Číslo šablony: III/2VY_32_INOVACE_P5_3.13

Tematická oblast : Geometrie

Řešení pravoúhlého trojúhelníkaTyp: DUM - výkladový

Předmět: MatematikaRočník: 4. r. (6leté), 2. r. (4leté)

Zpracováno v rámci projektu

EU peníze školámCZ.1.07/1.5.00/34.0296

Zpracovatel:

Mgr. Dagmar MannheimováGymnázium, Třinec, příspěvková organizace

Datum vytvoření: leden 2013

Metodické pokyny

Materiál je určen pro 4. ročník 6letého a 2. ročník 4letého studia. Výklad slouží k odvození vět, které platí pro pravoúhlý trojúhelník.

Inovace spočívá ve využití interaktivního prostředí. Výklad využívá podobnosti trojúhelníků. Před výkladem je třeba zopakovat věty o podobnosti

trojúhelníků. Žák musí mít psací a rýsovací potřeby, barevné tužky.

Klíčová slova:

• odvěsny, přepona• úseky na přeponě• podobnost trojúhelníků• obsah pravoúhelníků

Řešení pravoúhlého trojúhelníka

Eukleidovy a Pythagorova věta

Názvy stran:

AB … přepona trojúhelníka

AC, BC …odvěsny trojúhelníka

Velikosti stran: ǀABǀ = c ǀACǀ = b ǀBCǀ = a

CP … výška na přeponu AP … úsek na přeponě

přilehlý k odvěsně b BP … úsek na přeponě

přilehlý k odvěsně a

v = ǀPVǀ Ca = ǀBPǀ

Cb = ǀAPǀ

APC CPB (uu)

=

=

Eukleidova věta o výšce:

v2 = ca . Cb

V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina výšky k přeponě rovna součinu délek obou úseků na přeponě.

Jinak:Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků na přeponě.

v2 = ca . Cb

ACB CPB ACB

APC

=

=

Eukleidova věta o odvěsně:

a2 = c . Ca b2 = c . Cb

V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky odvěsny rovna součinu délek přepony a přilehlého úseku na přeponě.

Jinak:Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a přilehlého úseku na přeponě.

a2 = c . ca

b2 = c . Cb

Sečteme oba vztahy:

a2 = c . ca

b2 = c . Cb

a2 + b2 = c . ca + c . Cb = c .(ca + Cb ) = c2

a2 + b2 = c2

Pythagorova věta:

a2 + b2 = c2

V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky přepony rovna součtu druhých mocnina délek obou odvěsen.

Jinak: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou

pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami.

a2 + b2 = c2

Věta obrácená k větě Pythagorově:

Platí-li pro délky stran trojúhelníku ABC vztah a2 + b2 = c2 , pak je tento trojúhelník pravoúhlý a c je délka přepony.

Z historie:

Eukleidés též Euklides (asi 325 př. n. l. – 260 př. n. l.) byl řecký matematik a geometr.

Eukleides - Wikipedie. [Online] 14. 12 2012. [Citace: 21. 1 2013.] http://cs.wikipedia.org/wiki.

O Eukleidově životě víme velmi málo. Narodil se v Řecku, většinu života strávil v Egyptě . Vedle základů geometrie se věnoval i teorii čísel, perspektivě, kuželosečkám. Hlavním jeho dílem jsou Základy, kde ve třinácti knihách, jež začínají stanovením deseti základních axiomů. Základy shrnují práci mnoha dřívějších matematiků a filosofů a jsou nejúspěšnější matematickou knihou všech dob, která se užívala víc než 2000 let!

Pythagoras ze Samu (6. století př. n. l.) byl řecký matematik a filosof.

Pythagoras - Wikipedie. [Online] 20. 1 2013. [Citace: 21. 1 2013.] http://cs.wikipedia.org/wiki.

Starší kultury věděly, že trojúhelník, jehož strany jsou v poměru 3:4:5 je pravoúhlý a Číňané to dovedli i geometricky dokázat.

Z díla Pythagora se nic nezachovalo. Věta pojmenována něho, byla známa i v jiných starověkých civilizacích dávno předtím (v Číně, částečně např. v Egyptě).

Citace zdroje:

POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia: Planimetrie. 1. vyd. Praha: Jednota českých matematiků a fyziků, 1993, 206 s. ISBN 80-701-5468-3.