GAYA GRAVITASI DAN POTENSIAL

(Newton's Universal Law of Gravitation)

KELOMPOK VIII

- DWI NOFITA SARI 1405118366- JUMAIDAH 1405121474- VELLA DWI YUDISTIRA 1405111954

2.1 Hukum Newton tentang Gravitasi Universal

Bunyi:“Gaya Tarik menarik antara dua benda sebanding dengan massa kedua benda dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak.” Rumus:

Dimana F adalah gaya gravitasi (N). m adalah massa benda (kg). rij adalah jarak kedua benda (m). G adalah konstanta gravitasi umum dengan nilai 6,67 x 10-11 Nm2/.

Dari gambar terlihat ada dua benda mi dan mj. Dua benda tersebut dipisahkan sejauh rij. Benda mi mempunyai gaya Tarik menarik terhadap benda mj yang diberi nama Fij. Benda mj mempunyai gaya Tarik menarik terhadap benda mi yang diberi nama Fji. Gaya Fij dengan Fji adalah sama besar tetapi berlawanan arah yang merupakan contoh dari hukum III newton. Berdasarkan hukum III newton maka dapat kita tulis sebagai berikut:

Berdasarkan gambar, kita bisa menulis hukum dalam bentuk vector dengan persamaan:

Berdasarkan gambar, benda bermassa m berinteraksi dengan benda bermassa M dengan gaya F, sehingga bisa kita tulis dengan persamaan:

Dimana satuan vector u menunjukkan arah dari M ke m. Tanda negative menunjukkan bahwa gaya Tarik menarik F adalah gaya tarik-menarik dengan garis kerjanya melewati titik tetap pada garis yang menghubungkan dua massa.

2.2 Kuat Medan dan Potensial Gravitasi

Sebuah partikel bermassa m berada di bawah interaksi gaya dari pusat bola simetris (F) dengan pusat kekuatan di O, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Dalam situasi ini, gaya F hanya memiliki komponen radial (Fr), yang merupakan fungsi dari r saja dan dapat ditulis sebagai:

Usaha dW dilakukan oleh gaya pusat F ketika m melakukan sebuah perpindahan kecil ds, seperti ditunjukkan oleh persamaan berikut:

dengan

Dimana dr adalah perubahan perpindahan radial dari O ketika massa m melakukan perpindahan ds. Maka:

Besar kecilnya gaya F bergantung pada r, total usaha yang bekerja dari A ke B seperti ditunjukkan gambar dirumuskan menjadi:

Berdasarkan integral ini dan dari usaha bekerja bergantung hanya pada mula-mula dan hasil akhir dari r , gaya simetris harus bersifat konservatif. Gaya bersifat konservatif. Kita bisa memproses untuk menentukan fungsi energy potensi U (r) dari sebuah objek pada medan gaya pusat. Maka, dari A ke B, perubahan energy potensial benda adalah

Dari persamaan diatas, maka kita dapatkan

Selain itu, usaha juga merupakan perubahan dari energy kinetic, sehingga bisa kita rumuskan sebagai berikut;

Maka jika E adalah total energy yang kita kenal dengan energy mekanik maka dapat kita rumuskan sebagai berikut:

Di atas adalah hukum konservatif energy. Gaya gravitasi adalah kebalikkan dari kuadrat hukum gaya,

Dimana C selalu constant. Jika disubtitusikan dengan persamaan maka di dapatkan

Jika diitegralkan maka

Seperti yang biasanya dilakukan, kita mendefenisikan dan ,

sehingga kita dapatkan

Energy potensial suatu partikel didalam medan gaya central adalah fungsi dari jarak r ke pusat gaya. Konstanta C adalah gaya tarik negatif dan positif untuk gaya dorong. Karena gaya gravitasi adalah gaya tarik, yang mempunyai rumus umum sebagai berikut

dimana C = GMm Energy potensial m dalam medan M dengan jarak r dari M adalah

jika M adalah suatu distribusi massa berlanjut, energi potensial m pada jarak r adalah

Untuk membuat tiga persamaan yang tidak terikat pada m, kita memperkenalkan konsep medan gravitasi dan potensial gravitasi.

Intensitas Medan gravitasi, atau vektor medan gravitasi, atau medan gravitasi, g digambarkan sebagai gaya per unit massa pada partikel di dalam medan gravitasi dengan massa M.

(10.26) atau untuk massa M, kita dapat menulisnya

(10.27)

jika g mempunyai dimensi dari gaya per massa, besar percepatan gravitasi ini pada permukaan bumi kira-kira 9.8 m/s2.

Kapan saja ada suatu medan vektor konservatif, seperti medan gravitasi, kita dapat memperkenalkan suatu potensial gravitasi ( kwantitas skalar) untuk menghadirkan medan ini, di dukung dengan kondisi - kondisi tertentu. Kondisi itu adalah bahwa medan vektor g harus nol. Karena g sebanding dengan 1/r2.

(10.28) Kondisi ini akan dicukupi jika g sama dengan

gradien suatu skalar adalah (10.29) di mana V disebut potensial gravitasi dan

mempunyai dimensi dari energi per masa. Karena g hanya bergantung pada r dependent, maka V juga bergantung pada r, substitusi g dari persamaan (10.26) ke persamaan (10.29), maka

Setelah di integralkan menjadi(10.30)

Ini tidak harus pengintegrasian yang konstan dari persamaan (10.30) sebab kita berasumsi bahwa

Potensial gravitasi berkaitan dengan distribusi massa M, mungkin dapat di tulis

(10.31)Kita dapat meringkasnya menjadi:o Gaya : (10.7)o Energi Potensial : (10.25)o Medan Gravitasi : (10.27)o Potensial Gravitasi : (10.31)

Juga,(10.32a)(10.32b)(10.32c)(10.32d)

Kapan saja masa m ditempatkan pada medan M, ini konvensional untuk berbicara tentang energi potensial benda bermasa m. Energi potensial terletak pada medan dan bukan pada massanya.

 2.3 Garis-Garis Gaya Dan Permukaan Ekwipotensial

Garis – garis gaya dan garis ekwipotensial pada dua dimensi dan permukaan ekwipotensial pada tiga dimensi sangat membantu visualisasi medan gaya. Mari kita mempertimbangkan suatu massa M yang di hasilkan oleh medan gravitasi untuk melengkapi ruang dan mungkin di uraikan oleh medan gravitasi yang mungkin diuraikan oleh medan gravitasi vektor g.

Garis – garis gaya dan permukaan ekwipotensial Garis Medan gravitasi dan garis ekwipotensial yang berkaitan dengan suatu lapisan massa M. Grafik ini menunjukkan nilai relatif dari V(r) dan r. Gambar 10-5(a)

Kita mulai dari suatu titik dan menarik suatu garis kecil sekali di dalam vektor g. Pada ujung garis ini, kita tarik garis lain di dalam arah g pada titik baru. Kita lanjut proses ini, dan ketika kita menggabung garis - garis kecil ini, kita memperoleh suatu kurva atau garis halus yang disebut degan garis gaya atau garis – garis medan gaya. Kita dapat menggambar garis besar, seperti pada gambar 10.5(a). Lihat juga gambar 10.5(b). Garis ini dimulai dari permukaan suatu massa dan meluas tanpa batas. Untuk masa yang tunggal, kuat garis gaya (radial) berkembang tanpa batas. Ini tidak benar dalam semua bentuk wujud massa dan mungkin sangat rumit.

Gambar 10.5 (b)Grafik dibawah adalah medan gravitasi dan potensial gravitasi yang berjarak r dari pusat massa M bumi.N= 50 i = 1.N RE = 6368.106

G = 6673.10 -11 M = 598.1024 ri = i.RE

Tentukan nilai g atau V yang menurun lebih cepat dalam perubahan jarak r?

2ii r

GMg

ii r

MGV .

Sebagai contoh, pada gambar 10.6. akan menunjukkan kurva resultan dari dua medan massa yang berbeda. Medan gaya akan tegaklurus dengan kurva potensial pada semua titik.

Gambar ini digunakan untuk menguraikan vektor medan g. Tangen menggambarkan pada titik medan garis manapun (F atau g) pada titik. Dari bentuk ini, banyaknya garis melintas (volume menjadi kecil, tetapi mencakup titik), memberi medan vektor g pada titik tersebut. Tidak ada dua garis gaya yang bersilangan satu sama lainnya karena g itu bernilai tunggal.

Karena potensial gravitasi V digambarkan untuk masing-masing titik dan suatu yang bernilai fungsi tunggal. Kita dapat menulis

(10.33)

Kita menggabung dengan semua titik dan mendapatkan nilai potensial gravitasi yang sama Vo. Persamaan yang mewakili titik – titik ini adalah

(10.34) Ini adalah suatu persamaan permukaan, yang

disebut dengan permukaan ekwipotensial. Kita dapat menggambar suatu permukaan untuk masing-masing nilai Vo berbeda. Di dalam dua dimensi permukaan ekwipotensial, kita mendapatkan garis-garis ekwipotensial. Sekali lagi, karena V(x,y,z) adalah suatu fungsi bernilai tunggal, tidak ada dua permukaan ekwipotensial yang akan bersilangan satu sama lain. Kita gerakkan suatu massa m dari satu titik ke titik lain pada garis ekwipotensial. Menurut definisi, tidak ada pekerjaan yang akan dilaksanakan. Kesimpulannya adalah garis – garis gaya selalu tegaklurus dengan garis-garis ekwipotensial.

Ini terbukti sebab g = - , ini berarti bahwa g tidak bisa mempunyai suatu komponen sepanjang permukaan ekwipotensial V konstan. Semua garis – garis gaya harus normal terhadap permukaan ekwipotensial, seperti ditunjukkan pada gambar 10.5 (a). Kita akan menguraikan titik ini dengan segera. Sementara itu, gambar 10.6 menunjukkan garis-garis ekwipotensial yang menghasilkan dua medan massa M1 dan M2. Dalam hal ini Permukaan ekwipotensial digambarkan dengan persamaan berikut

(10.35) Dengan mempertimbangkan suatu massa pada

titik P dan berpindah dengan jarak ds. Perubahan Energi potensial dapat dituliskan

(10.36) dimana , adalah komponen gaya dengan jarak

ds. Persamaan (10.36) dapat ditulis seperti dibawah ini

(10.37)

Persamaan ini menyatakan bahwa komponen F di manapun sama dengan tingkat perubahan energy potensial yang jarak negatifnya berubah dari energy potensial dengan jaraknya. Persamaan (10.37) disebut dengan directional derivativ sebab nilai nya tergantung pada F relativ ds. Sebagai contoh, dengan mempertimbangkan dua garis energi ekwipotensial Uo Dan Uo + ∆U atau dua garis ekwipotensial Vo dan Vo + ∆V seperti yang ditunjukkan pada gambar 10.7. Jika kita bergerak dari P ke Q, yang mana garis ekwipotensial yang sama, dU/ds akan menjadi nol. Tetapi jika kita bergerak dari P ke R1, R2, atau R pada garis-garis ekwipotensial yang berbeda, dU/ds akan menjadi berbeda. Seperti dU/ds > dU/ds1, d/lds2, ....

2.4 Perhitungan dari Gaya gravitasi dan Potensional Gravitasi Kita akan mulai dengan menghitung gaya gravitasi antara shell sperical

seragam massa M dan titik massa m. Kami akan menunjukkan bahwa kulit bola dapat diperlakukan sebagai massa titik yang terletak di pusat dari shell. Sebenarnya, ini adalah benar untuk setiap distribusi seragam bola metter. Dalam situasi-situasi, bukan menghitung gaya (yang merupakan besaran vektor), lebih mudah untuk menghitung potensial gravitasi (yang merupakan kuantitas skalar). Setelah potensial gravitasi diketahui, gaya gravitasi dapat dihitung dari itu. Kita akan menguraikan kedua prosedur.

Kulit BolaPertimbangkan shell seragam tipis massa Mdan jari-jari R, seperti yang

ditunjukkanpada Gambar. 10,8. Sebuah partikeldengan massa mditempatkan di luarshellpada titikPjarakr(r>R) dari pusatshell. Kami membagi shellke dalam sejumlah besar cincin melingkar seperti yang ditunjukkan diarsir padagambar.Kita dapat menghitung kekuatan antara salah satu cincin dan massam dan maka jumlah atas semua cincin. Seperti ditunjukkan dalam gambar,lebar dari cincin yang diarsir adalah Rd, sedangkan jari-jari cincin adalah Rsin . Lingkar cincin adalah2πR sin , sedangkandA area strip lingkaran atau cincin yang diarsir adalah

(10.40)

Jika adalah kepadatan per satuan luas bahan shell,maka massa kulit bola seluruh

(10.41)

Sementara massaDM dari cincinyang diarsir adalah

(10.42)

Gambar 10.8Gaya gravitasi antara benda massa m dan bola bermassa M pada jarak R

Titik Q, atau titik lain pada cincin berbayang, berada pada jarak yang sama s dari titik massa m di P.dFi

berlaku pada m karena setiap bagian kecil daricincin ini, seperti di Q, mengarah kebagian itulihat Gambar. 10.8(b)]. Gaya ini dapat diselesaikan dengan komponen melintang dFi sin tegak lurus PO, dan komponen lain dFi

cos yang paralel ke PO. Gaya ini dapat diselesaikan menjadi komponen-komponen transversal yang dihasilkan dari seluruh cincin mempertimbangkan menambahkan hingga nol,sementara komponen memaksa parallel ke PO karena cincin seluruh menambahkan hingga memberikan

(10.43) Atau menggantikan dM, kita dapat

(10.44)

Gaya karena shell seluruh

Or

(10.45) darisegitigaO PQ, menggunakanhukum cosinus, kita memperoleh (10.46) karena r dan R adalah konstanta, hasil diferensiasi (10.47)

Dan sama dari segitiga OPQ yang sama, kita memperoleh 

Or (10.48)

menggantikansin d and cos dariPers.(10,47) dan (10,48) ke dalam Pers. (10.45) dan mengubahbatas-batasdengan menggunakanPersamaan. (10,46) dari 0 πuntukr-rR+ R, kita memperoleh 

(10.49)Yang apabila di integralkan menjadi

(10.50) Pada notasi vektor dapat dituliskan ( 10.50a)Dan (10.50b)

di mana, adalah vector radialuhit dari asalO.Hasil ini menunjukkanbahwakulit bolaseragambertindak sebagaijika massashellseluruhterkonsentrasidi pusat.Tubuhpadatseragamboladapat diasumsikanterdiri darisejumlah besarcangkang konsentris. Setiap kulitdapat diperlakukanseolah-olahmassaterkonsentrasi padapusat;makamassalingkupkeseluruhandapat diasumsikanberada di tengah. Untuk menghitunggaya padatitikmassa mditempatkan di dalamshell, semuaharus kita lakukan adalahmengubah batasbawahr-R untuk R-rdan batas atasr+ R untukR+ r.MengintegrasikanPersamaan. (10.49) dengan batasyang sesuai adalah

Dengan demikian (10.52)

Harus di ingar bahwa hasil (r<R) adalah untuk kulit bola dan bukan untuk bola yang solid. Gunakan persamaan (10.16), yaitu

(10.16) DanPersamaan. (10.51a) dan (10,52), kita dapat

menghitungenergi potensialuntuk menjadi(10.53)Dan

Kita dapatmengevaluasikonstandengan menggantikanr=R diPersamaan. (10,53), yaitu,(10.54)

SementaraVpotensial gravitasi(= U/m) adalah  (10.55)

(10.56)Variasi adalah g dan V untuk kasus ini ditunjukkan pada Gambar. 10.9 Kita dapat memperoleh hasil sebelumnya dengan terlebih dahulu menghitung energy potensial U(r) dan kemudian menghitung F(r) dari hubungan F=-dU/dr, seperti yang ditunjukkan berikutnya.Energi potensial dengan massa m pada P karena cincin melingkar massa dm diberikan oleh Persamaan. (10,42) pada jaraks (setiap titik dari cincin ini pada jarak yang samas) adalah (lihat Gambar. 10.8)

(10.57)

Sedangkan energy total potensial m pada P adalah

(10.58) Dari segitiga OPQ pada Gambar. 10.8, kita

memperoleh (10.46)  Dengan mendiferensiasikan, dan tetap

mengingat bahwa r dan R adalah konstan, dan dengan menyusun persamaan diatas kita dapatkan  

Subtitusikan ke persamaan (10.58) menjadi(10.59) 

Batas-batas integrasi akan tergantung pada posisi titik massa m, seperti yang dibahas berikutnya.

Kasus(i) r>R: Artinya,massa m pada titik P adalah luar shell. Seperti sebelumnya, batas-batas 0perubahan π untuk smin=r-R smax=r+ R. Jadi

Diberikan(10.60)

Artinya,energi potensialbervariasisebagai 1/r, sedangkan

  Di berikan

(10.61)

Kita juga dapat menuliskan nya menjadi(10.62)

Dan (10.63) Kasus (ii) r<R: Artinya,massa m pada titik P adalah

di dalam shell. Oleh karena itu batas –batas integrasi 0 perubahan π untuk smin=R - r smax=R+ r. Jadi 

 

Diberikan (10.64) Artinya, potensial di dalam shelladalah konstan,

sementara 

(10.65)

Seperti yang diharapkan. Kita jugadapat menulis (10.66)

(10.67)

Benda PadatKasus (i) r> R: Artinya, massa m adalah di luar lingkup r solid massa M dan jari-jari R. Bola itu dapat dibagi ke dalam sejumlah besar kerang, masing-masing berperilaku seperti jika massa shell terkonsentrasi di pusat. Independen variasi dalam kepadatan dengan jarak radial (yaitu, simetrik tetapi tidak harus seragam), seperti dalam kasus shell, kita memperoleh

(10.68) 

(10.69) 

(10.70) 

(10.71)

Kasus(ii) r<R: Artinya,massa m berada di dalam suatu massa yang solid sphereof M. Semua shell yang berada di luar bola berjari-jari r memberikan kontribusi untuk memaksa nol, sementara kerang dalamr berkontribusi untuk memaksa. Untuk kenyamanan, mari kita asumsikan bahwa kerapatan seragam, yaitu, bola yang homogenious. Fraksi massa conyained dalam r

(lihat Gambar. 10.11) dimana adalah kerapatanmaterial.Demikian massaterkonsentrasidi pusatadalah Mr3/R3. Oleh karena ituberlaku padardiberikan oleh

(10.72)

Energi potensial U(r) dari massa didalam lingkaran mungkin dihitung dengan menggunakan persamaan (10.72). untuk r < R, kita rumuskan

Gambar 10.11. pecahan dari masa sebuah lingkaran dengan radius r di dalam lingkaran homogen dari radius R dan massa M.

Berarti,(10.73)

Tetapi pada r = R, daripersamaan (10.70), kitaperoleh

Subtitusi persamaan di atas ke persamaan (10.73), kita dapatkan

(10.74)

Atau (10.75)

Kita dapat menghitung U(r) dan V(r)pada r =0, berarti pada pusat  

(10.76)Dan

(10.77)

Kulit dari ketebalan yang terbatasMengingat sebuah kulit dari ketebalan yang terbatas dari dalam jari-jari R1 dan diluar jari-jari R2, seperti yang terlihat pada gambar 10.12, kita ingin menghitung potensial pada tititk P yang berjarak r dari pusat kulit. Dari defenisi, potensial V(r) pada P adalah.

(10.78)Dimana dV’ adalah sebuah unsur volume yang kecil pada R

(10.79)

Gambar 10.12 Potensial dan gaya benda bermassa m di P untuk kulir yang tidak terbatas

Karena simetri tentang garis yang berhubung O dengan P, sudut azimut mungkin terhapus dari integral akhir d, berarti, juga ,ρ(R) = ρ = konstan untuk sebuah lingkaran homogen. Dengan demikian  

(10.80) 

Dari segitiga OPQ (gambar 10.12), kita rumuskan  

(10.81) 

Dimana R dan r adalah tetap, sebab itu diferensial diberi 

orSubtitusi kedalam persamaan (10.80) menghasilkan

(10.82)Dari persamaan (10.81), jika θ = 0, smin = r – R, dan jika θ = π, smax = r + R, sehingga, untuk r > R2,

(10.83) Berarti,

(10.84)Sejak,

(10.85)

Kita dapat mengungkapkan gravitasi potensial diluar kulit (10.86)

Demikian, gravitasi potensial di beberapa titik diluar kulit atau lingkaran dengan mendistribusikan massa bola simetris yang berdiri sendiri dari distribusi. Ini bereaksi jika jumlah massa berlokasi di pusat.Untuk titik didalam kulit, diganti limit dalam persamaan (10.83)( jika kita kembali ke kotak sebelumnya),kita mendapatkan untuk r < R1

(10.87)Yang diberikan

(10.88)Jadi potensial didalam (r < R1) kulit adalah konstan dan berdiri sendiri pada posisi itu.Potensial di dalam (R1< r < R2) kulit adalah sebuah pukulan rumit yang kecil untuk di hitung. Sebuah pendekatan yang mudah untuk masalah ini adalah dengan mengganti batas bawah dengan mengganri R1 menjadi r1 dalam persamaan (10.87) untuk V(r) untuk r < R1, dan untyuk mengganti batas atas dengan mengganti R2 dari r dalam persamaan (10.83) untuk V(r) untuk r > R2.Demikian, gabungan dari dua pemberian potensial didalam kulit :

 menjadi (10.89) 

Intensitas bidang vektor g dapat dihitung dari hubungan g = -dV/dr untuk tiap-tiap dari tiga daerah dengan menggunakan persamaan (10.86), (10.89), dan (10.88). berarti, 

(10.90) 

(10.91) 

(10.92)

Fungsi potensial V(r) dibidang pada gambar 10.13dikali silang dengan titik r = R1 dan r = R2, dan gradiennya dV(r), dimana tenaga g(r), juga bersambung, yang ditunjjukan. Jika fungsi potensial V(r) tidak bersambung, kata jadiannya akan menjadi tidak terbatas. Berarti, kekuatan akan menjadi tidak terbatas, dengan tidak berarti. Kemudian fungsi potensial harus menjadi bersambung untuk kekuatan yang mempunyai banyak arti fisika. (catatan bahwa kata jadian dari kekuatan fungsi tidak bersambung).

Gambar 10.13 Variasi V(r) dan g(r) dan r untuk kulit yang tak terbatas

Bahwa fungsi potensial bersambung mungkin jika dilihat dari matematika yang telah diikuti. Dalam persamaan (10.89), jika kita subtitusikan R = R2, kita mendapat hasil yang sama dari persamaan (10.89), jika kita subtitusi r = R1, kita mendapat hasil yang sama dengan persamaan (10.88)

2.5 Hukum Gauss

Hukum Gauss secara umum digunakan dalam hubungan medan listrik dielektrostatika. Sebenarnya, hukum gauss berlaku untuk setiap situasi yang melibatkan kekuatan hukum terbalik - persegi. Dapat dikatakan bahwa hukum gauss adalah sama dengan pernyataan hukum terbalik-persegi. Karena gaya gravitasi merupakan kekuatan yang terbalik-persegi, mari kita terapkan hukum gauss dan melihat fungsinya dalam menghitung intensitas medan gravitasi g dalam situasi sederhana.

Hitung massa titik M. Medan gravitasi pada jarak r dari M diberikan oleh:

(10.93)

Gambarlah sebuah bola berjari-jari r dengan titik M massa di pusat. Kita mendefinisikan arah radial keluar sebagai positif. Sebuah jumlah fluks dari palung g medan gravitasi permukaan bola didefinisikan sebagai, menggunakan Persamaan (10.93):

(10.94)

Mana g, adalah komponen radial dari g dan adalah luas permukaan bola berjari-jari r. Kita akan menunjukkan bahwa fluks total karena massa apapun dalam independen dari jarak r

Mari kita mempertimbangkan massa M yang benar-benar tertutup oleh permukaan berbentuk sewenang-wenang, seperti yang ditunjukkan pada gambar 10.14. Seperti permukaan yang sewenang-wenang disebut Permukaan Gaussian. Mari kita mempertimbangkan titik P pada permukaan ini mana yang normal keluar ke permukaan membentuk sudut θ dengan r dari M ke P. Putuskan g menjadi dua komponen, komponen (atau normal) radial dan komponen transversal (komponen sejajar dengan permukaan). Hanya komponen normal yang memberikan kontribusi untuk φ fluks. Karena komponen normal dari g adalah , yang dφ fluks melalui elemen daerah dA adalah :

(10.95)

Proyeksi dA tegak lurus r adalah , Sementara , di mana dΩ adalah sudut substansi oleh dA padat di M, seperti yang ditunjukkan. Jadi Persamaan. 10.95 Dapat ditulis:

(10.96) 

Para φ fluks total karena g diperoleh dengan mengintegrasikan persamaan 10.96. di mana kontribusi dari semua elemen sudut solid dipertimbangkan. Mengingat bahwa sudut padat lengkap 4π, kita mendapatkan

 (10.97) 

Ini adalah hasil yang sama kita diperoleh dengan menggunakan permukaan bola. Seperti dalam Pers. (10.94). Dari gambar 10.14 dan Persamaan10.95 dan 10.96, kita dapat menyimpulkan bahwa dφ fluks adalah produk skalar dari g dan dA, yaitu :

  (10.98)

Dimana proyeksi tegak lurus terhadap wilayah atau r. Mari kita memperluas diskusi kita ke sejumlah besar massa Dalam suatu permukaan tertutup sewenang-wenang. Pada setiap titik P pada permukaan ini, medan gravitasi total:

(10.99)  Sementara fluks gravitasi total melalui permukaan tertutup   (10.100)  Menggabungkan Pers. (10.99) dan (10.100)

If (10.101) Persamaan (10.101) adalah pernyataan hukum gauss, dan

keabsahannya didasarkan pada kenyataan bahwa gaya adalah suatu hukum terbalik persegi. Setelah fluks dihitung dengan menggunakan Persamaan 10.101. Kita dapat menggunakan Persamaan 10.101. Dalam situasi simetris sederhana untuk menghitung g, seperti digambarkan dalam contoh berikut.

2.6 Persamaan Medan Gravitasi Kita sudah menguraikan dengan singkat prosedur untuk

menghitung g dan Φ dengan menggunaan Hukum Gauss untuk symetrical distribusi massa dan juga oleh aplikasi yang langsung invers hukum kekuatan gravitasi. Suatu prosedur yang umum adalah untuk menemukan persamaan diferensial yang ditentukan oleh intensitas, medan gravitasi g(r) dan gratasi V(R potensial). Kita mengetahui hubungan] antar g(r) dan V untukkan mendapat

(10.102)  Pengambilan timbal balik, dan mencatat bahwa suatu gradien

adalah nol, kita mendapatkan:(10.103)

Berarti,(10.104)

 Persamaan vektor adalah persamaan diferensial yang memberi hubungan antar [r] dan anggota (gx,gy,gz) dari g: dan mendapatkan:

(10.105)

Persamaan ini didapat dari medan gravitasi. Karena suatu penentuan dari g, kita memerlukan hubungan antara g(r) dan hubungan distribusi massa. Ini dapat dicapai.

Gambar 10.15 Mass m enclosed by a volume V’ of surface area A

Seperti ditunjukkan dalam gambar 10.15, memperhatikan massa m yang terlampir oleh suatu volume V’ mempunyai luas A. fluks Φ yang melalui area ini adalah  (10.106)

 Tetapi Φ kadang-kadang adalah,

Dengan pengintegralan lipat 3 seperti(10.107)

Dimana , adalah kerapatan massa. Samakan dulu dua persamaan berikut:

(10.108)  Teorema divergensi Gauss diterapkan

pada vektor B (lihat bab 5) (10.109)  Terapkan ini pada sisi kiri persamaan

(10.108), dan kita dapatkan ; (10.110)

Subtitusi ini ke persamaan (10.108)

Atau(10.111)

Karena volume V’ dapat digunakan dimana-mana, kita dapat menulis

Atau (10.112)Yang mana hubungan antara g dan distribusi massa yang digambarkan dengan kerapatan (x,y,z). Di koordinat cartesius pada persamaan (10.112) bisa ditulis menjadi

(10.113)

(x,y,z), menggunakan persamaan (10.105) dan (10.113) dan batas antara,

Subtitusi pada persamaan (10.112) menjadi

Atau(10.114)

koordinat cartesius dapat kita tulis:(10.115)

 Persamaan ini adalah disebut persamaan yang di panggil dan dengan determinan menentukan hasil dari V(r) dengan syarat batas V(r)