203 1684.57031 1684.32617
11 1684.32617 1684.57031 1684.44824
12 1684.32617 1684.44824 1684.38721
13 1684.32617 1684.38721 1684.35669
14 1684.35669 1684.38721 1684.37195
15 1684.35669 1684.37195 1684.36432
16 1684.36432 1684.37195 1684.36813
17 1684.36432 1684.36813 1684.36623
18 1684.36432 1684.36623 1684.36527
19 1684.36432 1684.36527 1684.3648
Entonces el valor de TA que se requiere es de
Problema 8.18
emos que: Derivando la ecuación que nos dan y sustituyendo los val
Tabulamos para encontrar valores iniciales:
x f(x)
0 ‐1.296E+11
50 ‐1.2423E+11
100 ‐1.085E+11
150 ‐8.3531E+10
200 ‐5.12E+10
250 ‐1.4131E+10
300 2.43E+10
Usando el cambio de signo, tenemos que xa=250 y xb=30
En la siguiente tabla usamos el método de biseccion con
TA2=2000
i xa xb
0 250 300
1 250 275
2 262.5 275
3 262.5 268.75
4 265.625 268.75
f(TAr) Ea 5 267.1875 268.75
‐0.34427672 6 267.96875 268.75
0.33611724 7.69230769 7 267.96875 268.359375
‐0.01707134 3.7037037 8 268.164063 268.359375
0.15608359 1.88679245 9 268.261719 268.359375
0.06867139 0.93457944 10 268.310547 268.359375
0.02559437 0.46511628 11 268.310547 268.334961
0.00421047 0.23201856 12 268.322754 268.334961
‐0.00644315 0.11587486 13 268.322754 268.328857
‐0.00111952 0.05797101 14 268.325806 268.328857
0.00154468 0.02899391 15 268.327332 268.328857
0.00021238 0.01449485 16 268.328094 268.328857
‐0.00045362 0.0072469 17 268.328094 268.328476
‐0.00012063 0.00362358 18 268.328094 268.328285
4.5871E‐05 0.00181182 19 268.328094 268.32819
‐3.7381E‐05 0.0009059 20 268.328142 268.32819
4.2446E‐06 0.00045295
‐1.6568E‐05 0.00022648
‐6.1619E‐06 0.00011324 Entonces, el valor de x que ocasiona la máx
‐9.5865E‐07 5.6619E‐05
1.643E‐06 2.831E‐05 Sustituimos el valor de x en la formula orig
e 1684.3648
Es decir, la deflexión máxima es de ‐0.8036
ores dados obtenemos:
00.
la siguiente fórmula para la raiz aproximada:
xr f(xr) Ea
275 5154296875
262.5 ‐4502856445 4.76190476
268.75 325993347 2.3255814
265.625 ‐2088853931 1.17647059
267.1875 ‐881475002 0.58479532
267.96875 ‐277744355 0.29154519
268.359375 24124573.1 0.14556041
268.164063 ‐126809992 0.07283321
268.261719 ‐51342719.4 0.03640335
268.310547 ‐13609073.9 0.01819836
268.334961 5257749.66 0.00909835
268.322754 ‐4175662.12 0.00454938
268.328857 541043.768 0.00227464
268.325806 ‐1817309.18 0.00113733
268.327332 ‐638132.705 0.00056866
268.328094 ‐48544.4684 0.00028433
268.328476 246249.65 0.00014217
268.328285 98852.5906 7.1083E‐05
268.32819 25154.0611 3.5541E‐05
268.328142 ‐11695.2037 1.7771E‐05
268.328166 6729.42871 8.8853E‐06
xima deflexión es de 268.3282
gina y tenemos que:
66
Problema 8.19
a) Sustituyendo los valores dados en la ecuación, tenemos que:
Igualando a cero tenemos que:
Tabulamos para elegir valores iniciales:
x f(x)
0 2.35758882
1 4.38583477
2 5.25589675
3 5.20218704
4 4.58689432
5 3.70282143
6 2.73646763
7 1.79057003
8 0.9145572
9 0.12752598
10 ‐0.56736451
Usando el método de biseccion teniendo como valores iniciales x1=9 y x2=10, usando la formula sig
Los calculos se muestran en la siguiente tabla:
i x1 x2 xr f(xr) Ea
0 9 10 9.5 ‐0.23126735
1 9 9.5 9.25 ‐0.05474457 2.7027027
2 9 9.25 9.125 0.03566875 1.36986301
3 9.125 9.25 9.1875 ‐0.00971802 0.68027211
Entonces, a 9.1875 km aguas abajo la concenctración de oxigeno desciende a 5 mg/L
b) Aquí calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:
. .
. .
Tabulamos para encontrar valores iniciales:
x g(x)
0 0.35
1 0.17415913
2 0.07281699
3 0.01592086
4 ‐0.0146541
Los valores iniciales que usamos son x1=3 y x=4 para el método de bisección
i x1 x2 xr f(xr) Ea
0 3 4 3.5 ‐0.00184633
1 3 3.5 3.25 5.08773771 7.69230769
2 3.25 3.5 3.375 5.01917617 3.7037037
3 3.375 3.5 3.4375 4.98233622 1.81818182
4 3.4375 3.5 3.46875 4.96330943 0.9009009
5 3.46875 3.5 3.484375 4.95364837 0.44843049
6 3.484375 3.5 3.4921875 4.94878142 0.22371365
7 3.4921875 3.5 3.49609375 4.9463389 0.11173184
8 3.49609375 3.5 3.49804688 4.94511539 0.05583473
9 3.49804688 3.5 3.49902344 4.94450307 0.02790957
10 3.49902344 3.5 3.49951172 4.94419677 0.01395284
Entonces la concentracón de oxigeno se encuentra al mínimo a 3.4995 km, y dicha conenctración es
. .
. . . .
Problema 8.20
Sustituyendo los datos en la ecuación e igu
a) Graficando la función
t f(t)
0 80
1 20.2896317
2 5.94818966
3 1.80349912
4 0.00227083
5 ‐1.2127331
Con esto obtenemos que las bacterias se re
b) Derivamos f(t) y obtenemos:
uiente:
La formula de Newton‐Raph
i ti f(ti)
0 6 ‐2.23818123
1 3.69337148 0.45551923
2 3.98189621 0.02751951
Entonces las bacterias se reducen a 15 al ti
. ,
.
s:
ualando a cero:
educen a 15 al tiempo 4
son es:
f'(ti) ti+1 Ea
‐0.97032583 3.69337148
‐1.57878749 3.98189621 7.24591277
‐1.39927316 4.00156321 0.49148297
empo 4.0016
‐20
0
20
40
60
80
100
0 1 2 3 4 5 6
Título del gráfico
,
Problema 8.29
Tomando la ecuación, sustituyendo valores dados e igualendo a cero tenemos que:
Tabulamos para ver valores iniciales:
t f(t)
0 6
0.2 ‐0.72298455
0.4 ‐7.88070278
0.6 ‐6.99598146
0.8 ‐1.75034743
1 0.31091497
1.2 ‐2.16233283
Vemos que hay tres cambios de signo:
Primero entre t1=0 y t2=0.2, despues en t3=0.8 y t4=1, y por ultimo ent
Aplicamos el método de bisección en cada intervalo
i t1 t2 tr f(tr)
0 0 0.2 0.1 3.58825964
1 0.1 0.2 0.15 1.5532031
2 0.15 0.2 0.175 0.42994961
3 0.175 0.2 0.1875 ‐0.14469862
4 0.175 0.1875 0.18125 0.14331447
5 0.18125 0.1875 0.184375 ‐0.00054928
6 0.18125 0.184375 0.1828125 0.07142196
7 0.1828125 0.184375 0.18359375 0.03544572
8 0.18359375 0.184375 0.18398438 0.01745051
9 0.18398438 0.184375 0.18417969 0.00845118
10 0.18417969 0.184375 0.18427734 0.00395109
i t3 t4 tr f(tr)
0 0.8 1 0.9 ‐0.03970412
1 0.9 1 0.95 0.31031313
2 0.95 1 0.975 0.35293641
3 0.975 1 0.9875 0.34222633
4 0.9875 1 0.99375 0.32910439
5 0.99375 1 0.996875 0.32063756
6 0.996875 1 0.9984375 0.31593251
7 0.9984375 1 0.99921875 0.31346271
8 0.99921875 1 0.99960938 0.31219857
9 0.99960938 1 0.99980469 0.3115592
10 0.99980469 1 0.99990234 0.31123769
i t4 t5 tr f(tr)
0 1 1.2 1.1 ‐0.57631473
1 1 1.1 1.05 ‐0.00470481
2 1 1.05 1.025 0.18941177
3 1.025 1.05 1.0375 0.10094098
4 1.0375 1.05 1.04375 0.05019907
5 1.04375 1.05 1.046875 0.02325886
6 1.046875 1.05 1.0484375 0.00940388
7 1.0484375 1.05 1.04921875 0.00238111
8 1.04921875 1.05 1.04960938 ‐0.00115397
9 1.04921875 1.04960938 1.04941406 0.00061554
10 1.04941406 1.04960938 1.04951172 ‐0.00026872
Entonces i=3 en los tiempos ta=0.184277, tb=0.999902
Problema 8.31
Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación e igual
Graficamos para encontrar valores iniciales
x f(x)
0 ‐1.25
0.2 ‐0.33207791
0.4 0.25593631
0.6 0.4552053
0.8 0.39794305
1 0.22701992
tre t4=1 y t5=1.2 1.2 0.02882667
1.4 ‐0.15777378
Ea
0.05
0.025 tenemos dos cambios de signo, uno entre x1=0.2 y x2=0.4
0.0125
0.00625 Aplicamos metodo de bisección en ambos intervalos
0.003125
0.0015625 i x1
0.00078125 0 0.2
0.00039063 1 0.2
0.00019531 2 0.2
9.7656E‐05 3 0.2
4 0.2
Ea 5 0.2
6 0.2
0.05 7 0.2
0.025 8 0.2
0.0125 9 0.2
0.00625 10 0.2
0.003125
0.0015625
0.00078125
⁄
‐0.4
‐0.3
‐0.2
‐0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.00039062 i t4
0.00019531 0 1.2
9.7656E‐05 1 1.2
2 1.2
Ea 3 1.225
4 1.225
0.05 5 1.225
0.025 6 1.228125
0.0125 7 1.228125
0.00625 8 1.22890625
0.003125 9 1.22929688
0.0015625 10 1.22949219
0.00078125
0.00039063
0.00019531 Entonces la9.7656E‐05
y tc=1.049512
and a cero tenemos:
4; y otro entre x3=1.2 y x4=1.4
x2 xr f(xr) Ea
0.4 0.3 0.01375156
0.3 0.25 ‐0.14669377 0.05
0.25 0.225 ‐0.23640188 0.025
0.225 0.2125 ‐0.2835154 0.0125
0.2125 0.20625 ‐0.30761852 0.00625
0.20625 0.203125 ‐0.31980408 0.003125
0.203125 0.2015625 ‐0.32593001 0.0015625
0.2015625 0.20078125 ‐0.32900122 0.00078125
0.20078125 0.20039063 ‐0.33053888 0.00039063
0.20039063 0.20019531 ‐0.33130822 0.00019531
0.20019531 0.20009766 ‐0.33169302 9.7656E‐05
⁄
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
Título del gráfico
t5 tr f(tr) Ea
1.4 1.3 ‐0.06712854
1.3 1.25 ‐0.01971736 0.05
1.25 1.225 0.00442905 0.025
1.25 1.2375 ‐0.00767775 0.0125
1.2375 1.23125 ‐0.00163249 0.00625
1.23125 1.228125 0.00139628 0.003125
1.23125 1.2296875 ‐0.00011861 0.0015625
1.2296875 1.22890625 0.00063871 0.00078125
1.2296875 1.22929688 0.00026002 0.00039063
1.2296875 1.22949219 7.0695E‐05 0.00019531
1.2296875 1.22958984 ‐2.396E‐05 9.7656E‐05
a fuerza es de 1.25 N a 0.2001 m y a 1.22959 m
Problema 8.33
En este caso se tienen dos ecuaciones:
Para Re=2500, tenemos que:
Para Re=1 000 000
Para la primera ecuación tabulamos para obtener valores iniciales:
f g(f)
0.01 ‐0.80823997
0.02 2.72275221
Por lo tanto usamos el metodo de bisección en f1=0.01 y f2=0.02, los calculos se presentan en la sigu
i f1 f2 fr g(fr) Ea
0 0.01 0.02 0.015 1.37897674
1 0.01 0.015 0.0125 0.44130815 0.0025
2 0.0125 0.015 0.01375 0.94033678 0.00125
3 0.01375 0.015 0.014375 1.16639918 0.000625
4 0.014375 0.015 0.0146875 1.27428582 0.0003125
5 0.0146875 0.015 0.01484375 1.32702048 0.00015625
6 0.01484375 0.015 0.01492188 1.35309467 7.8125E‐05
7 0.01492188 0.015 0.01496094 1.36605957 3.9063E‐05
8 0.01496094 0.015 0.01498047 1.3725241 1.9531E‐05
9 0.01498047 0.015 0.01499023 1.37575191 9.7656E‐06
10 0.01499023 0.015 0.01499512 1.3773647 4.8828E‐06
Tambien tabulamos para la segunda ecuación para obtener valores inicales:
f h(f)
0.001 ‐14.0227766
0.002 ‐4.15861978
0.003 0.29682393
0.004 2.99273168
Por lo tanto usamos el metodo de bisección en f1=0.001 y f2=0.002, los calculos se pr
i f1 f2 fr g(fr) Ea
0 0.001 0.002 0.0015 ‐7.86770646
1 0.0015 0.002 0.00175 ‐5.81849609 0.00025
2 0.0015 0.00175 0.001625 ‐6.78524019 0.000125
3 0.0015 0.001625 0.0015625 ‐7.31058123 6.25E‐05
4 0.0015 0.0015625 0.00153125 ‐7.5849704 0.00003125
5 0.0015 0.00153125 0.00151563 ‐7.72526844 1.5625E‐05
6 0.0015 0.00151563 0.00150781 ‐7.79621652 7.8125E‐06
7 0.0015 0.00150781 0.00150391 ‐7.83189332 3.9063E‐06
El factor de fricción quedaria entre fa=0.001504 y fb=0.014995 p
Problema 8.34
Sustituyendo todos los valor
Tabulamos para elegir el inte
d
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
El intervalo donde cambia de
uiente tabla:
En la siguiente tabla usamos
i d1
0 0.2
1 0.225
2 0.2375
3 0.24375
4 0.246875
5 0.2484375
6 0.24921875
7 0.24960938
8 0.24980469
El valor que se rquiere
esentan en la siguiente tabla:
⁄
par Re entre 2 500 y 1 000 000
res conocidos en la ecuación, tenemos que:
ervalo
f(d)
‐1280.205
‐1217.69606
‐1030.1544
‐717.565573
‐279.918783
282.795
e signo es de d1=0.20 a d2=0.25
el método de bisección y tenemos que:
d2 dr f(dr) Ea
0.25 0.225 ‐14.1957833
0.25 0.2375 130.391074 0.0125
0.25 0.24375 205.615896 0.00625
0.25 0.246875 243.961162 0.003125
0.25 0.2484375 263.317009 0.0015625
0.25 0.24921875 273.040737 0.00078125
0.25 0.24960938 277.914051 0.00039063
0.25 0.24980469 280.353571 0.00019531
0.25 0.24990234 281.574047 9.7656E‐05
e para los parámetros dados es d=0.2499
⁄
Problema 8.38
Se tiene que:
c/cc=0.1221
p=34.12
Sustituyendo en la ecuación tenemos que:
Tabulamos para escoger valores iniciales:
ω f(ω)
0 1.55740772
1 0.79399998
2 0.36056774
3 0.02147129
4 ‐0.31762517
El cambio de signo esta entre ω1=3 y ω2=4, por lo que usando el método de biseccion
i ω1 ω2 ωr f(ωr) Ea
0 3 4 3.5 ‐0.14317738
1 3 3.5 3.25 ‐0.06026621 0.25
2 3 3.25 3.125 ‐0.01932487 0.125
3 3 3.125 3.0625 0.00108226 0.0625
4 3.0625 3.125 3.09375 ‐0.00911791 0.03125
5 3.0625 3.09375 3.078125 ‐0.00401712 0.015625
6 3.0625 3.078125 3.0703125 ‐0.00146727 0.0078125
7 3.0625 3.0703125 3.06640625 ‐0.00019247 0.00390625
8 3.0625 3.06640625 3.06445313 0.0004449 0.00195313
9 3.06445313 3.06640625 3.06542969 0.00012622 0.00097656
10 3.06542969 3.06640625 3.06591797 ‐3.3126E‐05 0.00048828
11 3.06542969 3.06591797 3.06567383 4.6546E‐05 0.00024414
12 3.06567383 3.06591797 3.0657959 6.71E‐06 0.00012207
13 3.0657959 3.06591797 3.06585693 ‐1.3208E‐05 6.1035E‐05
El valor buscado es ω=3.06587
Problema 8.39
El calor que gana el fluido A es:
El calor que pierde el fluido B es:
Igualando los calores, tenemos que:
Tabulando la función anterior para obtene
T2 f(T2)
0 ‐68768.5448
100 ‐66424.2048
200 ‐62527.8248
n obtenemos: 300 ‐57178.1648
400 ‐50473.9848
500 ‐42514.0448
600 ‐33397.1048
700 ‐23221.9248
800 ‐12087.2648
900 ‐91.8847826
1000 12665.4552
El cambio de signo esta entre T2a=900 y T2
Usando el algoritmo de bisección se const
i T2a
0 900
1 900
2 925
3 937.5
4 943.75
5 946.875
6 948.4375
7 949.21875
8 949.609375
9 949.804688
10 949.902344
11 949.951172
12 949.975586
13 949.987793
14 949.993896
15 949.996948
16 949.998474
17 949.999237
18 949.999619
19 949.999809
20 949.999905
Por lo tanto los dos flu
r valores iniciales:
2b=100
ruye la siguiente tabla:
T2b T2r f(T2r) Ea
1000 950 6197.71272
950 925 3029.87428 25
950 937.5 4608.13002 12.5
950 943.75 5401.51756 6.25
950 946.875 5799.26569 3.125
950 948.4375 5998.40203 1.5625
950 949.21875 6098.0356 0.78125
950 949.609375 6147.86872 0.390625
950 949.804688 6172.78936 0.1953125
950 949.902344 6185.2507 0.09765625
950 949.951172 6191.48162 0.04882813
950 949.975586 6194.59715 0.02441406
950 949.987793 6196.15493 0.01220703
950 949.993896 6196.93382 0.00610352
950 949.996948 6197.32327 0.00305176
950 949.998474 6197.51799 0.00152588
950 949.999237 6197.61536 0.00076294
950 949.999619 6197.66404 0.00038147
950 949.999809 6197.68838 0.00019073
950 949.999905 6197.70055 9.5367E‐05
950 949.999952 6197.70663 4.7684E‐05
uidos salen del mezclador a 950 K= 675.75 °C