DIPLOMSKI RAD - Fakultet strojarstva i brodogradnje · PDF filesveucili ste u zagrebu fakultet strojarstva i brodogradnje diplomski rad tomislav serti c zagreb, 2014

SVEUCILISTE U ZAGREBU

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

DIPLOMSKI RAD

Tomislav Sertic

Zagreb, 2014

SVEUCILISTE U ZAGREBU

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

DIPLOMSKI RAD

Odredivanje granice dinamicke stabilnostiaeroelasticnog sustava

Mentor:prof. dr. sc. Zdravko Terze

Student:Tomislav Sertic

Zagreb, 2014

–

IZJAVA

Izjavljujem da sam ovaj rad radio samostalno koristeci znanja stecena tijekom studija

i navedenu literaturu.

Tomislav Sertic

–

ZAHVALA

Zahvaljujem se roditeljima na omogucenom skolovanju i strpljenju tijekom svih godina

studija.

Hvala prof. dr. sc. Zdravku Terzeu na vodstvu, razumijevanju te savjetima tijekom

izrade ovog rada.

Hvala svim kolegama i prijateljima na drustvu i podrsci tijekom studija, hvala kolegama

i kolegici na podrsci tijekom izrade ovog rada.

Hvala na podrsci i ostalim dragim ljudima u mom zivotu.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Središnje povjerenstvo za završne i diplomske ispite

Povjerenstvo za završne i diplomske ispite studija zrakoplovstva

Student:

Naslov rada na hrvatskom jeziku:

Naslov rada na engleskom jeziku:

Opis zadatka:

Sveučilište u Zagrebu

Fakultet strojarstva i brodogradnje .

Datum l Prilog

Klasa:

Ur. broj:

DIPLOMSKI ZADATAK Tomislav Sertić Mat. br.: 0035151506

Određivanje granice dinamičke stabilnosti aeroelastičnog sustava

Determination of Dynamic Stability Boundary of Aeroelastic System

Određivanje granice stabilnosti zrakoplovne konstrukcije u okviru analize dinamičke aeroelastičnosti jedan je od nezaobilaznih postupaka pri sintezi novog konstrukcijskog rješenja. Pojava nestabilnih vibracija elastične konstrukcije spregnute s aerodinamičkom uzbodom može prouzročiti trajno oštećenje konstrukcije te dovesti i do gubitka letjelice. U tom smislu su postupci određivanja granice dinamičke stabilnosti aeroelastičnih sustava područje stalnog interesa i usavršavanja u okviru zrakoplovnog inženjerstva.

S obzirom na gornje rečeno, u radu je potrebno:

dati pregled postupaka određivanja granica stabilnosti aeroelastičnih sustava razvijenih u okviru tzv. klasične dinamičke aeroelastičnosti, a temeljenih na pretpostavci diskretizirane konstrukcije s malim brojem stupnjeva slobode gibanja

u MATLAB-u ili drugom prikladnom programskom okruženju otvorenog koda, potrebno je izraditi računalne procedure 'p' i 'k' metode određivanja granice dinamičke stabilnosti aeroelastičnih sustava, pri čemu je potrebno pretpostaviti kvazistacionaran i nestacionaran model aerodinamičko g opterećenja

izrađene računalne procedure potrebno je primijeniti na karakteristične primjere klasične analize dinamičke stabilnosti

- dobivene rezultate potrebno je usporediti s rezultatima dostupnim u literaturi te donijeti odgovarajuće zaključke u smislu primjenjivosti ispitanih metoda i modela aerodinamičkog opterećenja za analizu pojedinih zadaća

U radu je potrebno navesti korištenu literaturu i eventualno dobivenu pomoć.

Zadatak zadan:

8. svibnja 2014.

Zadnnrt\zada

Rok predaje rada:

l O. srpnja 2014.

Predviđeni datumi obrane:

16., 17. i 18. srpnja2014.

Predsjednik Povjerenstva:

.-......... ..-, · '

- pfof. dr. sc. Ivica Smojver

Tomislav Sertic Diplomski rad

SADRZAJPOPIS SLIKA IIIIII

POPIS TABLICA VV

POPIS OZNAKA VIVI

SAZETAK VIIVII

1 UVOD 11

2 KRATKI PRIKAZ AEROELASTICNIH POJAVA 11

2.1 Nelinearna aeroelasticnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Linearna aeroelasticnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Staticka aeroelasticnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.1 Divergencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.2 Obrnuce komandi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4 Dinamicka aeroelasticnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4.1 Buffeting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4.2 Flutter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5 Detaljniji shematski prikaz aeroelasticnih pojava . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.5.1 Raspodjela opterecenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.5.2 Dinamicki odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.5.3 Aeroelasticni utjecaj na stabilnost leta . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.6 Prikaz eksperimentalnog istrazivanja aeroelasticnih pojava . . . . . . . . . 77

2.6.1 Eksperiment u zracnom tunelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.6.2 Ispitivanje letom zrakoplova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.7 Kontrola/odgoda pojave aeroelasticne nestabilnosti . . . . . . . . . . . . . 1010

2.7.1 Kontrola piezoelektricnim efektom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111

2.8 Zrakoplovna regulativa vezana za aeroelasticne pojave . . . . . . . . . . . . 1212

3 JEDNADZBE GIBANJA AEROELASTICNOG SUSTAVA 1313

3.1 Sustav s jednim stupnjem slobode gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414

3.2 Sustav s dva stupnjem slobode gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515

4 AERODINAMICKI MODELI 1919

4.1 Wagnerov model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2121

4.2 Theodorsenov model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2121

4.3 Petersov model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2525

Fakultet strojarstva i brodogradnje I


5 PREGLED POSTUPAKA ZA ODREDIVANJE GRANICE STABIL-

NOSTI 2727

5.1 Routh-Hurwitz metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727

5.2 Konus fluttera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2828

5.3 p metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2929

5.4 k metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3030

5.5 p-k metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3131

5.6 g metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3232

5.7 Usporedba opisanih metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3434

5.7.1 Industrijski koristene metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3434

5.7.2 Industrijski manje bitne metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3636

6 IMPLEMENTACIJA ODABRANIH METODA 3737

6.0.3 Komentar na postupak trazenja rjesenja odabranim metodama . . . 3737

6.0.4 Karakteristicni oblik krivulja aeroelasticnog sustava . . . . . . . . . 3838

7 KARAKTERISTICNI PRIMJER ANALIZE 4141

7.1 Rezultati granice stabilnosti odnosa bezdimenzijska brzina fluttera, bezdi-

menzijska masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4141

7.2 Rezultati granice stabilnosti odnosa bezdimenzijska brzina fluttera, omjer

nespregnutih frekvencija sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4343

8 ZAKLJUCAK 4545

LITERATURA 4646

Fakultet strojarstva i brodogradnje II


POPIS SLIKA

2.1 Model koristen za analizu aeroelasticne nestabilnosti od Braistowa i Fagea 22

2.2 Primjer LCO (Limited Cycle Oscillation) gibanja [22] . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Trokut aeroelasticnih sila i posljedice njihove spregnutosti [44] . . . . . . . . 66

2.4 Prikaz procesa testiranja zrakoplova s obzirom na aeroelasticnu stabilnost . 77

2.5 Cessna AT-8 Bobcat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2.6 Aeroelasticni odziv krila, AT-8 Bobcat, studeni 1941. [66] . . . . . . . . . . 99

2.7 Primjer trendova odziva frekvencije i prigusenja tijekom leta, Boeinga KC-

135 [66]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010

2.8 Laminirani model ploce u obliku krila s piezoaktuatorima. . . . . . . . . . 1111

3.1 Primjer ovojnice zrakoplova s prikazom mogucih granica aeroelasticnih

nestabilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313

3.2 Model aeroprofila s jednim stupnjem slobode gibanja, torzijom . . . . . . . 1414

3.3 Model aeroprofila s dva stupnja slobode gibanja, savijanje i torzija . . . . . 1616

4.1 Odziv uzgona na promjenu napadnog kuta krila kod kvazi-stacionarne i

nestacionarne aerodinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2020

4.2 Prikaz realnog i imaginarnog dijela C(k) za razlicite reducirane frekvencije k 2222

4.3 Dijelovi funkcije C(k), F (k) i G(k) u odnosu na 1/k . . . . . . . . . . . . . 2222

4.4 Prikaz geometrije aeroprofila sa smjerovima uzgona, relativnog vjetra . . . 2525

5.1 Prikaz odredivanja brzine fluttera metodom konusa za sustav s dva stupnja

slobode gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2929

6.1 Prikaz odnosa bezdimenzijske brzine i frekvencije kod ’p’ metode i kvazista-

cionarne aerodinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3838

6.2 Prikaz odnosa bezdimenzijske brzine i prigusenja kod ’p’ metode i kvazista-

cionarne aerodinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3939

6.3 Prikaz odnosa bezdimenzijske brzine i frekvencije kod ’k’ metode i nesta-

cionarne Theodorsenove aerodinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3939

6.4 Prikaz odnosa bezdimenzijske brzine i prigusenja kod ’k’ metode i nesta-

cionarne Theodorsenove aerodinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4040

7.1 Odnos bezdimenzijske brzine fluttera i bezdimenzijskog masenog omjera za

kvazistacionarnu aerodinamiku i ’p’ metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . 4242


kvazistacionarnu aerodinamiku i ’k’ metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . 4242


nestacionarnu aerodinamiku i ’k’ metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4343

7.4 Odnos bezdimenzijske brzine fluttera i omjera nespregnutih frekvencija za

kvazistacionarnu aerodinamiku i ’p’ metodu . . . . . . . . . . . . . . . . . 4343

Fakultet strojarstva i brodogradnje III


7.5 Odnos bezdimenzijske brzine fluttera i omjera nespregnutih frekvencija za

nestacionarnu aerodinamiku i ’k’ metodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4444

Fakultet strojarstva i brodogradnje IV


POPIS TABLICA2.1 Primjeri koristenih tehnologija za pobudu aeroelasticnog sustava [66] . . . . 99

4.1 Vrijednosti Besselovih funkcija J0, J1, Y0, Y1 za odredene k [1010] . . . . . . . 2323

7.1 Tipicne vrijednosti bezdimenzijske mase za razlicite vrste letjelica . . . . . 4141

Fakultet strojarstva i brodogradnje V


POPIS OZNAKA

Simbol Mjerna jedinica Opis

a1, ac, aw − koeficijent nagiba krivulje cl − αc m duljina tetive

Fp N sila piezoelektricnog aktuatora

GJ Nm torzijska krutost

h m/s brzina mahanja

Ip kgm2 polarni moment inercije

kθ, kh Nm krutost opruge

Ks Nm matrica krutosti

k, kF − reducirana frekvencija

L N sila uzgona

M M moment sile uzgona

m kg/m3 masa

MF − Machov broj

Ms kg matrica mase

qdiv Pa dinamicki tlak divergencije

qrev Pa dinamicki tlak obrnuca komandi

r − bezdimenzijski promjer okretanja

s m sirina aeroprofila

UF − bezdimenzijska brzina fluttera

V m/s2 brzina slobodne struje zraka

xθ − parametar staticke ravnoteze

α rad brzina propinjanja

µ − bezdimenzijska masa

ρ∞ kg/m3 gustoca slobodne struje zraka

σ − omjer frekvencija mahanja i nagiba

Fakultet strojarstva i brodogradnje VI


SAZETAK

Diplomski rad sastoji se od tri dijela:

PRVI DIO rada, 1. i 2. poglavlje uvodni su. Sadrzaj poglavlja je opceniti opis sto

i kako se istrazuje unutar aeroelasticnosti, odnosno opisa nestabilnih pojava povezanih s

interakcijom izmedu elasticnih, inercijskih i aerodinamickih sila. Dan je pregled statickih,

dinamickih, linearnih i nelinearnih aeroelasticnih pojava.

Dalje uvodni dio sadrzi opis eksperimentalnog istrazivanja aeroelasticnih nestabilnosti,

takoder navedene su mogucnosti kontrole aeroelasticnih nestabilnosti putem piezoelek-

tricnih materijala, odnosno aktuatora povezanih sa konstrukcijom izlozenom aeroelasticnim

interakcijama. Na kraju uvodnog dijela navedena su mjesta unutar zrakoplovne regulative

koja sadrze zahtjeve vezane za aeroelasticna svojstva konstrukcije.

DRUGI DIO rada, poglavlja 3, 4, 5 razraduju osnovne matematicke modele kod

aeroelasticnih zadaca. Prikazane su osnovne jednadzbe gibanja za aeroelasticni sustav s

jednim i dva stupnja slobode gibanja. Nakon toga prikazani su aerodinamicki modeli koji

se koriste kod teorijskog istrazivanja aeroelasticnosti; Theodorsenov, Petersov, Wagnerov.

Drugi dio rada zavrsava prikazom metoda koje se koriste za odredivanje granice stabilnosti

aeroelasticnog sustava. Prikazano je sest metoda: Ruth-Hurwitzova metoda, metoda

konusa, ’p’ metoda, ’k’ metoda, ’p-k’ metoda te ’g’ metoda.

TRECI DIO rada, poglavlja 6 i 7 donose implementaciju ’p’ i ’k’ metode. Metode

su primijenjene za razlicite karakteristicne parametre aeroelasticnog sustava.

Fakultet strojarstva i brodogradnje VII


1 UVOD

Zrakoplov se moze promatrati kao elasticna konstrukcija odredenih inercijskih svojstava

u letu opterecena silama nastalim zbog medudjelovanja te konstrukcije s okolnim fluidom.

Sile koje tada nastaju mogu se podijeliti na one koje nastaju zbog trenutnih atmosferskih

uvjeta poput zapuha (gust), turbulencije u atmosferi i sl. te sila dobivenih djelovanjem

upravljackih i uzgonskih povrsina zrakoplova.

Prema svojoj prirodi aerodinamicke sile nestacionarnog su karaktera kako zbog vanjskog

djelovanja tako zbog namjernog manipuliranja tim silama radi upravljanja zrakoplovom.

Vremensko kasnjenja odziva konstrukcije na promjenu aerodinamickih sila dovodi do

odredenog sprezanja elasticnih, inercijskih te nestacionarnih aerodinamickih sila, ponekad

na nepovoljan nacin, sto moze izazvati nestabilnost odnosno unistenje konstrukcije.

Podrucje koje proucava medudjelovanje spomenutih sila zove se aeroelasticnost, a fenomeni

se mogu podijeliti na nelinearne i linearne odnosno linearne dalje na staticke i dinamicke

ciji ce kratak opis biti dan u nastavku.

2 KRATKI PRIKAZ

AEROELASTICNIH POJAVA

Kod konstrukcije zrakoplova nastoji se da letjelica bude sto laksa. Posljedica toga je

znacajna elasticnost konstrukcije pogotovo krila i ostalih upravljackih povrsina poput repa

zrakoplova, tako da su vec s prvim zrakoplovima aeroelasticne pojave dosle su do izrazaja,

a povecanjem brzine, povecanjem mase, oplakane povrisne itd. utjecaj aeroelasticnosti

je znacajniji. Pojava aeroelasticne nestabilnosti direktno ovisi o krutosti zrakoplova, a

indirektno o cvrstoci isto kao sto direktno ovisi o CL-α krivulji, a indirektno o samom

iznosu koeficijenta uzgona. Da bi se razumjelo ovu pojavu potrebna su istrazivanja na

zemlji, u letu, zracnim tunelima, teoretska analiza, analizu numerickim metodama sto se

sve radi i usavrsava od samih pocetaka zrakoplovstva do danas. Naravno aeroelasticne

pojave osim kod zrakoplova vazne su i kod drugih slicno opterecenih konstrukcija poput

lopatica turbina i slicno.

Osam dana prije prvog leta brace Wright, 8. prosinca 1903. godine, Samuel P. Langley

izveo je drugi, neuspjesni, let svojom letjelicom. Zbog ostecenja konstrukcije, letjelica je

pala u rijeku Potomac. Smatra se da je uzrok bilo to sto vrh krila nije imao dovoljnu

krutost te se posljedicno pojavila divergencija. Nekoliko dana poslije, 17. prosinca 1903.

Fakultet strojarstva i brodogradnje 1


braca Wright izvela su svojim dvokrilcem Flyer uspjesan let. Prethodni Langleyev neusp-

jeh i uspjeh brace Wright pridonijeli su tome da prva konstrukcijska rjesenja zrakoplova

budu dvokrilci (biplane) koji zbog ucvrscenja medu krilima imaju vec krutost krila i time

su otporniji na aeroelasticne pojave.

Prvi znacajniji uvid u aeroelasticnu nestabilnost dao je 1916. godine F. W. Lanchester

nakon prve sluzbeno s njom povezane nesrece. Nesreca se dogodila zrakoplovu Hand-

ley Page 0/400. Zakljucak je bio da vibracije nisu rezultat rezonancije nego posljedica

samopobudenja aeroelasticnog sustava te je predlozeno da se problem rijesi povecanjem

torzijske krutosti. Prva teorijska analiza je ona od Braistowa i Fagea iz 1916. Analizirali

su sustav s dva stupnja slobode gibanja prema slici 2.12.1. Aerodinamicki derivativi su bili

konstantni koeficijenti pomnozeni s eksponencijalnom vremenskom varijablom te su naz-

vani kvazistacionarnim konstantama. Rezultat postupka su dvije jednadzbe 2.12.1, 2.22.2 cija

diskriminanta 2.42.4 daje uvid u stabilnosti sustava [77].

Slika 2.1: Model koristen za analizu aeroelasticne nestabilnosti od Braistowa i Fagea

[Iαλ2 − Lαλ− kα]α− [Lβλ+ Lβλ]β = 0 (2.1)

−Mαλα + [Iβλ2 −Mβλ+ kβ +Mβ]β = 0 (2.2)

Aλ4 +Bλ3 + Cλ2 +Dλ+ E = 0 (2.3)

R = BCD − AD2 −B2E. (2.4)

Gdje R predstavlja Routhovu diskriminantu. Ukoliko je R > 0 imamo prigusene os-

cilacije, ukoliko R = 0 pocetak nestabilnosti (fluttera). Konacno ako R < 0 oscilacije



su neprigusene. Velicine I su za inercijska svojstva, k krutosti, dok su velicine L i M

aerodinamicki derivativi.

Ovaj nacin predstavlja tvz. Ruth-Hurwitzovu metodu, a jednadzbe i metoda poblize

su opisani u poglavlju 5.

Povecanjem brzina prema sve vecim podzvucnim, krozzvucnim te nadzvucnim brzi-

nama, istrazivanja pojava vezanih za aeroelasticnost postaju sve vaznija i vaznija. Is-

trazuju se pojave poput: aileron buzz koji se moze opisati kao problem s jednim stupnjem

slobode gibanja. Pojava nastaje kao posljedica spregnutosti rotacije krilca i ponasanja

udarnog vala uzduz tetive krila. Zatim panel flutter koji se javlja pri nadzvucnim brzi-

nama. Razlika u odnosu na uobicajenu pojavu fluttera je u tome sto se samopobudenje

sustava, odnosno aeroelasticna nestabilnost dogada samo s jedne strane povrsine za raz-

liku od krila gdje su obje povrsine oplakane strujom fluida. Panel je izlozen vibracijama

i LCO11 opterecenju sto u konacnici dovodi do ostecenja konstrukcije. Prvi problemi sa

konstrukcijom zbog ovog tipa nestabilnosti zamijeceni su na V-2 raketama tijekom Drugog

svjetskog rata [77].

2.1 Nelinearna aeroelasticnost

Unutar aeroelasticnost, izraz da je sustav linearan znaci da je sustav staticki i dinamicki

linearan odnosno da je nelinearan u statickom odzivu, a linearan u dinamickom [11].

Primjer nelinearne aeroelasticne pojave je LCO (Limit Cycle Oscillations) koja nas-

taje kao posljedica nelinearne aerodinamike, nelinearnosti materijala, nelinearnost zbog

upravljackih povrsina. LCO predstavlja flutter s odredenom granicom. Granica kod

npr. nelinearnosti konstrukcije nastaje kao posljedica toga da se pocetna krutost nakon

pocetnih vibracija zbog konstrukcijskih nelinearnosti poveca te ogranici ostvarenu ampli-

tudu.

Slika 2.2: Primjer LCO (Limited Cycle Oscillation) gibanja [22]

1Limited Cycle Oscillation



2.2 Linearna aeroelasticnost

U nastavku ce biti dan kratak opis najvaznijih linearnih aeroelasticnih pojava, prvo

statickih onda dinamickih prije nastavka u kojem su pojave matematicki modelirane te

naposlijetku prikazana rjesenja za odredene karakteristicne primjere.

2.3 Staticka aeroelasticnost

Kod staticke aeroelasticnosti promjene na konstrukciji uzrokovane aerodinamickim sil-

ama smatraju se neovisnim o vremenu, obzirom na to nema vremenske promjene velicina,

a inercijske sile ovise o ubrzanju, one se mogu zanemariti. Najvaznije pojave koje se

proucavaju unutar staticke aeroelasticnosti su: divergencija (divergence) te obrnuce ko-

mandi (control reversal).

2.3.1 Divergencija

Divergencija nastaje kao posljedica nadjacavanja momenta aerodinamicke sile u odnosu na

povratni moment elasticne konstrukcije sto posljedicno dovodi do unistenja konstrukcije.

Jednadzba koja daje brzinu odnosno dinamicki tlak pri kojem dolazi do nadjacavanja,

odnosno divergencije za dvodimenzionalni aeroprofil s torzijskom oprugom prema [11] je

qdiv =kθ

ec2a1. (2.5)

Velicina ec udaljenost opruge od hvatista uzgona, Kθ krutost opruge te a1 koeficjent

nagiba krivulje cl−α. Jednadzba 2.52.5 pokazuje da u pravilu kruce krilo ima vecu otpornost

na divergenciju, a veca duljina tetive smanjuje tu otpornost isto kao i aeroprofil veceg

nagiba krivulje cl − α.

2.3.2 Obrnuce komandi

Obrnuce komadni odnosno control reversal nastaje na sljedeci nacin. Zakretanjem up-

ravljacke povrsine osim povecanja ukupnog uzgona dolazi i do smanjenja napadnog kuta

cijelog krila. U nekom trenutku doprinosi su takvi da upravljacka povrsina prestane biti

efikasna odnosno njeno djelovanje je obrnuto. Prema [11] odnosno jednadzbi 2.62.6 gdje je

GJ torzijska krutost, ac koeficjent nagiba krivulje uzgona za dio bez upravljacke povrsine,

aw koeficjent nagiba krivulje uzgona ukupnog krila, vidi se na koji nacin i koje varijable



utjecu na pojavu fenomena. Slicno kao i kod divergencije, sto je veca krutost krila, krilo

je otpornije na control reversal.

qrev =3GJac

c2s2aw(eac − bc). (2.6)

Pojava nije nuzno fatalna po zrakoplov, ali nije prihvatljivo da zrakoplov u nekim

uvjetima na upravljacku komadu reagira presporo odnosno na nacin suprotno od zeljenog.

2.4 Dinamicka aeroelasticnost

Pojave koje se ovdje opisuju kao uzrok imaju sva tri navedena izvora: elasticnost kon-

strukcije, inercijske karakteristike te nestacionarno aerodinamicko opterecenje. Najvaznije

nestabilnosti koje nastaju ovim kombinacijama su: leprsanje (flutter) i prenaprezanje

(buffeting)22.

2.4.1 Buffeting

Prema [33] buffeting je nepravilno gibanje konstrukcije ili njezinih dijelova potaknuto od

turbulencije ili zapuha. Odvajanjem struje fluida poveca se intenzitet turbulencije sto

posljedicno dovodi nepravilnih vibracija zvanih buffeting. Mjesta koja mogu poticati

ovakvo stanje su vrtlozi iza usisnika, krila i ostalih komponenti zrakoplova.

2.4.2 Flutter

Dinamicka nestabilnost aeroelasticnog tijela koja nastaje kao posljedica nepovoljne spreg-

nutosti elasticnih sila s promjenjivim aerodinamickim silama. Povecanjem brzine toka

fluida prigusenje oscilacija raste do odredene tocke u kojoj prigusenje pocinje iscezavati.

U tocki nazvanoj critical flutter speed, oscilacije su takve da se mogu odrzavati samostalno

bez dodatne vanjske pobude, malim povecanjem brzine dolazi do samopobudenih vibracija

koje u konacnici ostete odnosno uniste nestabilnosti izlozenu konstrukcije.

Brzina i frekvencija fluttera UF i ωf definirana je prema [44] kao najmanja brzina i

odgovarajuca frekvencija pri kojoj ce konstrukcija leteci u danim atmosferskim uvjetima

odredene gustoce i temperature pokazati stalne harmonicke oscilacije. Let pri brzini UF

je granica tvz. neutralne stabilnost. U toj tocki, pri toj brzini i frekvenciji, elasticne,

2Kako spomenuti pojmovi nemaju uobicajeni prijevod na hrvatski u daljnjem tekstu koriste se engleskitermini za navedene aeroelasticne pojave



inercijske i unutarnje sile prigusenja u ravnotezi su s aerodinamickim silama nastalim

zbog oscilacije povrsine. Daljnji odgovor aeroelasticnog sustava na poremecaj je rastuci

ili padajuci u smislu povecanja odnosno smanjenja amplitude.

Razlika izmedu fluttera i osciliranja normalnim modovima je u tome sto kod normalnih

modova kineticka i potencijalna energija se izmjenjuju u potpunosti tako da je u nekom

trenutku sva energija kineticka, a u drugom potencijalna. Kod fluttera, opcenito, ne

dogada se da potencijalna ili kineticka energija u nekom trenutku potpuno isceznu, jer

tocke mase nisu u fazi.

2.5 Detaljniji shematski prikaz aeroelasticnih pojava

Osim gore spomenutih najvaznijih aeroelasticnih pojava slikom 2.32.3 dan je opcenitiji prikaz,

odnosno popis pojava vezanih za spregnutost elasticnih, inercijalnih i aerodinamickih

karakteristika konstrukcije zajednickim imenom zvanih aeroelasticnost. U trokut se do-

datno mogu ukljuciti i upravljacke sile, tada govorimo o aeroservoelasticnosti.

Slika 2.3: Trokut aeroelasticnih sila i posljedice njihove spregnutosti [44]



2.5.1 Raspodjela opterecenja

Raspodjela opterecenja (Load distribution) prestavlja utjecaj elasticnih deformacija kon-

strukcije na raspodjelu aerodinamickih sila.

2.5.2 Dinamicki odziv

Dinamicki odziv (Dynamic Response) je odziv konstrukcije na promjenjiva opterecenja

izazvana utjecajem zapuha, slijetanja, trzaja zbog ispaljivanja streljiva te ostalih di-

namickih opterecenja.

2.5.3 Aeroelasticni utjecaj na stabilnost leta

Aeroelasticni utjecaj na stabilnost (Aeroelastic effects on stability) je utjecaj elasticnih

deformacija konstrukcije na dinamicku i staticku stabilnost zrakoplova na nacin da prom-

jena oblika konstrukcije uzrokuje promjenu aerodinamickih koeficijenata sto kao posljedicu

ima promjenu parametara unutar npr. 6DOF modela leta zrakoplova, odnosno promjenu

karakteristika stabilnosti leta zrakoplova.

2.6 Prikaz eksperimentalnog istrazivanja aeroelasticnih pojava

Slika 2.4: Prikaz procesa testiranja zrakoplova s obzirom na aeroelasticnu stabilnost



Teorijski modeli aeroelasticnih pojava, da bi se potvrdilo stabilnost unutar predvidene

ovojnice nece doci do nestabilnosti, moraju biti eksperimentalno potvrdeni. Eksperimenti

se provode u zracnom tunelu na modelu zrakoplova odnosno pojedinim aeroelasticnim

nestabilnostima izlozenim komponentama te ispitivanjima u letu.

2.6.1 Eksperiment u zracnom tunelu

Prve analize komponenti zrakoplova izlozenih mogucoj aeroelasticnoj nestabilnosti provode

se u zracnim tunelima. Zracni tunel ne moze dati konacni uvid u ponasanje konstrukcije

zbog ogranicenja vezanih za dimenzije, odnosno nemogucnosti da se veliki broj param-

etara na zadovoljavajuci nacin metodom slicnosti prilagodi zracnom tunelu. Pogotovo je

to bitno kod nestacionarnog toka fluida koje ovisi o dimenzijama uzorka. Velicine poput

reducirane frekvencija, Reynoldsovog broja, odvajanje vrtloga itd. primjeri su toga [22].

Problem je i nacin na koji se ispitivani uzorak ucvrscuje jer razlicito ucvrscenje utjece

na aeroelasticna svojstva. Takoder raspon mogucih brzina strujanja, temperature itd. je

ogranicen.

2.6.2 Ispitivanje letom zrakoplova

Eksperimenti se provode u zracnim tunelima ili letom zrakoplova. Prvo ispitivanje vezano

za odredivanje brzine pri kojoj se dogada flutter proveo je 1935. godine Von Schlippe

[66]. Ispitivanje je provedeno tako da se za unaprijed odredene prirodne frekvencije kon-

strukcije, tijekom leta za odredene brzine pobudio sustav aktuatorima te mjerilo ampli-

tudu odziva. Na razlicitim brzinama leta ispitivanje je provodeno do onog trenutka kad

je odziv bio dovoljno velik da se je to moglo proglasiti brzinom fluttera. Problem kod

ispitivanja bile su nesavrsenosti sustava za pobudivanje oscilacija, te losi instrumenti za

mjerenje odziva. Daljnji razvoj isao je za usavrsavanjem potrebnih uredaja i instrumenata

te usavrsavanjem metoda za analizu ispitivanjem dobivenih rezultata. Primjer dobivenih

rezultata Von Schlippe metodom dan je slikom 2.62.6.

Danas se za pobudivanje oscilacija na zrakoplovima koriste: impulsni pomaci up-

ravljackih povrsina, osciliranje upravljackih povrsina, potisnici33, inercijski pobudivaci44,

dodatne aerodinamicke povrsine, nasumicne atmosferske turbulencije. Primjeri koristenih

metoda za uzbudu odredenih zrakoplova kroz povijest dani su u tablici 2.12.1 prema [66].

3potisnici - male rakete s vremenom izgaranja izmedu 18 i 26 ms, potiska izmedu 400 i 4000 lbsodnosno 180 i 1800 kg.

4rotirajuce mase koje iniciraju potrebne oscilacije



Slika 2.5: Cessna AT-8 BobcatSlika 2.6: Aeroelasticni odziv krila, AT-8 Bobcat, studeni 1941. [66]

Zrakoplov Površina Frekvencijski raspon [Hz]

Trajanje zamahivanja

[s]

Funkcija zamahivanja

Tehnologija pobuđenja

747 krila 1.5 – 7 90 eksponencijalna aerodinamika

DC-10 vertikalni i horizontalni rep 1 – 20 90 eksponencijalna aerodinamika

S3-A trup pokraj stabilizatora 3 - 25 90 linearna aerodinamika

F – 15 aileroni, stabilizatori 2 – 16 200 linearna aerodinamika

F – 14 horizontalne i

vertikalne površine

5 – 50 15 eksponencijalna inercija

F – 111 horizontalne i

vertikalne površine

2 – 35 45 eksponencijalna inercija

Tablica 2.1: Primjeri koristenih tehnologija za pobudu aeroelasticnog sustava [66]

Suvremena ispitivanja kao mjeru pri kojoj se pojavljuje flutter ne koriste velicinu am-

plitude nego se koeficijent prigusenja, odnosno njegovo smanjivanje. Uobicajeno kod

ispitivanja da bi flutter bio dokazan koriste se sljedeci kriteriji [22]:

1. uocavanje da se je koeficijent prigusenja spustio ispod 2% (civilno zrakoplovstvo

ispod 5%)

2. oscilacije pri mjerenju pocnu divergirati izvan predodredenih granica

3. dominantna frekvencija odstupa od predvidene vrijednosti

Kod ispitivanja zrakoplov se ubrza do odredene brzine za koju se namjerava ispitati

postojanje aeroelasticne nestabilnosti, zatim se sustav pobudi te ocitaju rezultati, brzine

se mijenjaju za cijelu ovojnicu zrakoplova i to s relativno malim koracima, sto ispitivanje

cini dugotrajnim i skupim. Da bi se odredena tocka ovojnice smatrala slobodnom od



aeroelasticne nestabilnosti mora biti stabilna za odredeni broj pobuda/zamaha sustava

za pobudivanje. Tako se primjerice kod F-14 zahtijevalo da to bude 489 pobuda, F-15

132 pobude, Gulfstream III 177 pobuda itd. [66].

Tijekom leta dobiveni rezultati se prate, analiziraju, a dobiveno usporeduju s od prije

predvidenim rezultatima te prelazi na sljedecu tocku tocku ispitivanja. Najkriticniji trenu-

tak je promjena brzine ispitivanje, odnosno period ubrzavanja izmedu dviju ispitivanih

brzina, to je vrijeme za koje nemamo predvidanja o ponasanju konstrukcije. Primjer

ispitivanja Boeinga KC-135 Stratotanker u realnom vremenu dan je slikom 2.72.7 gdje se

vidi kako frekvencija raste, a prigusenje opada do granice stabilnosti za sto se onda moze

odrediti brzina.

Slika 2.7: Primjer trendova odziva frekvencije i prigusenja tijekom leta, Boeinga KC-135[66].

2.7 Kontrola/odgoda pojave aeroelasticne nestabilnosti

Kako je receno cilj je da zrakoplov bude sto laksi. Sto je zrakoplov laksi to je elasticniji,

odnosno podlozniji aeroelasticnim nestabilnostima. Sustavi koji mogu kontrolirati odnosno

odgoditi pojavu aeroelasticne nestabilnosti prema tome posljedicno omogucavaju manju

masu zrakoplova, ekonomicniji let. Prema nekim izvoru [88] vrsna opterecenja mogu se

smanjiti i do 20%.

Konstrukcija se kontrolira postavljanjem aktuatora na mjesta koja valja stititi od nesta-



bilnosti, krila, stabilizatore ili cak na trup ukoliko se ocekuje pojavljivanje panel fluttera.

Na krilo se aktuatori stavljaju na unutarnji i vanjski dio napadne, odnosno izlazne ivice

te povezuju s upravljackim povrsinama na krilu. Aktuatori mogu biti hidraulicki ili elek-

tricno upravljani. Takoder kao aktuator moze biti koristen piezoelektricni materijal.

2.7.1 Kontrola piezoelektricnim efektom

Zanimljiv za primjenu kod aeroelasticnih problema je piezoelektricni efekt koji u jednom

smjeru na primijenjenu silu daje elektricnu energiju, sensor mode, a u drugom smjeru

dodavanjem elektricne energije moze se dobiti mehanicki rad, aktuatorski mod - actua-

tor mode. Takav materijal pridodan laminiranim kompozitnim konstrukcijama moze uz

pravilnu kontrolu pomoci u odgodi pojave nestabilnosti, odnosno posljedicno smanjiti

tezinu letjelice i povecati mogucu ovojnicu zrakoplova.

Kada se zajedno koriste oba piezoelektricna svojstva tada se to naziva samoupravljivi

piezoelektricni aktuator self-sensing piezoelectric actuator ili simultaneous sensor actuator

(SSA). Prikaz je na slici 2.82.8, a jednadzbom 2.72.7 prema [99] moze se modelirati aeroelasticno

ponasanje konstrukcije, odnosno odrediti kako najpovoljnije upravljati njome. Koristenje

piezeoelektricnog efekta odnosno SSA tehnologija koristi se i za odgodu panel fluttera.

Slika 2.8: Laminirani model ploce u obliku krila s piezoaktuatorima.

Msq + Ksq = Fpu+ qdAq. (2.7)

Clan Fp je matrica upravljacke sile ovisna o narinutom naponu, A je matrica nesta-

cionarnih aerodinamickih sila. Ms je matrica mase, a Ks matrica krutosti.



Prema [99] pokazuje se da uporaba piezoelektricnih aktuatora, SSA tehnologija, moze

povecati brzinu pri kojoj se javlja flutter za 50% u odnosu na krilo bez povratne veze.

2.8 Zrakoplovna regulativa vezana za aeroelasticne pojave

Da bi zrakoplov bio certificiran mora se dokazati da unutar predvidene ovojnice nece doci

do pojave aeroelasticnih nestabilnosti. EASA55 te FAA66 propisuju regulativu odnosno

uvjete koji moraju biti zadovoljeni. Kod FAA uvjeti vezani za aeroelasticne pojave

propisane su u sljedecim dijelovima, FAR:77

• Part 23 (Airworthiness standards: Normal, utility, acrobatic, and commuter category

airplanes),

• Part 25 (Airworthiness standards: Transport category airplanes),

• Part 27 (Airworthiness standards: Normal category rootorcraft),

• Part 29 (Airworthiness standards: Transport category rootorcraft)

i to u clancima pod brojem 629, npr. Part 29.629. EASA-ina regulativa dana je analognim

oznakama unutar svojih Certification Specifications npr. propis CS 29.629 takoder je

vezan za aeroelasticne pojave.

5European Aeronautical and Space Agncy6Federal Aviation Agency7Federal Aviation Regulation



3 JEDNADZBE GIBANJA

AEROELASTICNOG SUSTAVA

Elasticna konstrukcija odredenih inercijalnih svojstava, opterecena aerodinamickim silama

dovodi do aeroelasticnih pojava. Kod zrakoplova, zbog vjecne teznje da letjelica bude

sto laksa sa sto vecom nosivosti, kombinacija ovih dvaju opterecenja je neizbjezna te je

konstrukciju zrakoplova nuzno provjeriti u odnosu na aeroelasticne pojave jer nestabilnosti

koje se javljaju mogu biti unutar performansama omogucene ovojnice zrakoplova.

Razumijevanjem aeroelasticnih pojava osim radi provjere konstrukcije, moze se pravil-

nom kontrolom konstrukcije modernim tehnologijama omoguciti i prosirenje ovojnice.

U tu svrhu u daljnjem radu opisani su i upotrebljeni pojedini modeli unutar tvz.

klasicne analize dinamicke stabilnosti.

Slika 3.1: Primjer ovojnice zrakoplova s prikazom mogucih granica aeroelasticnih nesta-bilnosti



3.1 Sustav s jednim stupnjem slobode gibanja

Prvi slucaj za koji ce se prikazati jednadzbe je sustav s jednim stupnjem slobode. Iako se

pri malim brzinama ne dogada aeroelasticna nestabilnost, torzijski flutter je realna pojava

kod malih, relativno masivnih konstrukcija poput lopatica, isto tako moze se pojaviti na

krilu kod nadzvucnog strujanja [44].

Slika 3.2: Model aeroprofila s jednim stupnjem slobode gibanja, torzijom

Jednadzba gibanja dana je obicnom diferencijalnom jednadzbom

Ipθ + kθθ = M (3.1)

gdje je Ip moment tromosti oko tocke P, a kθ koeficijijent krutosti opruge. Pretpostavlja

se da je gibanje sustava θ = θ exp(iωt) jednostavno harmonicko gibanje isto kao i aerodi-

namicki moment M = M exp(iωt). Amplituda momenta sile uzgona, M , dana je izrazom

M = πρ∞b4ω2mθ(k,Ma)θ.

Uvrstavanjem i sredivanjem jednadzbi dobije se izraz

Ipπρ∞b4

[1−

(ωθω

)2]+mθ(k,Ma) = 0 (3.2)

koji se rjesava za odabrane uvjete leta te se tako moze odrediti granicu aeroelasticne

nestabilnosti na nacin da se za odabrane parametre, kao sto su Machov broj i bezdimenz-

ijski aerodinamicki derivativ zbog momenta propinjanja, mθ izracuna ω = ωF , gdje je ωF

frekvencija pri kojoj se dogada nestabilnost, sto se onda moze prikazati u odnosu na npr.



bezdimenzijsku brzinu fluttera 1/k, gdje je k reducirana frekvencija

k =bω

U(3.3)

ili u odnosu na koju drugu pogodnu velicinu.

Pristup rjesavanju je sljedeci. Pretpostavlja se da su Ip, ωθ i b poznati. Aerodinamicki

koeficijent mθ je kompleksno konjugirani broj. Kada nakon racunanja za niz reduciranih

frekvencija, imaginarni dio rjesenja bude jednak nuli tu je granica stabilnosti, a reducirana

frekvenicja, kF , predstavlja vrijednost reducirane frekvencije na granice stabilnosti. Uz

poznatu granicnu reduciranu frekvenciju mozemo pomocu

(ωθωF

)2

= 1 +πρ∞b

4<[mθ(kF ,Ma)]

Ip(3.4)

odrediti frekvenciju torzijskog fluttera ωF , a iz toga i brzinu pri kojoj se javlja nestabilnost

UF =bωFkF

(3.5)

za odredenu brzinu zvuka, odnosno visinu leta i Machov (MF = UF/c∞) broj pri kojem

se nestabilnost pojavljuje.

Dane jednadzbe vrijede uz uvjet da se koriste aerodinamicki koeficijenti za nestlacivo

strujanje.

3.2 Sustav s dva stupnjem slobode gibanja

Kod aeroelasticnog sustava s dva stupnja slobode aeroprofil u isto vrijeme zamahuje i uvija

se. Ova kombinacija, ukoliko dode do sprezanja savijanja i torzije, izuzetno je nepovoljna i

redovito dovodi do unistenja konstrukcije. Najcesce se javlja kod krila s relativno velikom

vitkoscu88. Ovaj rad baviti ce se ovakvim aeroelasticnim sustavom odnosno metodama

kojima se odreduju granice njegove stabilnosti.

8aspect ratio, AR = b2/S



Slika 3.3: Model aeroprofila s dva stupnja slobode gibanja, savijanje i torzija

Primjenom Lagrangeove jednadzbe

d

dt

(∂K

∂qi

)+∂P

∂qi= Qi (3.6)

uz uvijet da je q1 = h (progib), a q2 = θ (nagib) aeroprofila, pri cemu je K kineticka, a P

potencijalna energija dobivene su sljedece dvije jedandzbe gibanja aeroelasticnog sustava

m(h+ bxθθ) + khh = L

Ipθ +mbxθh+ kθ = M1/4 + b

(1

2+ a

)L

(3.7)

kh je krutost opruge na progib kako je to prikazano na slici 3.23.2, a kθ torzijska krutost dok

su a i b geometrijske karakteristike aeroprofila prema slici 3.33.3. Za ovaj prikaz koristi ce se

stacionarni aerodinamicke sile i to

L = 2πρ∞bU2θ

M1/4 = 0(3.8)

iako opcenito aerodinamicka sila i moment bit ce funkcija vremena u obliku

L(t) = L exp(iωt)

M(t) = M exp(iωt).(3.9)

Radi pojednostavljenja uvode se clanovi nespregnutih prirodnih frekvencija zamahivanja

ωh i uvijanja ωθ.

ωh =

√khm

ωθ =

√kθIp

(3.10)



te u konacnici dobijemo jednadzbu aeroelasticnog sustava s dva stupnja slobode gibanja

[mb2 mb2xθ

mb2xθ Ip

]hb

θ

+

[mb2ω2

h 2πρ∞b2U2

0 Ipω2θ − 2

(12

+ a)πρ∞b

2U2

]hb

θ

=

0

0

. (3.11)

Jednadzba pokazuje da matrica koja u sebi ima clan U , matrica vezana za aerodi-

namicke sile, je nesimetricna. Upravo ta nesimetricnost matrica uzrekuje spregu mahanje

i uvijanje krila odnosno da se pojavu nestabilnosti.

Opcenita jednadzba gibanja aeroelasticnog sustava za N stupnjeva slobode gibanja glasi

Aq + (ρVB + D)q + (ρV 2C + E)q = 0 (3.12)

u jednadzbi clanovi A vezani za inercijska svojstva, clanovi B i D za prigusna, a C i E za

elasticna svojstva aeroelasticne konstrukcije. Clanovi matrice koji opisuju gibanje krila,

odnosno pomake mogu biti modelirani osim pomacima zbog opruga h i θ i torzijskom GJ

odnosno fleksijskom EJ krutoscu.

Pretpostavimo li jednostavno harmonicko gibanje h(t) = h exp(νt) i θ(t) = θ exp(νt) te

tako rijesimo jednadzbu 3.113.11 dobijemo problem trazenja vlastitih vrijednosti

[mb2ν2 +mb2ω2

h mb2ν2xθ + 2πρ∞b2U2

mb2ν2xθ Ipω2θ + Ipν

2 − 2(a+ 1

2

)πρ∞b

2U2

]hb

θ

=

0

0

. (3.13)

Uvodenjem sljedecih bezdimenzijskih parametara u jednadzbu 3.133.13 dobiju se dodatno

pojednostavljene jednadzbe za aeroelasticni sustav s dva stupnja slobode gibanja

r2 =Ipmb2

(bezdimenzijski polumjer okretanja mase)

σ =ωhωθ

(omjer nespregnutih prirodnih frekvencija)

µ =m

ρ∞πb2(maseni omjer)

V =U

bωθ(brzina slobodne struje zraka)

ν =pb

U(frekvencijski parametar, p je kompleksan broj)

xθ = e− a (parametar staticke neravnoteze)

(3.14)



[p+ σ2

V 2 xθp2 + 2

µ

xθp2 r2p2 + r2

V 2 − 2µ

(a+ 1

2

)]hb

θ

=

0

0

. (3.15)

U nastavku biti ce dani nestacionarni aerodinamicki modeli, zatim metode kojima se

mogu traziti tocke u kojima je sustav nestabilan. Nakon toga sve ce biti implementirano

te primijenjeno za odredene karakteristicne primjere.



4 AERODINAMICKI MODELI

Jedna od komponenti interakcije prema slici 2.32.3 su i aerodinamicke sile. Aerodinamicke

sile mjenjaju se zbog promjene oblika konstrukcije, odnosno krila, zbog mahanja odnosno

uvijanja. Osim promjene oblika radi upravljanja zrakoplovom, promjene se dogadaju i

same po sebi, zbog promjene atmosferskih prilika. Sve to su uzroci promjene aerodi-

namickih sila koje djeluju na konstrukciju te se mjenjaju s vremenom.

Stacionarna aerodinamika kao iznose sile uzgona i momenta daje vrijednosti L =

2πρ∞bU2θ, a moment oko 1/4 tetive je M1/4 = 0. Ako model prosirimo na tvz. kvazi-

stacionarnost onda se uzima u obzir promjena, ali se smatra da je promjena velicina

trenutacna, dakle promjenom napadnog kuta za odredeni postotak, za isti postotak

trenutacno se poveca uzgon.

Drugim rijecima, kvazi-stacionarni model promjene aerodinamickih sila ne uzima u

obzir povijest gibanja aeroprofila tj. ne uzima u obzir utjecaj aerodinamickog traga koje

ostavlja krilo. Jednadzbe za ovakav model prema [33] su:

Lkv = 2πρbU2

[h

U+ b

(1

2− a)α

U− α

]

Mkv = b

(1

2+ a

)Lkv −

πρUb3

2α.

(4.1)

Velicine Kkv i Mkv su aerodinamicka sila i moment kod kvazistacionarnog modela, α je

brzina promjene napadnog kuta, h brzina promjene progiba krila.

Kao sto se vidi iz strukture jednadzbi, aerodinamicki moment osim komponente zbog

sile uzgona ima i dodatnu komponentu zbog Coriolisove sile izazvane ubrzanjem cestica

fluida.

Kvazi-stacionarni model koristi se kod nadzvucnog strujanja, ali za podzvucne brzine

strujanja model nije dovoljno dobar. Potreban je realniji model koji uzima u obzir da se

promjena vrijednosti aerodinamickih velicina odvija kroz neko vrijeme.

Prema [55] kaze se da je promjena uzgona za otprilike 90% nakon sto krilo, odnosno

aeroprofil, prode duljinu od 15 polutetiva sto se moze vidjeti na slici 4.14.1. Da bi se to

kasnjenje uzgona uzelo u obzir koriste se razni modeli koji na odreden nacin dodaju

promjenjiv clan bilo u ovisnosti o vremenu, frekvenciji ili kojoj drugoj zanimljivoj velicini.

Nestacionarni aerodinamicki modeli obicno se dijele u cetiri skupine [1111].

• Prvo tu su modeli ’k’ vrste. Kod ovih modela, gibanje, tlak itd. mjenjaju se u

skladu s jednostavnim harmonickim gibanjem oblika eikt. Ovakvi modeli tocni su



samo na granici stabilnosti

• Druga skupina su tvz. ’p’ vrste modeli gdje aerodinamicke varijable imaju ekspo-

nencijalno rastuce ili padajuce harmonicke promjene. Ova vrsta modela koristi se

kod analize vlastitih vrijednosti

• Treca skupina su prediktivni modeli gdje se Greenova funkcija koristi s integralom

konvolucije da bi se dobilo zeljeno gibanje

• Cetvrta skupina su tvz. modeli konacnog stanja (finite state models), takvi mod-

eli nemaju izravnu fizikalnu interpretaciju u smislu da se moze tocno odrediti koji

parametri u kojoj mjeri utjecu na sustav te se ne moze sustavno poboljsavati mod-

eliranje pojedinih parametra modela. Ipak, pogodni su jer se aerodinamika moze

zapisati u istom prostoru stanja kao i svojstva konstrukcije odnosno upravljacke

velicine, sto omogucuje jednostavnije modeliranje sustava i koristenje teorije up-

ravljanja u prostoru stanja.

prve tri skupine modela medusobno su ekvivalente u smislu da se jedna vrsta modela

izvesti iz druge koristenjem Laplaceovih ili Fourierovih transformacija.

Slika 4.1: Odziv uzgona na promjenu napadnog kuta krila kod kvazi-stacionarne i nesta-cionarne aerodinamike



4.1 Wagnerov model

Wagnerova funkcija Φ(τ) opisuje nacin rasta uzgona nakon nagle promjene napadnog

kuta. τ je bezdimenzijsko vrijeme τ = 2V t/c, vrijeme normirano vremenom potrebnim

da struja fluida prode polovinu tetive99.

∆L =1

2ρV 2ca1∆αΦ(τ) =

1

2ρV ca1wΦ(τ) (4.2)

pri cemu je w = V sin∆α odnosno zbog pretpostavljene male promjene napadnog kuta

w ≈ V∆α.

Jedan primjer Wagnerove funkcije za nestlacivi fluid je sljedeci

Φ(τ) =

0 ako je τ ≤ 0τ+2τ+4

ako je τ > 0(4.3)

drugi primjer funkcije zapisan u eksponencijalnom obliku je sljedeci

Φ(τ) = 1− 0.165e−0.0455τ − 0.335e−0.300τ (4.4)

funkcija se ponekad tako izrazava zbog mogucnosti koristenja Laplaceovih transformacija

koje onda daju oblik jednadzbe kojim je jednostavnije manipulirati.

Φ(z) =1

z− 0.165

z + 0.0455− 0.335

z + 0.3(4.5)

4.2 Theodorsenov model

Wagnerova funkcija koja je u vremenskoj domeni ne koristi se cesto iz razlog sto nije

potrebno znati kako se funkcija mijenja u vremenu nego kako se ponasa za odredenu

frekvenciju.

Theodorsenov 1010 model razraden je za tanke aeroprofile1111 s malim harmonickim oscilaci-

jama u nestlacivom fluidu. Temelj modela je funkcija C(k) koja modelira fazni pomak

te promjenu amplitude izmedu kvazi-stacionarnih i nestacionarnih aerodinamickih sila

9Polutetiva kao duljina za normiranje se koristi prema USA literaturi. Kod UK literature koristi sekod normiranja cijela tetiva.

10Theodorsen, NACA Report No.496, 193511U teoriji je pretpostavljena ravna ploca, dok je kod eksperimenata koristen NACA 0012 aeroprofil.



odredene reducirane frekvencije i to tako da smanjuje amplitudu i unosi kasnjenje prom-

jene napadnog kuta u odnosu na uzgon. Funkcija je kompleksna, oblik joj je dan jed-

nadzbom 4.64.6, a prikaz slikom 4.34.3.

C(k) = F (k) + iG(k) (4.6)

Slika 4.2: Prikaz realnog i imaginarnog dijela C(k) za razlicite reducirane frekvencije k

Slika 4.3: Dijelovi funkcije C(k), F (k) i G(k) u odnosu na 1/k

Promjena amplitude, odnosno kasnjenje je funkcija frekvencijskog parametra - reduci-

rane frekvencije k. Ovaj parametar govori koliki je broj oscilacija aeroprofil prosao tijekom



vremena potrebnog da struja fluida prijede preko tetive, pomnozeno s brojem π

k =ωb

U. (4.7)

Izvodenje teorije bazirano je na potencijalnom strujanju1212 te Kutta uvjetu1313 te se

izvodom dolazi do jednadzbe

C(k) =

∫ ∞1

x0√x20 − 1

e−ikx0dx0∫ ∞1

x0 + 1√x20 − 1

e−ikx0dx0

. (4.8)

Jednadzba 4.84.8 prepoznata je kao kombinacija Besselovih funkcija drugog reda te se moze

zapisati kao

F (k) =J1(J1 + Y0) + Y1(Y1 − J0)

(J1 + Y0)2 + (Y1 − J0)2

G(k) =Y1Y0 + J1J0

(J1 + Y0)2 + (Y1 − J0)2.

(4.9)

Vrijednosti potrebnih parametara za odredene reducirane frekvencije k dane su tablicom

4.14.1.

k 1/k J0 J1 Y0 Y1 F -G ∞ --- --- --- --- --- 0.5 0 10 0.1 -0.2459 0.0435 0.0557 0.2490 0.5006 0.0120 6 0.16 0.1503 0.2767 -0.2882 -0.1750 0.5018 0.0207 4 0.25 -0.3972 0.0660 -0.0170 0.3979 0.5037 0.0305 2 0.5 0.2239 0.5767 0.5104 -0.1071 0.5129 0.0577 1 1 0.7662 0.4401 0.882 -0.7813 0.5395 0.1003

0.8 1.25 0.8463 0.3688 -0.868 -0.9780 0.5641 0.1105 0.6 1.66 0.9120 0.2867 -0.3085 -1.2604 0.5789 0.1378 0.5 2 0.9385 0.2423 -0.4444 -1.4714 0.6030 0.151 0.4 2.5 0.9604 0.1960 -0.6060 -1.7808 0.6246 0.160 0.3 3.33 0.9770 0.1483 -0.8072 -2.2929 0.6650 0.180 0.2 5 0.9900 0.0995 -1.0810 -3.3235 0.7276 0.188 0.1 10 0.9975 0.0499 -1.5342 -7.0317 0.8457 0.1020

0.05 20 --- --- --- --- 0.911 0.132 0.025 40 --- --- --- --- 0.905 0.090

0 ∞ --- --- --- --- 1 0

Tablica 4.1: Vrijednosti Besselovih funkcija J0, J1, Y0, Y1 za odredene k [1010]

12Strujanje se smatra nestlacivim i neviskoznim13Na izlaznoj ivici nema beskonacnih brzina



rezultati cega je prikazan na slici 4.34.3. Neke od aproksimacija C(k) funkcije su

C(k) = 1− 0.165

1− 0.045ki− 0.335

1− 0.30ki, k ≤ 0.5

C(k) = 1− 0.165

1− 0.041ki− 0.335

1− 0.32ki, k > 0.5

(4.10)

C(k) = 1− πk

2+ ik ln

k

2+ 0.5772 0.01 ≤ k ≤ 0.1 (4.11)

C(k) =0.01365 + 0.2808ik − k2

2

0.01365 + 0.345ik + k2(4.12)

Funkcije naravno imaju svojstvo da za k = 0 vrijedi F = 1 i G = 0 odnosno C(k) = 1,

dakle svojstva kvazi-stacionarne aerodinamike tj. promjene su trenutacne.

Prema Theodorsenovoj teoriji uzgon i moment sastoje se od cirkularnih i ne-cirkularnih

clanova Cirkularni clanovi uzgona i momenta javljaju se zbog vrtloznosti struje fluida, dok

su ne-cirkularni clanovi sile zbog “prividne masa” tj. sila nastala zbog zbog ubrzavanja

fluida koji ubrzava zajedno s aeroprofilom. Izrazi koji uz sebe imaju C(k) su cirkularni i

kroz njih se uvodi kasnjenje odnosno smanjivanje amplitude aerodinamicke sile.

L = 2πρ∞UbC(k)

[h+ Uθ + b

(1

2− a)θ

]+ πρ∞b

2(h+ Uθ − baθ)

M1/4 = −πρ∞b3[

1

2h+ Uθ + b

(1

8− a

2

)θ

].

(4.13)

Pomocu Theodorsenove teorije za jednostavno harmonicko gibanje moze se izraziti efek-

tivni napadni kut na sljedeci nacin

α = C(k)

[θ +

h

U+b

U

(1

2− a)θ

](4.14)

pri cemu se napadni kut mjeri na 3/4 tetive.



4.3 Petersov model

Model je se primjenjuje kada je potrebno izracunati modalno prigusenje za subkriticne1414

uvjete leta, zatim je zanimljiv kod aktivnog upravljanja aeroelasticnim sustavom u svrhu

odgode pojave nestabilnosti iz razloga sto je sustav moguce zapisati u obliku prostora

stanja sto je dalje pogodno za koristenje u teoriji upravljanja [22].

Prednosti ovakvog modela [1111] je mogucnost zapisa jednadzbi u prostoru stanja koje su

tako komplementarne jednadzbama strukrure odnosno upravljanja, zatim fleksibilnost da

se model izrazi u vremenskoj, frekvencijskoj ili Laplaceovoj domeni. Nedostatak modela je

to sto nema direktnu fizikalnu interpretaciju, sto onda onemogucuje daljnje poboljsavanje

odredenih manjkavih clanova.

Model aeroprofila je prema slici 3.23.2 uz dodatno sliku 4.44.4 koja daje odnose jedinicnih

vektora, vektora uzgona i relativnog vjetra.

Polje brzina u blizini aeroprofila, da bi se simuliralo vrtloge koji izlaze s krila, sastoji se

od dvije komponente. Brzine slobodne struje i komponente koja uzima u obzir induciranu

brzinu. Lokalna inercijalna brzina1515 blizu aeroprofila moze se zapisati kao −U i1 − λ0b2,

gdje λ0 predstavlja prosjecni induciranu brzinu (okomita na liniju nultog uzgona). Ova

brzina u kombinaciji s brzinom struje fluida na 3/4 tetive daje vektor relativne brzine

vjetra

W a1 = vT + U i1 + λ0b2 (4.15)

Slika 4.4: Prikaz geometrije aeroprofila sa smjerovima uzgona, relativnog vjetra

14Subkriticne u odnosu na brzinu aeroelasticne nestabilnosti15Inducirana brzina se mijenja u polju brzina, a aproksimira se kao prosjek duz tetive



gdje je vT inercijalna brzina na 3/4 tetive. Daljnjim razvijanjem odnosa dolazi se do

izraza 4.164.16 za, uz pretpostavku malih napadnih kuteva, efektivni napadni kut temeljen

na relativnoj brzini kod 3/4 tetive, koji ovisi o vrijednosti λ0 (inducirani tok) duz tetive,

brzini mahanja, brzini propinjanja aeroprofila itd

α = θ +h

U+b

U

(1

2− a)θ − λ0

U. (4.16)

Izrazi za ukupni uzgon i moment su sljedeci

L = πρ∞b2(h+ Uθ − baθ) + 2πρ∞UB

[hUθ + b

(1

2− a)θ − λ0

]M1/4 = −πρ∞b3

[1

2h+ Uθ + b

(1

8− a

2

)θ

].

(4.17)

Jedadzbe 4.174.17 slicne su jednadzbama 4.134.13. Temeljna razlika je u clanu λ0, induciranom

toku koji treba biti prikazan kao funkcija gibanja aeroprofila. Petersova teorija daje

prosjecnu brzinu induciranog toga λ0 u obliku N stanja induciranih stanja tokova λ1,

λ2,...,λN i to kao

λ0 =1

2

N∑n=1

bnλn (4.18)

gdje se bn odreduje pomocu

bn = (−1)n−1(N + n− 1)!

(N − n− 1)!

1

(n!)2n 6= N

bn = (−1)n−1 n = N

(4.19)



5 PREGLED POSTUPAKA ZA

ODREDIVANJE GRANICE STA-

BILNOSTI

5.1 Routh-Hurwitz metoda

Opcu jednadzbu 3.123.12 za aeroelasticni sustav s dva stupnja slobode gibanja mozemo za-

pisati na sljedeci nacin[a11 a12

a21 a22

]q1

q2

+ V

[b11 b12

b21 b22

]+ V 2

([b11 b12

b21 b22

]+

[e11 0

0 e22

])q1

q2

=

0

0

(5.1)

uz pretpostavku rjesenja u obliku qi = qi0eλt gdje su qi poopcene koordinate propinjanja

i progiba te zamjene

e11 = xV 2

e22 = µxV 2(5.2)

moze se dobiti determinanta jednadzbe 5.15.1

∣∣∣∣∣a11λ2 + b11V λ+ (c11 + x)V 2 a12λ2 + b12V λ+ c12V

2

a21λ2 + b21V λ+ c21V

2 a22λ2 + b22V λ+ (c22 + µx)V 2

∣∣∣∣∣ = 0. (5.3)

Rjesavanjem dobivene determinante dobije se sljedeci polinom cetvrtog stupnja gdje su

f0,...,f0, funkcije parametara iz jednadze 5.35.3

f4λ4 + f3λ

3 + f2λ2 + f1λ+ f0 = 0 (5.4)

Primjenjujuci Routh-Hurwitzov kriterij na jednadzbu 5.45.4 dobijemo uvjet stabilnosti koji

glasi

f1f2f3 − f4f 21 − f0b23 > 0. (5.5)

Ukoliko su poznati koeficijenti iz jednadzbe 5.15.1 moguce je odrediti kriticnu brzinu pri

kojoj se javlja flutter. Procedura je da se clanovi fi iz 5.45.4 uvrste u jednadzbu 5.55.5 te dobije

jednadzba

(f4q21− f3q1p1 + f 2

3 r2)x2 + (2f4q1q0− f3q0p1− f3q1p2 + f 2

3 r1)x+ (f4q20− f3q0p2 + f 2

3 r0) = 0.

(5.6)



Rezultat su dvije vrijednosti x koje se onda uvrste u jednadzbe 5.25.2 te dobiju dvije brzine.

Manje brzina je kriticna. Ovaj nacin koristi se kad je aerodinamika neovisna o frekvenciji.

Jednadzba 5.45.4 jednaka je jednadzbi 2.32.3. Prema tome ovo je model koristen 1916. prilikom

istrage nesrece zrakoplova Handley Page 0-400 spomenute u uvodnom poglavlju ovog

rada.

5.2 Konus fluttera

Pretpostavimo li rjesenje jednadzbe 3.123.12 u obliku q = q0eiωt dobije se netrivijalno rjesenje

oblika ∣∣∣Aω2 + iωρVB + ρV 2C + E∣∣∣ = 0 (5.7)

determinanta sustava s dva stupnja slobode gibanja moze se zapisati na sljedeci nacin

∣∣∣∣∣−a11ω2 + iωV b11 + V 2c11 + e11 −a12ω2 + iωV b12 + V 2c12

−a21ω2 + iωV b21 + V 2c21 −a22ω2 + iωV b22 + V 2c22 + e22

∣∣∣∣∣ = 0 (5.8)

rjesavanjem determinante mogu se dobiti dvije komponente, realni dio kao polinom cetvrtog

stupnja oblika,

r1ω4 + r2V

2ω2 + r3V4 + r4ω2 + r5V

2 + r6 = 0 (5.9)

ova jednadzba predstavlja oblik konusa ako se kao koordinatne osi koriste kvadrati

frekvencije odnosno brzine. Analogno tome imaginarni dio determinante je linearna kom-

binacija brzine i frekvencije oblika

s1ω2 + s2V

2 + s3 = 0 (5.10)

Gdje su r0,...,r4 i s0,...,s4 funkcije parametara iz jednadzbe 5.85.8. Jednadzbe 5.95.9 i 5.105.10 se

mogu prikazati u dijagramu kao na slici 5.15.1. Konusni dio predstavlja realni dio rjesenja, a

pravac imaginarni. Tocke presjeka te dvije funkcije predstavljaju kvadrat brzine odnosno

frekvencije fluttera.

Osim brzine fluttera na prikazanom dijagramu, moze se ocitati i brzina divergencije.

Brzina divergencije nalazi se na mjestu gdje konus presjeca os ω = 0. Ova metoda nije

pogodna za sustave s vise od dva stupnja slobode gibanja zbog neprikladnosti prikaza.



Slika 5.1: Prikaz odredivanja brzine fluttera metodom konusa za sustav s dva stupnjaslobode gibanja

5.3 p metoda

Jednadzbe gibanja aeroelasticnog sustava za 2 stupnja slobode gibanja mozemo zapisati

kao u 3.113.11[mb2 mb2xθ

mb2xθ Ip

]hb

θ

+

[mb2ω2

h 2πρ∞b2U2

0 Ipω2θ − 2

(12

+ a)πρ∞b

2U2

]hb

θ

=

0

0

. (5.11)

Ako kao rjesenje jednadzbe pretpostavimo eksponencijalnu jednostavnu harmonicku funkciju

oblika h = h exp(νt) i θ = θ exp(νt) dobijemo sljedecu jednadzbu

[mb2ν2 +mb2ω2

h mb2ν2xθ + 2πρ∞b2U2

mb2ν2xθ Ipω2θ + Ipν

2 − 2(a+ 1

2πρb2U2)

]hb

θ

=

0

0

. (5.12)

Da bi se jednadzba pojednostavila uvode se sljedece, vec prije spomenute bezdimenzijske

velicine

r2 =Ipmb2

σ =ωhωθ

µ =m

ρπb2V =

U

bωθ

(5.13)



uz bezdimenzijski parametar ν = pU/b te dobije

[p2 + σ2

V 2 xθp2 + 2

µ

xθp2 r2p2 + r2

V 2 − 2µ

(a+ 1

2

)]hb

θ

(5.14)

da bi jednadzba 5.145.14 imala netrivijalno rjesenje, determinanta bezdimenzijski parametara

mora biti jednaka nuli. Rjesenje determinante su dva para konjugirano kompleksnih

brojeva koje mozemo ako ih pomnozimo s reduciranom brzinom V = U/bωθ zapisati kao

V p1 =b

U(Γ1 ± iΩ1)

U

bωθ=

Γ1

ωθ± iΩ1

ωθ

V p2 =b

U(Γ2 ± iΩ2)

U

bωθ=

Γ2

ωθ± iΩ2

ωθ.

(5.15)

Uvrstavanjem razlicitih brzina, odnosno reduciranih brzina V te rjesavanjem determinante

jednadzbe 5.145.14 dobijemo skup konjugirano kompleksnih brojeva iz kojih onda mozemo

odrediti kada prigusenje postaje negativno odnosno javlja se nestabilnost. Prikazane

jednadzbe radi jednostavnosti prikaza dane su za kvazi-stacionarnu aerodinamiku, ipak

da bi metoda bila korisna aerodinamicki model mora biti nestacionaran.

Opcenita jednadzba moze se zapisati kao

∣∣∣p2[M ] + b2

U2 [M ][ω2]− ρ∞[A(p)]∣∣∣ = 0 (5.16)

gdje se clanom [A(p)] modelira aerodinamika, a zove se matrica koeficijenata aerodi-

namickih utjecaja (aerodynamics-influence coefficients,AICs)

5.4 k metoda

Ovom metodom u jednadzbe se uvodi clan koji modelira prigusenje konstrukcije (g). Ti-

jekom eksperimenata vidjelo se da je izdvojena energija po ciklusu tijekom jednostavnog

harmonickog gibanja otprilike proporcionalna kvadratu amplitude, a nezavisna od frekven-

cije. Ovakvo ponasanje u jednadzbe se uvodi preko dodatne sile koja je proporcionalna

pomaku, ali u fazi s brzinom u obliku jednostavne harmonijske funkcije na sljedeci nacin

m(h+ bxθθ) + khh = −L+Dh

Ipθ +mbxθh+ kθθ = M +Dθ

(5.17)



clanovi Dh i Dθ kojima se modelira prigusenje konstrukcije sljedeceg su oblika

Dh = Dh exp(iωt) = −ighmω2hh exp(iωt)

Dθ = Dθ exp(iωt) = −igθIpω2θθ exp(iωt)

(5.18)

ako se jednadzbe 5.185.18 uvrste u jednadzbe gibanja uz pretpostavku jednostavnog har-

monickog gibanja dobiju se sljedece jednadzbe.

µ

[1−

(ωhω

)2(1 + igh)

]+ lh

h

b+ (µxθ + lθ)θ = 0

(µxθ +mθ)h

b+ µr2

[1−

(ωθω

)2(1 + igθ)

]+mθ θ = 0

(5.19)

Dalje se pretpostavlja da su prigusenja zajedno s frekvencijom nepoznanice te se uvodi

varijabla

Z =(ωθω

)2(1 + ig) (5.20)

naposljetku dobijemo determinantu sustava koja se rjesava u potrazi za nepoznanicom Z

∣∣∣∣∣µ(1− σ2Z) + lh µxθ + lθ

µxθ +mh µr2(1− Z) +mθ

∣∣∣∣∣ = 0 (5.21)

rjesenje determinante bit ce polinom cetvrtog stupnja tj. rezultat ce biti dva para brojeva

(ω1, g1) i (ω2, g2).

Tocka u kojoj su koeficijenti prigusenja jednaki nuli je tocka fluttera za koju se onda

odredi brzina pri kojoj se nestabilnost javlja. Bitno je napomenuti da koeficijenti prigusenja

nisu stvarni, vec predstavljaju potrebne koeficijente da bi gibanje bilo jednostavno har-

monicko za odredene ω frekvencije sto je ujedno i manjkavost ove metode.

5.5 p-k metoda

Matematicki k metoda je oslabljena iz dva razloga. Prvo jer se trazi jednostavno har-

monicko gibanje i drugo zbog uvodenja prigusenja koje nije stvarno. Zbog tih razloga

k-metoda moze rezultirati netocnim rezultatima [22] za vrijednosti prigusenja g razlicite od

nule, odnosno k-metoda dovoljno je tocna samo na granici fluttera, ne mora biti u okol-

nom podrucju potkriticnom podrucju gdje dobiveno prigusenje samo predstavlja potrebno

prigusenje da gibanje bude harmonijsko.

Ukoliko se koristi aerodinamicka teorija koja precizno modelira nestacionarnost, p



metoda dobro predvida pojavu aeroelasticne nestabilnosti ali je racunalno zahtjevnija

zbog potrebe za slozenijom aerodinamikom.

Kompromisno rjesenje je p-k metoda temeljena na analizi kao kod p metode bez uvodenja

umjetnog prigusenja dok se za aerodinamiku koristi jednostavno harmonicko gibanje kao i

kod k metode. Ovom metodom moguce je dobiti dobre vrijednosti rezultata za prigusenje

i brzinu pri kojoj se javlja nestabilnost.

Numericki metoda se sastoji u sljedecem. Cilj je dobiti vrijednosti p iz jednadzbe

∣∣∣p2[M ] + b2

U2 [M ][ω2]− ρ∞[A(p)]∣∣∣ = 0 (5.22)

ali metoda pretpostavlja da je aerodinamika kao kod k metode te se determinanta moze

zapisati kao

∣∣∣p2[M ] + b2

U2 [M ][ω2]− ρ∞[A(ik)]∣∣∣ = 0. (5.23)

Uvrstavanjem pocetne reducirane frekvencije k0 jednadzba 5.235.23 se moze rjesiti za p.

Rezultat je uobicajeno par kompleksno-konjugiranih korjena, p = γk± ik gdje je γ omjer

smanjivanja amplituda, a k reducirana frekvencija

γ =1

2πlnam+1

am. (5.24)

Odabirom jednog od rezultata npr.

k1 =∣∣∣=(p)

∣∣∣ γ1 =<(p)

k1(5.25)

mozemo izracunati matricu [A(ik1)] pomocu koje onda moze izracunati nove vrijednosti

p koje konvergiraju. Negativan γ mjera je prigusenja.

5.6 g metoda

Kod g metode [1212] modelira se prigusenje uvodenjem prigusenja clanom prvog reda Tay-

lorovog niza u ovisnosti o reduciranoj frekvenciji k i prigusenju g

A(p) ≈ A(ik) + gA′(ik) (5.26)



clanovi A(p) su clanovi aerodinamicke matrice, a opcenito se jednadzba aeroelasticnog

sustava moze zapisati kao[(V

L

)2

Mp2 +K − 1

2ρV 2A(ik)

]q = 0. (5.27)

Ako se umjesto clana A(ik) uvrsti jednadzba 5.265.26 dobijemo prosireni oblik jednadzbe

aeroelasticnog sustava[V 2

L2Mp2 +K − 1

2ρV 2A′(ik)g − 1

2ρV 2A(ik)

]q = 0. (5.28)

Vrijednost A(ik) se moze razviti u Taylorov red oko ik = 0 sto daje

Q(ik) = A(0) + ikA′(0) +1

2(ik)2Q′′(0) + . . . (5.29)

Kod g metode za model se uzima samo prvi clan. Ako u jednadzbu 5.285.28 uvrstimo p = g+ik

dobije se jednadzba

[g2A+ gB + C]q = 0 (5.30)

gdje su

A =

(V

L

)2

M

B = 2ik

(V

L

)2

M − 1

2ρV 2A′(ik) +

(V

L

)Z

C = −k2(V

L

)2

+ k − 1

2ρV 2A(ik) + ik

(V

L

)Z.

(5.31)

Jednadzba 5.305.30 moze se napisati u obliku prostora stanja

[D − gI]X = 0 (5.32)

sto se dalje rjesava trazenjem da je =(g) = 0 za razlicite reducirane frekvencije k. Za taj

g onda se dobije frekvencija ωf nestabilnosti.

Koristi se i poboljsana ’g’ metoda, prema [1313] koja iz jednadzbe 5.295.29 koristi dva clana,

dakle ’g’ metoda drugog reda. Ukoliko se za modeliranje aerodinamickog prigusenja g

koristi model drugog reda, tada se jednadzba aeroelasticnog sustava moze zapisati kao

[g2A′ + gB + C]q = 0 (5.33)



A′ =

(V

L

)2

M − 1

4ρV 2A′′(ik)

B = 2ik

(V

L

)2

M − 1

2ρV 2A′(ik) +

(V

L

)Z

C = −k2(V

L

)2

+ k − 1

2ρV 2A(ik) + ik

(V

L

)Z

(5.34)

u jednadzbi 5.345.34 vidi se da A′ ima dodatni clan −1/4ρV 2Q′′(ik) koji je posljedica uzimanja

drugog clana Taylorovog reda iz 5.295.29. Jednadzba 5.335.33 moze se analogno 5.325.32 zapisati kao

[D′ − gI]X = 0 (5.35)

koja se onda iterativno rjesava za odredene reducirane frekvencije.

5.7 Usporedba opisanih metoda

5.7.1 Industrijski koristene metode

Da bi se prikazale slicnosti i razlike opisanih metoda na jednom mjestu, moze se krenuti

od jednadzbe [p2[M ] +

b2

U2[M ][ω2]− ρ∞[A(p)]

]ξ = 0 (5.36)

gdje su ξ amplitude poopcene koordinate jednostavne eksponencijalne funkcije ξi(t) =

ξi exp(νt). Rjesenje jednadzbe 5.365.36 u smislu p dobije se ako je determinanta jednadzbe

jednaka nuli, odnosno ∣∣∣p2[M ] + b2

U2 [M ][ω2]− ρ∞[A(p)]∣∣∣ = 0. (5.37)

Rezultat determinante obicno je kompleksno konjugirani broj u obliku p = γk ± ik.

Tako rjesena jednadzba je analiticko rjesenje sustava s n stupnjeva slobode, elementi

cega se nalaze unutar matrice M i A(p). Ovakav sustav, kad je primijenjena slozena

nestacionarna aerodinamika, numericki je zahtjevan za rjesavanje pa se sustav na odredene

nacine pojednostavljuje pritom zadrzavajuci zadovoljavajucu tocnost.

Prvo tu je smanjivanje broja stupnjeva slobode, zatim pojednostavljenje nestacionarnog

modela aerodinamike, zatim na razlicit, pojednostavljen, nacin predstavljanje ostalih var-

ijabli. Gore opisane metode koje koristeci ove nacine pojednostavljuju nalazenje rjesenja

sustava 5.375.37 su ’k’, zatim ’p-k’ te ’g’ metoda. U nastavku su ukratko objasnjene razlike,

prednosti i nedostaci danih modela.



Kod ’k’ metode u jednadzbu 5.375.37 uvrstava se pojednostavljenje parametra p na nacin

da se kaze p = ik sto uvrsteno u 5.375.37 dovodi do sljedece determinante

∣∣∣−k2[M ] + b2

U2 [M ][ω2]− ρ∞[A(ik)]∣∣∣ = 0 (5.38)

koja sada ovisi samo o reduciranoj frekvenciji k koje uvrstavamo i rjesavamo determinantu

dobivsi rjesenje oblika

Z =

(b2

U2

)(1 + ig). (5.39)

Kada aerodinamicko prigusenje, odnosno imaginarni dio rjesenja postane jednak nuli, to je

granica stabilnosti. To je onda i uvjet iz kojeg mozemo dobiti brzinu odnosno frekvenciju

fluttera.

Ova metoda ima nedostatak jer nuzno koristi jednostavno harmonijsko gibanje, daljnji

nedostatak je umjetno prigusenje u smislu da je vrijednost g tocna samo na granici sta-

bilnosti, kad je g = 0. Ostale vrijednosti g predstavljaju samo potrebno prigusenje da

bi gibanje bilo jednostavno harmonicko. Prema tome, ova metoda, ne mora davati tocne

rezultate za potkriticno podrucje. Prednost metode je brzina racunanja. Nedostatak je

to sto se ne mozemo pouzdati u potkriticno ponasanje konstrukcije.

Kod ’p-k’ metode kompromis je sljedeci. Koristi se ’p’ metoda u obliku kako se to koristi

u jednadzbi 5.365.36, ali se za dobivanje aerodinamickih koeficijenata A(p) koristi jednostavno

harmonicko gibanje kao i kod k metode sto se smatra dovoljno dobrim. Matrica aerodi-

namickih utjecaja, ovisna je samo o reduciranoj frekvenciji. Ovim pristupom jednadzba

gibanja postaje ∣∣∣p2[M ] + b2

U2 [M ][ω2]− ρ∞[A(ik)]∣∣∣ = 0. (5.40)

Jednadzba se rjesava na nacin da pretpostavimo neku reduciranu frekvenciju k pomocu

koje dobijemo matricu aerodinamickih koeficijenata A(ik), dalje izracunamo jednadzbu u

smislu varijable p kako je to i kod p metode od kuda dobijemo novu reducirano frekven-

ciju, koju koristimo za dobivanje nove aerodinamicke matrice i tako iteriramo sve dok

imaginarni dio rjesenja jednadzbe ne postane jednak nuli.

Prednost ove metode je u tome sto se zadrzavaju prednosti ’p’ metode, jednadzba

gibanja oslabljena je samo u aerodinamickom clanu i to na nacin da se zadrzi jednostavno

harmonicko gibanje sto kao posljedicu ima manju numericku slozenost od ’p’ metode, ali

vecu tocnost nego ’k’ metoda. Dodatna prednost metode je da vrijedi za mala prigusenja,

a ne samo na granici stabilnosti.

Daljnje poboljsavanje ’k’ odnosno ’p-k’ metode je ’g’ metoda. Metoda i dalje kao

aerodinamicki clan koristi jednostavno harmonijsko gibanje ovisan samo o reduciranoj

frekvenciji A(ik), ali se ta ista matrica koristi i za modeliranje prigusenja g i to na sljedeci



nacin, prema [1212]

A(p) = A(ik) + gA′(ik). (5.41)

Matrica je prosirena dodatnim clanom koji modelira prigusenje. Ovako modelirana jed-

nadzba gibanja omogucuje racunanje za cijelu domenu reduciranih frekvencija k uz mod-

eliranje prigusenja linearnim clanom.

Daljnje poboljsanje ’g’ metode je uvodenje modeliranja prigusenja clanom drugog reda

[1313], kad matrica aerodinamickih utjecaja postaje

A(p) = A(ik) + g′(ik) +1

2g2A′′(ik) (5.42)

Poboljsanje ove metode je u boljem modeliranju prigusenja dodatnim clanom drugog reda.

Clanovi A′(ik) i A′′(ik) predstavljaju derivacije aerodinamicke matrice A(ik)

A′(ik) =dA(ik)

d(ik)

A′′(ik) =d2A(ik)

d(ik)2.

(5.43)

5.7.2 Industrijski manje bitne metode

Routh-Hurwitzova metoda prikazana je kao temeljna metoda pomocu koje se pocelo s

analizom pojave aeroelasticne stabilnosti konstrukcija i kao takva ne primjenjuju se kod

moderne analize aeroelasticnih konstrukcija. Ruth-Hurwitzova i metoda konusa zahtije-

vaju, da bi bile jednostavne za izracun, da clanovi vezani za aerodinamiku budu nezavisni

od frekvencije kojom sustav oscilira.

Obje metode koriste se za mali broj stupnjeva slobode jer s malim brojem stupnjeva

slobode gibanja pogodne su za rucni izracun odnosno prikaz. Ruth-Hurwitzova metoda

koristena je prilikom prve sluzbene analize zrakoplovne nesrece uzrokovane aeroelasticnom

nestabilnosti, 1916. godine.

Metoda konusa kao primarno graficka metoda korisna je za sustave s do dva stup-

nja slobode gibanja, kada je graficki prikaz dovoljno jednostavan za ucrtavanje odnosno

ucitavanje vrijednosti za koje se javlja nestabilnost. Kako je metoda graficka, odmah se

moze ocitati i vrijednost brzine kod koje se javlja divergencija, a to je mjesto gdje konus

sjece os ω = 0.



6 IMPLEMENTACIJA

ODABRANIH METODA

Rad u skladu sa zadatkom sadrzi programirane dvije metode pomocu kojih se odreduje

granica aeroelasticne stabilnosti konstrukcije i to ’p’ i ’k’ metodu. Za svaku od metoda

upotrebljena je kvazistacionarna i nestacionarna aerodinamika. Za odredene karakter-

isticne slucajeve zatim je odredena granica aeroelasticne stabilnosti u odnosu na jedan

od bezdimenzijskih parametara. Koristeni parametri za prikaz granice stabilnosti su σ,

bezdimenzijski parametar nespregnutih frekvencija mahanja i propinjanja te bezdimenzi-

jski parametar mase µ u odnosu na bezdimenzijsku brzinu pri kojoj se javlja aeroelasticna

nestabilnost UF .

6.0.3 Komentar na postupak trazenja rjesenja odabranim metodama

Racunanjem aeroelasticne stabilnosti ovim metodama u nacelu je neprecizno osim iz ra-

zloga svojstvenih samim metodama takoder i zbog toga sto su rjesenja dosta osjetljiva na

promjenu parametara sustava za koji se racuna. Osjetljivost proizlazi iz nacina na koji

se traze rjesenja. U obje metode nacin trazenja rjesenja u nacelu je isti, a sastoji se u

sljedecem.

Za odredena svojstva sustava poput: σ, µ, r2, xθ uz odabranu vrijednosti reducirane

frekvencije k izracuna se determinanta sustava, zatim se odrede korjeni te determinante i

dobiju rjesenja u obliku kompleksnih brojeva koji se spremaju u matricu i poslije koriste

za odredivanje brzine pri kojoj se javlja nestabilnost. Postupak se ponavlja za cijeli zeljeni

raspon reduciranih frekvencija. Granica stabilnosti odreduje se tako se trazi broj kojem

je imaginarni dio jednak nuli. Zbog ogranicenog koraka racunanja potrebno je odrediti

toleranciju razlike imaginarnog dijela rjesenja od nule.

Postojanje tolerancije jedan je od razloga nepreciznost, dok je drugi razlog velicina

koraka reduciranih frekvencija za koje se odreduje rjesenje. Zbog ogranicene racunalne

snage potrebno je da korak bude relativno velik, a onda nakon sto se priblizi rjesenju,

potrebno je u suzenom rasponu gdje se rjesenje nalazi usitniti korak kako bi racunanje jos

uvijek bilo vremenski dovoljno kratko za potrebe ovog rada.

Moguce je koristiti interpolaciju izmedu dva bliska broja, ali provjerom se doslo do za-

kljucka da nije dobro koristiti interpolaciju izmedu dvije vrijednosti bliske nuli u potrazi

za tocnijim rjesenjem jer za odredene slucajeve sa dodatnim usitnjavanjem koraka reduci-

rane frekvencije pokazalo se da rezultat interpolacije moze dovesti do vece greske rjesenja

od onog dobivenog krupnijim korakom reduciranih frekvencija. Razlog tome je sto prostor



izmedu dvije reducirane frekvencije nije uvijek dobro opisan krivljom istog reda. Nekada

je bolji polinom drugog stupnja nekada treceg itd. Razlike rezultata na taj nacin odredene

reducirane frekvencije pri kojoj dolazi do nestabilnosti, odnosno imaginarni dio rjesenja

postaje jednak nuli takve su da ovakav nacin trazenja nije povoljniji.

6.0.4 Karakteristicni oblik krivulja aeroelasticnog sustava

Radi cjelovitosti dan je tipican izgled krivulja kod kvazistacionarne i nestacionarne aero-

dinamike. Prvo je prikazana krivulja frekvencije odnosno prigusenja u odnosu na bezdi-

menzijsku brzinu fluttera dobivene ’p metodom’ i kvazi-stacionarnom aerodinamikom, a

onda ’k’ metodom i nestacionarnom aerodinamikom.

Slika 6.1: Prikaz odnosa bezdimenzijske brzine i frekvencije kod ’p’ metode i kvazista-cionarne aerodinamike



Slika 6.2: Prikaz odnosa bezdimenzijske brzine i prigusenja kod ’p’ metode i kvazista-cionarne aerodinamike

Na slici 6.16.1 se vidi da kod kvazi-stacionarne aerodinamike frekvencije dva moda gibanja

povecavanjem brzine se priblizavaju do tocke kada postanu jednake sto odgovara kao sto je

vidljivo na slici 6.26.2 tocki gdje dolazi do pojave pozitivnog prigusenja odnosno aeroelasticne

nestabilnosti.

Slika 6.3: Prikaz odnosa bezdimenzijske brzine i frekvencije kod ’k’ metode i nestacionarneTheodorsenove aerodinamike



Slika 6.4: Prikaz odnosa bezdimenzijske brzine i prigusenja kod ’k’ metode i nestacionarneTheodorsenove aerodinamike

Kad je u model sustava ukljucena nastacionarna aerodinamika, tipicno ne dolazi do

priblizavanja dviju frekvencija, ali prigusenje u nekom trenutku povecanjem brzine postaje

vece od nule, odnosno dolazi do pojave aeroelasticne nestabilnosti.



7 KARAKTERISTICNI PRIMJER

ANALIZE

Kod analize granice stabilnost kao karakteristicni primjer uzet je sustav sa sljedecim

znacajkama. e = −1/10, a = −1/5, r2 = 6/25. Velicine µ, σ i xθ koristene su pri

analizi kao promjenjivi parametri. Provedene su dvije vrste analize granice stabilnosti

sustava. Kod prve na ordinati je bezdimenzijska brzina fluttera, a na apscisi bezdimenzi-

jski parametar mase. Druga analiza granice stabilnosti sustava na ordinati sadrzi takoder

bezdimenzijsku brzinu fluttera, a na apscisi bezdimenzijski parametar σ koji predstavlja

omjer nespregnutih frekvencija progiba i nagiba krila.

7.1 Rezultati granice stabilnosti odnosa bezdimenzijska brzina

fluttera, bezdimenzijska masa

Analiza je pokazala da bez obzira na koristenu metodu izracuna granica stabilnosti sustava

povecava se s porastom bezdimenzijske mase, takoder vidljivo je da se granica priblizno

linearno povecava s povecanjem bezdimenzijske mase. Ovi trendovi u skladu su s prim-

jerima iz literature.

Ovakav rezultat moze se interpretirati na dva nacina. Prvo, bezdimenzijska masa defini-

rana je kao µ = m/πρ∞b2 te se moze reci da se promjenom visine smanjuje gustoca

okolnog zraka sto rezultira povecanjem bezdimenzijske mase iz cega slijedi da je konstruk-

cija podloznija aerodinamickoj nestabilnosti na manjim visinama. Druga interpretacija,

za konstantu visinu leta, je vezana za tip zrakoplova. Iz tablice 7.17.1 prema [55] dane su

tipicne vrijednosti bezdimenzijske mase. Zrakoplovi s vecom vrijednosti bezdimenzijske

mase sigurniji su u odnosu na pojavu aeroelasticne nestabilnosti.

Vrsta letjelice µ = m/πρ∞b2

Jedrilice i ultralaki 5-15

Opce zrakoplovstvo 10-20

Komercijalni putnicki 15-30

Borbeni zrakolovi 25-55

Helikopterske lopatice 65-110

Tablica 7.1: Tipicne vrijednosti bezdimenzijske mase za razlicite vrste letjelica



Slika 7.1: Odnos bezdimenzijske brzine fluttera i bezdimenzijskog masenog omjera zakvazistacionarnu aerodinamiku i ’p’ metoda

Slika 7.2: Odnos bezdimenzijske brzine fluttera i bezdimenzijskog masenog omjera zakvazistacionarnu aerodinamiku i ’k’ metoda



Slika 7.3: Odnos bezdimenzijske brzine fluttera i bezdimenzijskog masenog omjera zanestacionarnu aerodinamiku i ’k’ metoda

7.2 Rezultati granice stabilnosti odnosa bezdimenzijska brzina

fluttera, omjer nespregnutih frekvencija sustava

Slika 7.4: Odnos bezdimenzijske brzine fluttera i omjera nespregnutih frekvencija zakvazistacionarnu aerodinamiku i ’p’ metodu



Slika 7.5: Odnos bezdimenzijske brzine fluttera i omjera nespregnutih frekvencija za nesta-cionarnu aerodinamiku i ’k’ metodu

Pri ovoj analizi trazena je granica stabilnosti u odnosu na omjer nespregnutih frekvencija

σ. Rezultati pokazuju da povecanjem omjera dolazi do smanjenja granice stabilnosti

sustava, sto je u skladu s ocekivanjima iz literature. Takoder moze se vidjeti da za

odredenu vrijednost parametra staticke ravnoteze moze doci do brzeg pada vrijednosti

brzine pri kojoj dolazi do nestabilnosti. Ovakvo ponasanje granice stabilnosti razlog je

da se kod projektiranja uzgonske povrsine treba posebno obratiti paznja gdje se nalazi

teziste krila u odnosu na aerodinamicki centar.



8 ZAKLJUCAK

U radu su analizirane pojave koje se mogu javiti kod aeroelasticnih konstrukcija tj. kon-

strukcija istovremeno opterecenih aerodinamickim, elasticnim i inercijskim silama. U

odredenim uvjetima spomenute sile mogu se nepovoljno spregnuti sto dovodi do pojave

nestabilnih gibanja konstrukcije sto u konacnici dovodi do ostecenja konstrukcije. Jedna

od aeroelasticnih nestabilnosti je tvz. flutter kojim se ovaj rad posebno bavi.

Prvi dio rada donosi opceniti uvod u aeroelasticne nestabilnosti koje se mogu javiti te

nacini ispitivanja odnosno sprjecavanja pojave aeroelasticne nestabilnosti konstrukcije.

Drugim dijelom rada formuliraju se jednadzbe sustava s dva stupnja slobode gibanja,

zatim se opisuju aerodinamicki modeli kojima se opisuje nacin djelovanja aerodinamickih

sila na konstrukciju. Nakon cega se daje pregled metoda kojima je moguce odrediti granice

stabilnosti aeroelasticnog sustava. Opisano je sest metoda od kojih dvije vise povijesnog

karaktera, a cetiri su industrijski koristene metode.

Zadnjim dijelom rada implementiraju se dvije metode ’p’ i ’k’ metoda i primjenjuju

za odredene karakteristicne velicine sustava. Varijacijom odredenih parametara dana

su dva nacina karakterizacije granice dinamicke stabilnosti aeroelasticnog sustava. Prvo

da se prati promjena bezdimenzijske brzine fluttera u odnosu na bezdimenzijski masu, a

zatim da se prati promjena bezdimenzijske brzine fluttera u odnosu na omjer nespregnutih

frekvencija gibanja sustava.

Implementacija metoda nije u potpunosti uspjela. Dobiveni rezultati pokazuju trendove

ponasanja kakvi se mogu vidjeti u literaturi i u tom smislu su tocni i prikazuju realno

stanje. Ipak, primijenjene metode nisu dale dovoljno tocne rezultate koji bi se mogli

usporediti s onima u literaturi. Razloga tomu je vise. Same metode i nacin trazenje

rjesenja temeljen na trazenju tocke u kojoj imaginarni dio kompleksno konjugiranog broja

iscezava su dosta osjetljive na promjenu parametara sustava i mala promjena dovodi do

razlicitih rezultata.

Zatim medu dostupnom literaturom nisu pronadeni dovoljno dobro opisani sustavi kod

kojih bi se svi parametri od samih fizikalnih velicina do funkcija poput aerodinamickih

derivativa koji su koristene prilikom izracuna. Dostupni su bili samo najjednostavniji

modeli. Dobivena rjesenja kao sto je receno ako se parametri dobro podese daju rezultate

koji kvalitativno odgovaraju opisanome u literaturi. Dijagram 6.16.1 zatim 6.26.2 itd. tocni

su za jednostavne modele iz npr. literature [22], ali primijenjeni za proizvoljne parametre

dobivaju se rjesenja za koja se nije moglo provjeriti jesu li dovoljno dobra, stoga su u radu

ostavljena samo ona rjesenja koja kvalitativno daju dobre rezultate.



LITERATURA

[1] E. H. Dowell, R. Clark, D. Cox et al. A Modern Course in Aeroelasticity. Springer,2004.

[2] D. H. Hodges, G. A. Pierce. Introduction to Structural Dynamics and Aeroelasticity.Cambridge University Press, New York, 2011.

[3] D. C. Fung. An Introduction to the Theory of Aeroelasticity. Dover Publications,1993.

[4] R. L. Bisplinghoff, H. Ashley, R. L. Halfman. Aeroelasticity. Dover Publications, NewYork, 1996.

[5] D. R. Wright, J. E. Cooper. Introduction to Aircraft Aeroelasticity and Loads. JohnWiley Sons, Ltd, New York, 2007.

[6] Michael W. Kehoe. A Historical Overview of Flight Flutter Testing. NASA TechnicalMemorandum 4720, 1995.

[7] I.E. Garrick, W.H Reed. Historical Development of Aircraft Flutter. Journal of Air-craft, Vol. 18, No. 11, 1981.

[8] I.E. Garrick, W.H Reed. Active Control Systems for Load Allevation, Flutter Sup-pression and Ride Control. AGARDograph No. 175, 1974.

[9] C. Nam, Y. Kim, T.A. Weisshaar Optimal sizing and placement of piezo-actuatorsfor active flutter suppression. Smart Materials and Structures, 5:2, 1996.

[10] T.Theodorsen General Theory of Aerodynamic Instability and the Mechanism odFlutter. NACA Report No. 496, 1934.

[11] D. Peters, W. Cao Finite State Induced Flow Models Part I: Two Dimensional ThinAirfoil. Journal of Aircraft, 32:2, 1995.

[12] P. C. Chen Damping Perturbation Method for Flutter Solution: The g-Method.AIAA Journal, 38:9, 2000.

[13] Q. Ju, S. Qin New Improved g Method for Flutter Solution Journal of Aircraft, 46:6,2009.


Documents

DIPLOMSKI RAD - Fakultet strojarstva i brodogradnje · PDF filesveucili ste u zagrebu fakultet strojarstva i brodogradnje diplomski rad tomislav serti c zagreb, 2014