Mekanik - Bevægelser og fysiske kræfter

Eksamensprojekt, RUC 2018

Jessica Zhou

4. juni 2018

Indhold

1 Beskrivelse af projektopgaven 4

1.1 Introduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Forsøgsoversigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Didaktiske overvejelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Demonstrationsforsøg - Eftervisning af Archimedes’ lov - Øvelsesvej-

ledning 8

2.1 Formål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Materialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Fremgangsmåde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Øvelsesvejledning - Videoanalyse af bevægelse 11

3.1 Formål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Videoanalyse af bevægelser med Logger Pro - Fremgangsmåde og

databehandling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1

3.3.1 Stedfunktion og hastighedsfunktion for tennisboldens be-

vægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3.2 Energiomdannelse- og bevarelse under tennisboldens be-

vægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.3 Energiomdannelse og energibevarelse under kageformens

bevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Øvelsesvejledning - Newtons anden lov 14

4.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3 Materialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4 Fremgangsmåde og databehandling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Øvelsesvejledning - Fald med luftmodstand 19

5.1 Formål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.2 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.3 Materialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.4 Fremgangsmåde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.5 Resultater og databehandling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

A Demonstrationsforsøg - Eftervisning af Archimedes’ lov - Rapport 22

A.1 Formål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

A.2 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

A.3 Materialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

A.4 Fremgangsmåde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

A.5 Databehandling og Konklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

B Rapport - Videoanalyse af bevægelse 25

B.1 Formål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

B.2 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

B.3 Fremgangsmåde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

B.4 Resultater og databehandling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2

B.4.1 Stedfunktion og hastighedsfunktion for tennisboldens be-

vægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

B.4.2 Energiomdannelse og energibevarelse under tennisboldens

bevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

B.4.3 Energiomdannelse under papirkageformens bevægelse . . 31

B.5 Diskussion af fejlkilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

B.6 Konklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

C Rapport - Newtons anden lov 36

C.1 Formål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

C.2 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

C.3 Materialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

C.4 Fremgangsmåde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

C.5 Databehandling og diskussion - besvarelse af opgaverne i øvelses-

vejledningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

C.5.1 Delforsøg 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

C.5.2 Delforsøg 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

C.5.3 Delforsøg 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

D Rapport - Fald med luftmodstand 44

D.1 Formål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

D.2 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

D.3 Materialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

D.4 Fremgangsmåde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

D.5 Resultater og databehandling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

D.5.1 Delforsøg 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

D.5.2 Delforsøg 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

D.5.3 Samtlige data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

D.6 Diskussion af fejlkilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

D.7 Konklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3

1 Beskrivelse af projektopgaven

1.1 Introduktion

Formålet med forsøgene beskrevet i denne projektopgave er at give eleverne en

fysisk forståelse for emnet mekanik, som beskæftiger sig med bevægelser, fy-

siske kræfter samt mekanisk energi. Forløbet præsenteres med udgangspunkt

i, at det gennemføres med et fysik-B hold. Dette betyder ikke, at de beskrevne

forsøg udelukkende kan bruges på fysik-B niveau. Nogle af forsøge kan tilpas-

ses til andre niveauer ved at reducere eller omformulere teoridelen, eller ved at

udvide teoridelen, opstille modeller og lade eleverne selv planlægge og udføre

forsøgene.

1.2 Forsøgsoversigt

Projektopgaven indeholder fire øvelsesvejledninger til fire forsøg - et demon-

strationsforsøg samt tre elevforsøg. Der er delforsøg i hvert forsøg. Her ses en

list over forsøgene:

• Demonstrationsforsøg - Eftervisning af Archimedes lov

• Elevforsøg - Videoanalyse af to bevægelser - en faldende bold og en fal-

dende kageform

• Elevforsøg - Eftervisning af Newtons anden lov

• Elevforsøg - Fald med luftmodstand

hvor forsøgene nr. 2-4 anvender dataopsamlings- og databehandlingsprogram-

mer (LoggerPro, Capstone, Maple), og hvor de relevante grafer analyseres ved

brug af matematiske værktøjer. I Bilag er der fire rapporter hørende til de oven-

nævnte forsøg.

4

Rækkefølgen af forsøgene er lagt, så eleverne først bliver introduceret til begre-

berne kræfter, tryk samt opdrift og skal på baggrund af disse begreber undersø-

ge gyldigheden af Archimedes’ lov, der beskriver opdrift. Bagefter introduceres

et underemne af mekanik - kinematik, altså bevægelser samt bevægelseslignin-

gerne, hvis grafer og forskrifter undersøges via forsøget om videoanalyse af be-

vægelse. Dette forsøg undersøger også omdannelse mellem kinetisk energi og

potentiel energi. Derefter eftervises Newtons anden lov, der introduceres i for-

bindelse med underemnet dynamik, som handler om fysiske kræfter, og som

også er en del af mekanik. Til sidst undersøges luftmodstand - en ydre kraft.

Undersøgelsen af luftmodstand kræver, at eleverne har baggrundsviden om be-

vægelser og fysiske kræfter, hvilket er grunden til, at dette forsøg laves til sidst.

Forsøg nr. 1 er altså et introducerende forsøg. De andre forsøg udføres, når man

har mere viden om mekanik. Grunden til, at forsøget om Newtons anden lov

udføres før forsøget om videoanalyse af bevægelse er, at førstnævnte handler

om kinematik, mens sidstnævnte handler om dynamik. Forskellen på de to un-

deremner er, at kinematik beskriver bevægelser, men ikke årsagen til bevægel-

ser. Dynamik forklarer årsagen til bevægelser, den forklarer fysiske kræfter vir-

kende på genstande. I de fleste fysikbøger introduceres kinematik før dynamik,

hvilket giver god mening med henblik på hvordan viden om mekanik er bygget

op. De tilhørende forsøg skal understøtte den teoretiske undervisning og ligger

derfor i den samme rækkefølge.

Derudover er forsøg nr. 4 koblet til forsøg nr. 2, faktisk en udvidelse af forsøg

2. Dette er fordi, at forsøg 2 indeholder et delforsøg om en faldende kageform,

hvor luftmodstand er involveret. Dette ses tydeligt af grafen, som viser kage-

formens energiomdannelse under faldet. Mens forsøg 2 kun viser dette og ikke

går i dybden med luftmodstanden, undersøges luftmodstandens afhængighed

af farten i forsøg 4. Det er dog en god ide at arbejde med forsøg nr. 3 først in-

den man udfører forsøg nr. 4, idet forsøg 3 drejer sig om en grundlæggende lov,

nemlig Newtons 2. lov, mens forsøg 4 beskæftiger sig med noget, som er mere

5

avanceret, nemlig ydre kræfter - i dette tilfælde luftmodstand. I langt de fleste

fysikbøger introduceres Newtons love først. Ydre kræfter er et af de underem-

ner, som introduceres til sidst.

Det skal nævnes, at forsøgene i denne projektopgave ikke direkte forklarer grund-

læggende begreber inden for mekanik, eksempelvis strækning, hastighed, acce-

leration, kraft, tryk, kinetisk energi, potentiel energi, osv. Forsøgene kræver, at

man har baggrundsviden om mekanik. Målet med forsøgene er at inddrage de

lærte begreber i det praktiske arbejde, således at eleverne kan se hvordan form-

lerne anvendes i praksis, hvilken betydning de teoretiske formler, begreber og

graferne har, hvilken sammenhæng der er mellem teorien og den virkelige ver-

den, osv. Forsøgene udgør med andre ord ikke et enkeltstående undervisnings-

forløb, men et supplement til den teoretiske undervisning og et hjælpemiddel,

der hjælper eleverne med at bruge, gå i dybden med og dermed have en bedre

forståelse af teorien.

1.3 Didaktiske overvejelser

Forsøgene i projektopgaven er udvalgt med henblik på at opfylde de faglige mål,

bl.a. målet om at kende og kunne opstille og anvende modeller til en kvalitativ

eller kvantitativ forklaring af fysiske fænomener og sammenhænge, målet om

at kunne behandle eksperimentelle data med henblik på at diskutere matema-

tiske sammehænge mellem fysiske størrelser, og målet om at ud fra en given

problemstilling kunne tilrettelægge, beskrive og udføre fysiske eksperimenter

med givet udstyr og præsentere resultaterne hensigtsmæssigt.

Forsøgene er også udvalgt med henblik på at fremme forståelsen af kernestoffet

inden for emnet mekanik, som dækker mekanisk energi - herunder potentiel

og kinetisk energi, kraftbegrebet - herunder opdrift, kinematisk beskrivelse af

bevægelse i én dimension, samt Newtons love anvendt på bevægelser i én di-

mension.

6

Derudover opfylder forsøgene undervisningsministeriets krav om at der skal

lægges vægt på at inddrage moderne it-hjælpemidler i forbindelse med det eks-

perimentelle arbejde, og at eleverne skal prøve at benytte it-baserede hjælpe-

midler til dataopsamling og databehandling.

7

2 Demonstrationsforsøg - Eftervisning af Archime-

des’ lov - Øvelsesvejledning

2.1 Formål

Forsøget går ud på at eftervise Archimedes’ lov.

2.2 Teori

Archimedes’ lov siger, at

Opdriften af et legeme, som er nedsænket i en væske, er lig med tyngdekraften

på den fortrængte væskemængde, udtrykt ved nedenstående formel:

Fop = mv · g = ρv ·V · g

hvor Fop betegner opdriften af legemet, mv er massen af den fortrængte væske,

g = 9,82 Nkg er tyngdeaccelerationen, ρv er densiteten af væsken, og V er volu-

menet af den fortrængte væske, som er den samme som volumenet af legemet.

Denne lov eftervises i dette forsøg. Det andet lighedstegn i ligningen skyldes, at

massen af er lig med densiteten ganget med volumenet: m = ρ ·V .

2.3 Materialer

Lod

Bægerglas

Måleglas

Vægt

Snor

Stativ

2.4 Fremgangsmåde

Figur 1 viser forsøgets opstilling.

8

Laboratorieforsøg 1.8 Archimedes’ lov

Archimedes fremsatte sin lov for omkring 1800 år siden, dog med en lidt anden ordlyd end denne: Opdriften på et legeme, der er nedsænket i en væske, vil

være lige så stor som tyngdekraften på den fortrængte væ-skemængde.

I dette forsøg eftervises Archimedes’ lov.

Først vejes loddet. mlod = g Apparatur & Kemikalier:

Udførelse

Vægt Lod Sytråd Måleglas

Dernæst skal loddets rumfang bestemmes. Det sker ved at nedsænke loddet i et måleglas med vand. Rumfanget aflæses på måleglassets skal før og efter. Loddets rumfang er differencen.

Bægerglas Vlod = mL

Der fyldes så meget vand i bægerglasset, at loddet bliver dækket, når det senere skal sæn-kes ned i vandet. Bægerglasset med vand vejes.

mfør = g Bægerglasset med vand bliver stående på væg-ten, mens loddet nedsænkes heri, se figuren. Vægten aflæses.

mefter = g T on12.345 g

Målt opdrift

Beregn stigningen i masse, som er det sytråden skal bære mindre.

mstigning = g

Opdriften fås ved at gange med tyngdeaccelera-tionen:

Fopdrift = mstigning ⋅ 9,82 m/s2 = N

Tyngdekraften på den fortrængte væske

Massen af det fortrængte vand er lig med rum-fanget af loddet ganget med vandets densitet (massefylde):

mfortrængt vand = Vlod ⋅ 1,00 g/mL = mL

Tyngdekraften fås ved at gange med tyngdeac-celerationen:

Ffortrængt vand = mfortrængt vand ⋅ 9,82 m/s2 = N

Spørgsmål Har forsøget eftervist Archimedes’ lov? Isis Global opvarmning © Hans Birger Jensen og Forlaget Systime A/S 1

Figur 1: Forsøgsopstilling - Archimedes’ lov

Del 1

Først skal volumenet af loddet bestemmes. Dette gøres ved at nedsænke loddet

i et måleglas med vand. Loddets volumen svarer til stigningen i vandstanden.

Vandstanden (i milliliter, mL) før og efter nedsænkning af loddet noteres. Dif-

ferensen er volumenet. For at beregne opdriften, kan man bruge Archimedes’

lov, dvs. man ganger volumenet af loddet med vandets densitet, og med tyng-

deaccelerationen.

Del 2

Snoren fastspændes på stativet, og loddet hænger nu i snoren (Figur 1). Bæ-

gerglasset fyldes med vand. Der skal være tilstrækkelig mængde vand i bægerg-

lasset, således at loddet bliver dækket, når det nedsænkes. Massen af bægerg-

lasset med vand før loddet nedsænkes noteres.

Loddet nedsænkes nu i bægerglasset med vand. Bemærk, at bægerglasset skal

blive stående på vægten, og at loddet ikke må røre bunden af bægerglasset.

9

Når loddet er nedsænket, kan man se en stigning i massen. Massen efter lod-

det nedsænkes noteres også. Stigningen i massen beregnes. Denne massestig-

ning er massen, som snoren skal bære mindre, da vandet i bægerglasset har

"taget"en del af loddets masse. Loddet bliver påvirket af opdriften når det er

sænket ned i vandet. Opdriften er opadrettet og modsat rettet tyngdekraften.

Dette gør, at den resulterende kraft på loddet bliver mindre. Massen af loddet,

som snoren skal bære, bliver derfor mindre. For at finde opdriften, ganger man

massen, som snoren skal bære mindre, med tyngdeaccelerationen (Newtons 2.

lov).

Vi har nu brugt to metoder til at beregne opdriften af loddet - den første me-

tode er Archimedes’ lov, og den anden metode går ud på at udnytte definition

af opdrift. Hvis Archimedes’ lov giver samme resultat som den anden metode,

har vi eftervist Archimedes’ lov.

10

3 Øvelsesvejledning - Videoanalyse af bevægelse

3.1 Formål

I dette forsøg skal du undersøge bevægelser ved hjælp af videoanalyse og ved

brug af programmet Logger Pro. Du skal finde stedfunktionen s(t) og hastig-

hedsfunktionen v(t) for en bevægelse. Derudover skal den potentielle, den ki-

netiske og den mekaniske energi undersøges. Der diskuteres hvilken energiom-

dannelse som finder sted under en bevægelse. Du skal optage to videoer:

• En video af en tennisbold der falder frit, rammer gulvet og derefter laver

flere hop.

• En video af en papirkageform der falder.

3.2 Teori

Orbit B stx iBog, Afsnit 10.5, 10,11 og Afsnit 2.9.

3.3 Videoanalyse af bevægelser med Logger Pro - Fremgangs-

måde og databehandling

Brug tennisbolden først. Start med at bestemme massen af tennisbolden. Lad

bolden falde frit og optag en video af bevægelsen. Husk at have en 1-meter line-

al med på billedet. Logger Pro skal bruge linealen til kalibrering, så programmet

kan behandle de virkelige længder/størrelser.

Start Logger Pro, vælg Insert Movie og åbn videoen du har optaget.

https://drive.google.com/file/d/112NwWCNDBa9T2xqkIExgplzZCvKRUgYL/

view?usp=sharing

Følg videovejledningen (linket) ovenover. Aktiver videoanalyseværktøjet, mar-

ker derefter start og slutning på den 1 m lineal, som du brugte under forsøget.

Dette er en kalibering og fortæller Logger Pro hvor stor en afstand på videoen

svarer til 1 meter i virkeligheden. Læg koordinatsystemet ind, så origo (0,0) lig-

ger på jorden, dvs. vores nulpunkt ligger på jorden. Træk tidsindikatoren indtil

11

den frame, hvor bevægelsen af bolden begynder. Benyt markeringsværktøjet til

at markere hvor bolden er under faldet i de forskellige billeder som videoen be-

står af. Klik på et punkt nederst på bolden igennem hele bevægelsen. Der ind-

tegnes automatisk datapunkter i koordinatsystemet til højre. Bagefter er du klar

til at undersøge grafer, som beskriver stedfunktionen og hastighedsfunktionen

for bevægelsen under påvirkning af tyngdekraften. Logger Pro tegner både bol-

dens vandrette position X og dens lodrette position Y. Da vi er interesseret i at

analysere det frie fald, vil vi kun have den lodrette position Y.

Figur 2

3.3.1 Stedfunktion og hastighedsfunktion for tennisboldens bevægelse

Klik på den lodrette akse og vælg "Y". Klik bagefter den vandrette akse og vælge

"Time". Nu har du tiden ud af den vandrette akse og højden op af den lodrette

akse. Tiden du har ud af den vandrette akse begynder sikkert ikke ved nul, ef-

tersom den starter med video’en og ikke da bolden faktisk blev sluppet. Derfor

skal vi trække tidspunktet for den første markering af boldens position fra alle

markeringernes tidsstempler (se igen videovejledningen). De nye tidspunkter,

der fås ved fratrækningen, kaldes "Korrekt tid"eller "Rigtig tid", målt i sekun-

12

der. Grafen af den lodrette position "Y"som funktion af den rigtige tid skal lig-

ne Figur 2, dog med flere hop, da bolden rammer jorden først, derefter slipper

jorden, bevæger sig opad, når det højeste punkt, falder ned og rammer jorden

igen. Processen gentages flere gange, hvilket betyder, at bolden laver flere hop.

Følgende spørgsmål skal besvares:

1. Beskriv de enkelte hop. Hvad kan man sige om bevægelsen fra bolden

slipper jorden til den rammer den igen?

2. Udvælg et enkelt hop og find stedfunktionen for bevægelsen.

3. Find bevægelsens hastighedsfunktion.

4. Bestem boldens begyndelsesposition, begyndelseshastighed samt dens

acceleration.

3.3.2 Energiomdannelse- og bevarelse under tennisboldens bevægelse

Lav nu en graf, hvor den kinetiske energi, den potentielle energi og den meka-

niske energi er afbildet som funktion af tiden. Dette gøres ved at vælge "Da-

ta"og ”New Calculated Column...”. Indtast derefter formlerne for den kinetiske,

den potentielle og den mekaniske energi, hvor du erstatter bogstaverne m og g

med talværdier. Bogstaverne h og v erstattes med de tilsvarende kolonner, som

beskriver de to størrelser. Svar på følgende spørgsmål:

1. Beskriv hvordan den kinetiske energi, den potentielle energi og den me-

kaniske energi ændrer sig med tiden i hoppene. Forklar hvorfor de ændrer

sig som de gør.

2. Er den mekaniske energi med god tilnærmelse bevaret? Hvor bliver ener-

gien af når bolden rammer jorden?

3.3.3 Energiomdannelse og energibevarelse under kageformens bevægelse

Undersøg nu energiomdannelse for bevægelsen af den faldende papirkageform.

13

4 Øvelsesvejledning - Newtons anden lov

4.1 Indledning

Atwoods faldmaskineAtwoods faldmaskine består af en speedgate med en trisse, hvor en snor

hænger med lodder i begge ender (Figur 3). Trissen har 10 eger, der er meget

præcist udformet. Apparatet virker på den måde, at egerne klipper en infrarød

lysstråle, og de deraf afledte tidsintervaller overføres til en computer, hvor et da-

tahandlingsprogram behandler målingerne. Speedgaten kan bruges til at plotte

en bevægende genstands hastighed som funktion af tid.

Figur 3

Ved hjælp af Newtons anden lov og med tre delforsøg vil vi bestemme accelera-

tionen a af et system bestående af nogle lodder. Den eksperimentelt bestemte

acceleration sammenlignes med den beregnede værdi.

4.2 Teori

Når vi hænger to ens lodder, der hver har massen M , op over en trisse (ét lod

på hver side af trissen), påvirkes hver af dem af to kræfter - tyngdekraften samt

14

snorkraften. De to kræfter er lige store men modsat rettede, da lodderne ve-

jer lige meget. Den resulterende kraft på hvert lod er således nul. Lodderne vil

hænge stille.

Hvis vi hænger et lille ekstra lod med massen m på det ene af de to store

lodder M , vil det lille lod gøre, at den resulterende kraft og dermed accelera-

tionen ikke længere er nul. Lodderne vil begynde med at bevæge sig (ét af dem

op, og to af dem ned). Da det er det lille lod, som giver overskudskraften, er den

resulterende kraft lig med tyngdekraften på det lille lod:

Fr es = m · g

hvor g = 9,82 ms2 er tyngdeaccelerationen. Vi har nu et system bestående af tre

lodder. Den samlede masse af systemet er msamlet = M +M +m. Det er denne

samlede masse, der accelereres, når lodderne bevæger sig. Med Newtons 2. lov

kan vi beregne loddernes acceleration a:

a = Fr es

msamlet

ma = Fr es

M +M +mma = m · g

M +M +m

Den ovenstående ligning omskrives:

a = m

M +M +m· g (1)

Formel 1 bruges til at beregne loddernes acceleration. Med Atwoods faldma-

skine kan vi måle loddernes acceleration – den målte værdi kaldes den eksperi-

mentelle værdi og skal sammenlignes med den beregnede værdi.

4.3 Materialer

• Computer med databehandlingsprogrammet Capstone

• Speedgate med trisse

15

• Snor/sytråd

• Lodder med forskellige masser (i hvert delforsøg benyttes to helt ens store

lodder samt et lille lod)

• USB-kabel

• Stativ

4.4 Fremgangsmåde og databehandling

Brugen af Capstone

1. Lav opstillingen på Figur 3. Brug USB-kablet til at forbinde speedgaten

til computeren og start programmet Capstone. Bagefter skal du trykke

”Hardware opsætning”, vælge den rigtige indgang og derefter ”Fotocel-

le med remskive” (Figur 4). Så ved Capstone, at speedgaten er koblet til

computeren.

Figur 4

16

2. Vælg ”Table & Graph” i Capstone. Vælg derefter ”Lineær hastighed” på

grafens lodrette akse. Grafens vandrette akse skal være "Tid". Loddernes

hastighed som funktion af tiden plottes automatisk af Capstone når de

begynder at bevæge sig.

3. Løft den tungeste masse op indtil den lette masse næsten rører bordet.

Sørg for, at den lille røde lysdiode ikke lyser (for at være sikker på, at Cap-

stone ikke starter med at indsamle data før trissen begynder at dreje).

4. Start dataindsamling ved at trykke knappen ”Optag”, slip den tungeste

masse. Stop dataindsamling inden den tungeste masse rammer bordet.

Pas på at den letteste masse ikke skal komme på den anden side af trissen

(den kan nemlig ramme dig i ansigtet)!

5. Du får en tid-hastighed graf. Du kan vælge en lineær regression til at fitte

grafen. Ud fra forskriften af regressionsligningen kan du aflæse loddernes

acceleration aeksp , som er den eksperimentelle værdi af accelerationen.

Brug også formel 1 til at beregne accelerationen, aber eg n .

6. Forsøget gentages et par gange, hvor du stadig bruger to ens lodder og et

lille ekstra lod hver gang, men hvor du varierer på de to ens masser M og

på den lille ekstra masse m.

7. For hver gentagelse af forsøget skal du anvende formel 1 til at beregne

accelerationen, og bruge tid-hastighed grafen til at bestemme den ekspe-

rimentelle værdi af accelerationen.

8. Sammenlign jeres eksperimentelle værdier med de beregnede værdier.

Stemmer de overens? Hvordan kan det være at de eksperimentelle værdi-

er altid er mindre end de beregnede?

Udfordrende og valgfrie opgaver

9. Beregn, for hver gentagelse af forsøget, massebrøken mM+M+m , således at

du til sidst har tre forskellige værdier af massebrøken.

17

10. Lav nu et koordinatsystem, hvor du afbilder de i det forrige spørgsmål be-

regnede værdier af massebrøken på den vandrette akse og de på graferne

aflæste værdier af accelerationen (aeksp ) på den lodrette akse.

11. Hvilken type graf forventer du? Hvad viser grafens hældning? Hvorfor?

18

5 Øvelsesvejledning - Fald med luftmodstand

5.1 Formål

Forsøget går ud på at undersøge om luftmodstanden på en papirkageform un-

der et fald er afhængig af kageformens hastighed eller af kvadratet på hastighe-

den. Proportionalitetsfaktoren k bestemmes også.

5.2 Teori

En faldende papirkageform påvirkes af to kræfter. Den ene er tyngdekraften:

Ft = m · g

Den anden er gnidningskraften/luftmodstanden Flu f t , som er afhængig af le-

gemets hastighed v . Der er to modeller, som beskriver denne afhængighed:

• Fl u f t = k · v

• Fl u f t = k · v2

hvor k er en proportionalitetskonstant. Det er ifølge formlerne klart, at uan-

set hvilken model der bruges, bliver luftmodstanden større når størrelsen på

hastigheden vokser. Tyngdekraften er rettet lodret nedad. Luftmodstanden er

modsat tyngdekraftens retning. Hvis den positive retning er lodret nedad, bli-

ver den resulterende kraft på genstanden

Fr es = Ft −Flu f t = m · g −k · v

eller

Fr es = Ft −Flu f t = m · g −k · v2

idet der som ovennævnt er to modeller.

Når kageformen er faldet et stykke tid vil den falde med en konstant hastighed.

Denne hastighed er genstandens sluthastighed, også kaldt terminalhastighed,

betegnet med symbolet vt .

19

1. Forklar hvorfor dette nødvendigvis må ske - her skal du inddrage form-

lerne omtalt ovenfor og den resulterende kraft.

2. Hvad er luftmodstanden når kageformen har opnået terminalhastighe-

den?

For én kageform kan vi måle terminalhastigheden og den tilsvarende luftmod-

stand. For to, tre, fire, osv. kageforme har terminalhastigheden og den tilsvaren-

de luftmodstand andre værdier. Hvis vi har nogle sammenhørende værdier af

terminalhastigheden og luftmodstanden, kan vi lave følgende to plot for de to

modeller:

• Luftmodstanden som funktion af terminalhastigheden

• Luftmodstanden som funktion af kvadratet på terminalhastigheden

Fit hver graf med en proportionel regression (Hvorfor skal et være en proportio-

nel regression?) og afgør hvilken model bedst beskriver sammenhængen mel-

lem luftmodstanden og hastigheden.

5.3 Materialer

Bevægelsessensor koblet til computer med programmet Pasco Capstone

USB-kabel

Seks papirkageforme

Vægt

Stativ

5.4 Fremgangsmåde

Massen af en enkelt kageform bestemmes ved at veje den med en digital vægt.

Bevægelsessensoren tilsluttet Capstone via et USB-kabel placeres højt over gul-

vet på et stativ. Bevægelsessensoren vender nedad. Denne opstilling gør, at når

kageformen falder (den falder fra et sted tæt på sensoren), vil den bevæge sig

20

væk fra bevægelsessensoren. Kageformens strækning som funktion af tiden bli-

ver altså en stigende graf. Brug først én kageform. Hold kageformen under be-

vægelsessensoren. Capstone startes ved at trykke knappen "Optag". Giv slip

på kageform. Stop dataindsamlingen lige så snart kageformen rammer jorden.

Capstone plotter automatisk en tid-strækning graf. Forsøget gentages fem gan-

ge, med hhv. to, tre, fire, fem og seks ens kageforme sat inden i hinanden. Hver

gang skal den samlede masse af kageformene bestemmes og tid-strækning gra-

fen plottes.

5.5 Resultater og databehandling

For hver gentagelse af forsøget bestemmes terminalhastigheden og den tilsva-

rende luftmodstand. Terminalhastigheden bestemmes ved at finde hældnin-

gen af tid-strækning grafen. Luftmodstanden bestemmes ud fra tyngdekraften

(du skal forklare hvorfor. Se teori-delen). Derudover skal kvadratet på terminal-

hastigheden beregnes. Dataene indføres i et skema.

Bagefter plottes de to omtalte grafer, og der laves regressioner:

• Grafen af luftmodstanden som funktion af terminalhastigheden

• Grafen af luftmodstanden som funktion af kvadratet på terminalhastig-

heden

Find konstanten k ud fra en af de to grafer (den graf, som bedst beskriver luft-

modstanden).

21

A Demonstrationsforsøg - Eftervisning af Archime-

des’ lov - Rapport

A.1 Formål

Formålet med forsøget er at eftervise Archimedes’ lov.

A.2 Teori

Archimedes’ lov siger, at

Opdriften af et legeme, som er nedsænket i en væske, er lig med tyngdekraften

på den fortrængte væskemængde, udtrykt ved nedenstående formel:

Fop = mv · g = ρv ·V · g (2)

hvor Fop betegner opdriften af legemet, mv er massen af den fortrængte væske,

g = 9,82 Nkg er tyngdeaccelerationen, ρv er densiteten af væsken, og V er volu-

menet af den fortrængte væske, hvilket er det samme som legemets volumen.

Denne lov eftervises i dette forsøg. Det andet lighedstegn i ligningen skyldes, at

massen er lig med densiteten ganget med volumenet: m = ρ ·V .

A.3 Materialer

Lod

Bægerglas

Måleglas

Vægt

Snor

Stativ

A.4 Fremgangsmåde

Se øvelsesvejledningen.

22

A.5 Databehandling og Konklusion

Måleresultaterne samles i Tabel 1. De tre første rækker i tabellen svarer til Del 1

i Fremgangsmåde. De tre sidste rækker i tabellen svarer til Del 2.

Tabel 1: Eftervisning af Archimedes’ lov - måleresultaterne

Volumenet af vandet i måleglasset

før nedsænkning af loddet 70mL

Volumenet af vandet i måleglasset

efter nedsænkning af loddet 81mL

Loddets volumen, V

81mL−70mL = 11mL

= 0,011L = 1,1 ·10−5m3

Massen af bægerglasset med vand

før nedsænkning af loddet 350g

Massen af bægerglasset med vand

efter nedsænkning af loddet 361g

Stigningen i massen, mst i g ni ng 361g −350g = 11g = 0,011kg

1. Ud fra de tre første rækker bruger jeg formel 2, Archimedes’ lov, til at be-

regne opdriften på loddet

Fop = ρv ·V · g

= 1000kg

m3·1,1 ·10−5m3 ·9,82

N

kg= 0,10802N

hvor 1000 kgm3 er vands densitet.

2. Ud fra de tre sidste rækker bruger jeg definition af opdrift il at beregne

opdriften på loddet

mst i g ni ng · g = 0,011kg ·9,82N

kg= 0,10802N

23

De to metoder giver præcist den samme værdi af opdriften. Jeg kan således kon-

kludere, at Archimedes’ lov er eftervist, og at forsøget formål er opnået.

24

B Rapport - Videoanalyse af bevægelse

B.1 Formål

Dette eksperiment går ud på at undersøge to bevægelser ved hjælp af videoa-

nalyse. Eksperimentet opdeles i to delforsøg. Formålet med det første delfor-

søg er at undersøge en tennisbold, som falder frit, rammer jorden og laver flere

hop. Til det formål anvendes programmet Logger Pro. Stedfunktionen og ha-

stighedsfunktionen for bevægelsen analyseres. Derudover undersøges boldens

potentielle, kinetiske og mekaniske energi under hele bevægelsen. Formålet

med det andet delforsøg er at undersøge en faldende papirkageform - herunder

kageformens potentielle, kinetiske og mekaniske energi under faldet.

B.2 Teori

Stedfunktionen for et legemes bevægelse er en funktion, som beskriver hvordan

legemets tilbagelagte strækning afhænger af/ændrer sig med tiden. Stræknin-

gen er i forhold til et valgt nulpunkt, dvs. den er afstanden mellem legemet og

det valgte nulpunkt. For en bevægelse med konstant acceleration er stedfunk-

tionen

s(t ) = 1

2·a0 · t 2 + v0 · t + s0 (3)

hvor a0 er den konstante acceleration, v0 er legemets begyndelseshastighed, s0

er legemets begyndelsesstrækning i forhold til nulpunktet, t står for tiden, og

s(t ) er strækningen til tiden t .

Legemets hastighedsfunktion er

v(t ) = a0 · t + v0 (4)

hvor v afhænger af tiden - derfor v(t ).

Legemets acceleration er konstant. Hvis bevægelsen er et frit fald, er accelera-

tionen lig med tyngdeaccelerationen, g = 9,82 ms2 .

a(t ) = a0 = g

25

For et fald eller et lodret kast under påvirkning af tyngdekraften er legemets

potentielle energi bestemt som

Epot = m · g ·h (5)

hvor m er legemets masse, og h er legemets højde, dvs. afstanden mellem lege-

met og det valgte nulpunkt. Legemets kinetiske energi er bestemt som

Eki n = 1

2·m · v2 (6)

hvor v er legemets hastighed. Legemets mekaniske energi er

Emek = Eki n +Epot (7)

Hvis legemet kun påvirkes af tyngdekraften, har den mekaniske energi altid

samme værdi - vi siger at den mekaniske energi er bevaret. Når den kinetiske

energi falder, vil den potentielle energi ifølge formlen stige, og omvendt. Ener-

gien bliver altså omdannet til en anden form, mens den totale energimængde

forbliver konstant. Hvis der derimod er luftmodstand eller andre ydre kræfter,

kan den mekaniske energi ændres således at den ikke længere er konstant.

B.3 Fremgangsmåde

Se fremgangsmåden beskrevet i øvelsesvejledningen.

B.4 Resultater og databehandling

B.4.1 Stedfunktion og hastighedsfunktion for tennisboldens bevægelse

Bevægelsens nulpunkt ligger på jorden, hvilket vil sige, at strækningen er nul

når tennisbolden er på jorden og positiv når bolden er over jordhøjden. Figur 5

viser strækningens afhængighed af tiden.

Herefter vælges "Y Velocity"på den lodrette akse, således at man får tennis-

boldens hastighed som funktion af tiden (Figur 6).

Figur 5 viser strækningen som funktion af tiden og er beskrevet ved stedfunk-

tionen (3) i teori-delen. Dens parabel-form er forventet da stedfunktionen jo

26

Figur 5: Tennisboldens strækning som funktion af tiden når bolden falder frit

27

Figur 6: Tennisboldens hastighed som funktion af tiden når bolden falder frit

er et andengradspolynomium. Der er tre parabler svarende til boldens tre hop.

Toppunktet af hver parabel svarer til den maksimale højde tennisbolden kan nå

i hvert hop. Grunden til at højden af toppunkterne er faldende er, at der tabes

energi efter hvert hop, hvilket fører til, at bolden ikke kan komme lige så højt op

som før.

Den første halv-parabel er faldende fordi bolden starter fra den maksimale

højde og nærmer sig nulpunktet (jorden) i takt med faldet, hvilket betyder, at

afstanden til nulpunktet bliver mindre. Halv-parablen bliver stejlere jo længere

ned grafen bevæger sig, da bevægelsen er accelererende, hvilket betyder, at far-

ten, som er den numeriske værdi af grafens hældning, stiger på vej ned. Kigger

vi på grafen, der viser boldens hastighedsfunktion i første hop (den første line-

ære graf i Figur 6), ses det, at hældningen her er negativ da bolden bevæger sig

mod nulpunktet, altså modsat koordinatsystemets positive retning.

Den anden parabel i Figur 5 er stigende indtil toppunktet, idet bolden, efter

28

at have ramt gulvet, slipper gulvet og bevæger sig væk fra gulvet grundet den

fjedereffekt som skabes når den presses mod gulvet. På hastighedsgrafen kan

man aflæse, at hastigheden er faldende i denne del, hvilket giver god mening

da den kinetiske energi forbruges på vej op. Efter den maksimale højde bliver

hastigheden negativ, ligesom i det første hop. Dette mønster gentager sig indtil

bolden ikke har mere energi tilbage og lander på gulvet.

Jeg har valgt den del af graf 5, som beskriver det første hop, og brugt en

andengrads regression til at fitte grafen. Ifølge Logger Pro er forskriften for re-

gressionslinjen

Y =−4,769 · x2 −0,2791 ·x +1,1

Denne forskrift beskriver boldens strækning som funktion af tiden og er således

stedfunktionen for bevægelsen. Udtrykt ved fysiksprog er stedfunktionen

s(t ) =−4,769m

s2· t 2 −0,2791

m

s· t +1,1m (8)

Sammenlignes den ovenstående stedfunktion med formel 3 i teori-delen, er det

tydeligt, at1

2·a0 =−4,769

m

s2⇔ a0 =−9,538

m

s2

Bevægelsens acceleration er altså −9,538 ms2 . Accelerationen kan også findes ved

at fitte den tilsvarende hastighedsgraf med en lineær regression (Figur 6). For-

skriften for denne regression giver en acceleration på −9,590 ms2 . Begge værdier

er i OK overensstemmelse med tyngdeaccelerationen, som er 9,82 ms2 i Danmark,

og som er boldens acceleration under faldet hvis der ses bort fra luftmodstan-

den. Det negative fortegn skyldes accelerationens retning, som er nedad rettet.

Desuden kan jeg af stedfunktionen 8 aflæse, at −0,2791 ms , svarende til v0,

er boldens begyndelseshastighed, og at 1,1m, svarende til s0, er begyndelses-

strækningen, hvilket passer med boldens startposition inden den blev slup-

pet. Begyndelseshastigheden burde være nul, da bolden lå stille inden den blev

sluppet. Men da jeg markerede boldens position under faldet, startede jeg ikke

præcist ved boldens hvilestilling. Jeg startede lidt efter den blev sluppet. På det

tidpunkt begyndte den allerede at falde mod nulpunktet, hvilket forklarer det

negative fortegn af begyndelseshastigheden.

29

Hastighedsfunktionen kan bestemmes ved at differentiere stedfunktionen

v(t ) = d v(t )

d t=−9,538

m

s2· t −0,2791

m

s

eller ved at aflæse forskriften for regressionslinjen for hastighedsfunktionen

v(t ) =−9,590m

s2· t −0,2449

m

s

De to hastighedsfunktioner stemmer stort set overens. Eventuelle fejlkilder dis-

kuteres i det næste afsnit.

B.4.2 Energiomdannelse og energibevarelse under tennisboldens bevægel-

se

Der oprettes nye kolonner i Logger Pro, hvorefter formlerne for kinetisk, poten-

tiel samt mekanisk energi gennemgået i teori-delen tastes ind. Tennisbolden

vejer 57,7g r am = 0,0577kg . Dette tal sættes ind på m’s plads i formlerne, og

energierne beregnes af Logger Pro. Et eksempel på hvordan den potentielle og

den mekaniske energi er beregnet ses nedenfor (Figurerne 7 og 8).

Figur 9 viser graferne for de tre energier. Grafen af den potentielle energi føl-

ger grafen af stedfunktionen: den potentielle energi (rød) falder når bolden er

på vej ned og stiger når den er på vej op, hvilket stemmer overens med formel 5

i teori-delen, idet den potentielle energi ifølge formlen er ligefrem proportionel

med højden/afstanden. Den kinetiske energi (blå) stiger når bolden er på vej

ned, hvilket skyldes den forøgede fart. Formel 6 siger jo, at den kinetiske ener-

gi stiger med farten. Dette afspejles også af en tidligere observation, nemlig at

grafen for strækningen som funktion af tiden bliver stejlere jo længere ned bol-

den falder. Når bolden bevæger sig opad, sker det omvendt, som skyldes den

faldende fart.

Kurverne viser tydeligt, at den kinetiske energi falder mens den potentiel-

le stiger, og omvendt, præcist som forudsagt - energien opstår/forsvinder ikke,

men omdannes. Ydermere ses det, at den mekaniske energi stort set er kon-

stant (bevaret) for hvert hop. Dette stemmer overens med den teoretiske forud-

sigelse. Dog ser vi, at den mekaniske energi svinger lidt i hvert hop, hvilket kan

30

Figur 7: Måden hvorpå den potentielle energi er beregnet i Logger Pro

skyldes luftmodstanden. Luftmodstandens betydning er ikke stor i dette forsøg,

både fordi at faldhøjden ikke er stor, og farten derfor ikke kan nå at vokse rigtig

meget inden bolden rammer jorden, og fordi at bolden har en tilstrækkeligt stor

masse, således at tyngdekraften er langt mere dominerende end luftmodstan-

den. Vi ser også, at den mekaniske energi kun er bevaret for hvert hop, men ikke

gennem hele målingen. Den falder nemlig hver gang et hop slutter, altså hver

gang bolden rammer jorden. Grunden til faldet er, at der afgives termisk energi

til gulvet når bolden rammer jorden.

B.4.3 Energiomdannelse under papirkageformens bevægelse

Jeg har også optaget en video af en faldende papirkageform. Kageformens kine-

tiske (blå), potentielle (rød) og mekaniske (grøn) energi som funktion af tiden

31

Figur 8: Måden hvorpå den mekaniske energi er beregnet i Logger Pro

vises på Figur 10. De sidste to datapunkter skal ses bort fra, fordi de svarer til

landingen af kageformen (fra en del af kageformen til hele kageformen rammer

gulvet). Sammenlignet med tennisbolden stiger kageformens kinetiske energi

langsommere, og den nærmer sig en konstant værdi inden landing. Dette re-

sulterer i, at den mekaniske energi ikke er konstant men faldende. Den meka-

niske energi er med andre ord ikke bevaret i dette tilfælde, hvilket skyldes luft-

modstanden, som er en ydre kraft, og som ændrer den mekaniske energi. Dette

forudsiger teorien også.

Når kageformen falder, er der to modsat rettede kræfter som påvirker den

- tyngdekraften og luftmodstanden. Det er vektorsummen af de to kræfter, der

giver anledning til accelerationen. Eftersom tyngdekraften er proportionel med

massen, vil den lille masse af kageformen betyde, at tyngdekraften også er lille,

og at luftmodstanden derfor har en stor indflydelse på kageformen. Luftmod-

standen medfører en mindre acceleration, dermed en langsomt stigende fart

32

Figur 9: Tennisboldens kinetiske (blå), potentielle (rød) og mekaniske (grøn) energi som

funktion af tiden

og langsomt stigende kinetisk energi. Luftmodstanden er stigende indtil den er

lig med tyngdekraften. Når dette sker, bliver accelerationen nul og hastigheden

samt den kinetiske energi konstant. Dette forklarer grafens udseende.

B.5 Diskussion af fejlkilder

1. Den mest betydningsfulde fejlkilde er efter min mening måden hvorpå

grafen er genereret. Datapunkterne på grafen svarer jo til de markeringer

jeg har lavet. Markeringerne blev ikke registreret nøjagtigt da de blev la-

vet manuelt og ikke automatisk af et måleapparat. Jeg skulle markere et

punkt nederst på bolden/kageformen igennem hele faldet, men det var

svært, specielt på grund af det faktum, at de enkelte billeder (frames),

som videoen bestod af, var utydelige grundet boldens hurtige bevægel-

se og kageformens hvide/lyse farve. Dette havde påvirket alle forsøgets

33

Figur 10: Kageformens kinetiske (blå), potentielle (rød) og mekaniske (grøn) energi som

funktion af tiden

resultater inkl. bestemmelse af accelerationen.

2. Da jeg placerede koordinatsystemet, var det ikke sikkert, at origo nøjag-

tigt lå på gulvet, hvilket påvirkede alle graferne.

3. Bolden havde hoppet skævt siden første gang den ramte jorden og blev

kastet tilbage. Kageformen havde heller ikke faldt helt lodret ned da den

lette masse gjorde, at den svævede lidt. Dette havde også en betydning

for grafens udseende.

B.6 Konklusion

Jeg har gennem forsøget undersøgt stedfunktionen og hastighedsfunktion for

34

tennisboldens bevægelse. Derudover har jeg undersøgt boldens og kageformens

potentielle, kinetiske samt mekaniske energi. De fundne resultater er i overens-

stemmelse med de teoretiske forudsigelser når fejlkilderne og luftmodstanden

er taget i betragtning. Jeg kan hermed konkludere, at forsøgets formål er opnå-

et.

35

C Rapport - Newtons anden lov

C.1 Formål

Formålet med dette forsøg er at bestemme accelerationen af et system bestå-

ende af tre lodder. Dette gøres både eksperimentelt - via tid-hastighed grafer -

og via beregninger - ved brug af Newtons anden lov.

C.2 Teori

Newtons anden lov siger, at

Når et legeme med massen m påvirkes af kræfter, vil legemet få en acceleration

a, som er lig med den resulterende kraft divideret med massen

a = Fr es

m

Hvis vi hænger to ens lodder, der hver har massen M , op over en trisse (ét lod

på hver side af trissen), påvirkes hver af dem af to kræfter - tyngdekraften samt

snorkraften. De to kræfter er lige store, men modsat rettede, da lodderne ve-

jer lige meget. Den resulterende kraft på hvert lod er således nul. Lodderne vil

hænge stille.

Hvis vi hænger et lille ekstra lod med massen m på det ene af de to større

lodder M , vil det lille lod gøre, at den resulterende kraft og dermed accelera-

tionen ikke længere er nul. Lodderne vil begynde med at bevæge sig (ét af dem

op, og to af dem ned). Da det er det lille lod, som giver overskudskraften, er den

resulterende kraft lig med tyngdekraften på det lille lod:

Fr es = m · g

hvor g = 9,82 ms2 er tyngdeaccelerationen. Vi har nu et system bestående af tre

lodder. Den samlede masse af systemet er msamlet = M +M +m. Det er denne

samlede masse, der accelereres, når lodderne bevæger sig. Lodderne har sam-

me acceleration fordi de er forbundet med en stram snor. Med Newtons 2. lov

36

kan vi beregne loddernes acceleration a:

a = Fr es

msamlet

ma = Fr es

M +M +mma = m · g

M +M +m

Den ovenstående ligning omskrives:

a = m

M +M +m· g (9)

Formel 9 bruges til at beregne loddernes acceleration. Med Atwoods faldma-

skine kan vi måle loddernes acceleration – den målte værdi kaldes den eksperi-

mentelle værdi og skal sammenlignes med den beregnede værdi.

C.3 Materialer

• Computer med databehandlingsprogrammet Capstone

• Speedgate med trisse

• Snor/sytråd

• Lodder med forskellige masser (i hvert delforsøg benyttes to helt ens store

lodder samt et lille lod)

• USB-kabel

• Stativ

C.4 Fremgangsmåde

Læs øvelsesvejledningen.

37

C.5 Databehandling og diskussion - besvarelse af opgaverne i

øvelsesvejledningen

Forsøget blev udført tre gange (tre delforsøg), hver gang den samme proces,

men med forskellige masser.

C.5.1 Delforsøg 1

I delforsøg 1 vejer hver af de to tunge lodder M = 200g = 0,2kg , og det lille

ekstra lod vejer m = 10g = 0,01kg . Med formel 9 beregner jeg loddernes acce-

leration

aber eg n = m

M +M +m· g = 0,01kg

0,2kg +0,2kg +0,01kg·9,82

m

s2= 0,240

m

s2

Figur 11 viser tid-hastighed grafen for lodderne. Jeg har valgt en lineær regres-

sion til at fitte grafen. Ud fra forskriften for regressionsligningen kan jeg aflæse,

grafens hældning (m-værdien) er 0,208. Eftersom grafen beskriver loddernes

hastighed, må hældningen betyde, at loddernes acceleration, aeksp , er 0,208 ms2 ,

hvilket er den eksperimentelle værdi af accelerationen.

C.5.2 Delforsøg 2

I delforsøg 2 vejer hvert af de to tunge lodder M = 20g = 0,02kg , og det lille

ekstra lod vejer m = 10g = 0,01kg . Igen bruger jeg formel 9 til at beregne lod-

dernes acceleration

aber eg n = 0,01kg

0,02kg +0,02kg +0,01kg·9,82

m

s2= 1,964

m

s2

Figur 12 viser tid-hastighed grafen for lodderne. Igen har jeg valgt en lineær

regression. Grafens hældning er 1,81, hvilket betyder, at den eksperimentelle

værdi af loddernes acceleration er aeksp = 1,81 ms2 .

38

Figur 11: Delforsøg 1- Loddernes hastighed som funktion af tiden

C.5.3 Delforsøg 3

I delforsøg 3 er loddernes masser M = 100g = 0,1kg og m = 20g = 0,02kg . Lod-

dernes acceleration er

aber eg n = 0,02kg

0,1kg +0,1kg +0,02kg·9,82

m

s2= 0,893

m

s2

Figur 13 viser tid-hastighed grafen for lodderne samt regressionen for grafen.

Hældningen indikerer, at loddernes acceleration er aeksp = 0,850 ms2 .

Resultaterne fra de tre delforsøg viser en god overensstemmelse mellem de

beregnede og de eksperimentelle værdier af accelerationen. Den største relative

afvigelse findes i delforsøg 1, hvor den absolutte afvigelse er

aber eg n −aeksp = 0,240m

s2−0,208

m

s2= 0,032

m

s2

39

Figur 12: Delforsøg 2 - Loddernes hastighed som funktion af tiden

som er cirka 15,38% i forhold til den eksperimentelle værdi:

0,032 ms2

0,208 ms2

= 15,38%

som er en lidt større, dog acceptabel afvigelse. De relative afvigelser i de to an-

dre delforsøg er ikke større end 8,5%.

Ydermere kan det observeres, at alle de eksperimentelle værdier af accele-

rationen er mindre end de tilsvarende, beregnede værdier. Dette kan forklares

ved at inddrage gnidningen og luftmodstanden. De beregnede værdier er idealt

beregnet alene ud fra masserne og tyngdeaccelerationen, hvorimod de ekspe-

rimentelle værdier er bestemt ud fra målingerne. Når man foretager disse må-

linger i praksis, er der gnidningen mellem snoren og trissen, som har en brem-

40

Figur 13: Delforsøg 3 - Loddernes hastighed som funktion af tiden

sende effekt på lodderne. Desuden bliver lodderne bremset af luftmodstanden,

som er modsat bevægelsesretningen. Disse faktorer vil sænke loddernes acce-

leration.

Udfordrende og valgfrie opgaver

Kigger vi på formel 9 kan vi se, at loddernes acceleration a er proportionel med

massebrøken mM+M+m , eftersom tyngdeaccelerationen g er en konstant størrel-

se. Dette betyder, at hvis vi plotter loddernes acceleration som funktion af mas-

sebrøken, bør vi få en proportionel graf med hældningen lig med tyngdeacce-

lerationen.

Lodder med forskellige masser blev brugt i mine tre delforsøg. Jeg beregner,

for hvert delforsøg, massebrøken mM+M+m , således at jeg til sidst har tre forskel-

41

lige værdier af massebrøken. Tilsvarende har jeg tre eksperimentelle værdier

af accelerationen (aflæst på graferne). Jeg har således tre sæt sammenhørende

værdier, hvilket vises i Tabel 2.

Tabel 2: Sammenhørende værdier af massebrøken mM+M+m og accelerationen aeksp .

Delforsøg Massebrøk mM+M+m Acceleration aeksp

1 0,01kg0,2kg+0,2kg+0,01kg 0,208 m

s2

2 0,01kg0,02kg+0,02kg+0,01kg 1,81 m

s2

3 0,02kg0,1kg+0,1kg+0,02kg 0,85 m

s2

De tre sæt værdier plottes i et koordinatsystem, hvor massebrøken afbildes

på den vandrette akse og loddernes acceleration afbildes på den lodrette akse

(Figur 14).

Hældningen på grafen er 9,0907, som indikerer, at den eksperimentelt be-

stemte tyngdeacceleration er cirka 9,09 ms2 , hvilket afviger 9,09 m

s2 −9,82 ms2 =−0,73 m

s2

fra den korrekte værdi. Igen, dette kan skyldes luftmodstanden og gnidningen.

42

Figur 14: De eksperimentelle værdier af loddernes acceleration som funktion af massebrø-

ken

43

D Rapport - Fald med luftmodstand

D.1 Formål

I dette forsøg undersøges luftmodstanden på en faldende papirkageform. Der

skal afgøres, om luftmodstanden afhænger af kageformens hastighed eller af

kvadratet på hastigheden. Derudover skal proportionalitetsfaktoren k bestem-

mes.

D.2 Teori

En papirkageform, som falder i tyngdefeltet med luftmodstand, påvirkes af to

kræfter. Den ene er tyngdekraften:

Ft = m · g

Den anden er gnidningskraften/luftmodstanden Flu f t , som er afhængig af le-

gemets hastighed v . Der er to modeller, som beskriver denne afhængighed:

• Fl u f t = k · v

• Fl u f t = k · v2

hvor k er en proportionalitetskonstant. Det er ifølge formlerne klart, at uan-

set hvilken model der bruges, bliver luftmodstanden større når størrelsen på

hastigheden vokser. Tyngdekraften er rettet lodret nedad. Luftmodstanden er

modsat tyngdekraftens retning. Hvis den positive retning er lodret nedad, bli-

ver den resulterende kraft på genstanden

Fr es = Ft −Flu f t = m · g −k · v

eller

Fr es = Ft −Flu f t = m · g −k · v2

idet der som ovennævnt er tale om to modeller.

I begyndelsen falder kageformen frit med tyngdeaccelerationen. I takt med at

farten vokser på vej ned, stiger luftmodstanden, hvilket ifølge de ovenstående

44

formler mindsker størrelsen af den resulterende kraft og dermed kageformens

acceleration. På et tidspunkt vil luftmodstanden være så stor som tyngdekraf-

ten:

Ft = Fl u f t ⇔ m · g = k · v (10)

eller

Ft = Fl u f t ⇔ m · g = k · v2 (11)

Den resulterende kraft på genstanden vil således blive nul. Ifølge Newtons an-

den lov vil accelerationen også blive nul, og kageformen vil falde med en kon-

stant hastighed. Denne hastighed er genstandens sluthastighed, også kaldt ter-

minal hastighed, betegnet med symbolet vt . Når kageformen har opnået ter-

minalhastigheden, er luftmodstanden altså lig med tyngdekraften. Bruger vi to

og flere kageforme, vil vi få nogle sammenhørende værdier af terminalhastig-

heden og luftmodstanden, og vi kan bruge de sammenhørende værdier til at

lave følgende to plot

• Luftmodstanden som funktion af terminalhastigheden

• Luftmodstanden som funktion af kvadratet på terminalhastigheden

Hvis formlen Flu f t = k ·v gælder, betyder det, at grafen af luftmodstanden som

funktion af terminalhastigheden vil vokse proportionelt med hældningen k.

Hvis formlen Flu f t = k · v2 gælder, vil grafen af luftmodstanden som funktion

af kvadratet på terminalhastigheden vokse proportionelt med hældningen k.

Dette vil jeg undersøge i det følgende.

D.3 Materialer

Bevægelsessensor koblet til computer med programmet Pasco Capstone

USB-kabel

Seks papirkageforme

Vægt

Stativ

45

For hver gentagelse af forsøget bestemmes terminalhastigheden og den tilsva-

rende luftmodstand. Terminalhastigheden bestemmes ved at finde hældnin-

gen af tid-strækning grafen. Luftmodstanden bestemmes ud fra tyngdekraften

(du skal forklare hvorfor. Se teori-delen). Derudover skal kvadratet på terminal-

hastigheden beregnes. Dataene indføres i et skema.

D.4 Fremgangsmåde

Læs øvelsesvejledningen.

D.5 Resultater og databehandling

D.5.1 Delforsøg 1

Hver kageform vejer mk = 0,83g = 8,3·10−4kg . Først benyttes én kageform. Gra-

fen af strækningen som funktion af tiden ser ud som nedenstående

Figur 15: Strækningen som funktion af tiden for én kageform

46

En konstant hastighed betyder jo, at strækningen vokser lineært. Eftersom

terminalhastigheden er den konstante sluthastighed, som kageformen får til

sidst, skal jeg kigge på det sidste stykke af tid-strækning grafen, som er lineær,

for at finde terminalhastigheden (de to vandrette dele af grafen svarer hhv. til før

kageformen blev sluppet og efter landing på gulvet og skal derfor ses bort fra).

Jeg har af denne grund fittet den sidste del af grafen med en lineær regression

(se Figur 15). Hældningen (m-værdien) er 1,75, hvilket er ensbetydende med, at

terminalhastigheden er 1,75 ms . Når kageformen har opnået denne hastighed, er

luftmodstanden, som tidligere nævnt, lig med tyngdekraften:

Fl u f t = Ft = mk · g = 8,3 ·10−4kg ·9,82N

kg= 0,00815N

D.5.2 Delforsøg 2

I delforsøg 2 benyttes to kageform, som vejer mk = 2 · 0,83g = 2 · 8,3 · 10−4kg .

Grafen af strækningen som funktion af tiden ser ud som nedenstående

Figur 16: Strækningen som funktion af tiden for to kageforme

47

Hældningen indikerer, at terminalhastigheden i dette tilfælde er 2,26 ms . Den

tilsvarende luftmodstand er igen lig med tyngdekraften:

Flu f t = Ft = mk · g = 2 ·8,3 ·10−4kg ·9,82N

kg= 0,0163N

D.5.3 Samtlige data

Jeg gør præcist det samme i delforsøgene 3-6. Forskellen er bare, at der benyt-

tes hhv. 3, 4, 5 og 6 kageforme, hvilket giver nogle andre værdier af massen, luft-

modstanden samt terminalhastigheden. Jeg undlader at vise graferne og bereg-

ningerne for samtlige delforsøg, da processerne er helt identiske med delforsø-

gene 1 og 2. Jeg har, i stedet, valgt at sammenfatte resultaterne i Tabel 3.

Tabel 3: Tabel som viser antal kageforme, terminalhastigheden, kvadratet på terminalha-

stigheden og den tilsvarende luftmodstand

Antal kageforme

Terminalhastighed vt ,

målt i ms v2

t , målt i m2

s2 Luftmodstand, målt i N

0 0 0 0

1 1,75 1,752 0,00815

2 2,26 2,262 0,0163

3 2,40 2,402 0,0245

4 2,79 2,792 0,0326

5 2,94 2,942 0,0408

6 3,20 3,202 0,0489

Ud fra tabellen plottes de to i teori-delen omtalte grafer, og der laves proportio-

nelle regressioner (Figurerne 17 og 18).

Forklaringsgrad er et tal, der afspejler hvor godt datapunkterne passer med

regressionen. Den skal helst ligge tæt på 1. Forklaringsgraden for grafen 18 lig-

ger tættest på 1, hvilket vil sige, at sammenhængen mellem luftmodstanden

48

Figur 17: Luftmodstanden som funktion af terminalhastigheden, for forskellige antal kage-

forme

49

Figur 18: Luftmodstanden som funktion af kvadratet på terminalhastigheden, for forskellige

antal kageforme

50

og kvadratet på hastigheden bedst kan beskrives med en ligefrem proportio-

nel funktion. Det er med andre ord model 2 i teori-delen, som bedst beskriver

luftmodstanden

Fl u f t = k · v2

Ud fra forskriften for regressionsligningen (Figur 18) kan jeg aflæse, at propor-

tionalitetskonstanten k er lig med 0,0043907 = 4,3907 ·10−3.

D.6 Diskussion af fejlkilder

Det er svært at få nogle fornuftige data, som beskriver kageformenes strækning

som funktion tiden. Dette skyldes, at

• Kageformene ikke faldt helt lodret ned da de svævede lidt, hvilket kunne

have medført, at bevægelsessensoren ikke var i stand til at registrere alle

deres positioner, da de ikke hele tide var under bevægelsessensoren. Det-

te ville have en indflydelse på tid-strækning grafen og dermed bestem-

melse af terminalhastigheden. I sidste ende ville de påvirke bestemmelse

af proportionalitetskonstanten k.

• Da jeg slap kageformene, påvirkede bevægelsen af min hånden bevægel-

sessensoren, selv om jeg gjorde det hurtigt og fjernede hånden nedad for

at mindske denne påvirkningen. Det kunne også tænkes, at jeg kom til at

rykke kageformene en lille smule da jeg flyttede hånden, hvilket ændrede

deres bevægelsesretning.

• At vælge den lineære del af tid-strækning grafen var ikke nemt. Nogle ste-

der ser grafen lidt buet ud, men det kan skyldes de nævnte fejlkilder og

ikke at kageformene accelererer.

• Nogle gange steg grafen for hurtigt til sidst, hvilket medførte en urealistisk

stor sluthastighed. Jeg fandt desværre ikke ud af hvorfor dette skete. Det

kan skyldes den første fejlkilde jeg nævnte.

Jeg prøvede både store og små kageforme og målte mange gange for at få nogle

fornuftige resultater.

51

D.7 Konklusion

Jeg fandt, via forsøget, den bedste beskrivelse af sammenhængen mellem luft-

modstanden og hastigheden. Jeg kan hermed konkludere, at forsøgets formål

blev opnået.

52