SKRIPSIPENERAPAN MEKANIKA KUANTUM SUPERSIMETRIKDALAM MASALAH RADIAL DAN PERSAMAAN DIRACDERAJAT PERTAMAElida Lailiya Istiqomah03/171226/PA/09791Departemen Pendidikan NasionalUniversitas Gadjah MadaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamYogyakarta2007THESISAPPLICATIONS OF SUPERSYMMETRIC QUANTUMMECHANICS IN THE RADIAL PROBLEMS AND FIRSTORDER DIRAC EQUATIONElida Lailiya Istiqomah03/171226/PA/09791Department of National EducationGadjah Mada UniversityFaculty of Mathematics and Natural SciencesJogjakarta2007SKRIPSIPENERAPAN MEKANIKA KUANTUM SUPERSIMETRIKDALAM MASALAH RADIAL DAN PERSAMAAN DIRACDERAJAT PERTAMAElida Lailiya Istiqomah03/171226/PA/09791Sebagai salah satu syarat untuk memperolehderajat Sarjana S1 Program Studi Fisika pada JurusanFisikaDepartemen Pendidikan NasionalUniversitas Gadjah MadaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamYogyakarta2007THESISAPPLICATIONS OF SUPERSYMMETRIC QUANTUMMECHANICS IN THE RADIAL PROBLEMS AND FIRSTORDER DIRAC EQUATIONElida Lailiya Istiqomah03/171226/PA/09791Submitted to complete the requirements for the degree of Sarjana S1Physics Study Program of Physics DepartmentDepartment of National EducationGadjah Mada UniversityFaculty of Mathematics and Natural SciencesJogjakarta2007SKRIPSIPENERAPAN MEKANIKA KUANTUM SUPERSIMETRIKDALAM MASALAH RADIAL DAN PERSAMAAN DIRACDERAJAT PERTAMAElida Lailiya Istiqomah03/171226/PA/09791Dinyatakan lulus ujian skripsi oleh tim pengujipada tanggal 9 Oktober 2007Tim PengujiDr.rer.nat. M. Farchani Rosyid Juliasih Partini, M.Si.Pembimbing I Penguji IDr. Kamsul AbrahaPenguji IIKupersembahKanBagi DIA Sang Maha Pintaryang menciptakan segala keteraturan alamUntuk Bapak dan Ibunda, Mbah Putri,Adikku Novida dan Farid tersayangiv"Bukankah Dia mendapatimu sebagai seorang yatim, lalu Dia melindungimu.Dan Dia mendapatimu sebagai seorang yang bingung, lalu Dia memberikan petun-juk.Dan Dia mendapatimu sebagai seorang yang kekurangan, lalu Dia memberikan ke-cukupan."(Q.S. Adh Dhuha : 6-8)Pangati ati iKu setengah saKa Keslametan.(Pepeling Jawa)vKATA PENGANTARAlhamdulillah, wa syukurillah.....Tiada kata yang mampu dituliskan untuk mengungkapkan rasa syukur bahagiaatas nikmat yang begitu besar.Sesungguhnya segala sesuatu, ilmu yang bermanfaat,pengetahuan yang mencerahkan jalan manusia, adalah dari Allah SWT semata, yangMaha Esa tiada duanya, Maha Pemberi dan Maha Penyayang bagi seluruh ciptaan-Nya, serta Maha Pintar yang tiada satupun mampu menyamai-Nya. Semoga setiapilmu pengetahuan yang bertambah seiring berlarinya waktu senantiasa menuntun kitauntuk semakin mengakui kebesaran-Nya dan meraih ridho Ilahi.Puji syukur kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehinggapenulis dapat menyelesaikan perkuliahan dan skripsi ini dengan lancar. Tiada katayang dapat melukiskan puji syukur penulis kepada-Nya atas pertolongan yang takhenti-hentidalamprosespenulisanskripsiini. Setelahlebihdari4tahunpenulisberjuang di bidang sika, yang tidak pernah terduga akan mendalaminya, akhirnyapenulis bisa memberikan sebuah karya kecil untuk memenuhi syarat wajib kelulu-san. Dengan mengumpulkan pemahaman dalam SKS demi SKS masa panjang kuliahyang melelahkan sekaligus mengasyikkan, menjemukan namun penuh kenangan danhikmah, akhirnya penulis sampai pada masa akhir perkuliahan dan merampungkanpenulisan skripsi ini.Segenggamkumpulantulisanyangtersusundalamsebuahskripsi ini me-mangtidakmenyuguhkansuatupenemuan. Kendati demikian, karyaini menco-viviiba menggabungkan, bahkan menggali sebuah kajian yang mungkin hingga saat inimasih belum banyak disinggung, khususnya di bangku perkuliahan. Ada sebentukkepuasan tersendiri saat bisa menemukan konsep yang selama ini tidak terpikirkan,membayangkannya pun belum pernah.Pada awalnya saya merasa tidak cocok menekuni bidang ini, yang penuh de-ngan kerumitan dan banyak konsep-konsep sukar dicerna. Bahkan kata kunci dalammemahami skripsi ini, SUPERSYMMETRY, begitu asing di telinga sehinggamemusingkan dan terasa ambigu. Saya menganggap tidak ada kesesuaian antara topikini dengan sika inti, bidang yang waktu itu sangat saya sukai. Begitu tercengangnyasaat menyadari kekeliruan dalam pikiran saya selama ini. Dan akhirnya kembali sayaharus berucap syukur atas kemudahan yang telah dilalui. Di samping itu, semakintersadar saya dalam memahami makna ilmu pengetahuan yang bernama sika secaranyata dan yang sebenarnya. Allah menciptakan segala sesuatu dengan keteraturan,keseimbangan, kesetangkupan, simetri..."Yangtelahmenciptakantujuhlangitberlapis-lapis. Kamusekali-kalitidakmelihat padaciptaanTuhanYangMahaPemurahsesuatuyangtidakseim-bang. Makalihatlahberulang-ulang, adakahkamulihatsesuatuyangtidakseimbang?"(Q.S. Al Mulk : 3)Dalam setiap tahapan pembelajaran, begitu banyak hal yang saya dapat, na-mun hal ini secara langsung juga mengingatkan saya pribadi bahwa masih banyakpula hal yang belum saya ketahui. Sering saya pusing dengan hal-hal baru dan ke-mudian mencoba mengatasi pertanyaan- pertanyaan yang belum terjawab, satu demisatu. Bahkan hingga detik ini dan selamanya, proses itu masih saja terjadi dan terusberulang. Inilah pembelajaran dalam hidup.

viiiSelama perkuliahan dan penulisan skripsi banyak pihak yang telah memban-tu apapun kepada penulis. Bapak, Alm. Drs. Sholikhin Salam dan ibunda, SriYuliyanti tercinta, yang tidak henti-hentinya memberikan curahan perhatian, cintadan kasih sayang, ananda tiada akan dapat membalas seluruh pengorbanan yang telahdilimpahkan. Skripsi ini sebagai salah satu wujud takzim ananda, atas ridho dan doayang selalu diberikan. Kepada mbah putri, terima kasih atas doa yang selalu diberikanpada cucumu. Untuk keluarga pakdhe Sudijono terima kasih atas semua bantuannya.Buat kedua adikku tersayang, Novida dan Farid, terima kasih atas segala dukungandan keceriaan yang mengisi hari-hari kita.Terima kasih banyak atas segenap waktu yang telah diluangkan oleh Dr. rer.nat. Muhammad Farchani Rosyid, selaku dosen pembimbing skripsi, yang mem-berikan tema skripsi yang awalnya begitu asing namun menarik, bahan perkuliahandan berbagai pemahaman mengenai berbagai konsep. Terima kasih pula atas doro-ngan, semangat, motivasi dan teladan dalam setiap bimbingan yang diberikan dengankesabaran. Penulis ingin tetap berkolaborasi dalam memahami konsep-konsep barusehingga dapat menghasilkan karya yang lebih baik lagi.Semoga Allah SWT mem-balas semua kebaikan yang telah Bapak berikan.Terima kasih pula untuk Drs. Guntur Maruto, S.U., selaku dosen wali / pem-bimbing akademik selama 4 tahun, yang telah memberi arahan dan bimbingan yangkontinu serta memantau perkembangan akademik setiap semester sehingga penulisdapat menjalani masa perkuliahan dengan lancar. Pada seluruh dosen dan staf juru-san sika, Alm. Prof. Muslim, Bu Zahara, Bu Palupi, Bu Juli, Pak Kamsul, PakArief, Pak Kuwat, dll, terima kasih atas ilmu yang telah dibagikan kepada penulis.Kepadasahabat-sahabatkusikawati angkatan2003: Zumie, Tasya, Sulis,Wurie, teteh Nia, Anisa, Soe, Nadhia, Tuta, ukhti Immel, Astin, Ayu, dll, terimakasih atas kebersamaan yang indah selama kuliah. Buat neng Lute,terima kasihixatas dorongan yang membawaku ke sika teori, belajar denganmu jadi lebih menye-nangkan. Terima kasih banyak atas bantuan selama penyusunan skripsi sejak awalhingga akhirnya bisa terselesaikan untuk Leo, Dodo, Firdaus dan Frenky. Untuk masTimmy, mbak Ria, mas Ardhi, mbak Latief, terima kasih atas segala masukan yangdiberikan. Untuk teman-teman pecinta Astrosika, Dito, Atsna, Nana, Pri, mas Joko,semoga kita bisa terus bersama-sama menggali ilmu. Untuk Vevy, Fina, Merry, danteman-teman sika angkatan 2005, kejarlah terus cita-citamu.Kepada pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telahbanyak memberi bantuan untuk penulis, terima kasih atas semua yang telah diberikan.Semoga Allah selalu membimbing kita semua.Penulis berharap agar skripsi ini dapat memberikan wacana baru yang dapatmenjadi langkah awal bagi ide dan gagasan kreatif selanjutnya. Penulis menyadaribahwa skripsi ini tidak lepas dari berbagai kesalahan dan masih sangat jauh dari ke-sempurnaan, untuk itu penulis mohon maaf. Akhirnya, tiada gading yang tak retak,kesempurnaan tiada lain hanyalah milik Allah Taala...Yogyakarta, Oktober 2007 - Romadhon 1428 HElida Lailiya IstiqomahDAFTAR ISIHalaman Judul iHalaman Judul (dalam Inggris) iiHalaman Pengesahan iiiHalaman Persembahan ivHalaman Motto vKATA PENGANTAR viINTISARI xivABSTRACT xvI PENDAHULUAN 11. Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. Ruang Lingkup Kajian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54. Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66. Sistematika Penulisan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77. Metode Penelitian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II PRINSIP DASAR SUPERSIMETRI DALAM MEKANIKA KUANTUM 91. SUSY dan Masalah Osilator Harmonik . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. Superpotensial dan Pengaturan Hamiltonan SUSY . . . . . . . . . . . 17xxi3. Arti Fisis dari Hamiltonan Supersimetri . . . . . . . . . . . . . . . . 224. Sifat - Sifat Pasangan Hamiltonan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24III SUSY DALAM MASALAH RADIAL 281. SUSY dan Masalah Radial Tiga Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . 282. Masalah Radial Menggunakan Operator Tangga dalam SUSYQM . . 343. SUSY dalam D Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39IV TEORI DIRAC TENTANG PARTIKEL SPIN 1/2 DAN PENDEKATANNON-RELATIVISTIKNYA 431. Persamaan Dirac dalam Mekanika Kuantum Relativistik . . . . . . . 432. Partikel Dirac Bebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443. Alih Ragam Foldy-Wouthuysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47V PENERAPANMEKANIKAKUANTUMSUPERSIMETRIKDALAMPERSAMAAN DIRAC DERAJAT PERTAMA 541. Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542. Model dan Penyelesaiannya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563. Supersimetri dan Pangkat Dua Hamiltonan Pauli Relativistik . . . . . 604. Supersimetri dan Hamiltonan Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635. Kesetaraan Supersimetri dengan Persamaan Dirac-Alih Ragam FoldyWouthuysen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68VI PENUTUP 721. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A PEMBUKTIAN PERSAMAAN (II.13) - (II.15) 76xiiB PERSAMAAN SCHRDINGER DALAM POTENSIAL SETANGKUPBOLA 79C PEMBUKTIAN PERSAMAAN (B.13) DAN (B.14) 89ARTI LAMBANG DAN SINGKATANR Himpunan bilangan riil.C Himpunan bilangan kompleks.RnProduk kartesis n buah himpunan bilangan riil R.a A a adalah anggota himpunan A. Untuk setiap.B A Himpunan B adalah subhimpunan dari himpunan A.A B Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B. Produk/hasil kali tensor antara dua operatoryang masing-masing berada dalam suatu ruang vektor.(n)Fungsi delta Dirac.:= Denisi Tak terhingga.dnx Sama dengan dx1dx2 dxnatau dx0dx1 dxn1._Integral meliputi seluruh domain integrand. Operator nabla pada ruang koordinat.[) Vektor ket.[ Vektor bra.[) Hasil kali skalar antara vektor ket dan vektor bra.h Tetapan Planck. Dalam satuan SI besarnya adalah6, 626 1034J.s.e Muatan listrik elementer. Dalam satuan SI besarnya adalah1, 602 1019C.c Laju rambat cahaya pada ruang hampa. Dalam satuan SI besarnyaadalah 2, 998 108m/s.xiiiINTISARIPENERAPAN MEKANIKA KUANTUM SUPERSIMETRIKDALAM MASALAH RADIAL DAN PERSAMAAN DIRACDERAJAT PERTAMAOleh :Elida Lailiya Istiqomah03/171226/PA/09791Telah dilakukan kajian mengenai konsep supersimetri dalam mekanika kuan-tum serta penerapannya pada masalah radial dan persamaan Dirac derajat pertama.SUSY dalam masalah radial dibahas dengan memanfaatkan operator tangga. Pem-bahasan SUSY dalam masalah radial dibatasi untuk sistem minimal berdimensi tiga.SUSYQM untuk sistem relativistik (persamaan Dirac) ditelusuri menggunakan alihragam Foldy-Wouthuysen.Kata kunci : supersimetri, mekanika kuantum, masalah radial, persamaan Dirac, alihragam Foldy-WouthuysenxivABSTRACTAPPLICATIONS OF SUPERSYMMETRIC QUANTUMMECHANICS IN THE RADIAL PROBLEMS AND FIRSTORDER DIRAC EQUATIONBy :Elida Lailiya Istiqomah03/171226/PA/09791The concept of supersymmetry in quantum mechanics and its applications toradial problems and rst order Dirac equation have been discussed. SUSY in the ra-dial problems be applied to three and higher dimensions, also be handled using ladderoperator techniques. SUSYQM for relativistic systems (Dirac equation) are discussedusing Foldy-Wouthuysen transformation.Keywords : supersymmetry, quantum mechanics, radial problems, Dirac equation,Foldy-Wouthuysen transformationxvBAB IPENDAHULUAN1. Latar Belakang MasalahPada abad ke-20, bidang ilmu sika mengalami pergeseran dalam memaha-mi alam, yaitu pada dua paradigma. Pertama, yaitu Mekanika Kuantum, dan yangkedua adalah Relativitas. Penggabungan antara keduanya disebut Teori Medan Kuan-tum yang di dalamnya muncul konsep anti-materi. Pada abad ke-21, sika diarahkanpada tingkatan penggabungan yang lain, misalnya penggabungan antaraMekanikaKuantum dan Relativitas Khusus, teori gravitasi Einstein. Penggabungan ini belummemperoleh hasil yang memuaskan, terganjal oleh inkonsistensi matematis, ketak-berhinggaan, dan kebolehjadian yang negatif. Salah satu kunci untuk mengatasinyaadalah konsep tentang supersimetri. Supersimetri awalnya diperkenalkan pada bidangkajian Fisika Energi Tinggi (High Energy Physics, HEP) dalam usaha memperolehpenjelasan terpadu dari semua interaksi mendasar di alam.Supersimetri, atau yang sering disingkat SUSY1, muncul pertama kali padatahun 1971 ketika Ramond mengajukan konsep tentang fungsi gelombang untuk fer-mion bebas berdasarkan struktur dual model untuk boson. Kemudian, John Schwarzdan Neveu membangun dual theory yang menggunakan aturan anti komutasi untukoperator, yang sesuai dengan tipe osilator harmonik dual model konvensional untukboson.Namun SUSY yang sebenarnya baru muncul pada 1974 oleh Julius Wess danBruno Zumino dalam artikelnya yang berjudul A Lagrangian Model Invariant UnderSupergauge Transformations, [Wess dan Zumino , 1974]. Mereka mendenisikan settransformasisupergaugedalam4dimensidanmenunjukkanhubungannyadengan1Dari asal kata dalam bahasa Inggris : SUPERSYMMETRY.12teori medan bebas Lagrangan.Supersimetri adalah kesetangkupan yang dapat mempertukarkan antara fer-mion dan boson dalam sebuah operasi invarian. Seperti yang telah diketahui dalamsika partikel, semua partikel yang paling mendasar (elementary particles) dan par-tikel gabungan2(composite particles), yang sejauh ini telah teramati adalah bosonatau fermion, bergantung pada spinnya. Boson adalah partikel pembawa gaya yangmemiliki ciri khusus pada spin berupa kelipatan bilangan bulat, misalnya foton.Bo-son mematuhi statistik Bose-Einstein dan nama boson ini sendiri diambil dari namasikawan India, Satyendra Nath Bose. Sedangkan fermion yang diambil dari namasikawanasalASkelahiranItalia, EnricoFermi, adalahpartikelpenyusunmateriyang memiliki spin berupa kelipatan setengah dari bilangan bulat dan mematuhi sta-tistik Fermi-Dirac. Hingga saat ini diyakini bahwa fermion terdiri dari quark danlepton, quarkadalahpenyusunprotondannetron(keduanyakomposit)sedangkanlepton adalah sebutan untuk elektron, muon, tauon dan neutrino.SUSYmerupakankesetangkupantingkattinggiyangtaklazim, mengingatfermion dan boson memiliki perbedaan dalam banyak hal. Misalnya, ketika dua bo-son yang identik berkondensasi, dalam sudut pandang asas larangan Pauli, tidak adadua fermion identik dapat mengisi keadaan yang sama. Hal ini kemudian diubah bah-wa partikel-partikel tersebut dapat berkelakuan secara setangkup, sebab pada fermionberlaku kaitan komutasi, sedangkan pada boson berlaku kaitan antikomutasi. Aljabaryang menjelaskan SUSY adalah aljabar Lie berderajat yang mengatur kombinasi darihubungan komutasi dan antikomutasi.Dalam teori supersimetri yang paling sederhana, setiap boson memiliki pasa-ngan fermion yang sesuai dan setiap fermion memiliki pasangan boson yang sesuaipula. Pasangan fermion dari boson yang ada memiliki nama yang diperoleh dengan2Partikel komposit dibuat atau dibentuk dari partikel yang lebih mendasar (fundamental).3menggantikan suku "on" pada akhir nama boson dengan "no",atau menambahkansuku "ino", seperti gluino, fotoino, wino dan zino. Pasangan boson dari fermion yangada memiliki nama yang diperoleh dengan menambahkan huruf "s" pada awal namafermion, misalnya selektron, squark, dan slepton.Dorongan utama dalam mempelajari SUSY (dari sudut pandang sika parti-kel) adalah1. SUSY memberikan landasan yang tepat untuk penggabungan materi dan gaya,2. SUSY mengurangi perbedaan antara kuantum dan gravitasi,3. SUSY memberikan jawaban untuk masalah hierarki (hierarchy problem) dalamTeori Kesatuan Agung atau Grand Unied Theory (GUT).Mekanika kuantum dipakai untuk menjelaskan tiga dari empat interaksi men-dasar yaitu interaksi elektromagnetik, lemah dan kuat. Interaksi elektromagnetik daninteraksi lemah telah digabungkan dalam teori elektrolemah (electroweak theory), se-dangkan teori elektrolemah dan interaksi kuat hingga kini masih dicoba untuk meng-gabungkannya dalamteori kesatuan agung (GUT). Konsep supersimetri diperkenalkandalam usaha memperoleh GUT tersebut dengan menggabungkan kedua partikel men-dasar, boson dan fermion, yang sifat-sifatnya berbeda.Alam semesta ini seharusnya bisa dijelaskan dengan satu teori tunggal, yangberlaku baik pada dunia makro maupun mikro. Para ilmuwan dari berbagai kalan-gan terus memburu teori tunggal ini yang merupakan kunci utama memahami alamsemesta sesungguhnya bekerja. Inilah isu utama di kalangan para sika teoritis. Salahsatu upaya yang dilakukan adalah menggabungkan materi dan gaya, dua hal yangmemiliki kelakuan berbeda di alam ini.Penggabungan antara boson dan fermion secara langsung merupakan peng-gabungan antara materi dan gaya karena boson adalah partikel pembawa gaya sedang-4kan fermion adalah partikel penyusun materi. Materi dan gaya pada dasarnya adalahdua hal yang sangat berbeda, namun dengan teori supersimetri keduanya dapat diper-tukarkansehinggaperbedaanyangadamenjadiberkurang. Dengandisatukannyamateri dan gaya maka perbedaan antara kuantum dan gravitasi berkurang sehinggapenelusuran yang menuju GUT menjadi lebih mudah.Ciri-ciri SUSY yang penting antara lain1. Partikel dengan spin yang berbeda, yaitu boson dan fermion, dapat dikelom-pokkan bersama dalam supermultiplet,2. Simetri internal seperti isospin atau SU(3) dapat tergabung dalam supermulti-plet.3. Perbedaan dalam teori medan SUSY sangat berkurang.Konsep supersimetri hingga saat ini terus mendapat perhatian sikawan de-nganberbagaimakalahyangbermunculanyangmemaparkankaitanantaraSUSYdan konsep-konsep sika. Supersimetri muncul dalam bentuk yang berbeda pada tiappenerapannya. Dalam artikelnya [Cooper, et. al., 1995], Cooper dkk. memaparkankonsep sederhana tentang supersimetri dalam mekanika kuantum dan hubungannyadengan proses stokhastik klasik, yang sebelumnya pernah dijelaskan pada 1979 olehG. Parisi dan N. Sourlas. Hubungan antara SUSY dengan sistem ketidakteraturan(chaotic systems) dengan menggunakan teori matriks acak (random matrix theory)dapat dilihat pada [Efetov , 1997] dan [Mirlin , 1999].Keberadaan partikel supersimetri atau "superpartners" juga menarik perhatianpara peneliti di laboratorium, misalnya Large Hadron Colliderdi CERN yang se-jak 1995 mencoba menemukan pasangan W boson, serta penelitian di Fermilab yangmencari pasangan quark dan gluon. Hingga saat ini belum ada eksperimen yang men-dukung teori supersimetri ini namun bukan tidak mungkin hal tersebut akan segera5terbukti seiring dengan penelitian yang terus dikembangkan.2. Perumusan MasalahDari uraian tersebut telah dijelaskan bahwa konsep supersimetri muncul dalamupaya merumuskan teori kesatuan agung (GUT) yang menyatukan ketiga interaksidunia mikro. Supersimetri muncul untuk memberikan jawaban pada masalah hierarkiGUT yang mencoba menggabungkan materi dan gaya, sehingga perbedaan diantarakeduanya berkurang. Penggabungan ini dilakukan dengan menggunakan aljabar yangdapatmempertukarkankeduapartikelmendasaryangmenyusunmateridangaya,yaitu boson dan fermion.Dalam upaya memperoleh teori kesatuan agung (GUT), supersimetri dikem-bangkan dalam ranah mekanika kuantum yang mempelajari skala mikro dan men-cakup ketiga interaksi mendasar tersebut. Oleh sebab itu, supersimetri harus dapatditerapkan dalam berbagai masalah di dalam mekanika kuantum.Dalam skripsi ini, supersimetri ditinjau dalam dua masalah mekanika kuan-tum yang sederhana sehingga memudahkan pemahaman dalam melihat kaitan SUSYsecara langsung. Pertama, SUSY ditinjau dalam persamaan Schrdinger, khususnyapada bagian radialnya. Kedua, SUSYditinjau dalampersamaan Dirac derajat pertamayang menerangkan partikel spin12. Dipilih kedua masalah tersebut karena keduanyasering dijumpai dalam kaitannya dengan bidang yang meliputi mekanika kuantumlainnya.3. Ruang Lingkup KajianKajian skripsi ini dibatasi hanya pada penelusuran aljabar supersimetri dalammekanika kuantum dan tidak membahas bidang lain. Penerapannya dalam mekanikakuantum juga dibatasi hanya pada dua masalah, yaitu masalah radial dan persamaan6Dirac derajat pertama sehingga tidak pula melibatkan kajian mengenai masalah mekani-ka kuantum lainnya. Selain itu, tidak dipaparkan keterkaitan antara kedua bidangpenerapan supersimetri tersebut, yaitu persamaan Dirac dan masalah radial.4. Tujuan PenelitianTujuan penelitian ini adalah:1. Merumuskan aljabar yang mendasari konsep supersimetri dalam lingkup kajianmekanika kuantum.2. Menunjukkan bahwa konsep SUSYQM berlaku dalam masalah radial, minimalpada kasus berdimensi tiga dan lebih mudah diterapkan dengan menggunakanteknik operator tangga.3. Menunjukkan penerapan SUSYQM dalam persamaan Dirac orde pertama de-ngan menggunakan alih ragam Foldy-Wouthuysen.4. Menunjukkan kesetaraanantarakonsepSUSYQM,persamaanDiracdanal-ih ragam Foldy-Wouthuysen sehingga kaitan tersebut menyebabkan SUSYQMdapat diterapkan di dalamnya.5. Tinjauan PustakaPenjelasan tentang supersimetri dalammekanika kuantumsecara singkat dipa-parkan oleh Avinash Khare [Khare , 2004] sebagai landasan untuk memahami konsepsupersimetri dalammekanika kuantum. Paparan yang lebih terperinci disajikan dalambukunya yang disusun bersama-sama dengan Fred Cooper dan Uday Sukhatme. Pen-jelasan yang sama juga dapat dilihat pada buku karangan [Bagchi , 2000] yang jugamenjelaskan supersimetri dalam mekanika klasik dan sistem non linier. Dalam buku7tersebutjugadijelaskanpenerapanmekanikakuantumsupersimetrikdalamberba-gai masalah yang bersesuaian, salah satunya pada masalah radial. Sedangkan dalamartikel [Blockley , 2000], Blockley dan Stedman membahas aljabar supersimetri men-dasar dengan contoh yang sederhana.Dalam makalahnya [Hughes et. al. 1 , 1986], Hughes dkk. secara ringkasmenjelaskan supersimetri dalampersamaan Dirac derajat pertama untuk sistemLandau-Hall. Artikel ini kemudian disempurnakan dalam makalah selanjutnya yang lebihurutdanterperinciyaitu[Hugheset. al. 2, 1986]yanglebihmenekankanpadatelaah mekanika kuantum supersimetrik dan pangkat dua hamiltonan Pauli dan Dirac.Dalammenjelaskan kaitan tersebut mereka menggunakan alih ragamFoldy-Wouthuysen[Foldy dan Wouthuysen , 1949] yang awalnya digunakan untuk menjabarkan pen-dekatan nonrelativistik bagi teori Dirac. Untuk memperjelas pemahaman dalamhubu-ngan SUSYQM dan persamaan Dirac, Beckers dan Debergh dalam artikelnya [Beck-ers dan Debergh , 1990] memaparkan kesetaraan keduanya dalam kaitan alih ragamuniter Foldy-Wouthuysen.6. Sistematika PenulisanSkripsi ini ditulis dalam lima bab, dengan penjelasan bab demi bab adalahsebagai berikut:Pada bab I dikemukakan latar belakang penelitian yang dilakukan, tujuan peneli-tian, tinjauan pustaka, sistematika penulisan, serta penjelasan mengenai metodepelaksanaan penelitian.BabIIberisi penjelasanmengenai konsep-konsepdasarsupersimetri dalammekanika kuantum, dimulai dengan hubungan SUSY dengan masalah osilatorharmonik. Dijelaskan pula bentuk-bentuk matematis dalam SUSYQM.8Bab III membahas hubungan antara konsep SUSYQM dan masalah radial, baikpadakasus3dimensi maupunlebih. Babini jugamenguraikanpenerapanSUSYQM dalam masalah radial dengan menggunakan operator tangga.Pada bab IV dibahas aspek-aspek penting dalam memahami persaman Diracdan alih ragam Foldy-Wouthuysen. Bab ini adalah pengantar sebelum mem-pelajari penerapan SUSYQM selanjutnya.Bab V membahas penerapan SUSYQM dalam persamaan Dirac derajat perta-ma beserta alih ragam yang digunakannya. Dalam bab ini dibahas pula menge-nai kaitan kesetaraan yang terjalin antara SUSYQM, persamaan Dirac dan alihragam Foldy-Wouthuysen.BabVIberisi kesimpulanmengenai hasil kajianyangtelahdilakukansertasaran-saran untuk kajian mendatang mengenai topik-topik yang telah berkai-tan dengan topik yang dikemukakan dalam skripsi ini.7. Metode PenelitianMetode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian teoritis terhadapsupersimetri yang ditinjau dalam mekanika kuantum, serta penerapan konsep tersebutdalam beberapa aspek yang membuktikan kesesuaian dengan teori supersimetri yangdimaksud.BAB IIPRINSIP DASAR SUPERSIMETRI DALAM MEKANIKAKUANTUM1. SUSY dan Masalah Osilator HarmonikSUSY memberikan penjelasan yang elegan tentang struktur dan kesetangku-pan pada persamaan Schrdinger. Untuk memahami SUSYdalammekanika kuantumnonrelativistik secara sederhana1dan mempelajari SUSY bekerja, pembahasan akandimulai pada masalah osilator harmonik.Dalam penjabaran prinsip dasar SUSYQM ini dipilih keterkaitannya denganmasalah osilator harmonik. Hal ini dikarenakan osilator harmonik menempati posisiistimewa, antara lain :Osilatorharmonikmerupakanpenghampiran(pendekatan)yangsangatbaikbagi gerakan sebarang benda di sekitar posisi setimbangnya, yaitu titik tem-pat potensial partikel bernilai minimum.Perilaku sebagian besar sistem kontinu, seperti getaran atom-atom pada me-diumelastis(misalnyadinamikafonondalamkristaldanperambatanbunyidalam zat padat maupun zat cair) dan medan elektromagnet dalam rongga, da-pat dideskripsikan dengan teori osilator harmonik.Osilator harmonik berperan penting dalam pemerian (deskripsi) sekumpulanpartikel identik yang secara kuantum semuanya memiliki keadaan yang sama.Tingkat-tingkat energi osilator harmonik terpisah secara seragam : selisih antar1SUSY yang diterapkan ke dalam mekanika kuantum sering disingkat SUSYQM, dari asal katadalambahasaInggris: SupersymmetricQuantumMechanics. Dalambeberapareferensiadapulayang disingkat SSQM atau SQM.910tingkat energi yang berturutan selalu sama, yaitu sebesar .Tata cara penyelesaian persaman swanilai dalamosilator harmonik memberikansuatugambaranuntukmemperolehswanilaidenganmemanfaatkanperilakuyang harus dipenuhi oleh swafungsi di x .Ditinjau hamiltonan pada osilator harmonik, yang diberi simbol HB, yaitu2HB=

22md2dx2+12mB2x2, (II.1)denganBmenunjukkan frekuensi alamiah osilator dan =h/2, tetapan Plancktersusutkan.Selanjutnya,akan digunakan sistem satuan sehingga =m=1 danp=iddx. Oleh karena itu, persamaan (II.1) menjadiHB= 12d2dx2+12B2x2.Didenisikan operator turun b dan operator naik b menurutb =i2B(p iBx) dan b= i2B(p + iBx). (II.2)Hamiltonan pada persamaan (II.1) menjadiHB=12Bb, b, (II.3)dengan b, b adalah antikomutator antara b dan b, yakni b, b = bb + bb.Keduaoperator, bdanb, apabiladikenakanpadaswakeadaantenaga, [n), mem-2Pada pembahasan selanjutnya akan dijelaskan alasan penggunaan simbol tersebut.11berikanb[n) =n[n 1) b[n) =n + 1[n + 1).Operator cacah boson, NB= bb, memenuhi persamaan swanilaiNB[n) = n[n),dengan n = nB.Syaratpengkuantumankanonik, [q, p] =i, diubahdalambentukbdanbmenjadi[b, b] = 1, (II.4)[b, b] = 0, [b, b] = 0,[b, HB] = Bb, dan [b, HB] = Bb.Dengan menggunakan persamaan (II.4) diperolehHB= B(bb +12) = B(NB +12)dan spektrum tenaganyaEB= B(nB +12).Bentuk persamaan (II.3) menunjukkan secara tidak langsung bahwaHBse-tangkup terhadap pertukaran b dan b. Hal ini menunjukkan partikel yang dimaksudmemenuhi statistik Bose-Einstein. Itulah sebabnya hamiltonan tersebut diberi simbolHB.Selanjutnya diamati penempatan operator b dan b dalamhubungannya denganosilator fermionik yang akan ditinjau. Hal ini memberikan hasil berupa hamiltonan12fermionikHF=F2[a, a],dengan a dan a adalah operator turun dan naik pada osilator fermionik yang meme-nuhi syarata, a = 1, (II.5)a, a = 0 dan a, a = 0. (II.6)Analogi bagi NB adalah operator cacah fermionik, NF= aa.Syarat "nilpotency" pada persamaan (II.6) membatasi NF pada swanilai 0 dan1 yaituNF2= (aa)(aa)= (aa)= NFNF(NF 1) = 0 (II.7)Persamaan (II.7) cocok dengan asas larangan Pauli. Sifat antisetangkup yangdimiliki HF terhadap pertukaran a dan a menunjukkan objek (partikel-partikel) yangmemenuhi statistik Fermi-Dirac. Partikel-partikel yang demikian ini disebut fermion.Sepertib danbpada persamaan (II.2), operatora danajuga memenuhi wakilanyang cocok. Dalam bentuk matriks Pauli dapat disajikan sebagaia =12a=12+, (II.8)13dengan = 1i2 dan [+, ] = 43 , serta mengingat bentuk1=___0 11 0___; 2=___0 ii 0___; 3=___1 00 1___. (II.9)Dengan menggunakan syarat persamaan (II.5), Hamiltonan fermion dapat dinyatakansebagaiHF= F(NF 12).Hamiltonan tersebut memiliki spektrumEF= F(nF 12), nF= 0, 1.Dalam pengembangan SUSY, diperhatikan sistem gabungan (superposisi) antara osi-lator bosonik dan fermionik. Tenaga E dari penjumlahan EB dan EFadalahE= B(nB +12) + F(nF 12). (II.10)Dari persamaan (II.10) ini dapat dilihat bahwaEtidak berubah jika terjadipenurunan satu bilangan kuantum bosonik (nB nB 1) dan sekaligus kenaikansatu bilangan kuantum fermionik (nF nF+ 1) (dan sebaliknya) dengan frekuensialamiah sama,B=F. Kesetangkupan yang demikian disebut SUPERSYMME-TRY (SUSY).ApabilaB=F, spektrum tenaga superposisi osilator fermion dan bosondiberikan olehE= (nB + nF), (II.11)dengan := B= F.Ditinjaupadakeadaandasar(groundstate), persamaan(II.11)memberikan14nB=nF=0. Keadaan ini disebut SUSY tak rusak (SUSY unbroken). Keadaanyang bernilai nol ini (nB=nF=0) muncul karena hilangnya pengaruh boson danfermion pada tenaga keadaan dasar supersimetri.Tenaga untuk keadaan dasar masing-masing osilator bosonikEB=B2danosilatorfermionikEF=F2, kedunyabernilai tidaknol. Spektrumtenaganyamerosot (degenerate)untukkeduanya(fermiondanboson). KemerosotanSUSYmuncul karena turun / naiknya satu bilangan kuantum bosonik dan naik / turunnyasatubilangankuantumfermioniksecarabersamaan. Pembangkitnyadiungkapkandalam bentuk ba (atau ba).Jika didenisikan kuantitas Q dan Q, sebagaiQ =b aQ=ba, (II.12)dapat dibuktikan bahwa supersimetri memiliki hamiltonanHs= (bb + aa)= Q, Q. (II.13)Hamiltonan Hs berkomutasi dengan kedua operator Q dan Q, yaitu[Q, Hs] = 0 [Q, Hs] = 0. (II.14)Sementara itu berlaku kaitan antikomutasi3Q, Q = 0 Q, Q = 0. (II.15)Dengan melihat persamaan (II.14), Q danQadalah operator supermuatan3Penjelasan dan pembuktian persamaan ini dapat dilihat pada LAMPIRAN A.15(supercharge), yaitu swadamping (self-adjoint) satu dari yang lain.Dari persamaan (II.13)-(II.15), dapat dilihat pula bahwa Q, Q dan Hs, keti-ganya(satudenganyanglain) memenuhi aljabar yangmencakupkomutator dansekaligusantikomutator. Aljabar ini disebut aljabar berderajat (gradedalgebra).Manfaat QdanQadalahuntukmengubahkeadaanbosonik(fermionik)menjadikeadaan fermionik (bosonik) ketika dioperasikan. Hal ini dapat ditulisQ[nB, nF) =nB[nB1, nF+ 1), nB ,= 0, nF ,= 1Q[nB, nF) =_(nB + 1)[nB + 1, nF 1), nF ,= 0. (II.16)Akan tetapi jika ditinjau pada kasus :untuk nB= 0, nF= 1, maka Q[nB, nF) = 0, danuntuk nF= 0, maka Q[nB, nF) = 0.Untuk melihat makna sis Hamiltonan SUSY, Hs, digunakan persamaan (II.2)dan (II.8) untuk operator bosonik dan fermionik. Dari persamaan (II.13) :Hs=12(p2+ 2x2)| +123, (II.17)dengan | adalah matriks satuan (2 2). Persamaan (II.17) ini menunjukkan bahwaHs sesuai dengan osilator bosonik dengan sebuah elektron yang berada pada medanmagnet luar.Dua komponen Hs pada persamaan (II.17) dapat diproyeksikan menjadiH+= 12d2dx2+12(2x2) bbH= 12d2dx2+12(2x2+ )16 bb. (II.18)Dengan menggunakan persamaan (II.4), Hs dapat dinyatakan sebagaiHs diag (H, H+)= (bb +12)| +23. (II.19)Dari persamaan (II.18) terlihat bahwa H+ dan H tidak lain adalah realisasi/ perwujudan dua Hamiltonan osilator harmonik yang sama dengan tetapan pergeser-an dalam spektrum tenaganya. Dapat diamati pula bahwa H adalah hasil dariproduk operator b dan b secara langsung dan berkebalikan, serta merupakan bentukeksplisit yang dipengaruhi oleh persamaan (II.2) dan (II.8).17Gambar II.1: Spektrum sistem supersimetri dalam SUSYQM. Keadaan dasar tidakmerosot dan pada tingkat tenaga nol semua keadaan eksitasi merosot ganda.2. Superpotensial dan Pengaturan Hamiltonan SUSYDari persamaan (II.18) diperolehV(x) =12[W2(x) W

(x)] (II.20)dengan W(x) = x, disebut superpotensial, yaitu potensial yang dimiliki oleh Hamil-tonian partikel supersimetri, dan bermanfaat untuk memeriksa syarat dalam kaitannya18dengan keadaan supersimetri rusak secara spontan (spontaneously broken).Struktur umum dariVpada persamaan (II.20) menunjukkan kemungkinanbahwa koordinat x dapat ditempatkan pada persamaan (II.18) dengan fungsi W(x).Dalambentuk persamaan (II.20), V berada pada ungkapan umumHamiltonian SUSY,yaituHs=12(p2+ W2)| +123W

. (II.21)Analog dengan persamaan (II.12), supermuatan dapat ditulis sebagaiQ =12___0 W+ ip0 0___; Q=12___0 0W ip 0___. (II.22)Q dan Q dapat digabung menjadi persamaan (II.13) dan Hs berkomutasi dengan Qdan Q seperti pada persamaan (II.14). Dapat diamati bahwa persamaan (II.21),(II.22)(II.13) dan (II.14) secara umum memberi dasar nonrelativistik bagi Hs yang meme-nuhi semua kriteria / persyaratan formal Hamiltonian SUSY.Selanjutnya dalam bentuk W(x), operator bosonik b dan b diubah ke dalambentuk yang lebih umum yaitu2b A = W(x) +ddxdan2b A= W(x) ddx. (II.23)Jika dinyatakan dengan operator A dan A, Hs berbentuk2Hs=12A, A| +123[A, A]. (II.24)19Sementara dalam bentuk matriks, Hs merupakan matriks diagonal, yaituHs diag (H, H+)=12diag (AA, AA) (II.25)dengan H+= bosonik dan H= fermionik, yang merupakan wakilan dari Hs.KeduaHdapatdiselesaikanbersama-samadenganmengambilperubahanvariabel W= gu

/u, dengan g adalah parameter perubahan yang dapat bernilai posi-tif atau negatif, sehingga H menjadi2H= d2dx2+ (g2g)(u

u)2g(u

u).Jelas bahwa parameter g berpengaruh pada pertukaran antara boson dan fer-mion :g g, H+ H. Untuk menunjukkan cara prosedur ini bekerja, sebagaicontohdiambilsuperpotensialyangsesuaidenganSUSYsistemLiouvilledengansuperpotensial W(x)=2gaexp(ax2 ), dengan g dan a adalah parameter. Kemudian udiberikan sebagaiu(x) = exp_22exp(ax2)/a2_Hamiltonan H+ memenuhi(d2dx2+ W2W

)+= 2E++Dengan mengubah y=42a2g exp(ax2 ), persamaan Schrdinger untuk H+ menjadid2dy2+ +1yddy+ + (12g 14)+ +8E+a2y2+= 0 (II.26)20Persamaan Schrdinger untukH dapat diperoleh dengan mengantig g padapersamaan (II.26) yang berarti mengubahy y. Swafungsi yang berhubungandiberikan oleh fungsi hipogeometrik konuent (conuent hypogeometric).Jika dilihat analogi masalah osilator harmonik, khususnya persamaan (II.18),Vdinyatakan dalam W yaitu V=12(W2W

) +, dengan = tetap, serupa dengantenaga tingkat dasar E0 pada H+:V (x) E0=12(W2W

). (II.27)HalinimenunjukkanbahwaV danV+dapatberbedadengannilaitenagatingkatdasar E0 dari H.Jika W0(x) adalah penyelesaian khusus, penyelesaian umum dari persamaan(II.27) diberikan olehW(x) = W0(x) +exp[2_xW0()d] _x exp[2_y W0()d]dy, R. (II.28)Persamaan Schrdinger menjadi_12d2dx2+ V (x) Eo_0= 0.Penyelesaiannya diberikan oleh0(x) = Aexp__xW()d_+ Bexp__xW()d__xexp_2_yW()d_dy, A, B R (II.29)dandiasumsikan(x) L2(, ). Jikapersamaan(II.28)disubstitusikankepersamaan (II.29) maka fungsi gelombangnya sama dengan ketika W0(x) khusus atau21penyelesaian umum persamaan (II.27) digunakan pada persamaan (II.29).Pada superaljabar SUSYQM(2) yang hanya mempunyai dua pembangkit an-tikomutasi, digunakan operator Q dan Q yakni supermuatan yang didenisikan olehpersamaan (II.22). Oleh sebab itu, persamaan (II.13), (II.14), (II.23) dan (II.24), dapatpula diubah dengan memperkenalkan set operator hermitan, Q1 dan Q2, yaituQ =(Q1 + iQ2)2dan Q=(Q1iQ2)2. (II.30)Persamaan (II.13) diubah menjadi Hs= Q21= Q22, makaQi, Qj = 2ijHs. (II.31)Persamaan (II.14) menjadi[Qi, Hs] = 0 i = 1, 2. (II.32)Dalam bentuk superpotensial, W(x), Q1 dan Q2 dapat ditulis sebagaiQ1=12(1W 2pm) dan Q2=12(1pm 2W).Dalamperhitunganpersamaan(II.32), Q1danQ2adalahkonstantagerak,yakniQ1=0 danQ2=0. Dari persamaan (II.31) diperoleh bahwa tenaga padatingkat sebarang bernilai tak negatif. Hal ini karenaE= < [Hs[>= < [Q1Q1[>= < [ > 0, (II.33)22dengan [) = Q1[) dan menggunakan persamaan (II.31) pada bagian Hs.Untuk SUSY yang eksak berlakuQ1[0) = 0 Q2[0) = 0Jadi, [) ,=0 menunjukkan adanya keadaan vakum yang merosot [0)

dan [0) yangberhubungan dengan supermuatan, yang menunjukkan adanya kerusakan simetri4se-cara spontan.Tidak adanya tenaga vakum adalah ciri khusus bentuk SUSY tak rusak. Untukosilator harmonik dengan Hamiltonan berupa persamaan (II.3), dapat dikatakan bah-waHBtetapinvarianpadapertukaranoperator bdanb. Namuntidakdemikianhalnya untuk keadaan vakum5yang memenuhi b[0). Dalam kasus SUSY tak rusak,hamiltonan supersimetri dan keadaan vakum, keduanya invarian oleh pertukaran Q Q.3. Arti Fisis dari Hamiltonan SupersimetriHamiltonan SUSY untuk kasus osilator harmonik diberikan oleh persamaan(II.21). Untuk memperoleh arti sis hamiltonan supersimetri, parameter massa (m)dimasukkan kembali ke dalam Hs sehingga didapatHs=12(p2m+ W2)| +123W

m. (II.34)4Simetri rusak (broken symmetry) diartikan sebagai suatu keadaan dasar sistematau keadaan vakumdari suatu teori medan kuantum relativistik yang memiliki kesetangkupan lebih rendah dibandingkandengan Hamiltonan yang mendenisikan sistem tersebut. Contohnya dalam sika partikel adalah mo-del Weinberg-Salam tentang teori elektrolemah (electroweak theory).5Keadaan vakum adalah keadaan dasar dalam teori medan kuantum relativistik. Keadaan vakumtidak berarti keadaan tanpa sesuatu. Dalam ruang lingkup mekanika kuantum, keadaan vakum memi-liki tenaga titik-nol sehingga menimbulkan uktuasi vakum.23Jika dibandingkan dengan hamiltonan Schrdinger untuk elektron (massa m dan mu-atan e) yang dipengaruhi medan magnet luarH =12(p2m+e2m

A2) +ie2mdiv

A em

A. p + [e[2m.

B, (II.35)dengan

A =12

Br adalah vektor potensial, diperoleh bahwa persamaan (II.35) men-jadi persamaan (II.34) untuk kasus khusus pada saat

A = (0,m2|e|W, 0). Untuk menga-mati pentingnya momen magnet elektron, digunakan bentuk persamaan (II.35), tanpamenyusutkannya menjadi persamaan (II.34). Dapat dilihat bahwa masalah sederhanayaitu elektron pada pengaruh medan magnet luar menunjukkan keberadaan SUSY.Jika diasumsikan medan magnet

B=konstan dan sejajar pada sumbu Z yaitu

B= Bk, maka

A. p =12BLz4

A2= r2B2(r.

B)2= (x2+ y2)B2. (II.36)Hasilnya, H menjadiH =12m_p2z + (p2x + p2y)_+12m2(x2+ y2) (Lz3). (II.37)Terpisah dari gerak bebas dalam arah z, H menjelaskan dua osilator harmonik dalambidang-xy, juga termasuk pasangan momentum orbital dan spin. Dalam persamaan(II.37), adalahfrekuensiLarmor: =eB2mdan

S =12. Dalampendekatankuantisasi osilator, bentuk pasangan momentum orbital dan spin menjadi(Lz3) = i(bxbybybx) + 3.24Namun dengan mengatur bentuk yang berupaB=12(bx + iby)B =12(bxiby), (II.38)maka persamaan (II.37) dapat diubah menjadi12(H p2z2m) = (BB +12) +23yang bentuknya mirip dengan persamaan (II.19). Kesimpulannya, persamaan Paulidua-dimensi, (II.35), memberikancontohsederhanamengenai perwujudanSUSYdalam sistem sis.4. Sifat - Sifat Pasangan HamiltonanSifat penting yang dimiliki oleh hamiltonan supersimetri, Hs, yaitu kompo-nenpasanganH+danHadalahisospektral. Untuklebihjelasnya, diperhatikanpersamaan swanilai berikutH++n= E+n+n. (II.39)Persamaan tersebut dapat diubah ke dalam bentukH(A+n ) =12AA(A+n )= A(12AA+n )= E+n (A+n ). (II.40)25Dapat dilihat bahwa E+njuga merupakan anggota spektrum tenaga bagi H. Namun,A+0bernilai nol karena +0menjadi penyelesaian keadaan dasar H+ yang memenuhi(+0 )

+ (W2W

)+0= 0.Bentuk penyelesaian yang memenuhi adalah+0= C exp__xW(y)dy_, C= konstanta. (II.41)Dapat disimpulkan bahwa spektrumH+ dan H identik kecuali untuk keadaandasar(n=0) yang tidak merosot. Ini adalah contoh dari SUSY tak rusak (vakumyang tidak merosot). Namun, jika SUSY rusak (secara spontan) maka H+ dengan Htidak memiliki fungsi gelombang pada keadaan dasar yang ternormalisasi dan spek-trumH+danHsama. Dengan kata lain, ketidakmerosotan SUSY pada keadaandasar akan hilang.Untuk 0 yang ternormalisasi pada satu-dimensi, dapat dilihat dari persamaan(II.41) bahwa_W(y)dy 0 untuk [x[ . Untuk mewujudkan keadaan ini, salahsatu cara yang digunakan adalah dengan mengaturW(x) sehingga memiliki tandayang berbeda, yaitu x . Dengan kata lain, W(x) adalah fungsi ganjil. Sebagaicontoh, dalamkasusW(x) =x. JikaW(x)adalahfungsigenap, makaW(x)bertandasama, padax , syaratnormalisasitidakdapatdipenuhi. Contohlainnya adalah W(x) = x2.Dari persamaan (II.39) dan (II.40) dapat juga dilihat untuk masalah swanilaiyang umum dari H, yaituH+(+)n+1= E(+)n+1(+)n+1H()n= E()n()n. (II.42)26JikaA+0=0, untukswakeadaanternormalisasi +0dari H+, karenaH++012A+0=0, maka swakeadaan ternormalisasi juga merupakan keadaan dasar dariH+ dengan swanilai E+0= 0. H tidak memiliki swakeadaan ternormalisasi dengannilai tenaganya nol.UntukmembuktikanhubunganantaraspektrumdanfungsigelombangH+danH, digunakan kaitan antara persamaan (II.25) dan (II.42). Persamaan swani-lainya menjadiH+(An ) =12AA(An )= AHn= En (An )dan H(A+n ) =12AA(A+n )= AH++n= E+n (A+n ). (II.43)Jadi, jelas bahwa spektrum dan fungsi gelombang H+ dan H dihubungkan olehEn= E+n+1, n = 0, 1, 2, ...; E+0= 0n= (2E+n+1)12A+n+1+n+1= (2En )12An. (II.44)27Gambar II.2: (a) Spektrum osilator harmonik. (b) Spektrum H= bb= Hosc12.(c) Spektrum H+=bb=Hosc +12. (b) dan (c) dihubungkan dengan Hamiltonansupersimetri, seperti pada Gambar II.1.BAB IIISUSY DALAM MASALAH RADIAL1. SUSY dan Masalah Radial Tiga DimensiTeknikSUSYdapat diterapkanpadasistemmekanikakuantum3dimensiatau lebih. Pertama, akan ditinjau terlebih dahulu masalah 3-dimensi. PersamaanSchrdinger tak gayut waktu yang mempunyai potensial bersimetri bola, V (r), dapatditulis dalam koordinat polar bola r, , menurut112_ 1r2r_r2r_+1r2sin _sin _+1r2sin222_u(r, , )+V (r)u(r, , ) = Eu(r, , ). (III.1)Untukpersamaan(III.1)hendakdilakukanpemisahanvariabel yangmemisahkanfungsi dengan variabel r, dan dengan menulis fungsi gelombangnya menjadiu(r, , ) R(r)()(),denganR(r) adalah bagian radial dan bagian sudutnya()() adalah harmonikbola Y (, ). Bentuk persamaan radialnya menjadi121r2ddr_r2dRdr_+_V (r) E +l(l + 1)2r2_R = 0. (III.2)1diambil penyederhanaan= m = 1.2829Suku turunan orde pertama diubah dengan membuat alih ragam R (r)/r sehing-ga persamaan (III.2) dapat diringkas menjadi12d2dr2+_V (r) E +l(l + 1)2r2_ = 0. (III.3)Dalam persamaan Schrdinger, persamaan (III.3) setara dengan masalah 1 dimensidan padanya dapat diterapkan konsep SUSY. Namun, tidak semua persamaan radialr (0, ) dapat dipecahkan.Untuk mengamati SUSY bekerja pada sistem-sistem berdimensi lebih tinggi,selanjutnya akan diawali dengan kasus khusus potensial Coulomb. Pada pembahasanini akan dibedakan antara dua kemungkinan yang sesuai dengan bilangan kuantumutama, n, yang tetap dan bilangan kuantum momentum sudut l, yang boleh bervariasi,atau kasus sebaliknya yaitu n bervariasi namun l tetap.A. Kasus 1 : n tetap dan l bervariasiDalam pembahasan ini potensialnya adalahV (r) = Ze2r. Oleh karena itupersamaan pada bagian radialnya menjadi_12d2dr2 En1r+l(l + 1)2r2_nl(r) = 0, (III.4)dengan nl(0) = 0, En= 12n2dan r pada skala e yang sesuai.2Dari persamaan (II.20) diperoleh bahwa superpotensial untuk persamaan (III.4)yang memenuhiV+=12_W2W

_2Alih ragam yang digunakan adalah bentuk r

21Ze2r.30= 1r+l(l + 1)2r2+12(l + 1)2, (III.5)memiliki penyelesaian yang berupaW(r) =1l + 1 l + 1r.Akibat dari penyelesaian tersebut adalah pasangan SUSY V+ yaituV12_W2+ W

_= 1r+(l + 1)(l + 2)2r2+12(l + 1)2. (III.6)Sedangkan deret Bohr untuk persamaan (III.5) dimulai dari(l+ 1) denganenergi12 [(l + 1)2n2], dapat dilihat dari persamaan (III.6) bahwa tingkat terendahuntuk V diawali pada n=l + 2 dengan n l + 2. SUSY memberikan penjelasanyang masuk akal dari spektrum H+ dan H yang berhubungan dengan kemerosotanhidrogenikns np. Secara lebih khusus, jika diambill =0 diperolehH+untukmenjelaskan tingkatns dengann 1, sertaHsesuai dengan tingkatnp dengann 2. Dari keterangan ini diperoleh suatu pembuktian bahwa SUSY memunculkanhubungan diantara keadaan dengan syarat n tetap namun l berbeda.Jika SUSY diterapkan dalam potensial osilator isotropikV (r) =12r2makaakan diperoleh persamaan Schrdinger yaitu_12d2dr2+12r2+l(l + 1)2r2_n +32__nl(r) = 0, (III.7)dengan n dihubungkan dengan l yaitun = l, l + 2, l + 4, .... (III.8)31Dari persamaan (III.7),superpotensialW(r) dan pasangan potensial SUSYdiperoleh sebagaiW(r) = r l + 1r,V+(r) =12r2+l(l + 1)2r2_l +32_,V(r) =12r2+(l + 1)(l + 2)2r2_l +12_. (III.9)Padapersamaanini mulai muncul kesulitan. Terdapat ciri yangtidakdi-inginkan pada V+ dan V yaitu keduanya hanya melengkapi hubungan antara tingkatldan(l+ 1) yang tidak muncul dari persamaan (III.8). Contoh ini menunjukkanbahwa SUSY tidak dapat diterapkan secara langsung dalam sistem yang berdimensilebih tinggi.Alihragamsupersimetrikdapatditerapkanpadamasalahradialhanyajikadikenakanpadaseluruhwilayah(, ). Dalampembahasanselanjutnyaakanditunjukkan bahwa beberapa kasus memunculkan aturan yang berbeda tentang SUSY.Hal ini berguna untuk menghubungkan keadaan pada kasuslyang sama namunnberbeda dan muatan elektronZ. Yang menarik, hal ini juga menjelaskan lompatantenaga pada dua bagian sistem osilator isotropik.B. Kasus 2 : l tetap dan n bervariasiAlih ragam yang sesuai untuk mengubah r (0, ) menjadi x (, )adalah r = ex. Bentuk persamaan (III.3) mengalami alih ragam sehingga menjadi12d2dx2+_V (ex) E e2x+12_l +12_2_ = 0, (III.10)dengan (r) ex/2(x). Perlu dicatat bahwa E tidak jauh berperan dalam swanilai32pada persamaan (III.10).Persamaan (III.10) dalam hubungannya dengan potensial Coulomb dapat di-tulis sebagai12d2dx2+_exEne2x+12_l +12_2_ = 0, (III.11)yang menjelaskan masalah potensial Morse. Dari persamaan (III.11) superpotensialW(x) dan V(x) diperolehW(x) =exn+_12 n_,V+(x) =e2x2n2 ex+12_12 n_2,V(x) =e2x2n2 _1 1n_ex+12_12 n_2. (III.12)Setelah diamati bahwa ungkapan V bergantung pada x, selanjutnya dilakukanalih ragam balik ke peubah sebelumnya r, untuk mendapatkan pasangan SUSY, se-hingga diperoleh_12d2dx2 En_1 1n_ 1r+l(l + 1)2r2_

nl(r) = 0. (III.13)Sifat nontrivial pemetaanr exrberasal dari hasil koesien suku1rpada persamaan (III.4) yang mengalami perubahan oleh faktor gayut-n dalam per-samaan(III.4). Untukmemahami persamaan(III.13)didenisikanlagi (1 1n)rsebagai peubah baru, dengan membagi persamaan (III.13) dengan faktor(1 1n)2.Hal ini menyebabkan didenisikan kembali muatan intiZdengan membawanya kebentuk eksplisit persamaan (III.13): Z Z_1 1n_. Kemudian ditentukan tingkatkemerosotan untuk memperoleh keadaan diantaranya,pada kasuslsama namunn33danZberbeda. Secara lebih khusus, persamaan (III.4) dikenai keadaan dengan bi-langan kuantumn, l, dan tenaganya Z2n2me4

2. Persamaan (III.13) digunakan untukmenghitung keadaan dengan bilangan kuantum (n 1), l dan muatan inti Z(1 1n)yang memiliki tenaga yang sama.Pada cara ini, model dapat digunakan untuk menentukan hubungan interatomikSUSY antara keadaan iso-elektronik ion di bawah perubahan simultan bilangan kuan-tum utama dan muatan inti.Selanjutnya diperhatikan masalah osilator isotropik sebagai penerapan lanju-tan dari pembahasan ini. Di sini persamaan Schrdinger diberikan oleh persamaan(III.7)dengantingkattenagadiberikanolehpersamaan(III.8). Denganmengiku-ti petunjuk tentang alih ragam sebagian, yaitu dari(0, ) ke(, ) dan dipilihx = 2 ln r maka diperoleh12d2dx2+_18e2x14_n +32_ex+18_l +12_2_ = 0. (III.14)Persamaan di atas memberikan3W(x) =ex2 12_n +12_,V+(x) =18e2x14_n +32_ex+18_n +12_2,V(x) =18e2x14_n +12_ex+18_n +12_2. (III.15)DisyaratkanuntukmelakukanalihragampersamaanSchrdingerbagi Vkembali ke bagian separuh untuk menentukan pasangan SUSY yang cocok dengan3Swanilai yang berhubungan dengan V+ adalah18__n +12_2_l +12_2_. Jadi, untuk n l (dann tetap) tingkat tenaga terendah bernilai nol.34persamaan (III.7) sehingga diperoleh_12d2dr2+12r2+l(l + 1)2r2_n +32_+ 2_

nl(r) = 0. (III.16)Mudah dilihat bahwa karena faktor tambahan 2 pada persamaan di atas, perbe-daan tingkat tenaga antara persamaan (III.7) dan persamaan (III.16) sesuai denganpersamaan (III.8).2. Masalah Radial Menggunakan Operator Tangga dalam SUSYQMMasalah radial juga dapat diselesaikan dengan teknik operator tangga. Ke-untungannya adalah tidak perlu ada bentuk eksplisit superpotensial. Diperkenalkanterlebih dahulu notasi ket untuk menyatakan persamaan radial (III.3) dalam bentukHl[N, l) _12d2dr2+ V (r) +l(l + 1)2r2_[N, l)= ENl [N, l). (III.17)N menyatakan bilangan kuantum radial untuk masalah Coulomb n = N+ l + 1 danuntuk kasus osilator isotropik n = 2N+ l, N= 0, 1, 2, ...dst.Selanjutnya diberikan operator A, yaituA =

NNl [N

, l

)N, l[, (III.18)yang memetakan ket [N, l) ke [N

, l

). Kemudian diperkenalkan pulaA=

NNl [N, l)N

, l

[,dengan Nl= (Nl).35Dari persamaan (III.17) dan (III.18) diperoleh pemahaman bahwaA danAadalah operator naik dan turun, yang dapat ditunjukkan dalam bentukA[N, l) = Nl [N i, l + j), (III.19)A[N i, l + j) = Nl [N, l), (III.20)dengan N

= N i dan l

= l + j. Lebih lanjut diperoleh hubunganAA[N, l) = [Nl [2[N, l),AA[N i, l + j) = [Nl [2[N i, l + j); i, j= 0, 1, 2, .... (III.21)Langkah selanjutnya adalah memasukkan faktorisasi Hamiltonan yang berupaAA = Hl + F,AA= Hl + j + F, (III.22)FdanG adalah skalar yang tidak bergantung pada bilangan kuantumN. Denganmemasukkan persamaan (III.17) ke dalam persamaan (III.22) diperoleh hasil[Nl [2= ENl+ F. (III.23)Lebih jauh diperoleh(Hl+j + G)A[N, l) = AAA[N, l)= A_ENl+ F_[N, l), (III.24)36yang menyatakan bahwaHl+j[A[N, l)] =_ENl+ F G_[A[N, l)]. (III.25)PersamaandiatasmenunjukkanbahwaA[N, l)adalahswaketdari Hl+j. Namunkarenaswanilai Hl telahdiketahui yaituEN

l dari persamaan(III.17), hubunganuntuk N

= N i dan l

= l + j adalahENil+j= ENl+ F G. (III.26)Selanjutnya, dengan menerapkan pengulangan operator Adalam[N, l), urutanswaket dapat diubah dalam bentukAk[N, l) = NlNil+j...N(k1)il+(k1)j [N ki, l + kj),dengan k adalah bilangan bulat positif dan menjelaskan berapa kali A dimasukkan kedalam [N, l). Karena ini tidak boleh bernilai tak hingga, N berhingga sampai urutanterakhir, sehingga dapat ditulisA[0, l)=0 untukN=0 yang membatasi0l=0.Selanjutnya, dari persamaan (III.23) ditentukanF = F0l . Hal ini juga konsistenuntuk memilih i = 1 karena k adalah bilangan bulat positif 1 dan N dapat bernilai0,1,2,... . Dari persamaan (III.26) diperolehG =_ENlEl + jN1_E0l . (III.27)Jadi, SUSY dalam operator AA dan AA menghasilkan spektrum yang samauntuk swanilai[Nl [2= ENlE0l ,37bersesuaian dengan swaket [N, l) dan [N i, l +j) kecuali untuk keadaan dasar yangmemenuhiHl[0, l) = AA[0, l) = 0.Kemudian dapat didenisikan Hamiltonan supersimetrik yang mirip denganpersamaan (II.25)Hs=12diag (AA, AA) diag (H, H+), (III.28)dengan melihat kembali bentuk persamaan (II.40). Dengan kata lain, pada keadaandasar tidak terjadi kemerosotan (SUSY yang eksak) dan hanya dihubungkan denganH+. H pada persamaan (III.28) memiliki wakilanH+= HlE0lH= Hl+jG, (III.29)dengan G diberikan oleh persamaan (III.27).Selanjutnya akan dibahas beberapa penerapan persamaan (III.29).A. Masalah CoulombDalam masalah Coulomb, potensial dan tingkat tenaganya diberikan olehV (r) = 1r,ENl= 12(N+ l + 1)2,38Dari persamaan (III.27) dapat ditentukan nilai G yaituG = 12(N+ l + 1)2+12(N 1 + l + j + 1)2+12(l + 1)2.Untuk mengubahG menjadiNyang independen, perlu ditambahkan syaratj =1.Pasangan Hamiltonian supersimetrik menjadiH+= 12d2dr2+l(l + 1)2r21r+12(l + 1)2, (III.30)H= 12d2dr2+(l + 1)(l + 2)2r21r+12(l + 1)2. (III.31)Pasangan potensial yang bersesuaian dengan kedua Hamiltonian di atas berturut-turutidentik dengan persamaan (III.5) dan (III.6), sehingga dapat disimpulkan sama sepertipenjelasan sebelumnya.B. Masalah osilator isotropikDalam kasus osilator isotropik, potensial dan tingkat tenaganya diberikan olehV (r) =12r2,ENl= 2N+ l +32.Seperti pada masalah Coulomb sebelumnya, dari persamaan (III.27) diperoleh GyangberupaG = 2 _l + j +32_,dengan ciri dalam kasus ini yaitu N tidak memiliki batasan nilai bagi parameter j. Pa-sangan Hamiltonian supersimetrik dapat diturunkan dari persamaan (III.29) sehingga39menjadiH+= 12d2dr2+l(l + 1)2r2+r22 _l +32_, (III.32)H= 12d2dr2+(l + j)(l + j + 1)2r2+r22 _l + j +32_+ 2. (III.33)Kasus khusus dari persamaan (III.32) dan (III.33) yaitu saat j=0 berhubu-ngan dengan kombinasi sebelumnya pada persamaan (III.7) dan (III.16). Persamaan(III.32) dan (III.33) merupakan perkiraan umum dan tepat tentang perbedaan energidua bagian.Kemudiandenganmenggunakanteknikoperatortangga, dapat puladiper-olehpemahamantentangsupersimetri padakeduamasalahCoulombdanosilatorisotropik. Perlu ditekankan bahwa dalam memperoleh hasil tersebut, tidak diperlukanbentukpersyaratansuperpotensial. KeberadaanoperatorAdanAcukupsebagaipenghubung supersimetrik.3. SUSY dalam D DimensiDalambagiansebelumnyatelahdijelaskanpenerapanSUSYpadamasalahradial 3 dimensi. Selanjutnya, akan dibahas masalah radial dalam dimensi yang lebihtinggi (D dimensi). Persamaan Schrdinger radial dalamD dimensi yaitu (penjelasanturunan yang lebih terperinci dapat dilihat pada LAMPIRAN B)_12d2dr2 D 12rddr+l(l + D 2)2r2+ V (r)_R = ER,dengan r dalam bentuk xi pada koordinat kartesan D dimensi diberikan olehr =_D

i=1x2i_12.40Seperti pada persamaan (III.2), dalam kasus ini suku turunan orde pertama juga da-pat diubah dengan menggunakan alih ragamR rD12(r). Sehingga diperolehbentuk_12d2dr2+l2r2+ V (r)_ = E,denganl=14(D 1)(D 3) + l(l + D 2). (III.34)Sekarang akan dibahas penerapannya pada beberapa kasus.A. Potensial CoulombSpektrum tenaga yang berhubungan dengan potensial CoulombV (r)= 1radalahENl= 121_N+ l +_D12_2. (III.35)Dalam persamaan (III.35), N dan l berturut-turut adalah bilangan kuantum radial danmomentum sudut.Dari persamaan (III.27) diperolehG = 1_N+ l +_D12_2+121_l +_D12_2+121_N 1 + l + j +_D12_2. (III.36)Dengan mengatur j=1 maka mudah diperoleh bahwa G menjadi saling bebas ter-hadap N menurutG =121_l +_D12_2.41Kemudian, hasil umum untuk H dalam ruang D dimensi berupaH+ HlE0l= 12d2dr2+l2r2 1r+12_l +12(D 1)_2,H Hl+1 + G= 12d2dr2+l+12r21r+12_l +12(D 1)_2, (III.37)dengan l diberikan oleh persamaan (III.34). Untuk kasus 3 dimensi, hasil ini sesuaidengan persamaan (III.30) dan (III.31).B. Potensial osilator isotropikUntuk potensial osilator isotropik V (r) =12r2, tingkat tenaganya adalahENl=_2N+ l +12D_, D 2.Dari persamaan (III.27) diperolehG = 2 _l + j +D2_,yang saling bebas terhadapN. Hasil ini memberikan Hamiltonan isospektral yangberupaH+= 12d2dr2+l2r2+12r2_l +D2_,H= 12d2dr2+l+j2r2+12r2_l + j +D2_+ 2.Hasil tersebut dapat dibandingkan dengan persamaan (III.32) dan (III.33) untuk kasusD = 3.Dari pembahasan tersebut dapat disimpulkan bahwa SUSY dapat diterapkan42dalam masalah radial baik 3 dimensi maupun yang lebih tinggi. Alih ragam dapatdikenakan dari masalah Coulomb ke osilator isotropik maupun sebaliknya dan hasil-nya merupakan penyajian yang umum pada D dimensi.BAB IVTEORI DIRAC TENTANG PARTIKEL SPIN 1/2 DANPENDEKATAN NON-RELATIVISTIKNYASebelum membahas penerapan SUSYQM selanjutnya, yaitu pada persamaanDirac, terlebihdahuluakandijelaskanbeberapahalmendasaryangperludipaha-mi. Berikut ini akan dijelaskan konsep persamaan Dirac dalam teori Dirac dan alihragam Foldy-Wouthuysen yang merupakan bagian penting dalam memahami pene-rapan mekanika kuantum supersimetrik dalam persamaan Dirac tersebut.Dengan alih ragamkanonik yang dikenakan pada Hamiltonan Dirac untuk par-tikel bebas, wakilan teori Dirac diamati pada keadaan tenaga positif dan negatif yangterpisah, diwakili oleh fungsi gelombang komponen-dua. Wakilan ini memainkan pe-ranan penting, berupa operator-operator baru untuk posisi dan wakilan spin partikelyang secara nyata merupakan arti sis dari operator tersebut pada wakilan konven-sional. Alih ragam wakilan baru juga dibuat dalam kasus interaksi partikel denganmedan elektromagnetik luar.1. Persamaan Dirac dalam Mekanika Kuantum RelativistikPersamaanDiracadalahsalahsatupersamaangelombangdalammekanikakuantum relativistik yang disusun oleh sikawan Inggris, Paul Dirac, pada 1928 danmemberikan penjabaran tentang partikel mendasar spin1/2,seperti elektron. Per-samaan ini konsisten dengan prinsip mekanika kuantum dan teori relativitas khusus.Di dalam mekanika kuantum relativistik, keadaan sebuah partikel dapat disa-jikan dalam koordinat ruang waktu 4 dimensi, yaitux1=x, x2=y, x3=z, x4=4344ict = ix0. Alih bentuk linier yang berupax x

= ax, (IV.1)dengan koesien a memenuhi syarat ortogonalitasaa= , aa= .Alih ragam yang demikian ini disebut alih ragam Lorentz homogen. Grup Lorentzhomogen terdiri atas beberapa macam alih ragam, dari satu sistem inersial ke sisteminersial lainnya tanpa mengubah titik pusat (origin).Vektor berdimensi 4 (atau sering disebut vektor-empat) V adalah sebuah setberanggotakan empat, yaitu V1, V2, V3, V4, yang memenuhi alih ragampada persamaan(IV.1) dalam kerangka koordinat berdimensi 4. Vektor-empat mengalami alih ragamyang sama seperti pada koordinat x, sehingga x V

= aV.Sedangkan tensor berdimensi 4 (atau tensor-empat) dalam tingkat kedua ada-lah sebuah set berjumlah 16 anggota T, yang memenuhi alih ragam pada persamaan(IV.1). Tensor empat mengalami alih ragam seperti produk koordinat xxmenuruthubunganT T

= aaT.2. Partikel Dirac BebasPartikel Dirac bebas bermassa m, operator momentum p dan spin12, disajikandalam persamaan Dirac menuruti(r, t)t= HD(r, t), (IV.2)45dengan Hamiltonan yang tak gayut waktu menurut 1HD= ic.+ mc2= c.p + mc2= (.p + m), (IV.3)dan , adalah matriks Hermitan 4 4 yang memenuhi persamaan =___0 0___; =___I 00 I___, (IV.4)11= 22= 23= 2= 1,i + i= 0, ik + ki= 2ik.Swafungsi operator Hamiltonian memenuhi persamaan(m + p) = EPada pendekatan nonrelativistik, yaitu ketika momentum partikel bernilai ke-cil jika dibandingkan denganm(p 0,2. tenaga negatif dan e

B

Sz> 0,3. tenaga negatif dan e

B

Sz< 0,4. tenaga positif dan e

B

Sz< 0,dengan

Sz menunjukkan operator spin dalamarah sumbu z. Namun perlu diingat bah-wa pembangkit SUSY pada SUSYQM (2) menghubungkan satu spektrum bosonikmenjadi satu spektrum fermionik. Hanya dua dari keempat spektrum di atas yangdapat ditampung secara bersamaan. Selanjutnya, akan didiskusikan pilihan berbedayang dapat diijinkan oleh persamaan (V.26).Pembahasan diawali dengan membentuk SUSYQM(2) yang berhubungan de-3Meskipun pada dasarnya kerusakan supersimetri dapat diwujudkan dalam bentuk kz ,= 0, rancan-gan ini sulit untuk diterapkan.66ngan dua spektrum tenaga-positif. Pembangkit SUSY dapat ditulisQ

D=_________0 0 0D0 0 0 00 0 0 00 0 0 0_________; Q

D=_________0 0 0 00 0 0 00 0 0 0D+0 0 0_________. (V.27)Operator tersebut membangkitkan spektrum tenaga positif, karena_Q

D, Q

D_= H

D(kz= 0,= +1)=_________DD+00D+D_________. (V.28)Kemudian, ditinjausuperaljabaryangberhubungandengankeadaantenaganegatif pada persamaan (V.26). Dalam subbab sebelumnya telah dikemukakan bah-wa hamiltonan yang dihubungkan dengan superaljabar SUSYQM(2) harus memilikiswanilai positif atau nol. Oleh karena itu, keadaan tenaga negatif tidak dihubungkandengan SUSYQM(2). Jika didenisikanQ

D=_________0 0 0 00 0D00 0 0 00 0 0 0_________danQ

D=_________0 0 0 00 0 0 00D+0 00 0 0 0_________, (V.29)67kemudian diambil_Q

D, Q

D_= H

D(kz= 0,= 1)=_________0D+DDD+0_________(V.30)kecuali untuk tanda minus di depan hamiltonan, superaljabar ini mematuhi hubungankomutasi SUSYQM(2) pada persamaan (II.13)-(II.15). Hubungan superaljabar inidan SUSYQM(2) setara dengan hubungan antara aljabar kompak SO(3) dan aljabarnonkompak SO(2,1).Kemudian menurutH

D(kz= 0) =_Q

D, Q

D__Q

D, Q

D_, (V.31)juga diperoleh bahwaHD(kz= 0) =_QD, QD__QD, QD_, (V.32)denganQD= UQ

DU1,QD= U Q

DU1. (V.33)Dapat dibangun aljabar yang berhubungan dengan spektrumtenaga positif dan68negatif dari persamaan (V.26). Sebagai contoh, didenisikanX

D=______0D00 0 00 0 0______dan X

D=______0 0 0D+0 00 0 0______, (V.34)maka diperoleh_X

D, X

D_= H

D(kz= 0, = +1)=_________DD+D+D00_________. (V.35)Namun, aljabar ini bukan superaljabar karena X

D dan X

D bersifat komutatif meng-hasilkanH

D(kz=0, =+1). Lebih lanjut, X

DdanX

Dtidak tetap dalam ger-aknya.5. Kesetaraan Supersimetri dengan Persamaan Dirac-Alih Ragam Fol-dy WouthuysenBerikut ini akan diperlihatkan ciri-ciri yang menghubungkan antara prinsipSUSYQMdan teori Dirac. Penjabaran sistemSUSYQMsecara lebih mudahnya dapatdijelaskan oleh supermuatan ganjil Qa(a = 1, 2, ..., N) yang membangkitkan Hs. Hssendiri dicirikan oleh hubungan yang berbentuk_Qa, Qb_ = 2abHs,69[Qa, Hs] = 0, a = 1, 2, ..., N.Kemudiandidenisikanhamiltonanbak-Dirac(HbD)sebagaijumlahanba-gian ganjil dan genap dengan bagian ganjil diberikan oleh supermuatan dikalikan2(untuk memudahkan) dan bagian genap mengandung massa. Hal ini dapat disajikansebagaiHbD=2Q + m.Karena supermuatan bersifat ganjil, makaQ, = 0,sehingga(HbD)2= 2 [Q]2+ m2= 2Hs + m2. (V.36)Hasil tersebut berhubungan dengan perubahan wakilan dari teori Dirac melalui alihragam Foldy-Wouthuysen yang bersifat uniter, yaituHFW= UHbDU1= _2Hs + m2_1/2, (V.37)sehingga berlaku kaitan[HFW]2= [HbD]2.Alih ragam Foldy-Wouthuysen tersebut diamati dalam bentuk:U = eiS,70S = S,S = i2QH1,tan =2Hm,[, ] = 0,HbD, S = 0, (V.38)denganHadalah genap dan didenisikan sebagai akar positif dariHs. Alih ragamini juga dapat ditulis sebagaiU=E +2Q + m[2E(E + m)]1/2 , E _2Hs + m2_1/2.Jadi, alihragamFoldy-Wouthuysenmenghilangkanbagianganjil dari hamiltonanDirac (yang diungkapkan dengan mudah dalambentuk supermuatan ganjil) dan meng-hasilkanbagiangenapdalamhubungannyadenganhamiltonansupersimetriknon-relativistik.71Gambar V.1: (a) Skema tingkat tenaga elektron relativistik dalam medan magnet sera-gam. Jika kemerosotan kontinu tidak diperhatikan, kedua keadaan tenaga positif dannegatif merosot ganda kecuali untuk keadaan tak merosot yang berada di dekat nilaiE=0. (b) Setelah dianggap bahwa elektron dengan tenaga negatif sebagai positrondengantenagapositif, keduanya, elektrondanpositron, mempunyai tingkat tena-ga yang sama. Ada lipat-empat (fourfold) kemerosotan yang terjadi, kecuali untukkeadaan dasar yang mengalami kemerosotan ganda.BAB VIPENUTUP1. KesimpulanPenelusuran konsep supersimetri dalam mekanika kuantum serta penerapan-nya dalam masalah radial dan persamaan Dirac derajat pertama memberikan hasilsebagai berikut :1. Supersimetri adalah kesetangkupan yang melestarikan tenaga total dalam sis-temgabunganantaraosilatorbosonikdanfermionik, jikaterjadipenurunansatu bilangan kuantum bosonik dan satu bilangan kuantum fermionik secarabersamaan. Aljabarsupersimetri dalammekanikakuantummemenuhi per-samaanQi, Qj = ijHs[Qi, Hs] = 0, i = 1, 2, ..., N.2. SUSYQM dapat diterapkan pada masalah radial, minimal berdimensi tiga dantelah dibahas pada masalah Coulomb dan osilator isotropik. Penyelesaiannyalebih mudah jika menggunakan operator tangga yang disajikan dalam bentukHamiltonannya yaituH+= HlE0lH= Hl+jG,denganENil+j= ENl+ F G,7273danG =_ENlEl + jN1_E0l .3. SUSYQM dapat dihubungkan dengan persamaan Dirac derajat pertama meng-gunakanalihragamFoldyWouthuysenyangkesetaraannyadisajikandalambentukU=E +2Q + m[2E(E + m)]1/2 , E _2Hs + m2_1/2.2. SaranKajian mekanika kuantum supersimetrik ini masih dibatasi pada dua masalah,yaitu masalah radial dan persamaan Dirac orde pertama. Penerapan SUSYQM dalammasalah mekanika kuantum lainnya perlu untuk digali dan dicari hubungannya se-hingga menguatkan teori SUSYQM. Kajian supersimetri di luar sika kuantum, mi-salnya pada sistem nonlinier, mekanika klasik, sika zat padat bahkan pada sistemketidakteraturan (chaotic systems), juga memungkinkan untuk mendukung teori su-persimetri ini.DAFTAR PUSTAKABagchi, B.K., 2000, Supersymmetry in Quantum and Classical Mechanics, Chapmanand Hall/CRC Press, New YorkBeckers, J., and Debergh, N., 1990, Supersymmetry, Foldy-Wouthuysen Transforma-tions, and Relativistic Oscillators, Phys.Rev. D 42, 1255-1259Blockley, C.A., 1985, Simple Supersymmetry: 1. Basic Examples, European JournalPhysics 6, 218-224Boas, M.L., 1996, Mathematical Methods in the Physical Sciences, edisi kedua, JohnWiley & Sons, Inc., New YorkConstantinescu, F., and Magyari, E., 1978, Problems in Quantum Mechanics, Perga-mon PressCooper, F., et. al., 1995, Supersymmetry and Quantum Mechanics, Physics Reports,251, 267-385Efetov, K., 1978, Supersymmetry in disorder and chaos, Cambridge University PressFoldy, L.L. and Wouthuysen, S.A., 1949, On the Dirac Theory of Spin 1/2 Particlesand Its Non-Relativistic Limit, Phys.Rev. 78, 29-36Grifths, D.J., 1994, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, Inc., NewJerseyHughes,R.J.,Kostelecky,V.A.,and Nieto,M.M.,1986,Supersymmetry in a FirstOrder Dirac Equation For A Landau System, Physics Letters B 171, 226-230Hughes, R.J., Kostelecky, V.A., and Nieto, M.M., 1986, Supersymmetric QuantumMechanics in a First Order Dirac Equation, Phys.Rev. D 34, 1100-1107Khare, A., 2004, Supersymmetry in Quantum Mechanics, arXiv:math-ph/0409003 v11 September 2004Mirlin, A., 1999, Statisticsofenergylevelsandeigenfunctionsindisorderedandchaotic systems: Supersymmetry approach, cond-mat/0006421Muslim, 1997, ModulProgramS1Fisika: PendahuluanFisikaKuantum, JurusanFisika FMIPA Universitas Gadjah Mada, YogyakartaRosyid, M.F., 2002, Diktat Mata Kuliah Matematika Untuk Fisika Teori I, FakultasMatematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Fisika Universitas Gadjah Mada,Yogyakarta7475Rosyid, M.F., 2005, Mekanika Kuantum, Laboratorium Fisika Atom dan Fisika Inti,Jurusan Fisika Universitas Gadjah Mada, YogyakartaRyder, L.H., 1996, Quantum Field Theory, edisi kedua, Cambridge University Press,CambridgeSutopo, 2003, Pengantar Fisika Kuantum, Jurusan Fisika FMIPA UM, MalangWess, J., and Zumino, B., 1974, A Lagrangian Model Invariant Under SupergaugeTransformations, Phys. Lett. B 49 (1974) 52LAMPIRAN APEMBUKTIAN PERSAMAAN (II.13) - (II.15)Berikut ini akan dijelaskan produk tensor antara dua operator.Andaikan1dan2berturut-turut merupakan operator pada ruang H1danH2. Produk tensor antara1 dan2 adalah objek12 yang berkelakuan( 12)( ) = ( 1) ( 2),untuk setiap H1H2. Karena1 berada di H1 dan2 berada di H2, makadengan sendirinya ( 12)( ) berada di H1H2. Jadi,12 merupakanoperator pada H1H2.Karena( 1 I2)( ) =( 1) , maka operator1dapat diwakilidalam ruang H1H2 oleh operator1I2, denganI2 adalah operator identitas padaH2, sedangkan operator2 dapat diwakili oleh operatorI12, denganI1 adalahoperator identitas pada H1.Selanjutnya sifat dari produk tensor tersebut akan diterapkan pada persamaan(II.12) dengan a dan a adalah operator pada ruang H1, b dan b adalah operator padaruang H2 serta Q dan Q adalah operator pada ruang H1H2.Antikomutator antara Q dan Q berupaQ, Q = QQ + QQ= (b a)(ba) + (ba)(b a)= (b a)(ba) + (ba)(b a)= _(bba a) + (bb aa)= __1 + bb_a a + bb (1 aa)7677= _a abb a a + bb bb aa= _bb + aa_= Hs. (A.1)Hasil tersebut sesuai dengan persamaan (II.13).Selanjutnya kaitan komutasi antara Q dan Hs berupa[Q, Hs] = QHsHsQ=_b a_ __bb + aa____bb + aa__ _b a_=_b a_ __bb + aa___b a_ __bb + aa__= 0. (A.2)Hal yang sama untuk komutasi antara Q dan Hs yaitu[Q, Hs] = QHsHsQ=_ba_(_bb + aa_) (_bb + aa_)(ba)=_ba_(_bb + aa_) _ba_ __bb + aa__= 0. (A.3)Kedua persamaan di atas sesuai dengan persamaan (II.14).Sedangkan kaitan antikomutasinya adalahQ, Q = QQ+ QQ,= (bb aa) + (bb aa),dari persamaan (II.6) diperoleh kaitan aa= aa, sehingga= (bb aa) + (bb (aa)),78= (bb aa) (bb aa),= 0, (A.4)danQ, Q = QQ + QQ,= (bbaa) + (bbaa),dari persamaan (II.6) diperoleh kaitan aa = aa, sehingga= (bbaa) + (bb(aa)),= (bbaa) (bbaa),= 0, (A.5)yang sesuai dengan persamaan (II.15).LAMPIRAN BPERSAMAAN SCHRDINGER DALAM POTENSIALSETANGKUP BOLADalam koordinat Kartesan, persamaan Schrdinger di bawah pengaruh poten-sial V (r) disajikan dalam bentuk

22m2D(r ) + V (r)(r ) = E(r ), (B.1)denganr = (x1, x2, ..., xD), r = [r [2D=xixi.Selanjutnya dilakukan alih ragam persamaan (B.1) ke koordinat kutub D di-mensi, yang dihubungkan oleh koordinat Kartesan berupax1= r cos 1 sin 2 sin 3...... sin D1x2= r sin 1 sin 2 sin 3...... sin D1x3= r cos 2 sin 3 sin 4...... sin D1x4= r cos 3 sin 4 sin 5...... sin D1...xj= r cos j1 sin j sin j+1...... sin D1...xD1= r cos D1 sin D1xD= r cos D1, (B.2)7980denganD = 3, 4, 5,,0 < r < , 0 1< 2,0 j , j= 2, 3, ..., D 1.Laplasian 2D dapat ditulis sebagai2D=1hD1

i=0i_ hh2ii_, (B.3)dengan0= r, h =D1

i=0hi,dan faktor skala hi diberikan olehh2i=D

k=1_xki_2, i = 0, 1, 2, ..., D 1.Jika dijabarkan secara gamblang maka akan menjadih20=_x10_2+_x20_2+ ... +_xD0_2= 1h21=_x11_2+_x21_2= r2sin22 sin23... sin2D1h22=_x12_2+_x22_2+_x32_2= r2sin23 sin24... sin2D1...h2j= r2sin2j+1 sin2j+2... sin2D1...h2D1= r2. (B.4)81Kemudian h adalahh = h0h1...hD1= rD1sin 2 sin23 sin34... sinD2D1. (B.5)Dari persamaan (B.3), suku pertama 2D adalah=1h0hh200=1rD1sin 2 sin23... sinD2D1rrD1sin 2... sinD2D1r=1rD1rrD1r. (B.6)Sedangkan suku terakhir 2D adalah=1hD1hh2D1D1=1rD1sin 2 sin23... sinD2D1D1rD1sin 2... sinD2D1r2D1=1r2sinD2D1D1sinD2D1D1. (B.7)Suku 2D yang lain berbentuk=1hjhh2jj=1rD1sin 2... sinj1j sinjj+1... sinD2D1jrD1sin 2... sinj1j... sinD2D1r2sin2j+1... sin2D1j=1r2sin2j+1... sin2D1_1sinj1jjsinj1jj_. (B.8)Denganmenggunakanpersamaan(B.6)-(B.8), diperolehwakilanpersamaan(B.3)82yang berupa2D=1rD1rrD1r+1r2D2

j=11sin2j+1... sin2D1_1sinj1jjsinj1jj_+ 1r2_1sinD2D1D1sinD2D1D1_, (B.9)sehingga Laplasian 2D mematuhi hubungan2D=1rD1rrD1r L2D1r2, (B.10)denganL2n=

i,jLi,jLi,j,i = 1, 2,, j 1, j= 2,, D,dan bagian momentum sudut Lij didenisikan sebagai tensor setangkup yang berupaLij= Lji= xipjxjpi,i = 1, 2, ..., j 1, j= 2, ..., D.Untuk membuktikanpersamaan (B.10), pertama kaliyang perlu diingatadalahpkdapat diungkapkan sebagaipk= ixk= iD1

r=0_rxk_r= iD1

r=0_1h2rxkr_r, (B.11)83dengan menggunakan hubunganD1

l=0xlxixlr= irh2i,D1

l=0ixkxli= kl. (B.12)Kemudian, hubungan komutasi menjadi (penjelasan lebih lengkap dapat dili-hat pada LAMPIRAN C)[Lij, Lkl] = ijlLik + iikLjlijkLiliilLjk. (B.13)Lebih lanjut, jika diaturL2k=

i,jLijLij,i = 1, 2, ..., j 1; j= 2, 3, ..., k + 1.maka diperoleh (lihat LAMPIRAN C)L21= 221L22= _1sin 22sin 22L21sin22_...L2k= _1sink1kksink1kkL2k1sin2k_...L2D1=_1sinD2D1D1sinD2D1D1L2D2sin2D1_. (B.14)84Kemudian dari persamaan (B.9) diperoleh2D=1rD1rrD1r L2D1r2. (B.15)Daripersamaan(B.14)jelasbahwakarena1, 2,, D1salingbebas, operatorL21, L22,, L2D1 saling rukun (commute). Oleh karena itu, operator-operator tersebutmemiliki swafungsi yang sama, yaitu Y (1, 2,, D1) yang memenuhi persamaanL2kY (1, 2,, D1) = kY (1, 2,, D1), (B.16)dengan k adalah swanilai dari L2k. Karena fungsi potensial tidak bergantung pada t,Y (1, 2,, D1) dapat diungkapkan sebagaiY (1, 2,, D1) =D1

k1k(k). (B.17)Kemudian dari persamaaan (B.16) diperolehY1(1)L211(1) = 1Y,dengan L21 hanya bergantung pada 1. Hal ini juga dapat ditulisL211(1) = 11(1).Hal yang sama juga berlaku untuk L22Y= 2Ysehingga diperolehL221(1)2(2) = 21(1)2(2),dengan L22 hanya bergantung pada 1 dan 2.85Selanjutnya, dengan menggunakan bentuk eksplisit L22 maka didapatkan_L21sin221sin 22_sin 22__1(1)2(2) = 21(1)2(2)atau2(2)sin22L211(1) 1(1)sin 22sin 222(2) = 21(1)2(2)atau2(2)sin2211(1) 1(1)sin 22sin 222(2) = 21(1)2(2)atau12(2)sin222222(2) cot 222(2) = 22(2)sehingga_222+ cot 221sin22_2(2) = 22(2). (B.18)Dianggap_22k+ (k 1) cot kkk1sin2k_k(k) = kk(k). (B.19)Ditinjau kembali persamaan swanilaiL2k+1Y= k+1Y,yang diperluas menjadi_1sinkk+1k+1sinkk+1k+1L2ksin2k+1_Y= k+1Y,86hal tersebut dapat juga dinyatakan sebagaiYk+1(k+1)1sinkk+1k+1sinkk+1k+1k+1(k+1) +kYsin2k+1= k+1Yatau_22k+1+ k cot k+1k+1ksin2k+1_k+1(k+1) = k+1k+1(k+1).Penjabaran di atas menunjukkan bahwa jika persaman (B.19) berlaku untuk k, makapersamaan ini juga berlaku untukk+1. Telah ditunjukkan pula pada persamaan(B.18) bahwa hal ini digunakan pada kasus k=2. Oleh karena itu, dengan prinsipinduksi persamaan (B.19) berlaku untuk k = 2, 3,, D 1.Selanjutnya ditinjau persamaanL2k(k1) = _22k+ (k 1) cot kkk1sin2k_.Kemudian diperolehL211(1) = 11(1),L2k(k1)k(k) = kk(k), k = 2, 3,, D 1. (B.20)Swanilai k untuk k = 2 adalah1= l21,2= l2(l2 + 1),denganl2= 0, 1, 2,,87l1= l2, l2 + 1,, l21, l2.Kemudian diperolehk1= lk1(lk1 + k 2),dengan lk1 adalah bilangan bulat. Dengan mengaturL+k (lk1) =klk1 cot k,Lk (lk1) = k(lk1 + k 2) cot k,maka hal ini mengikuti induksik= lk(lk + k 1).Akhirnya, dari persamaan (B.17) dan (B.20)L2D1YlD1,lD2,...,l2,l1 (1, 2,, D1)= lD1 (lD1+D2) YlD1,lD2,...,l2,l1 (1, 2,, D1) , (B.21)dengan YlD1,lD2,...,l2,l1 adalah bentuk umum harmonik bola danlD1= 0, 1, 2,,lD2= 0, 1, 2,, lD1,...l1= l2, l2 + 1,, l21, l2. (B.22)88Dimasukkan ke persamaan (B.1)(r) = R(r)YlD1,lD2,...,l1 (1, 2,, D1)dan menggunakan persamaan (B.15) dan (B.21), diamati bahwa bagian radial daripersamaan Schrdinger berupa

22m_d2dr2+D 1rddr+l(l + D 2)r2_R(r) + V (r)R(r) = ER(r).Untuk menghilangkan derivatif pertama, dilakukan substitusi yaituR(r) = r(1N)/2u(r),sehingga persamaannya menjadi

22m_d2udr2+lr2u(r)_+ V (r)u(r) = Eu(r),dengan l=14(D 1)(D 3) + l(l + D 2).LAMPIRAN CPEMBUKTIAN PERSAMAAN (B.13) DAN (B.14)Ditinjau suatu komponen momentum sudut yang didenisikan sebagai berikutLij= Lji= xipjxjpi, i = 1, 2,, j 1, j= 2,, D. (C.1)Hal tersebut dapat juga ditulis dalam bentukL2k=

i,jLijLij, i = 1, 2,, j 1, j= 2, 3,, k + 1.Dalamlampiranini, pertamaakandibuktikankaitankomutasi momentumsudut yaitu persamaan (B.13) ( = 1) yang berupa[Lij, Lkl] = ijlLik + iikLjlijkLiliilLjk. (C.2)Ditinjau suatu kaitan komutasi menurut[xi, pj] = iijdan[xi, xj] = 0 = [pi, pj] ,sehingga ruas kanan persamaan (C.2) menjadi= (xjplplxj) (xipkxkpi) + (xipkpkxi) (xjplxlpj)(xjpkpkxj) (xiplxlpi) (xiplplxi) (xjpkxkpj)= xjplxipkplxjxipkxjplxkpi + plxjxkpi + xipkxjpl8990pkxixjplxipkxlpj + pkxixlpjxjpkxipl + pkxjxipl+xjpkxlpipkxjxlpixiplxjpk + plxixjpk + xiplxkpjplxixkpj= xjpl (pkxi + iik) + xipk (plxj + ijl) xjpk (plxi + iil)xipl (pkxj + ijk) xjpl (pixk + iik) xipk (pjxl + ijl)+xjpk (pixl + iil) + xipl (pjxk + ijk) + plxk (xjpipjxi) + pkxl (xipjxjpi)= xjpi (plxk + pkxl) xipj (plxk + pkxl) + (pkxlplxk) Lij[menggunakan denisi persamaan (C.1)]= (xjpixipj) (pkxlplxk) + (pkxlplxk) Lij= Lji (xlpkxkpl) + (xlpkxkpl) Lij= LijLklLklLij= [ruas kiri persamaan (C.2)]. (C.3)Selanjutnya diberikan hubungan menurutL2if = L212f= L12L12f= (x1p2x2p1) (x1p2x2p1) f= _x1x2x2x1__x1x2x2x1_f (C.4)untuk fungsi perubahan f sehingga_x1x2x2x1_f =D1

j=01h2j_x1x2jx2x1j_fj=D1

j=0x21h2j_j_x2x1__fj91=D1

j=0x21h2jj(tan 1)fj=x21h21sec21f1=r2cos21 sin22 sin2D1r2sin22 sin2D1sec21f1=f1. (C.5)KemudianL21= 221danL22=

j=2,3j1

i=1LijLij= L21 + L13L13 + L23L23, (C.6)denganL213f= (x1p3x3p1)2f= _x1x3x3x1_2f, (C.7)L223f= (x2p3x3p2)2f= _x2x3x3x2_2f. (C.8)Ditinjau_x2x3x3x2_f =D1

j=01h2j_x2x3jx3x2j_fj=D1

j=01h2jx22j_x3x2_fj=D1

j=0x22h2jj(cot 2 csc 1)fj=x22h211(cot 2 csc 1)f1+x22h222(cot 2 csc 1)f2= r2sin21 sin22 sin2D1r2sin22 sin2D1cot 2 csc 1 cot 1f192r2sin21 sin2D1r2sin23 sin2D1csc22 csc 1f2= cos 1 cot 2f1sin 1f2. (C.9)Lalu_x2x3x3x2_2f =_cos 1 cot 21+ sin 12__cos 1 cot 2f1+ sin 1f2_= sin 1 cos 1 cot22f1+ cos21 cot222f21+cos21 cot 2f2+ sin 1 cos 1 cot 22f12sin 1 cos 1 csc22f1+sin 1 cos 1 cot 22f12+ sin212f22. (C.10)Selanjutnya(x1p3x3p1) =D1

j=0x21h2jj_x3x1_fj=x21h21f1cot 2 sec 1 tan 1 +x21h22f2_csc22_sec 1=r2cos21 sin22 sin2D1r2sin22 sin2D1cot 2 sec 1 tan 1f1r2cos21 sin22 sin23 sin2D1r2sin23 sin2D1csc22 sec 1f2= sin 1 cot 2f1cos 1f2(x1p3x3p1)2f =_sin 1 cot 21cos 12__sin 1 cot 21cos 12_f93= sin 1 cos 1 cot22f1+ sin21 cot222f21+sin 1 cos 1 csc22f1cos 1 sin 1 cot 22f12+sin21 cot 2f2sin 1 cos 1 cot 22f12+cos212f22. (C.11)Dengan menambahkan persamaan (C.10) dan (C.11) maka diperolehL213f+ L223f= _cot222f21+ cot 2f2+2f22_,dan digunakan juga persamaan (C.7) dan (C.8). Kemudian dari persamaan (C.6) di-hasilkanL22f = _2f21+ cot222f21+ cot 2f2+2f22_= _csc222f21+ cot 2f2+2f22_= _1sin222f21+1sin 2_cos 2f2+ sin 22f22__= _1sin222f21+1sin 22_sin 2f2__= _L21fsin22+1sin 22_sin 2f2__. (C.12)Secara umum dinyatakanL2k= _1sink1kksink1kkL2k1sin2k_.