FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE -

SPLIT

Katedra za dinamiku i vibracije

Mehanika 3 (Dinamika)

Laboratorijska vježba 2

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Ime i prezime

prosinac 2008.

MEHANIKA 3 – Laboratorijska vježba: Masa, Centar mase & Moment tromosti

Katedra za dinamiku i vibracije – FESB 2

Zadatak: Odredi masu, položaj centra mase i tromost zadanih strojnih dijelova.

Literatura: Bilješke s predavanja iz dinamike čestice, Udžbenik-Dinamika: Dinamika

sustava čestica, Dinamika tijela, Internet.

Vježba:

Plan pokusa (ideja, skice, formule):

Rezultati mjerenja

Komentar:

MEHANIKA 3 – Laboratorijska vježba: Masa, Centar mase & Moment tromosti

Katedra za dinamiku i vibracije – FESB 3

Izvještaj

Laboratorijska vježba br. 2: Masa, Centar mase & Moment tromosti

Uz pomoć mjerne opreme za mjerenje pomaka i sile, određeni su masa, centar mase i

moment tromosti za komponente modela prema slici.

Sl 1 Testni model

Mase i Centar mase

Masa i centar mase grede odrede se na temelju mjerenja sila u osloncima. Mjerači sile

(Lorenz S-beam s/n: 55750 i 55751) postavljeni su prema slici pe se dobiju reakcije.

Sl 2 Greda oslonjena na S-beam mjeračima sile

Sl 3 „Vaganje“ grede 1

MEHANIKA 3 – Laboratorijska vježba: Masa, Centar mase & Moment tromosti

Katedra za dinamiku i vibracije – FESB 4

Sl 4 „Vaganje“ grede 2

Uz pomoć jednadžbi ravnoteže a na temelju izmjerenih reakcija u osloncima odredi se

težina (masa) i centar mase grede (Sl 5).

Sl 5 Greda oslobođena od veza

Jednadžbe ravnoteže:

)

)y A B

A B c

1 0 : 0

2 0 : 0

F F F G

M F l G x

= + − =

= ⋅ − ⋅ =

∑∑

Iz kojih slijedi:

A B

Bc

G F F

F lx

G

= +

⋅=

.

Greda 1:

Izmjerene reakcije: A 40F = N, B 69F = N

Težina je: 1 109G = N

Razmak oslonca: 0.5l = m

Centar mase duž x-osi je: c1 0.316x = m

Greda 2:

Izmjerene reakcije: A 24F = N, B 34F = N

Težina je: 2 58G = N

Razmak oslonca: 0.5l = m

Centar mase duž x-osi je: c2 0.293x = m

MEHANIKA 3 – Laboratorijska vježba: Masa, Centar mase & Moment tromosti

Katedra za dinamiku i vibracije – FESB 5

Sl 6 Ovješena greda

Sl 7 Položaj centra mase

Položaj centra mase grede (drugu koordinatu) može se odrediti vješanjem grede u osloncu

kako je prikazano na slici Sl 6. Os grede AB (os okomita na mjerače sile u prethodnom

mjerenju) otklonila se za kut θ0 u odnosu na vertikalnu os, vidi sliku 3. Težište se nalazi na

vertikalnoj osi pa je okomita udaljenost težišta r izražena preko kuta θ0:

( )c

0cos

xr

θ= .

Za obje grede dobiva se:

• Greda 1

01

1

8.5

0.32 mr

θ = °

=

• Greda 2

02

2

2

0.293 mr

θ = °

=

Sl 8 Moment tromosti za gredu 1

Sl 9 Moment tromosti za gredu 2

MEHANIKA 3 – Laboratorijska vježba: Masa, Centar mase & Moment tromosti

Katedra za dinamiku i vibracije – FESB 6

Moment tromosti

Moment tromosti grede se odredi mjerenjem amplituda malih njihanja grede. Njihanje se

bilježi induktivnim osjetnikom (Balluff BAW M12MF2-UAC40F-BP05) (Sl 8 i Sl 9) Iz

snimke njihanja (Sl 12) očita se period T i iz njega odredi moment tromosti tijela, vidi

dalje.

Sl 10 Shema pokusa

Sl 11 Plan slobodnog tijela

Gibanje/njihanje tijela opisuje se momentnom jednadžbom oko točke O (Sl 11):

( )O o o: sinM J mgr Jθ θ θ= − =∑ �� ��

Za θ << može se uzeti: ( )sin θ θ≈ pa je:

O 0J mgrθ θ+ ⋅ =�� .

Nakon što se jednadžba podijeli s momentom tromosti JO dobije:

O O

O

0 :

0

J mgr J

mgr

J

θ θ

θ θ

+ ⋅ =

+ =

��

��

Ako se pretpostave harmonijske vibracije: ( ) ( )sint tθ ω= Θ⋅ , dobije se:

2

O

mgr

Jω=

odakle se dobije moment tromosti:

2

OJmgr

ω=

MEHANIKA 3 – Laboratorijska vježba: Masa, Centar mase & Moment tromosti

Katedra za dinamiku i vibracije – FESB 7

Mjerenje kružne frekvencije neprigušenog njihanja

Njihanje poluge je zabilježeno osciloskopom, vidi Sl 12.

Sl 12 Prikaza njihanja grede na ekranu osciloskopa

Njihanje je prigušeno i za njega vrijedi:

p

p

2T

π

ω=

2

p 1ω ω ξ= ⋅ − .

( )( )

0

n

1ln

t

n tδ

Θ= Θ

,

2

2

1

πξδ

ξ=

−.

Gdje su:

• ( )0tΘ – vrijednost amplitude u trenutku t1

• ( )ntΘ – vrijednost amplitude nakon n ciklusa

• n – broj ciklusa

• δ – logaritamsko umanjenje

Sa snimke njihanja možemo očitati: Tp , ( )0tΘ i ( )ntΘ za odabrani broj ciklusa n. Nakon

dozvoljenih matematičkih operacija, gornje izraze možemo preurediti tako da iz očitanih

vrijednosti dobijemo neprigušenu kružnu frekvenciju:

( )( )

0

n

1ln

t

n tδ

Θ= Θ

2 24

δξ

π δ=

+

p

p

2

T

πω =

MEHANIKA 3 – Laboratorijska vježba: Masa, Centar mase & Moment tromosti

Katedra za dinamiku i vibracije – FESB 8

p

21

ωω

ξ=

−

Očitavanje i mjerenje

Greda 1: Njihanje grede 1 zabilježeno osciloskopom je na slici Sl 13 a) i b):

a) očitanje perioda Tp b) očitanje amplituda u trenutku t1 i tn

Sl 13 Njihanje grede 1

Očitane vrijednosti su:

( )0 2.5092 mmtΘ =

( )3 2.21064 mmtΘ =

p1,2 1.06 sT =

Iz čega slijedi:

Koeficijent relativnog prigušenja 0.00672ξ = .

Prigušena kružna frekvencija njihanja -1

p 5.92753 sω = .

Kružna frekvencija -15.9278 sω = .

Mase greda m, visine centra mase r su poznati odranije, pa je:

2 22

O1

5.92780.9927 kgm

34.88J

mgr

ω= = = .

MEHANIKA 3 – Laboratorijska vježba: Masa, Centar mase & Moment tromosti

Katedra za dinamiku i vibracije – FESB 9

Greda 2: Njihanje grede 2 zabilježeno osciloskopom je na slici Sl 14 a) i b):

a) očitanje perioda Tp b) očitanje amplituda u trenutku t1 i tn

Sl 14 Njihanje grede 2

Očitane vrijednosti su:

( )0 3.0267 mmtΘ =

( )5 2.1011 mmtΘ =

p1,2 0.832 sT = [ ( )5 0 5t t− : 4.16s 5]

Iz čega slijedi:

Koeficijent relativnog prigušenja 0.0116ξ = .

Prigušena kružna frekvencija njihanja -1

p 7.5519 sω = .

Kružna frekvencija -17.5529 sω = .

Mase greda m, visine centra mase r su poznati odranije, pa je:

2 22

O2

7.55290.4837 kgm

16.994J

mgr

ω= = = .

Zaključak

Momenti tromosti za gredu 1 i 2 iznose:

2

O1

2

O2

0.9927 kgm

0.4837 kgm

J

J

=

= .

gdje je korišteno -210 msg = .