Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija - fsb.unizg.hr · PDF fileKatedra za strojarsku automatiku Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko podru čje

Katedra za strojarsku automatiku

Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 1


Linearni sistemi :

xu = Xu sin(t)

xi = Xi sin(t+)xi

Xi

t

2T

i 1

2

X f ( )

f ( )

Zadatak frekvencijske analize



Osnovna svojstva linearnih sistema :

Ako sistem pobudimo harmoničnim signalom frekvencije ω, onda će iizlazni signal biti iste frekvencije ω.

Amplituda izlaznog signala Xi bit će tim manja što je frekvencija ulaznogsignala veća, a u slučaju da ω → ∞, amplituda izlaza Xi → 0.

Istovremeno će izlazni signal povećanjem frekvencije ulaznog signala sve više zaostajati (kasniti) za ulaznim signalom za neki kut φ.j ( ) g φ

A lit d i l i l X bit ć ti ć št j f k ij l Amplituda izlaznog signala Xi bit će tim veća što je frekvencija ulaznogsignala veća, a u slučaju da ω → ∞, amplituda izlaza Xi → ∞ .

Istovremeno će izlazni signal povećanjem frekvencije ulaznog signala sve više prethoditi ulaznom signalu za neki kut φ.



Veza područja dinamičke analize

s = jωj



m m 1b b b b( ) B( )

m m 1

m m 1 1 0in n 1

u n n 1 1 0P.U. 0

b s b s ... b s bx (s) B(s)G s

x (s) N(s) a s a s ... a s a

s → jω

m m 1

m m 1 1 0i B Bn n 1

u N Nn n 1 1 0

b (j ) b (j ) ... b (j ) bX (j ) B(j ) Re ImG j

X (j ) N(j ) Re Ima (j ) a (j ) ... a (j ) a

n n 1 1 0(j ) (j ) (j )

Sin n p ij n n f nk ij j p ij n n f nk ij d n n in nSinusna prijenosna funkcija je prijenosna funkcija svedena na sinusnufunkciju na ulazu!



2 2X (j ) B(j ) R I 2 2

i B B

2 2u N N

X (j ) B(j ) Re ImAFK G j

X (j ) N(j ) Re Im

B NB N

Im ImFFK ar tan ar tan

R R

B N

B NRe Re

AFK i FFK prikazujemo grafički ! Bode-ovi dijagrami

Nyquist-ov dijagram


Nichols-ov dijagram


ImG(j )G(j)

Re

1G(j ) f ( )

2f ( )



iP

x (s)G(s) K PG(j ) K

s → jωP

u

G(s) Kx (s) PG(j ) K

PAFK G(j ) K P(j )

FFK 0 ImIm

KP

Re



5 5s → jωPKG( ) 5

G(s)s 1

5G(j )

j 1

s → jωPG(s)Ts 1

5G(j )

1 j

1 j1 j 2

5 5 j

1

2 2

5 5j

1 1

max 2

1 j 1 j 1

Re

1 1

ImRe

ImKPω =

2 2

2 2 2

5 5 5AFK G(j )

1 1 1

Re

ω = 0.51 1 1

ImFFK arctan arctan( )

ω = 1

FFK arctan arctan( )Re

0 5 0

0 5 4 5

G(j )

27

1

5

0.5 4.5

3.5

0.98

- 27

- 45

- 79


0.98

0 - 90


2 2s → jωPK

2

2G(s)

s s 1

2

2G(j )

j j 1

s → jωP2 22 1

KG(s)

T s T s 1

2

2G(j )

1 j

2

2

1 j

1 j

2

22 2

2(1 ) 2 j

1

2

2 22 2 2 2

2 1 2j

1 j 1 j 2 21

Re

2 2 2 21 1

ImRe

22 2

2 222

2 2

2 1 4AFK G(j ) Re Im

1

2 21

2

ImFFK arctan arctan

Re 1



G(j )

0 2 0

0.5 1.8

G(j )

- 34

1

3

2

0.2

- 90

- 110

0 - 180

Im

K

Re

ω =

ω = 3

KP

ω = 0.5

ω = 1 max -2



ImIm

ReKP

ω = 0ω =

max 0 P0

P1 max 2

max P2

P3

P1 max 2

P3 max 2

max 2 P4



s → jω G(s) 5 s 1 G(j ) 5 j 1 s → jω PG(s) K Ts 1

Re

G(j ) 5 5 j

Im Im 1Re

2 2 2AFK G(j ) Re Im 5 1

Im Im ω = 1

AFK G(j ) Re Im 5 1

ImFFK arctan arctan( ) Re

KP

FFK arctan arctan( )Re

Re

G(j )

ω = 0

max 2

0

1

5 0

7.1

G(j )

45

max 2

5

25.5 79

90



( ) 1 1 j js → jωi

u i

x (s) 1G(s)

x (s) T s

i i

1 j jG(j )

T j j T

s → jω

1G(j ) 0 j

T G(j )

Re ImiT 0 - 90

1/Ti 1 - 90

0 90

I

2 2

i

1AFK G(j ) Re Im

T

0 - 90

Re

Im

i

1TIm

FFK arctan arctan

iFFK arctan arctan

Re 0 2

2


2


( ) s → jωi

Du

x (s)G(s) T s

x (s) DG(j ) T j

s → jω

DG(j ) 0 T j G(j )

Re Im

D(j ) j0 0 90

1/TD 1 90

90

I

2 2DAFK G(j ) Re Im T

90

Im

DTImFFK arctan arctan

DFFK arctan arctanRe 0 2

2


Re


s → jωsTix (s) j Ts jω

msTi

u

x (s)G(s) = = e

x (s)

mj TG(jω) = e

Polarna krivulja u Nyquist-ovom j yqdijagramu je kružnica polumjera 1 i fazom koja se ponavlja svakih -2.

Im

Re

Im

1 Re1



SGRGw ix

R S R SZ

R S M O

G G G GG

1 G G G 1 G

MG

SGRGw ix

O R S MG G G G

MGM

Za potrebe određivanja stabilnosti regulacijski se krug otvara !Za potrebe određivanja stabilnosti regulacijski se krug otvara !

Nyquist-ov se dijagram za potrebe stabilnosti crta za otvoreni regulacijski krug GO a zaključci vrijede za zatvoreni regulacijski krug GZ


krug GO , a zaključci vrijede za zatvoreni regulacijski krug GZ .


ImPolarna krivulja otvorenog kruga !

Re

1- 1

180 G (j ) 1O180 G (j ) 1

O180 G (j ) 1


O180 G (j ) 1


Uvjet stabilnosti:

Zatvoreni sustav biti će stabilan ako Nyquistova krivulja otvorenog sustavane obuhvaća kritičnu točku, tj. obilazi u smjeru rastućih frekvencija

č č č č(=0 =∞) kritičnu točku s desne strane. Kritična točka mora ostati lijevo od krivulje po kojoj se krećemo u smjeru rastućih frekvencija, jer će u tom slučaju biti ispunjen uvjet da za =-1800 |G(j)|<1jer će u tom slučaju biti ispunjen uvjet da za = 180 |G(j)|<1.

1. Stabilan sustav2. Granično stabilan sustav3. Nestabilan sustav



Uvjet stabilnosti:

Zatvoreni sustav biti će stabilan ako se u području koje obuhvaća Nyquistova krivulja otvorenog sustava, a koje se nalazi s njezine desnestrane gledano u smjeru rastućih frekvencija (=0 =∞), ne nalazi kritična točka.

Stabilan sustav Granično stabilan sustav Nestabilan sustav



ćPostavljeni uvjet stabilnosti zatvorenog kruga vrijediti će ukoliko je otvoreni krug stabilan ili na granici stabilnosti !

Iako se postavljeni uvjet može primijeniti i u nizu slučajeva kada je otvoreni k t bil i iji j t t bil ti t k t bi l č j krug nestabilan, precizniji uvjet stabilnosti zatvorenog kruga u tom bi slučaju glasio:

Zatvoreni sustav biti će stabilan ako Nyquistova krivulja otvorenog sustava u smjeru rastućih frekvencija (=0 =∞) obuhvaća m/2 puta kritičnu točku (m – broj polova sinusne prijenosne funkcije otvorenog sustava s pozitivnim realnim dijelom) Pritom obilazak otvorenog sustava s pozitivnim realnim dijelom). Pritom obilazak mora biti suprotan smjeru okretanja kazaljke sata.



Imr

1A

1 - frekvencija kritične amplitude

2 - frekvencija kritične faze

rO

1A 1

G (j )

Re- 1 2

OG (j )

G (j ) 1

1

rOr G ( j ) 1

1

Praktične vrijednosti:Ar = 1.5 - 3

= 20 70 čvrsta regulacija


r = 20 - 70 čvrsta regulacija40 - 60 slijedna regulacija


Nepreglednost u području visokih frekvencija

Otežana sinteza regulacijskog kreuga (povezivanjeprijenosne funkcije regulatora i staze ) zbog potrebe za grafičkim množenjem

Grafičko množenje:GO = GR GS GM

Grafičko množenje:amplitude se množe,

faze se zbrajaju



GdB

Amplitudno frekvencijska karakteristika (AFK)GdB

log

Fazno frekvencijska karakteristika (FFK)

log

Fazno frekvencijska karakteristika (FFK)

log


-


Radi lakšeg prikazivanja nagiba AFK dijagrama ukoordinatnom sistemu s logaritamskim mjerilomg japscise, uvode se pojmovi decibela i dekade.

( ) dB 20log ( )G j G j ( ) g ( )

( ) i

u

j j

XG j

X

uX



1 2 3 nG( ) = G ( ) G ( ) G ( ) ... G ( )s s s s s

1 2 3 nG(jω) = G (jω) G (jω) G (jω)...G (jω) =

31 2 njj j j1 2 3 n= G e G e G e ... G e

1 2 3 nlog G(jω) = log G +log G +log G + ... + log G +

1 2 3 n+ j ( + + + ... + ) loge



ix (s)G(s) K G(j ) K

s → jωi

Pu

( )G(s) K

x (s) PG(j ) K

PAFK G(j ) K GdB

FFK 0

PAFK (dB) 20log G(j ) 20log(K ) 40

20

FFK 0

log

-0.1 1 10 100 1000

-20

-40

ix (s)

AFK (dB) 20log(10) 20dB

/2

/4

i

u

x (s)G(s) 10

x (s)

AFK (dB) 20log(10) 20dB

FFK 0 log

-0.1 1 10 100 1000

-/4


-/2


s → jωix (s) 1

G(s) = =1

G(jω) =

1AFK = G(jω) =

u

G(s)x (s) Ts +1

G(jω)Tωj +1

2 21 120log = 20log(1) - 20log(1+ω T )

GdB

2 2AFK G(jω)

T ω +1 2 220log 20log(1) 20log(1 ω T )

2T ω +1

0 1 1 10 100 1000

40

20 ( ) 1 ( ) dB 0G j G j L=1/T

log

-0.1 1 10 100 1000

-201

3 dB

-40

1G(jω) =

TωG(jω) dB = -20logTω

/2

/4

G(jω) d 0 og ω

log

-0.1 1 10 100 1000

-/4

L1

-20logTω = 0 ω = = ωT

FFK ( T)


-/2FFK = = -arctan(ωT)


s → jωix (s)

G(s) = = Ts +1 G(jω) = Tωj +1

2 2AFK = G(jω) = T ω +1

u

G(s) Ts 1x (s)

G(jω) Tωj +1

2 2 2 2120log T ω +1 = 20log(1+ω T )

GdB

AFK = G(jω) = T ω +1 20log T ω +1 = 20log(1+ω T )2

0 1 1 10 100 1000

40

20 ( ) 1 ( ) dB 0G j G j

log

-0.1 1 10 100 1000

-20L=1/T

-40G(jω) = Tω

G(jω) dB = 20logTω/2

/4

log

-0.1 1 10 100 1000

-/4

L1

20logTω = 0 ω = = ωT

FFK ( T)


-/2FFK = = arctan(ωT)


1G(s) = =

GdB40 0,2

22

NN

G(s) = =1

s + 2 s +1ωω

20

log0.1 1 10 100 1000

0,4

2N

2 2N N

ω=

s + 2 ω s +ω-20

-40

log

140 1

log0.1 1 10 100 1000

-/20,4

/2

-



s → jωix (s) 1G(s) = =

1G(jω) =

1AFK = G(jω) =

T

u i

G(s)x (s) T s i

G(jω)Tωj

iAFK(dB) = -20log(Tω)

GdB40

i

(j )Tω i( ) g( )

-0.1 1 10 100 1000

40

20 i Li

1-20log Tω = 0 ω =

TL=1/Ti

log-20

iT

-40

/2

-0 1 1 10 100 1000

/2

/4

ImFFK arctan

Re

log

0.1 1 10 100 1000

-/4

iTarctan

0 2


-/2


s → jωid

x (s)G(s) = = T s dG(jω) = T ωjd

u

G(s) T sx (s) dG(jω) T ωj

dAFK(dB) = 20log(T ω)dAFK = G(jω) = T ω

GdB40

d( ) g( )d(j )

-0.1 1 10 100 1000

40

20 d Ld

120log T ω = 0 ω =

TL=1/Td

log-20

dT

-40

/2

-0 1 1 10 100 1000

/2

/4

ImFFK arctan

Re

log

0.1 1 10 100 1000

-/4

dTarctan

0 2


-/2


s → jωmsTix (s)

G(s) = = emj TG(jω) = e

u

G(s) ex (s)

G(jω) = e

AFK ( ) = 20log G(jω) = 20log(1) 0dB

GdB40

mFFK T

AFK ( ) 20log G(jω) 20log(1) 0dB

-0.1 1 10 100 1000

40

20

log-20

-40

/2

-0 1 1 10 100 1000

/2

/4

log

0.1 1 10 100 1000

-/4


-/2


U Bode-ovim dijagramima prikažite frekvencijske karakteristike U Bode ovim dijagramima prikažite frekvencijske karakteristike sistema danog blok dijagramom.

10

0 1 1s 0.01 1s 0.001 1s

xu xi

0.1 1s

10(0.01s +1)(0.001s +1)G(s) =

0.1s +1

1G(s) = 10 0.01s +1 (0.001s +1)

0.1s +1

1G (s)

2G (s) 3G (s) 4G (s)



1G (s) = 10 1G (jω) = 10 1G (jω) db = 20log(10) = 20dB

t (0) 01 = arctg(0) = 0

21

G (s) =0.1s +1

1L2

1 1ω = = = 10s

T 0.1

21

G (jω) =0.1ωj +1

1 13G (s) =0.01s +1 3G (j ) =0.01j +1 1

L3d

1 1ω = = = 100s

T 0.01

G ( ) 0 001 1 G (j) 0 001j 1 11 110004G (s) = 0.001s +1 4G (j) = 0.001j +1 1

L4d

1 1ω = = = 1000s

T 0.001



GdB40

20

1G 3G

4GG

log

-0.1 1 10 100 1000

20

-20

-402G

/2

/43 4

log

-0.1 1 10 100 1000

/4

1G = 20dB 1 = 01

2-/4

-/2

1 1

1L2ω = 10s

1L3ω = 100s

1


1L4ω = 1000 s


SGRGw ix

R S R SZ

R S M O

G G G GG

1 G G G 1 G

MG

SGRGw ix

O R S MG G G G

MGM

Za potrebe određivanja stabilnosti regulacijski se krug otvara !Za potrebe određivanja stabilnosti regulacijski se krug otvara !

Bode-ovi se dijagrami za potrebe stabilnosti crtaju za otvoreni regulacijski krug GO a zaključci vrijede za zatvoreni regulacijski krug GZ


krug GO , a zaključci vrijede za zatvoreni regulacijski krug GZ .


G = 1 20log G 0

= GdB

40

Im

=

-0 1 1 10 100 1000

40

20

Im

log

-0.1 1 10 100 1000

-20

Re- 1

-40

/2

0 1 1 10 100 1000

/2

/4

-0.1 1 10 100 1000

-/4log

-/2

-3/4


-


GdB

Imr

1A 1

logAr

Re- 1 2

2

log

1

rφr

-1



GdB

Im1

Ar = φr = 0

log

Re- 1 Ar = φr = 0

2

1 = 2

1 = 2

log

2

-



GdB

Imr

1A 1Ar

log1

r

Re- 1

2 2

log

-φr



U Bode-ovim dijagramima odredite stabilnost sistema danog blok U Bode ovim dijagramima odredite stabilnost sistema danog blok dijagramom i prikažite amplitudnu i faznu rezervu.

10 1xu xi10

0.1 1s 1

0.01 1s

u i

1

0.001 1s

10

o10

G (s) =0.1s +1 (0.01s +1)(0.001s +1)

1 1 1G(s) = 10

0 1 +1 0 01 +1 0 001 +1( )

0.1s +1 0.01s +1 0.001s +1

G (s) G (s) G (s) G (s)


1G (s) 2G (s) 3G (s) 4G (s)


G (j ) 101G (s) = 10 1G (jω) = 10 1G (jω) db = 20log(10) = 20dB

1 = arctg(0) = 0

1

1 g( )

21

G (s) =0.1s +1

1L2

1 1ω = = = 10s

T 0.1

21

G (jω) =0.1ωj +1

1 1 11 13

1G (s) =

0.01s +13

1G (j ) =

0.01j +1

1

L31 1

ω = = = 100sT 0.01

1G (s) = G (j) = 0 001j +1 11 1

ω = = = 1000s4G (s) =

0.001s +14G (j) = 0.001j +1 L4ω = = = 1000s

T 0.001



GGdB -20 dB/dek

1G20

log

-0.1 1 10 100 1000 10000

-20

G G 4G

20

-40

-60

Ar

2G 3G 4G-80

-100

G

-40 dB/dek

1G = 20dB 1 = 0

1 1102 3

/4

log

-0.1 1 10 100 1000

1 1L2ω = 10s2

1L3ω = 100s

34

-/2

r L3ω = 100s

1L4ω = 1000s

-

φr


-3/2


GdBGdBa

40

20

b

-20

-210 -180 -150 -120 -90

-40 c

a < b < c < d

d



GdBGdB

40

20

r

-20

-210 -180 -150 -120 -90

Ar

1

-402



GdBGdB

40

20

-20

-210 -180 -150 -120 -90

Ar = φr = 01 = 2

-40



GdBGdB

40

20

Ar1

2

-20

-210 -180 -150 -120 -90

r

Ar1

-40


Documents

Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija - fsb.unizg.hr · PDF fileKatedra za strojarsku automatiku Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko podru čje