Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru

8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru

http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 1/71

Mariana Şa ndru

METODE STATISTICE

DE OPTIMIZARE A

MANAGEMENTULUI

EDUCAȚIONAL



Mariana Şandru

METODE STATISTICE DE OPTIMIZARE

A MANAGEMENTULUI EDUCAȚIONAL

MATRIX ROM

București 2011



MATRIX ROM

C.P. 16 - 162

062510 – BUCUREŞTI

tel. 021.4113617, 031.4012438, 0372743840

fax 021.4114280

email : [email protected]

www.matrixrom.ro

Editura MATRIX ROM este acreditata de

CONSILIUL NAŢIONAL AL CERCETĂRIIŞTIINŢIFICE DIN Î NVĂŢĂMÂNTUL SUPERIOR

Această lucrare a fost editată sub egida Societăţii de Matematică din România

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României

ŞANDRU, MARIANA

Metode statistice de optimizare a managementului

educaţional / Mariana Şandru – Bucureşti : Matrix Rom, 2011

Bibliogr.

ISBN 978 – 973 – 755 – 673 - 8

31:65.012.4:37

ISBN 978 – 973 – 755 – 673 - 8

mailto:[email protected]



http://www.matrixrom.ro/






i

În actualul stadiu de dezvoltare socială - caracterizat prin trecerea la

economia bazată pe cunoaștere, rolul planificării științ ifice a activităților

umane a crescut vertiginous. Din acest motiv ne- am propus ca în aceastălucrare să studiem variantele știintifice oferite de statistică pentru

eficientizarea actului de conducere.



ii

CUPRINS

Introducere .......................................................................................................... 1

Capitopul I: Noțiuni fundamentale de statistică matematică .......................... 4

Definiții de bază în teoria probabilităților ..................................................... 4

Repartiția normală ......................................................................................... 6

Repartiția 2 ................................................................................................. 7

Repartiția Student .......................................................................................... 8

Repartiția Snedecor ........................................................................................ 8

Repartiția Fisher ............................................................................................. 9

Definiții de bază în statistica descriptivă .....................................................10

Inferența statistică .......................................................................................11

Estimații statistice ........................................................................................14

Ipoteze statistice ..........................................................................................16

Verificarea ipotezelor statistice ...................................................................17

Categorii de teste .........................................................................................20

Capitopul II: Teste de verificare a ipotezelor statistice ...................................22

Testarea ipotezelor privind media unei populații statistice ........................22

Testarea ipotezelor privind mediile a două populații statistice diferite .....27

Testarea ipotezelor asupra dispersiei unei populații ..................................32

Testarea ipotezelor privind dispersiile a două populații .............................34

Testarea ipotezelor privind mediile mai multor populații ..........................36

ANOVA simplă ..............................................................................................37

Capitopul III: Metode statistice de fundamentare a deciziilor .......................46

Stabilirea tendinței de evoluție a procesului instructiv -educativ ................47



iii

Alegerea programei de studiu .....................................................................48

Alegerea manulalului potrivit ......................................................................50

Stabilirea preciziei de ierarhizare a unităților de învățământ ....................51

Organizarea timpului liber ...........................................................................52

Alegerea ofertei avantajoase ......................................................................55

Reglarea procesului de predare- învățare ....................................................57

Stabilirea programului orar optim de studiu ...............................................59

Concluzii ........................................................................................................63

Bibliografie .........................................................................................................65



1

INTRODUCERE

În actuala etapă de dezvoltare a societății omenești caracterizată pintr -un

nou tip de economie – economia bazată pe cunoaștere, învățământului de

toate gradele și de toate specialitățile îi revin o multitudine de sarcini

specifice. Primele două ca importanță sunt acelea de a facilita adaptarea

omului obișnuit la ritmul, varietatea și amploarea schimbărilor și

transformărilor din societate, precum și acela de a asigura numărul necesar și

calitatea specialiștilor și a cadrelor apte să înțeleagă și capabile să gestioneze

aceste transformări.

Este de la sine înțeles că într-un astfel de context managementul va avea

de jucat un rol de prim rang. Pentru a face față noilor provocări el va fi nevoit

să-și reânoiască metodologia și filosofia de lucru. Acest proces de reformare

calitativă a actului de conducere este tot mai vizibil.

Managementul contemporan apelează tot mai des la cuceririle științifice

din diferite domenii de activitate. Proiectarea strategiilor de dezvoltare nu semai face empiric ci pe baza unor teorii puternic matematizate. Lucrarea de

față își propune să exemplifice acest lucru. În acest scop am ales ca domeniu



2

de studiu – managementul școlar, și ca instrument de fundamentare al său –

statistica matematică. Ideea de la care am plecat în acest demers este aceea

că actul decizional care succede orice activitate managerială se bazează pe un

anumit set de premise inițiale a căror veridicitate se poa te verifica din punct

de vedere satatistic.

Importanța studiului întreprins de noi constă în faptul că am adaptat

folosirea aparatului statistic de verificare a ipotezelor la nevoile și specificul

managementului școlar. Această importanță este consolidată și de

numeroasele studii de caz prezentate, prin care sunt acoperite majoritateaaspectelor de interes managerial de nivel local sau central.

Din punct de vedere didactic, pentru a realiza o bună transmitere a

modului în care vedem noi eficientizarea managementului școlar, am

convenit ca aparatul teoretic prezentat în această lucrare să fie structurat

după cum urmează :

Capitolul 1 este destinat introducerii conceptelor de bază din teoria

probabilităților și satatisticii matematice precum cele de spațiu de

probabilitate, variabilă aleatoare, repartiție de probabilitate, populație

statistică, caracteristică a unei populații. În acest capitol sunt prezentate

repartiția normală, repartiția 2 , repartiția Student, repartiția Snedecor și

repartiția Fisher. De asemenea este introdusă noțiunea de ipoteză statistică și

este prezentat aparatul teoretic general de verificare al ipotezelor statistice.

În capitolul 2 sunt prezentate detaliat principalele teste de verificare a

ipotezelor statistice: testul z , testul 2 , testul t , testul F și testul ANOVA.



3

Capitolul 3 este alcătuit dintr -o suită de exemplificări ale modului de

aplicare concretă a aparatului statistic la rezolvarea problemelor de

conducere din cadrul sistemului de învățământ. Aceste exemplificări provin

din diferite studii de caz la care autorul a participat de- a lungul anilor și

constituie partea de contribuție originală adusă la aceasta lucrare.

Exemplificările prezentate în acest ultim capitol au fost selecționate după

două criterii: cel de utilizare al tuturor tipurilor de teste statistice prezentate

în capitolul precedent și cel de acoperire a cât mai multe din problematicile

reale ale coordonării învățământului contemporan la nivel central sau local.

Din perspectiva provocărilor actuale la care este supus învățământul

suntem îndre ptățiți să credem că materialul cuprins în această lucrare

acoperă mai multe zone de interes. Prima ar fi aceea că dovedește utilitatea

folosirii aparatului statistic în actul de conducere, transformând-ul dintr-o

activitate de rutină bazată pe experiență într-una creativă, bazată pe

raționament științific. O altă latură ar fi aceea a perfecționării profesionale în

domeniul teoriei probabilităților și statisticii matematice. În fine, un alt aspecteste legat de faptul că studiile de caz prezentate oferă prc ticienilor un set de

șabloane pe care le pot folosi după o minimă readaptare la rezolvarea

problemelor cu care aceștia se confruntă în mod direct.



4

C a p i t o l u l 1

NOȚIUNI FUNDAMENTALE DE STATISTICĂ MATEMATICĂ

Definiții de bază în teoria probabilităților

Noțiunea de câmp de evenimente : Un ansamblu , F alcătuit dintr -o

mulțime abstractă , numită spațiul evenimentelor elementare și o familie

F de părți ale lui , numită mulțimea evenimentelor, care verifică

următoarele axiome :

A 1) F ,

A 2) A A F F C ,

A 3) , A B F A B F ,

se numește câmp de evenimente.

Noțiunea de - câmp de evenimente : Un câmp de evenimente , F în

care familia F satisface în plus și axioma

A 4)1

nn

A F , dacă n A F , pentru orice 1n ,

se numește -câmp de evenimente.

Noțiunea de câmp de probabilitate : Tripletul ( , , )PF în care perechea

, F reprezintă un câmp ( -câmp) de evenimente, iar P o aplicație de la

F la care satisface axiomele :

A 1) 0 1,P A A F și 1P ,



5

A 2) Pentru orice familie numărabilă (finită sau infinită) :i A i I F de

evenimente disjuncte două câte două (despre care, atunci când , F nu

este un -câmp, cerem să satisfacă suplimentar și proprietatea ii I

A F )

are loc relația

i ii I i I

P A P A

,

se va numi câmp de probabilitate, iar funcția P se va numi probabilitate pe

câmpul ( -câmpul) ( , )F .

Noțiunea de variabilă aleatoare : Fie un spațiu de probabilitate ( , , )PF

. O funcție reală : X , care satisface condiția:

: X x F oricare ar fi x ,

se numeşte variabilă aleatoare.

Noțiunea de funcție de repartiție a unei variabile aleatoare : Fie X o

variabilă aleatoare. Funcția reală de variabilă reală,

F x P X x ,

unde prin X x, s-a notat evenimentul

: X x ,

adică reuniunea acelor evenimente elementare pentru care v.a. X ia valori

mai mici sau egale cu x , se numește funcția de repartiție a v.a. X .

Noțiunea de densitate de repartiție a unei v.a. : Dacă există o funcție reală

: f , astfel încât



6

x

F x f t dt ,

atunci funcția de repartiție F se numește absolut continuă . Din punct de

vedere geometric numărul F x reprezintă aria mărginită de graficul funcției

f , axa 0 x și paralela la axa 0 y care trece prin punctul de abscisă x . Funcția

f , dacă există, se numeşte densitatea de probabilitate a v.a. X .

Observație : Funcția de repartiție a unei variabile aleatoare conține toate

informațiile necesare pentru calcularea probabilităților cu care acea variabilă

ia valori în diferitele intervale , ,a b a b , ale axei reale. Într-adevăr,

,P a X b F b F a a b .

Repartiția normală

Repartiția normală joacă un rol central în teoria probabilităților și în statistică

deoarece reprezintă o repartiție limită către care, în anumite condiții, tind

majoritatea celorlalte repartiții.

Prin definiție, o variabilă continuă X are o repartiție normală , sau

repartiție Gauss – Laplace , dacă funcția de repartiție a variabilei X este dată

de relația:

2

221, , , 0

2

t m x

F x e dt x m

,

unde m şi sunt parametrii funcției de repartiție. Funcția de repartiție

normală se notează de obicei prin 2

, N m , iar faptul că v.a. X urmează

această repartiție se notează prin 2, X N m .



7

Parametrii repartiției normale semnifică media și dispersia variabilei X .

Mai precis, 2 2,m M X D X . Din acest motiv putem spune că

repartiția normală 2, N m are media m şi dispersia 2 .

Observație. Media și dispersia determină în mod unic repartiția normală.

Repartiția normală 0,1 N se numeşte repartiția normală redusă,

repartiția normală normată, sau repartiția normală s tandard. O v.a.

repartizată după legea 0,1 N se notează de obicei cu Z şi este cunoscută

sub denumirea de variabilă Z , variabilă normală redusă, etc. Orice variabilă

X repartizată normal 2, N m poate fi transformată într -o v.a. repartizată

0,1 N prin transformarea (de normare, sau de standardizare)

X m Z

.

Repartiția 2

Repartiția definită prin densitatea de probabilitate

12 2

/ 2

1, 0

2 , 1,2

0, 0

n x

nn

x e xn

f x n

x

pentru

pentru

se numește repartiția 2 cu n grade de libertate. Această repartiție,

descoperită inițial de către Helmert, a fost pusă în evidență de către K.

Pearson. Vom nota cu 2 n mulțimea tuturor v.a. care au densitatea de

repartiție definită mai sus.



8

Dacă 1 2, ,.., n X X X , cu 1n , este un șir de v.a. independente, de

repartiție normală 0,1 N , atunci 2 2 2 21 2 .. n X X X , este o v.a. supusă

repartiției 2 cu n grade de libertate.

Repartiția Student

Repartiția definită prin densitatea de probabilitate

1

2 2

11 2

1 , , 1,

2

n

n

n x

f x x nn nn

se numește repartiț ia Student cu n grade de libertate . Această repartiție a

fost descoperită și pusă în evidență de către W. Gosset, „ Student ”,

reprezentând pseudonimul sub care acesta își semna lucrările. Vom nota cu

S n mulțimea tuturor v.a . care au densitatea de repartiție definită mai sus.

Dacă 1 2, ,.., n X X X , cu 1n , este un ș ir de v.a. independente, de

repartiție normală 2

, N m , atunci

2

1

,1 n

ii

X mt

X n

este o v.a. supusă repartiț iei Student cu n grade de libertate.

Repartiția Snedecor

Repartiția Snedecor cu 1 21, 1, grade de libertate, se defineștre prin

densitatea de repartiț ie



9

1 1 2

1

1 2

1 22 21

1 12, 1 2

1 22 2

21 , 0 , , 1.

2 2

f x x x

Vom nota cu 1 2,S mulțimea tuturor v.a . care au densitatea de repartiț ie

definită mai sus.

În legătură cu repartițiile 2 , Student şi Snedecor enumerăm

următoarele proprietăți:

- Dacă v.a. X aparț ine clasei S n , atunci v.a. 2 X aparține clasei 1,S n .

- Dacă 21 X și 2

2Y sunt două v.a. independente, atunci

11 2

2

/ ,

/

X S

Y

.

- Dacă 1 2, X S , atunci2

1limY X

aparț ine clasei 21 .

- Dacă 1 2, X S , atunci 2 1

1,S

X .

Repartiția Fisher

Repartiția Fisher cu 1 21, 1, grade de libertate, se defineștre prin

densitatea de repartiț ie

1 1 2

1

1 2

1 22 2

21 1, 1 2

1 22 2

22 1 , , , 1.

2 2

x x f x e e x

Dacă 1 2, X S v , atunci v.a. 1ln

2Y X , urmează repartiț ia Fisher.



10

Definiții de bază în statistica descriptivă

Noțiunea de populație statistică și de caracteristică : O mulțime oarecare P ,

nevidă, (finită sau nu) ale cărei elemente prezintă una sau mai multe

caracteristici de interes pentru un an umit studiu va fi numită populaț ie

statistică. De exemplu, dacă ne intereesază rezultatele obținute la testul

național de absolvire al clasei a VIII-a de către elevii unei unități şcolare,

atunci acei elevi (cei de clasa a VIII-a) reprezintă populația statistică, iar

notele obț inute de fiecare dintre ei la testul național de verificare a

cunostințelor, reprezintă caracteristica studiată.

Există doua feluri de caracteristici: cantitative şi calitative . În cazul în care

caracteristicile sunt exprimabile prin numere, de exemplu în cazul unei

populaț ii alcătuite din elevi, „notele” obținute la o anumită mat erie, sau

„greutatea” ori „înălțimea” acelor elevi, caracteristica se numeşte cantiativă .

În cazul în care caracteristicile nu apar ca numere, ci exprimă o anumită

calitate, cum ar fi de exemplu „starea de sănătate”, sau „apartenența la o

anumită organizație”, ori „preferința pentru un anumit gen de muzică”,caracteristica se numeşte calitativă .

Noțiunea de eș antion de sondaj : Atunci când populația statistică este

alcătuită dintr -un număr mic de unități (statistice) informațiile care ne

interesează pot fi luate de la fiecare unitate statistică în parte, acest procedeu

de culegere a datelor fiind numit enumerare completă. În c azul general,

culegerea informaț iilor referitoare la o anumită populație statistică, se face

prin sondaj adică, din populația statistică studiată se alege în mod aleator oanumită submulțime pe care se realizează un studiu restrâns. O astfel de

submulțime este numită eşantion sau selecție .



11

Noț iunea de efectiv total al unei populaț ii : În cazul unei populații

satatistice finite, num ărul tuturor unităț ilor care alcătuiesc acea populaț ie se

numeşte efectivul total al acelei populații şi se notează cu N .

Noțiunea de volum al unui eș antion : Numărul n al elementelor unui

eșantion oarecare se numește volumul acelui eșantion. Un eș antion de volum

n se notează de obicei prin 1 2, ,..,n n E x x x , unde 1 2, ,.., n x x x ,

reprezintă valorile observate ale caracteristicii x a populației din care a fost

prelevat eș antionul.

Noțiunea de frecvență absolută a unei valori : Numărul de unități ale unei

populaț ii, (atunci când populația este finită) sau numărul de unități ale unui

eșantion, care au valorile caracteristicii măsurate egale cu o anumită valoare

, dată, se numește frecvența absolută a acelei valori. De exemplu dacă la o

clasă s-au obținut 10 note de 7 la teza la matematică, atunci numărul 10

reprezintă frecvența absolută a notei 7 în cadrul acelei teze.

Noțiunea de frecvență relativă a unei valori : Dacă într-un eșantion de

volum n, (sau într-o populație de evectiv total N ) frecvența absolută a unei

valori , a caracteristicii măsurate, este an , atunci raportul nn

(respectiv,

raportul n N

) se va numi frecvența relativă a valorii . Deseori frecvența

relativă a unei valori date se exprimă în proporții.

Inferența statistică

Prin inferență statistică se înțelege obținerea de concluzii bazate pe o

evidență statistică, adică pe informații derivate dintr -un eşantion. Concluziile



12

trase privesc anumiți parametrii ai caracteristicii (caracteristicilor) populației

din care provine eşantionul.

Observație . Dacă este investigată întreaga populație, atunci rezultatele care

se obțin constituie finalul prelucrării. În acest caz nu mai sunt necesare

prelucrările menționate în această secțiune.

Prin eşantion (sau selecție ) înțelegem o submulțime 1 ,..,n n E x x a

populației statistice considerate. Numărul de elemente dintr -un eșantion se

numește volumul acelui eșantion. Operațiunea de formare a unui eşantion se

numeşte sondaj . Sondajele care au şanse mai mari de a produce eşantioanereprezentative sunt cele bazate pe proceduri de selecție aleatoare.

La eşantioane diferite (chiar și de același volum), statisticile calculate au

de obicei valori diferite. Din acest motiv se poate vorbi despre o distribuție a

valorilor statisticilor în mulțimea eşantioanelor de volum dat. De aici apare

noțiunea de distribuție de sondaj a statisticii respective.

Inferența statistică implică considerarea a trei distribuții asociate cu

caracteristica studiată: - distribuția populației;

- distribuția de sondaj;

- distribuția eşantionului.

Prin distribuție a populației se înțelege distribuția pe care o are

caracteristica populației studiate (sau v.a. asociată acestei caracteristici). În

general această distribuție nu este cunoscută. Scopul urmărit prin

organizarea unei cercetări fiind tocmai acela de a estima această distribuție.



13

Prin distribuția eşantionului se înțelege distribuția pe care o are

caracteristica studiată în eşantionul disponibil în studiu. Această distribuție

este cunoscută complet, întrucât toate unitățile eșantionului sunt măsurate.

Prin distribuția de sondaj a unei statistici se înțelege distribuția pe care o

are statistica în mulțimea tuturor eşantioanelor de un volum dat. Este bine de

reținut faptul (susținut prin argumente de natură teoretică) că, între

distribuția populației şi distribuția de sondaj există legături bine determinate.

Aceste legături sunt puse în lumină prin intermediul teoremei „limită

centrală” , care facilitează cunoașterea distribuției populației prin intermediul

datelor prelevate în eșantion, atunci când volumul eşantionului creşte

nelimitat (tinde spre infinit).

Inferența statistică se realizează în general după următorul algoritm:

- din populaț ia originală se prelevează un eşantion cât mai reprezentativ

scopului propus;

- pe baza datelor din acest eșantion se calculează acea valoare tipică a

populației pentru care s -a demarat studiul (calculul propriu-zis al valorii tipice

despre care vorbim se face cu ajutorul unei anumite formule numită statistică

de sondaj );

- utilizând repartiția de sondaj a statisticii, care din considerente de ordin

teoretic se consideră cunoscută, ca de altfel și repartiția valorii tipice pe care

dorim să o estimăm, se pot face evaluări ale erorilor de estimație.

De exemplu, dacă 1 ,..,n n E x x este un eșantion de volum n prelevat

dintr-o populație normală de parametrii m și 2

, atunci media de sondaj

1 n x x x

n





15

Exemplul 1: Intervale de încredere pentru medie

Considerăm o populație statistică de caracteristică x repartizată normal, de

parametrii şi 2 . Presupunem că dintr -un eşantion de volum n s-au

obținut, media de sondaj x şi dispersia de sondaj2

s . Pentru un prag de

semnificație egal cu , intervalul de încredere pentru media populației este

1 / 2 1 / 2 x z x zn n

,

dacă dispersia, 2 este cunoscută, unde 1 / 2 z , este quantila (valoarea

critică) de ordinul 12 a repartiției normale standard 0,1 N , și

1 / 2 1 / 2s s

x t x t n n

,

dacă dispersia, 2 , nu este cunoscută, unde 1 / 2t , este quantila

(valoarea critică) de ordinul 12 a repartiției Student cu 1n grade de

libertate.

Exemplul 2: Intervale de încredere pentru dispersie

Considerăm o populație normală, sau aproximativ normală, de parametrii

şi 2 necunoscuți. Se demonstrează că, pentru un prag de încredere

satatistică de 1 , intervalul de încredere bilateral pentru dispersia

populației studiate este dat de inegalitățile

2 2

22 2

1 1

1 / 2, / 2,

n s n s

,



16

unde n este volumul eşantionului utilizat,2

s este dispersia de sondaj, iar

2

/ 2, şi 2

1 / 2, sunt quantilele (valorile critice) de ordin 2 ,

respectiv 12 , ale repartiției 2 cu 1n grade de libertate.

Ipoteze statistice

Presupunem ca legea care guvernează o anumită populație statistică depinde

de un parametru pe care dorim să îl estimăm. În mod curent, estimarea

parametrului se face prin prelucrarea datelor conținute într -un eșantion desondaj prelevat din cadrul populației de origine. Valoarea găsită în acest mod

reprezintă un estimator al parametrului căutat. Deoarece această valoare

depinde de eșantionul extras, ea poate diferi de la un sondaj la altul. Se ridică,

deci, întrebarea în ce măsură para metrul estimat de către noi pe baza

rezultatelor obț inute de la un sondaj oarecare asigură „credibilitatea”

aprecierii făcute asupra valorii parametrului. Pentru a răspunde la această

întrebare va fi nevoie să testăm într -un anumit fel rezultatul găsit, car e încontextul prezentat are valoare de „ipoteză statistică” .

I poteza statistică este o presupunere care se face cu privire la parametrul

unei repartiții sau la legea de repartiție pe care o urmează anumite populații

statistice sau variabile aleatoare. O ipoteză statistică nu este neapărat

adevărată. Ea poate fi corectă sau greşită. Din acest motiv, procedeul de

verificare al ipotezelor satistice presupune ca pe lângă ipoteza ce urmează a fi

testată să fie formulată și o ipoteză alternativă. Ipoteza statistică ce urmeazăa fi testată poartă numele de ipoteză nulă şi se notează în mod uzual prin H0.

Respingerea ipotezei care este testată (a ipotezei nule) implică acceptarea



17

unei alte ipoteze. Această altă ipoteză (contrară, într -un anume grad, ipotezei

respinse) este numită ipoteză alternativă. Ipoteza alternativă se notează de

obicei prin H a, sau prin H 1. Cele două ipoteze trebuie să reprezinte, pentru

valorea parametrului populației, sau legii de repartiție care se analizează,

variante mutual exclusive (adică imposibil de realizat împreună) şi exhaustive

(adică capabile sa acopere toate posibilitățile).

Verificarea ipotezelor statistice

Procedeul de verificare a unei ipoteze statistice se numeşte test sau criteriu

de semnificație . Testele de verificare a ipotezelor satatistice au în

componența lor patru elemente comune și anume : ipoteza nulă, ipoteza

alternativă, testul statistic propriu -zis și regiunea critică sau de respingere a

testului. De asemenea și procedurile de aplicare ale testelor statistice au

câteva etape comune :

1) Stabilirea ipotezei nule, H 0. Ipoteza nulă trebuie să specifice

întotdeauna o singură valoare a parametrului ce se vrea estimat. Ipoteza nulă

reprezintă acea variantă de lucru care este acceptată până în moment ul în

care se dovedeşte a fi fost falsă.

2) Stabilirea ipotezei alternative, (de cercetat) H a. Aceasta trebuie să fie o

teorie care să contrazică ipoteza nulă. Ipoteza alternativă este acceptată

numai atunci când s- au adunat suficiente dovezi că este adevărată. În cadrul

testului de verificare ipoteza alternativă joacă un rol foarte important

deoarece ea prin intermediul ei putem afla răspuns la una dintre întrebările :

- dacă parametrul este diferit de valoarea specificată în ipoteza nulă;

- dacă parametrul este mai mare decât valoarea specificată în ipoteza

nulă;



18

- dacă parametrul este mai mic decât valoarea specificată în ipoteza nulă.

3) Calculul estimativ al valorii parametrului care trebuie determinat.

Acestă etapă presupune alcătuirea în prealabil a unui eșantion de sondaj.

4) Alegerea testului de verificare a ipotezei nule și a unui prag α de

semnificație.

Valorile parametrului α se stabilesc la începutul testului și rămân

neschimbate până la terminarea acestuia. Ele trebuie să aibă o semnificație

probabilistă mică. Din acest motiv valorile cele mai utilizate pentru α sunt

0,05 sau 0,01 . Pragul de semnificație α folosește la stabilirea regiunii critice a

testului. Regiunea critică se stabilește astfel încât probabilitatea ca rezultatul

testului să aparțină acestei regiuni, atunci când ipoteza nulă este adevărată,

să fie egală cu α.

Modul de utilizare al testului : Calculul estimatorului ca și procedeul de

verificare a ipotezei nule se face pe baza unui eşantion de sondaj extras din

populația originală (populația supusă studiului). Presupunem că eșantionul

extras are volumul n și că populația studiată are caracteristica x. Dacă punctul

definit de vectorul de sondaj ( x1, x2,…, xn) cade în regiunea critică Rc, ipoteza

H 0 se respinge, iar dacă acest punct cade în afara regiunii critice Rc, ipoteza

H 0 se acceptă.

Datorită valorii foarte mici a pragului de semnificație, numai într-un

număr redus de cazuri punctul (vectorul) de sondaj ( x1, x2,…, xn) va cădea în Rc,

majoritatea acestor puncte vor cădea în afara regiunii critice.

Erori statistice : Nu este însă exclus ca punctul de sondaj ( x1, x2,…, xn) să

cadă în regiunea critică chiar și atunci când ipoteza nulă este adevărată. De

asemenea nu este exclus ca punctul de sondaj ( x1, x2,…, xn) să cadă în afara

regiunii critice, iar ipoteza nulă să fie în realitate falsă. În primul caz suntem



19

dispuși, ca pe baza testului satatistic efectuat, să respingem o ipoteză

adevarată, iar în cel de al doilea caz să acceptăm o ipoteză falsă. Atunci când,

din cauza unui test satatistic, se respinge o ipoteză corectă se spune că s -a

săvârșit o eroare de genul întâi , iar atunci când se acceptă ca valabilă o

ipoteză falsă se spune că s -a săvârșit o eroare de genul al doilea .

Din motivele prezentate mai sus deducem că este mai corect să spunem

că pe baza datelor din eşantionul studiat nu putem respinge ipoteza nulă,

decât să spunem că ipoteza nulă este adevărată.

Probabilitatea comiterii unei erori de genul întâi este egală cu α şi se

numeşte nivel sau prag de semni ficație. În cadrul unui test statistic

probabilitatea de garantare a rezultatelor este 1 - α. Această probabilitate se

numește nivelul de încredere al testului.

Probabilitatea comiterii unei erori de genul al doilea se notează cu β . În

această situaț ie valoarea 1 - β poartă numele de putere a testului statistic.

Observații: 1) Cu cât probabilitățile comiterii erorilor de genul întâi

α = P (eroare de genul I) = P (se respingere H 0 deși H 0 este corectă)

,

şi de genul al doilea

β = P (eroare de genul II) = P (se acceptă H 0 deși H 0 este falsă) ,

sunt mai mici, cu atât testul este mai bun. Acest lucru se poate realiza în

principiu prin mărirea volumului n al eşantionului.

2) Datorită legăturilor de condiționare care pot apare între erorile de

genul I și cele de genul al II-lea, nu putem face întotdeauna ca nivelul acestor

erori să fie oricât de mici dorim decât separat, pentru fiecare dintre ele. Dinacest motiv nivelurile acestor erori trebuiesc stabilite în func ție de natura

consecințelor pe care producerea uneia sau a alteia dintre ele le pot pro voca,



20

iar acest lucru nu se poate stabili decât de la caz la caz. Într- adevăr, dacă

distribuțiile testelor prin care se verifică valabilitatea ipotezelor H 0 și H a se

întersectează între ele , atunci se poate observa cu ușurință că micșorarea

valorii lui , adică a regiunii de sub graficul distribuției corespunzătoare

ipotezei H 0 situate la dreapta punctului critic x c , conduce la mărirea valorii

lui , adică a regiunii de sub graficul distribuției corespunzătoare ipotezei Ha

situate la stânga punctului critic x c .

3) Dacă ipoteza nulă are forma H 0: h = h0, atunci ipoteza alternativă

poate avea una din următoarele trei forme : H a: h ≠ h0 (h < h0 sau h > h0), sau

H a: h > h0, sau H a: h < h0. În primul caz vom spune că avem de a face cu un

test bilateral, în cel de al doilea caz cu un test unilateral dreapta, iar în cel de

al treilea caz cu un test unilateral stânga. De reținut că regiunea critică pentru

testul bilateral diferă de cea pentru testele uni laterale. Atunci când dorim să

detectăm o diferență față de ipoteza nulă, în ambele direcții, trebuie să

stabilim o regiune critică Rc în ambele “cozi” ale distribuției de eşantionare

pentru testul statistic. În contrast, atunci când efectuăm un test uni lateral,

vom stabili, după caz, o regiune critică într-o singură parte a distribuției de

eşantionare.

Categorii de teste

Testele pot fi clasificate după natura caracteristicilor care intervin în

problemele studiate, sau după scopul pentru care sunt folosite. După natura

caracteristicilor care intervin în problemele studiate, ele pot fi clasificate în

teste p entru variabile continue şi teste pentru variabile discrete (nominale

sau ordinale), iar după scopul urmărit în teste de concordanța și în teste de

comparare.



21

Testele pentru variabile continue sunt, de regulă, teste parametrice, în

timp ce testele pentru variabile discrete sunt neparametrice. În ceea ce

privește testele din cea de a doua categorie, caracterizarea lor presupune o

prealabilă descriere de care ne vom ocupa succint în cele ce urmează.

Teste de concordanță

Testele de concordanță au menirea să stabilească gradul de legătură dintre

valorile calculate ale estimatorilor statistici pe baza datelor din eşantioanele

de sondaj şi valorile teoretice ale parametrilor populației statistice pe care îi

estimează (valori cunoscute sau presupuse). Problema poate fi formulată și

în felul următor : „cât de mult poate să se abată valoarea unui estimator

(calculată pe baza datelor cuprinse într -un eşantion de sondaj) de la valoarea

presupusă a parametrului estimat pentru a putea considera că între cele

două valori are loc o nepotrivire?”.

Teste de comparare

Date fiind două eşantioane1n E și

2n E extrase din două populații diferite : 1P

şi respectiv 2P , prin utilizarea testelor de verificare se doreşte de fapt

compararea celor două populații. Cum testele de verificare a ipotezelor

statistice se bazează pe folosirea datelor de sondaj care provin din eșantioane

alcătuite la întâmplare, dificultatea realizării acestei cerințe constă în aceea că

diferențele dintre cele două eşantioane, ca şi similaritatea lor, se pot datora:

- diferențelor dintre populații,

şi /sau

- diferențelor de sondaj dintre eşantioane.



22

C a p i t o l u l 2

TESTE DE VERIFICARE A IPOTEZELOR STATISTICE

Procesul de luare a deciziilor presupune analiza, judecarea şi interpretarea

evidențelor oferite de datele pe care le avem la dispoziție. Managerii trebuie

să fie pregătiți să ia decizii privind acțiunile viitoare pe baza informațiilor

disponibile. În acest sens ei emit ipoteze pe care le pot testa ştiințific. Astfel,

metoda testării ipotezelor statistice poate fi folosită ca instrument matematicde luare a deciziilor. Într-adevăr, testele statistice ne permit să stabilim cu o

eroare prestabilită dacă o anumită presupunere sau ipoteză pe care o

formulăm în cadrul unui proces decizional este sau nu semnificativă din punct

de vedere probabilistic.

Testarea ipotezelor privind media unei populații statistice

a) Cazul eșantioanelor de volum mare

Utilizarea eşantioanelor de volum mare ( n > 30 ) face posibilă aplicarea

teoremei limită centrală.

Testul bilateral. În cazul acestui tip de test ipotezele au forma:

H 0: μ = μ0 ( μ - μ0 = 0) ,

H a: μ ≠ μ0 ( μ - μ0 ≠ 0) (adică μ < μ0 sau μ > μ0).

Testarea ipotezei nule se va face pe baza mediei x a eşantionului prelevat şi

a niveluluide semnificație α prestabilit.



23

Utilizând teorema limită centrală, știm că dacă volumul eşantionului este

mare, media eşantionului x este distribuită aproape normal. De aceea

(putem presupune că), variabila aleatoare

0 0

x

x x z

n

,

urmează o distribuție normală standard.

Dacă pragul de semnificație α este stabilit, putem determina valoarea zα/2,

pentru care P(z > z α/ 2 ) = α /2 . Aceasta înseamnă că regiunea critică Rc estedată de:

Rc : z < - z α/2 , sau z > z α/2.

Regula de decizie are următorul conținut: Acceptam ipoteza H0, dacă

0 / 2

x

x z

n

/ 2 z ,

și o respingem dacă

2 / 0

z

n

x

x

, sau 2 / 0

z

n

x

x

.

Testul unilateral . Pentru testul unilateral dreapta, ipotezele au forma

H 0: μ = μ0 ( μ - μ0=0) ,

H 1: μ > μ0 ( μ - μ0>0) .

Testul statistic calculat are expresia



24

0 0

x

x x z

n

,

corespunzător căreia regiunea critică este definită prin inegalitatea Rc: z > z α.

Regula de decizie constă în acceptarea ipotezei H 0 dacă

0 x z

n

și în respingerea ei dacă

z

n

x 0 .

Pentru testul unilateral stânga , ipotezele sunt:

H 0: μ = μ0 ( μ - μ0 = 0) ,

H a: μ < μ0 ( μ - μ0 < 0) .

Testul statistic calculat are expresia

0 0

x

x x z

n

,

iar regiunea critică este dată de inegalitatea Rc : z < – zα.

Regula de decizie a testului constă în acceptarea ipotezei H0 dacă

0 x z

n

,

și în respingerea ei dacă



25

z

n

x 0 .

Observație importantă: Trebuie subliniat faptul că în nici una dintre situațiile

analizate mai devreme nu trebuie făcută vre -o presupunere specială asupra

legii care guvernează populația statistică studiată, deoarece teorema limită

centrală ne asigură că testul statistic

0

x

x z

,

va fi aproximativ normal distribuit, indiferent de natura distribuției din

colectivitate .

b) Cazul eșantioanelor de volum redus

În practica de zi cu zi, multe decizii trebuiescluate pe baza unor informații

limitate, adică pe baza datelor provenite din eşantioane mici (de volum n ≤

30). Inconvenientul cere apare cu această ocazie constă în faptul că

distribuția mediei x de eşantionare depinde (după cum se ştie, în astfel de

situații) de forma populației generale din care a fost extras eşantionul. În

cazul eşantioanelor de volum redus, distribuția mediei x de eşantionare va fi

normală (sau aproximativ normală), doar dacă colectivitatea generală este

distribuită normal (sau aproximativ normal).

Al doilea inconvenient apare atunci când nu se cunoaşte dispersia

teoretică 2 a colectivității studiate , deoarece, în cazul eşantioanelor mici,

este posi bil ca dispersia eşantionului 2

x să nu ofere o bună aproximare a

parametrului 2 . Ca atare, în locul statisticii z (folosită mai devreme) care



26

necesită cunoaşterea efectivă (sau măcar a unei bune aproxim ări) a lui ,

vom folosi statistica

0

x

xt

s n

,

unde

2

2

1

i

x

x xs

n.

Folosind statistica prezentată vom descrie acum etapele procesului de

testare a ipotezelor statistice cu privire la media teoretică μ a colectivității

generale pentru cazul eșantioanelor de volum redus.

În cazul testului bilateral, ipotezele de lucru au forma

H 0 : μ = μ0,

H a : μ ≠ μ0 ( μ < μ0 sau μ > μ0),

testul statistic are expresia

0

x

xt

s n

,

iar regiunea critică este descrisă de relațiile

Rc : t > t α/2,n -1 sau t < - t α/2,n -1.

În cazul testului unilateral dreapta ipotezele de lucru au forma

H 0: μ = μ0,

H a: μ > μ0,



27


0

x

xt s n

,

iar regiunea critică este descrisă de inegalitatea

Rc : t > t (α, n-1).

În cazul testului unilateral stânga ipotezele de lucru au forma

H 0: μ = μ0,

H a: μ < μ0,


0

x

xt

s n

,

iar regiunea critică este descrisă de inegalitatea

Rc

: t < - t (α, n-1).

Observație: Trebuie reținut faptul că teoria expusă în acest paragraf este

corectă numai atunci când populația studiată este normal, sau aproximativ

normal, distribuită.

Testarea ipotezelor privind mediile a două populații statistice diferite

a) Cazul eșantioanelor de volum mare

Multe probleme de analiză statistică cer compararea mediilor a două

colectivități diferite. Dacă notăm cu μ1 media teoretică a primei populații, iar

cu μ2 media teoretică a celei de a doua populații, atunci un estimator al



28

diferenței μ 1 - μ2, dintre acestea, ar putea fi diferența 21 x x dintre mediile a

două eșantioane: câte unul din fiecare populație.

Pentru eşantioane de volum mare (n1 > 30 şi n2 > 30 ) distribuția

diferenței de eşantionare 21 x x este aproximativ normală. Din acest motiv:

1) media distribuției de eşantionare a lui 21 x x este μ1 – μ2;

2) dacă cele două eşantioane sunt independente, atunci abaterea medie

pătratică a distribuției de eşantionare va avea forma

1

1 2

2 22

1 2

x x

x x n n

,

unde1

2

x şi2

2

x sunt dispersiile celor două populații eşantionate, iar n1 şi n2

sunt volumele eşantioanelor respective.

În virtutea acestor proprietăți, pentru verificarea ipotezelor privind diferența

dintre mediile a două populații putem să adaptăm aparatul matematic folosit

pentru verificarea ipotezelor privind media unei singure populații satatistice.

Astfel, dacă notăm cu D diferența ipotetică dintre mediile t eoretice ale

celor două populații statistice studiate, atunci pentru testul bilateral ipotezele de

lucru au forma

H 0: μ1- μ2 = D ,

H a: μ1- μ2 ≠ D , ( μ1- μ2 > D , sau μ1- μ2 < D ),


21

1 2

x x

D x x z

,



29


Rc : z < - z α /2, sau z > z α /2 ;

pentru testul unilateral dreapta ipotezele de lucru au forma

H 0: μ1- μ2 = D ,

H a: μ1- μ2 > D ,


21

1 2

x x

D x x z

,


Rc : z > z α ;

pentru testul unilateral stânga ipotezele de lucru au forma

H 0: μ1- μ2 = D ,

H 1: μ1- μ2 < D ,


1

21

2

x x

x x D z

,


Rc : z < - z α.

Observație: Dacă volumele ambelor eșantioane folosite în cadrul testuluisunt mai mari decât 30 , atunci înlocuirea parametrilor

1 x și2 x

cu1 x

s ,

respectiv2 xs , adică folosirea statisticii



30

11 2

2

2 2

1 2

x x

x x D z

s s

n n

,

nu va afecta în mod apreciabil nivelul de semnificație al testului original.

Acest lucru este deosebit de important atunci când nu se cunosc dispersiile

teoretice1

2 x şi

2

2 x ale populațiilor studiate.

b) Cazul eșantioanelor de volum redus

Atunci când, pentru testarea ipotezelor privind diferența dintre mediile a

două populații statistice diferite, dorim să folosim eşantioane de volum

redus, va t rebui să construim, ca şi în penultimul paragraf, o statistică

Student, t . Pentru aceasta va trebui însă să presupunem că:

1) ambele colectivități din care s-au extras eşantioanele sunt normal,

sau aproximativ normal, distribuite;

2) dispersiile în cele două colectivități studiate sunt egale;

3) eşantioanele de sondaj sunt selectate independent unul de celălalt.

În cazul în care presupunem că cele două colectivități studiate au

dispersiile teoretice egale ( 21

22

2 ), un estimator al dispersiei

(variabilității) totale a celor două populații combinate poate fi

1 22 2

1 22 1 1

1 2 2

n n

i ii i

c

x x x xs

n n

.

În legătură cu acest indicator, observăm ușor că



31

1 2

2 21 22

1 2

1 1

1 1 x x

c

n s n ss

n n

.

Cu alte cuvinte, dispersia combinată 2cs este media aritmetică ponderată a

dispersiilor celor două eşantioane,1

2 xs şi

2

2 xs . În aceste condiții, statistica

Student, t , cu 1 2 2n n grade de libertate, pe care urmează să o folosim va

avea expresia

1 2

2

1 2

1 1c

x x Dt

sn n

.

Corespunzător acestei statistici, pentru testul bilateral

H 0: μ1- μ2 = D ,

H 1: μ1- μ2 ≠ D ,

regiunea critică Rc este caracterizată de inegalităț ile

1 2 / 2, 2t t n n , sau 1 2 / 2, 2t t n n ;

pentru testul unilateral dreapta

H 0: μ1- μ2 = D ,

H 1: μ1- μ2 > D ,

regiunea critică Rc este caracterizată de inegalitatea

1 2, 2t t n n ;

iar pentru testul unilateral stânga

H 0: μ1- μ2 = D ,



32

H 1: μ1- μ2 < D ,


1 2, 2t t n n .

Observa ții : 1) Dacă dispersiile celor două populații nu sunt egale (σ2x1 ≠ σ2

x2),

atunci testul statistic folosit va avea forma

1 2

2 21 2

1 2

,( x x ) D

t s sn n

despre care se știe că urmează repartiț ia Student cu 2 21 2

1 2

1

1 1u u

n n

grade de

libertate, unde2 21 1 2 2

1 22 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

,s /n s /n

u us /n s /n s /n s /n

.

2) În cazul în care, după testarea ipotezei privind normalitatea distribuției

în colectivitatea generală, cu ajutorul testelor prezentate anterior, această

ipoteză nu este acceptată, se poate apela la teste sta tistice neparametrice, în

cadrul cărora nu trebuiesc făcute presupuneri speciale asupra formei

distribuției.

Testarea ipotezelor asupra dispersiei unei populații

Dacă populația eşantionată este normal distribuită, atunci se știe că suma

pătratelor diferențelor2

1 ( )

n

ii x x , (care este, de fapt, egală cu

2

sn sau cu2)1( sn pentru eşantioane mici) împărțită la dispersia teoretică a



33

colectivității, are o distribuție 2 cu ( 1)n grade de libertate. Prin urmare

pentru a verifica o ipoteză de forma 20

20 : H , se poate folosi statistica

22

20

( 1)n s

.

Procedeul de utilizare este următorul:

- pentru testul bilateral 2 2

0 0: H ,

2 20:a H ,

regiunea critică Rc este caracterizată de inegalităț ile

2 2 1 / 2, 1n sau 2 2 / 2, 1n ;

- pentru testul unilateral dreapta

2 20 0: H ,

2 20:a H ,


2 2 , 1n ;

- pentru testul unilateral stânga 2 2

0 0: H ,

2 20:a H ,


2 2 1 , 1n .







36

Testarea ipotezelor privind mediile ma i multor populaț ii

Este bine cunoscut faptul că rezultatul oricărui studiu statistic este cu atât mai

consistent cu cât numărul de grupe supuse analizei este mai mare, deoarece

în aceste situații efectul variabilelor independente asupra celeor dependente

devine mai vizibil.Ca urmare, pentru a creşte relevanța statistică a raportului

relațional dintre variabilele independente şi cele dependente se recomandă

cresterea numarului de grupe experimentale. După cum se știe,

determinarea diferențelor dintre două grupe poate fi obținută cu ajutorul

testului t . Această metodă , însă, nu ne este de mare ajutor atunci când dorim

să determinăm diferențele dintre mai mult de două grupe. Într -adevăr, într -o

astfel de situaț ie, testul t va trebui aplicat pentru fiecare dintre perechile

(diferite) de grupe care se pot constitui cu ajutorul grupelor considerate.

Acest lucru presupune deci aplicarea testului t de mai multe ori. De exemplu,

în cazul în care populația supusă analizei este împărțită în 3n grupe,

numărul perechilor care ar trebui supuse testului t ar fi egal cu 13

2

n n.

În plus de acest aspect, testul t este dezavantajos şi din punctul de vedere al

preciziei scăzute de evaluare pe care o oferă. De exemplu atunci c ând dorim

să determinăm diferenț ele dintre n grupe, nivelul erorii pe care o introduce

procedeul repetării testului t este dat de formula de formula

1 1n

,

unde este nivelul de încredere stabilit pentru fiecare test t efectuat. În

virtutea acestei formule este acum ușor de constatat că eroarea crește

odată cu numărul n .



37

Din scurta prezentare făcută reiese necesitatea găsirii unor metode mai

perfecționate de analiză a cazurilor în care numărul n de grupe ce trebuiesc

comparate este mai mare ca doi . Pentru a rezolva această problemă, R. A.

Fisher a dezvoltat o tehnică numită analiză dispersională sau ANOVA

(denumirea metodei a fos t sugerată de cuvintele englezești „ analysis of

variance”). Înainte de a trece la prezentarea ideilor l ui R. A. Fisher este bine să

reținem faptul că exista mai multe tipuri de ANOVA.

ANOVA simplă

Metoda denumită „ANOVA simplă” se utilizează în situatia în care avem o

singură variabilă independentă cu mai mult de două trepte (și implicit grupe

de subiecți) și o singuraă variabilă dependentă. Această tehnică este

echivalentul testului t independent. Se mai poate spune că testul t

independent este un tip special de ANOVA simplă în care sunt implicate doar

două grupe.

ANOVA simplă permite verificarea ipotezei potrivit căreia mediile a două

sau mai multe serii de date care reprezintă treptele (dependente ale)

aceleiași variabile independente sunt egale între ele. Această afirmaț ie

reprezintă ipoteza nulă a testului. În cadrul metodei ANOVA, ipoteza

alternativă este reprezentată de negarea ipo tezei nule. Gradul de

semnificație statistică al testul ui ANOVA (valoarea parametrului ) poate fi

fixat la pragul de 0,05 , sau de 0,01 . Această alegere se face la începutl testului

și se menține pe toată întinderea lui.

Procedeul matematic implicat în ANOVA simplă constă în analiza

dispersiei variabilei dependente. În aceasta analiză dispersia totală are două



38

componente: dispersia din interiorul fiecărui grup format ș i dispersia între

mediile grupelor și marea medie (media totală fară a ț ine seama de grupele

formate). De exemplu, pentru subiectul 1 X din grupa 1, abaterea față de

marea medie M este dată de două componente: abaterea lui 1 X față de

media 1 M a grupului din care face parte, (adică 1 1 X M ), respectiv abaterea

mediei grupului 1 față de marea medie (adică 1 M M ). Prima componentă,

care se datorează fluctuațiilor eșantionului ales pentru studiu, poartă numele

de dispersie intragrup , iar cea de a doua, care apare mai ales ca urmare a

influentei variabilei independente, se numeș te dispersie intergrup .

Observaț ii. În ANOVA simplă totalul dispersiei provine din două surse: una

intragrupală și alta intergrupală. Prima sursă reflectă abaterile datorate

selecției aleatoare a eșntionului, iar cea de a doua sursă reflectă abaterile

datorate treptelor diferite ale variabilei ind ependente. Dispersia datorată

eșantionării aleatoare se mai numește ș i dispersia erorii, în timp ce dispersia

datorată vari abilei independente se mai numește și dispersie adevarată.

În continuare vom prezenta mecanismul matematic de calculare al

indicatorului F (simbolul rezultatului obținut prin testul ANOVA). Pentru

aceasta presupunem că în legătură cu caracteristica x a unei anumite

populaț ii statistice sunt puse în evidență k grupe de interes ale căror

caracteristici vor fi desemnate respectiv prin 1 2, ,.., k x x x . Din prima grupă

selecționăm un eș antion de volum 1n : 1 11 11 12 1, ,..,n n E x x x , din cea de a

doua grupă un eș antion de volum 2n : 2 22 21 22 2, ,..,n n E x x x ,…, iar din

ultima grupă un eș antion de volum k n : 1 2, ,..,k k k n k k kn E x x x . Sistematizăm

rezultatele astfel obț inute în tabelul de mai jos:



39

Coloane 1c 2c k c

Replici

11 x 12 x 1k x

11n x 2 2n x

k n k x

Total pecoloane

1

11

n

r r

x 2

21

n

r r

x 1

k n

rk r

x

Media 1 x 2 x k x

Tabelul 1

Pentru calcuarea raportului F corespunzător metodei ANOVA simplă

folosim procedeul denumit algoritmul „ABC”. Potrivit acestuia, la pasul întâi,

se calculează valorea

1 22 2 2 2

1 21 1 1

k nn n

r r rk r r r

A x x x x

,

care reprezintă suma pătratelor rezultatelor cuprinse în cadrul eș antioanelor

prelevate din fiecare grupă în parte. La pasul doi, se calculează valoarea

1 2

2

2 1 21 1 1

1 2

k nn n

r r rk r r r

k

x x x x

B N n n n

,

care reprezintă raportul dintre pătratul sumei rezultatelor obținute în toate

eșantioanele, indiferent de grupa din c are acestea au fost prelevate, ș i

numarul total de unităț i statistice prelevate ( 1 2 k N n n n ). În fie, la

pasul trei, se calculează valoarea



40

1 222 2

1 211 1

1 2

,

k nn n

rk r r r r r

k

x x x

C n n n

reprezentând suma a k rapoarte, c âte unul pentru fiecare grupă, obținute

prin împărțirea pătratulu i sumei caracteristicilor unităț ilor prelevate dintr-o

anumită grupă la numărul total de unități prelevate din această grupă.

Datele astfel obținute se trec într -un tabel ca cel de mai jos, denumit

tabel ANOVA:

Sursa df SS MS F Factorul(intergroup) k - 1 C - B (C - B) / (k - 1) MS(factor) / MS(eroare )

Eroarea(intragrup) N - k A - C (A - C) / (N - k)

Total N - 1 A - B

Tabelul 2

Semnificația rubricilor acestui tabel este urmatoarea:

df – reprezintă numarul gradelor de libertate (în engleză “the degrees of

freedom”);

SS - reprezintă suma pătratelor (în engleză “the sum of squares”);

MS - reprezintă expresia ANOVA a dispersiei, sau, media patratică (în

engleză “the mean square”) ;

MSF

MS

factor

eroare- reprezintă raportul ANOVA.

Semnificația elementelor consemnate în tabelul 2 este urmatoarea :k - reprezintă numarul grupelor în care a fost departajat factorul studiat;



41

N - reprezintă numarul total de unităț i statistice (subiecți) implicate

(implicați) în experiment;

1k df factor ;

1 21 1 .. 1k N k n n n df eroare ;

1 N df total ;

2 2

1 1 1

1

c cn nk

rc rck r c r

c c

x x

C B SSn N

factor ;

unde 1 , 1,2, ..,

cn

rcr

c

c

x x c k

n ;

2

21 12 2

1 1 1 1

c

c c

nk

rcn nk k c r

rc rcc r c r

x

A B x x x SS N

total ,

unde1 1

cnk

rcc r

x

x N

;

1

SSC B MS

k df factor

factorfactor

;

SS A C MS

N k df eroare

eroareeroare

.

Observaț ii : 1) Între mărimile

SS factor ,

SS eroare ,

SS total și

df factor , df eroare , df total există relaț iile

SS SS SS total factor eroare ,



42

respectiv

df df df total factor eroare .

2) Dintre elementele tabelului 2, de interes major este valoarea raportului

F . Analizând cu atenție tabelul 1 și 2 observăm că indicatorul F este obținut

prin împărțirea raportului di ntre media pătratică intergrup și numărul

gradelor de libertate introdus prin considerarea acestor grupe la raportul

dintre media pătratică intragrup și numărul gradelor de libertate introdus

prin constituirea întregului eș antion.

În final, valoarea obținută a raportului F , care reprezintă de fapt val oarea

empirică a testului efectuat, va fi comparată cu valoarea teoretică a statisticii

F corespun zătoare unui nivel de semnificaț ie (care trebuie) ales la începutul

testului și gradelor de libertate ale problemei studiate. În acest scop va fi

folosit tabelul valorilor teoretice ale repartiț iei F .

Observaț ie. Tabelul valorilor teoretice ale repartiț iei F se utilizează puțin

diferit de tabelul valorilor teoretice ale repartiț iei t . Valoarea teoretică a

repartiț iei F se stabilește în funcție de nivelul de semnificaț ie statistică al

testului efectuat și de numărul gradelor de libertate al problemei studiate.

Pentru realizarea acestui obiectiv mai întâi alegem tabelul cores punzător

nivelului de semnificație dorit (acesta poate fi 0,05 , sau 0,01 ). Apoi, la

intersectia dintre coloana k – 1 (unde k – 1, reprezintă numărul gradelor de

libertate pentru intergrup) cu linia N – k (unde N – k , reprezintă numărul

gradelor de libertate pentru intragrup) c itim valoarea căutată a repartiț iei F .

În funcție de tabelul folosit (cel corespunzător pragului de semnificaț ie 0,05 ,

sau cel coresponzător grdului de semnificație 0,01 ) valoarea obținută se

notează fie prin F (k - 1 , N - k , 0,05) , fie prin F (k-1, N - k , 0,01) .



43

În final, valoarea empirică a statisticii F (cea calculată de către noi în

cadrul testului) se compară cu valoarea teoretică a repartiț iei F (adică cu F (k

- 1, N - k , 0,05) , sau cu F (k -1 , N - k , 0,01) , funcție de gradul de semnificaț ie

pentru care am optat la începutul testului). Dacă valoarea empirică a

statisticii F este strict mai mică decât valoarea sa teoretică , atunci se acceptă

ipoteza nulă. Dacă valoarea empirică a statisticii F este strict mai mare decât

valoarea sa teoretică , atunci se acceptă ipoteza alternativă. În amb ele cazuri

nivelul de semnificație statistică este cel stabilit la începutul testului (prin

fixarea parametrului la una dintre valorile 0.05 sau la 0,01 ).

Obs ervaț ii : 1) Regula decizională a testului prezentată mai sus are

următoarele explicaț ii: Mai întâi, fiecare element c r x al tabelului 1 poate fi

privit ca suma dintre media teoretică a repartiț iei F , dintre efectul cF pe

care factorul testat îl are la fiecare nivel c al său asupra răspunsului variabilei

testate ș i dintre eroarea r c a experimentului care apare în cadrul replicii r

din coloana c , adică r c c r c x F . Apoi trebuie ținut seama de faptul

că factor MS măsoară variaț ia dintre nivelele factorului studiat (sau altfel

zis, dintre coloanele tabelului 1), MS eroare măsoară variaț ia din

interiorul nivelelor în care a fost împărț it factorul studiat (sau altfel zis, din

coloanele tabelului 1). Astfel dacă factor eroare MS MS vom trage

concluzia că mediile diferitelor nivele (trepte) ale factorului studiat nu sunt

toate egale între ele. Acesta înseamnă că factorul testat are un efect

seminificativ asupra răspunsului variabilei (deci ipoteza nulă trebuie

respinsă). În caz contrar, dacă MS factor nu este mai mare (în mod



44

semnificativ) decât eroare MS , nu vom avea nici o evidență statistică (nici

un motiv) ca să respingem ipoteza nulă.

2) Respingerea ipotezei nule (at unici când este cazul) ne arată doar că

cele k grupe, considerate în cadrul testului, nu sunt egale în ce priveste media

rezultatelor variabilelor dependente. Prin urmare, într-o astfel de situație, noi

nu vom ști cum diferă între ele cele k grupe: spre exemplu, dacă numai două

dintre grupele considerate diferă între ele, dacă există mai mult de două

grupe care diferă între ele, sau dacă toate grupele diferă semnificativ una de

cealaltă. Pentru a depaș i acest impas, prima solutie ar fi realizarea de teste

t între grupele i și j pentru orice i j . În această situatie reapare problema

enunțată la începutul acestui capitol cu privire la gradul de precizie obț inut

atunci când testul t se repetă de mai multe ori. Din acest mativ, pentru

rezolvarea acestui nou tip de probleme, es te necesar să se utilizeze soluț ii

noi. Acestea se împart în două categorii, una care poartă numele de

„comparație post hoc” deoarece se aplică după gasirea u nui raport F

semnificativ și alta care poartă numele „comparaț ie planificată”, deoarece

permite testarea difere nțelor dintre grupele de subiecț i, înainte de

efectuarea experimentului.

3) În aplicarea testului ANOVA simplă numarul de unităț i din grupe poate

să nu fie egal (czul prezentat de noi mai devreme) numai cu condiția

respectarii unei dispersii omogene în aceste grupe.

4) Respingerea ipotezei nule (atunici când acest fenomen are loc) arată că

între mediile grupelor există o diferență semnificativă, acest lucru exprimând în cazul dat o asociere între variabila independenta (factorul studiat) si

variabilele dependente (de grup). O masură a gradului de asociere dintre



45

variabila independenta şi cele dependente, în cazul ANOVA, este dată de

factorul de omogenitate al dispersiei, definit prin expresia

2

SS

SS df MS

MS

factor factor eroare

total eroare,

datorată lui Hays (1981), al cărui rol este acela de a indica proporția din

dispersia variabilelor dependente care poate fi pusă pe seama variaț iei

variabilei independente.



46

C a p i t o l u l 3

METODE STATISTICE DE FUNDAMENTARE A DECIZIILOR

În aceast capitol vom oferi soluții la o categorie largă de probleme curente ale

managementului școlar cum ar fi analiza influenței schimbărilor de ordin

tehnologic sau structural asu pra evoluției procesului instructiv-educativ,

optimizarea proceselor decizionale, sau verificarea ipotezelor luate în calcul la

stabilirea strategiilor de dezvoltare a învățămului pe termen lung. Deexemplu, care sunt consecințele schimbării programei școlare la o anumită

disciplină, ce influență poate avea înlocuirea unui manual alternativ cu un

altul asupra calității procesului de învățământ, cum putem stabili dacă o

anumită investiție de ordin logistic este oportună sau nu, etc . În mod fericit,

din punctul de vedere al teoreticianului problemele de acest gen au o

strategie de rezolvare comună. Metoda de analiză empirică constând în

compararea rezultatelor obținute înaine și după producerea schimbăriloravute în vedere. În mod nefericit, însă, de foarte mu lte ori concluziile

desprinse din acest tip de investigare s-au dovedit a fi eronate. O modalitate

foarte eficientă de a ieși din această dificultate este oferită de utilizarea

aparatului statistic modern care dispune de un număr mare de metode

științifice de fundamentare a deciziilor de conducere precum și de

instrumentele necesare de analizare a erorilor care se pot produce în actul

decizional.



47

Stabilirea tendinței de evoluț ie a procesului instructiv-educativ

Un profesor care a monitorizat activitatea elev ilor săi pe o perioadă foarte

î ndelungată de timp ajunge la concluzia că nivelul mediu al școlii la care

lucrează – la materia pe care o predă – este de 7. Acest rezultat fiind

obținut cu o împrăștiere a notelor individuale de 2 față de media

stabilită. În prezent el crede că elevii cu care lucrează sunt mai buni decât

precedenții. Pentru a verifica acest lucru, profesorul testează un număr de 36

de elevi aleși la întâmplare din clasele la care predă și constată că nivelul

mediu al acestora este de 7,50 . Întrebarea care se ridică cu această ocazie,

este dacă rezultatul obținut prezintă suficiente garanții de susținere a

impresiei formate de către profesor?

Pentru a rezolva această problemă avem nevoie de o evaluare a mediei

teoretice a distribuției care caracterizează nivelul la învățătură din ș coala

vizată în problemă. Ca să fixăm ideile, notăm cu media teoretică care ne

interesează, iar în legătură cu această medie , formulăm următoarele ipoteze:

H 0: 7 (actualele clase nu sunt superioare celor de dinainte),

H a: 7 (actualele clase sunt într-adevar superioare celor de dinainte).

Pentru a decide care dintre aceste două ipoteze are mai multe șanse de a

reflecta situația reală a școlii, stabilim un nivel al semnificației statistice de

5% . Având î n vedere faptul că volumul eșantionului cu care se lucrează,

36n , (numărul elevilor selecționați pentru evaluare ) este mai mare decât

30, se poate alege ca modalitate de verificare a ipotezei nule, testul

/

x z

n

,



48

unde 7,5, x 2 și 36n . Pornind de la ideea că 7 , (ipoteza nulă a

testului pe care îl întreprindem) valoarea calculată a statisticii z este* 1,50. z

Folosind acum tabelul valorilor repartiției normale 0,1 N , aflam

valoarea critică 0,05 z a variabilei z corespunzătoare pragului de

semnificație de 5% fixat la început. Această valoare semnifică faptul că

0, 05 0, 05P z z .

În cazul nostru avem 0,05 1,65 z . Deoarece * 1,50 z 0,05 z

1,65 va trebui să acceptăm ipoteza H 0 cu un nivel de semnificație egal cu

5% . Astfel, datele problemei (de fapt acurateațea cu care se exprimă nivelul

la învațătură, adică valoarea 2 , pe care o are abaterea medie pătratică )

nu ne pe rmit să admitem faptul că actualele clase sunt superioare celorlalte.

Observații: Dacă în loc de 2 , considerăm 1,8 , (celelalte date ale

problemei rămânând nemodificate) atunci * 1,76 z și în consecință am avea

toate motivele (adică o garanție statistică de 95% ) să acceptăm faptul că

actualele clase sunt mai bune la învațătură decât celelalte.

Alegerea programei de studiu

La nivel central se pune problema înlocuirii programei școlare cu una nouă

despre care se crede că este mai bine adaptată cerințelor sociale și

tendințelor de dezvoltare dintr -o anumită perioadă de timp. În acest sens

ministerul lansează un studiu de impact. Rezultatele obținute sunt

cotabilizare în tabelul alaturat.



49

Eșantionul N x s A 50 9,75 0,62

B 60 9,44 1,06Tabelul 3

Din eșantionul A fac parte școli care au învățat după programa aflată în

vigoare, iar din eșantionul B, școli care au învățat după programa care ar

urma să fie adoptată .

Pentru a decide care dintre cele două programe școlare sunt mai eficiente

vom nota prin A media teoretică a rezultatelor la învățătură obținute atunci

când se învață după programa actuală și cu B media teoretică a rezultatelorobținute la învățătură obținute dacă s -ar folosi programa nouă. În legătură cu

aceste medii facem următoarele ipoteze:

H 0: 0 A B ;

H a: 0 A B .

Pentru verificarea ipotezei nule alegem pragul de semnificație 0,02 .

Folosind statistica

2 2

A B A B

A B

A B

x x z

s sn n

,

și datele din tabelul 3, obținem * 1,91 z . Folosind apoi tabelul valorilor

repartiției normale standard, găsim 0,02 2,05 z . Deoarece punctul * z se

găsește în afara zonei critice * 0,02 z z acceptăm ipoteza nulă cu o

semnificație statistică de 0,02 . Aceasta inseamnă că în limita unei semnificații



50

statistice de 0,02 nu avem suficiente motive să conchidem că A B . Deci

nu se impune o schimbare a programei scolare.

Alegerea manualului potrivit

Pentru a alege dintre două manuale alternative de matematică, directorul

unei școli a decis ca o parte din calasele cărora li se adresau aceste manuale

să învețe după unul dintre acestea iar restul după celălalt. La sfârșitul ciclului

de învățământ a comparat performanțele la învățătură obținute de către 40

de elevi aleși la întâmplare din clasele la care se predase după primul manual

cu rezultatele obținute de către 40 de elevi aleși la întâmplare din clasele la

care predarea fusese f ăcută după cel de al doilea manual. Datele de porn ire

ale studiului sunt prezentate în tabelul 4.

Eșantionul N x s I 40 7,03 0,6II 40 7,21 0,6

Tabelul 4

Pentru a analiza datele din acest tabel, notăm cu I , respectiv, cu II mediile teoretice ale celor două categorii de populații: elevii care au învățat

după primul manual și elevii care au învățat după cel de al doilea manual. În

legătură cu aceste medii facem următoarele ipoteze:

H 0: I II ;

H a: I II .

Alegând un anumit nivel de semnificație, să zicem 0,05 , putem verifica

ipoteza nulă folosind statistica





52

natură a demonstra că școala în cauză a depășit pragul de împrăștiere s tabilit

(pragul de uniformitate al nivelului de pregătire)? Vom studia acestă

problemă pentru un nivel de semnificație statistică egal cu 0,05 . În acest sens

stabilim ipoteza nulă

H 0: 2 1 (în limitele marjei de control)

și ipoteza alternativă

H a:2 1 (în afara marjei de control).

Pentru verificarea ipotezei nule folosim testul

22

2

1n s

,

unde 2 228, 2,5, 1n s . Valoarea calculată a statisticii este 2* 67,5 .

Pentru a stabili regiunea critică ne folosim de tabelul distribuției 2 .

Astfel, corespunzător unui număr de 27 grade de libertate și unui prag de

semnificație egal cu 0,05 , limita inferioară a regiunii critice este 2 27, 0,05 40,1 . Cum 2* 2 27, 0,05 , va trebui să respingem

ipoteza nulă și să acceptăm ipoteza alternativă. În concluzie, școala controlată

nu se încadrează î n marja de gar antare a rezultatelor cerută de inspectorat.

Organizarea timpului liber (Analiza factorilor care pot influența luarea

deciziilor)

Înspectoratul Şcolar al unui anumit județ este preocupat de organizareatimpului liber al elevilor. În acest sens el vrea să știe dacă opțiunile de

petrecere a timpului liber depind de contingentele de vârstă ale elevilor.



53

Pentru a se edifica în această privință, solicită elevilor din rețeaua școlară pe

care o coordonează să completeze un chestionar. Rezultatul centralizării a

600 astfel de chestionare este prezentat în tabelul alaturat

Ciclul destudiu

Nr. elevicare preferă activitățileculturale

Nr. elevicare preferă excursiile

Nr. elevicare preferă activitățilesportive

Total

Gimnazial 88 82 74 244Liceal 142 144 70 356Total 230 226 144 600

Tabelul 5 În legătură cu datele cuprinse în acest tabel se pot formula următoarele

ipoteze:

H 0: preferința elevilor pentru sport, excursii sau activități culturale este

independentă de categoria de vârstă în care aceştia se încadrează;

H a: alegerea modului de petrecere a timpului liber depinde de

contingentul de vârstă al respondentului.

Pentru a stabili dacă datele cuprinse în tabelul 5 oferă suficiente

argumente de respingere a ipotezei nule cu un nivel de semnificație de 0,05,

vom folosi testul

2

2 S T

T ,

unde S reprezintă frecvenț ele de sondaj (sau frecvențele observabil e empiric)

consemnate în tabel, T reprezintă frecvențele teoretice (sau frecvențele



54

planificate / așteptate) ale tabelului, suma rapoartelor 2S T

T extinzându-

se la toate celulele tabelului.

Observație: Testul la care ne referim are 1 1l c grade de libertate,

unde l reprezintă numărul de linii, iar c numarul de coloane ale tabelului

folosit.

Pentru a calcula statistica 2 trebuiesc determinate frecvențele teoretice

T corespunzătoare fiecărei celule a tabelului 5. În acest sens ne vom folosi de

ipoteza nulă potrivit căreia factorii care intervin în problemă sunt

independenți. Aceasta înseamnă că frecvențele teoretice corespunzătoare

celulelor tabelului 5 trebuie să fie proporționale cu totalele marginale ale

rândurilor și coloanelor pe care se află acele celule. Modul de calcul al acestor

frecvențe este prezentat în tabelul 6.

Ciclul destudiu

Nr. mediual elevilor

care prefer ă activitățileculturale

Nr. mediual elevilorcare prefer ă excursiile

Nr. mediual elevilor

care prefer ă activitățilesportive

Total

Gimnazial

230244

600244

23060093,54

226244

600244

22660091,90

144244

600244

14460058,56

244

Liceal

230356

600

356 230600136, 46

226356

600

356 226600134,10

144356

600

356 14460085,44

356

Total 230 226 144 600





56

Nr. deordine al

angajatului

Productiv. orarămedie obținutăcu ajut. soft. vechi(min/lucrare)

Productiv. orarămedie obținutăcu ajut. soft. nou(min/lucrare)

Diferență (în min.) dintre cele două

productivități 1 3 2 12 3 4 -13 4 3 14 2 3 -15 1 2 -1

Tabelul 7

După cum se poate observa, diferențele dintre cele două productivități sunt

mici și aproape se compenseaz ă între ele (suma lor este egală cu -1). În

această situație se pune în mod firesc întrebarea dacă noul software este într -

adevăr mai eficient?

Pentru a răspunde la această întrebare precizăm faptul că populația

statistică la care vom face referire este alcătuită din mulțimea tuturor

utilizatorilor posibili ai celor două aplicații software, iar caracteristica x a

acestei populații este diferența dintre productivitățile pe care un utilizator

generic le poate atinge a tunci când lucrează alternativ cu cele două aplicații

software. Notând cu media teoretică a caracteristicii x , vom considera ca

ipoteză nulă faptul că cele două aplicații software nu se deosebesc

semnificativ din punctul de vedere al randamentului de lucru pe care îl oferă,

adică vom presupune că 0 . Pentru verificarea acestei ipoteze vom apela

la testul

/

xt

s n

,

cu 1n grade de libertate, deoarece în cazul pe care îl studiem eș antionul

utilizat este de volum mic 5n . Folosind datele din tabel obținem





58

implicat, dar mai exigent. Pentru a ieși din această dilemă directorul în cauză

a analizat situația școlară a 15 elevi aleși la întâmplare dintre elevii clasei (sau

claselor) la care s-a produs incidentul. Rezultatele constatate au fost

centralizate în următorul tabel

Nr crt. Apreciereaprof. titular

Apreciereaprof. suplinitor

1 9,12 9,142 9,10 9,183 9,15 9,204 9,18 9,165 9,10 9,14

6 9,16 9,117 9,16 9,178 9,10 9,179 9,11 9,15

10 9,12 9,2111 9,18 9,1512 9,17 9,1813 9,14 9,2014 9,10 9,1615 9,16 9,19

Tabelul 8Indicatorii de sondaj care rezultă din tabel pentru cele două categorii de

note sunt:2 2

1 1 2 29,1367, 0,09523, 9,1705, 0,08515. x s x s

Folosind formula2 2

1 20

14 14 0,09523 0.085150,30031

28 2s s

s , găsim

abaterea medie pătratică de sondaj pentru ambele categorii (eșantioane) de

note.

A verifica dacă cele două sisteme de notare sunt semnificativ

asemaănătoare înseamnă a verifica ipoteza 0 : T S H , unde T , respectv,



59

S sunt mediile teoretice ale notelor acordate de către p rofesorul titular,

respectiv suplinitor. În acest scop vom apela la testul

0

1 2

1 1

T S T S x xt

sn n

,

cu 1 21 1n n grade de libertate. În cazul nostru 1 2 15n n , iar valoarea

calculată a statisticii este * 9,1367 9,1705 0,03380,30825

0,30031 0,10965t .

Pentru validarea ipotezei nule alegem ca prag de semnificație valoarea0,01 . Cu acestă ultimă precizare, valoarea critică a variabilei Student este

28, 0,01 2,763t . Întrucât * 0,30825 2,763 28, 0,01t t , admitem

ipoteza nulă, adică faptul că cele două medii teoretice T și S diferă

nesemnificativ (în raport cu pragul prestabilit de 0,01 ) și conchidem că cei doi

profesori au un mod apropriat de apreciere. Astfel în cazul studiat, procesul

de învățământ nu a avut de suferit prin schimbul de profesori care s -a produs.

Stabilirea programului orar optim de studiu

Într-o tabără de pregătire, coordonatorul unui lot olimpic este preocupat să

optimizeze randamentul procesului de învățare al elevilor săi. Pentru aceasta

el își propune ca pe parcursul primelor 3 zile de pregătire să monitorizeze

performanțele lotului în funcție de intervalul orar în care se desfășoară

programul de instruire: î n timpul dimineții, după prânz, sau dupăamiaza.

Rezultatele obținute, care reflectă nivelul atins de olimpici la sfârșitulprogramului de instruire în fiecare din cele trei zile, sunt prezentate în tabelul

9.



60

Programulde studiu Dimineața După prânz După-amiază

Evaluareper elev

109

1089

99888

109998

Media 1 9,2 x 2 8,4 x 3 9 x

Tabelul 9

Analizand datele din tabel observăm o ușoară diferență între mediile

rezultatelor obținute pe parcursul celor trei zile de studiu. Deoarece

randamentul (performanțele atinse) unui elev se poate modifica de la o zi laalta chiar și atunci când intervalul orar de pregătire rămâne neschimbat, se

ridică întrebarea dacă variațiile notelor din tabel se datorează întâmplării ori

ele sunt influențate în mod real de perioadele de timp în care s -a desfășurat

programul de pregătire?

Pentru a modela statistic această problemă notăm cu 1 2 3, , x x x

caracteristicile populației alcătuite din cei 5 membrii ai lotului olimpic în

condițiile în care programul de pregătire se desfășoară în cursul dimineții,după prânz, sau după -amiaza. De asemenea, prin 1 2 3, , vom nota

mediile teoretice ale caracteristicilor 1 2 3, , x x x . Cu aceste pregătiri, în legătură

cu problema studiată , formulăm ipotezele

0 1 2 3: H ,

1 2 3: , ,a H nu toate mediile sunt egale între ele.

Ipoteza nulă exprimă faptul că intervalul orar de studiu nu afectează în

mod semnificativ randamentul elevilor în timp ce ipoteza alternativă afirmă

contrariul. Astfel în situația în care cel puțin două dintre mediile teoretice ale

rezultatelor la învățătură vor diferi în mod semnificativ ipoteza nulă va fi



61

înlocuită cu ipoteza alternativă. O decizie în acest sens poate fi luată prin

folosirea tehnicii ANOVA de analizare a varianței. Pentru aplicarea acestei

metode stabilim pragul de semnificație la 0,05 .

Cu aceste precizări făcute, trecem la calculul elementelor corespun-

zătoare tabelului ANOVA:

SS(total ) =

23 5

3 51 12

1 1 5

iji j

iji j

x

x

17689

1187 -15

7,733 ,

SS(factor )

2 2

3 5 3 5

1 1 1 1

5 15

ij iji j i j

x x

2 2 246 42 455

176891,733

15 ,

SS(eroare ) =

23 5

3 51 12

1 1 5

iji j

iji j

x

x

1187 1181 6 ,

df (factor) = 1c = 3-1 = 2 , df (total ) = n – 1 = 15 – 1 = 14 ,df (eroare ) = n – c = 15 – 3 = 12 ,

MS(factor) =

SS

df

factor

factor

1,7330,8665

2 ,

MS(eroare ) =

SS

df

eroare

eroare

60,5

12 .

Cu datele obținute , tabelul ANOVA,corespunzător problemei noastre ,

devine





63

fiecare an de studiu în parte. De asemenea, pentru a diminua influența

factorului aleator din analiză în favoarea întăririi rolului jucat de factorul

„interval orar” se poate alege de la început o clasă sau un grup de clase care

urmează să participe la programul de testare, iar acea clasă, sau acele clase,

să treacă periodic prin toate schimburile după care este organizată

funcționarea programului în școala respectivă și la final să fie analizate datele

obținute pentru fiecare astfel de clasă în parte.

În egală măsură tehnica ANOVA poate fi folosită pentru a testa eficiența

diferitelor tipuri de predare- învățare: clasic sau modern, bazat pe memorare

sau bazat pe înț elegere, pasiv sau activ, scolastic sau euristic, etc. De

asemenea tehnica ANOVA poate fi folosită de conducătorii unităților școlare

pentru a testa utilitatea folosirii tehnologiilor audio-video, sau a

laboratoarelor de specialitate în cadrul proceselor instructiv educative,

rezultatele unor astfel de analize putând fi folosite nu numai în scopul

optimizării ranamentului școlar ci și în acela de optimizare al modului de

chieltuire a resurselor bugetare destinate investițiilor în aparatură didactică.

Concluzii

Conținutul acestui capitol demonstrează pe deplin importanța utilizării

aparatului statistic în actul decizional. Numeroasele studii de caz prezentate

în cadrul acestui capitol având menirea să exemplifice posibilitățile de

utilizare ale acestui aparat la modul concret. Interesul acordat de noi în

acestă privință fiind acela de a acoperi o plajă c ât mai largă a problemelor cu

care se confruntă sistemul școlar în ansamblul său. Un interes deosebit în

aceast sens fiind aco rdat problemelor legate de ridicarea continuă a calității

procesului educațional și de mărire a gradului de competitivitate școlară.



64

Subiectele dezbătute în acest capitol prezintă o importanță deosebită

pentru managerii instituțiilor de învățământ deoarece îi ajută să facă trecerea

de la actul decizional empirico-intuitiv la cel bazat pe rigoare științifică.

Pentru a susți ne această idee să ne amintim că statistica este știința care

permite evaluarea matematică a riscurilor, știința care a clasificat tipurile de

eroare c e pot perturba actul managerial și mai mult dec ât atât , știința care

permite anticiparea producerii acestor erori într-o marje de probabilitate ce

poate fi stabilită a prioric.



BIBLIOGRAFIE

[1] P. Ardilly, “Les techniques desondage, Editions Technip, Paris, 1994.

[2] R. B. Ash, “Basic probabilityTheory”, Wiley New York, 1970.

[3] L. Bachelier, “Calcul des probabi-lités”, Gauthier Villars, Paris, 1912.

[4] H. M. Blalock, “Social Statistics”, Mc Graw Hill, 1972.

[5] Gh., Boldur-Lățescu, “Logica decizio-nală şi conducerea sistemelor” , EdituraAcademiei Române, Bucureşti, 1992.

[6+ G., Box, G. Jenkins, “Time SeriesAnalysis, Forecasting and Control,Holden-Day, San Francisco,1970.

[7+ G. Calot, “Cours de statistiquedescriptive, Dunod, Paris, 1965.

[8] W., Cochran, “Sampling Technique”,3rd edition, Wiley, New York, 1977.

*9+ M. Craiu, “Modele matematice înteoria riscului”, Editura Printeh, 2008.

[10] W., Fuller, Introduction toStatistical Time Series, Wiley, NewYork, 1976.

[11+ Ch., Gourieroux, “Theorie dessondages”, Economica, Paris, 1981.

[12] M. Iosifescu, Gh. Mihoc, “Teoriaprobabilităților şi statistică matemati -că”, Ed.Tehnică, Bucureşti, 1966.

[14+ A. N. Kolmogorov, “Teoria pro-babilităților”, vol. II, Ed. Ştiințifică,Bucureşti, 1960.

[15+ Gh. Mihoc, N. Micu, “Elemente deteoria probabilităților şi statistică”, Ed.Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,1975.

[16] Gh. Mihoc, V. Urseanu, “Sondaje șiestimații statistice. Teorie și aplicații”,Editura Tehnică, București, 1977.

[17] J. Neveu, “Bases mathématiquesde calcul des probabilités”, Masson etCie, Paris, 1964.

[18] V. V. Popescu, “Managementulinstructiv educativ”, Ed. ScrisulRomânesc, Craiova, 1992.

[19] M. Şandru, “Teoria măsurii.Aplicații în geometrie”, Editura Tehnică,București, 1998.

[20+ O. I. Şandru, B.B. Ionescu, “Lecțiide calculul probabilitatilor şi statisticămatematică”, Ed. Didactică și Pedago-gică, București, 1998.

[21] C. Târcolea, A. Filipoiu, S. Bontaş,“Tehnici actuale în teoria fiabilității”,Ed. Ştiințifică şi Enciclopedică,Bucureşti, 1989.

[22] T. Zorlențan şi colab., “Manage-mentul organizației”, Editura Economi-

că, Bucureşti, 1998.

Documents

Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru