-
Cuprins
Metode numerice pentru ecuatii si sisteme de ecuatii
diferentiale (cuprinde seminariile 11, 12, 13)
METODA LUI EULER
1.Rezolvarea problemelor lui Cauchy pentru o ecuatie
diferentiala de ordinul I
2.Problema lui Euler pentru un sistem de ecuatii diferentiale de
ordinul I
3.Rezolvarea ecuatiilor diferentiale de ordin superior
METODA LUI EULER IMBUNATATITA este o metoda de tip predictor
corrector
4.Rezolvarea problemelor lui Cauchy pentru o ecuatie
diferentiala de ordinul I
5.Problema lui Euler pentru un sistem de ecuatii diferentiale de
ordinul I
6.Rezolvarea ecuatiilor diferentiale de ordin superior
METODA LUI RUNGE SI KUTTA
1.Rezolvarea problemelor lui Cauchy pentru o ecuatie
diferentiala de ordinul I
2.Sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I
-
Metode numerice pentru ecuatii si sisteme de ecuatii
diferentiale
METODA LUI EULER
1. Rezolvarea problemelor lui Cauchy pentru o ecuatie
diferentiala de ordinul I
Consideram P.C. = (, )(0) = 0 cu 0, 0 date, iar 1 = 0 + , 2 = 1
+ , cu pasul dat.Notatii folosite: (0), (1), valorile numerice ale
solutiei( () ) 0, 1, 2 valorile numerice ale solutiei
Se va determina 1, 2 folosind urmatoarea formula de recurenta:1
= + (, )Exemplu:
Se da P.C. = + 3 + () = 3 cu solutia () = 3x 5Determinam
valorile aproximative 1, 2 ale solutiei cu pasul = ,.
Solutie:(, )= + 3 + 0 = , 0 = 3 doar daca avem solutia exacta
y(x)A B C D E
1 h 0.12 i xi yi y(xi) yi - y(xi)3 0 0 -3 +2*@EXP(B3)-3*B3-5
@ABS(C3-D3)4 +A3+1 +B3+$B$1 +C3+$B$1*(C3+3*B3+2) Copiem blocul
D3..E35 Copiem blocul A4..E4
Obs. Daca nu avem solutie exacta, din tabel sunt eliminate
coloanele ce contin solutia exacta (in cazul nostru, coloanele D si
E).
-
Problema propusa:
Se da P.C. = + 3() = cu solutia () = 5 3Determinam valorile
aproximative 1, 2 ale solutiei cu pasul = ,.
Solutie:(, )= + 30 = , 0 = doar daca avem solutia exacta
y(x)
-
2. Problema lui Euler pentru un sistem de ecuatii diferentiale
de ordinul I
Consideram sistemul = (, , ) = (, , ) cu (0) = 0(0) = 0 cu 0, 0,
0 date, iar 1 = 0 + , 2 = 1 + , cu pasul dat.Notatii folosite: (0),
(1), (0), (1), valorile numerice ale solutiei
0, 1, 0, 1, valorile numerice ale solutieiSe va determina 1, 2 ;
1, 2, folosind urmatoarele formule de recurenta:1 = + (, , )1 = +
(, , )Exemplu:
Se da sistemul = + 4 = + cu solutia () = () = Determinam
valorile aproximative y1, y2 si z1, z2 cu pasul = ,.
Solutie:
Identificam f, g, 0, 0, 0 doar daca avem solutii exacte. Solutia
exacta este () = +
() = 12 + 12 (, , ) = + 4(, , ) = + , 0 = , 0 = , 0 =
A B C D E F G H1 h 0.012 i xi yi zi y(xi) z (xi) yi - y(xi) zi -
z(xi)3 0 0 0 1 -@EXP(-B3)+@EXP(3*B3) +1/2*@EXP(-B3)+
1/2*@EXP(3*B3)@ABS(C3-E3) @ABS(D3-F3)
4 +A3+1 +B3+$B$1 +C3+$B$1*(C3+4*D3)
+D3+$B$1*(C3+D3)
Copiem blocul E3..H3
5 Copiem blocul A4..H4Obs. Daca nu avem solutie exacta, din
tabel sunt eliminate coloanele ce contin solutia exacta (adica
coloanele E, F, G si H).
-
3. Rezolvarea ecuatiilor diferentiale de ordin superior- orice
ecuatie diferentiala de ordin superior se reduce la un sistem de
ecuatii diferentiale de ordinul I
Consideram ecuatia diferentiala de ordinul II: = (, , ) (0) = 0,
(0) = 0unde 0, 0, 0 sunt constante date.Se rezolva ecuatiile prin
reducerea la un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I.
Notam = = (, , ) cu conditiile (0) = 0(0) = 0 .cu 0, 0, 0 date,
iar 1 = 0 + , 2 = 1 + , cu pasul dat. () ()Consideram = (, , ) = (,
, ) cu (0) = 0, (0) = 0.Se va determina 1, 2 ; 1, 2, folosind
urmatoarele formule de recurenta:1 = + (, , )1 = + (, ,
)Exemplu:
Se da ecuatia diferentiala = + 3 () = , () = cu solutia exacta
() = 1 + Determinam valorile aproximative y1, y2 cu pasul = ,.
Solutie:Identificam f, g, 0, 0, 0 = = + 3adica (, , ) = (, , ) =
+ 3 , 0 = , 0 = , 0 =
-
() =1 + () = 1 9
A B C D E F G H1 h 0.012 i xi yi zi y(xi) z (xi) yi - y(xi) zi -
z(xi)3 0 0 1 -2 +1/4*@EXP(B3)+
3/4*@EXP(-3*B3)+1/4*@EXP(B3)-9/4*@EXP(-3*B3)
@ABS(C3-E3) @ABS(D3-F3)
4 +A3+1 +B3+$B$1 +C3+$B$1*D3 +D3+$B$1*(-2*D3+3*C3)
Copiem blocul E3..H3
5 Copiem blocul A4..H4Obs. Daca nu avem solutie exacta, din
tabel sunt eliminate coloanele ce contin solutia exacta (adica
coloanele E, F, G si H).
Problema propusa:
Se da ecuatia diferentiala = 5 4 () = , () = 3 cu solutia exacta
() = 1 + Determinam valorile aproximative y1, y2 cu pasul = ,.
Solutie:Identificam f, g, 0, 0, 0 = = 5 4 adica (, , ) = (, , )
= 5 4 , 0 = , 0 = , 0 = 3
Neavand solutie exacta tabelul va fi de forma:A B C D
1 h 0.012 i xi yi zi3 0 0 0 34 +A3+1 +B3+$B$1 +C3+$B$1*D3
+D3+$B$1*(5*D3-4*C3)5 Copiem blocul A4..D4
-
METODA LUI EULER IMBUNATATITA este o metoda de tip predictor
corrector
4. Rezolvarea problemelor lui Cauchy pentru o ecuatie
diferentiala de ordinul I
Consideram P.C. = (, )(0) = 0 cu 0, 0 date, iar 1 = 0 + , 2 = 1
+ , cu pasul dat.Notatii folosite: (0), (1), valorile numerice ale
solutiei( () ) 0, 1, 2 valorile numerice ale solutiei
Se va determina 1, 2 folosind urmatoarele formule de recurenta:1
= + (, ) 1 = + [(, ) + (1, 1)]
Notam predictia lui (adica pe ) cu .Exemplu:
Se da P.C. = + 3 + () = 3 cu solutia () = 3x 5Determinam
valorile aproximative y1, y2 ale solutiei cu pasul = ,.
Solutie:(, )= + 3 + 0 = , 0 = 3 doar daca avem solutia exacta
y(x)A B C D E F G H
1 h 0.012 i xi Pyi f(xi,Pyi) f(xi,yi) y (xi) yi - y(xi) yi3 0 0
^- ^- +H3+3*B3+2 +2*@EXP(B3)-3*B3-5 @ABS(H3-F3) -34 +A3+1 +B3+$B$1
+H3+$B$1*E3 +C4+3*B4+2 Copiem blocul E3..G3 +H3+$B$1/2*(E3+D4)5
Copiem blocul A4..H4
Obs. Daca nu avem solutie exacta, din tabel sunt eliminate
coloanele ce contin solutia exacta (adica coloanele F si G).
-
5. Problema lui Euler pentru un sistem de ecuatii diferentiale
de ordinul I
Consideram sistemul = (, , ) = (, , ) cu (0) = 0(0) = 0 cu 0, 0,
0 date, iar 1 = 0 + , 2 = 1 + , cu pasul dat.Notatii folosite: (0),
(1), (0), (1), valorile numerice ale solutiei
0, 1, 0, 1, valorile numerice ale solutieiSe va determina 1, 2 ;
1, 2, folosind urmatoarele formule de recurenta:
1 = + (, , )1 = + (, , )
1 = + [(, , ) + (1, 1, 1)]
1 = + [(, , ) + (1, 1, 1)]
Notam predictia lui , respectiv predictia lui (adica pe ,
respectiv ) cu , respectiv cu .
Exemplu:
Se da sistemul = + 4 = + cu solutia () = () = Determinam
valorile aproximative ale lui y si z cu pasul = ,.
Solutie:Identificam f, g, 0, 0, 0 doar daca avem solutii
exacte.Solutia exacta este () = + () = 12 + 12 (, , ) = + 4(, , ) =
+ , 0 = , 0 = , 0 =
-
A B C D E F G H I J K L M N1 h 0.012 i xi Pyi Pzi f(xi,Pyi,Pzi)
g(xi,Pyi,Pzi) f(xi,yi,zi) g(xi,yi,zi) y(xi) z(xi) yi - y(xi) zi -
z(xi) yi zi
3 0 0 ^- ^- ^- ^- +M3+4*N3 +M3+N3 -@EXP(-B3)+@EXP(3*B3)
+1/2*@EXP(-B3)+1/2*@EXP(3*B3)
@ABS(M3-I3) @ABS(N3-J3) 0 1
4 +A3+1
+B3+$B$1
+M3+$B$1*G3
+N3+$B$1*H3
+C4+4*D4 +C4+D4
Copiem blocul G3..L3 +M3+$B$1/2*(G3+E4)
+N3+$B$1/2*(H3+F4)
5 Copiem blocul A4..N4
Obs. Daca nu avem solutie exacta, din tabel sunt eliminate
coloanele ce contin solutia exacta (in cazul nostru este vorba de
coloanele I, J, K si L).
-
6. Rezolvarea ecuatiilor diferentiale de ordin superior
- orice ecuatie diferentiala de ordin superior se reduce la un
sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I
Consideram ecuatia diferentiala de ordinul II: = (, , ) (0) = 0,
(0) = 0unde 0, 0, 0 sunt constante date.Se rezolva ecuatiile prin
reducerea la un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I.
Notam = = (, , ) cu conditiile (0) = 0(0) = 0 .cu 0, 0, 0 date,
iar 1 = 0 + , 2 = 1 + , cu pasul dat. () ()Consideram = (, , ) = (,
, ) cu (0) = 0, (0) = 0.Se va determina 1, 2 ; 1, 2, folosind
urmatoarele formule de recurenta:
1 = + (, , )1 = + (, , )
1 = + [(, , ) + (1, 1, 1)]
1 = + [(, , ) + (1, 1, 1)]
Notam predictia lui , respectiv predictia lui (adica pe ,
respectiv ) cu , respectiv cu .Exemplu:
Se da ecuatia diferentiala = + 3 () = , () = cu solutia exacta
() = 1 + Determinam valorile aproximative y1, y2 cu pasul = ,.
-
Solutie:Identificam f, g, 0, 0, 0 = = + 3adica (, , ) = (, , ) =
+ 3 , 0 = , 0 = , 0 =
() =1 + () = 1 9
A B C D E F G H I J1 h 0.012 i xi Pyi Pzi yi zi y(xi) z(xi) yi -
y(xi) zi - z(xi)
3 0 0 ^- ^- 1 -2 +1/4*@EXP(B3)+3/4*@EXP(-3*B3)
+1/4*@EXP(B3)-9/4*@EXP(-3*B3)
@ABS(E3-G3) @ABS(F3-H3)
4 +A3+1 +B3+$B$1
+E3+$B$1*F3 +F3+$B$1*(-2*F3+3*E3)
+E3+$B$1/2*(F3+D4)
+F3+$B$1/2*(-2*F3+3*E3-2*D4+3*C4)
Copiem blocul G3..J3
5 Copiem blocul A4..J4
Obs. Daca nu avem solutie exacta, din tabel sunt eliminate
coloanele ce contin solutia exacta (adica coloanele G, H, I si
J).
-
METODA LUI RUNGE SI KUTTA
1. Rezolvarea problemelor lui Cauchy pentru o ecuatie
diferentiala de ordinul I
Consideram P.C. = (, )(0) = 0 cu 0, 0 date, iar 1 = 0 + , 2 = 1
+ , cu pasul dat.Notatii folosite: (0), (1), valorile numerice ale
solutiei( () ) 0, 1, 2 valorile numerice ale solutiei
Se va determina 1, 2 folosind urmatoarele formule de recurenta:
= + + + + )
() = (, )
() = + , + () () = + , + () () = + , + ()
Exemplu:
Se da P.C. = + 3 + () = 3 cu solutia () = 3x 5Determinam
valorile aproximative 1, 2 ale solutiei cu pasul = ,.
Solutie:(, )= + 3 + cu 0 = , 0 = 3
-
A B C D E F G H I1 h 0.12 i xi yi K1
i K2i K3
i K4i y(xi) yi -y(xi)
3 0 0 -3 +$B$1*(C3+3*B3+2)
+$B$1*(C3+1/2*D3+3*(B3+$B$1/2)+2)
+$B$1*(C3+1/2*E3+3*(B3+$B$1/2)+2)
+$B$1*(C3+F3+3*(B3+$B$1)+2)
+2*@EXP(B3)-3*B3-5
@ABS(C3-H3)
4 +A3+1 +B3+$B$1
+C3+1/6*(D3+2*E3+2*F3+G3)
Copiem blocul D3..I3
5 Copiem blocul A4..I4Obs. Daca nu avem solutie exacta, din
tabel sunt eliminate coloanele ce contin solutia exacta (in cazul
nostru, coloanele D si E).
Problema propusa:
Se da P.C. = () = cu solutia () = Determinam valorile
aproximative 1, 2 ale solutiei cu pasul = ,.
Solutie:(, )= 0 = , 0 = A B C D E F G H I
1 h 0.12 i xi yi K1
i K2i K3
i K4i y(xi) yi -y(xi)
3 0 0 0 +$B$1*(@EXP(B3)-C3)
+$B$1*(@EXP(B3+$B$1/2)-(C3+1/2*D3))
+$B$1*(@EXP(B3+$B$1/2)-(C3+1/2*E3))
+$B$1*(@EXP(B3+$B$1)-(C3+F3))
+B3*@EXP(B3)
@ABS(C3-H3)
4 +A3+1 +B3+$B$1
+C3+1/6*(D3+2*E3+2*F3+G3)
Copiem blocul D3..I3
5 Copiem blocul A4..I4
-
2. Sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I
Consideram sistemul = (, , ) = (, , ) cu (0) = 0(0) = 0 cu 0, 0,
0 date, iar 1 = 0 + , 2 = 1 + , cu pasul dat.Notatii folosite: (0),
(1), (0), (1), valorile numerice ale solutiei
0, 1, 0, 1, valorile numerice ale solutieiSe va determina 1, 2 ;
1, 2, folosind urmatoarele formule de recurenta:
1 = + 6 1 + 2 + + 1 = + 6 1 + 2 + +
1 = (, , ) 1 = (, , ) 2 = + , + 1, + 1 2 = + , + 1, + 1 = + , +
2, + 2 = + , + 2, + 2 = + , + , + = + , + , +
-
Exemplu:
Se da sistemul = + 4 = + cu solutia () = () = Determinam
valorile aproximative ale lui y si z cu pasul =
,.Solutie:Identificam f, g, 0, 0, 0 doar daca avem solutii
exacte.Solutia exacta este () = + () = 12 + 12
(, , ) = + 4(, , ) = + , 0 = , 0 = , 0 = A B C D E F G H I J K L
M N O P
1 h 0.012 i xi yi zi K1
i K2i K3
i K4i L1
i L2i L3
i L4i y(xi) z(xi) yi -
y(xi) zi -z(xi)
3 0 0 0 1 +$B$1*(C3+4*D3)
+$B$1*(C3+1/2*E3+4*(D3+1/2*I3))
+$B$1*(C3+1/2*F3+4*(D3+1/2*J3))
+$B$1*(C3+G3+4*(D3+K3))
+$B$1*(C3+D3)
+$B$1*(C3+1/2*E3+D3+1/2*I3)
+$B$1*(C3+1/2*F3+D3+1/2*J3)
+$B$1*(C3+G3+D3+K3)
-@EXP(-B3)+@EXP(3*B3)
+1/2*@EXP(-B3)+1/2*@EXP(3*B3)
@ABS(C3-M3)
@ABS(D3-N3)
4 +A3+1
+B3+$B$1
+C3+1/6*(E3+2*F3+2*G3+H3)
+C3+1/6*(I3+2*J3+2*K3+L3)
Copiem blocul E3..P3
5 Copiem blocul A4..P4
Obs. Daca nu avem solutie exacta, din tabel sunt eliminate
coloanele ce contin solutia exacta(in cazul nostru, coloanele M, N,
O si P).
-
Problema propusa:
Se da sistemul = + 4 = + cu solutia () = () = 3Determinam
valorile aproximative ale lui y si z cu pasul = ,.Solutia exacta
este () = () = +
