Mehanika

kinematika

8. 9. Octobar 2020

16. okt. Drumci

.

Osnovni zadatak fizike (ϕνσιξ - priroda) je izučavanje osnovnih svojstava

prirode, a jedno od tih svojstava je materijalnost.

Materija se definiše kao supstancija od koje su sačinjeni fizički objekti.

Materijom se smatra sve ono što se čulima može osetiti i poseduje fizičke osobine.

Materija se može definisati kao istovremena manifestacija

mase i energije u vremenu i prostoru.

Materija uvek postoji u prostoru i

nalazi se u procesu neprekidnog kretanja i promena.

Jedan od najstarijih zakona fizike, formulisan u staroj Grčkoj:

Zakon održanja materije koji glasi:

Materija se ne može unuštiti, niti iz ničega stvoriti, ona može

samo da se menja i da prelazi iz jednog oblika u drugi.

Kako je materija neraskidivo vezana sa kretanjem to će naš prvi zadatak

biti da se pozabavimo ovom pojavom.

•Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela "u stanju kretanja”.

•Čak i kada smo u "stanju mirovanja", naše srce kuca i na taj način tera krv da

struji kroz krvne sudove.

•Proučavanje i razumevanje kretanja je interesantno,·često iz potpuno praktičnih

razloga. Možemo da se zapitamo gde će teniska loptica pasti ako se ·udari pod

odredjenim uglom u odnosu na horizontalu i nekom početnom brzinom.

•Osim praktičnih, postoje i drugi razlozi zbog kojih se, pre nego ·što se krene u

druge oblasti fizike, mora posvetiti odredjena pažnja upravo kretanju tela.

OdreĎeni pojmovi, koji se uvode kada se proučava kretanje, npr. ubrzanje, su

osnova za kasnije uvodjenje drugih veličina, recimo sile.

Kretanje

Mehaničko kretanje je promena uzajamnog položaja tela ili

njihovih delova tokom vremena.

Kretanje se može podeliti na:

• niže oblike kretanja-

mehanička kretanja i kretanja u fizičkim poljima - Mehanika

• više oblike kretanja- kretanja žive materije.

Mehanika se deli na

• klasičnu mehaniku (Galileja i Njutna) - proučavaju se zakoni kretanja

makroskopskih tela koja se kreću brzinama koje su male u poreĎenju sa

brzinom svetlosti u vakuumu , v << c ≈ 3⋅108 m/s,

• kvantnu mehaniku - zakoni kretanja makroskopskih tela koja se kreću

brzinama koje su reda veličine c zasnovani na specijalnoj teoriji

relativnosti (Ajnštajnova mehanika), v ≈ c.

(Za opisivanje kretanja mikroskopskih tela kao što su pojedinačni atomi

i elementarne čestice zakoni klasične mehanike su neprimenljivi).

Klasična mehanika proučava mehaničko kretanje uključujući i uzroke (sile)

koje do njega dovode, i deli se na:

• kinematiku;

• dinamiku i

• statiku.

Kinematika proučava kretanje tela ne razmatrajući uzroke koji to

kretanje izazivaju.

Dinamika proučava zakone kretanje tela i uzroke koje to kretanje

izazivaju ili menjaju, a to znači da proučava dejstva sila na tela.

Statika proučava zakone ravnoteže tela kada na njih deluje nekoliko sila. Ako

su zakoni kretanja poznati moguće je utvrditi zakone ravnoteže - upravo zato

fizika zakone statike ne razmatra odvojeno od zakona dinamike i svojsva tela.

Biomehanika = Mehanika živih sistema

Cilj mehanike: Doći do dinamičkih jednačina, čijim se rešenjem mogu dobiti

zakoni kretanja – položaj, brzina i ubrzanje u svakom trenutku.

Sile se smatraju poznatim

Metode rešavanja dinamičkih jednačina:

Analitičke

Numeričke - uz pomoć aproksimativnih programa

Delovi mehanike:

Mehanika materijalne tačke

Mehanika krutog tela

Mehanika deformabilnog tela-(elastično i plastično telo)

Mehanika Fluida

Mehanika: proučava mehaničko kretanje uključujući i uzroke (sile) koje do njega dovode

Kosti – kruto telo

Tkivo = deformabilno telo

Krv = Fluid

FIZIČKI SISTEM

Svako istraživanje u fizici je fokusirano na samo neki izdvojeni deo realnosti, koji se

naziva fizički sistem.

Fizički sistem je skup uzajamno povezanih fizičkih objekata (komponenata sistema),

koji meĎusobno interaguju.

Ako komponente fizičkog sistema interaguju sa okolinom kažemo da je to otvoren ili

zatvoren sistem ako ne interaguju sa okolinom kažemo da je to izolovan sistem.

Fizički sistemi pripadaju kako neživoj, tako i živoj prirodi.

U biološkim sistemima susrećemo se sa nizom fizičkih procesa i fizičkih svojstava.

Ispitivanju svakog fizičkog sistema prethodi sagledavanje i

odreĎenje njegovog položaja u prostoru.

Da bi se moglo govoriti o kretanju potrebno je da postoje barem dva tela, jedno

koje se kreće i drugo u odnosu na koje se kretanje obavlja.

Kretanje definišemo kao promenu položaja jednog tela u odnosu na drugo.

Ne postoji apsolutni položaj, nego samo položaj u odnosu na neko unapred

odabrano telo - referentno telo.

Položaj svakog fizičkog objekta se odreĎuje relativno,

tj. u odnosu na unapred izabrano referentno telo,

za koji se vezuje, pridružuje, koordinatni sistem.

Referentni sistem je fizički pojam

Koordinatni sistem je matematički pojam

Referentni sistem, prostor stanja, materijalna tačka

Posmatrajući kretanje tela makroskopskih dimenzija često je moguće umesto

kretanja svih delića ovakvog tela posmatrati kretanje jedne tačke kojom

predstavljamo celo telo.

Pod materijalnom tačkom podrazumevamo makroskopsko telo čije se dimenzije

u datom kretanju mogu zanemariti. To ne znači da su dimenzije tela koje

posmatramo kao materijalnu tačku zanemarljive već da se u datom slučaju kretanja

može smatrati da se sva masa tela nalazi u jednoj tački.

Materijalna tačka je fizički pojam za geometrijski pojam tačka,

kojem smo pridružili jedno od svojstava materijalnih tijela – masu.

Model materijalne tačke:

zanemarujemo dimenzije datog

tela i smatramo da ono ima samo

masu.

Dakle zadržavamo svojstvo

inertnosti - okarakterisano

masom sistema m.

Referentni sistem, prostor stanja, materijalna tačka

Brzina

voza

u odnosu

na

biciklistu

Sistem

vezan za

biciklistu koji

rel.miruje

Sistem

vezan za

voz

Brzina voza

u odnosu na

biciklistu

Položaj putnika

u odnosu na oba

referentna sistema

dt

rd

dt

rd

dt

rd A/BB/PA/P

SLAGANJE BRZINA

Brzina putnika

u vozu

Brzina putnika

u odnosu na

biciklistu

Inercijalni referentni sistem Ne postoji apsolutno mirovanje, tj. sva tela u Univerzumu se kreću jedna u odnosu na

druga. Znači, ...

Svaki referentni sistem je vezan za referentno telo koje se kreće.

Po načinu na koji se kreću, tela se mogu podeliti u dve osnovne grupe:

Izolovana - slobodna tela

Svako telo se kreće ravnomerno pravolinijski, ne menjajući ni brzinu, niti

pravac kretanja. Na slobodno telo ne deluje ništa.

Neizolovana tela.

Delovanje drugih tela odražava se pre na način njegovog kretanja:

Promena brzine

Promena pravca kretanja.

Inercijalni referentni sistem je vezan za (referentno) telo koje se kreće ravnomerno,

ne menjajući brzinu i pravac kretanja.

Svi inercijalni sistemi su ekvivalentni, tj. odvijanje fizičkih procesa ne zavise od

izbora inercijalnog sistema.

Neinercijalni referentni sistem je vezan za (referentno) telo koje se kreće

neravnomerno menjajući brzinu i pravac kretanja.

Svaki sistem koji je vezan za referentno telo koje se kreće neravnomerno ili

krivolinijski je neinercijalan.

Voz koji ubrzava, platforma koje se obrće

. --

Prostor mehaničkih stanja

Sve što se dešava, pa i svaki fizički proces, dešava se negde u prostoru i nekad u vremenu.

Ispitivanje svakog fizičkog procesa (fenomena) započinje, pitanjima “Gde u prostoru?” i

“Kada u vremenu?”

Gde u prostoru - mereno u referentnom sistemu u odnosu na referentno telo, koje se

nalazi u koordinatnom početku sistema.

Kada u vremenu - mereno od datog početnog trenutka, jer vreme se meri u odnosu na

neki unapred izabrani referentni trenutak - početni trenutak.

Fizika se ne bavi fizičkim sistemima čija su svojstva nepromenljiva,

sa kojima se ništa ne dešava.

Fizika se bavi fenomenima, tj. procesima u kojima se dešavaju

promene fizičkih svojstava i stanja fizičkih sistema.

Najjednostavniji fizički proces je mehaničko kretanje.

To je proces tokom kog se menja mehaničko stanje sistema.

Mehaničko stanje tela je u svakom trenutku vremena odreĎeno vrednostima koordinata

njegovog položaja u tom trenutku.

Proces mehaničkog kretanja tela je svaki proces promene njegovog položaja, nezavisno

od uzroka koji su do toga doveli.

Iz svakodnevnog iskustva imamo predstavu o kretanju, kao o neprekidnoj promeni u položaju nekog tela. Sva kretanja u fizici, možemo da kategorišemo u tri tipa kretanja:

translatorno, rotaciono i vibraciono (oscilatorno).

Lopta koja se kreće ka zidu je primer translatornog kretanja,

Zemljina rotacija oko sopstvene ose je primer rotacionog kretanja,

a kretanje klatna je primer vibracionog kretanja.

proces kretanja

OdreĎivanje položaja tela pomoću različitih koordinatnih sistema

Da bi se odredio položaj tela u ravni, najčešće se

koristi Dekartov pravougli sistem sa dve

promenljive A(x,y).

Y

X

A(x,y)

Da bi se odredio položaj tela u prostoru,

možemo koristiti Dekartov pravougli koordinatni

sistem sa tri promenljive A(x,y,z).

Vektor položaja

Dekartovom

koordinatnom sistemu

Dekartov trodimenzionalni koordinatni sistem.

Promenljive koje odreĎuju položaj tačke u ovom

koord. sistemu su: X,Y,Z.

AZ

Cilindrični koordinatni sistem.

Promenljive koje odreĎuju položaj

A((, , z)

Koordinatni sistemi koji se koriste u okviru opšteg kursa fizike

r

Sferni koordinatni sistem (r, , )

Cilindrični koordinatni sistem u

ravni (, , z)

x

y

z

Položaj tela u prostoru možemo odrediti i korišćenjem

z Vektori.ppsx

Kinematika

Osnovni pojmovi kinematike

m

Putanja ili trajektorija:

Osnovni pojmovi kinematike

model materijalne tačke

model apsolutno krutog tela

Translacija - svi delići tog tela opisuju u toku

kretanja medjusobno paralelne putanje.

M1 M2

KINEMATIKA MATERIJALNE TAČKE

Odredjivanje položaja materijalne tačke. Svojstva prostora i vremena

Cilj izučavanja mehanike je:

a) utvrĎivanje uslova i uzroka koji dovode do promene stanja mehaničkog kretanja ili

mirovanja

b) da na osnovu poznatih uzroka, osobina materijalnih objekata i početnih uslova utvrdi

opštu teorijsku metodologiju kojom će se uspešno opisati kretanje.

Pod terminom opisivanja kretanja podrazumevamo odreĎivanje:

- trajektorije materijalnog objekta;

- položaja materijalnog objekta u svakom trenutku kretanja;

- pravca i smera kretanja materijalnog objekta u svakom trenutku kretanja;

- brzine i ubrzanja materijalnog objekta u svakom trenutku kretanja.

Pod trajektorijom podrazumevamo geometrijsko mesto tačaka u prostoru kroz koje

materijalni objekat sukcesivno prolazi u procesu kretanja.

Za odreĎivanje položaja materijalnog objekta potrebno je odrediti

tri nezavisna parametra:

trajektorija, orijentacija trajektorije i referentna tačka .

Prilikom izbora parametara vodimo računa da se posmatrano kretanje opiše što

jednostavnije!

Bg

Ni

Odredjivanje položaja materijalne tačke

Opisivanje kretanja prema načinu izbora parametara kretanja može biti:

a) prirodno, b) vektorsko i c) koordinantno.

a) Prirodni način opisivanja kretanja

Kako se položaj materijalne tačke menja u vremenu to je i njena

lučna koordinata- S funkcija vremena s = s(t) , što predstavlja

osnovnu kinematsku jednačinu kretanja pri prirodnom opisivanju kretanja.

!!! Lučnu koordinatu sA =OA , sB=OB , ne treba poistovećivati sa preĎenim putem

materijalne tačke u toku kretanja S=AB .

S=xB -xA

Parametre koja treba odrediti :

• trajektorija,

•referentna tačka na trajektoriji (tačka O)

• orijentacija trajektorije ( --> + )

•položaj materijalne tačke u odnosu na

referentnu tačku-lučnu kordinatu s

Odredjivanje položaja materijalne tačke

b) Vektorski način odreĎivanja kretanja tačke

Položaj materijalne tačke M odreĎen je vektorom sa početkom u polu O i krajem u

tački na trajektoriji gde se nalazi materijalna tačka-tačka M.

Vektor položaja materijalne tačke -

Promena vektora položaja tokom vremena predstavlja

osnovnu kinematsku jednačinu pri vektorskom opisivanju kretanja

Trajektorija materijalne tačke -hodograf vektora položaja (geometrijsko mesto

tačaka kroz koje prolazi vrh toga vektora s fiksnim početkom).

Parametra koja treba odrediti :

• u prostoru izaberemo referentnu tačku i

nazovemo je pol (tačka O).

• intezitet, pravac i smer vektora položaja,

•Trajektoriju.

r r r t

U Dekartovom sistemu koordinata položaj tačke A u datom momentu vremena

u odnosu na taj sistem karakteriše se sa tri koordinate x, y, i z –

vektorom položaja povučenim iz početka koordinatnog sistema do date tačke .

Pri kretanju materijalne tačke njene koordinate

se tokom vremena menjaju. U opštem slučaju

njeno kretanje se odreĎuje skalarnim jednačinama:

Koje su ekvivalentne vektorskoj jednačini

Jednačina (1.1) i (1.2) predstavljaju

kinematičke jadnačine kretanja materijalne tačke.

(Još jednom napominjemo: obzirom da se sva tela kreću možemo govoriti samo o

relativnom kretanju ili relativnom mirovanju. I pojam vremena je takoĎe relativan.)

Broj nezavisnih koordinata koji potpuno odreĎuju

položaj tačke u prostoru naziva se stepen slobode.

A x y zr xe ye z e r t

Opisivanje kretanja prema načinu izbora parametara kretanja može biti:

c) koordinantno.

(1.1)

Ar

PUTANJA I BRZINA MATERIJALNE TAČKE

Trajektorija materijalnog objekta pri procesu kretanja.

Kriva A, A1, A2,... predstavlja putanju materijalne tačke –

geometrijsko mesto uzastopnih položaja.

x(t) y(t) z(t) –3 skalarne jednačine su

konačne jednačine kretanja

Pitanje br. 1

vektor položaja

r x i y j z k r t

, , , ,

= = 1

x y z

x y z

e e e i j k

e e e

2 2 2r x y z

Jedinični vektori

Kretanje u dve ili tri dimenzije

z

x

y

Az

Ax

Ar

xe

ye

ze

zAyAxAA e)t(ze)t(ye)t(x)t(r

( ) ( ) ( )M M M

r t x t i y t j

Primer kako se vektor položaja razlaže kada ga posmatramo u

dvodimenzionalnom ili trodimenzionalnom koordinatnom sistemu.

( , , )A x y z

r

Kinematika translatornog kretanja

Vrste kretanja. Brzina.

vsr

m

vs

2x -

x

x1

2xO 1x

2 1

2 1

sr

x xv

t t

vsr

Brzina u odnosu na preĎeni put (speed)

Brzina u odnosuna pomeraj (velocity)

Trenutna brzina

[km/h], [cm/s]

milja na čas [mph],

…

r = s

Pomeraj i preĎeni put – nisu iste veličine

30

10 0,5

20

sr

x m mv i i i

t s s

Putnik u vozu koji je napravio

pomeraj x = -10 m za 20 sekundi.

preĎeni put s = xa+ xb+ x c + x d = 2m+4m+3m+7m=16m

6 9

s1 s2 s3 6 9

s1 s2 s3

2 6 9 10 12 x[m]

Devojka je u vagonu, za 20s, načinila pomeraj je “-10 m”, a

preĎeni put je veći (ukupna dužina plave linije) – u sistemu reference vezanom za vagon

ako ga odreĎujemo u odnosu na sistem reference vezan za prugu moramo da uračunamo i kretanje voza!

31

Srednja brzina vsr – trenutna brzina v

•srednja brzina ne daje

informaciju o tome šta se

dešavalo imeĎu x1 i x2.

• delimo ukupni pomeraj xtot,

na delove xa, xb, …

• što su manji delovi dobija se

potpunija slika o kretanju

• kada se smanje jako veliko

ta, tb i napravi se odnos

sa odgovarajućim

vremenskim intervalom

dobija se trenutna brzina v

0sr tv v

, ...a b

a b

a b

x xv v

t t

2 6 9 10 12 x[m]

vsr

Pravac i smer trenutne brzine – koordinatno opisivanje kretanja:

222

,coszyx

x

v

viv x

222

,coszyx

y

v

vjv

y

222

,coszyx

z

v

vkv z

Vektor brzine ima tri komponente duž osa x, y, z: vx, vy, vz

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

rdv

kvjvivkzjyixv zyx

222 zyxv

Pravac brzine u odnosu na ose:

Putanja tela

Dakle, važan zaključak:

U svakoj tački putanje

tela, vektor

trenutne brzine ima

pravac tangente u datoj

tački putanje.

Intenzitet vektora brzine

Primer U prvoj polovini vremena automobil se kretao brzinom od

80 km/h a preostalo vreme brzinom od 60km/h. Kolika je srednja

brzina na celom putu?

s1

v1v2

s2

s

1 21 2 1 2 km2 2 70

2 hsr

t tv v

s s s v vv

t t t

t/2 t/2

1 22

tt t

Primer Kola se kreću polovinu puta brzinom 80 km/h a drugu polovinu

puta brzinom 60 km/h. Kolika je srednja brzina kola na celom putu?

s

s/2

v1v2

s/2

11

1 1 1

2 ;2

ss s

vt t t

1

1

i 2

st

v2

2

2 2 2

2 2

ss s

vt t t

2

22v

st

1t 2t1 2

2

ss s

21

21

21

21

2121

21

21

21 22

11

222

vv

vv

vv

vv

vv

s

s

v

s

v

s

ss

tt

ss

t

svsr

km m68,6 ?

h ssrv

Srednju brzinu ćemo naći po definiciji:

Ubrzanje

Ubrzanje

* Čita se: drugi izvod vektora pomeraja po vremenu.

2

ma

s

2 1v v v

Ubrzanje

ravnomerno - v=const, a=0m/s2

promenljivo ubrzano - a=const, a>0

Pravolinijsko

(translatorno)

kretanje može

biti:

promenljivo usporeno - a=const, a<0

Trenutno ubrzanje

dr dx dy dzv i j k

dt dt dt dt

x y z

yx z

x y z

da v i v j v k

dt

dvdv dva i j k

dt dt dt

a a i a j a k

2 2 2

x y za a a a

Intenzitet vektora ubrzanja

rvdt

vda

2

2

2

2

2

2

x

y

z

d dx d xa i

dt dt dt

d dy d ya j

dt dt dt

d dz d za k

dt dt dt

Trenutno ubrzanje

Da bi našli trenutno

Ubrzanje u ... a

1P

... tražimo limes od

Kada P2 teži P1... sra

...smatrajući da

v 0, 0t

Trenutno ubrzanje

tačke orijentisano

prema udubljenoj

strani putanje

Trenutno ubrzanje tela se dobija kao limes srednjeg

ubrzanja kada Δt teži nuli.

Trenutno ubrzanje

„Za definisanje kretanja potrebno je poznavati neku od

sledećih zavisnosti:

• Prema obliku putanje kretanja

materijalne tačke se dele na:

• pravolinijska

• krivolinijska

• Prema brzini i ubrzanju kretanja

materijalne tačke se dele na:

• ravnomerna

• jednako ubrzana

• nejednako ubrzana

„Koriste se relacije:

Pravolinijsko kretanje

Prema brzini i ubrzanju kretanja automobila delimo na:

ravnomerna, jednako ubrzana i nejednako ubrzana

Jednodimenzionalno (pravolinijsko) kretanje

–ravnomerno kretanje

Pravolinijsko kretanje – ravnomerno kretanje

Koeficijent nagiba

zavisi od brzine.

s = s(t) , osnovna kinematska jednačina kretanja pri prirodnom opisivanju kretanja.

a=const

46

Jednako ubrzano pravolinijsko

kretanje

tavv sr 0

0 270 ( 1,5 )(40 ) 10 /

m mv v at s m s

s s

tavv 0

v

t

v=atv

t

v=v0+at

47

constaa

const aa

0

0

tt

vv

t

va

t

vva 00 0,ako t

Prema definiciji

ubrzanja

Ravnomerno (jednako) ubrzano pravolinijsko kretanje

pravolinijska putanja

u jednakim vremenskim intervalima prelazi različite puteve

kretanje nazivamo promenljivim, i ono može biti ubrzano ili usporeno

0 0 0 , 0,m

za v ts

v a t

IzvoĎenje..

Početni uslovi: t0 , 𝒗𝟎 ?

mirovanje tela

(materijalne tačke)

𝒗𝟎

v

t

v0

v-v0v

t

v=v0+at

s

00 v

20

2

1attvs

tvs 01

2

02

tvvs

tavv 0

20 0

2 2

v at v t at

21 sss

48

PreĎeni put? Grafički, to je površina ispod prave

S1

S2

)(tfv v

tt

v

v=at

s

0 0 /v m s

2a

2

ts

21 1 aa

2 2 2

ts vt tt

Isto, preko integrala

v

t

v

t

v0

v0-v

v=v0-at

s

Isto ,preko integrala

I uvrštavamo vreme u drugu relaciju:

a

vvt 0

200

02

1

a

vva

a

vvvs

2

200

2200 2

2

1

a

vvvva

a

vvvs

a

vvvv

a

vvvs

2

2 200

2200

a

vvvvvvvs

2

222 200

2200

2

2

0

0

attvs

tavv

51

2 2

0 2v v as

20

22 vvas

a

vvs

2

20

2

Jednoliko usporeno kretanje

tavv 0

20

2

1tatvs

v

t

v

t

v0

v0-v

v=v0-at

s

52

2 2

0 2v v as

Eliminacijom vremena dobijamo:

+

-

Slobodni pad

i hici naniže

i naviše

v=vx

vx

ymax

xD vD

59

Reka “nosi” tela nizvodno,ili

vetar “nosi” avion u smeru duvanja

vt - brzina tela u odnosu na sredinu

vs - brzina sredine

v – ukupna brzina tela je zbir ove

dve brzine.

Sabiranje brzina

s

t

v

vtan

st vvv

22

st vvv

Krivolinijsko kretanje Kinematika rotacionog kretanja

Mehanika

kinematika

15. 16. Octobar 2020

.

Krivolinijsko kretanje Kinematika rotacionog kretanja

a tangencijalno

ubrzanje

an normalno ubrzanje

naa

naaa

, ,na

, a

1a

6

Kinematika rotacionog kretanja (kružno kretanje)

ukoliko je brzina tela konstantna,

(linijska brzina konstantna, v=const),

kretanje je uniformno kružno kretanje

tačke koje rotiraju imaju različite

(linijske = periferijske) brzine v jer se

nalaze na različitoj udaljenosti od ose

rotacije – dalje se kreću brže.

Rotaciono kretanje je kretanje prilikom koga se sve tačke tela kreću po

kružnim putanjama čiji centri leže na osi rotacije .

Osa rotacije O

Ugao rotacije - , se pri

ovakvom kretanju koristi da

opiše pomeranje tela za dati

interval vremena .

1

Kružno (rotaciono) kretanje. Ugaoni pomeraj

Položaj materijalne tačke je dat radijus-vektorom, r =const.

Položaj materijalne tačke (tela) u ovom slučaju je odreĎen kada su poznati

putanja, smer kretanja i ugaoni pomeraj- .

Ugaoni pomeraj je ugao izmeĎu početnog - 0 i krajnjeg - položaja radijus

vektora. Uglovi se izražavaju u radijanim (rad).

* ugaoni pomeraj je bezdimenziona fizička veličina.

Vektor ugaonog pomeraja se poklapa sa osom rotacije, a smer je odereĎen

pravilom desnog zavrtnja.

constr

rad

kruzni luk l radrpoluprečnik

0

0

s srad

r r

t t t

8

22

s r

r r

00

3,572

3601

rad

ako se izvrši rotacija za pun ugao,

posmatrana tačka je prešla put

jednak obimu kružnice 2 r

definicija radijana

036012 obrtajpunrad

Svaka tačka na radijus vektoru će,

za isti interval vremena t , preći isti ugao ,

ima smisla definisati novu fizičku veličinu koja reprezentuje

brzinu rotacuje tela- .

t

t t

1s r

radr r

[] =rad/s

radijan u sekundi

d

dk

t

z

𝑘

(linijske)

Veza izmeĎu periferijske (tangencijalne , linijske)

brzine v i ugaone brzine

s r

t 0 t 0lim lim

sr r

t t

v

v r v r

Periferijska- v i ugaona brzina- pri rotacionom kretanju

z

r

r'∆s

v

v

Radijan u s2

r

1

2v2

v1

r'

z

d

dk

t

2s

rad

s

s

rad

][

][][

t

𝑘

𝜶

Ravnomerno (uniformno, jednoliko) rotaciono kretanje

Preiferijska brzina v ima stalan intenzitet, v=const.

Ugaona brzina ima takoĎe konstantan intenzitet

Ugaonao ubrzanje je 0 rad/s2 0

const

0

0t t t

, , 0 t 00

tza

t 0

t

t

t

{

=0+ t

= t

0

r0

početni ugao- 0 i krajnji ugao - koji zauzima

vektor položaja -radijus vektor.

o Ravnomerno kružno kretanje je periodično kretanje, a period rotacije ili period obrtanja – T je vreme potrebno da radijus vektor (telo) opiše pun krug od 2 rad . Polazeći od definicije ugaone brzine, možemo zapisati:

Jedinica [ T ] =s

ugaoni pomeraj za pun krug = 𝜙 = 2𝜋 rad,

𝑛 obrtaja = 𝜙 = 2𝜋 · 𝑛 rad

2

t T

periferijska

brzina

v r 2 r

vT

2period - T

o Sledeći pojam koji ćemo uvesti je linearna frekvencija ili samo

frekvencija, ili učestanost rotacije- f ili (ni),

obrnuto je srazmerna periodu obrtanja T =>

Frekvencija je broj obrtaja u jedinici vremena:

Telo u toku vremena t načini n obrtaja.

; n

f f Hzt

1 1n nf

t n T T s

1f

T

Herz

1 Hz je učestanost periodične pojave čija perioda iznosi 1s.

dim f = T-1 sT

Hzf1

111

nf f Hz

t

2 1 21

60min 60

1min

obr rad rad

sobr s

22 f

t T

2

60 min

rad obf

s

Kod periodičnog kretanja : ugaona ili kružna frekvencija

11 ?

min 60

obr obr radf

s s

Označavanje broj obrtaja u min, i broj obrtaja u sekundi, je u širokoj

upotrebi za f: učestanost rotacije obrtnih električnih mašina.

2 1min1

min 60 30

obr rad radf

obr s s

Primer: Ventilator rotira brzinom koja odgovara frekvenciji 900 obrta u minuti. Izračunati ugaonu brzinu i učestanost rotacije (ili frekvenciju)? n = 900 obrta, t=1min f=?, =?

Frekvencija je broj obrtaja u jedinici vremena:

22 f

t T

30 min

rad obf

s

900 900 = = 900 = 15 15

1min min 60

n obr obr obr obrf Hz

t s s

900 94,230 min

obr rad

s

Ugaona brzina

2 2 15 Hz=94,2 ilirad

fs

Kod periodičnog kretanja :

ugaona ili kružna frekvencija n

f Hzt

const

Primer

Točak poluprečnika r =1m rotira stalnom ugaonom brzinom

=30rad/s.

Koliki je period rotacije točka?

r =1m

=30rad/s.

T=?

s

m30 rv

20,209 sT

Kolika je tangencijalna brzina tačaka na periferiji točka?

(periferijska brzina)

=const.

Primer

Dužina minutne kazaljke nekog časovnika je rm=1,2m, a

časovne rh =1m. Kolike su ugaone brzine kazaljki, kao i

brzine njihovih vrhova?

m=? h=?

vm=? vh=?

Tmin=60min=3600s, Th=12h=12·60min= 12· 3600s=43200s

32 rad rad1,744 10

3600 s sm

t

42 rad rad1,45 10

12 3600s sh

3m

m2,093 10

sm mv r

4 m1,45 10

sh h hv r

Ravnomerno ubrzano kružno kretanje

const

0

0

0

=

0

t t t

t s

t 0

20

2

1tt

220

2

Ugaono ubrzanje je ima konstantan intenzitet

t

t

t

0{

=0 t

t2

=0+ t

= t

=2

t2

2

2

2

1

20

2

20

0

tt

t

Ravnomerno usporeno kružno kretanje

0

2 rad rad rad900 30 94,2

60 s s sf

[ ] [ ] 2 75 2 radrad n ob

00 t 0

t

20

0 00 0

2 2 2

tt ttt t

0 22

tn

Primer Ventilator rotira brzinom koja odgovara frekvenciji 900 obrta u minuti. Posle isključenja motora ventilatora, rotacija se ravnomerno usporava pri čemu do zaustavljanja ventilator naparavi 75 punih obrtaja. Koliko će vremena proći od momenta isključenja motora ventilatora do potpunog zaustavljanja?

0

4 rad 4 75 rad10s

30

nt

radrad

ss

f=900 obr/min , n=75, =0 rad/s

t=?

30 min

rad obf

s

2

02

tt

0

4 nt

=acp

r0

r0

Radijalno i tangencijalno ubrzanje pri rotacionom kretanju

Ravnomerno kružno kretanje – normalno(centripetalno) ubrzanje

v=const

ravnomerno

=

d

d

va

t

0 0

rad1

st

2

2222

s

m1,0 r

r

r

r

van

2

m0,05

sa r

2

42242222

s

m110,rrraaa n

Primer:

Disk poluprečnika r = 10 cm započinje rotaciju oko sopstvene ose iz stanja relativnog mirovanja sa konstantnim ugaonim ubrzanjem =0,5 rad/s2.

Koliko je tangencijalno, a koliko radijalno i koliko je totalno ubrzanje po isteku druge sekunde od početka kretanja?

t 0

http://www.tehnikum.edu.rs/predmeti/0003/

Dodatni materijal/kinematika.pdf

27

Intenzitet centripetalnog ubrzanja

Koliko je centripetalno ubrzanje automobila

ako je

poluprečnik kružnog toka 500 metara, a

brzina automobila 25 m/s?

Uporediti ovo ubrzanje sa ubrzanjem

Zemljine teže.

ac= v2/r=1,25 m/s2

ac / g = 1,25/9,80=0,128 automobil u kružnom toku

28

Intenzitet centripetalnog ubrzanja

Čestica se nalazi na 7,50 cm od

ose rotacije ultracentrifuge koja

pravi 75000 obrtaja u minuti.

Odrediti odnos centripetalnog

ubrzanja i gravitacionog. r= 7,50 cm 75 000 obr /min ac= r =(0,0750m)(7854rad/s)2

=4626377=4,63 ∙ 106 m/s2

ac / g = 4,72 ∙ 105 472 000 gravitacionog ubrzanja

ultracentrifuga

2 1min75000 7854

min 60

obr rad rad

obr s s