Upload
lamminh
View
349
Download
23
Embed Size (px)
Citation preview
Kalba netaisyta
P R O J E K T A S VP1-2.2-ŠMM-04-V-01-001
„MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBIŲ DIDINIMAS 14 –19 METŲ
MOKINIAMS, II ETAPAS: GILESNIS MOKYMOSI DIFERENCIJAVIMAS IR
INDIVIDUALIZAVIMAS, SIEKIANT UGDYMO KOKYBĖS, REIKALINGOS
ŠIUOLAIKINIAM DARBO PASAULIUI“
1.2.2. MODULINIŲ MOKYMO PROGRAMŲ VIDURINIAM UGDYMUI RENGIMAS
Metodinė medžiaga matematikos išplėstinio kurso modulių 11–12
(III – IV gimnazijos) klasėms programoms įgyvendinti
Parengė:
Ekspertų grupės vadovė
Regina Rudalevičienė
Ekspertai: Juozas Juvencijus Mačys,
Rūta Švelnikienė
2014–03–28
Kalba netaisyta
2
Turinys
METODINĖ MEDŽIAGA MATEMATIKOS IŠPLĖSTINIO KURSO MODULIŲ 11–12 (III –
IV GIMNAZIJOS) KLASĖMS PROGRAMOMS ĮGYVENDINTI .................................................. 3
ĮVADAS ................................................................................................................................................... 3
I. MOKINIŲ PASIEKIMŲ APIBENDRINAMOJO VERTINIMO / ĮSIVERTINIMO KRITERIJAI MOKINIAMS (SU
PAVYZDŽIAIS) PAGAL PASIEKIMŲ LYGIUS ............................................................................................... 4
1 modulis. Realieji skaičiai ir reiškiniai............................................................................................. 4
2 modulis. Lygtys, lygčių sistemos. Nelygybės, nelygybių sistemos ................................................. 10
3 modulis. Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė, logaritminė funkcijos ...................................... 16
4 modulis. Trigonometrija ................................................................................................................ 23
5 modulis. Geometrija ...................................................................................................................... 27
6 modulis. Tikimybių teorija. Statistika ............................................................................................ 32
7 modulis. Diferencialinis skaičiavimas .......................................................................................... 42
8 modulis. Integralinis skaičiavimas. Algebros ir analizės pradmenų žinių sisteminimas .............. 48
9 modulis. Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas ..................................................................... 53
Pasirenkamasis modulis. Uždavinių sprendimo strategijos ............................................................. 60
II. MODULIŲ, APIMANČIŲ MATEMATIKOS IŠPLĖSTINIO KURSO VEIKLOS SRITĮ „GEOMETRIJA.
VEKTORIAI“, PROGRAMAI ĮGYVENDINTI REIKALINGA METODINĖ MEDŽIAGA ........................................ 66
Planavimo pavyzdžiai ....................................................................................................................... 66
Modulio pradžioje ir pabaigoje siūlomos diagnostinės užduotys, padedančios įvertinti mokinio
daromą pažangą (dalykines ir bendrąsias kompetencijas) bei įsivertinti ........................................ 75
Apibendrinamųjų užduočių, orientuotų į dalykines ir bendrąsias kompetencijas, pavyzdžiai, jų
vertinimo kriterijai (mokytojui ir mokiniui) ................................................................................... 104
III. IKT (INFORMACINIŲ IR KOMUNIKACINIŲ TECHNOLOGIJŲ) PANAUDOJIMO MATEMATIKOS
UŽDAVINIAMS SPRĘSTI METODIKOS PAVYZDŽIAI ................................................................................. 124
IKT taikymas mokant pagal modulio Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė, logaritminė funkcijos
programą ........................................................................................................................................ 124
IKT taikymas mokant pagal modulio Integralinis skaičiavimas. Algebros ir analizės pradmenų
žinių sisteminimas programą ......................................................................................................... 129
IV. REKOMENDUOJAMA MOKYMO IR MOKYMOSI LITERATŪRA IR ŠALTINIAI MOKYTOJUI ................... 137
V. NAUDOTA LITERATŪRA IR KITI ŠALTINIAI .................................................................................... 138
PRIEDAS ........................................................................................................................................... 139
Projekto mokyklų mokytojų parengtų darbų pavyzdžiai ................................................................ 139
Kalba netaisyta
3
Metodinė medžiaga matematikos išplėstinio kurso modulių 11–12 (III – IV
gimnazijos) klasėms programoms įgyvendinti
Įvadas
Metodinę medžiagą matematikos išplėstinio kurso modulių 11–12 (III–IV gimnazijos)
klasėms programoms įgyvendinti (toliau Metodinė medžiaga) sudaro: mokinių pasiekimų
apibendrinamojo vertinimo / įsivertinimo kriterijai mokiniams (su pavyzdžiais) pagal pasiekimų lygius
visoms modulių (išplėstinio kurso) programoms (pagrindinio lygio pasiekimų reikalavimai apima
patenkinamojo lygio reikalavimus, o aukštesniojo lygio – pagrindinio ir patenkinamojo lygio
reikalavimus); modulių „Geometrija“ ir „Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas“ programoms
įgyvendinti reikalinga metodinė medžiaga (planavimo pavyzdys; modulio pradžioje ir pabaigoje
siūlomos diagnostinės užduotys, padedančios įvertinti mokinio daromą pažangą (dalykines ir
bendrąsias kompetencijas) bei įsivertinti; apibendrinamųjų užduočių pavyzdžiai ir jų vertinimo
kriterijai (mokytojui ir mokiniui); IKT (informacinių ir komunikacinių technologijų) panaudojimo
matematikos uždaviniams spręsti metodikos pavyzdžiai; rekomenduojama mokymo ir mokymosi
literatūra ir šaltiniai mokytojui.
Metodinė medžiaga parengta, atsižvelgiant į projekte dalyvavusių ir išbandžiusių
matematikos modulių programas mokytojų praktine patirtimi. Priede pateikta projekte dalyvavusių
mokytojų iš Kauno Kovo 11-tosios vidurinės mokyklos, Klaipėdos „Ąžuolyno“ gimnazijos, Panevėžio
profesinio rengimo centro, Alytaus profesinio rengimo centro, Šiaulių profesinio rengimo centro,
Marijampolės „Sūduvos“ gimnazijos, Molėtų gimnazijos, VŠĮ Kauno Juozo Urbšio katalikiškosios
vidurinės mokyklos metodiniai darbai – planavimo pavyzdžiai, apibendrinamųjų darbų su jų vertinimo
instrukcijomis pavyzdžiai, IKT taikymo matematikos pamokose pavyzdžiai.
Parengta Metodinė medžiaga skiriama pagrindiniams modulinio mokymo įgyvendintojams
– mokyklų vadovams ir matematikos mokytojams. Pateiktą metodinę medžiagą mokytojai gali
kūrybiškai papildyti ir taikyti, atsižvelgdami į savo mokinių patirtį, mokymosi gebėjimus, įpročius ir
lūkesčius.
Kalba netaisyta
4
I. Mokinių pasiekimų apibendrinamojo vertinimo / įsivertinimo kriterijai mokiniams (su pavyzdžiais) pagal pasiekimų
lygius
1 modulis. Realieji skaičiai ir reiškiniai
Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
1.1. Skaičių priskirti skaičių aibei ir atlikti skaičių aibių veiksmus.
Žino skaičių aibes, iš duotų skaičių moka
išrinkti reikiamos skaičių aibės skaičius.
Paaiškina aibės ir skaičių aibės sąvoką.
Skaičius, priklausančius įvairioms skaičių
aibėms, moka pavaizduoti skaičių tiesėje.
Žino realiųjų skaičių aibės sandarą, žino, kuo viena
skaičių aibė skiriasi nuo kitos.
Moka rasti dviejų skaičių tiesės intervalų
sąjungą ir sankirtą.
Suvokia aibių sąjungą, sankirtą, poaibį, moka rasti
aibės papildinį.
Naudoja aibių ir jų veiksmų simbolius.
Moka spręsti uždavinius nurodytoje skaičių aibėje.
Moka rasti dviejų aibių skirtumą, aibės papildinį.
Moka palyginti realiuosius skaičius:
paprastąsias ir dešimtaines trupmenas,
iracionaliuosius skaičius.
Moka paversti dešimtaines periodines trupmenas
paprastosiomis ir atvirkščiai.
Skaičiuoja skaitinių reiškinių su periodinėmis
dešimtainėmis trupmenomis reikšmes.
Įvertina skaičiavimo rezultatų absoliučiąją ir
santykinę paklaidas.
1.2. Aprašyti paprastas praktines ir matematines situacijas aritmetinėmis ir geometrinėmis progresijomis bei remiantis progresijų savybėmis jas išspręsti,
įvertinti ar patikrinti gautus rezultatus.
Supranta, kas yra seka.
Paprasčiausiais atvejais pastebi skaičių eilutės
dėsningumus.
Moka rasti sumą skaičių, tenkinančių tam tikrą
savybę.
Sprendžia lygtis, kuriose yra progresijų.
Pagal duotą seką užrašo jos n-tojo nario formulę.
Paprasčiausiais atvejais pratęsia skaičių eilutę
pagal pastebėtą dėsningumą.
Randa sekos n-tąjį narį pagal n-tojo nario
formulę.
Moka apskaičiuoti sekos n pirmųjų narių sumą
paprasčiausiais atvejais.
Atkurti seką pagal jos n-tojo nario formulę.
Moka skaičiuoti sekos narius pagal rekurentinę
formulę.
Atkurti seką pagal rekurentinę formulę.
Atpažįsta aritmetinę progresiją. Paprastais Pateikia aritmetinės progresijos pavyzdžių. Moka išvesti, žino ir moka taikyti n-tojo nario ir
Kalba netaisyta
5
atvejais moka rasti aritmetinės progresijos
nežinomą dydį.
Atpažįsta aritmetinę progresiją praktinėse situacijose,
moka rasti nežinomą jos narį, spręsti lygtis, kuriose
yra progresijos sumų.
pirmųjų n narių sumos formules.
Atpažįsta geometrinę progresiją. Paprastais
atvejais moka rasti geometrinės progresijos
nežinomą dydį.
Pateikia geometrinės progresijos pavyzdžių. Atpažįsta
geometrinę progresiją praktinėse situacijose, moka
rasti nežinomą jos narį, spręsti lygtis, kuriose yra
progresijos sumų.
Moka išvesti, žino ir moka taikyti n-tojo nario ir
pirmųjų n narių sumos formules. Sprendžia
uždavinius, kuriuose reikia žinoti abiejų progresijų
savybes.
Paprasčiausiais atvejais moka taikyti
nykstamosios geometrinės progresijos sumos
formulę.
Moka taikyti nykstamosios geometrinės progresijos
sumos formulę paprasčiausiems uždaviniams spręsti.
Moka pagrįsti nykstamosios geometrinės progresijos
sumos formulę.
Pateikia pavyzdžių, iliustruojančių sekos ribos
sąvoką. Žino ir moka paaiškinti, kas yra skaičius e.
Naudojasi paprastųjų ir sudėtinių procentų
formulėmis paprasčiausiuose praktinio turinio
uždaviniuose.
Naudojasi paprastųjų ir sudėtinių procentų formulėmis
spręsdamas paprastus uždavinius.
Naudojasi paprastųjų ir sudėtinių procentų
formulėmis spręsdamas nesudėtingus uždavinius.
1.3. Nesudėtingas situacijas aprašyti algebriniais reiškiniais, apskaičiuoti šių reiškinių skaitines reikšmes ar dydžio reikšmes pagal nurodytą formulę, naudotis
turimomis IKT priemonėmis.
Randa apibrėžimo sritį paprasčiausiais
atvejais, kai yra vardiklių, lyginio ar nelyginio
laipsnio šaknų.
Moka rasti apibrėžimo sritį paprastais atvejais, kai
reiškinys susideda iš kelių dalių.
Supranta ir moka paaiškinti racionaliojo reiškinio ir
iracionaliojo reiškinio sąvokas.
Moka rasti apibrėžimo sritį nesudėtingais atvejais.
Tapačiai pertvarko reiškinius naudodamas
formulę: ( )( ).
Moka tapačiai pertvarkyti racionaliuosius reiškinius,
naudodamasis greitosios daugybos formulėmis:
( )( ),
( ) .
Moka tapačiai pertvarkyti racionaliuosius reiškinius
naudodamasis greitosios daugybos formulėmis
( ) ,
( )( ). Apskaičiuoja paprastų reiškinių su moduliu
reikšmes.
Moka pertvarkyti reiškinius su moduliais, kai x kinta
nurodytoje srityje.
Moka pertvarkyti reiškinius su moduliais, kai x
kitimo sritis nenurodyta.
1.4. Taikyti veiksmų su laipsniais ir veiksmų su n-tojo laipsnio šaknimis savybes sprendžiant skaičiavimo, reiškinių pertvarkymo ir palyginimo uždavinius,
naudotis turimomis IKT priemonėmis.
Žino laipsnių savybes ir taiko jas spręsdamas
paprastus uždavinius. Moka skaičiuoti
paprastų reiškinių su neigiamuoju laipsnio
rodikliu reikšmes.
Žino laipsnių savybes ir taiko jas spręsdamas
nesudėtingus uždavinius.
Moka pagrįsti laipsnio su realiuoju rodikliu savybes.
Paprasčiausiais atvejais moka n-tojo laipsnio
šaknį išreikšti laipsniu su trupmeniniu rodikliu
ir atvirkščiai.
Paprastais atvejais moka n-tojo laipsnio šaknį
išreikšti laipsniu su trupmeniniu rodikliu ir atvirkščiai.
Nesudėtingais atvejais moka n-tojo laipsnio šaknį
išreikšti laipsniu su trupmeniniu rodikliu ir
atvirkščiai.
Skaičiuoja reiškinių su n-tojo laipsnio Prastina reiškinius su laipsniais ir n-tojo laipsnio Moka pagrįsti n-tojo laipsnio šaknų savybes. Prastina
Kalba netaisyta
6
šaknimis reikšmes.
šaknimis.
reiškinius su racionaliaisiais rodikliais naudodamasis
greitosios daugybos formulėmis.
Moka parašyti skaičių standartine išraiška.
Moka atlikti veiksmus su skaičiais, užrašytais
standartine išraiška.
Moka atlikti veiksmus su skaičiais, kurių standartinės
išraiškos yra skirtingos eilės.
1.5. Taikyti skaičiaus logaritmo apibrėžimą ir savybes sprendžiant skaičiavimo, reiškinių pertvarkymo ir palyginimo uždavinius, naudotis turimomis IKT
priemonėmis.
Supranta skaičiaus logaritmo sąvoką. Moka paaiškinti skaičiaus logaritmo sąvoką. Suformuluoja logaritmo apibrėžimą, jį paaiškina.
Moka apskaičiuoti skaičiaus logaritmo
reikšmes paprasčiausiais atvejais.
Žino dešimtainį logaritmą.
Moka apskaičiuoti bet kokio pagrindo logaritmo
reikšmę naudodamasis skaičiuokliu.
Žino ir paaiškina natūraliojo logaritmo apibrėžimą.
Skaičiuoja paprasčiausių logaritminių
reiškinių reikšmes.
Naudojasi logaritmų savybėmis prastindamas
paprastus skaitinius logaritminius reiškinius.
Moka pagrįsti logaritmų savybes.
Moka nustatyti logaritmo ženklą.
Moka nustatyti, tarp kokių gretimų sveikųjų skaičių
yra skaičiaus logaritmo reikšmė.
Naudojasi logaritmų savybėmis prastindamas
nesudėtingus skaitinius logaritminius reiškinius.
Užduočių pavyzdžiai
Žinios ir supratimas Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
1.1. Skaičių priskirti skaičių aibei ir atlikti skaičių aibių veiksmus.
1.1.1. Paaiškinti aibės ir skaičių aibės sąvoką.
Žinoti, kaip skaičių aibės vaizduojamos skaičių
tiesėje.
1.1.2. Žinoti realiųjų skaičių aibės sandarą.
1.1.3. Paaiškinti sąvokas: aibių sąjunga, sankirta,
aibės poaibis, papildinys. Vartoti formaliuosius
aibių ir jų veiksmų simbolius. Rasti dviejų aibių
sąjungą, sankirtą ir skirtumą.
Atskiruose brėžiniuose
spalvindami pavaizduokite: A O;
O∩A; A \O; MA.
Duotos aibės
A = {2; 4; 6; 8; 10}, B = {5; 7; 9;
11}, C = {4; 5; 6; 8; 9}.
Užrašykite:
a) A C;
b) B A;
c) A (B C);
d) kurį nors aibės A poaibį iš 2
elementų.
Pavaizduokite aibės A
dvielemenčius poaibius.
Duotos aibės
A={2; 4; 6; 8; 10}, B ={5; 7; 9;
11}, C = {4; 5; 6; 7; 8; 9}.
Raskite:
a) ;
b) ( ) ;
c) ( ) ;
d) ;
e) ( ) .
Kalba netaisyta
7
1.1.4. Paversti dešimtaines periodines trupmenas
paprastosiomis ir atvirkščiai, palyginti realiuosius
skaičius.
1. Skaičių 3
1užrašykite
dešimtaine periodine trupmena.
2. Skaičius 0,(4) ir 0,(21)
užrašykite paprastosiomis
trupmenomis.
1. Skaičių
užrašykite
dešimtaine periodine trupmena.
2. Išreikškite paprastosiomis
trupmenomis ir apskaičiuokite:
0,(3) + 2,7(2).
Jei iš vieno skaičiaus atimtume, o
prie kito pridėtume 2,47(2), tai
rezultatas būtų toks pat. Padaliję
pirmąjį skaičių iš antrojo,
gautume 1,(45). Raskite tuos du
skaičius.
1.1.5. Paprasčiausiais atvejais įvertinti
skaičiavimo rezultatų absoliučiąją, santykinę
paklaidas.
Detalė, kurios ilgis 54,315 mm,
išmatuota 0,1 mm tikslumu. Gauta
apytikslė detalės ilgio reikšmė
54,3 mm. Apskaičiuokite
santykinę šios reikšmės paklaidą.
Nustatykite, kuris matavimo
rezultatas tikslesnis santykinės
paklaidos prasme: cm² (5
cm² tikslumu) ar cm²
(10 cm² tikslumu).
Skaičius 14,652 suapvalintas su
trūkumu ir su pertekliumi 0,1
tikslumu. Apskaičiuokite
santykines šių apytikslių skaičių
paklaidas 0,01 procento tikslumu.
1.2. Aprašyti paprastas praktines ir matematines situacijas aritmetinėmis ir geometrinėmis progresijomis bei remiantis progresijų savybėmis jas išspręsti, įvertinti
ar patikrinti gautus rezultatus.
1.2.1. Paaiškinti skaičių sekos sąvoką, pateikti
skaičių sekų pavyzdžių, užrašant pirmuosius jos
narius.
Natūraliųjų lyginių skaičių seka 2,
4, 6, 8, ....
Užrašykite nelyginių skaičių sekos
pirmuosius penkis narius.
Pratęskite skaičių seką 1, 4, 9, ... . Pratęskite skaičių seką 0, 3, 8, 15,
... .
1.2.2. Atkurti sekos narius pagal sekos n-tojo
nario formulę ar rekurentinę formulę. Užrašyti
paprastų sekų n-tojo nario formulę.
Parašykite penkis sekos narius, kai
sekos n-tojo nario formulė tokia:
a) = 5 + 2n;
b) = cos(n + 1)π
Parašykite po penkis sekų narius,
kai:
a) = –1, = + 1,5;
b) = 1, = 4; = 9, =
3 – 3 + .
1. Parašykite sekos 2, 4, 6, 8, 10,
... n-tojo nario formulę.
2. Parašykite sekos
n-tojo nario formulę.
1.2.3. Apibrėžti aritmetinę progresiją. Išvesti,
žinoti ir mokėti taikyti n-tojo nario ir pirmųjų n
narių sumos formules sprendžiant nesudėtingus
uždavinius.
1. Apskaičiuokite aritmetinės
progresijos narį , kai = 11,
d = 2.
2 . Apskaičiuokite aritmetinės
progresijos ( na ) pirmųjų 100
narių sumą, kai = 10, =
350.
3. Apskaičiuokite aritmetinės
progresijos narį , kai = 3
1,
d = – 3.
1. Aritmetinės progresijos =
1, d = – 0,5. Apskaičiuokite .
2. Apskaičiuokite aritmetinės
progresijos n nario numerį, jei
šios progresijos = – 12 , = –
10,5 ir = 0.
3. Aritmetinės progresijos =
0,5, = 0,7. Raskite . 4. Duota aritmetinė progresija
1,7; 2; 2,3; ... . Ar skaičius 32
yra šios progresijos narys?
5. Antrasis aritmetinės
1. Žinoma, kad aritmetinės
progresijos = 6,2 ir = 21,2.
Apskaičiuokite šios progresijos
pirmąjį narį ir skirtumą.
2. Įrodykite, kad seka ( ), kurios n-tasis narys = 7 – 3n,
yra aritmetinė progresija.
3. Jei seka , , ,..., yra
aritmetinė progresija, tai . Pagrįskite šį
teiginį.
Kalba netaisyta
8
4. Duota aritmetinė progresija
15, 30, 45, 60, ... . Apskaičiuokite
pirmųjų 22 narių sumą.
progresijos narys lygus – 8,5, o
ketvirtasis narys lygus – 4,5.
Kokia yra pirmųjų šešių narių
suma?
1.2.4. Apibrėžti geometrinę progresiją. Išvesti,
žinoti ir mokėti taikyti n-tojo nario ir pirmųjų n
narių sumos formules sprendžiant nesudėtingus
uždavinius.
1. Parašykite penkis pirmuosius
geometrinės progresijos (bn)
narius, kai = 128,
.
2. Apskaičiuokite geometrinės
progresijos (bn ) pirmųjų 7 narių
sumą, kai = 5, q = 2.
1. Seka ( ) yra geometrinė
progresija. Apskaičiuokite , kai
= 243, q = 3.
2. Apskaičiuokite nežinomus
geometrinės progresijos narius:
625, , , –135, 81, .
3. Parašykite geometrinės
progresijos n-tojo nario formulę,
kai b1= 128, b4 = – 16.
Jei seka , , ,..., yra
geometrinė progresija, tai
( )
.
Įrodykite.
1.2.5. Taikyti nykstamosios geometrinės
progresijos sumos formulę paprasčiausiems
uždaviniams spręsti. Pateikti pavyzdžių,
iliustruojančių sekos ribos sąvoką. Žinoti, kas yra
skaičius e.
Remdamiesi nykstamosios
geometrinės progresijos sumos
formule, skaičių 0,(4) užrašykite
paprastąja trupmena .
1. Remdamiesi nykstamosios
geometrinės progresijos sumos
formule, skaičių 1,2(7) užrašykite
paprastąja trupmena.
2. Apskaičiuokite
+ ...
1. Nustatykite, prie kokio
skaičiaus artėja sekos
nariai, kai .
2. Apskaičiuokite sekos
(
)
narius, kai n = 10000, n
= 10010, n = 10100, n = 11000.
Nustatykite, prie kokio skaičiaus
artėja sekos nariai, kai n→ ∞.
Suformuluokite išvadą.
1.2.6. Sieti progresijas su paprastųjų ir sudėtinių
palūkanų skaičiavimu ir spręsti nesudėtingus
uždavinius. Spręsti dydžio procentinio didėjimo ir
(arba) mažėjimo uždavinius.
Miestelyje gyvena 7800
gyventojų. Per metus gyventojų
skaičius padidėja 2 %. Kiek
gyventojų miestelyje bus po 5
metų?
Kiek eurų reikia įnešti į taupomąją
sąskaitą, kad po 5 metų
susikauptų 10000 eurų, jei
mokama 1,25 % metinių sudėtinių
palūkanų, skaičiuojamų
ketvirčiais?
Gėlininkė kiekvieną pirmadienį
patręšia gėles 10 g biotrąšų.
Žinoma, kad trąšų kiekis vazone
per savaitę sumažėja 25%.
Parašykite formulę, pagal kurią
būtų galima apskaičiuoti trąšų
kiekį vazone po kiekvieno
tręšimo.
1.3. Nesudėtingas situacijas aprašyti algebriniais reiškiniais, apskaičiuoti šių reiškinių skaitines reikšmes ar dydžio reikšmes pagal nurodytą formulę, naudotis
turimomis IKT priemonėmis.
1.3.1. Suprasti, paaiškinti ir vartoti sąvokas:
racionalusis reiškinys ir iracionalusis reiškinys.
Kada reiškiniai turi prasmę: Raskite reiškinio apibrėžimo sritį: Nustatykite reiškinio leistinųjų
reikšmių aibę:
Kalba netaisyta
9
Nustatyti jų leistinųjų reikšmių aibę (apibrėžimo
sritį).
a)
;
b) √ ;
c)
.
a)
;
b) √ .
) √
√ ;
b) √
;
c)
√ .
1.3.2. Tapačiai pertvarkyti racionaliuosius
reiškinius naudojant greitosios daugybos
formules
( ) ,
( )( )
Suprastinkite reiškinį:
a)
;
b) ( ) .
Suprastinkite reiškinį:
.
Suprastinkite reiškinį:
( ) ( ) .
1.3.3. Apskaičiuoti paprastų reiškinių su moduliu
reikšmes.
Suprastinkite reiškinį: | |
, kai a > 2.
Suprastinkite reiškinį: | |
| | .
Suprastinkite reiškinį: | |
√ .
1.4. Taikyti veiksmų su laipsniais ir veiksmų su n-tojo laipsnio šaknimis savybes sprendžiant skaičiavimo, reiškinių pertvarkymo ir palyginimo uždavinius,
naudotis turimomis IKT priemonėmis.
1.4.1. Žinoti laipsnių (su realiuoju rodikliu)
savybes ir jas taikyti paprastiems reiškiniams
pertvarkyti.
Apskaičiuokite reiškinio reikšmę:
((
) )
( ) .
Apskaičiuokite reiškinio reikšmę:
2436 ∙ 27
5: 81
7
Apskaičiuokite reiškinio
reikšmę:
.
1.4.2. n-tojo laipsnio šaknį išreikšti laipsniu su
trupmeniniu rodikliu ir atvirkščiai.
1.4.3. Žinoti veiksmų su n-tojo laipsnio šaknimis
savybes ir mokėti atlikti nesudėtingus veiksmus
su šaknimis.
Pagrįsti n-tojo laipsnio šaknų savybes.
Laipsnį su trupmeniniu rodikliu
išreiškę n-tojo laipsnio šaknimi,
apskaičiuokite reiškinio reikšmę:
a)
;
b) √ √ √
√ .
Išreikškite n-tojo laipsnio šaknimi:
a) √ √
;
b) √ √ √ √ .
Apskaičiuokite reiškinio
reikšmę:
a) √ √ √
;
b)
( )
.
1.4.4. Atlikti veiksmus su standartinės išraiškos
skaičiais.
Apskaičiuokite. Atsakymą
užrašykite standartine išraiška:
a) (9,6 ∙ 103) + (2,9 ∙ 10
3);
b) (8,3 · 10²) – (9,1 · 10²);
c) (7,3 · 104)².
Apskaičiuokite. Atsakymą užrašykite
standartine išraiška:
a) (1,5 ∙ 10–2) : (3 ∙ 10
–2);
b) (3,75 · 10– 5) · (5 · 10
– 5)
Apskaičiuokite reiškinio
reikšmę:
.
1.5. Taikyti skaičiaus logaritmo apibrėžimą ir savybes sprendžiant skaičiavimo, reiškinių pertvarkymo ir palyginimo uždavinius, naudotis turimomis IKT
Kalba netaisyta
10
priemonėmis.
1.5.1. Apibrėžti skaičiaus logaritmą.
1.5.2. Žinoti, kas yra dešimtainis logaritmas.
Žinoti, kas yra natūralusis logaritmas.
Apskaičiuoti dešimtainius ir natūraliuosius
logaritmus.
Apskaičiuokite:
a) ;
b) lg1000.
Apskaičiuokite:
a)
;
b) lg0,01.
1. Tarp kokių sveikųjų skaičių yra
logaritmas ln3?
2. Apskaičiuokite: .
1.5.3. Remiantis logaritmo apibrėžimu ir (arba)
logaritmų savybėmis apskaičiuoti logaritminių
reiškinių skaitines reikšmes, pertvarkyti
nesudėtingus reiškinius. Pagrįsti logaritmų
savybes.
1. Apskaičiuokite: b) ;
c) .
1.Apskaičiuokite:
.
2. Taikydami logaritmų savybes,
pertvarkykite reiškinį
( ).
1. Apskaičiuokite:
.
2. Su kokiomis a reikšmėmis
nelygybė lna > 1 teisinga?
3. Apskaičiuokite reiškinio
( ) reikšmę, kai =
−7.
2 modulis. Lygtys, lygčių sistemos. Nelygybės, nelygybių sistemos
Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
2.1. Spręsti: racionaliąsias ir paprastas iracionaliąsias lygtis, lygtis su moduliu bei lygtis, kurias galima suvesti į pavidalą ( ) ( ) , ( )
( ) , kur ( ),
( ) – ne aukštesnio negu antrojo laipsnio daugianariai.
Žino lygties, lygties sprendinio sąvokas, geba
patikrinti, ar skaičius yra lygties sprendinys.
Geba atlikti ekvivalenčius pertvarkius
spręsdamas tiesinę lygtį, žino ir taiko
kvadratinės lygties sprendimo algoritmą.
Suformuluoja lygties, lygties sprendinio apibrėžimus.
Supranta lygčių ekvivalentumo sąvoką. Geba pagrįsti
lygčių ekvivalentumą.
Suformuluoja lygčių ekvivalentumo apibrėžimą,
pateikia ekvivalenčių lygčių pavyzdžių, geba atrinkti
lygčių sprendinius, tenkinančius tam tikras sąlygas.
Supranta lygties apibrėžimo srities sąvoką. Geba
nustatyti paprastų trupmeninių, iracionaliųjų lygčių
apibrėžimo sritį.
Geba nustatyti bet kokio tipo lygties apibrėžimo sritį.
Geba spręsti bikvadratines lygtis. Supranta lygties sprendimo keičiant nežinomąjį
algoritmą. Geba aukštesnio laipsnio lygtį pertvarkyti į
lygtį f(x) · g(x) = 0.
Pagrindžia įvairių tipų lygčių, sprendžiamų įsivedant
keitinį, sprendimą.
Geba spręsti paprasčiausias racionaliąsias Supranta ir taiko racionaliųjų lygčių sprendimo Geba spręsti sudėtingesnes racionaliąsias lygtis.
Kalba netaisyta
11
lygtis. algoritmus. Geba atrinkti lygtį tenkinančius
sprendinius.
Algebriniu būdu sprendžia paprasčiausias
lygtis |f(x)| = a , kur f(x) – pirmojo laipsnio
daugianaris.
Algebriniu būdu sprendžia paprastas lygtis: |f(x)| = a,
kur f(x) – antrojo laipsnio daugianaris; | ( )| | ( )| , kur f(x) ir g(x) – pirmojo laipsnio
daugianariai.
Grafiniu būdu sprendžia paprastas lygtis: |f(x)| = a,
kur f(x) – antrojo laipsnio daugianaris.
Geba pagrįsti nesudėtingų lygčių su moduliu
algebrinį ir grafinį sprendimą. Geba parinkti
racionaliausią sprendimo būdą.
Žino iracionaliosios lygties sąvoką. Žino
iracionaliosios lygties sprendimo algoritmą ir
jį taiko lygtims √ ( ) √ ( )
√ ( ) ( ), kur f(x), g(x) – ne aukštesnio
negu antrojo laipsnio daugianariai, a –
sveikasis skaičius.
Suformuluoja iracionaliosios lygties apibrėžimą. Geba
spręsti lygtis ( ) √ ( ) √ ( ) ( )
Geba spręsti iracionaliąsias lygtis √ ( ) √ ( ) ( ). Pagrįsdamas išrenka pradinę lygtį tenkinančius
sprendinius.
Geba grafiniu būdu nustatyti lygties f(x) = g(x)
sprendinių skaičių, kur f(x) ir g(x) yra pirmojo
laipsnio daugianariai.
Supranta lygčių grafinio sprendimo esmę. Geba
grafiškai nustatyti lygties f(x) = 0, pertvarkytos į lygtį
g(x) = h(x), sprendinių skaičių,
Argumentuoja lygties f(x) = 0 grafinį sprendimą.
2.2. Spręsti kvadratines ir nesudėtingas racionaliąsias nelygybes, paprastas nelygybes su moduliu.
Naudotis turimomis IKT priemonėmis.
Moka grafiškai iliustruoti nelygybes. Supranta ekvivalenčių nelygybių sąvoką. Suformuluoja nelygybių ekvivalentumo apibrėžimą,
pateikia ekvivalenčių nelygybių pavyzdžių.
Žino, kaip grafiškai iliustruoti nelygybės f(x) *
g(x) sprendinį (* žymi <, >, ≤, ≥; f(x) ir g(x)
yra tiesioginio proporcingumo arba tiesinės
funkcijos). Geba atlikti ekvivalenčiuosius
pertvarkius, spręsdamas tiesines nelygybes,
užrašyti sprendinių aibę intervalu.
Moka grafiškai iliustruoti nelygybės f(x) * g(x) (*
žymi <, >, ≤, ≥ ) sprendinių aibę, f(x) ir g(x) yra
atvirkščiojo proporcingumo, tiesinės, kvadratinės
funkcijos
Sprendžia kvadratines ir racionaliąsias
nelygybes bent vienu būdu. Žino kvadratinių ir
trupmeninių nelygybių sprendimo etapus.
Geba taikyti intervalų metodą. Pavaizduoja
sprendinių aibę skaičių tiesėje.
Supranta kvadratinių, racionaliųjų nelygybių
sprendimo algoritmus, geba juos taikyti. Užrašo
sprendinių aibę intervalu.
Pagrįsdamas parenka kvadratinės ar racionaliosios
nelygybės sprendimo būdą.
Pagrindžia nelygybės su moduliu sprendimo grafinę
interpretaciją.
2.3. Spręsti dviejų nelygybių su vienu nežinomuoju ir lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas.
Kalba netaisyta
12
Žino nelygybių sistemos sprendimo etapus.
Geba spręsti tiesinių nelygybių sistemą,
pavaizduoja jos sprendinius skaičių tiesėje.
Supranta nelygybių sistemos sprendimo algoritmą.
Geba jį taikyti sistemoms, kuriose nelygybės ne
aukštesnio negu antrojo laipsnio.
Analizuoja sistemą sudarančių nelygybių tipus,
argumentuotai numato galimą sprendinių aibę ir
pasirenka nelygybių sistemos sprendimo būdą.
Žino lygčių sistemos sąvoką. Geba spręsti
dviejų lygčių, kai viena lygtis netiesinė,
sistemą keitimo būdu.
Supranta lygčių sistemos sprendimo būdų esmę. Geba
taikyti sudėties ir keitimo būdą įvairaus tipo lygčių
sistemoms spręsti.
Suformuluoja lygčių sistemos sprendimo būdų esmę.
Pagrįsdamas numato galimą sprendinių skaičių,
pasirenka racionaliausią būdą lygčių sistemai spręsti.
Supranta lygties su dviem nežinomaisiais ir
lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos
sprendinio sąvokas. Geba pavaizduoti tiesinės
lygties su dviem nežinomaisiais ir lygčių, kai
viena lygtis netiesinė, su dviem
nežinomaisiais sistemos sprendinius
koordinačių plokštumoje.
Suformuluoja lygties su dviem nežinomaisiais
sprendinio ir lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos
sprendinio apibrėžimus.
Geba pavaizduoti lygties su dviem nežinomaisiais ir
lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendinius
koordinačių plokštumoje.
Pagrįsdamas pateikia lygties su dviem nežinomaisiais
ir lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendinių
grafinį vaizdą koordinačių plokštumoje.
2.4. Modeliuoti lygtimis, nelygybėmis bei jų sistemomis paprastas matematines ir realias problemas.
Atpažįsta tiesinę lygtį su dviem
nežinomaisiais, pateikia pavyzdžių.
Supranta, kaip sudaryti tiesinę lygtį su dviem
nežinomaisiais, kai žinomi jos sprendiniai.
Supranta, kaip patikrinti, ar plokštumos taškai yra
vienoje tiesėje.
Pagrindžia lygties su dviem nežinomaisiais sudarymo
principus.
Pažymėjęs nežinomą dydį raide, geba sudaryti
lygtį paprasčiausiai situacijai aprašyti.
Geba pasižymėti nežinomus dydžius raidėmis ir
sudaryti lygtį, nelygybę arba sistemą pateiktai
situacijai aprašyti.
Išsamiai analizuoja aprašytą situaciją, pagrįsdamas
parenka racionaliausią realios situacijos aprašymo
lygtimis, nelygybėmis ar jų sistemomis būdą. Gautus
sprendinius sieja su konkrečia situacija.
Užduočių pavyzdžiai
Žinios ir supratimas Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
2.1. Spręsti kvadratines, racionaliąsias ir paprastas iracionaliąsias lygtis, lygtis su moduliu ir lygtis, kurias galima perrašyti kaip ( ) ( ) , ( )
( ) ( ( ),
( ) – ne aukštesnio negu antrojo laipsnio daugianariai).
2.1.1. Paaiškinti, ką reiškia išspręsti
lygtį, ką vadiname jos sprendiniu,
kaip patikrinti, ar skaičius yra lygties
sprendinys, kaip atrinkti lygties
sprendinius tenkinančius tam tikras
Ar lygtys
( ) ( ) ir x – 5 = 3
ekvivalenčios?
Su kuria a reikšme lygtis 3x² + ax + 24
= 0 turi sprendinį, lygų 3? Ar lygtys √ ir
√ √ √ yra
ekvivalenčios?
Kalba netaisyta
13
sąlygas. Paaiškinti, kas yra
ekvivalenčiosios lygtys, pateikti
pavyzdžių.
2.1.2. Nustatyti lygties apibrėžimo
sritį.
Nustatykite lygties apibrėžimo sritį:
Nustatykite lygties apibrėžimo sritį:
a) √ ;
b)
.
Nustatykite galimas x reikšmes:
√ .
2.1.3. Spręsti kvadratines lygtis
įvairiais būdais (taikant Vijeto
teoremą, išskiriant pilnąjį kvadratą).
Išspręskite lygtis, taikydami
sprendinių radimo formules:
a) ;
b) .
Apskaičiuokite kiekvienos lygties
gautų sprendinių sumą ir sandaugą.
1. Išspręskite lygtį, taikydami Vijeto
teoremą: .
2. Lygties vienas
sprendinys 8. Raskite koeficientą b ir
kitą sprendinį.
3. Išspręskite lygtis, išskirdami
dvinario kvadratą: a) ; b) .
1. Įrodykite, kad lygties sprendinių ženklai yra
priešingi.
.
2. Nespręsdami lygčių, nustatykite jų
sprendinių ženklus: a) ; b) .
3. Sudarykite kvadratinę lygtį, kurios
sprendiniai √
√ .
2.1.4. Sprendžiant aukštesniojo
laipsnio lygtis, mokėti keisti
nežinomąjį ir pertvarkyti turimą lygtį
į lygtį ( ) ( ) , ( ( ), ( ) –
ne aukštesnio negu antrojo laipsnio
daugianariai).
Išspręskite lygtį:
.
Išspręskite lygtį:
( ) ( ) .
Išspręskite lygtį:
√ √
2.1.5. Spręsti racionaliąsias lygtis. Išspręskite lygtis:
a)
;
b)
.
Išspręskite lygtis:
a)
;
b)
.
Išspręskite lygtis:
a)
;
b)
.
2.1.6. Grafiniu ir algebriniu būdu
spręsti paprastas lygtis:
axf )( ( f(x) – ne aukštesnio negu
antrojo laipsnio daugianaris),
bxhxg )()( ( g(x), h(x) –
pirmojo laipsnio daugianariai, a ir b –
Išspręskite lygtis:
ax – 9 = 5;
b) |x + 3| 8 = 3,2.
Išspręskite lygtis:
a) x² + x – 1 = 1;
b) 5|x – 3| + x = 6.
1. Išspręskite lygtį x – 1 + x – 3 = 2.
2. Ištirkite, su kuriomis a reikšmėmis
lygtis |x² - 6x + 5| = a turi du
sprendinius.
Kalba netaisyta
14
skaičiai).
2.1.7. Mokėti spręsti iracionaliąsias
lygtis: √ ( ) √ ( )
√ ( ) √ ( ) ( ) √ ( ) (f(x) ir g(x) – ne aukštesnio negu
antrojo laipsnio daugianariai,
a – skaičius);
√ ( ) ( ) ( f(x) – ne aukštesnio
negu antrojo laipsnio daugianaris,
g(x) – pirmojo laipsnio daugianaris);
√ ( ) √ ( ) ( ) ( f(x), g(x) ir
h(x) – pirmojo laipsnio daugianariai).
Išspręskite lygtis:
a) √ ;
b) √ .
Išspręskite lygtis:
a) √ √
b) ( ) √
c) √
d) √ √
Išspręskite lygtis:
a) √ √ ;
b) ( ) √ ;
c) √
;
d)
√ √ .
2.1.8. Mokėti grafiškai spręsti lygtis
( ) ( ) ( ( ), ( ) – ne
aukštesnio negu antrojo laipsnio
daugianariai), mokėti iš anksto
nustatyti jų sprendinių skaičių.
Išspręskite lygtį grafiniu būdu:
.
Išspręskite lygtį grafiniu būdu:
.
Išspręskite lygtį grafiniu būdu:
.
2.2. Spręsti kvadratines ir nesudėtingas racionaliąsias nelygybes, paprastas nelygybes su moduliu. Naudotis turimomis IKT priemonėmis.
2.2.1. Paaiškinti, ką reiškia
ekvivalenčios nelygybės, pateikti
pavyzdžių.
2.2.2. Grafiškai iliustruoti nelygybių
f(x) * g(x) (f(x), g(x) – tiesioginio ar
atvirkščiojo proporcingumo funkcijos,
tiesinės funkcijos, kvadratinės
funkcijos, žymi <, , , )
sprendinių aibes.
Skaičių tiesėje pavaizduokite
nelygybės sprendinių aibę.
Atsakymą užrašykite intervalu.
Grafiškai iliustruokite nelygybės
sprendinių aibę:
.
Atsakymą užrašykite intervalu.
Grafiškai išspręskite nelygybę:
.
2.2.3. Spręsti kvadratines ir
racionaliąsias nelygybes, pavaizduoti
sprendinius skaičių tiesėje, užrašyti
sprendinių aibę intervalu.
Išspręskite nelygybę
.
Sprendinius pavaizduokite skaičių
tiesėje ir užrašykite intervalu.
Išspręskite nelygybę
.
Sprendinių aibę užrašykite intervalu.
Išspręskite nelygybę
.
Sprendinių aibę užrašykite intervalu.
2.2.4. Grafiškai interpretuoti ir spręsti Išspręskite nelygybę. Išspręskite nelygybę. Išspręskite nelygybę.
Kalba netaisyta
15
nelygybes su moduliu
|f(x)| a ( f(x) – pirmojo laipsnio
daugianaris, žymi <, >, , , a –
skaičius).
| | | | | | .
2.3. Spręsti dviejų nelygybių su vienu nežinomuoju ir lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas.
2.3.1. Spręsti, ne aukštesnio kaip
antrojo laipsnio nelygybių sistemas.
Pavaizduoti nelygybių sistemos
sprendinius skaičių tiesėje, užrašyti
sprendinių aibę intervalu.
Išspręskite nelygybių sistemą, jos
sprendinius pavaizduokite skaičių
tiesėje:
{
Sprendinių aibę užrašykite intervalu.
Išspręskite nelygybių sistemą, jos
sprendinius pavaizduokite skaičių
tiesėje:
{
Sprendinių aibę užrašykite intervalu.
Išspręskite nelygybių sistemą:
{
Sprendinių aibę užrašykite intervalu.
2.3.2. Žinoti, kokie yra lygčių su
dviem nežinomaisiais sistemos
sprendimo būdai. Spręsti lygčių su
dviem nežinomaisiais sistemas, kurių
viena lygtis yra tiesinė, o kita –
kvadratinė arba racionalioji.
Išspręskite lygčių sistemą
{
Išspręskite lygčių sistemą
{
Išspręskite lygčių sistemą
{
2.3.3. Pavaizduoti lygties su dviem
nežinomaisiais ir lygčių su dviem
nežinomaisiais sistemos sprendinius
koordinačių plokštumoje.
Išspręskite lygčių sistemą
{
Sprendinius pavaizduokite
koordinačių plokštumoje.
Raskite penkis lygties 2x + 5y = 7
sprendinius. Juos pavaizduokite
koordinačių plokštumoje.
Išspręskite lygčių sistemą
{ | |
Sprendinius pavaizduokite
koordinačių plokštumoje.
2.4. Modeliuoti lygtimis, nelygybėmis bei jų sistemomis paprastas matematines ir realias problemas.
2.4.1. Sudaryti tiesinę lygtį su dviem
nežinomaisiais, kai žinomi du jos
sprendiniai. Mokėti patikrinti, ar duoti
plokštumos taškai (du, trys ir
daugiau) yra vienoje tiesėje.
Kurie iš taškų A(3; 8), B(0; 3), C(0; –
3), D(1; 0) priklauso tiesei
?
Skaičių poros (
) yra tiesinės
lygties su dviem nežinomaisiais
sprendinys. Užrašykite lygtį.
Ar taškai A(1;1), B(7;3), C(–4; –5),
D(5; –2) yra vienoje tiesėje?
2.4.2. Situacijas aprašyti lygtimis,
nelygybėmis bei sistemomis.
Interpretuoti gautus sprendinius.
Vienos klasės mokiniai susiruošė į
kelionę po Panemunės pilis. Klasės
finansininkas apskaičiavo, kad jei
kiekvienas dalyvis duos po 75 Lt, tai
kelionei dar trūks 440 Lt, o jei
kiekvienas duos po 80 Lt, tai liks 40
Triženklis skaičius baigiasi skaitmeniu
3. Šį skaitmenį perkėlus į skaičiaus
pradžią, gautasis skaičius bus 27
vienetais didesnis už pradinį. Koks
pradinis skaičius?
Jaunuolis, nuėjęs
tilto MN, išgirdo
prie tilto 60 km/h greičiu artėjančio
motociklo signalą. Jei jaunuolis bėgtų
atgal, tai motociklą susitiktų tilto
pradžioje M. Jei jis bėgtų pirmyn, tai
Kalba netaisyta
16
Lt. Kiek mokinių susiruošė keliauti? motociklas jį pavytų tilto gale N.
Kokiu greičiu bėga jaunuolis?
3 modulis. Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė, logaritminė funkcijos
Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
3.1. Taikyti funkcijos savybes sprendžiant paprastus praktinio ir matematinio turinio uždavinius, naudotis turimomis IKT.
Žino funkcijos, funkcijos argumento, funkcijos
reikšmės, funkcijos apibrėžimo srities,
funkcijos reikšmių srities sąvokas.
Taisyklingai vartoja su funkcijos sąvoka
susijusius matematinius simbolius. Geba
skaityti funkcijų grafikus.
Supranta su funkcija susijusias pagrindines sąvokas,
apibrėžimus ir savybes. Taiko funkcijas praktinėse
situacijose.
Suformuluoja funkcijos ir su ja susijusių pagrindinių
sąvokų apibrėžimus, savybes, jas argumentuoja.
Analizuoja ir pagrindžia funkcijos savybes. Be klaidų
taiko apibrėžimus ir savybes tiriant funkciją.
Žino funkcijos reiškimo būdus. Geba išreikšti funkciją įvairiais būdais.
Žino sudėtinės funkcijos sąvoką. Pateikia
sudėtinės funkcijos pavyzdžių.
Supranta sudėtinės funkcijos sąvoką. Geba sudaryti
sudėtinę funkciją.
Geba nurodyti, iš kokių funkcijų sudaryta sudėtinė
funkcija.
Geba iš grafiko nustatyti funkcijos lyginumą,
didėjimo ir mažėjimo intervalus.
Geba iš formulės nustatyti funkcijos lyginumą. Taiko
žinias apie funkcijas didėjimo ir mažėjimo intervalams
nustatyti.
Pagrindžia funkcijos lyginumą remdamiesi
apibrėžimu.
Argumentuotai pagrindžia funkcijos didėjimą ir
mažėjimą apibrėžimo srityje.
Analizuoja nubrėžtą grafiką, remdamiesi juo
nurodo, su kuriomis argumento reikšmėmis:
funkcija įgyja nurodytą reikšmę, funkcijos
reikšmės yra teigiamos (arba neigiamos),
funkcijos reikšmės didesnės ar mažesnės už
nurodytą skaičių.
Naudodamiesi pateikta formule, randa, su kuriomis
argumento reikšmėmis: funkcija įgyja nurodytą
reikšmę, funkcijos reikšmės yra teigiamos (arba
neigiamos), funkcijos reikšmės didesnės ar mažesnės
už nurodytą skaičių.
Randa ir argumentuotai paaiškina, su kuriomis
argumento reikšmėmis: funkcija įgyja nurodytą
reikšmę, funkcijos reikšmės yra teigiamos (arba
neigiamos), funkcijos reikšmės didesnės ar mažesnės
už nurodytą skaičių.
Žino, kokia kreivė yra kokios funkcijos
grafikas. Geba nustatyti grafiko susikirtimo su
koordinačių ašimis taškų koordinates, sudaryti
reikšmių lentelę ir nubrėžti grafiką.
Pagal formulę atlieka tyrimą ir nubrėžia grafiko
eskizą.
Atlieka grafikų įvairias transformacijas, pagrindžia jų
atlikimą
Supranta funkcijai atvirkštinės funkcijos sąvoką. Žino
dviejų viena kitai atvirkštinių funkcijų pagrindines
savybes.
Iš grafiko argumentuotai nustato funkcijai atvirkštinės
funkcijos pakankamas egzistavimo sąlygas (didėjanti
arba mažėjanti). Iliustruoja ryšį tarp funkcijos ir jai
Kalba netaisyta
17
atvirkštinės funkcijos grafikų.
Geba užrašyti duotos funkcijos atvirkštinę. Argumentuotai pagrindžia, kodėl dvi funkcijos yra
viena kitai atvirkštinės.
Supranta tolydžiosios funkcijos sąvoką. Iš grafiko
atpažįsta tolydžiąją funkciją.
3.2. Taikyti laipsninės funkcijos ( ) (n – natūralusis skaičius), ( )
, ( ) √ , ( ) √
savybes sprendžiant paprastus įvairaus turinio
uždavinius, naudojantis turimomis IKT priemonėmis.
Žino laipsninės funkcijos sąvoką. Brėžia
paprastų laipsninių funkcijų grafikus.
Suformuluoja laipsninės funkcijos apibrėžimą. Geba
nubrėžti įvairios išraiškos laipsninių funkcijų grafikus.
Atlieka laipsninės funkcijos grafiko transformacijas.
Remdamasis funkcijos grafiku, geba apibūdinti
laipsninę funkciją.
Remdamasis grafiku, pagrindžia laipsninės funkcijos
savybes.
Analizuoja įvairius rodiklinės funkcijos grafikus.
Remdamasis grafiku, nustato funkcijos
lyginumą.
Remdamasis formule nustato funkcijos lyginumą. Pagrindžia funkcijos lyginumą.
Remdamasis duotu grafiku, nurodo intervalus,
kuriuose funkcija įgyja reikalaujamas reikšmes.
Remdamasis funkcijos formule, nurodo intervalus,
kuriuose funkcija įgyja reikalaujamas reikšmes.
3.3. Taikyti rodiklinės funkcijos savybes matematinio ir praktinio turinio uždavinių sprendimui, naudotis turimomis IKT priemonėmis.
Sudaro funkcijos reikšmių lentelę, brėžia
rodiklinės funkcijos grafiką.
Žino rodiklinės funkcijos apibrėžimą, grafiko padėtį
priklausomai nuo laipsnio pagrindo didumo.
Suformuluoja rodiklinės funkcijos apibrėžimą.
Atlieka rodiklinės funkcijos grafiko transformacijas.
Remdamasis grafiku, nusako rodiklinės
funkcijos savybes.
Išvardija rodiklinės funkcijos savybes, jas taiko. Suformuluoja rodiklinės funkcijos savybes, jas
pagrindžia.
Geba išspręsti paprastas rodiklines lygtis ir
nelygybes.
Supranta rodiklinių lygčių ir nelygybių sprendimo
algoritmus, juos taiko.
Komentuoja nesudėtingų rodiklinių lygčių ir
nelygybių sprendimą.
Pagal pateiktą formulę arba grafiką
paprastuose gyvenimiško turinio uždaviniuose
randa rodiklinės funkcijos reikšmę, kai
žinomas argumentas.
Taiko rodiklinių funkcijų savybes sudėtinių procentų
skaičiavimo užduotims atlikti.
Taiko rodiklinės funkcijos savybes populiacijos
augimo, radioaktyviojo skilimo ir kitų procesų
uždaviniams spręsti.
3.4. Taikyti logaritminės funkcijos savybes, naudotis turimomis IKT priemonėmis.
Žino skaičiaus logaritmo sąvoką. Geba
sudaryti logaritminės funkcijos reikšmių
lentelę, nubrėžti grafiką.
Supranta logaritminės funkcijos apibrėžimą. Žino
grafiko pavidalo priklausomybę nuo logaritmo
pagrindo didumo. Brėžia logaritminės funkcijos
grafiką.
Atlieka logaritminės funkcijos grafiko
transformacijas.
Remdamasis grafiku, nusako, žino
logaritminės funkcijos savybes, jas taiko
paprasčiausioms užduotims atlikti.
Suformuluoja logaritminės funkcijos savybes, jas taiko
paprastoms užduotims atlikti.
Pagrindžia logaritminės funkcijos savybes, jas taiko
nesudėtingoms užduotims atlikti.
Kalba netaisyta
18
Sprendžia paprastas logaritmines lygtis ir
nelygybes.
Sprendžia nesudėtingas logaritmines lygtis ir
nelygybes.
Pagrindžia logaritminių lygčių ir nelygybių
sprendimo būdus, parenka tinkamą strategiją.
Užduočių pavyzdžiai
Žinios ir supratimas Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
3.1. Taikyti funkcijos savybes sprendžiant paprastus praktinio ir matematinio turinio uždavinius, naudotis turimomis IKT.
3.1.1. Pakartoti sąvokas: funkcija, funkcijos
argumentas, funkcijos reikšmė, funkcijos
apibrėžimo sritis, funkcijos reikšmių sritis.
3.1.2. Sieti įvairius funkcijų reiškimo būdus.
Nubrėžkite formule išreikštos
funkcijos f(x) = 4 – 3x grafiką, kai
[ ]. Parašykite šios
funkcijos reikšmių sritį.
Funkcija nusakyta žodžiais:
kiekvienam natūraliajam
skaičiui priskiriama jo liekana,
gauta tą skaičių dalijant iš 3.
Sudarykite šios funkcijos
reikšmių lentelę ir nubrėžkite
grafiką, jei = {1, 2, 3, ..., 19,
20}.
Stačiakampio perimetro ilgis 16 cm.
Parašykite stačiakampio plotą kaip
trumpesniosios stačiakampio
kraštinės funkciją. Palyginkite šios
funkcijos apibrėžimo ir jos reikšmių
sritis.
3.1.3. Suvokti sudėtinės funkcijos sąvoką,
pateikti pavyzdžių. 1. Ar funkcija ( ) √ yra
sudėtinė?
2. Kurios iš funkcijų ( ) ,
( ) , ( ) ,
( ) ( ) yra sudėtinės?
Iš funkcijų ( ) ( )
√ sudarykite sudėtines
funkcijas ( ) ( ( )) ir
( ) ( ( )).
Turime sudėtinę funkciją ( ) ( ). Kokios funkcijos sudaro šią sudėtinę funkciją?
3.1.4. Iš grafiko (eskizo) ir formulės nustatyti
funkcijos lyginumą. Mokėti nustatyti funkcijos
didėjimo ir mažėjimo intervalus.
1.Nubrėžkite funkcijos
f(x) = –x2 + 4x + 3 grafiką ir
nustatykite funkcijos didėjimo ir
mažėjimo intervalus.
2.
Brėžinį papildykite taip, kad
1. Nubrėžkite funkcijos
f(x) = –x2 + 4x grafiką.
Brėžinį papildykite taip, kad
gautumėte:
a) lyginės funkcijos grafiką;
b) nelyginės funkcijos grafiką.
2. Nustatykite funkcijos f(x) = x2
didėjimo ir mažėjimo intervalus.
1. Nurodykite, kurios funkcijos yra
lyginės, kurios – nelyginės:
a) ( ) ;
b) ( )
;
c ) ( ) √ .
2. Įrodykite, kad funkcija ( )
yra didėjanti visoje savo
apibrėžimo srityje.
Kalba netaisyta
19
gautumėte:
a) lyginės funkcijos grafiką;
b) nelyginės funkcijos grafiką.
3.1.5. Mokėti iš pateikto grafiko (eskizo) arba
pateiktos formulės surasti, su kuriomis
argumento reikšmėmis: funkcija įgyja nurodytą
reikšmę, funkcijos reikšmės yra teigiamos (arba
neigiamos), funkcijos reikšmės didesnės ar
mažesnės už nurodytą skaičių.
Iš funkcijos y = f(x) grafiko
raskite:
a) argumento reikšmes, su
kuriomis funkcijos reikšmė lygi 0;
b) pastovaus ženklo intervalus;
c) su kuriomis argumento
reikšmėmis funkcijos reikšmė y >
– 1.
Raskite funkcijos ( )
apibrėžimo sritį ir
apskaičiuokite:
a) funkcijos reikšmes tuose iš
taškų x = – 6, 0, 2, kurie
priklauso funkcijos apibrėžimo
sričiai;
b) argumento reikšmes, su
kuriomis f(x) < 2.
Nurodykite argumento reikšmę, su
kuria funkcijos
( ) {
reikšmė lygi –16.
3.1.6. Nubrėžti funkcijos grafiką (eskizą) ir atlikti
jo transformacijas. Turint funkcijos f(x) grafiką,
nubrėžti funkcijų ( ) , ( ) , af(x), f(ax), |f(x)| grafikus.
Nubrėžkite funkcijos
f(x) = x2 – 2x, kurios Df = (–3; 2],
grafiką.
Nubrėžkite funkcijos ( ) grafiką, kai Df = [0;
4].
Atlikite jo transformacijas
( ) , ( ), ( ).
Nubrėžkite funkcijos
( ) {
grafiką.
Atlikite jo transformacijas: ( ) , ( ), 3f(x), f(1,5x),
|f(x)|.
3.1.7. Iš funkcijos grafiko pasakyti, ar egzistuoja atvirkštinė funkcija. Iliustruoti ryšį tarp funkcijos
ir jai atvirkštinės funkcijos grafikų.
Iliustruokite ryšį tarp funkcijos
( ) √ ir jai atvirkštinės
funkcijos ( ) , kai
, grafikų.
3.1.8. Patikrinti, ar dvi funkcijos yra viena kitai
atvirkštinės. Parašyti duotosios funkcijos
1. Taškai A(0; 2), B(1; 1), C(–1;
1), D(3; –2) priklauso funkcijos
f grafikui. Šiuos taškus ir taškus,
1.Nustatykite, ar funkcija ( ) turi atvirkštinę. Jei turi,
raskite ją.
Kalba netaisyta
20
atvirkštinę.
kurie priklauso atvirkštinės
funkcijos g grafikui,
pažymėkite toje pačioje
koordinačių sistemoje.
2. Raskite funkcijos f(x) = 0,3x –
2 atvirkštinę. Nurodykite abiejų
funkcijų apibrėžimo bei
reikšmių sritis ir nubrėžkite
grafikus.
2. Raskite funkcijos ( ) ( ) atvirkštinę.
Nurodykite funkcijų apibrėžimo bei
reikšmių sritis ir nubrėžkite grafikus.
3.1.9. Iš grafiko,
( ) {
atpažinti, ar funkcija
yra tolydi.
Nubrėžkite funkcijos ( )
{
grafiką. Ar
funkcija tolydi?
Nubrėžkite funkcijos
( ) {
grafiką. Ar funkcija tolydi taške x =
1?
3.2. Taikyti laipsninės funkcijos ( ) (n – natūralusis skaičius), ( )
, ( ) √ , ( ) √
savybes sprendžiant paprastus įvairaus turinio
uždavinius. Naudotis turimomis IKT.
3.2.1. Brėžti laipsninės funkcijos grafiką (eskizą)
ir atlikti funkcijos grafiko (eskizo)
transformacijas.
Sudarę reikšmių lentelę,
nubrėžkite funkcijos grafiką:
a) √ √ , b) .
Nubrėžkite funkcijos ( ) √
grafiką ir atlikite jo
transformacijas:
( ) , af(x), f(ax), kai a = 2; b
= 1.
Nubrėžkite funkcijos ( )
grafiką ir atlikite jo
transformacijas:
( ) , af(x), f(ax), |f(x)|, kai a =
2, b = 1.
3.2.2. Iš grafiko nustatyti funkcijos apibrėžimo
bei reikšmių sritis, funkcijos reikšmių didėjimo,
mažėjimo, pastovumo intervalus, didžiausią ar
mažiausią funkcijos reikšmes (nurodytame
intervale).
3.2.3. Nustatyti funkcijos lyginumą.
1. Iš grafiko, raskite funkcijos: a)
apibrėžimo sritį D; b) kitimo sritį
E; c) teigiamųjų ir neigiamųjų
reikšmių intervalus; d) mažiausią
ir didžiausią reikšmę; e) didėjimo
ir mažėjimo intervalus.
1. Nubrėžkite funkcijos ( ) | | grafiką. Nustatykite funkcijos apibrėžimo
bei reikšmių sritis, funkcijos
reikšmių didėjimo intervalus,
didžiausią (mažiausią) funkcijos
reikšmes.
2. Nustatykite, ar funkcija
( ) √
yra lyginė, ar
nelyginė.
1. Nubrėžkite funkcijos | | grafiką intervale [–8; 8]. Iš
grafiko raskite funkcijos: a)
apibrėžimo sritį D; b) kitimo sritį
E; c) nulius; d) pastovaus ženklo
intervalus; e) mažiausią ir
didžiausią reikšmę; f) didėjimo ir
mažėjimo intervalus.
2. Įrodykite, kad funkcija ( ) yra lyginė, ir nustatykite
jos reikšmių sritį.
Kalba netaisyta
21
2.Patikrinkite, ar funkcija
√ lyginė.
3.2.4. Nurodyti intervalus, kuriuose f(x) a (čia žymi <, >, , , a – skaičius), kai funkcija
išreikšta grafiku ir (arba) funkcijos formule.
1.
Iš funkcijos f(x) = x
3 grafiko
nustatykite apytiksles kintamojo x
reikšmes, su kuriomis f(x) > 3.
Nubrėžkite funkcijos f(x) =
2x grafiką. Iš grafiko
nustatykite apytiksles kintamojo x
reikšmes, su kuriomis f(x) < 1.
Kurios funkcijos grafikas yra
aukščiau, kai ( )
( ) √
?
3.3. Taikyti rodiklinės funkcijos savybes sprendžiant matematinio ir praktinio turinio uždavinius, naudotis turimomis IKT.
3.3.1. Brėžti rodiklinės funkcijos grafiką (eskizą)
ir atlikti funkcijos grafiko transformacijas.
3.3.2. Žinoti ir taikyti rodiklinės funkcijos
savybes.
Nustatykite funkcijos ( )
apibrėžimo ir reikšmių sritis,
nubraižykite tos funkcijos grafiko
eskizą.
1. Nubrėžkite funkcijos ( ) grafiką. Nustatykite funkcijos
apibrėžimo sritį ir lyginumą.
2. Grafiškai nustatykite, kiek
sprendinių turi lygtis .
1. Nustatykite funkcijos ( )
√ apibrėžimo sritį ir lyginumą.
2. Grafiškai nustatykite, kiek
sprendinių turi lygtis √ .
3.3.3. Spręsti nesudėtingas rodiklines lygtis ir
nelygybes.
1. ;
2. ;
3. (
)
.
1. ( ) (
)
(
) ;
2. ;
3. ;
4. √( ) (
)
1. ;
2. ;
3. Raskite nelygybės didžiausią
neigiamą sveikąjį sprendinį.
3.3.4. Taikyti rodiklinės funkcijos savybes
sprendžiant uždavinius (populiacijos augimo,
radioaktyviojo skilimo ir kitų procesų, sudėtinių
procentų ir kt.).
Užvirusio ir arbatinuke auštančio
vandens temperatūra T (C)
praėjus x minučių nuo aušimo
pradžios apskaičiuojama pagal
Mėgintuvėlyje yra 15 bakterijų. Jų
skaičius kasdien padvigubėja.
Parašykite formulę, kuri nusakytų,
kiek bakterijų bus mėgintuvėlyje
Radioaktyviųjų medžiagų
kitimą apibūdina laikas, per kurį
suyra pusė pradinės medžiagos.
Tas laikas vadinamas pusėjimo
Kalba netaisyta
22
formulę
.
Apskaičiuokite vandens
temperatūrą praėjus 10 minučių
nuo aušimo pradžios.
po x dienų. trukme. Radioaktyviojo jodo-131
pusėjimo trukmė yra 8 dienos.
Turime 200 g radioaktyviojo jodo.
Parašykite, kaip jo kiekis m
priklauso nuo laiko t.
3.4. Taikyti logaritminės funkcijos savybes, naudotis turimomis IKT.
3.4.1. Brėžti logaritminės funkcijos grafiką
(eskizą) ir atlikti funkcijos grafiko
transformacijas.
3.4.2. Žinoti ir taikyti logaritminės funkcijos
savybes.
1. Nustatykite funkcijos ( ) apibrėžimo sritį ir
nubraižykite tos funkcijos grafiko
eskizą.
2. Kurios iš funkcijų ( ) , ( ) grafiko
eskizas pavaizduotas
paveikslėlyje A? paveikslėlyje B?
1. Nustatykite funkcijos ( ) apibrėžimo sritį ir
nubraižykite tos funkcijos grafiko
eskizą.
2. Remdamiesi grafikais,
palyginkite
ir
reikšmes. b) f(x) = log2 x + 3;
1. Nustatykite funkcijos ( ) ( ) apibrėžimo sritį ir
nubraižykite tos funkcijos grafiko
eskizą.
2. Apskaičiuokite funkcijos
( ) ( ) grafiko ir
ordinačių ašies sankirtos taško
koordinates.
3.4.3. Spręsti nesudėtingas logaritmines lygtis ir 1. Išspręskite lygtis: 1. Išspręskite lygtis: 1. Išspręskite lygtis:
Kalba netaisyta
23
nelygybes. a) ( ) ;
b) ( ) ( ).
2. Išspręskite nelygybę;
( ) .
a) ( ) ( ) ;
b) ;
c) .
2. Išspręskite nelygybę;
( ) .
3. Nurodykite mažiausią
natūralųjį nelygybės
( )
sprendinį.
a) ( ) ;
b) ;
c) ( ) .
2. Išspręskite nelygybes:
a)
√
( )
√
(
);
b)
4 modulis. Trigonometrija
Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
4.1. Taikyti trigonometrinių funkcijų (sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento) savybes, naudojantis turimomis IKT priemonėmis.
Žino radiano sąvoką. Žino sąryšį π rad = 180º.
Žino, kaip radianus išreikšti laipsniais ir kaip
laipsnius išreikšti radianais.
Moka kampo didumą išreikšti radianais. Supranta,
kaip radianai keičiami laipsniais ir atvirkščiai.
Suformuluoja radiano apibrėžimą, pagrindžia
radianinio mato sąryšį su laipsniniu matu.
Žino bet kokio kampo sinuso, kosinuso
tangento sąvokas.
Supranta bet kokio dydžio kampo sinuso, kosinuso,
tangento, kotangento sąvoką, apibrėžia jas taikant
vienetinio apskritimo modelį.
Formuluoja bet kokio dydžio kampo tangento ir
kotangento apibrėžimus. Suvokia bet kokio to paties
kampo tangento ir kotangento sąsajas su sinusu ir
kosinusu ir jas pagrindžia.
Žino tikslias kampų
trigonometrinių
funkcijų reikšmes.
Moka apskaičiuoti kampų
trigonometrinių
funkcijų tikslias reikšmes.
Geba rasti laipsniais išreikšto kampo sinuso,
kosinuso, tangento reikšmes nurodytu
tikslumu.
Geba rasti radianais išreikšto kampo sinuso, kosinuso,
tangento, kotangento reikšmes nurodytu tikslumu.
Geba rasti radianais išreikšto kampo kotangento
reikšmes nurodytu tikslumu.
Brėžia funkcijų y = sinx, y = cosx, y = tgx
grafikus intervale [– 2π; 2π].
Supranta, kaip brėžiami trigonometrinių funkcijų
grafikai, geba juos nubrėžti bet kuriame intervale.
Pagrindžia trigonometrinių funkcijų grafikų brėžimą
bet kuriame intervale, atlieka trigonometrinių funkcijų
grafikų transformacijas. Geba naudotis MKP
grafikams brėžti.
Žino funkcijų y = sinx, y = cosx, y = tgx Supranta trigonometrinių funkcijų y = sinx, y = cosx, y Pagrindžia trigonometrinių funkcijų savybes,
Kalba netaisyta
24
savybes, geba jas apibūdinti naudodamasis
grafikais, nubrėžtais intervale [–2π; 2π].
= tgx , y = ctgx periodiškumo ir lyginumo savybes.
taikydamas vienetinio apskritimo modelį.
Taiko to paties argumento trigonometrinių
funkcijų sąryšius, pertvarkydamas paprastus
trigonometrinius reiškinius.
Taiko to paties argumento trigonometrinių funkcijų
sąryšius, pertvarkydamas nesudėtingus
trigonometrinius reiškinius.
Įrodo to paties argumento trigonometrinių funkcijų
sąryšius.
Žino redukcijos sąvoką, jos prasmę. Supranta, kaip redukuoti trigonometrines funkcijas.
Taiko redukcijos sąryšius nesudėtingų trigonometrinių
reiškinių pertvarkiams.
Pagrindžia redukcijos sąryšius.
Supranta ir taiko dviejų kampų sumos ir skirtumo
sinuso, kosinuso, tangento formules trigonometrinių
funkcijų reikšmėms apskaičiuoti, nesudėtingiems
reiškiniams pertvarkyti.
Įrodo dviejų kampų sumos ir skirtumo sinuso,
kosinuso, tangento formules.
Žino atvirkštinių trigonometrinių funkcijų
sąvokas.
Suvokia atvirkštinių trigonometrinių funkcijų
apibrėžimus, žino pagrindines savybes, apibrėžimo bei
reikšmių sritis.
Brėžia ir skaito atvirkštinių trigonometrinių funkcijų
grafikus. Suformuluoja atvirkštinių trigonometrinių
funkcijų apibrėžimus.
Skaičiuokliu apskaičiuoja atvirkštinių
trigonometrinių funkcijų reikšmes.
Remdamasis trigonometrinių funkcijų reikšmių
lentele, randa atvirkštinės funkcijos reikšmę.
Apskaičiuoja atvirkštinių trigonometrinių funkcijų
( ), ( ), ( ), ( )
reikšmes.
Taiko atvirkštinių trigonometrinių funkcijų
apibrėžimus.
Sprendžia paprastas trigonometrines lygtis. Žino trigonometrinių lygčių sprendinių formules.
Sprendžia nesudėtingas trigonometrines lygtis.
Pagrindžia trigonometrinių lygčių sprendinių
formules.
Naudodamasis grafikais, nurodo
trigonometrinės lygties sprendinius intervale [–
2π; 2π].
Supranta, kaip randami trigonometrinės lygties
sprendiniai intervale.
Moka nustatyti trigonometrinės lygties sprendinių
skaičių nurodytame intervale.
Grafiškai sprendžia trigonometrines nelygybes.
Moka tai daryti, naudodamasis MKP.
Užduočių pavyzdžiai
Žinios ir supratimas Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
4.1. Taikyti trigonometrinių funkcijų (sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento) savybes, naudotis turimomis IKT.
4.1.1. Apibrėžti radianą, išreikšti kampo didumą
radianais; radianus keisti laipsniais ir
1. Pavaizduokite posūkio kampus
395º,
, –120 º. Nurodykite,
Apskritimo spindulys OA,
pasuktas kampu α = 210º apie
koordinačių pradžios tašką O,
Taškas P yra gautas pasukus –120º
kampu vienetinio apskritimo
pradinį spindulį OA. Nustatykite,
Kalba netaisyta
25
atvirkščiai.
4.1.2. Apibrėžti bet kokio didumo kampo
sinusą, kosinusą, taikant vienetinio apskritimo
modelį. Apibrėžti bet kokio didumo kampo
tangentą ir kotangentą.
4.1.3. Apskaičiuoti tikslias kampų
trigonometrinių funkcijų reikšmes.
kuriame ketvirtyje yra kiekvienas
pavaizduotasis kampas.
2. Išreikškite radianais: – 45º, 150º,
1080º.
3. Išreikškite laipsniais
.
sutampa su spinduliu OB.
Nurodykite dar du teigiamus ir du
neigiamus posūkio kampus, su
kuriais pradinis spindulys OA
sutampa su tuo pačiu spinduliu
OB.
2. Išreikškite radianais: 56º, 190º,
–1040º.
3. Išreikškite laipsniais: –2,
.
kokiais kampais reikia pasukti
spindulį OA, kad gautume taškus,
simetriškus taškui P abscisių ašies,
ordinačių ašies ir tiesės y = x
atžvilgiu.
4.1.4. Rasti laipsniais ir radianais išreikšto
kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento
reikšmes nurodytu tikslumu.
1. Apskaičiuokite: cos60º – sin30º
+ tg45º.
2. Apskaičiuokite tūkstantųjų
tikslumu: sin49 ; tg34 ; cos76 .
1. Apskaičiuokite:
ctg225º – sin675º – cos495º +
tg765º.
2. Išdėstykite didėjimo tvarka:
.
3. Palyginkite: a) ;
b) ir .
Apskaičiuokite:
( )
.
4.1.5. Brėžti trigonometrinių funkcijų grafikus
(eskizus) ir atlikti jų transformacijas
(naudojantis turimomis IKT).
Nubrėžkite funkcijų grafikus:
a) f(x) = sinx;
b) g(x) = cosx;
c) h(x) = tgx.
Nubrėžkite funkcijų grafikus:
a) f(x) = sinx;
b) g(x) = cosx;
c) h(x) = tgx;
d) m(x) = ctgx.
Naudodamiesi nubrėžtais
grafikais, nubrėžkite:
( ) , 2g(x), h(2x).
Nubrėžkite funkcijų grafikus:
a) f(x) = sinx;
b) f(x) = cosx;
c) f(x) = tgx;
d) f(x) = ctgx.
Atlikite transformacijas ( ) ( ), 0,5f(x), f(0,5x), |f(x)|.
4.1.6. Žinoti ir taikyti pagrindines
trigonometrinių funkcijų sąvokas (apibrėžimo ir
reikšmių sritis, funkcijos didėjimo ir mažėjimo
intervalai, periodiškumas, lyginumas).
Nubrėžkite funkcijos f(x) = sinx
grafiką intervale [–360º; 360º].
Remdamiesi grafiku, nurodykite:
a) apibrėžimo sritį; b) reikšmių
sritį; c) teigiamųjų ir neigiamųjų
reikšmių intervalus; d) mažiausią ir
didžiausią reikšmę; e) didėjimo ir
Nubrėžkite funkcijos
f(x) = 2cosx grafiką.
Naudodamiesi grafiku, raskite
funkcijos: a) apibrėžimo sritį D;
b) kitimo sritį E; c) periodą; d)
pastovaus ženklo intervalus; e)
mažiausią ir didžiausią reikšmę; f)
Nubrėžkite funkcijos ( )
(
) grafiką.
Raskite funkcijos: a) apibrėžimo
sritį D; b) kitimo sritį E; c) nulius;
d) pastovaus ženklo intervalus; e)
periodą.
2. Ištirkite funkcijos f(x) = 2sin²x
Kalba netaisyta
26
mažėjimo intervalus.
didėjimo ir mažėjimo intervalus. savybes ir nubrėžkite grafiką.
4.1.7. Pertvarkant nesudėtingus
trigonometrinius reiškinius taikyti to paties
argumento trigonometrinių funkcijų sąryšius.
Juos įrodyti.
Suprastinkite
sin³α + cos²α∙sinα. Suprastinkite reiškinį
.
Apskaičiuokite ir , kai
.
4.1.8. Redukuoti trigonometrines funkcijas. Apskaičiuokite:
ctg225º – ctg675º – cos495º +
cos765º.
Suprastinkite reiškinį
(
) ( )
( )
Suprastinkite reiškinį
(
)
( )
( )
(
)
.
4.1.9. Trigonometrinių funkcijų reikšmėms
apskaičiuoti, nesudėtingiems reiškiniams
pertvarkyti taikyti dviejų kampų sumos ir
skirtumo sinuso, kosinuso, tangento formules.
Jas įrodyti.
Apskaičiuokite
( )
,
,
Įrodykite dviejų kampų sumos ir
skirtumo sinuso (kosinuso,
tangento) formules.
4.1.10. Žinoti pagrindines funkcijų savybes
(apibrėžimo ir reikšmių sritis, lyginumas),
skaityti pateiktus atvirkštinių trigonometrinių
funkcijų grafikus (eskizus).
Remdamiesi pateiktu grafiku,
nustatykite funkcijos f(x) = arcsinx
apibrėžimo ir reikšmių sritį.
1. Išvardykite arkkosinuso
savybes.
2. Išvardykite arktangento
savybes.
Brėžiniu iliustruokite, kad
funkcijos y = sinx ir y = arcsinx yra
viena kitai atvirkštinės intervale
[
].
Kalba netaisyta
27
4.1.11. Apskaičiuoti atvirkštinių
trigonometrinių funkcijų reikšmes.
Apskaičiuokite:
a) (√
) (
);
b) (√
);
c) √ .
Apskaičiuokite:
a) (
) (
√
);
b) (√
) ( √ ).
Apskaičiuokite: ( )
( ( √
)).
4.1.12. Spręsti nesudėtingas trigonometrines
lygtis.
4.1.13. Rasti trigonometrinės lygties
sprendinius duotajame intervale.
Išspręskite lygtis:
a) ,
b) √
,
c) (
) √ .
1. Išspręskite lygtis:
a) (
)
,
b) .
2. Raskite lygties
( ) ( √
) = 0
sprendinius intervale [ ].
1. Išspręskite lygtis:
a) ( )
;
b) ( ) .
2. Kiek sprendinių turi lygtis
intervale
( )?
4.1.14. Grafiškai spręsti trigonometrines
nelygybes f(x) * a (f(x) = sinx, f(x) = cosx, f(x) =
tgx, * žymi <, >, , , a – skaičius),
naudojantis turimomis IKT.
Išspręskite nelygybes:
a) √
;
b)
,
c) √ .
Išspręskite nelygybes:
a) (
) √ ,
b) .
5 modulis. Geometrija
Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
5.1. Taikyti žinias apie plokštumos figūras sprendžiant nesudėtingus įvairių plokštumos figūrų, jų dalių bei junginių elementų ilgių, kampų dydžių, perimetrų ir
plotų, skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.
Žino centrinio ir įbrėžtinio kampo sąvokas ir Suformuluoja centrinio ir įbrėžtinio kampo Įrodo įbrėžtinio kampo teoremą, kitas įbrėžtinio
Kalba netaisyta
28
sąryšį tarp jų. Geba pavaizduoti centrinį ir
įbrėžtinį kampą, geba apskaičiuoti įbrėžtinį
kampą, kai žinomas centrinis, ir atvirkščiai.
apibrėžimus, supranta įbrėžtinio kampo savybes, geba
ją taikyti paprastiems uždaviniams spręsti.
kampo savybes. Pagrindžia pasirinktą sprendimą,
pasirinkto atlikimo būdo racionalumą.
Žino įbrėžtinio ir apibrėžtinio trikampio,
keturkampio sąvokas. Geba pavaizduoti
apibrėžtinius ir įbrėžtinius trikampį ir
keturkampį. Taiko įbrėžtinio ir apibrėžtinio
keturkampio savybes paprasčiausiems
uždaviniams spręsti.
Supranta ir suformuluoja įbrėžtinio ir apibrėžtinio
trikampio ir keturkampio apibrėžimus, savybes.
Taiko jas nesudėtingiems geometrijos ir praktinio
turinio uždaviniams spręsti.
Žino, kaip nusakomas įbrėžto į trikampį ir apibrėžto
apie trikampį apskritimo centras.
Paaiškina įbrėžto į apskritimą taisyklingojo
daugiakampio ir apibrėžto apie apskritimą
taisyklingojo daugiakampio sąvokas.
Įrodo įbrėžto ir apibrėžto apie apskritimą keturkampio
pagrindines savybes.
Geba analizuoti pateiktą geometrinio turinio tekstą,
argumentuoti pasirinktą sprendimo strategiją.
Taiko figūrų lygumą ir panašumą, sprendžiant
paprastus praktinio ir matematinio turinio
uždavinius.
Taiko figūrų lygumą ir panašumą, sprendžiant
nesudėtingus praktinio ir matematinio turinio
uždavinius.
Geba įrodyti Talio ir jai atvirkštinę teoremą.
5.2. Taikyti trigonometrijos žinias sprendžiant paprastus geometrinius (praktinio bei matematinio turinio) uždavinius.
Užrašo, kas yra stačiojo trikampio smailiųjų
kampų kotangentai.
Suformuluoja smailiojo kampo kotangento
apibrėžimą, geba jį taikyti stačiojo trikampio
elementams rasti.
Geba analizuoti kotangento ir kitų stačiojo trikampio
smailiojo kampo trigonometrinių funkcijų sąryšius.
Žino trikampio ploto formulę
.
Geba ją taikyti paprasčiausiems uždaviniams
spręsti.
Suformuluoja sinusų ir kosinusų teoremas. Taiko jas
trikampio, keturkampio ir taisyklingųjų daugiakampių
elementams rasti.
Įrodo sinusų ir kosinusų teoremas. Taiko jas
matematinėse ir praktinėse situacijose. Argumentuoja
uždavinio sprendimo žingsnius.
Analizuodamas užduoties tekstą, pastebi, kad
uždavinyje kosinusas gali būti neigiamas.
5.3. Taikyti žinias apie erdvės figūras sprendžiant nesudėtingus erdvės figūrų, jų dalių bei junginių elementų ilgių, kampų dydžių, paviršiaus plotų bei tūrio
skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.
Geba pavaizduoti erdvinių figūrų paprastus
pjūvius (lygiagrečius pagrindui, ašinius).
Atpažįsta ir geba pavaizduoti nupjautinę
piramidę ir nupjautinį kūgį.
Apibūdina nupjautinę piramidę ir nupjautinį kūgį.
Geba pavaizduoti erdvinių kūnų ašinius pjūvius,
lygiagrečius pagrindui pjūvius.
Geba pavaizduoti erdvinių kūnų išklotines.
Modelyje randa dvisienį kampą. Pavaizduoja
dvisienį kampą .
Suformuluoja dvisienio kampo apibrėžimą. Geba jį
taikyti sprendžiant uždavinius.
Argumentuoja uždavinių sprendimus, teisingai
naudoja matematinius simbolius.
Geba stačiakampio gretasienio, kubo
modelyje parodyti atstumą tarp
Paaiškina atstumo tarp prasilenkiančiųjų tiesių,
atstumo tarp lygiagrečiųjų plokštumų, atstumo tarp
Nuosekliai, tiksliai, aiškiai aprašo ir argumentuoja
uždavinio sprendimą.
Kalba netaisyta
29
prasilenkiančiųjų tiesių, atstumą tarp
lygiagrečiųjų plokštumų, atstumą tarp tiesės ir
jai lygiagrečios plokštumos.
tiesės ir jai lygiagrečios plokštumos sąvokas, geba jas
taikyti.
Remdamasis pateikta teoremos formuluote ir
pateiktu brėžiniu, taiko trijų statmenų ir jai
atvirkštinę teoremas.
Suformuluoja ir taiko trijų statmenų ir jai atvirkštinę
teoremą paprastoms užduotims atlikti.
Įrodo ir taiko trijų statmenų ir jai atvirkštinę teoremą
įvairiose praktinėse ir matematinėse situacijose.
Argumentuoja sprendimą.
Žino erdvinių kūnų paviršiaus ploto ir tūrio
sąryšius, juos taiko paprasčiausiai atvejais.
Geba nesudėtingais atvejais apskaičiuoti erdvinių
figūrų elementus, šoninio ir viso paviršiaus plotą, tūrį
bei paprastų jų dalių paviršiaus plotą, tūrį, paprastų
pjūvių plotus.
Argumentuotai, nuosekliai ir tiksliai aprašo užduoties
sprendimą, parenka tinkamą strategiją užduoties
tikslui pasiekti.
Užduočių pavyzdžiai
Žinios ir supratimas Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
5.1. Taikyti žinias apie plokštumos figūras sprendžiant nesudėtingus įvairių plokštumos figūrų, jų dalių ir junginių elementų ilgio, kampų didumo, perimetro ir
ploto skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.
5.1.1. Žinoti, kas yra apskritimo centrinis ir
įbrėžtinis kampai; rasti vieno jų didumą, kai
žinomas kito didumas; žinoti, kad įbrėžtiniai
kampai, kurie remiasi į tą patį lanką, yra lygūs.
Lankas BC = 40º. Apskaičiuokite
O ir A.
EDC = 70º, EA ir DC
apskritimo skersmenys.
Apskaičiuokite ABC.
Apskritimo stygos AB ir CD
susikerta taške E. Įrodykite, kad
AE · BE = CE · ED.
5.1.2. Nusakyti įbrėžto į trikampį ir apibrėžto apie
trikampį apskritimo savybes, žinoti įbrėžto į
apskritimą ir apibrėžto apie apskritimą keturkampio
pagrindines savybes, mokėti jas įrodyti. Paaiškinti
įbrėžto į apskritimą taisyklingojo daugiakampio ir
apibrėžto apie apskritimą taisyklingojo
daugiakampio sąvokas.
Nubrėžkite smailųjį, statųjį ir
bukąjį trikampius. Apie
kiekvieną jų apibrėžkite
apskritimą. Kokia yra to
apskritimo centro padėtis
trikampių atžvilgiu?
Įrodykite, kad apie kiekvieną
stačiakampį galima apibrėžti
apskritimą.
Įrodykite, kad apie apskritimą
apibrėžto daugiakampio plotas
lygus pusei jo perimetro,
padauginto iš įbrėžtinio
apskritimo spindulio ilgio.
Kalba netaisyta
30
5.1.3. Remtis figūrų lygumu ir panašumu
sprendžiant nesudėtingus praktinio ir matematinio
turinio uždavinius. Mokėti įrodyti Talio teoremą ir
jai atvirkštinę teoremą.
3,6 m ilgio kopėčios stovėjo
atremtos į sieną. Užlipęs jomis
trečdalį ilgio, dažytojas netyčia
išmetė teptuką, kuris nukrito 0,3
m nuo sienos. Koks atstumas nuo
sienos ligi kopėčių pagrindo?
(Apskaičiuokite centimetro
tikslumu.)
Trikampio KLP vidurinė linija
MN lygiagreti kraštinei PL.
Figūros MNLP plotas 48 cm2.
Apskaičiuokite trikampio KLP
plotą.
Įrodykite, kad jei dvi lygiagrečios
tiesės kerta kampo kraštines, tai ir
tų tiesių iškirstų atkarpų kampo
kraštinėse poros yra proporcingos.
5.2. Taikyti trigonometrijos žinias sprendžiant paprastus geometrinius (praktinio ir matematinio turinio) uždavinius.
5.2.1. Žinoti smailiojo kampo kotangento
apibrėžimą ir taikyti jį stačiojo trikampio
elementams rasti.
Trikampis EFG statusis (F =
90º). Išreikškite trikampio
kraštinėmis ctg E ir ctg G.
Trikampis KLM statusis. Statinis
KL = 6 cm, o įžambinė KM = 10
cm. Apskaičiuokite ctg K ir ctg
M tūkstantųjų tikslumu.
Trikampio KLM kampas L –
statusis. Įrodykite, kad tgM · ctgM
= 1.
5.2.2. Įrodyti ir žinoti kosinusų teoremą ir sinusų
teoremą, trikampio ploto formulę
,
taikyti šias žinias trikampio, keturkampio ir
taisyklingųjų daugiakampių elementams ir plotui
rasti.
Žinoma, kad trikampio kraštinė a
= 6 cm, o du jo kampai α = 41°, β
= 79°.
Apskaičiuokite kitus to trikampio
elementus.
ABCD lygiagretainis, kurio AB =
4,9 cm, BC = 5,4 cm, AC = 8,8
cm. Raskite įstrižainės DB ilgį,
kampų BCD ir ABC didumus.
Įrodykite, kad iškilojo
keturkampio plotą S galima
apskaičiuoti pagal formulę
, kur –
įstrižainių ilgiai, o – kampas
tarp įstrižainių.
5.2.3. Suvokti, kad atskirais atvejais taikydami
trigonometriją trikampio uždaviniams spręsti turime
nagrinėti du atvejus (suvokti, kad trikampis gali
turėti bukąjį kampą, o gali jo ir neturėti).
Trikampio plotas lygus 16 dm2,
dvi kraštinės 5 dm ir 8 dm.
Apskaičiuokite trečiosios
kraštinės ilgį.
5.3. Taikyti žinias apie erdvės figūras sprendžiant nesudėtingus erdvės figūrų, jų dalių ir junginių elementų ilgio, kampų didumo, paviršiaus ploto ir tūrio
skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.
5.3.1. Atpažinti, apibūdinti ir pavaizduoti
nupjautinę piramidę ir nupjautinį kūgį. Vaizduoti
erdvinių figūrų paprastuosius pjūvius (lygiagrečius
su pagrindu, ašinius) ir išklotines.
Pagaminkite stačiąją keturkampę
prizmę. Nubrėžkite tos prizmės
išklotinę. Turėdami reikiamus
matmenis, apskaičiuokite
prizmės paviršiaus plotą ir tūrį.
Ritinio ašinio pjūvio įstrižainė
lygi 8 cm. Ji sudaro su pagrindo
plokštuma 60º kampą.
Apskaičiuokite ritinio šoninio
paviršiaus plotą.
Piramidės pjūvis, lygiagretus
pagrindui, dalija aukštinę santykiu
2:3 (skaičiuojant nuo viršūnės).
Raskite pjūvio plotą, jei jis
mažesnis už pagrindo plotą 84
cm².
Kalba netaisyta
31
5.3.2. Apibrėžti ir taikyti kampo tarp tiesės ir
plokštumos sąvoką.
5.3.3. Apibrėžti ir taikyti kampo tarp
prasilenkiančiųjų tiesių sąvoką.
5.3.4. Apibrėžti tiesės ir plokštumos statmenumą,
taikyti jų statmenumo požymį.
5.3.5. Apibrėžti ir taikyti kampo tarp plokštumų
(dvisienio kampo) sąvoką.
1. Brėžinyje pavaizduotas kubas.
Remdamiesi brėžiniu,
a) pavaizduokite kampą tarp tiesės BD1 ir plokštumos ABC;
b) nurodykite kampą tarp
prasilenkiančių tiesių AB ir DD1;
c) nurodykite tieses, statmenas
plokštumai ADD1.
1. Duota: plokštumos α β, BD
= α ∩ β, AB α, ABBD, AB =
6 cm, CD β, CD BD, CD = 2
cm, BD = 3 cm. Apskaičiuoti:
AC.
2. Dvisienis kampas lygus 60º.
Vienoje jo sienoje duotas taškas,
nutolęs nuo kitos sienos 6 3 cm.
Apskaičiuokite šio taško atstumą
iki dvisienio kampo briaunos.
Trikampės piramidės aukštinė
eina per įbrėžto į trikampį
apskritimo centrą. Įrodykite, kad
piramidės visos šoninės sienos
pasvirusios į pagrindo plokštumą
tuo pačiu kampu.
5.3.6. Apibrėžti ir erdvinėse figūrose taikyti atstumo
tarp prasilenkiančiųjų tiesių, atstumo tarp
lygiagrečiųjų plokštumų, atstumo tarp tiesės ir
lygiagrečios su ja plokštumos sąvokas.
Trikampio stalelio viršus yra
statusis lygiašonis trikampis. Jo
kojos sutvirtintos skersiniais,
lygiagrečiais su stalelio kraštais.
Kokio didumo kampus sudaro
skersiniai su kiekvienu stalelio
kraštu?
Trapecijos ABCD viršūnės A ir B
yra plokštumoje α, o viršūnės C
ir D nėra joje. Kokia tiesės CD
padėtis plokštumos α atžvilgiu,
jei atkarpa AB yra a) trapecijos
pagrindas; b) trapecijos šoninė
kraštinė?
Duotas kubas ,
kurio briauna lygi 1.
a) Įrodykite, kad atstumas nuo
viršūnės A iki briaunos
vidurio taško E lygus 1,5.
b) Įrodykite, kad piramidės
briaunos AC ir yra
statmenos.
5.3.7. Taikyti trijų statmenų teoremą ir jai
atvirkštinę teoremą. Jas įrodyti.
Stačiojo trikampio ABC statiniai
3 dm ir 4 dm. Iš šio trikampio
stačiojo kampo viršūnės C į
trikampio plokštumą išvestas
statmuo CD = 70 cm.
Apskaičiuokite atstumą nuo
taško D iki įžambinės AB.
Stačiojo trikampio ABC kampas
B = 30º, BC = 2 cm. Iš šio
trikampio stačiojo kampo
viršūnės C į trikampio plokštumą
išvestas statmuo √ cm.
Raskite statmens galų atstumus
iki trikampio įžambinės.
Įrodykite, kad tiesė, išvesta
plokštumoje per pasvirosios
pagrindą ir statmena jos
projekcijai toje plokštumoje, yra
statmena ir pačiai pasvirajai.
5.3.8. Nesudėtingais atvejais apskaičiuoti erdvinių
figūrų elementus, šoninio ir viso paviršiaus plotą,
tūrį ir paprastų jų dalių paviršiaus plotą, tūrį,
paprastųjų pjūvių plotą.
Keturkampės piramidės SABCD
kiekviena briauna lygi 4 cm. Nuo
jos pagrindui lygiagrečia
plokštuma nukirsta piramidė
, kurios kiekviena
briauna lygi 1cm. Koks
1. Piramidės pagrindas – rombas,
kurio įstrižainės lygios 6 m ir 8
m. Piramidės aukštinė eina per
pagrindo įstrižainių susikirtimo
tašką ir lygi 1 m. Raskite
piramidės šoninį paviršių.
Raskite taisyklingosios trikampės
piramidės šoninį paviršių ir tūrį,
jei pagrindo kraštinė lygi 4 cm, o
dvisienis kampas prie pagrindo
yra 45º.
Kalba netaisyta
32
nupjautinės piramidės
paviršiaus
plotas?
2. Keturkampės piramidės visos
briaunos lygios 4 cm. Nuo jos
pagrindui lygiagrečia plokštuma
nukirsta piramidė, kurios
briaunos lygios 1 cm. Koks
gautos nupjautinės piramidės
tūris?
6 modulis. Tikimybių teorija. Statistika
Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
6.1. Nustatyti rinkinio pobūdį bei apskaičiuoti rinkinių skaičių. Taikyti žinias praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.
Žino gretinių ir derinių sąvokas. Pateikia
derinių pavyzdžių.
Skiria derinių ir gretinių sąvokas. Pateikia pavyzdžių. Formuluoja derinių ir gretinių (kėlinių) apibrėžimus.
Žino derinių ir gretinių skaičiaus formules. Jas taiko
paprastiems uždaviniams spręsti.
Supranta ir paaiškina gretinių ir derinių skaičiaus
formules. Pateikia argumentuotus pavyzdžius gretinių
ir derinių skirtumams atskleisti. Taiko gretinių ir
derinių skaičiaus formules nesudėtingoms
problemoms spręsti.
6.2. Taikyti tikimybės skaičiavimui klasikinį tikimybės apibrėžimą, tikimybės savybes taikyti praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.
Užrašo paprasto bandymo baigčių aibę.
Supranta, kaip suskaičiuoti nurodytam įvykiui
palankių baigčių skaičių.
Vaizduoja įvykių sąjungos, sankirtos, skirtumo
veiksmus Veno diagramomis.
Supranta įvykių sąjungos, sankirtos, skirtumo
apibrėžimus. Atlieka įvykių veiksmus.
Pagrindžia elementariųjų įvykių aibės sąvoką.
Suformuluoja įvykių sąjungos, sankirtos, skirtumo
apibrėžimus.
Žino klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą, jį
taiko paprastiems uždaviniams spręsti.
Supranta klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą, jį
taiko nesudėtingoms užduotims atlikti.
Argumentuoja įvykio tikimybės radimą taikant
klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą.
Žino pagrindines tikimybės savybes. Jas taiko
paprasčiausiems uždaviniams spręsti ir
uždavinio atsakymui patikrinti.
Supranta ir taiko tikimybės savybes paprastiems
praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.
Supranta ir taiko tikimybės savybes nesudėtingiems
praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.
Sugeba paaiškinti sprendimą.
Žino įvykiui priešingo įvykio sąvoką. Pateikia
priešingų įvykių pavyzdžių. Paprastais atvejais
apskaičiuoja priešingo įvykio, įvykių sąjungos
ir sankirtos tikimybes.
Supranta, kaip apskaičiuoti priešingo įvykio, įvykių
sąjungos ir sankirtos tikimybes nesudėtingais atvejais.
Suformuluoja įvykiui priešingo įvykio, įvykių
sąjungos ir sankirtos tikimybės apibrėžimus.
Kalba netaisyta
33
Pateikia elementariųjų įvykių pavyzdžių. Supranta, kada elementarieji įvykiai nėra vienodai
galimi.
Argumentuotai pateikia nevienodai galimų
elementariųjų įvykių pavyzdžių.
6.3. Taikyti nesutaikomųjų įvykių sąjungos tikimybės skaičiavimo formulę praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.
Žino nesutaikomų įvykių sąvoką. Pateikia
nesutaikomų įvykių pavyzdžių.
Supranta nesutaikomų įvykių sąvoką. Pateikia
nesudėtingų nesutaikomų įvykių pavyzdžių.
Formuluoja nesutaikomų įvykių apibrėžimą. Pateikia
nesutaikomų įvykių pavyzdžių, juos argumentuoja.
Žino formulę nesutaikomų įvykių sąjungos
tikimybei apskaičiuoti. Paprastais atvejais
apskaičiuoja nesutaikomų įvykių sąjungos
tikimybę.
Teisingai pasirenka ir naudojasi formule nesutaikomų
įvykių sąjungos tikimybei apskaičiuoti.
Pagrindžia įvykių nesutaikomumą. Radę nesutaikomų
įvykių sąjungos tikimybę, daro galutines, tikslias ir
logiškas išvadas.
6.4. Taikyti nepriklausomųjų įvykių sankirtos tikimybės skaičiavimo formulę paprastiems praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.
Žino nepriklausomų įvykių sąvoką.
Pateiktuose pavyzdžiuose atpažįsta
nepriklausomus įvykius.
Formuluoja nepriklausomų įvykių apibrėžimą.
Apžvelgia nepriklausomiems įvykiams būdingus
bruožus. Pateikia nepriklausomų įvykių pavyzdžių.
Pagrindžia nepriklausomiems įvykiams būdingus
bruožus, nustato įvykių sąryšius ir dėsningumus.
Paprastais atvejais apskaičiuoja nepriklausomų
įvykių sankirtos tikimybę.
Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja nepriklausomų
įvykių sankirtos tikimybę.
Atrenka ir įvertina duomenis. Pagrindžia
nepriklausomų įvykių sankirtos tikimybės radimo
formulę. Argumentuotai pristato atliktą užduotį.
Supranta vienodų nepriklausomų bandymų seką,
įrodo Bernulio formulę, argumentuoja jos taikymą
tam tikrų įvykių tikimybei apskaičiuoti.
6.5. Vartoti atsitiktinio dydžio sąvoką. Taikyti atsitiktinio dydžio skirstinį bei skaitines charakteristikas praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti
naudojantis turimomis IKT.
Žino atsitiktinio dydžio sąvoką. Įsimena ir
taisyklingai vartoja su atsitiktinio dydžio
sąvoka siejamus simbolius.
Supranta atsitiktinio dydžio sąvoką, sieja ją su
atsitiktiniais įvykiais. Pateikia pavyzdžių.
Paaiškina atsitiktinio dydžio sąvoką. Suformuluoja
atsitiktinio dydžio apibrėžimą. Iliustruoja atsitiktinio
dydžio esmę svarbiais praktiniais ir teoriniais
pavyzdžiais.
Sudaro paprastų atsitiktinių dydžių skirstinius. Sudaro nesudėtingų atsitiktinių dydžių skirstinius
remiantis klasikiniu tikimybės apibrėžimu arba įvykių
nepriklausomumu. Pasitelkia reikalingas formules,
atrenka ir įvertina duomenis.
Pasitelkia reikalingas sprendimo strategijas, atrenka ir
įvertina duomenis, tada sudaro atsitiktinio dydžio
skirstinį.
Žino atsitiktinio dydžio matematinės vilties,
dispersijos, standartinio nuokrypio sąvokas.
Apskaičiuoja atsitiktinių dydžių skirstinio
matematinę viltį, dispersiją bei standartinį
nuokrypį.
Paaiškina atsitiktinio dydžio matematinės vilties bei
dispersijos sąvokas. Nesudėtingais atvejais sudaręs
atsitiktinio dydžio skirstinį, apskaičiuoja matematinę
viltį, dispersiją bei standartinį nuokrypį, daro
reikiamas išvadas.
Suvokia atsitiktinių dydžių skaitinių charakteristikų
prasmę, jų pritaikymą, daro tikslias ir logiškas
išvadas.
6.6. Taikyti teorines statistikos žinias renkant duomenis ir klasifikuoti tiriamus duomenis pagal pasirinktus požymius. Skirti kiekybinius ir kokybinius požymius.
Kalba netaisyta
34
Naudotis turimomis IKT.
Žino pagrindines statistikos sąvokas.
Pateiktuose pavyzdžiuose jas randa ir įvardija.
Supranta pagrindines statistikos sąvokas.
Apžvelgia pagrindinėms statistikos sąvokoms
būdingus bruožus, nustato jų sąryšius ir dėsningumus.
Pagrindžia pagrindinėms statistikos sąvokoms
būdingus bruožus. Pateikia pavyzdžių.
Žino statistinių duomenų rinkimo būdus. Apžvelgia statistinių duomenų rinkimo būdus, daro
išvadas apie jų pasirinkimo tikslingumą konkrečiu
atveju.
Pagrindžia statistinių duomenų rinkimo būdo
pasirinkimo tikslingumą įvairiais atvejais.
Žino, kas yra dažnis ir santykinis dažnis.
Paprastais atvejais sudaro dažnių ir santykinių
(procentinių) dažnių lenteles. Moka surinktus
ir apdorotus duomenis vaizduoti stulpelinėmis
diagramomis.
Naudoja IKT.
Supranta, kas yra dažnis ir santykinis dažnis.
Nesudėtingais atvejais sudaro dažnių ir santykinių
(procentinių) dažnių lenteles. Moka surinktus ir
apdorotus duomenis vaizduoti skritulinėmis
diagramomis. Naudoja IKT.
Aiškiai formuluoja naujas sąvokas, pagrindžia jų
pritaikymo prasmingumą pagal užduoties tikslus,
parodo, kad puikiai supranta matematinę informaciją.
Naudoja MS Excel duomenims apdoroti ir vaizduoti.
Gali apibūdinti ryšį tarp dažnių lentelėse ir
diagramose pateiktų duomenų.
Analizuoja, kaip susiję dažnių lentelėse ir diagramose
pateikti duomenys. Nustato jų sąryšius ir
dėsningumus.
Pagrindžia, kaip susiję dažnių lentelėse ir diagramose
pateikti duomenys. Daro tikslias ir logiškas išvadas.
Moka grupuoti duomenis į nurodyto ilgio
intervalus. Pavaizduoja sutvarkytus duomenis
histograma. Naudoja IKT.
Moka nustatyti, į kokio ilgio intervalus tikslinga
grupuoti duomenis, sudaro sugrupuotų duomenų
dažnių lentelę, iliustruoja sugrupuotus duomenis
histograma. Naudoja IKT.
Pasitelkia reikalingas strategijas pateiktiems
duomenims sutvarkyti, argumentuoja savo
pasirinkimą. Naudoja MS Excel duomenims apdoroti
ir vaizduoti.
Pagal pateiktus klausimus nagrinėja tą pačią
populiaciją skirtingų požymių atžvilgiu.
Analizuoja tą pačią populiaciją skirtingų požymių
atžvilgiu, daro išvadas.
Pagrindžia savo teiginius nagrinėdamas tą pačią
populiaciją skirtingų požymių atžvilgiu. Daro tikslias
ir logiškas išvadas. Naudojasi IKT teikiamomis
galimybėmis.
6.7. Daryti išvadas apie tiriamą surinktų ir apdorotų duomenų požymį, remiantis skaitinėmis charakteristikomis. Naudotis turimomis IKT.
Žino imties skaitines charakteristikas ir moka
jas apskaičiuoti.
Supranta imties skaitinių charakteristikų sąryšius.
Atrenka ir įvertina duomenis. Teisingai pasirenka ir
panaudoja skaitines charakteristikas nesudėtingoms
užduotims atlikti.
Aiškiai formuluoja imties skaitinių charakteristikų
sąryšius. Teisingai pasirenka ir racionaliai
pasinaudoja imties skaitinėmis charakteristikomis.
Paprastais atvejais pagal pateiktus klausimus
nagrinėja, kokią informaciją apie populiaciją
suteikia imties skaitinės charakteristikos.
Nesudėtingais atvejais apžvelgia, kokią informaciją
apie populiaciją suteikia imties skaitinės
charakteristikos.
Atrenka ir įvertina imties skaitines charakteristikas,
argumentuotai pagrindžia, kokią informaciją apie
populiaciją suteikia imties skaitinės charakteristikos.
Užduočių pavyzdžiai
Kalba netaisyta
35
Žinios ir supratimas Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
6.1. Nustatyti rinkinio pobūdį ir apskaičiuoti rinkinių skaičių. Taikyti žinias praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.
6.1.1. Pateikti derinių ir gretinių
(kėlinių) pavyzdžių.
Šaškių turnyre dalyvauja 12 mokinių.
Kiekvienas jų turi sužaisti su kiekvienu
kitu po vieną partiją. Kiek partijų bus
sužaista?
Kiek įstrižainių turi iškilasis
dešimtkampio? Keliuose taškuose
susikerta iškilojo dešimtkampio
įstrižainės?
Kiek keturženklių skaičių galima sudaryti
iš skaitmenų, kurie yra nelygybės
( ( )) natūralieji
sprendiniai?
6.1.2. Suprasti gretinių ir derinių
skaičiaus formules, iliustruojant
pavyzdžiais. Paaiškinti, kuo
skiriasi deriniai ir gretiniai.
1. Gimnazijoje matematikos būrelį
lanko 8 vaikinai ir 6 merginos. Keliais
būdais iš jų galima išrinkti 6
gimnazistus – 2 merginas ir 4
vaikinus – į komandinę regiono
olimpiadą?
2. Vienuoliktokai mokosi 12 dalykų.
Kiekvieną dieną jiems būna po 6
skirtingas pamokas. Kiek skirtingų
vienos dienos tvarkaraščių gali būti?
1. Į sportinių šokių klubą atėjo 9 merginos
ir 12 vaikinų. Keliais būdais iš jų galima
sudaryti šešias šokėjų poras (mergina ir
vaikinas) klubo pristatymo koncertui?
2. Kiekvienas šachmatų turnyro dalyvis su
kiekvienu kitu turi sužaisti po vieną
partiją. Du šachmatininkai, sužaidę tik po
3 partijas, išvyko. Todėl iš viso buvo
sužaistos 84 partijos. Kiek šachmatininkų
pradėjo turnyrą?
6.2. Taikyti tikimybės skaičiavimui klasikinį tikimybės apibrėžimą, tikimybės savybes taikyti praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.
6.2.1. Sudaryti bandymo baigčių
(elementariųjų įvykių) aibę, rasti
nurodytam įvykiui palankių
baigčių skaičių. Atlikti įvykių
veiksmus (sąjungos, sankirtos,
skirtumo), šiuos veiksmus
vaizduoti Veno diagramomis.
Moneta metama tris kartus ir stebima,
kuria puse ji atsivers.
Parašykite šio bandymo baigčių aibę.
Pažymėkite A1 – įvykį „moneta
atsivertė skaičiumi vieną kartą“, A2 –
„moneta atsivertė skaičiumi du kartus“.
Parašykite šių įvykių baigčių aibes.
Standartinis lošimo kauliukas metamas
vieną kartą. Parašykite nurodytųjų
įvykių baigčių aibes:
a) A – „atvirs ne daugiau kaip 5
akutės“; b) B –„atvirs ne mažiau kaip 4
akutės“; c) ; ; A\B; .
Veiksmus vaizduokite Veno
diagramomis.
Keturiose kortelėse po vieną surašyti
skaičiai 1, 2, 3, 4. Iš pradžių ištraukiama
viena kortelė, po jos iš likusių trijų –
kita. Parašykite elementariuosius
įvykius, sudarančius būtinąjį įvykį E.
Elementariųjų įvykių sąjunga išreikškite
šiuos įvykius: a) A – „abu kartus
ištrauktas nelyginis skaičius“; b) B –
„ištraukti skaičiai, kurių suma yra
lyginis skaičius“. Ką reiškia įvykis B\A?
6.2.2. Apskaičiuoti įvykio
tikimybę taikant klasikinį
apibrėžimą.
Iš dviženklių skaičių dėžės ištrauktas
vienas skaičius. Kokia tikimybė, kad jo
pirmas skaitmuo yra 9?
Kubas, kurio visos sienos nudažytos,
supjaustytas į tūkstantį vienodo dydžio
kubelių, kurie sumaišomi. Po to
atsitiktinai traukiamas kubelis. Raskite
tikimybę įvykio, kad ištrauktas kubelis
Dėžėje yra kortelės su pirminiais
skaičiais ne didesniais už 20. Kokia
tikimybė, kad ištrauktą skaičių dalydami
iš 4 gausime liekaną 1?
Kalba netaisyta
36
turi dvi nudažytas sienas.
6.2.3. Žinoti tikimybės savybes
ir jas taikyti.
Įvykio A tikimybė yra lygi 0,75. Kam
lygi įvykiui A priešingo įvykio
tikimybė?
Matematikos vadovėlyje yra 230
puslapių. Atsitiktinai atverčiamas šios
knygos puslapis. Apskaičiuokite
tikimybę: a) įvykio A – „atverstas
puslapis yra 90 kartotinis“; b) įvykiui A
priešingo įvykio tikimybę.
Ant kortelių surašyti skaičiai nuo 100 iki
999. Apskaičiuokite tikimybę, kad
atsitiktinai paimtoje kortelėje sutaps
bent du skaitmenys.
6.2.4. Apskaičiuoti įvykiui
priešingo įvykio, įvykių
sąjungos ir sankirtos tikimybes.
Dėžėje yra 5 mėlyni, 3 raudoni ir 2 žali
rutuliai. Iš dėžės paeiliui imami du
rutuliai. Apskaičiuokite tikimybę išimti:
a) du raudonus rutulius; b) antruoju
ėmimu – raudoną rutulį; c) tos pačios
spalvos rutulius.
6.3. Pateikti vienodai ir nevienodai galimų elementariųjų įvykių pavyzdžių.
6.3.1. Atpažinti
nesutaikomuosius įvykius ir
pateikti jų pavyzdžių.
Nesutaikomų įvykių pavyzdys:
Moneta metama vieną kartą. Įvykis A –
iškrito herbas, įvykis B – iškrito
skaičius.
Pateikite nesutaikomų įvykių pavyzdį,
jei bandymas būtų:
a) vienas baudos metimas krepšinyje;
b) lošimo kauliuko metimas vieną
kartą.
Metamas lošimo kauliukas. Įvykis A –
iškrito nelyginis akučių skaičius, įvykis
B – iškrito 4 akutės.
Pateikite pavyzdį įvykio, nesutaikomo
su įvykiu A, ir įvykio, nesutaikomo su
įvykiu B, pavyzdį.
Pateikite pavyzdį įvykio, sutaikomo su
įvykiu A, ir įvykio, sutaikomo su įvykiu
B, pavyzdį.
Stačiakampis A sudarytas iš 78 kvadratų.
Šiame stačiakampyje nubrėžti du bendrų
taškų neturintys stačiakampiai – B iš 15
kvadratų ir C iš 12 kvadratų. Kokia
tikimybė, kad į stačiakampį A mestas
kamuoliukas pataikys į stačiakampį B
arba į stačiakampį C?
A
B
C
6.3.2. Apskaičiuoti
nesutaikomųjų įvykių sąjungos
tikimybę.
Metamas lošimo kauliukas.
Apskaičiuokite įvykio „iškrito arba
viena, arba dvi, arba trys akutės“
tikimybę.
Kortelės sunumeruotos natūraliaisiais
skaičiais nuo 1 iki 30 imtinai. Įvykis A
– „kortelės numeris 7 kartotinis“, įvykis
B – „kortelės numeris 5 kartotinis“.
Kokia tikimybė, kad atsitiktinai
ištrauktos kortelės numeris bus bent
vieno iš skaičių 5 ir 7 kartotinis?
Žaidžiamas žaidimas, kuriame reikia
atspėti 6 skaičius iš 40. Laimima tada,
kai atspėjami bent 4 skaičiai.
Apskaičiuokite laimėjimo tikimybę.
Kalba netaisyta
37
6.4. Taikyti nepriklausomų įvykių tikimybės skaičiavimo formulę paprastiems praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti.
6.4.1. Atpažinti
nepriklausomuosius įvykius ir
pateikti jų pavyzdžių.
1. Ar įvykiai A ir B yra nepriklausomi:
a) A – „pirmadienį Rimas pavėlavo į
mokyklą“; B – „antradienį Rimas
pavėlavo į mokyklą“.
b) A – „šiandien Rimas pavėlavo į
autobusą“;
B – „šiandien Rimas pavėlavo į
mokyklą“.
c) A – „pirmu metimu atvirto 3 akutės“;
B – „antru metimu atvirto 3 akutės“.
Paaiškinkite kodėl?
2. Meskime simetrišką monetą du
kartus ir stebėkime, kuo ji atvirs. Ar
pirmo ir antro metimo metu atsitikę
įvykiai yra nepriklausomi? Kodėl?
1. Meskime simetrišką monetą ir
simetrišką lošimo kauliuką ir stebėkime,
kuo jie atvirs. Ar monetos atsivertimas
priklauso nuo kauliuko atsivertimo?
2. Kurie iš įvykių A ir B yra
nepriklausomi:
a) metama moneta ir lošimo kauliukas.
A – moneta atvirto skaičiumi; B –
kauliukas atvirto šešiomis akutėmis.
b) Iš dėžės, kurioje yra 1 raudonas ir 2
žali rutuliai, traukiami rutuliai.
A – „iš dėžės pirmu traukimu išimtas
žalias rutulys ir negrąžintas į dėžę“; B –
„Iš tos pačios dėžės antru traukimu
išimtas žalias rutulys“.
c) Metamas lošimo kauliukas.
A – „lošimo kauliukas pirmą kartą
atvirto lyginiu skaičiumi“; B – „lošimo
kauliukas antrą kartą atvirto 6
akutėmis“.
6.4.2. Apskaičiuoti
nepriklausomųjų įvykių
sankirtos tikimybę.
Krepšininkas mes dvi baudas. Pirmą
baudos metimą jis pataiko su tikimybe
0,6, o antrą – su tikimybe 0,5. Kokia
tikimybė, kad pataikys abu baudos
metimus?
Krepšininkas mes dvi baudas. Pirmą
baudos metimą jis pataiko su tikimybe
0,6, o antrą – su tikimybe 0,5. Kokia
tikimybė, kad bent vienas iš šių metimų
bus taiklus?
Turistas nori užkurti laužą, turėdamas
tik 2 degtukus. Laužas užsikuria nuo
vieno degtuko su tikimybe 0,6. Jei
bandome laužą užkurti dviem kartu
sudėtais degtukais, tai tikimybė, kad
laužas užsikurs, yra 0,83. Kaip geriausia
bandyti užkurti laužą: įbrėžiant abu
degtukus vieną po kito, ar įbrėžiant abu
degtukus iš karto?
6.4.3. Taikyti nepriklausomųjų
Bernulio bandymų schemą.
Šeimoje yra 5 vaikai. Apskaičiuokite
tikimybę, kad tarp jų yra 3 berniukai,
laikydami, kad tikimybė gimti berniukui
lygi 0,5?
6.5. Vartoti atsitiktinio dydžio sąvoką. Taikyti atsitiktinio dydžio skirstinį bei skaitines charakteristikas praktinio ir matematinio turinio uždaviniams spręsti,
Kalba netaisyta
38
naudojantis turimomis IKT.
6.5.1. Paaiškinti atsitiktinio
dydžio sąvoką, siejant ją su
atsitiktiniais įvykiais. Iliustruoti
pavyzdžiais.
Metamas lošimo kauliukas. Atsitiktinis
dydis X – iškritusių akučių skaičius.
Pateikite atsitiktinio dydžio pavyzdį,
susijusį su IV gimnazijos klasės
mokinio matematikos metinio pažymio
vedimu.
Dėžėje yra 5 mėlyni ir 5 balti rutuliai.
Traukiami 4 rutuliai. Atsitiktinis dydis
X – ištrauktų baltos spalvos rutulių
skaičius.
Metamos dvi monetos 1 Lt ir 2 Lt
vertės. Atsitiktinis dydis Y – atvirtusių
skaičių kvadratų suma. Pateikite dar
bent du su šiuo atsitiktiniu įvykiu
susijusius atsitiktinius dydžius.
6.5.2. Sudaryti nesudėtingų
atsitiktinių dydžių skirstinius
(skirstinio lenteles) remiantis
klasikiniu tikimybės apibrėžimu
ir įvykių nepriklausomumu.
Iš 100 loterijos bilietų 30 laimi po 1 Lt,
10 – po 5 Lt, 2 – po 25 Lt, kiti nieko
nelaimi. Laimėjimo dydis X yra
atsitiktinis dydis. Parašykite jo skirstinį.
Laimės ratas padalytas į 16 vienodų
sektorių. 1 iš jų nudažytas raudonai, 2 –
žalia, 3 – geltonai, 10 – baltai. Išsukus
raudoną sektorių, laimima 10Lt, išsukus
žalią – 5 Lt, išsukus geltoną – 1 Lt,
išsukus baltą – 0 Lt. Bilietas, leidžiantis
sukti ratą vieną kartą, kainuoja 1 Lt.
Atsitiktinis dydis X – išsukto laimėjimo
ir bilieto kainos skirtumas. Sudarykite
skirstinį. Pavaizduokite jį grafiškai.
Meškeriotojas kiekvienu meškerės
užmetimu pagauna žuvį su tikimybe
.
Atsitiktinis dydis X – pagautų žuvų
skaičius 5 kartus užmetus meškerę.
Parašykite atsitiktinio dydžio skirstinį.
6.5.3. Paaiškinti atsitiktinio
dydžio vidurkio (matematinės
vilties) ir dispersijos
(išsibarstymo) sąvokas,
iliustruoti jas pavyzdžiais.
Apskaičiuoti atsitiktinio dydžio
vidurkį, dispersiją ir standartinį
nuokrypį.
Lošimo ratas suskirstytas į 6 vienodo
didumo sektorius, kuriuose surašyti
laimėjimo didumai litais 1, 2, 3, 4, 5, 6.
X – išloštų pinigų kiekis. Sudarykite
atsitiktinio dydžio skirstinio lentelę.
Apskaičiuokite matematinę viltį,
dispersiją ir kvadratinį nuokrypį.
Iš dėžės, kurioje yra 2 balti ir 4 juodi
rutuliai, atsitiktinai ištraukti 4 rutuliai.
Atsitiktinis dydis X yra ištrauktų juodų
rutulių skaičius. Sudarykite atsitiktinio
dydžio X skirstinio lentelę.
Apskaičiuokite matematinę viltį,
dispersiją, vidutinį kvadratinį nuokrypį.
Tikimybė, kad vaistinėje žmogus ras
reikiamų vaistų, lygi 0,8. Mieste yra 3
vaistinės. Žmogus eina į vaistines tol,
kol randa vaistus arba kol apeina visas
vaistines. Atsitiktinis dydis Y – žmogaus
aplankytų vaistinių skaičius. Sudarykite
atsitiktinio dydžio Y skirstinį. Kiek
vidutiniškai vaistinių turėtų aplankyti
žmogus, kad rastų tinkamus vaistus?
Apskaičiuokite dispersiją, vidutinį
kvadratinį nuokrypį.
6.6. Taikyti teorines statistikos žinias renkant duomenis ir klasifikuoti tiriamus duomenis pagal pasirinktus požymius. Skirti kiekybinius ir kokybinius požymius.
Naudotis turimomis IKT.
6.6.1. Žinoti statistikos sąvokas,
pateikti pavyzdžių,
interpretuojančių šias sąvokas.
6.6.2. Žinoti statistinių duomenų
Matuojant dešimties detalių ilgį
(milimetrais ) gauti tokie rezultatai:
4, 8, 9, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9.
1) Sutvarkykite imtį ir sudarykite
Perskaitykite šį uždavinį nuo pradžios
iki galo ir sudarykite imtį, išrašydami
pirmąsias žodžių raides. Sudarykite
dažnių lentelę, nubrėžkite stulpelinę
Biologijos projektui trys mokiniai
Rokas, Dovilė ir Arnas rinko duomenis
apie medžių aukštį ir gautus duomenis
surašė į lentelę:
Kalba netaisyta
39
rinkimo būdus. dažnių bei santykinių dažnių lenteles.
2) Nubraižykite imties stulpelinę
diagramą.
santykinių dažnių diagramą.
Apskaičiuokite šią dažnių lentelę
vaizduojančios skritulinės diagramos
sektorių centrinius kampus.
R D A
6 3 6
7 5 5
6 ? 4
? 4 3
5 6 5
3 7 ?
4 8 5
5 6 7
6
Vidurkiai
5 5,5 ?
Brūkšniai reiškia, kad tų duomenų
Rokas ir Dovilė iš viso neturėjo.
a) Baikite pildyti lentelę (vietoj
klaustukų įrašykite reikiamus
duomenis), jei žinoma, kad visų
išmatuotų medžių aukščio vidurkis buvo
lygus 5,16 m.
b) Sudarykite imties elementų dažnių
lentelę.
c) Nubraižykite imties diagramą.
6.6.3. Žinoti, kas yra dažnis ir
santykinis dažnis. Sudaryti
dažnių ir santykinių
(procentinių) dažnių lenteles.
Mokėti surinktus ir apdorotus
duomenis vaizduoti
diagramomis.
6.6.4. Žinoti ryšį tarp dažnių
lentelėse ir diagramose pateiktų
duomenų. Mokėti vienas
diagramas pakeisti kitomis.
Bandomajame sklype tiriant morkų
derlingumą, buvo matuojamas morkų
ilgis (mm). Gauti rezultatai pavaizduoti
stulpeline diagrama:
Sudarykite dažnių lentelę.
Mokinio pažymiai ir jų kiekis
pavaizduoti diagrama:
Rasa savo mėnesio darbo užmokestį
paskirsto taip:
a) Žinoma, kad ji maistui išleidžia 600
litų. Koks Rasos atlyginimas?
b) Kiek pinigų ji išleidžia mokesčiams,
0
2
4
6
8
10
150 160 170 180 200
Dažnis
Morkos ilgis
Kalba netaisyta
40
a) Remdamiesi ja, nustatykite, kiek
pažymių gavo mokinys.
b) Kiek ir kokios rūšies pažymių jis
gavo daugiausia?
c) Pavaizduokite imties duomenis
skrituline diagrama.
pramogoms, automobiliui? Kiek sutaupo
pinigų?
c) Pagal duotus duomenis nubraižykite
stulpelinę diagramą.
6.6.5. Grupuoti duomenis į
vienodo ilgio intervalus. Mokėti
surinktus ir apdorotus duomenis
vaizduoti histograma.
Pasverti 26 abrikosai. Jų masė gramais
tokia: 25, 12, 52, 10, 34, 48, 15, 46, 30,
8, 14, 20, 6, 42, 32, 16, 22, 4, 24, 36,
18, 40, 28, 46, 48, 54. Sugrupuokite
šiuos duomenis į intervalus [4; 14), [14;
24), [24; 34), [34; 44), [44; 54] ir
pavaizduokite histograma.
Matuojant penkiolikmečių merginų ūgį,
gauti tokie rezultatai: 158, 160, 172,
151, 158, 172, 163, 168, 174, 178, 182,
178, 157, 181, 155, 165, 170, 171, 167,
164, 150, 162, 159, 165, 159.
Sugrupuokite šiuos duomenis į
intervalus, kurių ilgis yra 5, ir
nubraižykite histogramą.
Mokytoja surašė savo auklėjamosios
klasės mokinių anglų kalbos valstybinio
egzamino rezultatus: 77, 86, 25, 28, 69,
50, 13, 39, 41, 54, 86, 37, 60, 22, 3, 77,
4, 5, 32, 2, 39, 47, 58. Sugrupuokite
duomenis į pasirinkto ilgio intervalus ir
nubraižykite histogramą.
6.6.6. Nagrinėti tą pačią
populiaciją pagal įvairius
požymius.
Mokytoja surašė jos auklėjamosios
klasės mokinių anglų kalbos valstybinio
egzamino rezultatus ir metinius
rezultatus:
Egzaminas:
77, 86, 25, 28, 69, 50, 13, 39, 41, 54,
86, 37, 60, 22, 3, 77, 4, 5, 32, 2, 39, 47,
58.
Kalba netaisyta
41
Metinis: 9A, 8A, 7A, 6A, 9A, 9A, 6A, 7A, 7A,
9A, 9A, 8A, 9A, 7A, 5A, 9A, 5A, 5A,
6A, 4A, 6A, 8B, 9A
Ar yra ryšys tarp metinio pažymio ir
egzamino rezultato?
6.7. Daryti išvadas apie tiriamą surinktų ir apdorotų duomenų požymį, remiantis skaitinėmis charakteristikomis. Naudotis turimomis IKT.
6.7.1. Skaičiuoti skaitines imties
charakteristikas.
6.7.2. Paaiškinti, kokią
informaciją apie populiaciją
teikia imties skaitinės
charakteristikos.
Apskaičiuokite imties 2, 1, 6, 4, 1, 2, 2,
7, 3, 8 vidurkį, dispersiją ir kvadratinį
nuokrypį.
Dovilė lanko muzikos mokyklą. Jos
dviejų dalykų pažymiai yra tokie:
solfedžio : 10, 9, 7, 8, 10, 9, 8, 9, 10,
10, 10;
specialybės: 9, 9, 8, 9, 10, 10, 7, 10, 9,
8, 8, 10.
Apskaičiuokite imčių vidurkius,
dispersijas ir kvadratinius nuokrypius.
Išsiaiškinkite, kurį dalyką Dovilė moka
geriau.
Parduotuvės vadybininkas gavo 2
gamintojų pasiūlymus elektroninių
prietaisų detalėms tiekti. Detalės
supakuotos dėžutėse, ant kurių užrašyta:
„Dėžutėse yra apie 500 varžtų“.
Vadybininkas, norėdamas pagrįstai
apsispręsti, atsitiktinai pasirinko iš
kiekvieno gamintojo po 40 dėžučių ir
suskaičiavo, kiek jose tiksliai yra varžtų.
Gavo tokį rezultatą:
a) Apskaičiuokite, koks yra vidutinis
kiekvieno gamintojo detalių skaičius
pasirinktose dėžutėse.
b) Patarkite vadybininkui, kurį
gamintoją pasirinkti. Atsakymą
pagrįskite naudodamiesi skaitinėmis
imties charakteristikomis.
Kalba netaisyta
42
7 modulis. Diferencialinis skaičiavimas
Žinios ir supratimas Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
7.1. Suprasti funkcijos išvestinės sąvoką.
7.1.1. Žinoti, kaip
apskaičiuoti tolydžiosios
funkcijos argumento ir jos
reikšmių pokytį, kaip galima
įvertinti funkcijos kitimo
greitį duotame intervale.
Pavyzdžiais iliustruoti, kad
argumento pokyčiui artėjant
prie nulio tolydžiosios
funkcijos pokytis artėja prie
nulio. Pavyzdžiais iliustruoti
funkcijos ribos sąvoką.
Paprastais atvejais žino kaip ir moka
apskaičiuoti tolydžiosios funkcijos
argumento ir jos reikšmių pokytį.
Supranta ir paaiškina tolydžiosios
funkcijos, argumento pokyčio ir funkcijos
reikšmių pokyčio sąvokas. Nesudėtingais
atvejais moka įvertinti funkcijos kitimo
greitį duotame intervale. Pavyzdžiais
iliustruoja, kad argumento pokyčiui
artėjant prie nulio, tolydžiosios funkcijos
reikšmių pokytis artėja prie nulio.
Pagrindžia tolydžiosios funkcijos sąvoką,
jai būdingas savybes. Apskaičiuoja
apibendrintai pateiktos funkcijos reikšmių
pokytį. Moka apibūdinti funkcijos ribos
sąvoką, ją paaiškina pavyzdžiais.
7.1.2. Žinoti funkcijos
išvestinės apibrėžimą
(prasmę). Paaiškinti
geometrinę ir fizikinę
funkcijos išvestinės
interpretaciją, pateikti
pavyzdžių.
Žino funkcijos išvestinės prasmę.
Žino funkcijos išvestinės geometrinę
ir fizikinę prasmę, užrašo tai
formulėmis.
Formuluoja funkcijos išvestinės
apibrėžimą, žino jos geometrinę ir fizikinę
prasmę. Pateikia pavyzdžių.
Formuluoja funkcijos išvestinės
apibrėžimą, žino ir paaiškina funkcijos
išvestinės geometrinę ir fizikinę prasmę.
7.2. Apskaičiuoti įvairių funkcijų išvestines.
7.2.1. Žinoti ir naudoti
funkcijų, išreikštų
formulėmis ( – bet
koks),
išvestinių skaičiavimo formules.
Žino ir paprastais atvejais naudoja
funkcijų, išreikštų formulėmis (
– bet koks), išvestinių skaičiavimo formules.
Supranta ir nesudėtingais atvejais naudoja
funkcijų, išreikštų formulėmis ( – bet
koks), išvestinių skaičiavimo formules.
Pagrindžia funkcijų, išreikštų formulėmis
( – bet koks), išvestinių skaičiavimo formules. teisingai pasirenka
ir racionaliai naudojasi išvestinių
skaičiavimo formulėmis.
7.2.2. Remiantis išvestinės
apibrėžimu, apskaičiuoti
tiesinės, kvadratinės, kubinės
Remiasi išvestinės apibrėžimu
apskaičiuodamas tiesinės, kvadratinės,
kubinės funkcijų išvestinių reikšmes
Kalba netaisyta
43
funkcijų išvestinių reikšmes
nurodytuose taškuose.
nurodytuose taškuose.
7.2.3. Mokėti taikyti funkcijų
sumos (skirtumo), sandaugos
iš realiojo daugiklio, funkcijų
sandaugos, santykio,
sudėtinės funkcijos išvestinių
skaičiavimo taisykles.
Žino ir paprastais atvejais taiko
funkcijų sumos, skaičiaus ir
funkcijos sandaugos, funkcijų
sandaugos, dalmens išvestinių
skaičiavimo taisykles.
Supranta ir nesudėtingais atvejais teisingai
pasirenka ir taiko funkcijų sumos,
skaičiaus ir funkcijos sandaugos, funkcijų
sandaugos, dalmens išvestinių skaičiavimo
taisykles.
Moka pagrįsti funkcijų sumos (skirtumo),
skaičiaus ir funkcijos sandaugos, funkcijų
sandaugos, santykio, sudėtinės funkcijos
išvestinių skaičiavimo taisykles. Teisingai
pasirenka ir racionaliai naudojasi šiomis
taisyklėmis.
7.2.4. Apskaičiuoti funkcijos
išvestinės reikšmę duotame
taške arba apskaičiuoti x
reikšmes, su kuriomis
išvestinė įgyja nurodytą
reikšmę.
Paprastais atvejais moka apskaičiuoti
išvestinės reikšmę duotame taške.
Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja
išvestinės reikšmę duotame taške ir x
reikšmes, kai išvestinė įgyja nurodytą.
Atrenka ir įvertina duomenis, racionaliai ir
pagrįstai pasirenka užduoties sprendimo
kelią.
7.2.5. Apskaičiuoti išvestines,
taikant paprastų algebrinių,
trigonometrinių, rodiklinių
bei logaritminių reiškinių
pertvarkius.
Apskaičiuoja išvestines, taikydamas
paprasčiausių algebrinių ir
trigonometrinių reiškinių
pertvarkius.
Apskaičiuoja išvestines, taikydamas
paprastų algebrinių, trigonometrinių
reiškinių pertvarkius.
Apskaičiuoja išvestines, taikydamas
nesudėtingų algebrinių, trigonometrinių,
rodiklinių bei logaritminių reiškinių
pertvarkius. Nuosekliai, tiksliai, aiškiai
užrašo užduoties sprendimą, jį
argumentuoja.
7.3. Nesudėtingais atvejais taikyti funkcijų išvestines matematinio ir praktinio turinio uždaviniams spręsti, naudojantis turimomis IKT.
7.3.1. Sieti funkcijos
išvestinės reikšmę duotame
taške su funkcijos grafiko
liestinės krypties koeficientu
(y = kx + b, ( ) , kur α – kampo tarp
liestinės ir x ašies didumas) ir
užrašyti funkcijos grafiko
liestinės duotame taške lygtį.
Sprendžiant funkcijos grafiko
liestinės uždavinius taikyti
žinias apie lygiagrečias ir
statmenas tieses.
Paprasčiausiais atvejais geba
pritaikyti išvestinės geometrinę
prasmę, užrašyti liestinės lygtį.
Sieja funkcijos išvestinės reikšmę duotame
taške su funkcijos grafiko liestinės krypties
koeficientu. Nesudėtingais atvejais užrašo
funkcijos grafiko liestinės lygtį duotame
taške.
Pasirenka reikalinga strategiją sprendžiant
funkcijos grafiko liestinės uždavinius,
taiko žinias apie lygiagrečias ir statmenas
tieses.
7.3.2. Žinoti funkcijos Žino funkcijos reikšmių didėjimo Formuluoja funkcijos reikšmių didėjimo Pagrindžia funkcijos reikšmių didėjimo
Kalba netaisyta
44
reikšmių didėjimo
(mažėjimo) požymius ir
taikyti juos funkcijos
reikšmių didėjimo
(mažėjimo) intervalams
nustatyti.
(mažėjimo) požymius ir paprastais
atvejais taiko juos funkcijos
reikšmių didėjimo (mažėjimo)
intervalams nustatyti.
(mažėjimo) požymius ir nesudėtingais
atvejais juos taiko funkcijos reikšmių
didėjimo (mažėjimo) intervalams nustatyti.
(mažėjimo) požymius. Racionaliai jais
naudojasi funkcijos reikšmių didėjimo
(mažėjimo) intervalams nustatyti.
7.3.3. Naudojantis funkcijos
išvestine (kai ji egzistuoja)
rasti funkcijos kritinius
taškus, ekstremumo taškus,
funkcijos ekstremumus,
funkcijos grafiko
ekstremumus, nustatyti, ar tai
minimumo, ar maksimumo
taškai. Gebėti patikrinti, ar
duotasis taškas yra duotos
funkcijos ekstremumo taškas.
Žino sąvokas: kritinis taškas,
ekstremumo taškas, ekstremumas.
Naudodamasis funkcijos išvestine,
paprastais atvejais moka rasti
funkcijos kritinius taškus,
ekstremumo taškus, funkcijos
ekstremumus, funkcijos grafiko
ekstremumus, geba nustatyti, ar tai
minimumo, ar maksimumo taškai.
Apibrėžia sąvokas: kritinis taškas,
ekstremumo taškas, ekstremumas.
Naudodamasis funkcijos išvestine,
nesudėtingais atvejais moka rasti funkcijos
kritinius taškus, ekstremumo taškus,
funkcijos ekstremumus, funkcijos grafiko
ekstremumus, geba nustatyti, ar tai
minimumo, ar maksimumo taškai.
Patikrina, ar duotasis taškas yra duotos
funkcijos ekstremumo taškas.
Argumentuotai naudoja sąvokas: kritinis
taškas, ekstremumo taškas, maksimumo
taškas, minimumo taškas, ekstremumas,
maksimumas, minimumas. Teisingai
pasirenka ir racionaliai naudojasi
funkcijos išvestine, tirdami funkcijas.
7.3.4. Apskaičiuoti funkcijos
didžiausią (mažiausią)
reikšmę duotame uždarajame
intervale.
Paprastais atvejais apskaičiuoja
funkcijos didžiausią (mažiausią)
reikšmę duotame uždarajame
intervale.
Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja
funkcijos didžiausią (mažiausią) reikšmę
duotame uždarajame intervale.
Argumentuoja sprendimą.
Išsamiai ir nuosekliai tiria funkcijos
kritinius taškus, daro galutines tikslias ir
logiškas išvadas apie funkcijos didžiausią
(mažiausią) reikšmę duotame uždarajame
intervale.
7.3.5. Tirti funkcijas,
išreikštas ne aukštesnio kaip
ketvirtojo laipsnio
daugianariais, ir brėžti jų
grafikų eskizus duotame
intervale.
Pasirenka reikalingas strategijas
konkrečios funkcijos tyrimui, išsamiai,
nuosekliai, argumentuotai tiria funkcijas,
išreikštas ne aukštesnio kaip ketvirtojo
laipsnio daugianariais, ir brėžia jų grafikų
eskizus duotame intervale.
7.3.6. Gebėti nesudėtingą
realią ir matematinę situaciją
modeliuoti funkcija bei
remiantis išvestine
apskaičiuoti šios funkcijos
didžiausią (mažiausią)
reikšmę.
Paprasčiausią realią ar matematinę
situaciją aprašo funkcija ir
remdamasis išvestine apskaičiuoja
šios funkcijos didžiausią (mažiausią)
reikšmę, argumento reikšmę, su
kuria funkcija įgyja didžiausią
(mažiausią) reikšmę.
Paprastą realią ar matematinę situaciją
aprašo funkcija ir remdamasis išvestine
apskaičiuoja šios funkcijos didžiausią
(mažiausią) reikšmę.
Nesudėtingą realią ir matematinę situaciją
modeliuoja funkcija ir remdamasis
išvestine apskaičiuoja šios funkcijos
didžiausią (mažiausią) reikšmę.
Kalba netaisyta
45
7.3.7. Žinoti, kad kelio
funkcijos išvestinė yra
momentinio greičio funkcija,
o momentinio greičio
funkcijos išvestinė yra
momentinio pagreičio
funkcija, ir spręsti
nesudėtingus judėjimo
uždavinius.
Žino, kad kelio funkcijos išvestinė
yra momentinio greičio funkcija, o
momentinio greičio funkcijos
išvestinė yra momentinio pagreičio
funkcija, ir sprendžia paprasčiausius
judėjimo uždavinius.
Supranta, kad kelio funkcijos išvestinė yra
momentinio greičio funkcija, o
momentinio greičio funkcijos išvestinė yra
momentinio pagreičio funkcija, ir
sprendžia paprastus judėjimo uždavinius.
Argumentuotai pagrindžia, kad kelio
funkcijos išvestinė yra momentinio greičio
funkcija, o momentinio greičio funkcijos
išvestinė yra momentinio pagreičio
funkcija, ir sprendžia nesudėtingus
judėjimo uždavinius.
Užduočių pavyzdžiai
Žinios ir supratimas Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
7.1. Suprasti funkcijos išvestinės sąvoką.
7.1.1. Žinoti, kaip apskaičiuoti
tolydžios funkcijos argumento ir
jos reikšmių pokytį, kaip galima
įvertinti funkcijos kitimo greitį
duotame intervale. Pavyzdžiais
iliustruoti, kad argumento
pokyčiui artėjant prie nulio
tolydžiosios funkcijos pokytis
artėja prie nulio. Pavyzdžiais
iliustruoti funkcijos ribos sąvoką.
Raskite funkcijos f(x) = 2x – 1 pokytį,
kai argumentas padidėja nuo 3 iki 4. Apskaičiuokite f(x), kai ( ) .
Ištirkite, prie kokio skaičiaus artėja
funkcijos
( )
| | reikšmės, kai .
7.1.2. Žinoti funkcijos išvestinės
apibrėžimą (prasmę). Paaiškinti
funkcijos išvestinės geometrinę ir
fizikinę interpretaciją, pateikti
pavyzdžių.
Kūnas juda pagal dėsnį .
Raskite kūno greitį po 3 sekundžių.
Nustatykite funkcijos f(x) = 2x + 1
liestinės taške x = 1 posvyrį.
Taške x = 1 nustatykite funkcijos f(x) =
x² liestinės posvyrį.
7.2. Apskaičiuoti įvairių funkcijų išvestines.
7.2.1. Žinoti ir naudoti funkcijų,
išreikštų formulėmis ( – bet
koks), išvestinių
Raskite išvestines:
a) ;
b) ;
c) ;
Apskaičiuokite funkcijos išvestinę:
a) ( ) ;
b) ( ) √ ,
Remdamiesi išvestinės apibrėžimu,
raskite funkcijų f(x) = kx + b, f(x) = ax²
+ c, f(x) = ax³ + c išvestines.
Kalba netaisyta
46
skaičiavimo formules.
7.2.2. Remiantis išvestinės
apibrėžimu, apskaičiuoti tiesinės,
kvadratinės, kubinės funkcijų
išvestinių reikšmes nurodytuose
taškuose.
d)
c) ( )
;
d) ( ) ;
e) ( ) .
7.2.3. Mokėti taikyti funkcijų
sumos (skirtumo), sandaugos iš
skaičiaus, funkcijų sandaugos,
santykio, sudėtinės funkcijos
išvestinių skaičiavimo taisykles.
Raskite funkcijos išvestinę:
a) ( ) ,
b) ( )
,
c) ( ) ,
d) ( ) .
1. Raskite funkcijos išvestinę:
a) ( )
;
b) ( ) ;
c) ( )
;
d) ( )
( ).
1. Raskite funkcijos išvestinę:
a) ( ) √
√ ;
b) ( )
( );
c) ( )
;
d) ( ) .
7.2.4. Apskaičiuoti funkcijos
išvestinės reikšmę duotame
taške; rasti taškus, kuriuose
išvestinė įgyja nurodytą reikšmę.
Apskaičiuokite (
), kai ( )
.
1. Apskaičiuokite (
) (
), kai
( ) .
2. Raskite x reikšmes, su kuriomis
funkcijos f(x) = 2sinx – 1 išvestinė lygi
nuliui.
Su kuriomis argumento reikšmėmis
funkcijos ( ) √ išvestinė
lygi 8?
7.2.5. Apskaičiuoti išvestines,
pertvarkant paprastus
algebrinius, trigonometrinius,
rodiklinius ir logaritminius
reiškinius.
Suprastinę funkcijos išraišką, raskite
( ), kai ( ) ( )( ). Suprastinę reiškinį
, raskite
funkcijos ( )
išvestinę.
Suprastinę reiškinį
, raskite
funkcijos ( )
išvestinę.
7.3. Nesudėtingais atvejais taikyti funkcijų išvestines matematinio ir praktinio turinio uždaviniams spręsti, naudojantis turimomis IKT.
7.3.1. Sieti funkcijos išvestinės
reikšmę duotame taške su
funkcijos grafiko liestinės
krypties koeficientu (y = k x + b,
( ) ; α – kampo
tarp liestinės ir Ox ašies
didumas) ir parašyti funkcijos
grafiko liestinės duotame taške
lygtį. Sprendžiant funkcijos
grafiko liestinės uždavinius,
Tiesė liečia funkcijos ( )
grafiką taške, kurio abscisė .
Raskite lietimosi taško ordinatę ir
liestinės krypties koeficientą.
Raskite kreivės tašką,
per kurį nubrėžta jos liestinė su x ašimi
sudaro 45º kampą. Parašykite liestinės
lygtį tame taške.
1. Duota funkcija ( ) .
Per tašką ( ) nubrėžta liestinė
yra lygiagreti su tiese .
Raskite lietimosi taško koordinates.
2. Įrodykite, kad funkcijos ( ) grafiko liestinės, nubrėžtos
per taškus , yra
statmenos.
Kalba netaisyta
47
taikyti žinias apie lygiagrečiąsias
ir statmenąsias tieses.
7.3.2. Žinoti funkcijos reikšmių
didėjimo (mažėjimo) požymius ir
jais remiantis nustatyti funkcijos
reikšmių didėjimo (mažėjimo)
intervalus.
Raskite funkcijos ( )
didėjimo ir mažėjimo intervalus. Raskite funkcijos ( )
didėjimo ir mažėjimo intervalus.
Duota funkcija ( ) ( ). Raskite:
1) apibrėžimo sritį;
2) didėjimo ir mažėjimo intervalus.
7.3.3. Naudojantis funkcijos
išvestine rasti funkcijos kritinius
taškus, ekstremumo taškus,
funkcijos ekstremumus,
funkcijos grafiko ekstremumus,
nustatyti, ar tai minimumo, ar
maksimumo taškai. Patikrinti, ar
duotasis taškas yra duotosios
funkcijos ekstremumo taškas.
Duota funkcija ( ) . Raskite
funkcijos:
1) apibrėžimo sritį;
2) išvestinę;
3) kritinius taškus;
4) mažėjimo ir didėjimo intervalus;
5) ekstremumo taškus;
6) ekstremumus.
Duota funkcija ( )
. Raskite
funkcijos:
1) apibrėžimo sritį;
2) kritinius taškus;
3) mažėjimo (ar didėjimo) intervalą;
4) ekstremumus.
Duota funkcija ( ) . Raskite
funkcijos ekstremumų taškus ir
ekstremumus.
7.3.4. Apskaičiuoti didžiausią
(mažiausią) funkcijos reikšmę
duotame uždarajame intervale.
Raskite funkcijos ( )
didžiausią ir mažiausią reikšmę
intervale [0;3]
Raskite didžiausią ir mažiausią
funkcijos ( ) √ reikšmę
intervale [– 4; 3].
Raskite didžiausią ir mažiausią
funkcijos ( ) reikšmę
intervale [
].
7.3.5. Tirti funkcijas, išreikštas
ne aukštesnio kaip ketvirtojo
laipsnio daugianariais, ir brėžti jų
grafikų eskizus duotame
intervale.
Ištirkite funkciją ( )
ir nubraižykite jos grafiką.
7.3.6. Nesudėtingą praktinę ir
matematinę situaciją modeliuoti
funkcija, apskaičiuoti didžiausią
(mažiausią) funkcijos reikšmę
taikant šios funkcijos išvestinę.
Raskite du skaičius, kurių skirtumas
būtų 28, o sandauga būtų didžiausia.
Iš 80 cm ilgio vielos išlankstyto
stačiakampio plotas didžiausias.
Raskite tą plotą.
Reikia pagaminti atvirą ritinio formos
baką, kurio tūris būtų lygus 8 m3. Kokie
turi būti bako pagrindo spindulys x ir
aukštinė H, kad gaminant būtų
sunaudota mažiausiai metalo?
7.3.7. Žinoti, kad kelio funkcijos
išvestinė yra momentinio greičio Taškas juda tiese pagal dėsnį ( ) . Atstumas matuojamas
Materialusis taškas juda pagal dėsnį
( ) . Kokiu laiko
Materialusis taškas juda tiesiaeigiškai
pagal dėsnį ( )
Kalba netaisyta
48
funkcija, o momentinio greičio
funkcijos išvestinė yra
momentinio pagreičio funkcija, ir
spręsti nesudėtingus judėjimo
uždavinius.
metrais, laikas – sekundėmis.
Apskaičiuokite taško greitį ir pagreitį po
trijų sekundžių.
momentu jo greitis bus 6 m/s? Koks
pagreitis bus tuo laiko momentu?
(m). Raskite:
a) laiko momentą t (laikas matuojamas
sekundėmis), kai taško pagreitis lygus
nuliui;
b) greitį, kuriuo taškas juda tuo laiko
momentu.
8 modulis. Integralinis skaičiavimas. Algebros ir analizės pradmenų žinių sisteminimas
Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
8.1. Suprasti funkcijos pirmykštės funkcijos apibrėžimą ir apskaičiuoti apibrėžtinį integralą.
Žino pirmykštės funkcijos apibrėžimą.
Paprastais atvejais moka patikrinti, ar viena
funkcija yra kitos pirmykštė.
Supranta, kad kiekviena funkcija turi be galo daug
pirmykščių funkcijų. Nesudėtingais atvejais
pagrindžia, kad viena funkcija yra kitos pirmykštė.
Teisingai naudoja matematinius simbolius.
Argumentuoja pirmykščių funkcijų aibės
daugiareikšmiškumą.
Žino pirmykščių funkcijų radimo taisykles.
Taiko jas paprastais atvejais.
Supranta pirmykščių funkcijų radimo taisykles, moka
jas taikyti nesudėtingais atvejais.
Suformuluoja ir pagrindžia pirmykščių funkcijų
radimo taisykles.
Žino Niutono–Leibnico formulę ir moka ją
taikyti paprastais atvejais.
Supranta sąvokas: kreivinė trapecija, apibrėžtinis
integralas, integravimo rėžiai, integruojamasis
reiškinys.
Žino Niutono–Leibnico formulės geometrinę prasmę.
Nesudėtingais atvejais apskaičiuoja apibrėžtinį
integralą.
Pagrindžia apibrėžtinio integralo ryšį su kreivinės
trapecijos plotu.
Formuluoja apibrėžtinio integralo savybes ir jas
pagrindžia.
8.2. Nesudėtingais atvejais taikyti žinias apie pirmykštę funkciją bei apibrėžtinį integralą matematinio bei realaus turinio problemoms spręsti.
Taiko apibrėžtinius integralus paprastų
kreivinių figūrų plotams apskaičiuoti.
Taiko apibrėžtinius integralus nesudėtingų kreivinių
figūrų plotams apskaičiuoti.
Taiko apibrėžtinius integralus probleminiams
uždaviniams spręsti.
8.3. Taikyti skaičių, veiksmų su skaičiais, vieno ar kelių kintamųjų reiškinių savybes sprendžiant uždavinius, naudotis turimomis IKT.
Žino veiksmų su skaičiais savybes ir moka
jomis naudotis skaičiavimams supaprastinti.
Apskaičiuoja skaitinių reiškinių reikšmes.
Paverčia dešimtaines periodines trupmenas
paprastosiomis ir atvirkščiai, palygina
realiuosius skaičius.
Paprasčiausiais atvejais įvertina skaičiavimo rezultatų
absoliučiąją, santykinę paklaidas. Paaiškina sąvokas:
aibių sąjunga, sankirta.
Paprastais atvejais randa aibių poaibį, papildinį.
Taiko procentus praktinio ir matematinio turinio
uždaviniams spręsti.
Kalba netaisyta
49
Atlieka apytikslius skaičiavimus nurodytu
tikslumu.
Žino skaičiaus modulio apibrėžimą. Taiko jį
pertvarkant paprastus reiškinius.
Sprendžia paprasčiausias lygtis ir
nelygybes su moduliais.
Taiko modulio apibrėžimą ir savybes pertvarkant
nesudėtingus reiškinius.
Sprendžia paprastas lygtis ir nelygybes su moduliais.
Taiko modulio apibrėžimą ir savybes braižant
nesudėtingų funkcijų grafikus.
Sprendžia nesudėtingas lygtis ir nelygybes su
moduliais.
Apskaičiuoja algebrinių reiškinių reikšmes bei
dydžių reikšmes pagal nurodytą formulę.
Atlieka veiksmus su daugianariais
ir algebrinėmis trupmenomis.
Taiko greitosios daugybos formules: ( )
ir .
Taiko formules ( ) ir paprastiems
reiškiniams prastinti.
Taiko formules ( ) ir nesudėtingiems
reiškiniams prastinti.
Atkuria sekos narius pagal sekos n-tojo nario
formulę. Apibrėžia aritmetinę ir geometrinę
progresiją. Žino ir taiko n-tojo nario ir pirmųjų
n narių sumos formules sprendžiant paprastus
uždavinius.
Atkuria sekos narius pagal rekurentinę formulę. Įrodo
n-tojo nario ir pirmųjų n narių sumos formules, taiko
jas sprendžiant nesudėtingus uždavinius.
Užrašo paprastos sekos n-tojo nario formulę. Taiko
nykstamosios geometrinės progresijos sumos formulę.
Sieja progresijas su paprastųjų ir sudėtinių palūkanų
skaičiavimu.
8.4. Taikyti funkcijų savybes matematinio bei realaus turinio problemoms spręsti. Naudotis turimomis IKT.
Nustato funkcijos apibrėžimo sritį, reikšmių
sritį, funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo
intervalus, funkcijos lyginumą, ekstremumo
taškus, didžiausią ir mažiausią funkcijos
reikšmę duotajame intervale ir jomis naudojasi
sprendžiant paprastus uždavinius.
Geba paprastais atvejais patikrinti, ar funkcija yra
atvirkštinė duotajai funkcijai.
Taiko ryšį tarp funkcijos ir jai atvirkštinės funkcijos
grafikų, spręsdamas paprastus uždavinius.
Braižo nesudėtingų funkcijų, apibrėžtų baigtiniame
intervale, grafikus ir atlieka funkcijų grafikų
transformacijas. Aprašo nesudėtingas matematines situacijas
naudodamasis funkcijomis.
Taiko rodiklinių ir logaritminių funkcijų
savybes uždavinių sprendimui argumentuoti.
Apskaičiuoja rodiklinių ir logaritminių
Sprendžia paprastas rodiklines ir logaritmines lygtis ir
nelygybes, dviejų lygčių su dviem kintamaisiais
sistemas, kurių viena lygtis yra rodiklinė arba
Sudaro ir sprendžia nesudėtingas rodiklines ir
logaritmines lygtis bei dviejų lygčių su dviem
kintamaisiais sistemas.
Kalba netaisyta
50
funkcijų reikšmes. Sprendžia paprasčiausias
lygtis ir nelygybes. logaritminė.
Apskaičiuoja trigonometrinių funkcijų
reikšmes.
Taiko to paties argumento trigonometrinių
funkcijų sąryšius uždaviniams spręsti.
Apskaičiuoja atvirkštinių trigonometrinių
funkcijų reikšmes.
Redukuoja trigonometrines funkcijas.
Taiko dviejų kampų sumos ir skirtumo sinuso,
kosinuso ir tangento formules bei jų išvadas
nesudėtingiems reiškiniams pertvarkyti,
trigonometrinių funkcijų reikšmėms apskaičiuoti.
Sprendžia paprastas trigonometrines lygtis ir
nelygybes.
Braižo trigonometrinių funkcijų grafikus ir juos
transformuoja.
Įrodo to paties argumento trigonometrinių funkcijų
sąryšius.
Sprendžia nesudėtingas trigonometrines lygtis.
Supranta išvestinę kaip funkcijos reikšmių
kitimo greitį ir taiko šią sampratą
nesudėtingiems uždaviniams spręsti.
Užrašo funkcijos grafiko liestinės taške lygtį.
Taiko laipsninės, rodiklinės, logaritminės,
tiesioginių trigonometrinių funkcijų išvestinių
formules ir funkcijų sumos, skirtumo,
sandaugos, santykio, sudėtinės funkcijos
išvestinių skaičiavimo taisykles.
Užrašo funkcijos grafiko liestinės taške lygtį ir taiko ją
uždaviniams spręsti.
Atlieka funkcijos tyrimą ir jį argumentuoja.
Taiko išvestines braižant funkcijų grafikus ir
sprendžiant paprastas problemas.
Užduočių pavyzdžiai
Žinios ir supratimas Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
8.1. Suprasti funkcijos pirmykštės funkcijos apibrėžimą ir apskaičiuoti apibrėžtinį integralą.
8.1.1. Žinoti, kad duotosios
funkcijos pirmykštės funkcijos
išvestinė lygi duotajai funkcijai.
Suprasti, kodėl pirmykščių
funkcijų aibė yra begalinė.
Raskite funkciją f(x), kai jos pirmykštė:
a) ( ) ;
b) ( ) ;
c) ( )
.
Raskite funkciją f(x), kai jos
pirmykštė:
a) ( ) √ ;
b) F( ) √ ;
c) F(x) =
√ .
Raskite funkciją f(x), kai jos pirmykštė:
a) ( ) √ ;
b) ( ) √ ;
c) F(x) =
.
8.1.2. Žinoti funkcijų, išreikštų
daugianariais, pirmykščių
funkcijų radimo taisykles.
Raskite funkcijos ( ) kurią nors pirmykštę funkciją F(x).
Funkcijos f(x) pirmykštės funkcijos
F(x) grafikas eina per tašką M(0;3).
Raskite F(x), kai ( ) .
Raskite funkcijos ( ) ( )
pirmykštes funkcijas G(x).
Kalba netaisyta
51
8.1.3. Žinoti ir naudoti Niutono
– Leibnico formulę
apibrėžtiniam integralui
apskaičiuoti.
Apskaičiuokite
∫ ( )
.
Apskaičiuokite
∫
.
Apskaičiuokite
∫ √
.
8.2. Nesudėtingais atvejais taikyti žinias apie pirmykštę funkciją bei apibrėžtinį integralą matematinio bei realaus turinio problemoms spręsti.
8.2.1. Taikyti apibrėžtinius
integralus nesudėtingų kreivinių
figūrų plotams apskaičiuoti.
Apskaičiuokite figūros plotą, kai ją
riboja funkcijų ir y = 0
grafikai.
Nubrėžkite brėžinį, apskaičiuokite
figūros plotą, kai ją riboja funkcijų
ir grafikai.
Figūra apribota parabole ir tiese y = 0. Parabolė ( ) figūrą dalija į dvi dalis. Raskite
tų dalių plotų santykį.
8.3. Taikyti skaičių, veiksmų su skaičiais, vieno ar kelių kintamųjų reiškinių savybes sprendžiant uždavinius, naudotis turimomis IKT.
8.3.1. Mokėti atlikti skaičių
aibių veiksmus.
8.3.2. Taikyti aritmetinės ir
geometrinės progresijų savybes
sprendžiant praktinius ir
matematinius uždavinius.
8.3.3. Apskaičiuoti reiškinių
skaitines reikšmes ar dydžio
reikšmes pagal nurodytą
formulę.
8.3.4. Taikyti veiksmų su
laipsniais, veiksmų su n-tojo
laipsnio šaknimis, skaičiaus
logaritmo savybes sprendžiant
skaičiavimo, reiškinių
pertvarkymo ir palyginimo
uždavinius.
1. Suprastinkite reiškinį:
.
2. Apskaičiuokite:
a) √ √
;
b) ;
c) ( )
, kai .
1. Suprastinkite reiškinį:
( )
(
( )
)
2. Apskaičiuokite:
( ) ((
) )
( ) √ .
3. Apskaičiuokite:
a) √( √ ) √( √ )
√ ;
b) ( ) ;
c) (
), kai
√
ir
.
1. Suprastinkite reiškinį:
)
;
b) √ ( ) √
.
2. Apskaičiuokite:
a) (
√ )
√
√ ;
b) (
)
;
c) √ ( )
.
8.3.5. Mokėti spręsti
kvadratines, racionaliąsias ir
paprastas iracionaliąsias lygtis,
1. Išspręskite lygtis ir lygčių sistemas:
1. Išspręskite lygtis ir lygčių sistemas:
a)
;
Išspręskite lygtis ir lygčių sistemas:
a)
;
Kalba netaisyta
52
lygtis su moduliu ir lygtis,
kurias galima perrašyti kaip
( ) ( ) , ( )
( ) ;
( ), ( ) – ne aukštesnio negu
antrojo laipsnio daugianaris.
8.3.6. Mokėti spręsti kvadratines
ir nesudėtingas racionaliąsias
nelygybes, paprastas nelygybes
su moduliu.
8.3.7. Mokėti spręsti dviejų
nelygybių su vienu nežinomuoju
ir lygčių su dviem
nežinomaisiais sistemas.
8.3.8. Mokėti aprašyti lygtimis,
nelygybėmis ir jų sistemomis
paprastas matematinio ir
praktinio turinio situacijas.
a)
;
b) √ ;
c) {
d) √ √
(
) ;
e) ( ) ;
f)
√ .
2. Išspręskite nelygybes ir nelygybių sistemas:
a) {
;
b) ;
c)
;
d) ( ) .
b) √ ;
c) {
d) | |; e) ;
f) ( )
;
g) .
2. Išspręskite nelygybes:
a)
;
b) | | ;
c) ;
d) ( ) ( ) .
b) √ √ ;
c) {
d) | |
| | ;
e) ;
f)
;
g) .
3. Išspręskite nelygybes:
a)
;
b) | | ;
c) ;
d)
√ ;
e) √ .
8.4.1. Atpažinti funkciją iš
formulės ar grafiko.
8.4.2. Pagrįsti būdingus funkcijų
bruožus, nustatyti jų sąryšius ar
dėsningumus.
8.4.3. Atpažinti funkcijos
{ ( )
( )
grafiko eskizą ir paprastais
atvejais juo remtis
8.4.6. Tikslingai naudotis IKT
teikiamomis galimybėmis.
1. Tiesinės funkcijos
f(x) = – 2,5x + b grafikas eina per
tašką A(–2; 3). Raskite koeficientą b.
2. Raskite funkcijos ( ) ( ) apibrėžimo sritį.
3.Nubrėžkite funkcijos
( ) √ grafiką. Išvardykite jo
savybes.
1. Per tašką A(2; 2) nubrėžta tiesė, lygiagreti
tiesei, einančiai per taškus B(1; 4) ir C(–1; –
2). Užrašykite abiejų tiesių lygtis.
2. Raskite funkcijos ( ) √
apibrėžimo sritį.
3. Raskite funkcijos ( )
atvirkštinę funkciją.
4. Nustatykite funkcijos ( )
lyginumą.
5. Nubrėžkite funkcijos ( ) √
grafiką ir išvardykite jo savybes.
1. Užrašykite lygtį tiesės, kuri eina per
tašką M(– 4; 1) ir yra statmena tiesei y
= 1,2x – 6.
2. Raskite funkcijos ( )
apibrėžimo sritį.
3. Raskite funkcijos ( )
atvirkštinę funkciją.
4. Nustatykite, ar funkcija ( ) yra didėjanti ar mažėjanti.
5. Nubrėžkite funkcijos ( )
√ grafiką ir išvardykite jo
savybes.
8.4.4. Nesudėtingą praktinę ir
matematinę situaciją modeliuoti
funkcija.
8.4.5. Remtis funkcijos ir
1. Raskite išvestinę: ( ) .
2. Funkcijos ( )
grafikui nubrėžta liestinė taške
1. Raskite išvestinę: ( ) √
.
2. Parašykite liestinės lygtį funkcijos
( ) ( ) grafikui taške .
3. Raskite funkcijos ( )
1. Raskite išvestinę: ( ) .
2. Parašykite funkcijos f(x) = ln(3x +
2) grafiko liestinės, lygiagrečios tiesei
y = x + 4, lygtį.
Kalba netaisyta
53
funkcijos išvestinės savybėmis
sprendžiant praktinio ir
matematinio turinio uždavinius.
. Raskite liestinės krypties
koeficientą.
3. Raskite funkcijos
( ) ekstremumus.
4. Skaičių 10 išskaidykite į du
teigiamus dėmenis taip, kad jų
sandauga būtų didžiausia.
ekstremumus.
4. Reikia tvora aptverti 294 m² ploto
stačiakampio formos žemės sklypą ir tvora jį
padalyti į dvi lygias dalis. Kokio ilgio ir
pločio turėtų būti žemės sklypas, kad tvorai
būtų sunaudota mažiausiai medžiagų?
3. Raskite funkcijos ( )
ekstremumus.
4. Reikia pagaminti kūgio formos
piltuvėlį, kurio sudaromoji 15 cm.
Apskaičiuokite, koks turi būti
piltuvėlio aukštis, kad piltuvėlio tūris
būtų didžiausias.
9 modulis. Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas
Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
9.1. Naudotis vektoriaus sąvoka ir veiksmų savybėmis sprendžiant paprastus bei įrodymo uždavinius.
Suvokia vektorių kaip kryptinę atkarpą.
Nustato vektoriaus, pavaizduoto koordinačių
plokštumoje, koordinates. Pavaizduoja vektorių
koordinačių plokštumoje, kai žinomos
vektoriaus koordinatės.
Supranta vektoriaus ilgį kaip atkarpos ilgį.
Moka apskaičiuoti vektoriaus ilgį, kai žinomos
vektoriaus koordinatės.
Sprendžia paprasčiausius uždavinius.
Žino vektoriaus apibrėžimą. Supranta, kas yra
koordinatinis vektorius (koordinačių ašies vienetinis
vektorius), nulinis vektorius, vietos vektorius.
Apskaičiuoja vektoriaus koordinates, kai žinomos
vektoriaus pradžios ir galo taškų koordinatės.
Žino taško ir jo vietos vektoriaus koordinačių ryšį.
Erdvinėje koordinačių sistemoje pavaizduoja vektorių.
Sprendžia paprastus uždavinius.
Laisvai operuoja sąvokomis: vektorius, vektoriaus
koordinatės, vektoriaus ilgis.
Sprendžia nesudėtingus uždavinius.
Grafiškai vaizduoja kolinearius vektorius.
Grafiškai pavaizduoja vektorių sudėtį pagal
lygiagretainio ar trikampio taisyklę.
Žino, kaip užrašomi veiksmai koordinatėmis ir
moka juos atlikti. Sprendžia paprasčiausius
uždavinius.
Grafiškai pavaizduoja vektorių atimtį. Paprastais
atvejais iš brėžinio išreiškia vieną vektorių kitais.
Apibrėžia sąvokas: kolinearieji vektoriai, vienakrypčiai
vektoriai, preišpriešiniai vektoriai, priešingieji
vektoriai, lygūs vektoriai.
Supranta, kad lygių vektorių atitinkamos koordinatės
lygios.
Supranta ir taiko vektorių kolinearumo sąlygą, kai
vektoriai užrašyti koordinatėmis.
Sprendžia paprastus uždavinius.
Formuluoja vektorių sumos, skirtumo taisykles.
Formuluoja ir pagrindžia vektorių kolinearumo sąlygą.
Sprendžia nesudėtingus uždavinius.
Supranta kampo tarp vektorių sąvoką.
Žino vektorių skaliarinės sandaugos
apibrėžimą.
Apibrėžia kampą tarp vektorių. Formuluoja vektorių
skaliarinės sandaugos apibrėžimą.
Žino skaliarinės sandaugos savybes, taiko jas
Moka įrodyti vektorių, išreikštų koordinatėmis,
skaliarinės sandaugos radimo taisyklę.
Pagrindžia veiksmų su vektoriais, išreikštais
Kalba netaisyta
54
Moka apskaičiuoti vektorių skaliarinę
sandaugą, kai žinomi tų vektorių ilgiai ir
kampo tarp vektorių didumas.
Moka apskaičiuoti vektorių, išreikštų
koordinatėmis, skaliarinę sandaugą.
Sprendžia paprasčiausius uždavinius.
paprastiems uždaviniams spręsti. koordinatėmis, taisykles.
Taiko vektorius nesudėtingiems skaičiavimo ir
įrodymo uždaviniams spręsti. Kūrybingai ir originaliai
pasirenka ir derina sprendimo strategijas.
9.2. Taikyti plokštumos geometrijos žinias stereometrijoje.
Žino ir taiko figūrų perimetro ir ploto savybes
sprendžiant uždavinius.
Žino ir taiko trikampio kampų sumos, Pitagoro
ir jai atvirkštinę teoremas.
Apibrėžia trikampių lygumą, panašumą bei
taiko trikampių lygumo ir panašumo požymius
uždaviniams spręsti.
Įrodo trikampio kampų sumos, Pitagoro, sinusų ir
kosinusų teoremas.
Taiko įbrėžto į trikampį ir apibrėžto apie trikampį
apskritimo savybes uždaviniams spręsti.
Įrodo trikampio ploto formules, išreiškiančias plotą
pagrindu ir aukštine arba dviem kraštinėmis ir kampu
tarp jų.
Įrodo trikampio kampų sumos teoremą,
Pitagoro teoremą ir jai atvirkštinę teoremą, trikampio
vidurio linijos savybes, pusiaukraštinių savybes,
pusiaukampinių savybes.
Žino ir taiko trikampio ploto formules,
išreiškiančias plotą pagrindu ir aukštine arba
dviem kraštinėmis ir kampu tarp jų. Žino ir
taiko pagrindines lygiagretainio, rombo,
stačiakampio, kvadrato ir trapecijos savybes ir
jų plotų formules.
Žino įbrėžto į apskritimą ir apibrėžto apie apskritimą
keturkampio pagrindines savybes ir taiko jas
uždaviniams spręsti.
Įrodo pagrindines stačiakampio, kvadrato,
lygiagretainio, rombo ir trapecijos savybes.
Įrodo lygiagretainio, trapecijos ploto formules.
Žino ir paprastais atvejais taiko įbrėžtinių
kampų, centrinių kampų, apskritimo liestinių
savybes.
Įrodo, kad įbrėžtinių kampų, besiremiančių į tą patį
lanką, didumai yra lygūs.
Įrodo, kad įbrėžtinis kampas, kuris remiasi į skersmenį,
yra statusis.
Supranta ir nesudėtingais atvejais taiko įbrėžtinių
kampų, apskritimo stygų, liestinių savybes.
Įgudęs taikyti apskritimo liestinių ir kirstinių savybes.
Žino tiesės ir plokštumos lygiagretumo, tiesės
ir plokštumos bei plokštumų statmenumo,
kampo tarp tiesės ir plokštumos sąvokas,
atstumo tarp taškų, tarp lygiagrečių tiesių ir
plokštumų sąvokas, atstumo tarp taškų, tarp
lygiagrečių tiesių ir plokštumų sąvokas, žino jų
Apibrėžia tiesės ir plokštumos lygiagretumo, tiesės ir
plokštumos statmenumo bei plokštumų lygiagretumo ir
statmenumo, kampo tarp tiesės ir plokštumos sąvokas,
atstumo tarp taškų, tarp lygiagrečių tiesių ir plokštumų
sąvokas, supranta jų savybes ir moka jas taikyti
sprendžiant nesudėtingus uždavinius.
Įrodo trijų statmenų teoremą ir jai atvirkštinę teoremą.
Taiko jas argumentuodamas sprendimo žingsnius.
Apibrėžia tiesės ir plokštumos statmenumo požymį ir
geba jį taikyti sprendžiant uždavinius..
Kalba netaisyta
55
savybes ir moka jas taikyti sprendžiant
paprastus uždavinius.
Paprastais atvejais apskaičiuoja prizmių,
piramidžių, kūgių, ritinių, rutulių paviršių
plotus ir tūrius.
Apskaičiuoja erdvinių kūnų ir paprasčiausių jų
junginių paviršiaus plotą ir tūrį.
Pavaizduoja įvairių kūnų paprastus pjūvius
sprendžiant nesudėtingus uždavinius.
Teisingai pasirenka reikalingas strategijas, atrenka ir
įvertina pateiktus ir gautus duomenis, nuosekliai ir
išsamiai argumentuoja užduoties sprendimą.
9.3. Taikyti trigonometriją geometrijoje.
Žino ir taiko trikampio ploto formules,
išreiškiančius plotą dviem kraštinėmis ir kampu
tarp jų.
Žino ir paprasčiausiais atvejais taiko sinusų ir
kosinusų teoremas.
Supranta ir taiko sinusų ir kosinusų teoremas. Įrodo trikampio ploto formulę, išreiškiančią plotą
dviem kraštinėmis ir kampu tarp jų.
Įrodo sinusų ir kosinusų teoremas.
Užduočių pavyzdžiai
Žinios ir supratimas Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
9.1. Naudotis vektoriaus sąvoka ir veiksmų savybėmis sprendžiant paprastus bei įrodymo uždavinius.
9.1.1. Apibrėžti vektorių kaip
plokštumos (erdvės) kryptinę
atkarpą. Išreikšti vektorių
koordinatėmis ( ( ),
; ( ),
), apskaičiuoti jo ilgį.
1. Kiek skirtingų vektorių gausite
jungdami rombo viršūnes po dvi?
Pavaizduokite brėžiniu ir išvardykite
vektorius.
2. Apskaičiuokite vektoriaus NM
koordinates ir ilgį, kai M(1; –2), N(–3;
1).
1. kiek viršūnių turi daugiakampis, jei
sujungę jo viršūnių poras gausime 6
vektorius. Išvardykite vektorius
(nepamirškite priešpriešių vektorių).
2. Raskite vektoriaus ilgį, jei
.
1. Pavaizduokite figūrą, sudarytą iš
kvadrato ABCD ir lygiakraščio trikampio
DCE. Surašykite : a) vienakrypčius
vektorius; b) priešpriešius vektorius; c)
lygius vektorius; d) vienodo ilgio
vektorius.
9.1.2. Žinoti, kaip vektorių
veiksmai atliekami geometriškai
(plokštumoje arba erdvėje) ir
kaip užrašomi veiksmai
koordinatėmis. Mokėti užrašyti
ir taikyti vektorių lygiagretumo
1. Atlikite vektorių veiksmus ,
,
1. Duoti vektoriai :
Nubrėžkite vektorius: ,
1.Vektoriai ir yra
nekolinearūs. Nubrėžkite vektorių .
2. Trikampio ABC pusiaukraštinių
vektorius ,
, išreikškite
trikampio kraštinių vektoriais ir .
3. Keturkampio kraštinės sutampa su
vektoriais , , ( ).
Kalba netaisyta
56
(kolinearumo) sąlygą.
2. Parašykite vektoriaus koordinates,
kai ( ).
. 2. Lygiagretainio ABCD taškas K yra
kraštinės BC vidurio taškas, o P –
kraštinės CD vidurio taškas. Vektorių
išreikškite vektoriais ir .
3. Parašykite vektoriaus
koordinates, kai
( ) ( ).
4. Patikrinkite, ar vektoriai
( ) ( ) yra kolinearūs.
5. Raskite tokius skaičius m ir n , kad
vektoriai ( ) ( ) būtų
kolinearūs.
Nustatykite keturkampio rūšį ir
apskaičiuokite su jo įstrižainėmis
sutampančių vektorių koordinates.
4. Su kuriomis m reikšmėmis vektoriai
( ) ir ( ( ) ( ))
yra: a) priešingi? b) priešpriešiai?
9.1.3. Žinoti vektorių skaliarinės
sandaugos savybes, taikyti jas
paprastiems praktinio ir
matematinio turinio uždaviniams
spręsti.
1.Apskaičiuokite vektorių ( ) ir
( ) skaliarinę sandaugą.
Apskaičiuokite kampo tarp vektorių
( ) ir ( ) didumą 1
tikslumu.
Apskaičiuokite kampą tarp vektorių ,
kai | | | |, o vektoriai ir
yra statmeni.
9.1.4. Taikyti vektorius
nesudėtingiems skaičiavimo ir
įrodymo uždaviniams spręsti.
1. Remdamiesi vektoriais, įrodykite, kad
trapecijos vidurinė linija lygiagreti
pagrindams ir lygi jų sumos pusei.
2. Remdamiesi vektoriais, apskaičiuokite
kampo tarp stačiakampio gretasienio
gretimų šoninių sienų įstrižainių, turinčių
bendrą pradžią, sinusą, jei stačiakampio
gretasienio ilgis lygus 7 cm, plotis – 5 cm,
aukštis – 10 cm.
9.2. Taikyti plokštumos geometrijos žinias stereometrijoje.
9.2.1. Nesudėtingais atvejais
taikyti liestinės savybę,
įbrėžtinio ir apibrėžtinio
trikampio ir keturkampio /
taisyklingojo daugiakampio
Sodybos savininkas, norėdamas
nustatyti atstumą tarp dviejų tvenkinio
galų M ir N, išmatavo atstumus, kurie
pavaizduoti brėžinyje. Apskaičiuokite
atstumą MN, jei MNKL.
Vėjas nulaužė 16 m aukščio medį. Šio
medžio viršūnė liečia žemę 8 m atstumu
nuo kamieno pagrindo. Kokiame
aukštyje nulūžo medis?
Per trikampio ABC kraštinės AC tašką V
išvesta atkarpa TVBC ir atkarpa VUAB.
Kalba netaisyta
57
savybes.
9.2.2. Pagrįsti figūrų lygumą ir
panašumą.
9.2.3. Taikyti panašumo sąvoką
sprendžiat įvairius nesudėtingus
uždavinius, pagrindžiant ar
įrodant nesudėtingus teiginius.
9.2.4. Remtis Talio teoremos
įrodymo schema sprendžiant
įvairius nesudėtingus
uždavinius, pagrindžiant ar
įrodant nesudėtingus teiginius.
VUC ABC. Jų panašumo
koeficientas k.
a) Įrodykite, kad
.
b) Apskaičiuokite trikampio TBU
plotą, kai ,
.
Keturkampio kampai proporcingi
skaičiams 1, 2, 3, 4. Apskaičiuokite
keturkampio kampų didumus.
Kvadratas KLMN susideda iš vieno
viduryje esančio kvadrato ir keturių
stačiakampių. Kiekvieno stačiakampio
perimetras 400 mm. Kiek kvadratinių
centimetrų turi kvadrato KLMN plotas?
Stačiosios trapecijos vidurinės linijos
ilgis lygus 9 cm. Į trapeciją įbrėžto
apskritimo spindulys lygus 4 cm. Raskite
ilgesniojo trapecijos pagrindo ilgį.
Duoti trys skrituliai, kurių skersmenys 1
cm, 2 cm, 3 cm. Apskaičiuokite
pilkosios srities plotą.
Apvalios staltiesės krašto ilgis 3,454 m.
Apvalaus stalo skersmuo 5dm. Kiek
decimetrų staltiesės kraštai nukabę
žemyn nuo stalo paviršiaus?
(Laikykite, kad .)
Žiedą riboja du koncentriniai apskritimai,
į vidinį apskritimą įbrėžti septyni vienodi
skrituliai, kurių spinduliai r. Žiedo plotas
lygus visų septynių skritulių plotų
sumai. Įrodykite, kad žiedo plotis d lygus
vieno įbrėžtojo skritulio spinduliui r.
Kalba netaisyta
58
9.2.5. Paprastais atvejais
nustatyti/apskaičiuoti erdvinėje
figūroje kampo tarp tiesės ir
plokštumos, kampo tarp dviejų
plokštumų didumą.
9.2.6. Taikyti trijų statmenų
teoremą pagrindžiant teiginius
apie dvisienius kampus ir remtis
šios teoremos įrodymo schema
sprendžiant įvairius
nesudėtingus uždavinius.
Kampas tarp pasvirosios ir plokštumos
60º, pasvirosios ilgis 10 cm. Raskite
pasvirosios projekcijos ilgį.
Stačiojo trikampio statiniai 30 cm ir 40
cm. Iš šio trikampio stačiojo kampo
viršūnės iškeltas 70 cm statmuo
trikampio plokštumai. Apskaičiuokite
atstumą nuo statmens galo, nesančio
plokštumoje, iki ilgiausios trikampio
kraštinės.
Du lygiašoniai trikampiai KLM ir KMV
turi bendrą pagrindą KM, kurio ilgis 16
cm. Trikampių plokštumos sudaro 60º
kampą, KL = LM = 17 cm, KV VM, A –
atkarpos KM vidurio taškas.
a) Įrodykite, kad LAV = 60º.
b) Apskaičiuokite VM ilgį.
c) Apskaičiuokite atstumą tarp viršūnių
L ir V.
9.2.7. Pavaizduotose erdvinėse
figūrose paprastais atvejais
nustatyti/apskaičiuoti atstumą
tarp prasilenkiančiųjų tiesių,
kampo tarp prasilenkiančiųjų
tiesių didumą, atstumą tarp
tiesės ir jai lygiagrečios
plokštumos, atstumą tarp
lygiagrečių plokštumų.
1. Pavaizduoto kubo briauna 6 cm.
Nustatykite:
a) atstumą tarp lygiagrečių plokštumų
KLM ir ;
b) atstumą tarp tiesės ir
plokštumos KNM;
c) kampo tarp tiesės ir plokštumos
KNM didumą;
d) kampo tarp tiesių ir
didumą.
1. Statusis trikampis ABC yra
lygiašonis, AC = BC = √ . Plokštuma α eina per kraštinę AC. Kraštinė AB su
plokštuma α sudaro 30º kampą. Raskite
atstumą nuo viršūnės B iki plokštumos
α.
1. Per stačiojo trikampio ABC (B = 90º)
kraštinę AB eina plokštuma β, kurios
atstumas nuo taško C lygus 4 cm.
Apskaičiuokite kampą, kurį sudaro β
plokštuma su trikampio ABC plokštuma,
kai BC = 8 cm.
9.2.8. Apskaičiuoti Bendrosiose
programose išvardytų erdvinių
Ritinio, kurio aukštis 4 cm, pagrindo
spindulys 5 cm. Pavaizduokite ritinio
1. Kūgio tūris lygus 100 π dm², o jo pagrindo spindulys lygus 5 dm.
1. Ritinio šoninio paviršiaus išklotinė yra kvadratas. Raskite kampo, kurį
Kalba netaisyta
59
figūrų lygiagrečiųjų / ašinių
pjūvių plotus.
ašinį pjūvį ir lygiagretųjį pjūvį.
Apskaičiuokite gautųjų pjūvių plotus.
Raskite kūgio ašinio pjūvio plotą ir
perimetrą.
2. Taisyklingąją keturkampę piramidę kerta plokštuma, lygiagreti su
pagrindu ir dalijanti aukštinė santykiu
3:1, skaičiuojant nuo viršūnės.
Apskaičiuokite pjūvio plotą, kai
piramidės pagrindo briaunos ilgis 6
cm.
sudaro šio ritinio ašinio pjūvio
įstrižainė su pagrindo plokštuma, dydį.
2. Kūgį kerta pagrindui lygiagreti plokštuma, kurios atstumas nuo kūgio
viršūnės yra d. Kūgio pagrindo
spindulys R, o aukštinė H. Raskite
pjūvio plotą.
9.2.9. Taikyti erdvinių figūrų
paviršiaus ploto ir tūrio
formules.
Yra du stačiakampių gretasienių formos
akvariumai. Pirmojo pagrindas –
kvadratas su 25 cm kraštine. Iš jo
vanduo, kurio lygis buvo 30 cm,
perpiltas į antrąjį akvariumą. Antrojo
akvariumo pagrindo ilgis 50 cm, o
plotis 20 cm. Koks vandens lygis
antrajame akvariume? (Atsakymą
parašykite 1 cm tikslumu.)
Iškastas ritinio formos 30 km ilgio
tunelis, kurio skersmuo 6 m.
Apskaičiuokite, kiek kubinių metrų
grunto buvo iškasta (π 3,14).
Kokio aukščio kūgio formos kalną,
kurio pagrindas 20 ha, būtų galima
supilti iš šio grunto? Atsakymą
parašykite 1 m tikslumu.
2800 cm3 talpos kibiras, iki pusės
pripildytas vandens. Vandens paviršiaus
plotas 225 π cm2. Apskaičiuokite kibiro
viršaus ir dugno skersmenis, jei kibiro
aukštis lygus 12 cm.
Kiek kvadratinių decimetrų skardos buvo
sunaudota darant šį kibirą (atliekos
sudarė 2 paviršiaus ploto)?
9.3. Taikyti trigonometriją geometrijoje.
9.3.1. Įrodyti kosinusų teoremą,
sinusų teoremą, trikampio ploto
formulę
.
9.3.2. Remtis kosinusų, sinusų
teoremų įrodymo būdais
sprendžiant įvairius
nesudėtingus uždavinius,
pagrindžiant ar įrodant
nesudėtingus teiginius.
Lygiagretainio MNKP įstrižainė MK su
kraštine MN sudaro 45º kampą, o su
kraštinę MP – 30º kampą. Nubrėžkite
brėžinį. Apskaičiuokite NK ilgį, jei MN
= 14 cm.
Kokios rūšies yra trikampis, kurio
kraštinių ilgiai lygūs 8 cm, 10 cm, 16
cm?
1. Duotas trikampis ABC. Įrodykite, kad
lygybė BC² = AB² + AC² – 2AB·AC·cosA
yra teisinga ir tuo atveju, kai kampas A
yra bukasis.
2. Įrodykite, kad lygiagretainio įstrižainių
kvadratų suma yra lygi jo kraštinių ilgių
kvadratų sumai.
Kalba netaisyta
60
Pasirenkamasis modulis. Uždavinių sprendimo strategijos
Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
Gebėjimas: 1.1. Taikyti bendresnio ar dalinio atvejo nagrinėjimo strategiją.
Pagal duotą planą atlieka paprastą tyrimą. Pasitardamas sudaro planą ir atlieka nesudėtingą
tyrimą.
Suplanuoja ir atlieka nesudėtingą tyrimą.
Pateikus tikslingai suformuluotus klausimus,
įžvelgia nagrinėjamų dydžių ryšius.
Paprastais atvejais pastebi ryšius tarp nagrinėjamų
dydžių.
Atlieka išsamią analizę, įžvelgia ryšius tarp
nagrinėjamų dydžių.
Pateikus tikslingai suformuluotus klausimus,
pastebi ir parodo vieną nagrinėtiną problemos
atvejį.
Įžvelgia ir parodo bent du nagrinėtinus problemos
atvejus.
Įžvelgia ir parodo visus nagrinėtinus problemos
atvejus.
Pateikus tikslingai suformuluotus klausimus,
suskaido uždavinį į atskiras dalis.
Nesudėtingą uždavinį suskaido į atskiras dalis. Neįprasto konteksto uždavinį suskaido į atskiras
dalis.
Su pagalba pasirenka ir pritaiko tinkamą matematinį
modelį.
Paprastais atvejais įžvelgia ir pasirenka tinkamą
matematinį modelį.
Neįprasto konteksto atvejais įžvelgia, pasirenka ir
pritaiko tinkamą matematinį modelį.
Pateikus tikslingai suformuluotus klausimus,
argumentuoja kiekvienos uždavinio dalies
sprendimą.
Beveik nuosekliai argumentuoja kiekvienos dalies
nesudėtingo konteksto uždavinio sprendimą.
Nuosekliai argumentuoja neįprasto konteksto
uždavinio kiekvienos dalies sprendimą.
Formuluoja atsakymus į tiesioginius klausimus. Nesudėtingais atvejais formuluoja išvadas, atsako į
pateiktus klausimus.
Neįprastais atvejais formuluoja išvadas ir
atsakymus į klausimus.
Gebėjimas: 1.2. Taikyti įvairias įrodymo strategijas
Padedant taiko analizės metodą paprastais atvejais. Remdamasis pavyzdžiu, paaiškina analizės metodą
ir taiko jį paprastais atvejais.
Paaiškina analizės metodą ir taiko jį paprastose
neįprasto konteksto situacijose.
Paprasto konteksto uždaviniams spręsti sudaro lygtį
ir ją išsprendžia. Su pagalba analizuoja gautą
rezultatą.
Nesudėtingo konteksto uždaviniams spręsti sudaro
lygtį. Pateikus tikslingai suformuluotus klausimus
analizuoja gautą rezultatą pradinės sąlygos
kontekste.
Numato ir analizuoja galimą gauti rezultatą.
Neįprasto konteksto uždaviniams spręsti sudaro
lygtį. Suvokia lygties sprendimą, kaip strategiją
pradėti nuo galo.
Remdamasis pavyzdžiu taiko prieštaros metodą. Paprastais atvejais taiko prieštaros metodą. Paaiškina prieštaros metodą ir taiko jį paprastais
atvejais.
Gebėjimas: 1.3. Taikyti nuoseklaus galimybių perrinkimo strategiją.
Kalba netaisyta
61
Padedant suskaido paprastą uždavinį į lengviau
įveikiamas dalis.
Savarankiškai suskaido įprasto konteksto uždavinį į
lengviau įveikiamas dalis.
Suskaido neįprasto konteksto uždavinį į lengviau
įveikiamas dalis.
Iš nagrinėjamų pavyzdžių supranta, kad uždavinį į
dalis galima suskaidyti ne vienu būdu.
Supranta, kad uždavinį suskaidyti į dalis galima ne
vienu būdu.
Padedant paprastais atvejais pasirenka vieną
nagrinėjamą atvejį.
Pasirenka bent vieną nagrinėjamą atvejį. Tikslingai pasirenka nagrinėtinų atvejų skaičių.
Padedamas paprastais atvejais taiko nuoseklaus
perrinkimo strategiją.
Taiko nuoseklaus perrinkimo strategiją paprastais
atvejais.
Taiko nuoseklaus perrinkimo strategija neįprasto
konteksto atvejais.
Gebėjimas: 1.4. Taikyti pavyzdžių ir priešingų pavyzdžių (kontrapavyzdžių) pateikimo strategiją.
Padedant nagrinėdamas užduočių sprendimus
supranta, kad vienas pavyzdys gali sugriauti teiginį.
Paprastais atvejais sugalvoja pavyzdį, kuris
sugriauna teiginį.
Supranta, kad tinkamai parinktas pavyzdys gali
sugriauti teiginį. Išanalizavęs turimą teiginį,
pateikia jį sugriaunantį pavyzdį.
Pateikus daug pavyzdžių ir vieną priešingą pavyzdį,
supranta, kad pavyzdžiais nepagrįsi teoremos
teisingumo.
Padedant nagrinėdamas pavyzdžius, kurie
pagrindžia teiginio teisingumą arba jį paneigia
suvokia, kad pavyzdžiai neįrodo teoremos.
Suvokia, kad teoremos įrodyme reikia išnagrinėti
apibendrintus atvejus.
Paprastais atvejais su pagalba taiko teiginių
paneigimo sugriovimo metodą.
Paprastais atvejais taiko teiginių paneigimo
sugriovimo metodą.
Nesudėtingais atvejais taiko teiginių paneigimo
metodą.
Užduočių pavyzdžiai
Žinios ir supratimas Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
Gebėjimas: 1.1. Taikyti bendresnio ar dalinio atvejo nagrinėjimo strategiją.
1.1.1. Atlikti nesudėtingą tyrimą.
1. Ar visada ,
kai kampas smailusis?
2. Trikampio kraštinių ilgiai 3, 4, 5. Įrodykite, kad jis status.
3. Nubrėžkite trikampį, jeigu sinα =
0,6.
1. Nustatykite funkcijos ( ) | |
lyginumą ir nubrėžkite jos grafiką.
2. Įrodykite, kad jeigu 23 rutuliai
sudėti į 7 dėžes, tai bent vienoje jų yra
bent 4 rutuliai.
1. Remdamiesi funkcijų ( ) | | ( ) grafikais,
nustatykite, kiek sprendinių
priklausomai nuo a reikšmės turi
lygtis ( ) ( ).
2. Ištirkite, ar taškai A(3; –7; 8), B(–
5; 4;1), C(27; –40; 29) yra vienoje
tiesėje.
1.1.2. Įžvelgti nagrinėjamų dydžių 1. Įrodykite , kad 1. Patikrinkite, ar teisinga lygybė 1. Įrodykite, kad trikampio plotas
Kalba netaisyta
62
sąryšį.
2. Įrodykite, kad rombo įstrižainės
dalija rombo kampus pusiau.
2. Įrodykite, kad lygiagretainio plotas
lygus dviejų kraštinių ir kampo tarp jų
sinuso sandaugai.
lygus dviejų kraštinių ir kampo tarp jų
sinuso sandaugos pusei.
2. Įrodykite, kad trikampio vidurio
linija yra lygiagreti su trečiąja
trikampio kraštine ir lygi jos pusei.
1.1.3. Įžvelgti ir parodyti visus
nagrinėtinus problemos atvejus.
1. Ištirkite, kada funkcija
( ) yra didėjanti, kada –
mažėjanti.
2. Įrodykite, kad trikampio kampų
suma lygi (išnagrinėkite smailųjį, statųjį ir bukąjį trikampius).
1. Išnagrinėkite, kokios savybės
būdingos lygiagretainių grupės
keturkampių įstrižainėms.
2. Jei kampo kraštines kerta dvi
lygiagrečios tiesės, tai vienoje kampo
kraštinėje atkirstos atkarpos yra
proporcingos kitoje kampo kraštinėje
atkirstoms atkarpoms.
1. Nurodykite sąlygas, kada Vijeto
teorema taikoma kvadratinei lygčiai
spręsti.
2. Išnagrinėkite, kaip kinta vektorių
skaliarinės sandaugos reikšmė
priklausomai nuo kampo tarp vektorių
didumo.
1.1.4. Suskaidyti uždavinį į atskiras dalis.
2. 1. Išspręskite lygtį
.
2. Tiesė eina per tašką (2; –1) ir yra
statmena tiesei Parašykite šios tiesės lygtį.
1. Įrodykite, kad trapecijos plotas
lygus pagrindų sumos pusės ir
aukštinės sandaugai.
2. Kiek lygties
sprendinių tenkina nelygybę
1. Iš vietovės A išėjo pasivaikščioti
mergina. Ji ėjo v km/h greičiu. Kai ji
buvo nuėjusi 6 km, paskui ją dviračiu
išvažiavo jaunuolis. Jo greitis buvo 9
km/h didesnis už merginos greitį. Kai
jaunuolis pavijo merginą, jie apsisuko
ir abu grįžo į vietovę A 4 km/h
greičiu.
Parodykite, kad merginos visą
pasivaikščiojimo laiką galime išreikšti
reiškiniu t =
+
.
2. Į trikampį ABC įbrėžtas
apskritimas. Trys apskritimo liestinės
atkerta trikampius MAN, KBL, PCU,
kurių perimetrai lygūs .
Apskaičiuokite trikampio ABC
perimetrą.
1.1.5. Įžvelgti, pasirinkti ir pritaikyti tinkamą matematinį modelį.
3. Įrodykite, kad su kiekviena
reiškinio ( ) ( )
reikšmė dalijasi iš 12.
1. Apskaičiuokite atstumą tarp šių
parabolių viršūnių:
( ) .
1. Gamybos metu susidaro skardos
atliekos. Šios atliekos yra statieji
trikampiai, kurių statiniai 12cm ir
16cm. Norint sumažinti skardos
Kalba netaisyta
63
2. Stačiakampio gretasienio
pagrindas –
kvadratas, kurio kraštinės ilgis lygus
1. Gretasienio aukštis = 2.
Apskaičiuokite vektorių ir
skaliarinę sandaugą.
2. ( ) , o ( ) ,
apskaičiuokite ( ) atliekų kiekį, reikia iš šių trikampių
iškirsti kuo didesnio ploto
stačiakampius skardos gabalus.
Iškertamo stačiakampio vienos
kraštinės ilgį pažymėję x, parodykite,
kad stačiakampio plotas ( )
. Raskite didžiausią
stačiakampio ploto reikšmę.
2. ( ) ( )
Su
kuriomis y reikšmėmis
( ) ( )?
1.1.6. Nuosekliai argumentuoti
kiekvienos uždavinio dalies
sprendimą.
1. Parodykite, kad nelygybės
intervalas yra
( ) 2. Įrodykite, kad reiškinio
(√ √ √ √ )
reikšmė yra sveikasis skaičius.
Duota funkcija ( ) .
1. Per funkcijos grafiko tašką, kurio
abscisė nubrėžta liestinė. Parodykite, kad tos liestinės lygtis
yra y = 1 x.
2. Apskaičiuokite plotą figūros,
apribotos funkcijos ( )
grafiku, šio grafiko liestine, nubrėžta
per tašką, kurio abscisė ir Oy ašimi.
1. Iš vietovės A išėjo pasivaikščioti
mergina. Ji ėjo v km/h greičiu. Kai ji
buvo nuėjusi 6 km, paskui ją dviračiu
išvažiavo jaunuolis. Jo greitis buvo 9
km/h didesnis už merginos greitį. Kai
jaunuolis pavijo merginą, jie apsisuko
ir abu grįžo į vietovę A 4 km/h
greičiu.
Kokia turi būti v reikšmė, kad mergina
visam pasivaikščiojimui sugaištų
mažiausiai laiko?\
2. Įrodykite, kad reiškinio
( )
( ) reikšmė nepriklauso
nuo kintamojo reikšmės.
1.1.7. Formuluoti išvadas ir atsakymus į klausimus.
1. Skaičių a dalijant iš 14 gaunama
liekana, lygi 3, o skaičių b dalijant iš
14 gaunama liekana, lygi 4.
Patikrinkite, ar a + b dalijasi iš 7 be
liekanos.
Trikampio kraštinių ilgiai yra tokie: a
= 4 cm, b = 6 cm, c = √ cm.
Nustatykite, ar šis trikampis bukasis.
Ar visada racionaliojo ir iracionaliojo
skaičių suma yra iracionalusis
skaičius? Išvadą pagrįskite.
Gebėjimas: 1.2. Taikyti įvairias įrodymo strategijas
1.2.1. Paaiškinti analizės metodą (einant nuo norimo įrodyti prie
1. Įrodykite, kad trikampio plotas
lygus kraštinės ir į ją nubrėžtos
1. Žinoma, kad 70% skaičiaus a lygu 1. Įrodykite, kad jei plokštumos tiesė
yra statmena į plokštumą išvestai
Kalba netaisyta
64
žinomo) ir taikyti jį paprastais
atvejais.
aukštinės sandaugos pusei.
2. Įrodykite, kad jei trikampis yra
statusis, tai jo statinių ilgių kvadratų
suma lygi įžambinės ilgio kvadratui.
√( √ ) √( √ )
.
Raskite skaičių a.
2. Kiekvieno apibrėžtinio keturkampio priešingų kraštinių ilgių
sumos yra lygios.
pasvirajai, tai ji statmena ir
pasvirosios projekcijai toje
plokštumoje.
2. Raskite c reikšmes, su kuriomis
tiesė kerta parabolę dviejuose taškuose.
1.2.2. Lygčių sprendimas kaip strategija pradėti nuo galo.
Nebrėždami grafikų raskite funkcijų
( ) ir g(x) = 3x
susikirtimo taškus.
Parodykite, kad funkcijos f(x) = 1+
2cos(2x) grafikas ir abscisių ašis
intervale [–3π; 3π] turi 12 susikirtimo
taškų.
Nebrėždami grafiko, nustatykite, kiek
susikirtimo taškų turi funkcijos f(x) =
sin(2x) ir g(x) = cosx intervale [–π; π].
1.2.3. Paaiškinti prieštaros metodą ir taikyti jį paprastais atvejais.
1. Įrodykite, kad nėra iškiliojo
daugiakampio, kurio kampų suma lygi
1900 . 2. Įrodykite, kad nėra tokių a ir b
reikšmių, su kuriomis skaičiai 1 ir 1
yra lygties
sprendiniai.
1. Įrodykite, kad kiekviename
trikampyje yra bent du smailieji
kampai
2. Įrodykite: jei tiesė l lygiagreti tiesei
a, esančiai plokštumoje , tai tiesė l lygiagreti ir plokštumai .
1. Įrodykite, kad apskritimo liestinė
yra statmena spinduliui, nubrėžtam į
lietimosi tašką
2. Du apskritimai, kurių spinduliai
lygūs, liečiasi. Įrodykite, kad jų
centrai ir lietimosi taškas yra vienoje
tiesėje.
Gebėjimas: 1.3. Taikyti nuoseklaus galimybių perrinkimo strategiją.
1.3.1. Suskaidyti uždavinį į lengviau įveikiamas dalis.
1. Tiesė, dalijanti pavaizduotą figūrą į
dvi lygiaplotes dalis, yra tiesioginio
proporcingumo funkcijos grafikas.
Užrašykite šią funkciją formule.
2. Jei prie dviženklio skaičiaus iš kairės prirašysime skaitmenį 3,
naujas skaičius bus 11 kartų
didesnis už pradinė. Raskite pradinį
skaičių.
1. Įsitikinkite, kad apie apskritimą
apibrėžto daugiakampio plotas lygus
pusei jo perimetro, padauginto iš
įbrėžtinio apskritimo spindulio ilgio.
2. Įrodykite, kad reiškinio reikšmė dalijasi iš 37.
1. Įrodykite, kad ( ) .
2. Įbrėžtinio ir apibrėžtinio apskritimų
spindulių ilgius išreikškite
taisyklingojo trikampio kraštinės ilgiu
a.
1.3.2. Suprasti suskaidymo dalimis
nevienareikšmiškumą.
Apskaičiuokite trikampio ABC plotą,
žinodami, jeigu tinklą sudaro šeši
Remdamiesi brėžiniu, apskaičiuokite
ir ( ).
Įrodykite, kad plokštumoje esanti tiesė
yra statmena pasvirajai tada ir tik tada,
Kalba netaisyta
65
lygūs kvadratai, kurių kraštinės ilgis
2 cm.
kai ta tiesė statmena pasvirosios
projekcijai.
1.3.3. Racionaliai pasirinkti
nagrinėjamų atvejų skaičių.
Įrodykite, kad trikampio
pusiaukraštinių susikirtimo taškas
dalija jas į atkarpas, kurių ilgių
santykis yra 2:1, skaičiuojant nuo
trikampio viršūnės.
Įrodykite, kad trikampio kraštinių
ilgiai yra proporcingi prieš jas esančių
kampų sinusams.
Įrodykite, kad trikampio kraštinės
ilgio kvadratas lygus kitų dviejų
kraštinių ilgių kvadratų sumai minus
dviguba tų kraštinių ilgių ir kampo
tarp jų kosinuso sandauga.
1.3.4. Taikyti nuoseklaus perrinkimo
strategiją paprastais atvejais.
Raskite dviženklį skaičių, jei to
skaičiaus ir jo skaitmenų suma lygi
36.
Kiek yra keturženklių skaičių, kurių
kiekvienas sekantis skaitmuo didesnis
už prieš jį einantį.
Surašykite visas natūraliųjų skaičių
poras, kurių kvadratų skirtumas lygus
45.
Gebėjimas: 1.4. Taikyti pavyzdžių ir priešingų pavyzdžių (kontrapavyzdžių) pateikimo strategiją.
1.4.1. Suvokti tinkamo pavyzdžio pakankamumą sugriaunant teiginį.
1. Gretutinių kampų suma lygi . Suformuluokite atvirkštinį teiginį. Ar
jis teisingas?
2. Jei a · b > 0, tai a ir b teigiami
skaičiai. Ar šis teiginys teisingas?
Ar teisingas teiginys: „Kvadratinio
trinario , kai ,
reikšmės yra pirminiai skaičiai“?
Patikrinkite jo teisingumą, kai .
Bukajame trikampyje ilgiausia
kraštinė dvigubai ilgesnė už
trumpiausią, kurios ilgis n. Ar gali
trikampio plotas būti didesnis nei
√ ?
1.4.2. Suvokti, jog joks pavyzdžių skaičius negali įrodyti teoremos.
Pagrįskite teiginį: „Jei dviejų
trikampio kraštinių ilgių kvadratų
suma lygi trečiosios kraštinės ilgio
kvadratui, tai trikampis statusis“.
1. Įrodykite, kad lygiagretainio plotas
lygus dviejų kraštinių ir kampo tarp jų
sinuso sandaugai.
2. Įrodykite, kad trikampio kraštinių
ilgiai yra proporcingi prieš jas esančių
kampų sinusams.
Įrodykite, kad skaičiai √ , √
√ , n – natūralusis skaičius,
niekada nesudaro aritmetinės
progresijos.
1.4.3. Taikyti teiginių paneigimo
metodą.
Kurios lygybės yra teisingos:
A Q ;
B Q Z;
C N Z;
D ;
E I Q.
Jei a > b, tai , su visomis a ir
b reikšmėmis.
1. Įrodykite, kad 1 – √ yra
iracionalusis skaičius.
2. Jei yra lyginis skaičius, tai m –
taip pat lyginis skaičius.
Kalba netaisyta
66
II. Modulių, apimančių matematikos išplėstinio kurso veiklos sritį „Geometrija. Vektoriai“, programai įgyvendinti
reikalinga metodinė medžiaga
Planavimo pavyzdžiai
Modulio „Geometrija“ planavimo pavyzdys [1]
Tikslas:
Apibendrinti geometrijos pagrindinio ugdymo žinias.
Plėtoti matematinę kompetenciją, taikant plokštumos ir erdvės geometriją matematinių ir praktinių problemų sprendimui.
Uždaviniai:
Plėtoti turimas žinias apie plokštumos ir erdvines figūras.
Mokyti taikyti geometrinių figūrų savybes ir trigonometriją, sprendžiant matematines ir praktines problemas, įrodant teiginius.
Vertinimas:
Formuojamasis: diagnostinė užduotis modulio pradžioje, siekiant įvertinti mokinių turimą patirtį taikyti erdvės ir plokštumos geometrijos figūrų
savybes; diagnostinė užduotis modulio gale, sudarant galimybę mokiniams įsivertinti naujai įgytą patirtį taikyti naujai išmoktas geometrinių
plokštumos ir erdvės figūrų savybes sprendžiant praktines ir matematines problemas; neformalus mokinio pasiekimų vertinimas skatinamuoju žodžiu.
Kaupiamasis vertinimas: savarankiški darbai, teorijos atsiskaitymai vertinami taškais, surinkti taškai konvertuojami pažymiu.
Apibendrinamasis vertinimas: kontrolinis darbas pabaigus ir susisteminus modulio medžiagą, vertinamas pažymiu.
Mokymo ir mokymosi turinys:
Gebėjimai Žinios ir supratimas Turinys Vertinimas Pastabos
I ciklas. Plokštumos geometrija ( 8 pamokos)
Įvadas: modulio tikslų, uždavinių turinio apimties, vertinimo kriterijų pristatymas Diagnostinė užduotis
modulio pradžioje
5.1. Taikyti žinias 5.1.1. Įžiūrėti apskritime atitinkamus Įbrėžtinis kampas. Centrinis kampas. Savarankiškas darbas
Kalba netaisyta
67
apie plokštumos
figūras sprendžiant
nesudėtingus
įvairių plokštumos
figūrų, jų dalių ir
junginių elementų
ilgio, kampų
didumo, perimetro
ir ploto skaičiavimo
uždavinius, įrodant
teiginius.
centrinį ir įbrėžtinį kampą, žinoti, kaip
rasti vieno jo didumą, kai žinomas kito
didumas, žinoti, kad įbrėžtiniai kampai,
kurie remiasi į tą patį lanką, yra lygūs.
5.1.2. Nusakyti įbrėžtojo į trikampį ir
apibrėžtojo apie trikampį apskritimo
savybes, įrodyti ir žinoti įbrėžtojo į
apskritimą ir apibrėžto apie apskritimą
keturkampio pagrindines savybes.
Paaiškinti įbrėžtojo į apskritimą
taisyklingojo daugiakampio ir apibrėžto
apie apskritimą taisyklingojo
daugiakampio
sąvokas.
5.1.3. Remtis figūrų lygumu ir panašumu
sprendžiant nesudėtingus praktinio ir
matematinio turinio uždavinius. Mokėti
įrodyti Talio teoremą ir jai atvirkštinę
teoremą.
Pusiaukampinės savybė. Geometrinio
vidurkio savybių taikymas nagrinėjant
statųjį trikampį.
Lygiosios ir panašiosios figūros. Talio
teorema. Simetriškosios figūros.
Įbrėžtųjų į apskritimą ir apibrėžtųjų
apie apskritimą daugiakampių
sąvokos. Įbrėžtųjų į apskritimą ir
apibrėžtųjų apie apskritimą
taisyklingųjų daugiakampių
(trikampių, keturkampių, šešiakampių)
savybės.
ciklo gale.
II ciklas. Trigonometrijos taikymas geometrijoje (6 pamokos)
5.2. Taikyti
trigonometrijos
žinias sprendžiant
paprastus
geometrinius
(praktinio ir
matematinio
turinio) uždavinius.
5.2.1. Žinoti smailiojo kampo kotangento
apibrėžimą ir taikyti
jį stačiojo trikampio elementams rasti.
5.2.2. Įrodyti ir žinoti kosinusų teoremą ir
sinusų teoremą, trikampio ploto formulę
, taikyti šias žinias trikampio,
keturkampio ir taisyklingųjų daugiakampių
elementams ir plotui rasti.
5.2.3. Suvokti, kad atskirais atvejais
taikydami trigonometriją trikampio
uždaviniams spręsti negauname
vienareikšmio atsakymo.
Smailiojo kampo kotangento
apibrėžimas.
Trigonometriniai sąryšiai bet kokio
trikampio elementams apskaičiuoti.
Savarankiškas darbas
ciklo gale.
Smailiojo trikampio sinusas,
kosinusas ir tangentas.
http://mkp.emokykla.lt
/imo/lt/ mo/287/
III ciklas. Erdvės geometrija (16 pamokų)
5.3. Taikyti žinias
apie erdvės figūras
5.3.1. Atpažinti, apibūdinti ir pavaizduoti
nupjautinę piramidę ir nupjautinį kūgį.
Erdviniai kūnai (ir paprastosios jų
dalys). Jų paviršiaus plotas ir tūris.
Savarankiškas darbas
ciklo gale.
Tiesių ir plokštumų tarpusavio
padėtys.
Kalba netaisyta
68
sprendžiant
nesudėtingus
erdvės figūrų, jų
dalių ir
junginių elementų
ilgio, kampų
didumo, paviršiaus
ploto ir tūrio
skaičiavimo
uždavinius,
įrodant teiginius.
Vaizduoti erdvinių figūrų paprastuosius
pjūvius (lygiagrečius su pagrindu, ašinius)
ir išklotines.
5.3.2. Apibrėžti ir taikyti kampo tarp tiesės
ir plokštumos sąvoką.
5.3.3. Apibrėžti ir taikyti kampo tarp
prasilenkiančiųjų tiesių sąvoką.
5.3.4. Apibrėžti ir taikyti tiesės ir
plokštumos statmenumo požymį.
5.3.5. Apibrėžti ir taikyti kampo tarp
plokštumų (dvisienio kampo) sąvoką.
5.3.6. Apibrėžti ir taikyti atstumo tarp
prasilenkiančiųjų tiesių erdvinėse figūrose,
atstumo tarp lygiagrečiųjų plokštumų,
atstumo tarp tiesės ir lygiagrečios su ja
plokštumos sąvokas.
5.3.7. Taikyti ir įrodyti trijų statmenų
teoremą ir jai atvirkštinę teoremą.
5.3.8. Nesudėtingais atvejais apskaičiuoti
erdvinių figūrų elementus, šoninio ir viso
paviršiaus plotą, tūrį ir paprastų jų dalių
paviršiaus plotą, tūrį, paprastųjų pjūvių
plotą.
Išklotinės (išskyrus sferą). Nupjautinė
piramidė ir nupjautinis kūgis.
Tiesių tarpusavio padėtis,
susikertančiosios, lygiagrečiosios ir
prasilenkiančiosios tiesės.
Kampai tarp tiesių, statmenos tiesės.
Plokštumų tarpusavio padėtis:
susikertančiosios ir lygiagrečiosios
plokštumos.
Dvisieniai kampai, statmenos
plokštumos.
Tiesės ir plokštumos konkrečiame
geometriniame objekte.
Tiesės ir plokštumos statmenumo
požymis.
Stačiakampio gretasienio ir
taisyklingosios piramidės dvisieniai
kampai.
Trijų statmenų teorema.
Teorijos
atsiskaitymas.
http://mkp.emokykla.lt/
imo/lt/mo/304/
Dvisienis kampas.
http://mkp.emokykla.lt/
imo/lt/mo/317/
Nupjautinė piramidė.
http://mkp.emokykla.lt
/imo/lt/mo/272/
Sukiniai.
http://mkp.emokykla.lt
/imo/lt/mo/268/
Taisyklingoji keturkampė
prizmė, pjūviai.
http://mkp.emokykla.lt/imo
/lt/mo/278/
Taisyklingoji trikampė ir
keturkampė piramidė.
http://mkp.emokykla.lt
/imo/lt/mo/256/
Taisyklingoji trikampė ir
keturkampė prizmė.
http://mkp.emokykla.lt
/imo/lt/mo/257/
Modulio medžiagos sisteminimas Diagnostinė užduotis
modulio gale
3 pamokos
Apibendrinamasis darbas 2 pamokos
Modulio „Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas“ planavimo pavyzdys [2]
Modulio trukmė 35 valandos
Tikslas: atskleisti geometrijos teorinių žinių svarbą, šių žinių taikymą sprendžiant matematinius uždavinius ir argumentuojant sprendimo eigą.
modeliuojant teiginių įrodymus.
Kalba netaisyta
69
Uždaviniai: suvokti vektoriaus sąvoką, vektorių taikymo svarbą sprendžiant teorines ir praktines problemas. Ugdyti supratimą, kad sudėtingesnės
problemos yra sprendžiamos skaidant jas į paprastesnes ir taikant žinomas formules.
Vertinimas
Moksleivių pažangos ir pasiekimų vertinimas yra integrali ugdymo proceso dalis. Pagrindinė vertinimo paskirtis – skatinti moksleivio asmenybės
brandą, ugdyti jo gebėjimą racionaliai vertinti savo poreikius, polinkius, galimybes ir remiantis tuo kelti sau prasmingus ateities tikslus.
Diagnostinis vertinimas – vertinimas, kuriuo naudojamasi siekiant išsiaiškinti mokinio pasiekimus ir padarytą pažangą baigus temą ar kurso dalį, kad
būtų galima numatyti tolesnio mokymosi galimybes, suteikti pagalbą įveikiant sunkumus.
Formuojamasis vertinimas – nuolatinis vertinimas ugdymo proceso metu, kuris padeda numatyti mokymosi perspektyvą, pastiprinti daromą pažangą,
skatina mokinius mokytis analizuoti esamus pasiekimus ar mokymosi spragas, sudaro galimybes mokiniams ir mokytojams geranoriškai
bendradarbiauti.
Apibendrinamasis vertinimas – vertinimas, naudojamas baigus programą, kursą, modulį. Jo rezultatai formaliai patvirtina mokinio pasiekimus
ugdymo programos pabaigoje. (Mokinių pažangos ir pasiekimų vertinimo samprata. Patvirtinta Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2004
m. vasario 25 d. įsakymu Nr. ISAK-256)
Modulio metu taikoma vertinimo sistema:
• Formuojamasis vertinimas – nuolat.
• Diagnostinis vertinimas - diagnostinės užduotys modulio pradžioje, modulio pabaigoje, neformalus vertinimas.
• Kaupiamasis vertinimas – savarankiški darbai, apimantys atskirus modulio ciklus, vertinami taškais, surinkti taškai konvertuojami pažymiu.
• Apibendrinamasis vertinimas – kontrolinis darbas, vertinamas pažymiu, išnagrinėjus ir susisteminus visą modulio medžiagą.
• Galutinis modulio įvertinimas: .
Mokinių pasiekimų vertinimo kriterijai:
Gebėjimai: Naudotis vektoriaus sąvoka ir veiksmų savybėmis sprendžiant paprastus bei įrodymo uždavinius.
Kalba netaisyta
70
9.1.1. Apibrėžti vektorių kaip
plokštumos (erdvės) kryptinę
atkarpą. Išreikšti vektorių
koordinatėmis ( ( ),
; ( ),
),
apskaičiuoti jo ilgį.
Žino vektorių kaip kryptinę atkarpą.
Užrašo vektoriaus , pavaizduoto
koordinačių plokštumoje,
koordinates. Pavaizduoja vektorių
koordinačių plokštumoje, kai
žinomos vektoriaus koordinatės.
Žino vektoriaus ilgio sąvoką. Moka
apskaičiuoti vektoriaus ilgį, kai
žinomos vektoriaus koordinatės.
Sprendžia paprasčiausius uždavinius.
Apibrėžia vektoriaus sąvoką. Supranta
sąvokas koordinatinis vektorius, nulinis
vektorius, vietos vektorius.
Apskaičiuoja vektoriaus koordinates, kai
žinomos vektoriaus pradžios ir galo taškų
koordinatės.
Supranta vektoriaus ilgį kaip atkarpos ilgį.
Erdvinėje koordinačių sistemoje
pavaizduoja vektorių.
Sprendžia paprastus uždavinius.
Laisvai operuoja sąvokomis: vektorius,
vektoriaus koordinatės, vektoriaus ilgis.
Sprendžia nesudėtingus uždavinius.
9.1.2. Žinoti, kaip atliekami
vektorių veiksmai grafiškai
(plokštumoje arba erdvėje) ir
kaip užrašomi veiksmai
koordinatėmis. Mokėti
užrašyti ir taikyti vektorių
lygiagretumo (kolinearumo)
sąlygą.
Grafiškai vaizduoja kolinearius
vektorius. Grafiškai pavaizduoja
vektorių sudėtį pagal lygiagretainio
ar trikampio taisyklę.
Žino, kaip užrašomi veiksmai
koordinatėmis ir moka juos atlikti.
Sprendžia paprasčiausius uždavinius.
Grafiškai pavaizduoja vektorių atimtį.
Supranta sąvokas kolinearieji vektoriai,
vienakrypčiai vektoriai, preišpriešiniai
vektoriai, priešingieji vektoriai, lygūs
vektoriai.
Supranta ir taiko vektorių kolinearumo
sąlygą.
Sprendžia paprastus uždavinius.
Formuluoja vektorių sumos, skirtumo
taisykles.
Formuluoja ir pagrindžia vektorių
kolinearumo sąlygą.
Sprendžia nesudėtingus uždavinius.
9.1.3.Žinoti vektorių
skaliarinės sandaugos
savybes, taikyti jas
paprastiems praktinio ir
matematinio turinio
uždaviniams spręsti.
Žino vektorių skaliarinės sandaugos
apibrėžimą ir paprasčiausiais atvejais
moka jį taikyti. Žino skaliarinės
sandaugos savybes, taiko jas
paprastiems uždaviniams spręsti.
Moka apskaičiuoti vektorių ,
išreikštų koordinatėmis, skaliarinę
sandaugą.
Sprendžia paprasčiausius uždavinius.
Apibrėžia kampą tarp vektorių.
Formuluoja vektorių skaliarinės
sandaugos apibrėžimą ir teoremą.
Sprendžia nesudėtingus uždavinius.
Moka įrodyti vektorių skaliarinės sandaugos
teoremą. Argumentuotai pagrindžia veiksmų
su vektoriais, pateiktais koordinatėmis,
taisykles.
9.1.4.Taikyti vektorius
nesudėtingiems skaičiavimo
ir įrodymo uždaviniams
spręsti.
Taiko vektorius nesudėtingiems skaičiavimo
ir įrodymo uždaviniams spręsti. Kūrybingai ir
originaliai pasirenka strategijas, sprendžia
uždavinius.
Gebėjimai: Taikyti plokštumos geometrijos žinias stereometrijoje. Taikyti trigonometriją geometrijoje
Kalba netaisyta
71
9.2.1. Nesudėtingais atvejais
taikyti liestinės savybę,
įbrėžtinio ir apibrėžtinio
trikampio / taisyklingojo
daugiakampio savybes.
9.2.2. Pagrįsti figūrų lygumą
ir panašumą.
9.2.3. Taikyti panašumo
sąvoką sprendžiat įvairius
nesudėtingus uždavinius,
pagrindžiant ar įrodant
nesudėtingus teiginius.
9.2.4. Remtis Talio teoremos
įrodymo schema sprendžiant
įvairius nesudėtingus
uždavinius, pagrindžiant ar
įrodant nesudėtingus
teiginius.
9.2.5. Paprastais atvejais
nustatyti/apskaičiuoti
erdvinėje figūroje kampo
tarp tiesės ir plokštumos,
kampo tarp dviejų
plokštumų, didumą.
9.2.6. Taikyti trijų statmenų
teoremą pagrindžiant
teiginius apie dvisienius
kampus ir remtis šios
teoremos įrodymo etapais
sprendžiant įvairius
nesudėtingus uždavinius.
9.2.7. Paprastais atvejais
pavaizduotose erdvinėse
figūrose
nustatyti/apskaičiuoti
Žino ir taiko figūrų perimetro ir
ploto savybes sprendžiant
uždavinius.
Žino ir taiko trikampio kampų
sumos, Pitagoro, sinusų ir kosinusų
teoremas.
Apibrėžia trikampių lygumą,
panašumą bei taiko trikampių
lygumo ir panašumo požymius
uždaviniams spręsti.
Žino ir taiko trikampio ploto
formules išreiškiant jį pagrindu ir
aukštine arba dviem kraštinėm ir
kampu tarp jų.
Įrodo trikampio kampų sumos, Pitagoro,
sinusų ir kosinusų teoremas.
Taiko įbrėžto į trikampį ir apibrėžto apie
trikampį apskritimo savybes uždaviniams
spręsti.
Įrodo Pitagoro, sinusų ir kosinusų teoremas.
Įrodo trikampio ploto formules išreiškiant jį
pagrindu ir aukštine arba dviem kraštinėmis
ir kampu tarp jų.
Įrodo: trikampio kampų sumos teoremą,
Pitagoro teoremą ir jai atvirkštinę teoremą,
trikampio vidurio linijos savybes,
pusiaukraštinių savybes.
Žino ir taiko trikampio ploto
formules išreiškiant jį pagrindu ir
aukštine arba dviem kraštinėmis ir
kampu tarp jų. Žino ir taiko
pagrindines lygiagretainio, rombo,
stačiakampio, kvadrato ir trapecijos
savybes ir plotų formules.
Žino įbrėžto į apskritimą ir apibrėžto apie
apskritimą keturkampio pagrindines
savybes ir taiko uždaviniams spręsti.
Įrodo pagrindines stačiakampio, kvadrato,
lygiagretainio, rombo ir trapecijos savybes.
Įrodo lygiagretainio, trapecijos plotų
formules.
Žino ir paprastais atvejais taiko
įbrėžtinių kampų, centrinių kampų,
apskritimo liestinių savybes.
Įrodo, kad įbrėžtinių kampų,
besiremiančių į tą patį lanką, didumai yra
lygūs.
Supranta ir nesudėtingais atvejais taiko
įbrėžtinių kampų, apskritimo stygų,
liestinių savybes.
Argumentuoja ir taiko apskritimo liestinių ir
kirstinių savybes.
Žino tiesės ir plokštumos
lygiagretumo, tiesės ir plokštumos
bei plokštumų statmenumo, kampo
tarp tiesės ir plokštumos sąvokas,
atstumo tarp taškų, tarp tiesių, tarp
lygiagrečių plokštumų sąvokas,
atstumo tarp taškų, tarp tiesių, tarp
Apibrėžia tiesės ir plokštumos
lygiagretumo, tiesės ir plokštumos bei
plokštumų statmenumo, kampo tarp tiesės
ir plokštumos sąvokas, atstumo tarp taškų,
tarp tiesių, tarp lygiagrečių plokštumų
sąvokas, supranta jų savybes ir moka jas
taikyti sprendžiant nesudėtingus
Įrodo trijų statmenų teoremą ir jai atvirkštinę
teoremą.
Taiko trijų statmenų ir jai atvirkštinę
teoremas pagrįsdamas uždavinių sprendimą.
Kalba netaisyta
72
atstumą tarp prasilenkiančių
tiesių, kampo tarp
prasilenkiančių tiesių
didumą, atstumą tarp tiesės ir
jai lygiagrečios plokštumos,
atstumą tarp lygiagrečių
plokštumų.
9.2.8. Apskaičiuoti
Bendrosiose programose
apibrėžtų erdvinių figūrų
lygiagrečių / ašinių pjūvių
plotus.
9.2.9. Taikyti erdvinių figūrų
junginių paviršiaus ploto ir
tūrio formules.
lygiagrečių plokštumų sąvokas, žino
jų savybes ir moka jas taikyti
sprendžiant paprastus uždavinius.
uždavinius.
Paprastais atvejais apskaičiuoja
prizmių, piramidžių, kūgių, ritinių,
rutulių paviršių plotus ir tūrius.
Apskaičiuoja erdvinių kūnų ir
paprasčiausių jų kombinacijų paviršių
plotus ir tūrius.
Pavaizduoja įvairių kūnų paprastus pjūvius
sprendžiant nesudėtingus uždavinius.
Teisingai pasirenka reikalingas strategijas,
atrenka ir įvertina duomenis, nuosekliai ir
išsamiai argumentuoja užduoties sprendimą.
Mokymo ir mokymosi turinys:
Įvadas: modulio tikslų, uždavinių turinio apimties, vertinimo kriterijų pristatymas ir aptarimas Diagnostinė užduotis modulio pradžioje (1 pamoka)
Gebėjimai Žinios ir supratimas Ciklas, turinys Vertinimas Pamokų
skaičius
Pastabos
Vektorių algebra 7
9.1. Naudotis
vektoriaus
sąvoka ir
veiksmų
savybėmis
sprendžiant
paprastus bei
įrodymo
uždavinius.
9.1.1. Apibrėžti vektorių kaip plokštumos (erdvės)
kryptinę atkarpą. Išreikšti vektorių koordinatėmis
( ( ), ; ( ),
), apskaičiuoti jo ilgį. 9.1.2. Žinoti, kaip atliekami vektorių veiksmai grafiškai
(plokštumoje arba erdvėje) ir kaip užrašomi veiksmai
koordinatėmis. Mokėti užrašyti ir taikyti vektorių
lygiagretumo (kolinearumo) sąlygą.
9.1.3. Žinoti vektorių skaliarinės sandaugos savybes,
Vektoriaus sąvoka ir
žymenys.
2
Vektorių veiksmai:
daugyba iš skaičiaus,
sudėtis ir atimtis.
2 Parodyti, kad vektorių
algebra turi daug
panašumų su įprastine
algebra.
Skaliarinė dviejų
vektorių daugyba.
2
Savarankiškas 1
Kalba netaisyta
73
taikyti jas paprastiems praktinio ir matematinio turinio
uždaviniams spręsti.
9.1.4. Taikyti vektorius nesudėtingiems skaičiavimo ir
įrodymo uždaviniams spręsti.
darbas ciklo
pabaigoje.
Vektoriaus
koordinatės
7
Vektoriai koordinačių
plokštumoje. Vektoriaus
koordinatės.
1
Vektoriaus ilgis.
Veiksmai su vektoriais.
1
Skaliarinė vektorių
daugyba.
2 Skatinti mokinius
palyginti veiksmų su
vektoriais, pateiktais
kryptinėmis atkarpomis
ir koordinatėmis,
pranašumus ir trūkumus,
taikymo galimybes.
Vektoriai erdvėje. 2 Pasiūlyti mokiniams
parinkti kuo įvairesnių
pavyzdžių,
iliustruojančių vektorių
taikymą.
Savarankiškas
darbas ciklo
pabaigoje.
1
Geometrijos žinių
sisteminimas
15
9.2. Taikyti
plokštumos
geometrijos
žinias
stereometrijoje.
9.2.1. Nesudėtingais atvejais taikyti liestinės savybę,
įbrėžtinio ir apibrėžtinio trikampio / taisyklingojo
daugiakampio savybes.
9.2.2. Pagrįsti figūrų lygumą ir panašumą.
9.2.3. Taikyti panašumo sąvoką sprendžiat įvairius
nesudėtingus uždavinius, pagrindžiant ar įrodant
nesudėtingus teiginius.
9.2.4. Remtis Talio teoremos įrodymo schema
Planimetrija.
Trikampiai.
3
Planimetrija.
Keturkampiai.
3
Planimetrija.
Apskritimas, skritulys.
1
Erdvės geometrija.
1
Kalba netaisyta
74
sprendžiant įvairius nesudėtingus uždavinius,
pagrindžiant ar įrodant nesudėtingus teiginius.
9.2.5. Paprastais atvejais nustatyti/apskaičiuoti erdvinėje
figūroje kampo tarp tiesės ir plokštumos, kampo tarp
dviejų plokštumų, didumą.
9.2.6. Taikyti trijų statmenų teoremą pagrindžiant
teiginius apie dvisienius kampus ir remtis šios teoremos
įrodymo etapais sprendžiant įvairius
nesudėtingus uždavinius.
9.2.7. Paprastais atvejais pavaizduotose erdvinėse
figūrose nustatyti/apskaičiuoti atstumą tarp
prasilenkiančių tiesių, kampo tarp prasilenkiančių tiesių
didumą, atstumą tarp tiesės ir jai lygiagrečios
plokštumos, atstumą tarp lygiagrečių plokštumų.
9.2.8. Apskaičiuoti Bendrosiose programose apibrėžtų
erdvinių figūrų lygiagrečių / ašinių pjūvių plotus.
9.2.9. Taikyti erdvinių figūrų junginių paviršiaus ploto ir
tūrio formules.
Erdviniai kūnai. 3
9.3. Taikyti
trigonometriją
geometrijoje
9.3.1. Įrodyti kosinusų teoremą, sinusų teoremą,
trikampio ploto formulę
.
9.3.2. Remtis kosinusų, sinusų teoremų įrodymo
idėjomis sprendžiant įvairius nesudėtingus uždavinius,
pagrindžiant ar įrodant nesudėtingus teiginius.
Trikampiai. Savarankiškas
darbas ciklo gale.
3
Keturkampiai.
Erdvinės figūros.
Diagnostinė
užduotis
modulio gale.
1
Modulio medžiagos sisteminimas 3 pamokos
Apibendrinamasis darbas 2 pamokos
Kalba netaisyta
75
Modulio pradžioje ir pabaigoje siūlomos diagnostinės užduotys, padedančios įvertinti mokinio daromą pažangą (dalykines ir
bendrąsias kompetencijas) bei įsivertinti
Diagnostinės užduoties modulio „Geometrija“ pradžioje pavyzdys [1]
Trukmė: 45 minutės
Tikslas:
Išsiaiškinti mokinių turimų žinių, gebėjimų ir įgūdžių lygį iš geometrijos srities.
Uždaviniai:
Sudaryti galimybę mokiniams įsivertinti turimų žinių, susiformuotų gebėjimų ir įgūdžių lygį:
taikyti žinias apie trikampį, keturkampius ir apskritimą paprastiems ir nesudėtingiems uždaviniams spręsti, nesudėtingiems teiginiams pagrįsti
ar paneigti;
apskaičiuoti žinomų figūrų junginių perimetrą, plotą;
taikyti lygumo, panašumo, ašinės ir centrinės simetrijos sąvokas sprendžiant paprastus uždavinius;
taikyti trigonometrinius ryšius stačiojo trikampio elementams rasti;
taikyti žinias apie erdvės figūras sprendžiant paprastus erdvės figūrų, jų dalių ir junginių elementų ilgio, kampų didumo, paviršiaus ploto ir
tūrio skaičiavimo uždavinius.
Užduotys:
1. Tiesės a ir b lygiagrečios. Raskite kampą x.
2 taškai
Kalba netaisyta
76
2. Aitvaro korpusą sudaro aštuonios dalys. Kvadrato A plotas 36 . SB : SA = 1 : 4.
Koks kvadrato B plotas?
Apskaičiuokite aitvaro perimetrą.
Apskaičiuokite figūros plotą.
Atsakymus pateikite: b) centimetro, c) kvadratinio centimetro tikslumu, skaičiavimams naudokite
.
10 taškų
3. Pagrįskite trikampių KLM ir BLC panašumą. Remdamiesi brėžinio duomenimis ir geometrinių figūrų
savybėmis, apskaičiuokite KM ir BC ilgį.
4 taškai
4. Trikampio ABC pusiaukraštinė AN statmena pusiaukraštinei CM. AN = 2,1 cm, CM = 2,4 cm.
Apskaičiuokite trikampio ABC plotą.
6 taškai
Kalba netaisyta
77
5. Brėžinyje keturkampio kraštinės yra apskritimo liestinės. Nurodyti kraštinių atkarpų iki lietimosi taškų
ilgiai. Apskaičiuokite keturkampio perimetrą.
2 taškai
6. Apskaičiuokite trapecijos plotą (CB || DA), kai jos vidurinė linija 2,4 cm.
3 taškai
7. Brėžinyje nurodyti taisyklingosios piramidės matmenys centimetrais. Apskaičiuokite kampo, kurį su
pagrindu sudaro piramidės šoninė briauna, dydį 1º tikslumu. Apskaičiuokite piramidės viso paviršiaus
plotą ir tūrį.
3 taškai
Kalba netaisyta
78
8. Stalo teniso kamuoliuko skersmuo yra 40 mm. Trys kamuoliukai supakuoti dėžutėje, kaip parodyta
paveiksle. Kokie dėžutės matmenys?
3 taškai
9. Medinis žaisliukas sudarytas iš ritinio ir kūgio. Ritinio pagrindo spindulys 4 cm, o aukštis 2 cm. Kūgio
tūris lygus ritinio tūriui. Apskaičiuokite kūgio aukštį.
3 taškai
Vertinimo instrukcija
Užd.
Nr.
Sprendimas/Atsakymas Taš
kai Vertinimas
1.
, 2 = 130.
x = 2 = 130.
2 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą x.
Kalba netaisyta
79
2.
, ;
Aitvaro perimetras √ .
Figūros plotas
10
1 taškas už teisingai apskaičiuotą kvadrato B plotą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotus kvadratų kraštinių ilgius.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą pusskritulių lankų ilgį (bent už
vieną).
1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampės krašto dalies ilgį.
1 taškas už teisingai apskaičiuotas išpjovų dalies lankų ilgius.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą perimetrą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą pusskritulių plotą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampės dalies plotą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą išpjovų dalies plotą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą figūros plotą.
3.
Trikampiai panašūs pagal du atitinkamai
lygius kampus: L bendras, KML =
BCL, nes statieji.
KML statusis, L = 30, todėl KM =
4,5.
BCL statusis, CL = 16,
√ .
4
1 taškas už trikampių panašumo pagrindimą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą KM ilgį.
1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą CB ilgį.
4.
AN ir CM pusiaukraštinės, todėl AO : ON = 2 : 1,
CO : OM = 2 : 1. 2,52 cm².
AN ir CM pusiaukraštinės , todėl taškai M ir N –
ABC kraštinių vidurio taškai, o MN – ABC
vidurinė linija. MNB ABC, panašumo
koeficientas k = 2. Iš čia
.
; ; .
6 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą.
1 taškas už teisingai pritaikytą trikampio pusiaukraštinių savybę.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą keturkampio AMNC plotą.
1 taškas už teisingai pritaikytą panašiųjų trikampių plotų savybę.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą MNB plotą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą ABC plotą.
5. Pasinaudoję liestinių , išeinančių iš vieno taško savybe, randame keturkampio
kraštinių ilgius: BC = 2 cm, CD = 1,7 cm, AD = 3cm, AB = 3,3 cm. 2 1 taškas už apskritimo liestinių, išeinančių iš vieno taško, savybės
pritaikymą;
Kalba netaisyta
80
1 taškas už teisingai apskaičiuotą keturkampio perimetrą.
6.
Trapecijos vidurinė linija
cm.
CHD – statusis, CDH = 60,
CH = 2sin60 = √ cm.
= 2,4√ cm².
3 1 taškas už teisingai apskaičiuotą trapecijos aukštinę.
1 taškas už trapecijos vidurinės linijos apibrėžimo taikymą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą trapecijos plotą.
7.
SAO ieškomasis.
ABC statusis, AC = 10√ .
AOS statusis,
√
.
Iš čia SAO 62.
3 1 taškas už teisingai nurodytą kampą, kurį sudaro šoninė briauna
su pagrindo plokštuma.
1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą.
1 taškas už teisingai surastą kampą.
8.
Dėžutės plotis toks, koks
kamuoliuko skersmuo 40 mm.
Dėžutės aukštis 40 + AH.
ABH statusis, √ mm.
Dėžutės aukštis 40 + √ .
3 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą AH ilgį.
1 taškas už teisingai surastus dėžutės matmenis.
9.
.
,
, iš čia H = 6 cm.
3
1 taškas už teisingai apskaičiuotą ritinio tūrį.
1 taškas už teisingai sudarytą lygtį
1 taškas už teisingai apskaičiuotą kūgio aukštį
Užduočių taškų paskirstymas pagal mokinių kognityvinių gebėjimų grupes
Kalba netaisyta
81
Mokinio įsivertinimo lentelė (pildo mokinys)
Užduočių
pasiskirstymas pagal
pasiekimų lygius
Žinios ir supratimas Taikymas Problemų sprendimas
35% 45% 20% Iš viso taškų
Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai
Patenkinamas lygis
30%
1 – 2 taškai
2a – 1 taškas
2b – 3 taškai,
2c – 2 taškai
5 – 2 taškai 9 – 3 taškai
13 (32,5 )
Pagrindinis lygis
40%
2b – 2 taškas,
2c – 1 taškas
7 – 1 taškas
3 – 2 taškai
4 – 2 taškai
6 – 3 taškai
7 – 2 taškai
7 – 3 taškai
16 (40 )
Aukštesnysis lygis
30%
2c – 1 taškas
4 – 1 taškas
3 – 2 taškai
7 – 1 taškas
8 – 3 taškai
4 – 3 taškai
11 (27,5 )
14 (35 ) 17 (42,5 ) 9 (22,5 ) 40
Kalba netaisyta
82
Užduotis Pagrindinės sąvokos
ar veiksmai, kuriuos
reikia žinoti
Atlikau
savarankiškai
Ieškojau
informacijos
matematikos
žinyne
Reikėjo
mokytojo
pagalbos
Ką turiu pakartoti?
1. Tiesės a ir b lygiagrečios. Raskite kampą x.
2. Aitvaro korpusą sudaro aštuonios dalys. Kvadrato
A plotas 36 dm2. SB : SA = 1 : 4.
Koks kvadrato B plotas?
Apskaičiuokite aitvaro perimetrą.
Apskaičiuokite figūros plotą.
Atsakymus pateikite: b) centimetro, c) kvadratinio
centimetro tikslumu, skaičiavimams naudokite
.
3. Pagrįskite trikampių KLM ir
BLC panašumą. Remdamiesi
brėžinio duomenimis ir
geometrinių figūrų savybėmis,
apskaičiuokite KM ir BC ilgį.
4. Trikampio ABC
pusiaukraštinė AN statmena
pusiaukraštinei CM. AN = 2,1
cm, CM = 2,4 cm.
Apskaičiuokite trikampio ABC
plotą.
Kalba netaisyta
83
5. Brėžinyje keturkampio
kraštinės yra apskritimo
liestinės. Nurodyti kraštinių
atkarpų iki lietimosi taškų
ilgiai. Apskaičiuokite
keturkampio perimetrą.
6. Apskaičiuokite trapecijos
(CB || DA) plotą, kai jos
vidurinė linija 2,4 cm.
7. Brėžinyje nurodyti
taisyklingosios piramidės
matmenys centimetrais.
Apskaičiuokite kampo, kurį su
pagrindu sudaro piramidės
šoninė briauna, dydį 1º
tikslumu. Apskaičiuokite
piramidės viso paviršiaus plotą
ir tūrį.
8. Stalo teniso kamuoliuko
skersmuo yra 40 mm. Trys
kamuoliukai supakuoti
dėžutėje, kaip parodyta
paveiksle. Kokie dėžutės
matmenys?
9. Medinis žaisliukas sudarytas
iš ritinio ir kūgio. Ritinio
pagrindo spindulys 4 cm, o
aukštis 2 cm. Kūgio tūris lygus
ritinio tūriui. Apskaičiuokite
kūgio aukštį.
Kalba netaisyta
84
Diagnostinės užduoties modulio „Geometrija“ pabaigoje pavyzdys [2]
(parengtas remiantis projekte dalyvaujančių mokytojų patirtimi)
Tikslas:
Įvertinti mokinių pasirengimą rašyti modulio apibendrinamąjį darbą.
Įsivertinti individualius pasiekimų rezultatus, nustatyti spragas, numatyti jų likvidavimo planą iki apibendrinamojo darbo.
Uždavinys:
Atlikdami užduotis mokiniai įsivertins įgytų žinių ir supratimo, susiformuotų įgūdžių ir gebėjimų lygį:
taikyti žinias apie plokštumos figūras sprendžiant nesudėtingus įvairių plokštumos figūrų, jų dalių ir junginių elementų ilgio, kampų didumo, perimetro
ir ploto skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius;
taikyti trigonometrijos žinias sprendžiant paprastus geometrinius (praktinio ir matematinio turinio) uždavinius;
taikyti žinias apie erdvės figūras sprendžiant nesudėtingus erdvės figūrų, jų dalių ir junginių elementų ilgio, kampų didumo, paviršiaus ploto ir tūrio
skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.
Užduotys:
1. Remdamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite kampo x dydį.
(1 taškas)
Kalba netaisyta
85
2. Apskaičiuokite trikampio nežinomą kraštinės ilgį ir trikampio plotą.
(2 taškai)
3. Kvadrato kraštinės ilgis 6 cm. Apskaičiuokite į kvadratą įbrėžto apskritimo ilgį.
(2 taškai)
4. Duota kūgio formos taurė, kai pagrindo spindulys 4 cm, o sudaromoji 5 cm.
a) Apskaičiuokite taurės aukštį (nekreipdami dėmesio į kojelės aukštį).
(1 taškas)
b) Apskaičiuokite taurės tūrį.
(1 taškas)
c) Kiek mililitrų sulčių tilps į taurę? (
(1 taškas)
5. Trikampio kraštinių ilgiai yra 5 cm, 6 cm ir 9 cm. Apskaičiuokite apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulio ilgį.
(3 taškai)
6. Duota: AC lygiagreti DE, DE : AC = 4 : 7, AD = 8. Rasti BD.
(2 taškai)
7.
8.
Į apskritimą, kurio spindulys lygus 15 cm, įbrėžtas taisyklingasis trikampis. Apskaičiuokite įbrėžto taisyklingojo trikampio perimetrą.
(3 taškai)
Dvisienis kampas lygus 600. Vienoje jo sienoje duotas taškas, nutolęs nuo kitos sienos per √ cm. Apskaičiuokite šio taško atstumą iki dvisienio kampo
Kalba netaisyta
86
9.
briaunos.
(2 taškai)
Lygiakraščio trikampio kraštinė 6 cm. Iš vienos jo viršūnės iškeltas 13 cm ilgio statmuo trikampio plokštumai. Raskite šio statmens galų atstumus iki
kraštinės, esančios prieš tą kraštinę.
(3 taškai)
10. Įbrėžtinio keturkampio ABCD B = 70, o C = 110 . Tada:
A A = 70, D = 110;
B A = 110, D = 70;
C A = D = 70;
D C = D = 110;
E A = D – bet kokie.
(1 taškas)
11. Bokštą sudaro taisyklingoji keturkampė nupjautinė piramidė, kurios pagrindų kraštinės
lygios 12 m ir 10,5 m, o aukštinė 3,8 m. Ant jos pastatyta piramidė, kurios aukštinė 3,4 m.
a) Apskaičiuokite nupjautinės piramidės tūrį.
(2 taškai)
b) Kiek skardos reikėtų visam bokštui padengti, jei atliekoms skiriama 20 % paviršiaus
ploto? Gautą rezultatą pateikite vienetų tikslumu.
(6 taškai)
Kalba netaisyta
87
Vertinimo instrukcija
Užd.
Nr.
Sprendimas/Atsakymas Taškai Vertinimas
Patenkinamas lygis
1 1 Už teisingą atsakymą.
2
, x = 14
√
√
1
1
Už teisingą atsakymą.
Už teisingą atsakymą.
3 r = 6 : 2 = 3 arba už pastebėjimą, kad d = a = 6
C = 2 3 = 6.
1
1
Už teisingą atsakymą.
Už teisingą atsakymą.
4 a) √
b)
c)
1
1
1
Už teisingą atsakymą.
Už teisingą atsakymą.
Už teisingą atsakymą.
Pagrindinis lygis
5. p = 10 cm;
√
Atsakymas. √
cm arba
√ cm.
3 1 taškas už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą (nurodyti
formulę).
1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampio plotą.
1 taškas už teisingą atsakymą.
6.
Taikome apibendrintąją Talio teoremą:
. Kadangi
. BD =
x, sudarome lygtį
, kurią išsprendę randame, kad
.
Atsakymas.
.
2
1 taškas už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą;
1 tašką už teisingai apskaičiuotą atkarpos ilgį.
Kalba netaisyta
88
7. Atsakymas.
√ cm ir 14 cm
3 1 taškas už teisingai nubrėžtą brėžinį (trijų statmenų
teorema arba kt.)
Po 1 tašką už teisingai apskaičiuotus atstumus.
8. √ cm
Atsakymas. √ cm.
3 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą (sinusų
teoremą);
1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampio kraštinę;
1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampio perimetrą.
9. Atsakymas. 12 cm. 2 1 taškas už teisingai nubrėžtą brėžinį.
1 taškas už teisingą atsakymą.
10. Atsakymas. A ir D 1 1 taškas už teisingą atsakymą.
Aukštesnysis lygis
11. a)
Apskaičiuojame pagrindų plotus:
, .
( √ ) .
1
1
Už bent vieno nupjautinės piramidės pagrindo ploto
apskaičiavimą.
1 taškas už teisingą nupjautinės piramidės tūrio
apskaičiavimą (jei mokinys padarė skaičiuodamas plotus
klaidą, tai tikrinti su jo gautais skaičiais).
b)
Apskaičiuojame piramidės šoninį paviršių:
√ √
√ m
√ √
Apskaičiuojame reikiamos skardos plotą √ .
3
3
1 taškas už brėžinio nubraižymą arba argumentavimą.
1 taškas už apotemos apskaičiavimą.
1 taškas už Sšon. apskaičiavimą.
1 taškas už 20% Sšon suradimą.
1 taškas už reikiamos skardos ploto suradimą.
1 taškas už gautą atsakymą.
Iš viso 30 taškų
Kalba netaisyta
89
Užduočių taškų paskirstymas pagal mokinių kognityvinių gebėjimų grupes
Užduočių pasiskirstymas
pagal pasiekimų lygius
Žinios ir supratimas Taikymas Problemų sprendimas
35% 45% 20% Iš viso taškų
Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai
Patenkinamas lygis
30%
1 – 1 taškas
4 a – 1 taškas
2 – 2 taškai
4 b – 1 taškas
3 – 2 taškai
4c – 1 taškas 8 (26,7)
Pagrindinis lygis
40%
5 – 3 taškai
6 – 2 taškai
7 – 3 taškai
8 – 3 taškai
9 – 2 taškai
10 – 1 taškas 14 (46,7)
Aukštesnysis lygis
30%
11 a – 2 taškai 11 b – 5 taškai 11 b – 1 taškas 8 (26,7)
9 (30) 16 (53,3 ) 5 (16,7) 30
Kalba netaisyta
90
Diagnostinės užduoties modulio ,,Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas“ pradžioje pavyzdys [3]
Trukmė: 30 minučių.
Pastaba. Diagnostinės užduoties metu naudotis literatūra, internetu.
1. Iš formulės išreikškite cosα. 1 taškas
2. Taškas C atkarpą AB dalija santykiu 3:5 skaitant nuo taško A. Išreikškite atkarpos AC ilgį atkarpos AB ilgiu 1 taškas
3. Plokštumoje pažymėti du taškai ( ) ir ( ).
3.1. Apskaičiuokite atstumą tarp plokštumos taškų A(−3; 0) ir B(1; −3 ). Raskite atkarpos vidurio taško koordinates.
3.2. Įrodykite, kad atstumas tarp plokštumos taškų A ir B skaičiuojamas pagal formulę √( ) ( ) .
2 taškai
1 taškas
4. Piramidės SABCD pagrindas − stačiakampis. Šoninė briauna SA statmena pagrindo kraštinėms AB ir AD.
4.1. Įrodykite, kad kampas SAC – status.
4.2. Įrodykite, kad piramidės siena SDC − statusis trikampis
2 taškai
2 taškai
5. Nubraižykite stačiakampį gretasienį . Brėžinyje pažymėkite:
5.1. kampą α − kampą tarp įstrižainės ir šoninės sienos .
5.2. kampą β − kampą tarp tiesių ir .
5.3. kampą γ − kampą tarp šoninės sienos ir pagrindo plokštumos .
1 taškas
1 taškas
1 taškas
6. Apie taisyklingos trikampės prizmės pagrindą apibrėžto apskritimo spindulys lygus 12 cm. Prizmės šoninė briauna lygi 20 cm.
6.1. Įrodykite, kad prizmės pagrindo plotas lygus √ .
6.2. Raskite prizmės tūrį.
2 taškai
1 taškas
7. Medinis rutulys, kurio spindulys 26 cm, perpjautas plokštuma, nutolusia nuo rutulio centro 10 cm atstumu. Abi gauto rutulio
dalys nudažytos. Koks nudažyto paviršiaus plotas?
5 taškai
Kalba netaisyta
91
Užduočių taškų paskirstymas pagal mokinių kognityvinių gebėjimų grupes
Užduočių
pasiskirstymas pagal
pasiekimų lygius
Žinios ir supratimas Taikymas Problemų sprendimas
35% 45% 20% Iš viso taškų
Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai
Patenkinamas lygis
30%
1 ‒ 1 taškas
3.1. – 1 taškas
7 – 3 taškai
6.2. – 1 taškas
6
(28,57%)
Pagrindinis lygis
40%
2 – 1 taškas
4.1. ‒ 1 taškas
5 (c) – 1 taškas
6.1. – 1 taškas
3.2. – 2 taškas
4.1. ‒ 1 taškas
6.1. – 1 taškas
7 ‒ 1 taškas
9
(42,86%)
Aukštesnysis lygis
30%
7 – 1 taškas 3.1. – 1 taškas
4.2. – 2 taškai
5 (a) ‒ 1 taškas
5 (b) – 1 taškas
6
(28,57%)
Iš viso taškų: 7 (33,33%) Iš viso taškų: 10 ( 47,62%) Iš viso taškų: 4 ( 19,05%) 21
Vertinimo instrukcija
Užd.
Nr.
Sprendimas/Atsakymas Taškai Vertinimas
1.
1 taškas Už teisingą atsakymą.
Kalba netaisyta
92
2.
1 taškas Už teisingą atsakymą.
3.1. AB = 5.
( –1; –1,5).
1 taškas
Už teisingą atstumo AB apskaičiavimą ir atkarpos vidurio
taško koordinačių radimą.
3.2. Stačiojo trikampio statinių ilgiai lygūs .
Remiantis Pitagoro teorema
( ) ( )
, √( ) ( )
.
1 taškas
1 taškas
Už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą.
(pavyzdžiui: taškų A ir B pažymėjimą koordinačių
plokštumoje, stačiojo trikampio pastebėjimą ir trikampio
statinių ilgių išraiškas ).
Už pagrįstai gautą išvadą.
4.1.
, , todėl
.
AC priklauso plokštumai ABCD,
todėl pagal tiesės ir plokštumos
statmenumo apibrėžimą .
Vadinasi, kampas SAC − status.
1 taškas
1 taškas
Už išsamų uždavinio sąlygos pavaizdavimą brėžiniu.
Už pagrįstą tiesės ir plokštumos statmenumo apibrėžimo
pritaikymą.
4.2. SD − pasviroji į plokštumą ABCD, AD − pasvirosios projekcija plokštumoje,
CD − plokštumos ABCD tiesė, einanti per pasvirosios pagrindą.
(gretimos stačiakampio kraštinės), todėl remiantis trijų statmenų
teorema . Vadinasi, piramidės siena SDC − statusis trikampis.
1 taškas
1 taškas
Už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą.
Už pagrįstai gautą išvadą.
5. a) α − kampas A1DB1;
b) β − kampas DB1B arba D1DB1;
1 taškas
1 taškas
už brėžinyje teisingai pažymėtą kampą α.
už brėžinyje teisingai pažymėtą kampą β.
Kalba netaisyta
93
c) γ − kampas AA1B1 arba kampas DD1C1.
1 taškas
už brėžinyje teisingai pažymėtą kampą γ.
6.1. Duota: taisyklingoji trikampė prizmė, pagrindo spindulys R = 12 cm, šoninė
briauna ‒ 20 cm.
Įrodyti: √ .
Vienas iš galimų sprendimo būdų:
Trikampį ABC sudaro trys lygūs lygiašoniai trikampiai, todėl
√ .
1 taškas
1 taškas
Už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą.
Už teisingai apskaičiuotą pagrindo plotą.
6.2. Taisyklingos prizmės šoninė briaunos ir aukštinės ilgiai lygūs, todėl
H = 20 cm.
√ √ .
1 taškas Už teisingai apskaičiuotą tūrį.
7.
1 taškas Už uždavinio sąlygos pavaizdavimą brėžiniu.
Kalba netaisyta
94
Duota: rutulys, R = OA = 26 cm, OC = 10
cm, .
Rasti: S + 2Spj. (S − rutulio paviršiaus
plotas, Spj. − pjūvio plotas).
Iš stataus ∆AOC pagal Pitagoro teoremą AC = 24 cm.
( ).
( ).
( ).
1 taškas
1 taškas
1 taškas
1 taškas
Už rutulio pjūvio spindulio ilgio arba spindulio ilgio
kvadrato teisingą apskaičiavimą.
Už pjūvio ploto teisingą apskaičiavimą.
Už rutulio paviršiaus ploto teisingą apskaičiavimą.
Už nudažyto ploto teisingą apskaičiavimą.
Modulio „Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas“ diagnostinės užduoties pavyzdys [4]
(Atlikti iš kiekvieno uždavinio po vieną dalį)
Darbo trukmė: 45 minutės
1 uždavinys
Kalba netaisyta
95
1.1. Remdamiesi brėžiniu, pavaizduokite vektorius:
; ; ; ; ; ; .
7 taškai
1.2. Remdamiesi brėžiniu, pavaizduokite vektorius:
; ; ; ; ; ;
.
9 taškai
1.3. Remdamiesi brėžiniu, pavaizduokite vektorius:
; ;
;
; ;
;
.
10 taškų
2 uždavinys
ABCDA1B1C1D1 − kubas.
2.1. Remdamiesi paveikslu, nurodykite porą vektorių,
kurie būtų:
lygūs;
priešingi;
kolinearūs.
3 taškai
2.2. Remdamiesi paveikslu, raskite vektorių sumas:
;
;
. 5 taškai
2.3. Remdamiesi paveikslu, nurodykite porą vektorių,
kurių:
suma lygi ;
skirtumas lygus ;
suma lygi ;
skirtumas lygus .
6 taškai
3 uždavinys
Kalba netaisyta
96
3.1. Taškas M − atkarpos AB vidurio taškas, O − bet
kuris erdvės taškas. Įrodykite, kad
.
5 taškai
3.2. Taškas M − atkarpos AB taškas, O − bet kuris
erdvės taškas,
AM : MB = 3 : 4. Įrodykite, kad
.
6 taškai
3.3. Tetraedro OABC sienos ABC pusiaukraštinės
susikerta taške M. AA1 − trikampio ABC
pusiaukraštinė.
3.3.1. Įrodykite, kad
.
2 taškai
3.3.2. Įrodykite, kad
.
3 taškai
3.3.3. Vektorių išreikškite vektoriais ,
, .
2 taškai
4 uždavinys
4.1.
Duotas trikampis ABC, AB = 5 cm, ∠A = 45°, ∠C =
30°. Raskite .
3 taškai
4.2.
Trikampio ABC kraštinė
√ cm, ∠B = 120°,
∠C = 45°. Raskite .
4 taškai
4.3.
Duotas trikampis ABC, AC = 10 cm, BC = 6 cm, ∠C
− smailus,
. Raskite .
5 taškai
5 uždavinys
5.1. Duota trikampė prizmė ABCA1B1C1. Nurodykite
vektorių , kurio pradžia ir pabaiga yra prizmės
viršūnės, ir
.
5.2.
Vektoriai ir bei ir yra kolinearūs. Įrodykite,
kad vektoriai ir taip pat kolinearūs.
3 taškai
5.3.
Žinoma, kad | | , | | .
5.3.1. Išanalizuokite galimas vektorių ir
tarpusavio padėtis ir įvertinkite vektoriaus ilgį
| |.
Kalba netaisyta
97
3 taškai
4 taškai
5.3.2. Kuris iš skaičių 2, 5, 7, 10, 12, 17 negali būti
lygus vektoriaus ilgiui | |?
1 taškas
Užduočių taškų paskirstymas pagal mokinių kognityvinių gebėjimų grupes
Pasiekimų lygiai
Žinios ir supratimas Taikymas Problemų sprendimas
35% 45% 20% Iš viso taškų
Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai
Patenkinamas lygis
1.1. ‒ 7 taškai
3.1. – 1 taškas
2.1. − 3 taškai
3.1. – 3 taškai
4.1. − 2 taškai
5.1. – 1 taškas
3.1. – 1 taškas
4.1. − 1 taškas
5.1. – 2 taškai
21
38,10% 42,86% 19,05%
Pagrindinis lygis
1.2. – 7 taškai
3.2. – 1 taškas
4.2. − 2 taškai
1.2. – 2 taškai
2.2. – 4 taškai
3.2. – 3 taškai
4.2. ‒ 1 taškas
5.2. – 1 taškas
2.2. – 1 taškas
3.2. – 2 taškai
4.2. ‒ 1 taškas
5.2. – 2 taškai
27
37,04% 40,74% 22,22%
Aukštesnysis lygis
1.3. – 7 taškai
3.3.2. – 2 taškai
3.3.3. – 1 taškas
4.3. ‒ 1 taškas
1.3. – 3 taškai
2.3. – 6 taškai
3.3.1. – 1 taškas
3.3.2. – 1 taškas
3.3.3. – 1 taškas
4.3. – 3 taškai
3.3.1. – 1 taškas
4.3. – 1 taškas
5.3. – 5 taškai
33
33,33% 45,45% 21,21%
Kalba netaisyta
98
Vertinimas pažymiu
Patenkinamas lygis
Surinkta
taškų (%)
0 - 8 9 - 17 18 - 28 29 - 39 40 - 49 50 - 58 59 - 68 69 - 79 80 - 90 91 - 100
Surinkta
taškų
0 - 2 3 - 4 5 - 6 7 - 8 9 - 10 11 - 12 13 - 14 15 - 17 18 - 19 20 - 21
Pažymys 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pagrindinis lygis
Surinkta
taškų (%)
0 - 8 9 - 17 18 - 28 29 - 39 40 - 49 50 - 58 59 - 68 69 - 79 80 - 90 91 - 100
Surinkta
taškų
0 - 2 3 - 5 6 - 8 9 - 11 12 - 13 14 - 16 17 - 18 19 - 21 22 - 24 25 - 27
Pažymys 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Aukštesnysis lygis
Surinkta
taškų (%)
0 - 8 9 - 17 18 - 28 29 - 39 40 - 49 50 - 58 59 - 68 69 - 79 80 - 90 91 - 100
Surinkta
taškų
0 - 3 4 - 6 7 - 9 10 - 13 14 - 16 17 - 19 20 - 22 23 - 26 27 - 30 31 - 33
Pažymys 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Kalba netaisyta
99
Vertinimo instrukcija
Užd.
Nr.
Sprendimas/Atsakymas Taškai Vertinimas
Patenkinamas lygis
1.1.
7 taškai Po vieną tašką už kiekvieną teisingai
pavaizduotą vektorių sumą.
2.1.
3 taškai Po 1 tašką už nurodytą lygių, priešingųjų ir
kolinearių vektorių porą.
3.1.
,
( ),
.
. Įrodyta.
1 taškas
1 taškas
1 taškas
1 taškas
1 taškas
Už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą.
Už vektoriaus OM išreiškimą iš trikampio
OAM.
Už vektoriaus OM išreiškimą iš trikampio
OBM.
Už pastebėjimą, kad vektorių AM ir BM suma
lygi nuliui.
Kalba netaisyta
100
Už pagrįstai gautą išvadą.
4.1.
| | | | .
Remiantis sinusų teorema
, √ .
1 taškas
1 taškas
1 taškas
Už pastebėjimą, kad vektorių sumos ilgis lygus
trikampio kraštinės ilgiui.
Už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą.
Už gautą teisingą atsakymą.
5.1.
.
1 taškas
1 taškas
1 taškas
Už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą.
Už teisingą atsakymą.
Už sprendimo pagrindimą.
Pagrindinis lygis
1.2.
7 taškai
1 taškas
1 taškas
Po 1 tašką už kiekvieną teisingai pavaizduotą
vektorių sumą.
Už bent vieną pavaizduotą skaičiaus 2 ir
vektoriaus sandaugą (pavyzdžiui, 2 ).
Už bent vieną pavaizduotą kokiam nors
vektoriui priešingą vektorių (pvz., ).
Kalba netaisyta
101
2.2.
;
;
.
1 taškas
2 taškai
2 taškai
Už teisingą pirmąją vektorių sumą.
Už pagrįstai gautą antrąją vektorių sumą.
Už pagrįstai gautą trečiąją vektorių sumą.
3.2.
,
( ),
,
( ),
. Įrodyta.
1 taškas
1 taškas
1 taškas
1 taškas
1 taškas
1 taškas
Už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą.
Už vektoriaus išreiškimą iš trikampių OAM
ir OBM.
Už vektoriaus išreiškimą vektoriumi
arba .
Už vektoriaus išreiškimą vektoriumi
arba .
Už vektoriaus arba išreiškimą vektoriais
ir .
Už pagrįstai gautą išvadą.
4.2.
| | | | .
Remiantis sinusų teorema
√
, √ (cm).
1 taškas
1 taškas
1 taškas
1 taškas
Už pastebėjimą, kad vektorių skirtumo ilgis
lygus trikampio kraštinės ilgiui.
Už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą.
Už lygties sprendimą.
Už teisingą atsakymą.
5.2. , kur k ir l − skaičiai.
2 ( ) , (2k − l) − skaičius.
Vadinasi, vektoriai 2 ir yra kolinearūs.
1 taškas
1 taškas
1 taškas
Už dviejų vektorių kolinearumo sąlygos
taikymą.
Už teisingą išvadą.
Už sprendimo pagrindimą.
Aukštesnysis lygis
Kalba netaisyta
102
1.3.
10 taškų
Po 2 taškus už vektorių
pavaizdavimą.
Po 1 tašką už kiekvieno iš likusių vektorių
pavaizdavimą.
2.3.
1 taškas
1 taškas
2 taškai
2 taškai
Už teisingai nurodytą porą vektorių, kurių suma
lygi .
Už teisingai nurodytą porą vektorių, kurių
skirtumas lygus .
Už teisingai nurodytą porą vektorių, kurių suma
lygi .
Už teisingai nurodytą porą vektorių, kurių
skirtumas lygus .
3.3. 3.3.1.
.
1 taškas
1 taškas
Už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą.
Už pagrįstą išvadą.
3.3.2.
AM : MA1 = 2 : 1 (trikampio pusiaukraštinių savybė).
1 taškas
1 taškas
Už trikampio pusiaukraštinių savybės taikymą.
Už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą.
Kalba netaisyta
103
.
1 taškas
Už pagrįstą išvadą.
3.3.3.
Remiantis 3.3.2. dalimi
.
Remiantis 3.3.1. dalimi
(
) .
.
1 taškas
1 taškas
Už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą.
Už teisingą atsakymą.
4.3.
| | | | .
Jei C – smailusis ir
.
Remiantis kosinusų teorema AB = 8 (cm).
1 taškas
1 taškas
1 taškas
1 taškas
1 taškas
Už pastebėjimą, kad vektorių skirtumo ilgis
lygus trikampio kraštinės ilgiui.
Už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą.
Už cosC radimą.
Už teisingą atsakymą.
Už sprendimo pagrindimą.
5.3. 5.3.1.
Jei , tai | | .
Jei , tai | | .
Jei nėra kolinearūs, tai, remiantis trikampio nelygybe, | | .
1 taškas
3 taškai
Už bent dviejų vektorių tarpusavio
padėčių nurodymą.
Po 1 tašką už kiekvienos vektorių tarpusavio
padėties atveju įvertintą vektoriaus ilgį
| |.
5.3.2.
17 negali būti lygus vektoriaus ilgiui | |.
1 taškas
Už teisingą atsakymą.
Kalba netaisyta
104
Apibendrinamųjų užduočių, orientuotų į dalykines ir bendrąsias kompetencijas, pavyzdžiai, jų vertinimo kriterijai (mokytojui ir
mokiniui)
Modulio „Geometrija“ apibendrinamojo darbo pavyzdys [1]
Trukmė: 90 minučių
Patenkinamas lygis Pagrindinis lygis Aukštesnysis lygis
1 užduotis
Lankas BC = 40º. Apskaičiuokite O ir A.
EDC = 70º. EA ir DC apskritimo skersmenys.
Apskaičiuokite kampą ABC.
Apskritimo stygos AB ir CD susikerta taške E.
Įrodykite, kad AE·BE = CE·ED.
2 užduotis
Nubrėžkite smailųjį, statųjį ir bukąjį trikampius. Apie
kiekvieną jų apibrėžkite apskritimą. Kokia yra tų
apskritimų centrų padėtis trikampio kraštinių
atžvilgiu?
Apskaičiuokite keturkampio perimetrą:
Į lygiašonę trapeciją įbrėžtas skritulys. Lietimosi
taškas šoninę kraštinę dalija į dvi atkarpas, kurių
ilgiai m ir n. Apskaičiuokite trapecijos plotą.
3 užduotis
3,6 m ilgio kopėčios stovėjo atremtos į sieną. Užlipęs
jomis du trečdalius ilgio, dažytojas netyčia išmetė
teptuką, kuris nukrito 0,3 m nuo sienos. Koks atstumas
nuo sienos ligi kopėčių pagrindo? (Apskaičiuokite
Trikampio KLP vidurinė linija MN lygiagreti
kraštinei PL. Figūros MNLP plotas 48 cm2.
Apskaičiuokite trikampio KLP plotą.
Įrodykite teiginį: „Jei dvi lygiagrečios tiesės kerta
kampo kraštines, tai atkirstos kampų kraštinių
atkarpų poros yra proporcingos“.
Kalba netaisyta
105
centimetro tikslumu.)
4 užduotis
Žinoma, kad trikampio kraštinė a = 6 cm, o du jo
kampai α = 41°, β = 79°.
Apskaičiuokite kitus to trikampio elementus. Kraštinių
ilgius pateikite šimtųjų tikslumu.
ABCD lygiagretainis, kurio AB = 4,9 cm, BC = 5,4
cm, AC = 8,8 cm. Raskite įstrižainės DB ilgį
milimetrų tikslumu, kampų BCD ir ABC didumus
laipsnio tikslumu.
Trikampio plotas lygus 16 dm2, dvi kraštinės 5 dm ir
8 dm. Apskaičiuokite trečiosios kraštinės ilgį.
5 užduotis
Kampas tarp pasvirosios ir plokštumos 60º,
pasvirosios ilgis 10 cm. Aprašytą situaciją
pavaizduokite brėžiniu. Raskite pasvirosios projekcijos
ilgį.
Stačiojo trikampio statiniai 30 cm ir 40 cm. Iš šio
trikampio stačiojo kampo viršūnės iškeltas 70 cm
statmuo trikampio plokštumai. Apskaičiuokite
atstumą nuo statmens galo, nesančio plokštumoje,
iki ilgiausios trikampio kraštinės. Aprašytą situaciją
pavaizduokite brėžiniu.
Du lygiašoniai trikampiai KLM ir KMV turi bendrą
pagrindą KM, kurio ilgis 16 cm. Trikampių
plokštumos sudaro 60º kampą, KL= LM = 17 cm, KV
VM, A – atkarpos KM vidurio taškas.
d) Įrodykite, kad LAV = 60º.
e) Apskaičiuokite VM ilgį.
f) Apskaičiuokite atstumą tarp viršūnių L ir V.
6 užduotis
Iš stačiakampio gretasienio formos akvariumo, kurio
pagrindas kvadratas su 25 cm kraštine, o vandens lygis
30 cm, vanduo perpiltas į naują akvariumą. Naujojo
akvariumo ilgis 50 cm, o plotis 20 cm. Koks vandens
lygis naujame akvariume? Atsakymą parašykite 1 cm
tikslumu.
Iškastas ritinio formos 30 km ilgio tunelis, kurio
skersmuo 6 m. Apskaičiuokite kiek kubinių metrų
grunto buvo iškasta ( ).
Kokio aukščio kūgio formos kalną, kurio pagrindas
20 ha, būtų galima supilti iš šio grunto? Atsakymą
parašykite 1 m tikslumu.
Ritinio šoninio paviršiaus išklotinė yra kvadratas.
Raskite kampo, kurį sudaro šio ritinio ašinio pjūvio
įstrižainė su pagrindo plokštuma, dydį.
Užduočių taškų paskirstymas pagal mokinių kognityvinių gebėjimų grupes
Užduočių
pasiskirstymas pagal
pasiekimų lygius
Žinios ir supratimas Taikymas Problemų sprendimas
35% 45% 20% Iš viso taškų
Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai
Patenkinamas lygis
30
1 – 2 taškai
2 – 3 taškai
3 – 1 taškas
4 – 2 taškai
5 – 1 taškas
3 – 1 taškai
4 – 2 taškai
5 – 1 taškas
5 – 1 taškas
3 – 2 taškas
5 – 1 taškas
6 – 1 taškas
18 (30)
Kalba netaisyta
106
Pagrindinis lygis
40
1 – 2 taškai
2 – 2 taškai
4 – 1 taškas
3 – 1 taškas
4 – 2 taškai
5 – 2 taškai
6 – 2 taškai
3 – 2 taškai
5 – 3 taškai
6 – 2 taškai
19(31,66)
Aukštesnysis lygis
30
4 – 1 taškas
5b – 1 taškas
5c – 2 taškai
6 – 1 taškas
1 – 2 taškai
2 – 3 taškas
3 – 2 taškai
4 – 2 taškai
5a – 3 taškai
5c –2 taškai
6 – 1 taškas
1 – 2 taškai
3 – 1 taškas
6 – 1 taškas
23(38,3)
19 (31,67) 27(45) 15(25) 60
Vertinimas pažymiu
Surinkta taškų (%) 0 - 8 9 - 17 18 - 28 29 - 39 40 - 49 50 - 58 59 - 68 69 - 79 80 - 90 91 - 100
Surinkta taškų 0-5 6-10 11-17 18-23 24-29 30-35 36-41 42-47 48-54 55-60
Pažymys 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Kalba netaisyta
107
Vertinimo instrukcija
Užd.
Nr.
Sprendimas/Atsakymas Taš
kai Vertinimas
Patenkinamas lygis
1.
O = BC = 40;
A =
BC = 20.
2 1 taškas už teisingai pritaikytą centrinio kampo
savybę.
1 taškas už teisingai pritaikytą įbrėžtinio kampo
savybę.
2.
3 Po 1 tašką už teisingai nubrėžtą brėžinį ir teisingai
nurodytą apskritimo centro vietą trikampio kraštinių
atžvilgiu.
3.
= 2,4 m,
ABC EBD pagal du kampus,
,
, CB = 0,9 m.
4 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą BE ilgį.
1 taškas už trikampių panašumo pagrindimą.
1 taškas už gautą teisingą atsakymą.
Kalba netaisyta
108
4.
γ = 180 – α – β = 60,
Trikampiui ABC taikome sinusų teoremą:
,
4 1 taškas už teisingai apskaičiuotą nežinomą kampą.
1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą kraštinę AC.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą kraštinę AB.
5.
AB – pasviroji, AC statmuo į
plokštumą, todėl BC pasvirosios
projekcija.
ABC = 60, ABC statusis, todėl BC
=
AB = 5 cm.
2 1 taškas už teisingai brėžinyje nurodytą kampą tarp
plokštumos ir pasvirosios.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą pasvirosios
projekcijos ilgį.
6.
,
,
.
Iš čia h =18750 : 1000 = 18,750 cm.
Vandens lygis antrajame akvariume
19 cm.
3 1 taškas už teisingai apskaičiuotą vandens tūrį
pirmame akvariume.
1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą vandens lygį
antrame akvariume.
Pagrindinis lygis
Kalba netaisyta
109
1.
EDC = 70, todėl EC = 140;
CA = 180 - 140 = 40.
ABC =
CA = 20.
2 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą kampo ABC
didumą.
2.
KL + MN = LM + KN,
x = 4.
P = 18.
2 1 taškas už teisingai pritaikytą apibrėžtinio
keturkampio savybę.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą keturkampio
perimetrą.
3.
MN vidurinė linija, todėl MN || PL, MN =
.
KLP KNM pagal du kampus, panašumo
koeficientas k = 2.
Remiantis panašiųjų trikampių plotų savybe,
turime:
.
3 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą.
1 taškas už panašiųjų trikampių plotų santykio
pritaikymą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampio KLP
plotą.
4.
ABC taikome kosinusų teoremą:
, ABC
= 117. Tada BCD = 63.
ABD taikome kosinusų teoremą ir
gauname BD² = 28,9, BD 5,4 cm.
3 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą
nežinomiems kampams apskaičiuoti.
1 taškas už teisingai apskaičiuotus lygiagretainio
kampus.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą įstrižainę DB.
Kalba netaisyta
110
5.
Ilgiausia stačiojo trikampio kraštinė yra
įžambinė. CH – ABC aukštinė, CH – MH
projekcija trikampio plokštumoje. Pagal trijų
statmenų teoremą MH AB, todėl rodo
atstumą nuo M iki AB.
ABC CHA pagal du kampus, todėl
CA² = AB·AH, AH = 18 cm.
ACH statusis, tai CH = 24 cm.
MCH statusis, iš čia MH = 74 cm.
5 1 taškas už teisingai nubrėžtą brėžinį.
1 taškas už teisingai nurodytą ilgiausią kraštinę.
1 taškas už atstumo nuo statmens galo, nesančio
plokštumoje, iki ilgiausios kraštinės pagrindimą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą CH ilgį.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą atstumą MH.
6.
Kasant ritinio formos tunelį, iškasta grunto:
V = ·3²·30000 847800 m³.
20 ha = 200000 m².
Kūgio formos grunto krūvos aukštis H:
V =
, iš čia H 1272 m.
4 1 taškas už iškasto grunto tūrio apskaičiavimą.
1 taškas už teisingą matavimo vienetų keitimą.
1 taškas už sprendimo būdo parinkimą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą grunto krūvos
aukštį.
Aukštesnysis lygis
1.
Sujunkime taškus A ir C, bei B ir D.
ACD = ABD, nes įbrėžtiniai ir remiasi į tą
patį lanką AD;
AEC = BED, nes kryžminiai.
Iš to seka, kad ACE DBE pagal du
atitinkamai lygius kampus.
Tada trikampių atitinkamos kraštinės
proporcingos:
, iš čia AE · EB = CE · ED.
4 1 taškas už pastebėjimą, kad įbrėžtiniai kampai lygūs.
1 taškas už pagrindimą, kad trikampiai panašieji.
1 taškas už panašumo panaudojimą proporcingoms
kraštinės surašyti.
1 taškas už gautą teisingą išvadą.
Kalba netaisyta
111
1. 2.
3. 4.
2.
Remiantis liestinių, išeinančių iš vieno
taško savybe: CE = CN = m ir BM = BE
= m; DN = DF = n ir AF = AM = n.
ABCD lygiašonė trapecija, todėl HD =
.
CHD – statusis:
( ) ( ) ,
CH = 2√ .
( )√
3 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą trapecijos aukštinę.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą trapecijos plotą.
3.
AE || BD
AC kirstinė, tai CBD = CAE, nes
atitinkamieji;
CE kirstinė, tai CDB = CEA, nes
atitinkamieji.
Tada BCD ACE pagal du atitinkamai
lygius kampus.
Iš trikampių panašumo:
, o tai reiškia, kad atkirstos
atkarpos proporcingos.
3 1 taškas už pasirinktą sprendimo būdą.
1 taškas už trikampių panašumo pagrindimą.
1 taškas už atkarpų proporcingumo pagrindimą.
4.
,
sinα = 0,8.
Pritaikę pagrindinę trigonometrinę
tapatybę, gauname: cosα = 0,6 .
Pritaikę kosinusų teoremą, gauname:
AC = 7 arba AC = √ .
3 1 taškas už trikampio ploto panaudojimą kampo
sinusui apskaičiuoti.
1 taškas už teisingai surastą kampo kosinuso
reikšmes.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą kraštinės AC ilgį
(abu atvejai).
Kalba netaisyta
112
5.
a) A – KM vidurio taškas,
KML lygiašonis, tai LA KM;
KVM lygiašonis, tai VA KM;
A – dvisienio kampo (LKMV) briaunos
taškas.
Iš viso to seka, kad LAV = (LKMV) =
60.
b) KVM statusis, lygiašonis KM = 16
cm, todėl VM = √ .
c) Iš KVM: AV = 8 cm,
Iš KML: AL = 15 cm.
LAV taikome kosinusų teoremą:
LV² = 15² + 8² - 2·15·8cos 60 = 169,
LV = 13 cm.
7 a) 2 taškai už pagrindimą, kad dvisienio kampo
tiesinis kampas LAV.
b) 1 taškas už teisingai surastą kraštinę VM.
c) 1 taškas už teisingai parinktą sprendimo būdą
1 taškas už teisingai apskaičiuotą atkarpos AV
ilgį.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą atkarpos AL
ilgį.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą atstumą tarp
viršūnių L ir V.
6.
Ritinio ašinis pjūvis yra stačiakampis, kurio
matmenys AB × AD.
AB = a . Ritinio pagrindo krašto ilgis taip
pat a.
· AD = a, AD =
.
ADC statusis, taikome tangento
apibrėžimą:
tg CAD =
= , iš čia CAD = arctg .
3 1 taškas už pjūvio apibūdinimą.
1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo
būdą.
1 taškas už teisingai apskaičiuotą kampą, kurį
sudaro pjūvio įstrižainė su pagrindo
plokštuma.
Kalba netaisyta
113
Vertinimo kriterijai mokiniui
Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
Taikyti žinias apie plokštumos figūras sprendžiant nesudėtingus įvairių plokštumos figūrų, jų dalių bei junginių elementų ilgių, kampų dydžių,
perimetrų ir plotų, skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.
Pavaizduoti centrinį ir įbrėžtinį kampą,
apskaičiuoti įbrėžtinį kampą, kai žinomas
centrinis ir atvirkščiai.
Gebėti taikyti centrinio ir įbrėžtinio kampo
apibrėžimus, įbrėžtinio kampo savybes paprastiems
uždaviniams spręsti.
Įrodyti įbrėžtinio kampo teoremą, ir kitas
įbrėžtinio kampo savybes. Argumentuotai
pagrįsti pasirinktą sprendimą.
Gebėti pavaizduoti apibrėžtinius ir
įbrėžtinius trikampį ir keturkampį. Taikyti
įbrėžto ir apibrėžto keturkampio savybes
paprasčiausiems uždaviniams spręsti.
Taikyti įbrėžtinio ir apibrėžtinio trikampio ir
keturkampio apibrėžimus, savybes nesudėtingiems
geometrijos ir praktinio turinio uždaviniams spręsti.
Žinoti kaip nustatoma įbrėžto į trikampį ir apibrėžto
apie trikampį apskritimo centras.
Įrodyti įbrėžto į apskritimą ir apibrėžto apie
apskritimą keturkampio pagrindines
savybes.
Analizuoti pateiktą geometrinio turinio
tekstą, argumentuoti pasirinktą sprendimo
strategiją.
Taikyti figūrų lygumą ir panašumą,
sprendžiant paprastus praktinio ir
matematinio turinio uždavinius.
Taikyti figūrų lygumą ir panašumą, sprendžiant
nesudėtingus praktinio ir matematinio turinio
uždavinius.
Įrodyti Talio ir jai atvirkštinę teoremą.
Taikyti trigonometrijos žinias sprendžiant paprastus geometrinius (praktinio bei matematinio turinio) uždavinius.
Užrašyti stačiojo trikampio smailiųjų
kampų kotangentus.
Gebėti taikyti smailiojo kampo kotangento apibrėžimą
stačiojo trikampio elementams rasti..
Gebėti analizuoti kotangento ir kitų stačiojo
trikampio smailiojo kampo trigonometrinių
funkcijų sąsajas.
Žinoti trikampio ploto formulę
. Gebėti ją taikyti paprasčiausiems uždaviniams spręsti.
Taikyti sinusų ir kosinusų teoremas trikampio,
keturkampio ir taisyklingųjų daugiakampių
elementams rasti.
Taikyti sinusų ir kosinusų teoremas
matematinėse ir praktinėse situacijose.
Argumentuotai komentuoti užduoties
sprendimą.
Analizuojant užduoties tekstą, atrasti, kad
atskirais atvejais taikant trigonometriją
trikampio uždaviniams spręsti negauname
vienareikšmiško atsakymo.
Taikyti žinias apie erdvės figūras sprendžiant nesudėtingus erdvės figūrų, jų dalių bei junginių elementų ilgių, kampų dydžių, paviršiaus plotų bei
Kalba netaisyta
114
tūrio skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.
Atpažinti nupjautinę piramidę ir nupjautinį
kūgį.
Pavaizduoti nupjautinę piramidę ir nupjautinį kūgį.
Gebėti pavaizduoti erdvinių kūnų ašinius pjūvius,
pjūvius lygiagrečius pagrindui.
Gebėti pavaizduoti erdvinių kūnų
išklotines.
Pavaizduoti dvisienį kampą . Gebėti taikyti dvisienio kampo sąvoką,
sprendžiant uždavinius.
Gebėti taikyti atstumo tarp prasilenkiančių tiesių
erdvinėse figūrose, atstumo tarp lygiagrečių
plokštumų, atstumo tarp tiesės ir jai lygiagrečios
plokštumos sąvokas.
Nuosekliai, tiksliai, aiškiai, argumentuotai
aprašyti uždavinio sprendimą.
Taikyti trijų statmenų ir jai atvirkštinę teoremą
paprastoms užduotims atlikti.
Įrodyti ir taikyti trijų statmenų ir jai
atvirkštinę teoremą įvairiose praktinėse ir
matematinėse situacijose. Argumentuoti
sprendimą.
Taikyti erdvinių kūnų paviršiaus ploto ir
tūrio radimo sąryšius paprasčiausiai
atvejais.
Gebėti nesudėtingais atvejais apskaičiuoti erdvinių
figūrų elementus, šoninio ir viso paviršiaus plotą, tūrį
bei paprastų jų dalių paviršiaus plotą, tūrį, paprastų
pjūvių plotus.
Argumentuotai, nuosekliai ir tiksliai
aprašyti užduoties sprendimą .
Modulio „Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas“ apibendrinamojo darbo pavyzdys [2]
Trukmė: 90 minučių
1. Duoti vektoriai . Nubrėžkite vektorius, , ir .
(3 taškai)
2. Suprastinkite .
Kalba netaisyta
115
(1 taškas)
3. Duotas lygiagretainis ABCD, , . Apskaičiuokite lygiagretainio kraštinių ilgį. (4 taškai)
4. Taškai L ir E yra trikampio ABC kraštinėse AB ir BC. Be to, LA = LB, BE : EC = 3 : 5 ir .
4. 1. Įrodykite, kad
. (4 taškai)
4. 2. Išreikškite vektorių vektoriais ir . (2 taškai)
5. Duoti taškai A(3; 5; 4), C(6; −2; 1) ir D(5; −3; 0). Ar taškai A, C ir D yra vienoje tiesėje?
(2 taškai)
6. Apskaičiuokite kampą tarp vektorių ir , kai | | , | | ir √
.
(2 taškai)
7. Su kuriomis m ir n reikšmėmis vektoriai ( ) ir ( ) yra statmeni, jei | | ?
(3 taškai)
8. Apskritimo, kurio centras taške O(0; 0), spindulio ilgis lygus 4 cm. Taškas A priklauso apskritimui, AOB = 120°. Tiesė DE yra
apskritimo liestinė taške A.
8.1. Įrodykite, kad = 30°.
(1 taškas)
8.2. Apskaičiuokite taško D koordinates.
(1 taškas)
8.3. Apskaičiuokite užbrūkšniuotos dalies DCA plotą.
(3 taškai)
8.4. Įrodykite, kad trikampiai DAO ir
OAE yra panašūs, ir raskite panašumo koeficientą.
(2 taškai)
Kalba netaisyta
116
9. Iš taško A, kurio atstumas AD nuo plokštumos lygus √ nuleistos dvi pasvirosios AB
ir AC. Kiekviena pasviroji su plokštuma sudaro 45° kampą, o kampas tarp pasvirųjų 60°.
9.1. Raskite atstumą BC tarp pasvirųjų pagrindų.
(2 taškai)
9.2. Įrodykite, kad trikampis BDC yra statusis.
(1 taškas)
9.3. Apskaičiuokite dvisienio kampo tarp plokštumų ABC ir BDC didumą 1° tikslumu.
(3 taškai)
10. Kūgio pagrindo spindulys lygus pusrutulio spinduliui. Kiek kartų kūgio aukštinė H
turi būti ilgesnė už pusrutulio spindulį R, kad abu kūnai būtų lygiatūriai?
(2 taškai)
11. Turime stačiakampio gretasienio formos medinę kaladėlę. Jos aukštis 8 cm, o pagrindas kvadratas, kurio kraštinė 10 cm. 11.1. Kaladėlėje statmenai pagrindui išgręžiama ritinio formos skylė. Ritinio pagrindo
spindulys − r cm. Kaladėlės su skyle tūris sudaro 56 % viso stačiakampio gretasienio
tūrio. Apskaičiuokite r.
(2 taškai)
11.2. Laikydami, kad
, apskaičiuokite kaladėlės su skyle paviršiaus plotą.
(2 taškai)
12. Taškas E yra kubo briaunos vidurio taškas. Taikydami vektorius, raskite kampo tarp prasilenkiančių tiesių AE
ir BD kosinusą.
(4 taškai)
Kalba netaisyta
117
Užduočių taškų paskirstymas pagal mokinių kognityvinių gebėjimų grupes
Užduočių pasiskirstymas
pagal pasiekimų lygius
Žinios ir supratimas Matematikos taikymas Problemų sprendimas
35% 45% 20% Iš viso
taškų
Užduočių numeriai ir
taškai
Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai
Patenkinamas lygis
30%
1 3 taškai, 2 1 taškas,, 8.2 – 1 taškas
4.2 – 2 taškai
10 – 2 taškai
11.1 – 2 taškai
3 – 3 taškai 14
(31,81 )
Pagrindinis lygis
40%
4.1 – 1 taškas
6 2 taškai 8.3 – 3 taškai
9.1 – 2 taškai
4.1 – 3 taškai
5 – 2 taškai
11.2 – 2 taškai
9.3 – 3 taškai 18
(40,90 )
Aukštesnysis lygis
30%
8.1 – 1 taškas
9.2 – 1 taškas
3 – 1 taškas
7 – 3 taškai
8.4 – 2 taškai
12 – 1 taškas
12 – 3 taškai
12
(27,27 )
15 (34,09 ) 20 (45,45 ) 9 (20,45 ) 44
Vertinimo instrukcija (vertinimo kriterijai mokytojui)
Užduoties Nr. Vertinimas Sprendimas
1. 3
Kalba netaisyta
118
1 taškas už vektoriaus pavaizdavimą;
1 taškas už vektoriaus pavaizdavimą;
1 taškas už vektoriaus pavaizdavimą.
2. 1
1 taškas už sumos vektoriaus radimą.
3. 4
1 taškas už teisingo sprendimo būdo parinkimą;
1 taškas už vektoriaus koordinačių radimą;
1 taškas už vektoriaus koordinačių radimą;
1 taškas už kraštinių ilgių radimą.
{
= (1; −1; 9);
= (3; −7; 5);
√ , AD = √ .
4. 6
4. 1. 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą;
1 taškas už išsamų pagrindimą;
1 taškas už vektoriaus išreiškimą vektoriais ;
1 taškas už pagrįstai suformuluotą išvadą.
4. 2. 1 taškas už išsamų pagrindimą;
1 taškas už pagrįstai suformuluotą išvadą.
{
Sudėję, gauname:
.
,
Iš čia
;
.
5. 2
Kalba netaisyta
119
1 taškas už vektorių pritaikymą;
1 taškas už pagrįstai suformuluotą teisingą išvadą.
= (3; −7; −3), = (−1; −1; −1).
Vektoriai nekolinearūs, todėl taškai nėra vienoje
tiesėje.
6. 2
1 taškas už vektorių skaliarinės sandaugos formulės pritaikymą;
1 taškas už gautą teisingą atsakymą.
√
, kur α − kampas tarp vektorių
.
Kampas tarp vektorių lygus 45°.
7. 3
1 taškas už statmenų vektorių savybės pritaikymą;
1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą;
1 taškas už gautą teisingą atsakymą.
;
{
m = 2, n = 2, arba m = 10, n = −2.
8. 7
8.1. 1 taškas už gautą teisingą išvadą.
8.2. 1 taškas už gautą teisingą atsakymą.
8.3. 2 taškai už išsamų sprendimo užrašymą;
1 taškas už gautą teisingą atsakymą.
8.4. 1 taškas už įrodymą, kad trikampiai panašūs;
1 taškas už apskaičiuotą panašumo koeficientą.
AOF = 120°, todėl AOD = 60°; ADO −
statusis, tada ADO = 30°;
DO = 2AO (statinio prieš 30° kampą savybė), DO
= 8, D(−8; 0).
S∆DAO = 0,5∙8∙4∙sin 60° = √ cm2,
Sišpj.
cm
2;
Snuspalv. √
cm
2.
D
D−
DAO ir OAE yra panašūs pagal du lygius
kampus;
Iš stataus trikampio DAO turime: DA √ ,
Kalba netaisyta
120
panašumo koeficientas lygus
√
√ .
9. 6
9.1. 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą;
1 taškas už gautą teisingą atsakymą.
9.2. 1 taškas už teisingai pritaikytą atvirkštinę Pitagoro teoremą.
9.3. 1 taškas už teisingai pavaizduotą dvisienio kampo tiesinį kampą
α.
1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą.
1 taškas už gautą teisingą atsakymą.
AB = 10, AC = 10,
BAC lygiakraštis,
BC = 10.
BD² + DC² = BC².
Iš stačiojo trikampio AHD gauname:
tg α = √ ;
α = 54,73...° ≈ 55°.
10. 2
1 taškas už teisingos lygybės sudarymą;
1 taškas už gautą teisingą išvadą. ;
2 kartus.
11. 4
11.1. 1 taškas už ritinio formos skylės tūrio apskaičiavimą;
1 taškas už skylės spindulio radimą.
11.2. 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą;
1 taškas už gautą teisingą atsakymą.
;
√
.
S = 2∙10∙10 + 4∙10∙8 – 2∙π∙r2 + 2πr∙8 cm
2;
√ cm2.
12. 4
Kalba netaisyta
121
1 taškas už kubo pavaizdavimą koordinačių sistemoje.
1 taškas už taškų A, E, B, D koordinačių radimą.
1 taškas už vektorių koordinačių radimą. 1 taškas už gautą teisingą atsakymą.
a − kubo briaunos ilgis,
α − kampas tarp tiesių AE ir BD.
A(a; 0; 0), E(0,5a; 0; a), B(0; 0; 0), D(a; a; 0).
( ), ( ).
√
.
Vertinimo kriterijai mokiniui
Pasiekimų lygiai
Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis
Naudotis vektoriaus sąvoka ir veiksmų savybėmis sprendžiant paprastus bei įrodymo uždavinius.
Užrašyti vektoriaus, pavaizduoto koordinačių
plokštumoje, koordinates. Pavaizduoti vektorių
koordinačių plokštumoje, kai žinomos
vektoriaus koordinatės.
Mokėti apskaičiuoti vektoriaus ilgį, kai
žinomos vektoriaus koordinatės.
Apskaičiuoti vektoriaus koordinates, kai žinomos
vektoriaus pradžios ir galo taškų koordinatės.
Grafiškai vaizduoti kolinearius vektorius.
Grafiškai pavaizduoti vektorių sudėtį pagal
lygiagretainio ar trikampio taisyklę.
Žinoti, kaip užrašomi veiksmai koordinatėmis
Grafiškai pavaizduoti vektorių atimtį.
Taikyti vektorių kolinearumo sąlygą sprendžiant
paprastus uždavinius.
Taikyti vektorių kolinearumo sąlygą
sprendžiant nesudėtingus uždavinius.
Kalba netaisyta
122
ir mokėti juos atlikti sprendžiant
paprasčiausius uždavinius.
Žinoti vektorių skaliarinės sandaugos
apibrėžimą ir paprasčiausiais atvejais mokėti jį
taikyti. Mokėti apskaičiuoti vektorių, išreikštų
koordinatėmis, skaliarinę sandaugą,
sprendžiant paprasčiausius uždavinius.
Žinoti skaliarinės sandaugos savybes, taikyti jas
paprastiems uždaviniams spręsti. Mokėti taikyti
vektorių, išreikštų koordinatėmis, skaliarinę sandaugą.
Argumentuotai taikyti veiksmų su vektoriais,
pateiktais koordinatėmis, taisykles.
Taikyti vektorius nesudėtingiems
skaičiavimo ir įrodymo uždaviniams
spręsti. Kūrybingai ir originaliai
pasirinkti strategijas sprendžiant
uždavinius. Argumentuoti uždavinio
sprendimą.
Taikyti žinias apie plokštumos ir erdvės figūras sprendžiant nesudėtingus figūrų, jų dalių bei junginių elementų ilgių, kampų dydžių, plotų bei
tūrio skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.
Žinoti ir taikyti figūrų perimetro ir ploto
savybes sprendžiant uždavinius.
Žinoti ir taikyti trikampio kampų sumos,
Pitagoro, sinusų ir kosinusų teoremas.
Taikyti trikampių lygumo ir panašumo
požymius uždaviniams spręsti.
Taikyti įbrėžto į trikampį ir apibrėžto apie trikampį
apskritimo savybes uždaviniams spręsti.
Įrodyti trikampio ploto formules
išreiškiant jį pagrindu ir aukštine arba
dviem kraštinėm ir kampu tarp jų.
Mokėti įrodyti: trikampio kampų
sumos teoremą, Pitagoro teoremą ir
jai atvirkštinę teoremą, trikampio
vidurio linijos savybes,
pusiaukraštinių savybes.
Žinoti ir taikyti trikampio ploto formules
išreiškiant jį pagrindu ir aukštine arba dviem
kraštinėm ir kampu tarp jų. Žinoti ir taikyti
pagrindines lygiagretainio, rombo,
stačiakampio, kvadrato ir trapecijos savybes ir
plotų formules.
Žinoti įbrėžto į apskritimą ir apibrėžto apie apskritimą
keturkampio pagrindines savybes ir taikyti jas
uždaviniams spręsti.
Įrodyti pagrindines stačiakampio,
kvadrato, lygiagretainio, rombo ir
trapecijos savybes.
Įrodyti lygiagretainio, trapecijos
plotų radimo formules.
Žinoti ir paprastais atvejais taikyti įbrėžtinių
kampų, centrinių kampų, apskritimo liestinių
savybes.
Įrodyti, kad įbrėžtinių kampų, besiremiančių į tą
patį lanką, didumai yra lygūs. Suprasti ir nesudėtingais atvejais taikyti įbrėžtinių
kampų, apskritimo stygų, liestinių savybes.
Argumentuoja ir taiko apskritimo
liestinių ir kirstinių savybes.
Žinoti tiesės ir plokštumos lygiagretumo, tiesės
ir plokštumos bei plokštumų statmenumo,
kampo tarp tiesės ir plokštumos sąvokas,
atstumo tarp taškų, tarp tiesių, tarp lygiagrečių
plokštumų sąvokas, žinoti jų savybes ir mokėti
Mokėti taikyti tiesės ir plokštumos lygiagretumo,
tiesės ir plokštumos bei plokštumų statmenumo,
kampo tarp tiesės ir plokštumos sąvokas, atstumo tarp
taškų, tarp tiesių, tarp lygiagrečių plokštumų sąvokas
sprendžiant nesudėtingus uždavinius.
Taikyti trijų statmenų ir jai
atvirkštinę teoremas uždavinių
sprendimams argumentuoti.
Kalba netaisyta
123
jas taikyti sprendžiant paprastus uždavinius.
Paprastais atvejais apskaičiuoti prizmių,
piramidžių, kūgių, ritinių paviršių plotus ir
tūrius (rutulio tūrį).
Apskaičiuoti erdvinių kūnų ir paprasčiausių jų
kombinacijų paviršių plotus ir tūrius.
Pavaizduoti įvairių kūnų paprastus
pjūvius sprendžiant nesudėtingus
uždavinius.
Gebėti atrinkti ir įvertinti duomenis,
nuosekliai ir išsamiai argumentuoti
užduoties sprendimą.
Vertinimas pažymiu
Taškai (%) < 35 35 44 45 54 55 64 65 74 75 84 85 94 95 100
Surinkta taškų 15 16 19 20 24 25 28 29 33 34 37 38 41 42 44
Pažymys neįskaityta 4 5 6 7 8 9 10
Kalba netaisyta
III. IKT (informacinių ir komunikacinių technologijų) panaudojimo matematikos
uždaviniams spręsti metodikos pavyzdžiai
IKT taikymas mokant pagal modulio Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė, logaritminė
funkcijos programą
IKT matematikos pamokose naudojama jau suprantamoms procedūroms atlikti su tikslu
supaprastinti ir pagreitinti darbą, vizualizuoti, ir racionaliai naudoti laiko išteklius pamokoje.
Laisvo kodo kompiuterinė programa GeoGebra gali būti naudojama kaip demonstracinis įrankis;
kaip įrankis skirtas braižymui ir modeliavimui; kaip mokomosios medžiagos rengimo įrankis; kaip
matematinių ieškojimų įrankis. Kompiuterinę programą GeoGebra galima taikyti modulio Funkcijos
sąvoka. Laipsninė, rodiklinė, logaritminė funkcijos programos visoms temoms perteikti ir analizuoti.
Yra GeoGebra versija mobiliesiems įrenginiams http://www.geogebra.org/cms/download/.
Tema: Nelygybių sprendimas grafiniu būdu
Tikslas: Įtvirtinti nelygybių sprendimą grafiniu būdu, naudotis kompiuterinės programos GeoGebra
galimybėmis.
Uždaviniai:
mokiniai gebės:
naudoti kompiuterinę programą GeoGebra grafikams brėžti;
skaityti grafikų teikiamą informaciją apie nelygybės sprendinius;
užrašyti nelygybės sprendinių aibę.
Įvadas
1. Mokiniai susipažįsta su kompiuterine programa GeoGebra.
http://www.upc.smm.lt/ugdymas/vidurinis/rekomendacijos/failai/matematika/Programos_GeoGebra_4.
0_panaudojimo_mokomoji_medziaga.pdf arba www.geogebra.org
2. Mokiniams demonstruojamas pavyzdys, kaip naudoti kompiuterinę programą GeoGebra grafikų
brėžimui, sankirtos taškų žymėjimui, nelygybės sprendinių aibės nustatymui, grafikų
transformavimui.
Kalba netaisyta
125
Įvesties lauke užrašoma funkcijos išraiška, paspaudus „Enter“ matomas nubrėžtas grafikas.
Objekto lange matome įvardyta tai, ką parašėme įvesties lauke.
Įrankiu „slankjuostė“ sukuriama koeficientas, kurio reikšmes galima keisti tempiant tašką, esantį
slankiklyje, ir stebėti grafiko judėjimą koordinačių plokštumoje.
3. Mokiniams demonstruojama, kaip naudojantis programa GeoGebra nustatoma nelygybės sprendinių
aibė.
Kalba netaisyta
126
Įvesties lauke užrašoma nelygybė, paspaudus „Enter“ grafikos vaizde matome nuspalvintą sritį, kuri
rodo nelygybės sprendinių aibę.
I. Įgūdžių įtvirtinimo, nelygybes spręsti grafiniu būdu, pratybos
Mokiniai dirba grupėmis po tris.
1 užduotis
Grafiniu būdu išspręskite nelygybes: )
; b) | | ; c)
; d) √
; e)
| | ; f) √ ; g)
; h) ; i) √
.
1. Kompiuterine programa GeoGebra nubrėžia grafikus ( ) ir ( )
:
2. Grupėje analizuoja, kaip grafikų tarpusavio padėtis susijusi su sąlygoje pateiktos nelygybės
kontekstu.
3. Remdamiesi grafikais, užrašo nelygybės sprendinių aibę: ( ) ( ).
4. Pasitikrinimas – lyginami visų darbo grupių rezultatai.
Kalba netaisyta
127
5. Pasitikrinimas naudojant programą GeoGebra (nuspalvinta sritis rodo sprendinių aibę).
2 užduotis
Remdamiesi savo nubraižytu grafiku, išsiaiškinkite, kiek sprendinių gali turėti lygtis:
a) | | , kai a – tam tikras skaičius;
b) | | , kai a – tam tikras skaičius.
Mokiniai dirba grupėmis po 3.
Naudojama kompiuterinė programa GeoGebra:
1. Mokiniai atveria brėžimo langą.
2. Mokiniai brėžimo lauke susikuria slankjuostę, skirtą koeficiento a reikšmėms keisti.
3. Nubrėžia funkcijų ( ) | | ir ( ) grafikus.
4. Slankjuostės pagalba keisdami a reikšmes, tiria lygties sprendinių skaičių.
Išvada. Lygtis sprendinių neturi, kai a < 0.
Kalba netaisyta
128
Išvada. Lygtis turi du sprendinius, kai a = 0 ir a > 4.
Išvada. Lygtis turi tris sprendinius, kai a = 4. Išvada. Lygtis turi keturis sprendinius, kai 0 < a < 4
Kalba netaisyta
129
IKT taikymas mokant pagal modulio Integralinis skaičiavimas. Algebros ir analizės pradmenų žinių sisteminimas programą
(Parengta remiantis projekto mokyklų mokytojų Danutės Augienės, Vidos Bazaravičienės ir Danguolės
Barkauskienės patirtimi)
Tema: Kreivinės trapecijos ploto skaičiavimas
Tikslas: skaičiuoti kreivinės trapecijos plotą naudojant kompiuterinę programą Winplot.
Uždaviniai.
Mokiniai išmoks brėžti grafikus kompiuterine programa Winplot.
Mokiniai pakartos, kaip nustatomi integravimo rėžiai.
Mokiniai sužinos, kaip apskaičiuoti kreivinės trapecijos plotą naudojant kompiuterinę programą
Winplot.
Mokiniai išmoks pasitikrinti ar teisingai apskaičiavo kreivinės trapecijos plotą naudodami kompiuterinę
programą Winplot.
Programa – Winplot atsisiunčiama iš http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
I. Įvadas
Pažintis su programa Winplot
Atidarome programą:
Kalba netaisyta
130
Jei norime tinklelio, pasirenkame meniu punktą Rodymas > Koordinačių sistema ir pasirenkame
parinktis
Kalba netaisyta
131
II. Programos Winplot naudojimo pratybos
Užduotis
Apskaičiuokite figūros plotą, kai ją riboja funkcijų grafikai: ir . Nubrėžkite brėžinį.
1. Brėžiame funkcijų grafikus:
Pasirenkame meniu punktą Lygtys > Funkcijos ir įrašome funkcijos formulę:
Galime pakeisti funkcijos grafiko linijos storį bei spalvą.
Analogiškai braižome antros funkcijos grafiką.
Kalba netaisyta
132
Vaizdo mastelis keičiamas klaviatūros klavišais PgUp / PgDn.
Pats vaizdas pernešamas su rodyklių klavišais.
Jei norime redaguoti funkcijas, naudojamės langu , kurį randame meniu punkte Lygtys > Inventorius
2. Randame funkcijų grafikų susikirtimų taškų abscises.
Kalba netaisyta
133
Taško koordinates matysime paspaudę kairiuoju pelės klavišu ant taško (teks užsirašyti).
Antro taško koordinates pažymėsime paspaudę mygtuką Kitas susikirtimas.
3. Skaičiuosime integralą.
Įrašome rėžius.
Kalba netaisyta
134
Atliekame žymėjimus ir gauname atsakymą:
III. Refleksija: Kas yra kreivinės trapecijos plotas?
Nubrėžkime funkcijos ( ) bei tiesės grafikus.
Pasirenkame:
Tieses pažymime dialoginiame langelyje integravimas f-g laukelyje: apat. rėžis
įrašome -3, o virš. rėžis įrašome 1. Laukelyje intervalų sk. įrašome 4 – bus nubraižytos keturios
trapecijos, kai pažymėsime pasirinkimą trapecijos ir spragtelsime mygtuką apibrėžtinis.
Kalba netaisyta
135
Kreivėmis apribotas plotas .
Padidinę trapecijų skaičių, gausime tikslesnį plotą.
Kalba netaisyta
136
.
Dar padidinkime trapecijų skaičių, pvz. iki 1000.
. Gavome dar tikslesnį plotą.
IV. Individualaus darbo pratybos
Užduotis. Apskaičiuokite plotą figūros, kurią apriboja:
1) funkcijos ( ) , OX ašis;
2) funkcijos ( ) , OX ašis ir tiesės
Kalba netaisyta
137
IV. Rekomenduojama mokymo ir mokymosi literatūra ir šaltiniai mokytojui
1. Aleksandras Baltrūnas. Begalybės biografija. Vilnius: Žara, 2004
2. Algirdas Povilas Ažubalis. Logika ir mokyklinė matematika. Monografija. 2008
3. Aida Šimelionienė. Kaip atpažinti vaiko gabumus? Vilnius: ŠAC, 2008
4. Andrew Pollard. Refleksyvusis mokymas. Garnelis, 2002
5. Beth Critchley Charlton. Neformaliojo vertinimo strategijos. Vilnius: Tyto alba, 2007
6. Carl D. Glicman. Lyderystė mokymuisi: kaip padėti mokytojams sėkmingai dirbti. Vilnius:
Švietimo ir mokslo ministerijos Švietimo aprūpinimo centras, 2007
7. Edvard de Bono. Mąstyk kitaip! Vilnius: Alma littera, 2008
8. Harvey F. Silver, Richard W. Strong, Matthew J. Perini. Mokytojas strategas. UAB Rgrupė,
2012
9. Juozas Mačys. Moksleivių matematikos olimpiadų uždaviniai 1986–2002 m. Vilnius: TEV,
2003
10. Meilė Lukšienė. Jungtys. Vilnius: Alma littera, 2013
11. Michael Willers. Kasdienė mūsų algebra arba x ir y greta mūsų. Vilnius: Žara, 2013
12. Nils Magnar Grendstad. Mokytis – tai atrasti. Vilnius: Margi raštai, 1996
13. Paulo Freire. Kritinės sąmonės ugdymas. Tyto alba, 2000
14. Paul Weednet, Jan Winter, Patricia Broadfoot. Vertinimas. Ką tai reiškia mokykloms? Vilnius:
Garnelis, 2005
15. Pedagogo kompetencijų tobulinimas integruojant informacines komunikacines technologijas į
ugdymo procesą. PPRC, 2007
16. Proaktyvus mokymasis. Mokomoji medžiaga. Mokytojų kompetencijos centras, 2007
17. Robert J. Marzano. Naujoji ugdymo tikslų taksonomija. Vilnius: Žara, 2005
18. Stacey K. What is mathematical thinking and why is it important? 2006
19. Susan M. Brookhart. Kaip mokiniams teikti veiksmingą grįžtamąją informaciją. UAB Rgrupė,
2012
20. Vertinimas ugdymo procese. Vilnius: AB Spauda, 2006
21. Vidmantas Pekarskas. Matematika. Kurso kartojimo medžiaga. Kaunas: Šviesa, 2004
22. http://portalas.emokykla.lt/Puslapiai/Sritisugdymui.aspx [žiūrėta 2014-02-09]
23. http://www.upc.smm.lt/ekspertavimas/biblioteka/failai/modelis/Metodika_I_dalis.pdf [žiūrėta
2014-02-09]
24. http://www.upc.smm.lt/ekspertavimas/biblioteka/failai/modelis/Metodika_II_dalis.pdf [žiūrėta
2014-02-09]
25. http://norvaisa.lt/category/matematika/mokykline-matematika/ [žiūrėta 2014-02-09]
26. http://galimybes.pedagogika.lt/ [žiūrėta 2014-02-09]
27. www.geogebra.lt [žiūrėta 2014-02-09]
28. www.nec.lt [žiūrėta 2014-02-09]
29. www.smm.l [žiūrėta 2014-02-09]
Kalba netaisyta
138
V. Naudota literatūra ir kiti šaltiniai
6. Aida Šimelionienė. Kaip atpažinti vaiko gabumus? Vilnius: ŠAC, 2008
7. Alvyda Ambraškienė ir kt. Matematika. Išplėstinis kursas. Vadovėlis gimnazijos IV klasei. Pirmoji
knyga. Kaunas: Šviesa, 2011
8. Alvyda Ambraškienė ir kt. Matematika. Išplėstinis kursas. Vadovėlis gimnazijos IV klasei. Antroji
knyga. Kaunas: Šviesa, 2011
9. Alvyda Ambraškienė ir kt. Matematika. Išplėstinis kursas. Vadovėlis gimnazijos III klasei. Pirmoji
knyga. Kaunas: Šviesa, 2010
10. Alvyda Ambraškienė ir kt. Matematika. Išplėstinis kursas. Vadovėlis gimnazijos III klasei. Antroji
knyga. Kaunas: Šviesa, 2010
11. Andrew Pollard. Refleksyvusis mokymas. Garnelis, 2002
12. Harvey F. Silver, Richard W. Strong, Matthew J. Perini. Mokytojas strategas. UAB Rgrupė, 2012
13. Carl D. Glicman. Lyderystė mokymuisi: kaip padėti mokytojams sėkmingai dirbti. Vilnius: Švietimo
ir mokslo ministerijos Švietimo aprūpinimo centras, 2007
14. James E. Herring. Informacinių įgūdžių ugdymas mokykloje. Vilnius: Garnelis, 1998
15. Jūratė Gedminienė, Daiva Riukienė. Matematikos valstybiniam brandos egzaminui užduočių
pavyzdžiai. Vilnius, TEV, 2010
16. Matematika 12. Uždavinynas. Vilnius: TEV, 2003
17. Meilė Lukšienė. Jungtys. Vilnius: Alma littera, 2013
18. Paulo Freire. Kritinės sąmonės ugdymas. Tyto alba, 2000
19. Regina Dalytė Šileikienė, Vilija Dabrišienė. Matematika. Išplėstinis kursas. Vadovėlis XII klasei.
Kaunas: Šviesa, 2005
20. Stacey K. What is mathematical thinking and why is it important? APEC Symposium. Innovative
teaching mathematics through lesson study II. 3-4 December 2006
21. Vertinimas ugdymo procese. Vilnius: AB Spauda, 2006
22. http://galimybes.pedagogika.lt/
23. http://www.upc.smm.lt/projektai/sklaida/veiklos.php
24. http://portalas.emokykla.lt/bup/Puslapiai/vidurinis_ugdymas_matematika_bendros_nuostatos.aspx
25. www.nec.lt
26. http://mokomes5-8.ugdome.lt/index.php/leidiniai
27. http://www.geogebra.org/cms/lt/
28. http://mif.vu.lt/lmma/?page_id=28
Kalba netaisyta
PRIEDAS
Projekto mokyklų mokytojų parengtų darbų pavyzdžiai
Modulio „Geometrija“ planavimo pavyzdys
(parengtas remiantis Kauno Kovo 11–osios vidurinės mokyklos mokytojos Almos Sotkevičiūtės patirtimi)
1. Bendroji informacija:
Šis modulis privalomas mokiniams, kurie nori baigti vidurinio ugdymo programą arba planuoja laikyti matematikos valstybinį brandos
egzaminą.
Modulio trukmė
Šio modulio trukmė 8–9 savaitės (35 valandos): 30 valandų skirta medžiagos įsisavinimui, 3 valandos – medžiagos apibendrinimui, 2
valandos žinių ir gebėjimų patikrinimui ir įvertinimui.
2. Tikslai:
Įsisavinti svarbiausius plokštumos ir erdvės geometrijos ryšius.
Ugdyti geometrinių figūrų savybių taikymo gebėjimus bei įgūdžius.
3. Uždaviniai:
Siekdami užsibrėžtų tikslų, mokiniai turėtų:
įgyti matematinių žinių iš plokštumos ir erdvės geometrijos;
susisteminti įgytas planimetrijos ir stereometrijos žinias;
įgyti paprasčiausių įgūdžių matematiškai komunikuoti, mąstyti ir spręsti problemas;
atlikti praktines užduotis, nagrinėti ir spręsti praktines problemas matematiniais metodais;
suvokti įgytų matematinių žinių praktinę, istorinę ir mokslinę vertę.
Kalba netaisyta
140
4. Nuostatos:
Suprasti plokštumos ir erdvės geometrinių figūrų klasifikavimo, jų savybių įrodymo ir taikymo svarbą sprendžiant teorines ir praktines
problemas. Suprasti, kad sudėtingesnės problemos yra sprendžiamos skaidant jas į paprastesnes ir taikant žinomas ilgio, perimetro, tūrio,
kampo didumo skaičiavimo formules.
5. Esminiai gebėjimai:
Suvokti geometrijos teorinių žinių svarbą, gebėti taikyti žinias sprendžiant matematinius uždavinius, modeliuojant realiojo turinio uždavinius
ir argumentuojant sprendimo eigą.
6. Mokinių pažangos ir pasiekimų vertinimas:
Modulio vertinimą sudaro:
Formuojamasis vertinimas – nuolat.
Diagnostinis vertinimas – diagnostinės užduotys išnagrinėjus kiekvieną modulio temą. Mokytojas neformaliai įvertina nurodydamas spragas,
mokinys, konsultuojamas mokytojo, sudaro planą, kaip jas užpildys ir jį įgyvendina.
Kaupiamasis vertinimas – savarankiški darbai, apimantys atskiras modulio temas, namų darbai, jų kiekis ir kokybė – vertinami taškais,
surinkti taškai konvertuojami į pažymį.
Apibendrinamasis vertinimas – kontrolinis darbas, vertinamas pažymiu (išnagrinėjus ir susisteminus visą modulio medžiagą).
Galutinis modulio įvertinimas: kaupiamojo ir apibendrinamojo vertinimo aritmetinis vidurkis:
2
vertinimasamasisApibendrinvertinimassKaupiamasi .
Mokinių pasiekimų vertinimo kriterijai sudaromi trimis lygiais. Patenkinamas lygis įvertinamas pažymiu yra orientuotas į 4–5,
pagrindinis – į 6–8, aukštesnysis – į 9–10.
7. Mokymo ir mokymosi priemonės:
1. Autorių kolektyvas. Matematika Tau + 11 kl. Išplėstinis kursas. I dalis. Vilnius TEV, 2011.
Kalba netaisyta
141
2. Autorių kolektyvas. Matematika Tau + 11 kl. Išplėstinis kursas. Uždavinynas. Vilnius TEV, 2011.
3. Autorių kolektyvas. Matematika 11 I ir II dalys. Vilnius, 2002.
4. Autorių kolektyvas. Matematika 11 Uždavinynas. Vilnius, 2002.
5. K. Intienė, J. Intas, V. Vitkus. Matematika 11 Savarankiški ir kontroliniai darbai. Vilnius, 2003.
6. Autorių kolektyvas. Matematika 10 I ir II dalys. Vilnius, 2001.
7. Autorių kolektyvas. Matematika 9 I ir II dalys. Vilnius, 2000.
8. V. Mockus, A. Jocaitė. Mokyklinio geometrijos kurso teminio ir kompleksinio kartojimo medžiaga. Š., 2002.
9. A. Jocaitė, V. Mockus. Mokyklinės matematikos teminio kartojimo uždavinynas. Šiauliai, 2001.
10. J. Gedminienė, D. Riukienė. Matematikos valstybiniam brandos egzaminui užduočių pavyzdžiai. Vilnius, TEV, 2011.
11. J. Gedminienė. Ruošk ir ruoškis matematikos egzaminui. Vilnius, TEV, 2008.
12. V. Mockus. Matematikos kurso teminio kartojimo užduotys besirengiantiems laikyti matematikos valstybinį brandos egzaminą. Šiauliai,
2010.
8. Mokymo ir mokymosi turinys:
Ugdymo turinys:
Tema
(Pamokų
skaičius)
Mokinių
pasiekimai
Pamokų turinys
Vertinimas
Patenkinamas lygis, įvertinant pažymiu, yra
orientuotas į 4–5, pagrindinis – į 6–8,
aukštesnysis į 9–10.
Pas-
ta-
bos
Gebėjimai
Žinios ir
supratimas
Patenkinamas
lygis
Pagrindinis
lygis
Aukštesnysis
lygis
Centriniai ir
įbrėžtiniai kampai, jų
savybės.
(2 p.)
4.1. Taikyti žinias
apie plokštumos
figūras sprendžiant
nesudėtingus įvairių
plokštumos figūrų,
jų dalių bei junginių
4.1.1. Suvokti,
apskritimo
centrinio kampo ir
įbrėžtinio kampo
atitiktį; žinoti, kaip
rasti vieno jo
Apibrėšime įbrėžtinių
ir centrinių kampų
sąvokas, sužinosime ir
įrodysime jų savybes,
taikysime jas spręsdami
uždavinius.
Paaiškina
centrinio ir
įbrėžtinio
sąvokas, žino
ir taiko jų
savybes
Apibrėžia
centrinius ir
įbrėžtinius
kampus, taiko
jų savybes
spręsdamas
Įrodo
įbrėžtinio
kampo ir
kampų,
besiremianči
ų į tą patį
Kalba netaisyta
142
elementų ilgių,
kampų dydžių,
perimetrų ir plotų,
skaičiavimo
uždavinius, įrodant
teiginius.
didumą, kai
žinomas kito
didumas; žinoti,
kad įbrėžtiniai
kampai, kurie
remiasi į tą patį
lanką, yra lygūs.
spręsdamas
paprastus
uždavinius.
uždavinius. lanką,
teoremas.
Analizuoja
teorinę
medžiagą,
daro išvadas
apie
sprendimo ar
įrodymo
racionalumą,
pagrindžia
savo
nuomonę.
Įbrėžtiniai ir
apibrėžtiniai
daugiakampiai, jų
savybės.
(2 p.)
4.1. Taikyti žinias
apie plokštumos
figūras sprendžiant
nesudėtingus įvairių
plokštumos figūrų,
jų dalių bei junginių
elementų ilgių,
kampų dydžių,
perimetrų ir plotų,
skaičiavimo
uždavinius, įrodant
teiginius.
4.1.2. Nusakyti
įbrėžto į trikampį ir
apibrėžto apie
trikampį apskritimo
savybes, įrodyti ir
žinoti įbrėžto į
apskritimą ir
apibrėžto apie
apskritimą
keturkampio
pagrindines
savybes.
4.1.3. Nusakyti
įbrėžto į trikampį ir
apibrėžto apie
trikampį apskritimo
savybes, įrodyti ir
žinoti įbrėžto į
apskritimą ir
apibrėžto apie
apskritimą
keturkampio
pagrindines
savybes. Paaiškinti
1 pamoka
1. Išsiaiškinsime
apibrėžtinių ir
įbrėžtinių
daugiakampių sąvokas
ir jų savybes.
2. Įgytas žinias
taikysime spręsdami
uždavinius.
2 pamoka
1. Apibrėžtinių ir
įbrėžtinių
daugiakampių savybes
taikysime spręsdami
uždavinius.
2. Įgytas žinias
taikysime praktinio bei
matematinio turinio
uždaviniams spręsti.
Paaiškina
įbrėžtinių ir
apibrėžtinių
daugiakampių
sąvokas,
nubrėžia juos,
išvardija
savybes,
sprendžia
paprastus
uždavinius.
Apibrėžia
įbrėžtinius ir
apibrėžtinius
daugiakampiu
s, taiko jų
savybes
spręsdami
uždavinius.
Analizuoja
teorinę
medžiagą,
daro išvadas
apie
sprendimo ar
įrodymo
racionalumą,
pagrindžia
savo
nuomonę.
Kalba netaisyta
143
įbrėžto į apskritimą
taisyklingojo
daugiakampio ir
apibrėžto apie
apskritimą
taisyklingojo
daugiakampio
sąvokas.
Lygios figūros.
Simetriškos figūros.
Trikampių lygumo
požymiai ir jų
taikymas.
(1 p.)
4.1. Taikyti žinias
apie plokštumos
figūras sprendžiant
nesudėtingus įvairių
plokštumos figūrų,
jų dalių bei junginių
elementų ilgių,
kampų dydžių,
perimetrų ir plotų,
skaičiavimo
uždavinius, įrodant
teiginius.
Pakartoti
pagrindinės
mokyklos
matematikos kursą.
4.1.4. Taikyti
figūrų lygumą ir
panašumą,
sprendžiant
nesudėtingus
praktinio ir
matematinio turinio
uždavinius.
1. Prisiminsime, kokias
figūras vadiname
lygiomis.
2. Prisiminsime
trikampio lygumo
požymius.
3. Atpažinsime lygius
trikampius, remdamiesi
trikampių lygumo
požymiais.
4. Spręsdami paprastus
praktinio ir
matematinio turinio
uždavinius, taikysime
trikampių lygumą,
įrodysime teiginius.
5. Prisiminsime, kokios
figūros yra simetriškos.
Patikrinsime, ar duotos
figūros yra simetriškos.
Suformuluoja
lygių figūrų
apibrėžimą,
trikampių
lygumo
požymius,
sprendžia
paprastus
uždavinius.
Atpažįsta
simetriškas
tiesės, taško
atžvilgiu
figūras,
paprasčiausiais
atvejais jas
nubrėžia.
Taiko figūrų
lygumą ir
panašumą,
sprendžiant
paprastus
praktinio ir
matematinio
turinio
uždavinius.
Taiko
trikampių
lygumo
požymius,
pagal pateiktą
tekstą
nubraižo
brėžinius.
Taiko figūrų
lygumą
sprendžiant
nesudėtingus
praktinio ir
matematinio
turinio
uždavinius.
Randa kelis
problemos
sprendimo
būdus,
pagrindžia
savo
nuomonę,
daro išvadas
apie
sprendimo ar
įrodymo
racionalumą.
Panašiosios figūros.
Trikampių panašumo
požymiai ir jų
4.1. Taikyti žinias
apie plokštumos
figūras sprendžiant
Pakartoti
pagrindinės
mokyklos
1. Prisiminsime, kokias
figūras vadiname
panašiomis, trikampio
Suformuluoja
trikampių
panašumo
Taiko
trikampių
panašumo
Randa kelis
problemos
sprendimo
Kalba netaisyta
144
taikymas.
(1 p.)
nesudėtingus įvairių
plokštumos figūrų,
jų dalių bei junginių
elementų ilgių,
kampų dydžių,
perimetrų ir plotų,
skaičiavimo
uždavinius, įrodant
teiginius.
matematikos kursą.
4.1.3. Taikyti
figūrų lygumą ir
panašumą,
sprendžiant
nesudėtingus
praktinio ir
matematinio turinio
uždavinius.
panašumo požymius.
2. Remdamiesi
trikampių panašumo
požymiais atpažinsime
panašius trikampius.
3. Sprendžiant
paprastus praktinio ir
matematinio turinio
uždavinius, taikysime
trikampių panašumą,
įrodysime teiginius.
požymius,
sprendžia
paprastus
uždavinius.
požymius,
pagal pateiktą
tekstą
nubraižo
brėžinius.
Taiko figūrų
panašumą,
spręsdamas
nesudėtingus
praktinio ir
matematinio
turinio
uždavinius.
būdus,
pagrindžia
savo
nuomonę,
daro išvadas
apie
sprendimo ar
įrodymo
racionalumą.
Talio teorema ir jos
taikymas.
(2 p.)
4.1. Taikyti žinias
apie plokštumos
figūras sprendžiant
nesudėtingus įvairių
plokštumos figūrų,
jų dalių bei junginių
elementų ilgių,
kampų dydžių,
perimetrų ir plotų,
skaičiavimo
uždavinius, įrodant
teiginius.
4.1.3. Taikyti
figūrų lygumą ir
panašumą,
sprendžiant
nesudėtingus
praktinio ir
matematinio turinio
uždavinius. Mokėti
įrodyti Talio
teoremą ir jai
atvirkštinę
teoremą.
Suformuluosime,
įrodysime ir taikysime
Talio teoremą.
Suformuluoja
Talio teoremą
ir jai
atvirkštinę
teoremą.
Taiko Talio
teoremą ir jai
atvirkštinę
teoremą
spręsdamas
nesudėtingus
praktinio ir
matematinio
turinio
uždavinius.
Įrodo Talio
teoremą ir jai
atvirkštinę
teoremą.
Kampų ir kraštinių
sąryšiai stačiajame
trikampyje.
(2 p.)
4.2. Taikyti
trigonometrijos
žinias sprendžiant
paprastus
geometrinius
(praktinio bei
matematinio turinio)
uždavinius.
Pakartoti
pagrindinės
mokyklos
matematikos kursą.
4.2.1. Žinoti
smailiojo kampo
kotangento
apibrėžimą ir
taikyti stačiojo
trikampio
elementams rasti.
1 pamoka
1. Prisiminsime sinuso,
kosinuso, tangento
apibrėžimus.
2. Apibrėšime
kotangentą.
3. Taikysime
trigonometrines
funkcijas stačiųjų
trikampių sprendimui.
2 pamoka
Apibrėžia
trigonometrine
s funkcijas,
remdamiesi
apibrėžimais
elementariau-
siais atvejais
apskaičiuoja
stačiojo
trikampio
elementus.
Taiko
trigonometri-
nes funkcijas
stačiojo
trikampio
elementams
rasti.
Taiko
trigonometri-
nes funkcijas
praktinio bei
matematinio
turinio
uždaviniams
spręsti,
pagrindžia
savo
nuomonę,
Kalba netaisyta
145
4.2.3. Suvokti, kad
atskirais atvejais
taikant taip pat ir
trigonometriją
trikampio
uždaviniams spręsti
negauname
vienareikšmiško
atsakymo.
Sprendžiant paprastus
praktinio ir
matematinio turinio
uždavinius, taikysime
trigonometrines
funkcijas.
daro išvadas
apie
sprendimo ar
įrodymo
racionalumą.
Trikampio plotas.
(1 p.)
4.2. Taikyti
trigonometrijos
žinias sprendžiant
paprastus
geometrinius
(praktinio bei
matematinio turinio)
uždavinius.
Pakartoti
pagrindinės
mokyklos
matematikos kursą.
4.2.2. Įrodyti ir
žinoti trikampio
ploto formulę
sin2
1abS ,
taikyti šias žinias
trikampio,
keturkampio ir
taisyklingųjų
daugiakampių
elementams bei
plotui rasti.
1. Prisiminsime jau
žinomas trikampių
plotų skaičiavimo
formules.
2. Įrodysime formulę
sin2
1abS .
3. Apskaičiuosime
duotų trikampių ir
kitokių figūrų plotus.
Žino stačiojo
trikampio ir bet
kokio
trikampio ploto
skaičiavimo
formules,
sprendžia
paprastus
uždavinius.
Apskaičiuoja
trikampių
arba kelių
figūrų
junginių
plotus, taiko
formulę
sin2
1abS
.
Įrodo
formulę
sin2
1abS
.
Sinusų teorema.
(1 p.)
4.2. Taikyti
trigonometrijos
žinias sprendžiant
paprastus
geometrinius
(praktinio bei
matematinio turinio)
uždavinius.
4.2.2. Įrodyti ir
žinoti sinusų
teoremą, taikyti
šias žinias
trikampio,
keturkampio ir
taisyklingųjų
daugiakampių
elementams bei
plotui rasti.
1. Suformuluosime ir
įrodysime sinusų
teoremą.
2. Spręsdami
uždavinius taikysime
sinusų teoremą.
Suformuluoja
sinusų
teoremą,
sprendžia
paprastus
uždavinius.
Taiko sinusų
teoremą
sprendžiant
paprastus
geometrinius
(praktinio bei
matematinio
turinio)
uždavinius.
Įrodo sinusų
teoremą,
spręsdami
uždavinius
pagrindžia
savo
nuomonę,
daro išvadas
apie
sprendimo ar
įrodymo
Kalba netaisyta
146
racionalumą.
Kosinusų teorema
(1 p.)
4.2. Taikyti
trigonometrijos
žinias sprendžiant
paprastus
geometrinius
(praktinio bei
matematinio turinio)
uždavinius.
4.2.2. Įrodyti ir
žinoti kosinusų
teoremą, taikyti
šias žinias
trikampio,
keturkampio ir
taisyklingųjų
daugiakampių
elementams bei
plotui rasti.
1. Suformuluosime ir
įrodysime kosinusų
teoremą.
2. Spręsdami
uždavinius, taikysime
kosinusų teoremą.
Suformuluoja
kosinusų
teoremą,
sprendžia
paprastus
uždavinius.
Taiko
kosinusų
teoremą
sprendžiant
paprastus
geometrinius
(praktinio bei
matematinio
turinio)
uždavinius.
Įrodo
kosinusų
teoremą,
spręsdami
uždavinius
pagrindžia
savo
nuomonę,
daro išvadas
apie
sprendimo ar
įrodymo
racionalumą.
Trigonometrinių
sąryšių taikymas
sprendžiant
uždavinius.
(3 p.)
4.2. Taikyti
trigonometrijos
žinias sprendžiant
paprastus
geometrinius
(praktinio bei
matematinio turinio)
uždavinius.
Pakartoti
pagrindinės
mokyklos
matematikos kursą.
4.2.1. Žinoti
smailiojo kampo
kotangentą ir
taikyti stačiojo
trikampio
elementams rasti.
4.2.2. Įrodyti ir
žinoti kosinusų ir
sinusų teoremas,
trikampio ploto
formulę
sin2
1abS ,
taikyti šias žinias
trikampio,
keturkampio ir
taisyklingųjų
daugiakampių
1 pamoka
Spręsime trikampius,
kai žinomos dvi
kraštinės ir kampas tarp
jų bei kai žinoma
kraštinė ir du kampai
prie jos.
2 pamoka
Spręsime trikampius,
kai žinomos trys
trikampio kraštinės
arba kai žinomos dvi
kraštinės ir kampas
prieš vieną iš jų.
3 pamoka
Taikysime
trigonometrinius
sąryšius praktinio bei
matematinio turinio
uždaviniams spręsti.
Žino
paprasčiausius
trigonometrini
us sąryšius,
sprendžia
paprastus
uždavinius.
Taiko
trigonometrin
ius sąryšius
sprendžiant
paprastus
geometrinius
(praktinio bei
matematinio
turinio)
uždavinius.
Taiko
trigonometrin
es funkcijas
praktinio bei
matematinio
turinio
uždaviniams
spręsti,
pagrindžia
savo
nuomonę,
daro išvadas
apie
sprendimo ar
įrodymo
racionalumą.
Kalba netaisyta
147
elementams bei
plotui rasti.
4.2.3. Suvokti, kad
atskirais atvejais
taikant
trigonometriją
trikampio
uždaviniams spręsti
negauname
vienareikšmiško
atsakymo.
Tiesės ir plokštumos
erdvėje.
(1 p.)
4.3. Taikyti žinias
apie erdvės figūras
sprendžiant
nesudėtingus erdvės
figūrų, jų dalių bei
junginių elementų
ilgių, kampų dydžių,
paviršiaus plotų bei
tūrio skaičiavimo
uždavinius, įrodant
teiginius.
4.3.4. Mokėti
apibrėžti ir taikyti
atstumo tarp
prasilenkiančių
tiesių erdvinėse
figūrose, atstumo
tarp lygiagrečių
plokštumų, atstumo
tarp tiesės ir jai
lygiagrečios
plokštumos,
sąvokas.
1. Prisiminsime dviejų
tiesių tarpusavio
padėtis erdvėje, tiesių
pavadinimus, kampo
tarp prasilenkiančių
tiesių radimą.
2. Prisiminsime
galimas tiesės ir
plokštumos tarpusavio
padėtis.
3. Nurodysime
lygiagrečias, statmenas,
susikertančias,
prasilenkiančias tieses
konkrečiame erdvės
objekte.
Nurodo
lygiagrečias,
statmenas,
susikertančias,
prasilenkiančia
s tieses
konkrečiame
erdvės objekte.
Pasako, kur yra
kampas tarp
prasilenkiančių
tiesių.
Taiko žinias
apie tieses ir
plokštumas
erdvėje,
spręsdami
paprastus
uždavinius.
Modeliuoja
aprašytą
situaciją
brėžiniu,
vertina
gautas
išvadas,
remdamiesi
teorijos
teiginiais.
Tiesės ir plokštumos
lygiagretumas.
(1 p.)
4.3. Taikyti žinias
apie erdvės figūras
sprendžiant
nesudėtingus erdvės
figūrų, jų dalių bei
junginių elementų
ilgių, kampų dydžių,
paviršiaus plotų bei
tūrio skaičiavimo
uždavinius, įrodant
4.3.3. Mokėti
apibrėžti ir taikyti
atstumo tarp
prasilenkiančių
tiesių erdvinėse
figūrose, atstumo
tarp lygiagrečių
plokštumų, atstumo
tarp tiesės ir jai
lygiagrečios
1. Apibrėšime tiesės ir
plokštumos
lygiagretumo sąvoką ir
požymius bei taikysime
tai spręsdami
uždavinius.
2. Nurodysime, kokios
tiesės yra lygiagrečios
duotai plokštumai
konkrečiame
Apibrėžia
tiesės ir
plokštumos
lygiagretumo
sąvoką,
suformuluoja
požymius,
sprendžia
paprastus
uždavinius.
Taiko tiesės ir
plokštumos
lygiagretumo
sąvoką ir
požymius,
spręsdami
uždavinius.
Analizuoja
teorinę
medžiagą,
modeliuoja
aprašytą
situaciją
brėžiniu,
daro išvadas
apie
sprendimo ar
Kalba netaisyta
148
teiginius. plokštumos,
sąvokas.
erdviniame kūne. įrodymo
racionalumą,
pagrindžia
savo
nuomonę.
Plokštumų
lygiagretumas.
Dvisienis kampas.
(1 p.)
4.3. Taikyti žinias
apie erdvės figūras
sprendžiant
nesudėtingus erdvės
figūrų, jų dalių bei
junginių elementų
ilgių, kampų dydžių,
paviršiaus plotų bei
tūrio skaičiavimo
uždavinius, įrodant
teiginius.
4.3.2. Mokėti
apibrėžti ir taikyti
kampų tarp
plokštumų
(dvisienio kampo)
sąvokas.
4.3.3. Mokėti
apibrėžti ir taikyti
atstumo tarp
prasilenkiančių
tiesių erdvinėse
figūrose, atstumo
tarp lygiagrečių
plokštumų, atstumo
tarp tiesės ir jai
lygiagrečios
plokštumos,
sąvokas.
1. Išsiaiškinsime dviejų
plokštumų tarpusavio
padėties galimus
atvejus, apibrėšime
kampo tarp plokštumų
sąvoką.
2. Apibrėšime
plokštumų
lygiagretumo sąvoką ir
požymį bei taikysime
tai spręsdami
uždavinius.
3. Apibrėšime ir
taikysime spręsdami
uždavinius dvisienio
kampo sąvoką.
4. Parodyti kampus tarp
stačiakampio
gretasienio briaunos ir
ją kertančios
įstrižainės, įstrižainės ir
pagrindo, taisyklingos
piramidės šoninės
briaunos ir pagrindo,
dvisienius kampus prie
pagrindo.
Nurodo dviejų
plokštumų
tarpusavio
padėties
galimus
atvejus,
paaiškina,
kokios
plokštumos yra
lygiagrečios.
Nurodo
lygiagrečias,
plokštumas,
dvisienius
kampus
konkrečiame
erdvės objekte.
Geba nubrėžti
dvisienį
kampą.
Apibrėžia
plokštumų
lygiagretumo
sąvoką ir
požymį,
dvisienio
kampo
sąvoką bei
taiko tai
spręsdami
uždavinius.
Analizuoja
teorinę
medžiagą,
modeliuoja
aprašytą
situaciją
brėžiniu,
daro išvadas
apie
sprendimo ar
įrodymo
racionalumą,
pagrindžia
savo
nuomonę.
Tiesės ir plokštumos
statmenumas.
(1 p.)
4.3. Taikyti žinias
apie erdvės figūras
sprendžiant
nesudėtingus erdvės
figūrų, jų dalių bei
junginių elementų
1. Apibrėšime ir
spręsdami uždavinius
taikysime tiesės ir
plokštumos
statmenumo sąvoką bei
požymį.
Nurodo tieses,
statmenas
plokštumai,
prasilenkiančia
s tieses,
lygiagrečias
Apibrėžia
tiesės ir
plokštumos
statmenumą,
suformuluoja
tiesės ir
Analizuoja
teorinę
medžiagą,
modeliuoja
aprašytą
situaciją
Kalba netaisyta
149
ilgių, kampų dydžių,
paviršiaus plotų bei
tūrio skaičiavimo
uždavinius, įrodant
teiginius.
2. Stačiosios prizmės ar
taisyklingos piramidės
modelyje ir brėžinyje
parodyti lygiagrečias,
statmenąsias,
susikertančiąsias ir
prasilenkiančiąsias
tieses, taip pat
lygiagrečiąsias,
statmenąsias ir
susikertančiąsias
plokštumas.
tieses
konkrečiame
erdvės objekte.
plokštumos
statmenumo
požymį bei
taiko jį
spręsdami
paprastus
uždavinius.
brėžiniu,
daro išvadas
apie
sprendimo ar
įrodymo
racionalumą,
pagrindžia
savo
nuomonę.
Trijų statmenų
teorema.
(1 p.)
4.3. Taikyti žinias
apie erdvės figūras
sprendžiant
nesudėtingus erdvės
figūrų, jų dalių bei
junginių elementų
ilgių, kampų dydžių,
paviršiaus plotų bei
tūrio skaičiavimo
uždavinius, įrodant
teiginius.
4.3.4. Įrodyti ir
taikyti trijų
statmenų teoremą
ir jai atvirkštinę
teoremą.
Apibrėšime, įrodysime
ir taikysime spręsdami
uždavinius trijų
statmenų teoremą.
Paprasčiausiu
atveju pritaiko
trijų statmenų
teoremą.
Suformuluoja
ir taiko trijų
statmenų
teoremą ir jai
atvirkštinę
teoremą.
Įrodo trijų
statmenų
teoremą ir jai
atvirkštinę
teoremą.
Modeliuoja
aprašytą
situaciją
brėžiniu,
daro išvadas
apie
sprendimo ar
įrodymo
racionalumą,
pagrindžia
savo
nuomonę.
Kubas, gretasienis,
prizmė.
(1 p.)
4.3. Taikyti žinias
apie erdvės figūras
sprendžiant
nesudėtingus erdvės
figūrų, jų dalių bei
junginių elementų
ilgių, kampų dydžių,
paviršiaus plotų bei
Pakartoti
pagrindinės
mokyklos
matematikos kursą.
4.3.1. Mokėti
vaizduoti erdvinių
figūrų išklotines,
paprastus pjūvius
1. Prisiminsime
briaunainių sąvoką,
pavadinimus,
elementus.
2. Pavaizduosime
plokštumoje
stačiakampį gretasienį,
kubą, stačiąją prizmę ir
Atpažįsta šiuos
geometrinius
kūnus, geba
juos nubrėžti.
Remdamiesi
formulėmis
apskaičiuoja
kubo,
Nubrėžia
paprastus
kubo,
stačiakampio
gretasienio
pjūvius,
nesudėtingais
atvejais
Modeliuoja
aprašytą
situaciją
brėžiniu,
sprendžia
įrodymo
reikalaujan-
čius
Kalba netaisyta
150
tūrio skaičiavimo
uždavinius, įrodant
teiginius.
(lygiagrečius
pagrindui, ašinius).
4.3.5.
Nesudėtingais
atvejais
apskaičiuoti
erdvinių figūrų
elementus, šoninio
ir viso paviršiaus
plotą, tūrį bei
paprastų jų dalių
paviršiaus plotą,
tūrį, paprastų
pjūvių plotus.
paprastus pjūvius
(lygiagrečius pagrindui
pjūvius)
3. Aiškinsime, kaip
naudojantis žiniomis
apie plokštumos
figūras, jų lygumo ir
panašumo savybėmis,
žiniomis apie erdvės
objektus nesudėtingais
atvejais apskaičiuosime
stačiosios prizmės
elementus, šoninio ir
viso paviršiaus plotą,
paprastų jo dalių ar
junginių paviršiaus
plotą, tūrį, paprastų
pjūvių plotus.
stačiakampio
gretasienio
paviršiaus
plotą ir tūrį.
apskaičiuoja
stačiosios
prizmės
elementus,
šoninio ir
viso
paviršiaus
plotą,
paprastų jo
dalių ar
junginių
paviršiaus
plotą, tūrį,
paprastų
pjūvių plotus.
uždavinius,
pagrindžia
savo
nuomonę.
Piramidė. Nupjautinė
piramidė.
(3 p.)
4.3. Taikyti žinias
apie erdvės figūras
sprendžiant
nesudėtingus erdvės
figūrų, jų dalių bei
junginių elementų
ilgių, kampų dydžių,
paviršiaus plotų bei
tūrio skaičiavimo
uždavinius, įrodant
teiginius.
Pakartoti
pagrindinės
mokyklos
matematikos kursą.
4.3.1. Atpažinti,
apibūdinti ir
pavaizduoti
nupjautinę
piramidę ir
nupjautinį kūgį.
Mokėti vaizduoti
erdvinių figūrų
išklotines,
paprastus pjūvius
(lygiagrečius
pagrindui, ašinius).
4.3.5.
Nesudėtingais
atvejais
1 pamoka
1. Pavaizduosime
plokštumoje
taisyklingąją piramidę
ir paprastus jos pjūvius.
2. Naudodamiesi
žiniomis apie
plokštumos figūras, jų
lygumo ir panašumo
savybėmis, žiniomis
apie erdvės objektus
nesudėtingais atvejais
apskaičiuosime
piramidės elementus,
šoninio ir viso
paviršiaus plotą, tūrį,
paprastų pjūvių plotus.
2 pamoka
1. Pavaizduosime
Atpažįsta šiuos
geometrinius
kūnus, geba
juos nubrėžti.
Remdamiesi
formulėmis
paprasčiausiais
atvejais
apskaičiuoja
piramidės ir
nupjautinės
piramidės
paviršiaus
plotą ir tūrį.
Apibrėžia,
pavaizduoja
piramidę,
nupjautinę
piramidę.
Taiko
paviršiaus
plotų ir tūrių
formules
spręsdami
praktinio
turinio
uždavinius.
Analizuoja
teorinę
medžiagą,
modeliuoja
aprašytą
situaciją
brėžiniu,
daro išvadas
apie
sprendimo ar
įrodymo
racionalumą,
pagrindžia
savo
nuomonę.
Kalba netaisyta
151
apskaičiuoti
erdvinių figūrų
elementus, šoninio
ir viso paviršiaus
plotą, tūrį bei
paprastų jų dalių
paviršiaus plotą,
tūrį, paprastų
pjūvių plotus.
plokštumoje nupjautinę
piramidę, paprastus jos
pjūvius,
apskaičiuosime
nupjautinės piramidės
elementus, šoninio ir
viso paviršiaus plotą,
tūrį, paprastų pjūvių
plotus.
2. Išsiaiškinsime, kaip
susiję panašių objektų
tūriai.
3 pamoka
Įgytas žinias ir
gebėjimus taikysime
spręsdami įvairius
uždavinius.
Sukiniai: ritinys ir
kūgis, jų pjūviai.
Nupjautinis kūgis.
(3 p.)
4.3. Taikyti žinias
apie erdvės figūras
sprendžiant
nesudėtingus erdvės
figūrų, jų dalių bei
junginių elementų
ilgių, kampų dydžių,
paviršiaus plotų bei
tūrio skaičiavimo
uždavinius, įrodant
teiginius.
Pakartoti
pagrindinės
mokyklos
matematikos kursą.
4.3.1. Atpažinti,
apibūdinti ir
pavaizduoti
nupjautinę
piramidę ir
nupjautinį kūgį.
Mokėti vaizduoti
erdvinių figūrų
paprastus pjūvius
(lygiagrečius
pagrindui, ašinius)
bei jų išklotines.
4.3.5.
Nesudėtingais
atvejais
apskaičiuoti
1 pamoka
1. Pavaizduosime
plokštumoje ritinį,
kūgį, paprastus pjūvius
(ašinius pjūvius).
2. Naudodamiesi
žiniomis apie
plokštumos figūras, jų
lygumo ir panašumo
savybėmis, žiniomis
apie erdvės objektus
nesudėtingais atvejais
apskaičiuosime ritinio,
kūgio elementus,
šoninio ir viso
paviršiaus plotą, tūrį,
paprastų pjūvių plotus.
2 pamoka
1. Pavaizduosime
plokštumoje nupjautinį
Atpažįsta šiuos
sukinius,
nurodo jų
pavadinimus,
paprasčiausiais
atvejais
apskaičiuoja
ritinio, kūgio
elementus,
šoninio ir viso
paviršiaus
plotą, tūrį.
Pavaizduoja
ašinius
pjūvius,
apskaičiuoja
jų plotus.
Apskaičiuoja
sukinių
junginių
paviršiaus
plotą ir tūrį.
Sprendžia
praktinio
turinio
uždavinius.
Analizuoja
teorinę
medžiagą,
modeliuoja
aprašytą
situaciją
brėžiniu,
daro išvadas
apie
sprendimo ar
įrodymo
racionalumą,
pagrindžia
savo
nuomonę.
Kalba netaisyta
152
erdvinių figūrų
elementus, šoninio
ir viso paviršiaus
plotą, tūrį bei
paprastų jų dalių
paviršiaus plotą,
tūrį, paprastų
pjūvių plotus.
kūgį, jo ašinį pjūvį.
2. Apskaičiuosime
nupjautinės piramidės
elementus, šoninio ir
viso paviršiaus plotą,
tūrį, ašinio pjūvio
plotą.
3 pamoka
Įgytas žinias ir
gebėjimus pritaikysime
spręsdami įvairius
uždavinius.
Sukiniai: rutulys,
sfera
(2 p.)
4.3. Taikyti žinias
apie erdvės figūras
sprendžiant
nesudėtingus erdvės
figūrų, jų dalių bei
junginių elementų
ilgių, kampų dydžių,
paviršiaus plotų bei
tūrio skaičiavimo
uždavinius, įrodant
teiginius.
Pakartoti
pagrindinės
mokyklos
matematikos kursą.
4.3.5.
Nesudėtingais
atvejais
apskaičiuoti
erdvinių figūrų
elementus, šoninio
ir viso paviršiaus
plotą, tūrį bei
paprastų jų dalių
paviršiaus plotą,
tūrį, paprastų
pjūvių plotus.
1 pamoka
1. Pavaizduosime
plokštumoje sferą ar
rutulį, paprastus
pjūvius (ašinius
pjūvius).
2. Naudojantis žiniomis
apie plokštumos
figūras, jų lygumo ir
panašumo savybėmis,
žiniomis apie erdvės
objektus nesudėtingais
atvejais apskaičiuosime
rutulio elementus ir
paviršiaus plotą,
paprastų jų dalių ar
junginių paviršiaus
plotą, tūrį, paprastų
pjūvių plotus.
2 pamoka
Apskaičiuosime rutulio
nuopjovos ir išpjovos
paviršiaus plotus,
tūrius.
Atpažįsta šiuos
sukinius,
nurodo jų
pavadinimus,
paprasčiausiais
atvejais
apskaičiuoja
sferos plotą ir
rutulio tūrį.
Apskaičiuoja
rutulio
nuopjovos ir
išpjovos
paviršiaus
plotus, tūrius.
Sprendžia
praktinio
turinio
uždavinius.
Analizuoja
teorinę
medžiagą,
modeliuoja
aprašytą
situaciją
brėžiniu,
daro išvadas
apie
sprendimo ar
įrodymo
racionalumą,
pagrindžia
savo
nuomonę.
Kalba netaisyta
153
Apibendrinimas.
Medžiagos
susisteminimas.
(3 p.)
4.1 – 4.3 4.1.1 – 4.1.3
4.2.1 – 4.2.3
4.3.1 – 4.3.5
Pakartosime visas
modulio temas.
Žinių ir supratimo vertinimo lygių aprašymai
pateikti šiame teminiame plane prie konkrečios
temos.
Atsiskaitymas už
modulį.
(2 p.)
4.1 – 4.3 4.1.1 – 4.1.3
4.2.1 – 4.2.3
4.3.1 – 4.3.5
Pagrindinis kontrolinis
darbas – atsiskaitymas
už visas modulio
temas.
9. Integraciniai ryšiai:
1. Visos matematikos veiklos sritys tarpusavyje susijusios vidiniais ryšiais (visose veiklos srityse atliekame skaičiavimus, naudojame
tuos pačius simbolius ir pan.). Matematikos mokymasis neatsiejamas nuo logikos žinių.
2. Mokantis matematikos yra daug galimybių integracijai su kitomis ugdymo turinio sritimis:
su gamtos mokslais – matematiniai gebėjimai plačiai taikomi visuose gamtos moksluose (fizikoje, biologijoje, chemijoje). Gamtos
reiškinių aprašymas matematiniais modeliais, tų pačių sąvokų ar operacijų taikymas gamtos mokslų kontekste išryškina matematikos metodų
universalumą;
su informacinėmis technologijomis – mokoma naudotis informacinėmis komunikacinėmis technologijomis (toliau IKT) teikiamomis
galimybėmis atliekant sudėtingus ir rutininius skaičiavimus, atliekant tarpinius problemos sprendimo etapus, mokantis matematikos
mokomųjų kompiuterinių programų pagalba, ieškant, apibendrinant ir pateikiant informaciją;
su kalbomis – kreipiamas dėmesys į kalbos ir rašto kultūrą, mokoma taisyklingai vartoti matematikos sąvokas ir terminus, teisingai
juos kirčiuoti, diskutuoti ir pagrįsti savo išsakytą nuomonę;
su socialiniais mokslais – ypač ekonomika. Problemų sprendimas ekonomikos srities kontekste išryškina matematikos taikymų
svarbą šiuolaikiniame kasdieniniame gyvenime.
su technologijomis – technologinių objektų aprašymas matematiniais modeliais, matematinių gebėjimų taikymas medžiagų kiekių
apskaičiavimuose, ornamentų ir konstrukcijų braižyme ir t. t.
Kalba netaisyta
Modulio „Geometrija“ apibendrinamojo darbo pavyzdys
(parengta remiantis Marijampolės Sūduvos gimnazijos mokytojos Linos Strumskienės patirtimi)
1. Išpjovos spindulys lygus 6 cm, o lanko ilgis 10π cm. Apskaičiuokite šį lanką atitinkančio
kampo dydį.
2 taškai
2. Raskite nurodytus dydžius:
2.1.
2 taškai
2.2.
2 taškai
3. Kampo B kraštines kerta lygiagrečios tiesės AC ir MN.
3.1. Įrodykite, kad ACB ~ MNB.
2
taškai
3.2. Raskite CN, kai AC = 18 cm, MN = 12 cm ir NB =
20 cm.
2 taškai
4. Trikampio PDE vidurinė linija MN yra 30 cm ilgio, o
trikampio PMN plotas lygus 28 cm2.
4.1. Raskite trikampio PDE kraštinės DE ilgį.
1 taškas
4.2. Raskite trikampio PDE plotą.
3 taškai
5. Trikampio kraštinės yra 13 cm, 14 cm ir 15 cm ilgio. Raskite ilgiausios trikampio aukštinės
ilgį.
3 taškai
6. Trikampio MNK plotas lygus 24√ cm2, NK = 6 cm, kampas N yra bukasis, jo sinusas lygus
√
. Apskaičiuokite trikampio perimetrą.
3 taškai
Kalba netaisyta
155
7. Lygiakraščio trikampio plotas lygus 16√ cm2
. Raskite:
7.1. trikampio perimetrą;
2 taškai
7.2. apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulio ilgį.
1 taškas
8. Sodininko sklypas yra stačiakampis, kurio įstrižainė lygi 50 m. Aptveriant sklypą, kiekviena jo
kraštinė buvo sutrumpinta 2 m, o plotas sumažėjo 136 m2. Kokie yra aptvertojo sklypo
matmenys?
4 taškai
9. Lygiagretainio kraštinės yra 10 cm ir 17 cm ilgio,
o įstrižainė, esanti prieš bukąjį lygiagretainio kampą,
lygi 21 cm. Raskite lygiagretainio plotą.
1 taškas
10. Iš taško S į plokštumą išvestos dvi pasvirosios
MS = 17 cm ir KS = 15 cm. Vienos pasvirosios
projekcija 4 cm ilgesnė už kitos pasvirosios
projekciją. Raskite pasvirųjų projekcijas.
3 taškai
11. Per lygiašonio trikampio ABC pagrindą AC = 16
cm išvesta plokštuma . Atstumas nuo taško B iki
plokštumos lygus 3 cm. AB = BC = 10 cm, E –
trikampio ABC kraštinės AC vidurio taškas.
11.1. Įrodykite, kad ED AC.
2 taškai
11.2. Apskaičiuokite atkarpos BE ilgį.
1 taškas
11.3. Apskaičiuokite kampą tarp trikampio ABC
plokštumos ir plokštumos .
2 taškai
Kalba netaisyta
156
12. Stačiosios prizmės pagrindas – statusis trikampis,
kurio įžambinė 20 cm, o vienas statinis 12 cm.
Mažiausios sienos įstrižainė su pagrindo kraštine
sudaro 60° kampą. Apskaičiuokite prizmės:
12.1. aukštinę;
3 taškai
12.2. viso paviršiaus plotą;
1 taškas
12.3. tūrį.
1 taškas
13. Broliai ant laužo išsivirė pusrutulio formos katiliuką žuvienės. Kiek daugiausiai žuvienės
(0,1 litro tikslumu) jie galėjo išsivirti, jei katiliuko skersmuo 20 cm?
2 taškai
Vertinimo instrukcija
Sprendimai Taškai Vertinimo kriterijai
1.
l =
=
=
= 300°.
2
1 t. už teisingą formulės pasirinkimą ir
pritaikymą: l =
.
1 t. už teisingą atsakymą: 300°. 2.
2.1.
=
;
=
√
x = b= √ .
2.2.
b2 = 16
2 +12
2 – 2·12·16 cos120,
b = √ = √ = √ .
4
1 t. už teisingą sinusų teoremos
pasirinkimą ir pritaikymą:
=
=
.
1 t. už teisingą atsakymą: √ .
1 t. už teisingą kosinusų teoremos
pasirinkimą ir pritaikymą:
a² = b²
+ c² – 2bc cosA.
1 t. už teisingą atsakymą: √ .
3.
3.1. Kadangi NMB ir MAC yra atitinkamieji
kampai, todėl jie lygūs, kampas B bendras.
3.2.
=
=
; x = 10 cm.
4 2 t. už teisingą įrodymą.
1 t. už teisingos lygties sudarymą.
1 t. už teisingą atsakymą: 10 cm.
4.
4.1. DE = 30·2 = 60 cm.
4.2. Kadangi MN yra ∆ vidurio linija ir dalija PD
ir PE pusiau, bei MN =
DE, tai ∆ panašūs
pagal tris proporcingas kraštines. MN vidurio
4 1 t. už kraštinės DE suradimą: 60 cm.
1 t. už įrodymą.
1 t. už teisingą formulės pritaikymą
= k².
1 t. už teisingą atsakymą 112 cm².
Kalba netaisyta
157
linija dalina PE pusiau, todėl PE yra dvigubai
didesnė už PN, o PD už PM.
= k
2; S∆PDE = 28 · 4 = 112 cm².
5.
S =√ ( )( )( ) = √ =
84;
·13 · h = 84; h = 12
.
3 1 t. už pagal Herono formulę
apskaičiuotą plotą
S
=
√ ( )( )( ).
1 t. už ploto formulės taikymą aukštinei
apskaičiuoti.
1 t. už teisingą atsakymą: h = 12
.
6.
√ = √
· MN; MN = 14,
√
cos M =
, nes kampas bukasis; MK = 16.
.
4 1 t. už teisingai surastą kraštinę: MN=14.
1 t. už teisingai apskaičiuotą kampo
kosinusą.
1 t. už teisingai surastą kraštinę: MK=16.
1 t. už teisingą atsakymą: P = 36 cm.
7.
7.1.
√
√ ; a = 8.
P = 8 + 8 + 8 = 24.
7.2.
√ .
3 1 t. už teisingai surastą trikampio
kraštinę.
1 t. už teisingai apskaičiuotą perimetrą.
1 t. už teisingai surastą R.
8.
{
( )( )
x = 40 – 2 = 38
y = 30 – 2 = 28.
4 Po 1 t. už kiekvieną teisingai sudarytą
lygtį.
Po 1 t. už kiekvieną teisingai
apskaičiuotą sklypo kraštinę.
9.
S = a·b·sinα = 10·17·
= 168 cm².
1 1 t. už gautą teisingą atsakymą.
10. 15² – x² = 172 – (x + 4)²
x = 6;
x + 4 = 6 + 4 = 10.
3 1 t. už lygties sudarymą.
1 t. už kiekvieną teisingą atsakymą.
11.
11.1. Jei BE – lygiašonio trikampio pusiaukraštinė,
tai ir aukštinė BE AC. Tai pagal trijų statmenų
teoremą DE AC.
11.2. pagal Pitagoro teoremą BE = 6 cm.
11.3. kampas BED = 30 , nes BD = ½ BE.
5 1 lygiašonio trikampio pusiaukraštinės
savybę.
1 t už trijų statmenų teoremos
panaudojimą.
1 t už teisingai apskaičiuotą BE ilgį.
1 t už pastebėjimą BD = ½ BE.
1 t už teisingą atsakymą.
12.
12.1. x2 = 20
2 – 12
2
5 1 t už teisingai apskaičiuotą kito statinio
ilgį.
Kalba netaisyta
158
x = 16.
180o– 90
o – 60
o = 30
o
Statinis, esantis priešais 30⁰ kampą, lygus pusei
įžambinės.
Prizmės šoninės sienos įstrižainė 24,
H = √ = 12√
12.2. S = 12√ ·12 + 16·12√ + 20·12√ + 2·
=576√ .
12.3. V = 12√ ·
= 1152√ .
1 t už teisingai apskaičiuotą įstrižainės
ilgį.
1 t už teisingai apskaičiuotą aukštinės
ilgį.
1 t už teisingai apskaičiuotą paviršiaus
plotą.
1 t už teisingai apskaičiuotą tūrį.
13. V = 4πR³/3, V = 4000π/3, 0,5V = 2000π/3
2000 ∙ 3,14/3 ≈ 2093 cm³ ≈ 2,1 l.
2 1 t už pusės arba viso rutulio tūrio
apskaičiavimą.
1 t už teisingą atsakymą.
Kalba netaisyta
Kompiuterinės programos Winplot taikymo pavyzdžiai
(parengta remiantis VĮ Panevėžio profesinio rengimo centro mokytojos Danutės Augienės patirtimi)
Atidarome programą .
1) Tekstas
Nubraižome grafikus, pav.: ( ) ( ) .
Spragtelime mygtuką lygtis, bus užrašyta braižomos funkcijos formulė:
Šį užrašą į reikiamą vietą perkeliame taip:1) įjungiame parinktį Tekstas (Mgtk > Tekstas); 2) prispaudę
kairiuoju pelės klavišu tekstą tempiame į reikiamą vietą.
Pažymime funkcijų grafikų susikirtimo taškus.
Kalba netaisyta
160
Norėdami pažymėti kitą tašką, spragtelime mygtuką kitas susikirtimas.
Taškų koordinates matysime ir inventoriaus lange, tik kita forma:
Kai įjungta parinktis Tekstas, spragtelime dešiniuoju pelės klavišu ir atsivėrusiame lange
įrašome koordinates. Pasirenkame „gerai“.
Kalba netaisyta
161
Skaičiuosime kreivėmis apribotos figūros plotą:
Pažymėję parinkti trapecijos, gausime neigiamą plotą, nes šiuo atveju skaičiavimas yra atliekamas taip:
∫ ( (
)) ¸ taigi ∫ ( (
)) .
Todėl reikia sukeisti funkcijas vietomis: spragtelime pasirinkimų mygtuką (1), pasirenkame reikiamą
funkciją (2) .
Kalba netaisyta
162
Pakeičiame ir antrą funkciją.
Dar kartą spragtelime mygtuką „apibrėžtinis“ ir jau turėsime teisingą atsakymą.
Norėdami pakeisti užrašo dydį, spalvą, šriftą, spragtelime dešiniuoju pelės klavišu (turi būti įjungtas
Tekstas), atsidariusiame lange įrašome reikiamą tekstą, pasirenkame mygtuką „raidės“, ir vėl naujame
lange atliekame reikiamus nustatymus.
Kalba netaisyta
163
Darbo išsaugojimas:
2) Darbo paįvairinimas
Nubraižome daugiau funkcijų grafikų:
.
Kalba netaisyta
164
Kad visų nematytume, galime kai kurias paslėpti. Tam inventoriaus lange pasirenkame funkciją ir
spragtelime mygtuką „graf“.
Pasirenkame reikalingas funkcijas, tuomet Dvi > Integravimas. Vėl parenkame funkcijas pagal brėžinį.
Pažymime susikirtimo taškus (jų koordinates matysime inventoriaus lange), nurodome rėžius bei
integralo skaičiavimą.
Kalba netaisyta
165
Pakeičiame funkcijas; galima rėžius nurodyti ir kitus (tai turi būti nurodyta uždavinio sąlygoje) ir
skaičiuojame kreivinės trapecijos plotą.
Funkcijos formulės nusakymas remiantis grafiku
Kalba netaisyta
166
Norėdami pasitikrinti, ar teisingai nustatėme formulę, pasirenkame
.
Spragtelime Lygtis > Naujas pavyzdys arba funkcinį klavišą F2 ir vėl turėsime kitą grafiką.
.
Funkcijos tipo keitimas – Lygtis > Žymėti... arba F6
turėsime:
Kalba netaisyta
168
3) Funkcijos savybės
Funkcijos liestinė
Viena > Slankjuostė...
bus nubraižyta funkcijos grafiko liestinė pasirinktame taške x. Jei judinsime slankjuostės mygtuką,
liestinė judės funkcijos grafiku, bus iš karto apskaičiuota y koordinatė.
.
Taip pat galime nubraižyti grafiko kirstinę.
Kalba netaisyta
169
4) Funkcijos nuliai
Viena > Funkcijos nuliai...
Funkcijos nulius sužymime pasinaudodami teksto rašymu ir taško žymėjimu.
5) Funkcijos ekstremumo taškai
Viena > Ekstremumai...
Spragtelime mygtuką „kitas ekstremumas“, bus pažymėtas kitas egzistuojantis ekstremumo taškas,
taip pat matysime jo koordinates.
Kalba netaisyta
170
6) Funkcijos integralo skaičiavimas.
Reikia nurodyti rėžius.
Viena > Apskaičiavimai > Integravimas...
7) Animacija
Nubraižome dviejų funkcijų ( ) ( ) grafikus.
Pasirenkame
Kalba netaisyta
171
Spragtelime pasirinkimų mygtuką, pasirenkame reikiamą parametrą (A, B, ... ar G), su slankjuoste
nustatome reikšmę (arba įrašome). Grafiko vaizdas pakinta.
Parenkame reikalingus parametrus ir vėl galime paskaičiuoti kreivinės trapecijos plotą.
Atliekame reikalingus keitimus ir
Kalba netaisyta
172
Jei spragtelėsime mygtuką „autopos“ arba „autocikl“, tai pradės „judėti“ pagal nurodytą parametrą
(sustabdyti – spausti klavišą Q). Jei norime, kad judėtų pagal visus parametrus iš karto, reikia parengti
sąrašą:
Kompiuterinės programos GeoGebra taikymo pavyzdžiai
(Parengta remiantis Klaipėdos „Ąžuolyno“ gimnazijos mokytojos Vilijos Šileikienės patirtimi)
Trigonometrinių funkcijų transformacijos
Pamokos uždaviniai:
išmokti atlikti trigonometrinės funkcijos ( ) grafiko transformacijas,
naudojantis kompiuterine programa GeoGebra,
stebint grafikų kitimą, tirti funkcijos savybių kitimą.
Užduotis: naudodami kompiuterinę programą GeoGebra atlikite funkcijos ( )
transformacijas:
Kalba netaisyta
173
( ) , ( ) , ( ) ( ), ( ) ( ) , ( ) | |,
( ) , ( ) ( ).
I. Kompiuterinės programos GeoGebra naudojimas grafikams brėžti
Naudosime programą: GeoGebra beta 4.2
1. Teisingam funkcijų surinkimui spaudžiame ekrano dešiniame apatiniame kampe
trikampiuką, atsiveria laukas, kuriame rodoma, kaip teisingai užrašyti funkciją įvesties
lauke:
2. Įvesties lauke surenkame funkcijos ( ) formulę ir paspausti „Enter“.
Vaizdo lauke matome nubrėžtą sinusoidę.
3. Funkcijos ( ) grafiko brėžimo žingsniai:
Kalba netaisyta
174
Spaudžiame mygtuko „a = 2” dešinį apatinį kamputį ir pasirenkame mygtuką
„slankjuostė”.
Paspaudus du kartus pelės kairįjį klavišą, koordinačių plokštumoje pasirodžiusioje
lentelėje pasirinkti „sutinku”.
Surinkti įvesties lauke formulę a*sin(x).
Judinant slankiklio tašką, matome, kaip keičiasi funkcijos grafiko vaizdas
plokštumoje.
4. Funkcijos ( ) grafiko brėžimo žingsniai
Spaudžiame mygtuko „a = 2” dešinį apatinį kamputį ir pasirenkame mygtuką
„slankjuostė”.
Paspaudus du kartus pelės kairį klavišą ant koordinačių plokštumos, atsiradusioje
lentelėje pasirinkti „sutinku”.
Surinkti įvesties lauke formulę sin(x) + b.
Judinant slankiklio tašką, keičiasi funkcijos grafiko padėtis.
Automatiškai keisis funkcijos grafiko padėtis įjungus animaciją (spustelti slankiklį
pelės dešiniu klavišu).
Kalba netaisyta
176
5. Funkcijos ( ) ( ) grafiko brėžimo žingsniai:
Įvedame slankiklius a, b, c.
Įvesties eilutėje užrašome funkciją : a*sin(x - c) + b ir spaudžiame „Enter”.
Judinant slankiklius a, b ir c, gaunamos įvairios grafiko transformacijos.
II. Savarankiško darbo dirbant poromis grafikų braižymo pratybos
Brėžiama funkcijų ( ) ( ), ( ) | |, ( ) , ( ) ( ) grafikai
.
Kalba netaisyta
178
III. Tyrimas: funkcijos savybių kitimas, kintant argumento ir funkcijos koeficientams
Darbas grupėmis po 4.
Užduotis: Braižydami funkcijų ( ) , ( ) , ( ) ( ), ( ) ( ) , ( ) ( ) grafikus stebėkite, kaip kinta funkcijų savybės, keičiant argumento ir
funkcijos koeficientus (
).
Kalba netaisyta
179
Skaičiuoklės MS Excel taikymo pavyzdys
(Parengta remiantis Šiaulių profesinio rengimo centro mokytojos Renatos Nakienės patirtimi)
Tema: Dažnio skaičiavimas naudojantis skaičiuokle (MS Excel)
Tikslas: Parodyti skaičiuoklės galimybes skaičiuojant dažnius.
Uždavinys: Mokiniai išmoks apskaičiuoti imties dažnius naudodami skaičiuoklę MS Excel.
Skaičiuoklės MS Excel taikymas imties dažniui apskaičiuoti
1. Suveskite surinktus duomenis.
2. Norėdami braižyti dažnių lentelę užpildykite pažymių eilutę.
3. Kitoje eilutėje užrašykite žodį dažnis.
4. Pasirinkite funkciją dažnio skaičiavimui.
1.
2.
Kalba netaisyta
180
3.
4.
Skaičiuoklės MS Excel statistiniams skaičiavimams skirtos funkcijos
Funkcija Count – galime naudoti norint suskaičiuoti imties narių skaičių.
Funkcija Average – galime naudoti norint suskaičiuoti vidurkį.
Funkcija Min – išrenka mažiausia reikšmę.
Funkcija MAX – išrenka didžiausia reikšmę.
Funkcija Median – apskaičiuoja medianą.