PENYELESAIAN SOAL MATEMATIK MENGGUNAKAN METODE INTERPOLASI LINIERDAN METODE NEWTON-RAPHSONDALAM PROGRAM MATH LAB

OLEH:

1. Abdillah Zuhud Supraba2. Agiel Setyo Prabowo3. Aip Pradipta Farhan

JURUSAN TEKNIK MESIN NON REGULERFAKULTAS TEKNIUNIVERSITAS SEBELAS MARETSURAKARTA2014

METODE INTERPOLASI LINIER

Metode setengah interval yang dibahas dalam sub bab 2.2 adalah mudah tetapu tidak efisien. Untuk mendapatkan hasil yang mendekati nilai eksak diperlukan langkah iterasi cuklup panjang. Metode interpolaso linier, yang dipelajadi dalam sub bab ini dapat menutup kekurangan tersebut. Metode ini dikenal juga dengan metode false position. Dengan metode ini nilai akar dari suatu fungsi dapat lebih cepat diperoleh dari pada dengan menggunakan metode terdahulu. Metode interpolasi linier didasarkan pada interpolasi antara dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawananMula-mula dicari nilai fungsi untuk setiap intercal x, yang sama sampai akhirnya didapat dua nilai fungsi f(xi) dan f(xi+1) berturutan yang mempunyai tanda berlawanan (gambar 2.4). ari kedua nilai fungsi f(xi) dan f(xi+1) ditarik garis lurus sehingga terbentuk suatu segitiga. Dengan menggunakan sifat segitiga sebangun, didapat persamaan sebagai berikut:

(2.2)

Nilai tersebut digunakan untuk menghitung nilai f(xi), yang kemudian digunakan lagi untuk interpolasi linier dengan nilai f(xi) atau f(xi+1) sedemikian sehingga kedua fungsi mempunyai tanda berbeda. Prosedur ini diulang lagi sampai dapat nilai f(xi) mendekati nol. Gambar 2.5 menunjukkan logika prosedur hitungan dari metode interpolasi liniertidaktidakyayaHitung fungsi untuk interval x yang sama sehingga didapat f(xn) dan f(xn+1) dengan tanda berbeda Hitung x* dan f(x*)Apakah f(x*) dan f(xn) bertanda sama? Xn = X*F(xn)=f(x*)Apakah f(x*) kecil? Xn+1 = X*F(xn+1)=f(x*)selesai

Gambar 2.5 bagan alir metode interpolasi linier

METODE NEWTON-RAPHSON

Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan. Jika perkiraan awal dari akar adalah xi, suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi,f(xi)). Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar. Seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.6, turunan pertama pada xi adalah ekivalen dengan kemiringan

Gambar 2.6 prosedur metode Newton-Raphson secara grafis

Dengan rumus

(2.3)

Diagram AlirPilih nilai awal Xn sembarangHitung Xn+1 dan f(Xn-1)Apakah f(xn-1) kecil?selesaiXn=xn-1

Gambar 2.7 bagan alir metode newton raphson

LATIHAN

1. Metode Interpolasi LinierHitung salah satu akar dari persamaan f(x) = x3+x2-3x-3=0Penyelesaian: Menghitung nilai f(x) pada interval antara dua titik sedemikian sehingga nilai f(x) pada kedua titik tersebut berlawanan tandaUntuk x1 = 1, f(x1=1) = -4Untuk x2 = 2, f(x2=2)= 3 Dengan menggunakan persamaan (2.2) didapat:

Karena f(x*) bertanda negative maka akar terletak antara x = 1,57142 dan x=2. Selanjutnya dihitung nilai x*:

Prosedur hitungan tersebut diatas dilanjutkan dengan menggunakan program computer dan hasilnya diberikan dalam table.

2. Metode Newton RaphsonHitung salah satu akar dari persamaan f(x) = x3+x2-3x-3=0Turunan pertama f(x)=3x2+2x-3 Dengan persamaan (2.3)

Pada awal hitungan ditentukan nilai xi sembarang, missal x1=1F(x1=1) = (1)3+(1)2-3(1)-3=-4F(x1=1)=3.(1)2+2(1)-3=2

Langkah selanjutnya nilai x2=3 tersebut digunakan untuk hitungan pada iterasi berikutnyaF(x2=3) = (3)3+(3)2-3(3)-3=-24F(x2=3)=3.(3)2+2(3)-3=30

Hitungan dilanjutkan dengan menggunakan program computer dan hasilnya diberikan dalam table.

PROGRAM MATH LAB

clc;clear all;format long;syms x;e = 1e-5; dx = e + 1;f = x^3+ x^2-3*x-3; x = 1;count = 0;p = zeros(1,1);while (abs(dx) > e) dx = eval(f/(diff(f))); x = x - dx count = count + 1 p(count) = x; drawnow(); plot(abs(p),'r','linewidth',3); grid; if (count > 300) fprintf('Error...! Solution not converging !!! \n'); break; endendif (count < 300) fprintf('The solution = '); x fprintf('\nNumber of iteration taken = %d\n',count);end