Meloni Gianna Irre Veneto La costruzione dei concetti matematici: la misconcezione. Una misconcezione è un concetto errato e dunque costituisce genericamente

Meloni Gianna Irre Veneto

La costruzione dei concetti matematici:la misconcezione.

Una misconcezione è un concetto errato e dunque costituisce genericamente

un evento da evitare; essa però non va vista sempre come una situazione

del tutto o certamente negativa: non è escluso che per poter raggiungere la

costruzione di un concetto,

si renda necessario passare attraverso una misconcezione momentanea, ma in corso di

sistemazione.


Le immagini deboli e instabili che un allievo si fa

di un concetto possono essere delle misconcezioni,

tali immagini,

essendo in continua evoluzione

nella complessa scalata verso

la costruzione di concetti,

non sempre risultano un ostacolo

all’apprendimento futuro degli allievi,

a meno che esse non diventino

forti e stabili modelli erronei di un concetto.


“Farsi un modello di un concetto, dunque, significa rielaborare successivamente immagini (deboli, instabili) per giungere ad una di esse definitiva

(forte, stabile)”(D’Amore)

Quando all’allievo si propone un’immagine forte, convincente, persistente e univoca di un concetto,

l’immagine si trasforma in modello intuitivo.

Si crea una sorta di rispondenza diretta tra la situazione proposta ed il concetto matematico

che si sta utilizzando.


Più forte è il modello intuitivo,

più difficile è infrangerlo per assimilare e accomodare una nuova immagine

più comprensiva del concetto.

Le misconcezioni allora diventano forti ostacoli per i successivi apprendimenti

difficili da essere superati.


Misconcezioni “inevitabili” ed “evitabili”

Un insegnante mostra per la prima volta

ad un bambino di scuola dell’infanzia

un modello di cubo rosso, di legno,

di una certa dimensione e gli dice:

Guarda, questo è un cubo.

Il bambino potrebbe considerare

tutte queste informazioni percettive

come caratterizzanti dell’oggetto

del quale si sta parlando.


Esame all’Università.

Spiega che cos’è un angolo. Un angolo è la lunghezza dell’arco.

Allora man mano che ti sposti l’angolo diventa sempre più ampio?

é vero non ci avevo mai pensato!


Nella prima situazione, le misconcezioni

sono una conseguenza dell’esigenza

di dover dire e mostrare qualcosa

per poter spiegare un concetto.

Possono essere viste come inevitabili momenti

di passaggio che derivano dalle rappresentazioni

che gli insegnanti sono costretti a fornire

per poter presentare un concetto,

che potrebbero contenere delle “informazioni parassite” rispetto al concetto matematico che si vuole trattare.


Si è costretti a fare i conti

con rappresentazioni realizzate per mezzo di segni in quanto:

non c’è noetica (acquisizione concettuale di un oggetto) senza semiotica (rappresentazione

realizzata per mezzo di segni).

“In Matematica l’acquisizione concettuale

di un oggetto passa necessariamente attraverso l’acquisizione

di una o più rappresentazioni semiotiche”(D’Amore)


Qualsiasi rappresentazione:

un disegno, una frase, un grafico,

un modello tridimensionale,…

non avrà mai

le caratteristiche concettuali di astratezza, idealità, perfezione, generalità tipiche della

matematica e

questo potrebbe essere

la fonte delle misconcezioni inevitabili.


Dovendo fare i conti con la semiotica di un concetto, potrebbe accadere che l’allievo

confonda la semiotica con la noetica, associando le caratteristiche peculiari

della specifica rappresentazione al concetto stesso.

L’inevitabilità del passaggio attraverso la semiotica, rende le misconcezioni

che ne derivano inevitabili.


Inizialmente l’allievo di scuola dell’infanzia potrebbe credere che il cubo debba

essere rosso, di legno, di quelle dimensioni;

tutte caratteristiche

che derivano dalla semiotica (l’immagine proposta) e dall’associazione

della rappresentazione al concetto.


Ma se l’insegnante avrà in seguito la sensibilità didattica

di creare le condizioni per superare queste misconcezioni, mostrando modelli di cubo, non di legno, non rossi,

non di quelle dimensioni, per poi fornire nel tempo diverse rappresentazioni

in vari registri,

il bambino compirà dei passi in avanti

nella costruzione del concetto,

ampliando le vecchie immagini-misconcezioni,

fino a creare una nuova immagine in grado di contemplare tutte le successive sollecitazioni proposte.


Lentamente l’allievo annullerà

i tratti distinti dell’oggetto

che non lo caratterizzano

dal punto di vista matematico

per puntare l’attenzione su quelli che invece

lo rappresentano in questo contesto;

in tal modo si eviterà il formarsi

di modelli parassiti nella mente dell’allievo.


Se si rimane nella stessa o unica rappresentazione, senza quindi trattamento e

conversione ad altri registri,

si potrebbero verificare ostacoli di tipo didattico

per il futuro apprendimento.

In questo caso le misconcezioni non sono più

del tipo “inevitabili”, ma “evitabili”.


Nella seconda situazione,

la continua e univoca rappresentazione

fornita da insegnanti diversi, anno dopo anno,

ha dato forza nella mente dello studente

a caratteristiche “parassite” della semiotica

a sfavore della noetica.

Questo ha comportato che l’allievo identificasse

“quell’archetto” all’angolo.


L’archetto è diventato così

l’elemento caratterizzante il concetto proposto e

questo ha comportato

che lo studente

andasse alla ricerca della proprietà

che maggiormente lo caratterizza:

la sua lunghezza.


In questo caso, la misconcezione

sembra essere evitabile

in quanto dipende da due diverse cause:

la reiterata proposta della stessa rappresentazione,

ma anche la scelta della rappresentazione stessa, che meno di altre rispetta le proprietà

del concetto che si vuole far apprendere

la limitatezza dell’archetto contrasta con l’illimitatezza dell’angolo.


“In geometria sono molti gli allievi che hanno difficoltà

a capire le indicazioni, i problemi e le spiegazioni

fornite dall’insegnante o dal manuale,

perché le loro concezioni geometriche rimangono strettamente legate alle figure e ai modelli concreti utilizzati

come supporti visivi per formare queste concezioni.

A mio avviso, questo è dovuto al fatto che i supporti visivi

sono spesso utilizzati nelle ore di geometria

in una maniera non soddisfacente.

A volte i modelli utilizzati sono inadatti a rappresentare

la nozione che si tratta e così gli allievi acquisiscono

un’idea sbagliata per quanto riguarda il vocabolario geometrico”.(Maier)


Le decisioni prese dall’insegnante incidono, a volte,

a complicare l’apprendimento degli oggetti matematici.

Sono le decisioni, derivanti:

dalle proposte della noosfera (libri di testo, programmi, riviste,…),

di fornire all’allievo giorno dopo giorno, sempre e

solo univoche rappresentazioni convenzionali,

che vengono accettate dall’allievo a causa

del contratto didattico e

del fenomeno della scolarizzazione.


Misconcezioni relative agli enti primitivi della geometria

Che cos’è per te un punto in matematica? “è un punto rotondo che forma le linee” (III

media) “per me il punto può essere una cosa

grandissima o microscopica perché è come un cerchio di diverse misure” (IV primaria)

“il punto è una parte di piano indeterminato, perché può avere varie dimensioni, che costituiscono l’inizio, la fine o entrambi di un segmento, una retta” (III media)

“non si sa ancora bene che cos’è un punto però per me è solo un punto su un foglio che può essere di diverse dimensioni”(IV primaria)

“.”(Liceo)


“Il punto è sferico” (ins.) “Il punto è un cerchio di diametro variabile” (ins) “Non credo che ci siano altri modi per rappresentare

un punto se non quello di toccare leggermente un foglio con una penna (ins.)

Si attribuisce a questo ente matematico:

una forma tondeggiante,

una certa dimensione variabile.


Il punto è percepito e riferito all’unica rappresentazione

che viene comunemente fornita dalla noosfera:

un “tondino” disegnato su un foglio, di diametro variabile, avente una certa

dimensione.

Tali rappresentazioni convenzionali univoche rischiano di essere percepite

come le uniche plausibili e possibili.


Queste misconcezioni mettono in evidenza

come si confonda la rappresentazione proposta

con l’oggetto matematico

che si vuole far apprendere.


“Lo studente non sa che sta apprendendo segni

che stanno per concetti eche dovrebbe invece apprendere concetti;

se l’insegnante non ha mai riflettuto su questo punto,

crederà che lo studente stia apprendendo concetti,

mentre questi sta in realtà ‘apprendendo’ solo a far uso di segni”.

(D’Amore)


Occorre didatticamente fare molta attenzione

alla scelta, ai contesti ed

alle modalità d’uso dei segni

che rappresentano l’oggetto matematico

che si vuole far apprendere agli allievi.


Occorre che l’insegnante sia a conoscenza

del significato “istituzionale”

dell’oggetto matematico che intende far apprendere e

che indirizzi l’uso “personale” di questi oggetti

in modo consapevole e critico

per far sì che questo uso rimanga coerente

rispetto alla disciplina di riferimento.


Le diverse rappresentazioni del punto.

Un punto in matematica dovrebbe essere

un ente privo di dimensione,

quindi la sua rappresentazione,

necessaria per potersi capire,

potrebbe essere di qualsiasi tipo,

dato che non deve rispecchiare

nessuna caratteristica particolare,

se non quella di non poter essere eseguita.


La varietà di rappresentazioni

permetterà agli allievi di “purificare” l’oggetto dalle proprietà che non gli sono proprie come:

la forma,

la pesantezza,

il colore,

la dimensione …

per poi indirizzarli verso i saperi “istituzionali”.


“Mia mamma di matematica non capisce proprio niente.

Ieri le ho detto che un quadrato, rimanesempre un quadrato anche se lo metto così

(disegna un quadrato con le diagonali orizzontali e verticali dal punto di vista dell’osservatore),

ma lei dice che non è vero.Per riuscire a convincermi ha perfino detto

che il quadrato non ha neanche più le diagonali perché non sono più in diagonale (nel senso di

oblique), non riesce proprio a capire

che rimangono ancora diagonali anche messe così.


Non capisce che è solo un nome e non c’entra come sono messe, …

Forse si chiamano proprio diagonali

perché la gente pensa che devono essere messe

in diagonali”.

Un bambino di classe quinta.

Un invito a ripensare criticamente

le misconcezioni proprie e altrui.

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