Megoldások - BZmatek · Az egyenlet rendezése után a következő adódik: y∙ @log 256 A 2 − w r∙log 256 + s= r. Legyen =log 256 . Ezt behelyettesítve a következő másodfokú

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

1

Megoldások

1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: ℝ)

a) 𝟓 ∙ 𝟑𝒙 − 𝟐 ∙ 𝟐𝒚 = 𝟕

𝟐 ∙ 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟎}

b) 𝟕𝒙+𝟏 − 𝟔𝒚+𝟑 = 𝟏

𝟔𝒚+𝟐 − 𝟕𝒙 = 𝟓 ∙ (𝟔𝒚 + 𝟏)}

c) 𝟐𝟓 ∙ (𝟓𝒙)𝒚 = 𝟏

𝟑𝒚 ∙ 𝟐𝟕𝒙 = 𝟑

}

Megoldás:

Alkalmazzuk a következő módszereket: amennyiben mindkét egyenletben ugyanazok a

kifejezések szerepelnek, akkor vezessünk be új ismeretleneket, ha pedig különbözőek, akkor a

két egyenletet külön – külön hozzuk egyszerűbb alakra.

a) 5 ∙ 3𝑥 − 2 ∙ 2𝑦 = 7

2 ∙ 3𝑥 + 2𝑦 = 10}

Legyen 𝑎 = 3𝑥 és 𝑏 = 2𝑦.

Ekkor behelyettesítés után a következő egyenletrendszer adódik:

5𝑎 − 2𝑏 = 7

2𝑎 + 𝑏 = 10}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎 = 3 és 𝑏 = 4.

Helyettesítsük vissza a kapott eredményeket:

𝑎 = 3 → 3𝑥 = 3 → 𝑥 = 1

𝑏 = 4 → 2𝑦 = 4 → 𝑦 = 2

Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (1; 2).


2

b) 7𝑥+1 − 6𝑦+3 = 1

6𝑦+2 − 7𝑥 = 5 ∙ (6𝑦 + 1)}

Alakítsuk át az egyenletrendszert a következőképpen:

7 · 7𝑥 − 63 · 6𝑦 = 1

62 · 6𝑦 − 7𝑥 = 5 ∙ (6𝑦 + 1)}

Legyen 𝑎 = 7𝑥 és 𝑏 = 6𝑦.


7𝑎 − 216𝑏 = 1

36𝑏 − 𝑎 = 5 ∙ (𝑏 + 1)}



𝑎 = 1111 → 7𝑥 = 1111 → 𝑥 = log7 1111 =lg 1111

lg 7≈ 3,6

𝑏 = 36 → 6𝑦 = 36 → 𝑦 = 2

Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (log7 1111 ; 2).

c) 25 ∙ (5𝑥)𝑦 = 1

3𝑦 ∙ 27𝑥 = 3

}

Tekintsük először az első egyenletet:

52+𝑥𝑦 = 50 ↓ az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt

2 + 𝑥𝑦 = 0

Tekintsük ezután a második egyenletet:

3𝑦+3𝑥 = 3 ↓ az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt

𝑦 + 3𝑥 = 1


3

Ezekből a következő egyenletrendszer adódik:

2 + 𝑥𝑦 = 0

𝑦 + 3𝑥 = 1}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 1; 𝑥2 = −2

3 és 𝑦1 = −2; 𝑦2 = 3.

Ezek alapján az egyenletrendszer megoldásai: (1; −2), (−2

3; 3).

2. (K) Oldd meg a következő logaritmikus egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: ℝ)

a)

𝟓 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 − 𝟑 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒚 = 𝟗

𝟐 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒚 = 𝟖}

b)

𝐥𝐠 𝒙 + 𝐥𝐠 𝒚 = 𝟐

𝐥𝐠 𝒚 − 𝐥𝐠 𝒙 = 𝐥𝐠 𝟐𝟓}

c)

𝐥𝐨𝐠𝟐[𝐥𝐨𝐠𝟑(𝒙 + 𝒚)] = 𝟏

𝐥𝐠 𝒙 + 𝐥𝐠 𝒚 = 𝟑 ∙ 𝐥𝐠 𝟐}

Megoldás:

Alkalmazzuk a következő módszereket: amennyiben mindkét egyenletben ugyanazok a

kifejezések szerepelnek, akkor vezessünk be új ismeretleneket, ha pedig különbözőek, akkor a

két egyenletet külön – külön hozzuk egyszerűbb alakra.

a)

5 ∙ log2 𝑥 − 3 ∙ log3 𝑦 = 9

2 ∙ log2 𝑥 + log3 𝑦 = 8}

Értelmezési tartomány: 𝑥 > 0 𝑦 > 0

Legyen 𝑎 = log2 𝑥 és 𝑏 = log3 𝑦.


5𝑎 − 3𝑏 = 9

2𝑎 + 𝑏 = 8}


4



𝑎 = 3 → log2 𝑥 = 3 → 𝑥 = 8

𝑏 = 2 → log3 𝑦 = 2 → 𝑦 = 9

A kapott értékek megfelelnek a feltételnek.


b)

lg 𝑥 + lg 𝑦 = 2

lg 𝑦 − lg 𝑥 = lg 25}



lg(𝑥𝑦) = 2 ↓ definíció szerint

𝑥𝑦 = 100


lg𝑦

𝑥= lg 25 ↓ a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt

𝑦

𝑥= 25


𝑥𝑦 = 100

𝑦

𝑥= 25

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = −2; 𝑥2 = 2 és 𝑦1 = −50; 𝑦2 = 50.

Az első értékek nem felelnek meg a feltételnek.



5

c)

log2[log3(𝑥 + 𝑦)] = 1

lg 𝑥 + lg 𝑦 = 3 ∙ lg 2}

Értelmezési tartomány: 𝑥 > 0 𝑦 > 0 log3(𝑥 + 𝑦) > 0


log3(𝑥 + 𝑦) = 2 ↓ definíció szerint

𝑥 + 𝑦 = 9


lg(𝑥𝑦) = lg 8 ↓ a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt

𝑥𝑦 = 8


𝑥 + 𝑦 = 9

𝑥𝑦 = 8}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 1; 𝑥2 = 8 és 𝑦1 = 8; 𝑦2 = 1.


Ezek alapján az egyenletrendszer megoldásai: (1; 8), (8; 1).

3. (K) Oldd meg a következő egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: ℝ)

a)

𝐥𝐨𝐠𝟓 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝒚 = 𝟏

𝟐𝒙 − 𝟒 ∙ 𝟖𝒚 = 𝟎

}

b) 𝟏𝟎𝟏+𝐥𝐠(𝒙+𝒚) = 𝟓𝟎

𝐥𝐠(𝒙 − 𝒚) + 𝐥𝐠(𝒙 + 𝒚) = 𝟐 − 𝐥𝐠 𝟓}


6

Megoldás:

Ezen egyenletrendszereknél a két egyenletet külön – külön hozzuk egyszerűbb alakra.

a)

log5 𝑥 + log5 𝑦 = 1

2𝑥 − 4 ∙ 8𝑦 = 0

}



log5(𝑥𝑦) = log5 5 ↓ a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt

𝑥𝑦 = 5


2𝑥 = 22+3𝑦 ↓ az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt

𝑥 = 2 + 3𝑦


𝑥𝑦 = 5

𝑥 = 2 + 3𝑦}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = −3; 𝑥2 = 5 és 𝑦1 = −5

3; 𝑦2 = 1.

Az első értékek nem felelnek meg a feltételnek.



7

b) 101+lg(𝑥+𝑦) = 50

lg(𝑥 − 𝑦) + lg(𝑥 + 𝑦) = 2 − lg 5}

Értelmezési tartomány: 𝑥 + 𝑦 > 0 𝑥 − 𝑦 > 0


101 ∙ 10lg(𝑥+𝑦) = 50

10lg(𝑥+𝑦) = 5 ↓ definíció szerint

𝑥 + 𝑦 = 5


lg[(𝑥 − 𝑦) ∙ (𝑥 + 𝑦)] = lg 100 − lg 5

lg(𝑥2 − 𝑦2) = lg 20 ↓ a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt

𝑥2 − 𝑦2 = 20


𝑥 + 𝑦 = 5

𝑥2 − 𝑦2 = 20}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 =9

2 és 𝑦 =

1

2.


Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (9

2;

1

2).


8

4. (E) Oldd meg a következő egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: ℝ)

a) √𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟔 = 𝟓

𝟗𝒚 − 𝟒𝒙 = 𝟐𝟑 ∙ (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)}

b)

𝒙𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 ∙ 𝒚𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒚 = 𝟐𝟒𝟑

𝒙𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒚 ∙ 𝒚𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 = 𝟖𝟏

}

c)

𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝟗 𝒚 =𝟑

𝟐

𝐥𝐨𝐠𝒙 𝟑 + 𝐥𝐨𝐠𝒚 𝟗 = 𝟑

}

d)

𝒍𝒈 (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) = 𝟐 − 𝒍𝒈 𝟓

𝒍𝒈 (𝒙 + 𝒚) + 𝒍𝒈 (𝒙 − 𝒚) = 𝒍𝒈 𝟏, 𝟐 + 𝟏

}

e)

𝟑𝒙 · 𝟐𝒚 = 𝟓𝟕𝟔

𝐥𝐨𝐠√𝟐(𝒚 − 𝒙) = 𝟒}

Megoldás:

a) √2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 5

9𝑦 − 4𝑥 = 23 ∙ (2𝑥 + 3𝑦)}

Értelmezési tartomány: 2𝑥 + 3𝑦 − 6 ≥ 0


Négyzetre emelés és rendezés után a következőt kapjuk: 2𝑥 + 3𝑦 = 31.


Nevezetes azonossággal felírhatjuk a következőt: (3𝑦 − 2𝑥) ∙ (3𝑦 + 2𝑥) = 23 ∙ (2𝑥 + 3𝑦).


9


2𝑥 + 3𝑦 = 31

(3𝑦 − 2𝑥) ∙ (3𝑦 + 2𝑥) = 23 ∙ (2𝑥 + 3𝑦)}

Az első egyenletből kapott értéket helyettesítsük a másodikba: 31 ∙ (3𝑦 − 2𝑥) = 23 ∙ 31.

Ebből rendezés után a következőt kapjuk: 3𝑦 = 23 + 2𝑥.

Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe: 2𝑥 + 23 + 2𝑥 = 31.

Ebből rendezés után a következőt kapjuk: 𝑥 = 2.

Ezt visszahelyettesítve 3𝑦 = 27 adódik, amiből 𝑦 = 3.



b)

𝑥log3 𝑥 ∙ 𝑦log3 𝑦 = 243

𝑥log3 𝑦 ∙ 𝑦log3 𝑥 = 81

}



↓ a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt

log3(𝑥log3 𝑥 ∙ 𝑦log3 𝑦) = log3 243

log3 𝑥log3 𝑥 + log3 𝑦log3 𝑦 = 5

log3 𝑥 ∙ log3 𝑥 + log3 𝑦 ∙ log3 𝑦 = 5

(log3 𝑥)2 + (log3 𝑦)2 = 5


10



log3(𝑥log3 𝑦 ∙ 𝑦log3 𝑥) = log3 81

log3 𝑥log3 𝑦 + log3 𝑦log3 𝑥 = 4

log3 𝑦 ∙ log3 𝑥 + log3 𝑥 ∙ log3 𝑦 = 4

log3 𝑥 ∙ log3 𝑦 = 2


(log3 𝑥)2 + (log3 𝑦)2 = 5

log3 𝑥 ∙ log3 𝑦 = 2

}



𝑎2 + 𝑏2 = 5

𝑎𝑏 = 2

}

Ezt megoldva: 𝑎1 = −1; 𝑎2 = 1; 𝑎3 = −2; 𝑎4 = 2 és 𝑏1 = −2; 𝑏2 = 2; 𝑏3 = −1; 𝑏4 = 1.


𝑎1 = −1 → 𝑏1 = −2 → 𝑥1 =1

3 és 𝑦1 =

1

9

𝑎2 = 1 → 𝑏2 = 2 → 𝑥2 = 3 és 𝑦2 = 9

𝑎3 = −2 → 𝑏3 = −1 → 𝑥3 =1

9 és 𝑦3 =

1

3

𝑎4 = 2 → 𝑏4 = 1 → 𝑥4 = 9 és 𝑦4 = 3


Ezek alapján az egyenletrendszer megoldásai: (1

3;

1

9), (3; 9), (

1

9;

1

3), (9; 3).


11

c)

log3 𝑥 + log9 𝑦 =3

2

log𝑥 3 + log𝑦 9 = 3

}

Értelmezési tartomány: 𝑥 > 0 𝑥 ≠ 1 𝑦 > 0 𝑦 ≠ 1

Alakítsuk át az egyenletrendszert a következőképpen:

log3 𝑥 + log9 𝑦 =3

2

1

log3 𝑥+

1

log9 𝑦= 3

}



𝑎 + 𝑏 =3

2

1

𝑎+

1

𝑏= 3

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎1 =1

2; 𝑎2 = 1 és 𝑏1 = 1; 𝑏2 =

1

2.


𝑎1 =1

2 → 𝑏1 = 1 → 𝑥1 = √3 és 𝑦1 = 9

𝑎2 = 1 → 𝑏2 =1

2 → 𝑥2 = 3 és 𝑦2 = 3


Ezek alapján az egyenletrendszer megoldásai: (√3; 9), (3; 3).


12

d)

𝑙𝑔 (𝑥2 + 𝑦2) = 2 − 𝑙𝑔 5

𝑙𝑔 (𝑥 + 𝑦) + 𝑙𝑔 (𝑥 − 𝑦) = 𝑙𝑔 1,2 + 1

}

Értelmezési tartomány: 𝑥 + 𝑦 > 0 𝑥 − 𝑦 > 0


lg (𝑥2 + 𝑦2) = lg 100 − lg 5

lg (𝑥2 + 𝑦2) = lg 20


𝑥2 + 𝑦2 = 20


lg (𝑥 + 𝑦) + lg (𝑥 − 𝑦) = lg 1,2 + lg 10

lg (𝑥2 − 𝑦2) = lg 12


𝑥2 − 𝑦2 = 12


𝑥2 + 𝑦2 = 20

𝑥2 − 𝑦2 = 12

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 4; 𝑥2 = 4 és 𝑦1 = 2; 𝑦2 = −2.


Ezek alapján az egyenletrendszer megoldásai: (4; 2), (4; −2).


13

e)

3𝑥 · 2𝑦 = 576

log√2(𝑦 − 𝑥) = 4}

Értelmezési tartomány: 𝑦 − 𝑥 > 0

Tekintsük először a második egyenletet:

log√2(𝑦 − 𝑥) = 4 ↓ definíció szerint

𝑦 − 𝑥 = (√2)4

𝑦 = 𝑥 + 4

A kapott kifejezést helyettesítsük az első egyenletbe:

3𝑥 · 2𝑥+4 = 576

3𝑥 · 2𝑥 · 24 = 576

(3 · 2)𝑥 · 16 = 576

6𝑥 = 36 ↓ definíció szerint

𝑥 = 2

Ebből visszahelyettesítés után a következő adódik: 𝑦 = 2 + 4 = 6.




14

5. (E) Oldd meg a következő egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: ℝ)

a)

𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙 − 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒚 = 𝟎

𝒙𝟐 − 𝟓𝒚𝟐 + 𝟒 = 𝟎}

b)

𝟑𝒚 ∙ 𝟗𝒙 = 𝟖𝟏

𝐥𝐠(𝒙 + 𝒚)𝟐 − 𝐥𝐠 𝒙 = 𝟐 ∙ 𝐥𝐠 𝟑}

a)

𝒙𝒚 = 𝟐𝟓𝟔

𝟕 ∙ (𝐥𝐨𝐠𝒙 𝒚 +𝟏

𝐥𝐨𝐠𝒙 𝒚) = 𝟓𝟎

}

b)

𝒙𝒚 = 𝟑𝟎𝟎

𝒙𝐥𝐠 𝒚 = 𝟗

}

Megoldás:

a)

log4 𝑥 − log2 𝑦 = 0

𝑥2 − 5𝑦2 + 4 = 0}



log2 𝑥

log2 4− log2 𝑦 = 0

log2 𝑥 − 2 ∙ log2 𝑦 = 0

log2 𝑥 = log2 𝑦2 ↓ a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt

𝑥 = 𝑦2

A kapott kifejezést helyettesítsük a második egyenletbe: 𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑥1 = 1 és 𝑥2 = 4.


15

Ezeket visszahelyettesítve a következők adódnak:

𝑥1 = 1 → 𝑦2 = 1 → 𝑦1 = −1 és 𝑦2 = 1

𝑥2 = 4 → 𝑦2 = 4 → 𝑦3 = −2 és 𝑦4 = 2

Az 𝑦1 és az 𝑦3 nem felel meg a feltételnek.


b)

3𝑦 ∙ 9𝑥 = 81

lg(𝑥 + 𝑦)2 − lg 𝑥 = 2 ∙ lg 3}

Értelmezési tartomány: 𝑥 > 0 𝑥 + 𝑦 ≠ 0


3𝑦 ∙ (32)𝑥 = 81

3𝑦+2𝑥 = 34 ↓ az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt

𝑦 + 2𝑥 = 4


lg(𝑥+𝑦)2

𝑥= lg 32 ↓ a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt

(𝑥+𝑦)2

𝑥= 9


𝑦 + 2𝑥 = 4

(𝑥+𝑦)2

𝑥= 9

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 1; 𝑥2 = 16 és 𝑦1 = 2; 𝑦2 = −28.


Ezek alapján az egyenletrendszer megoldásai: (1; 2), (16; −28).


16

c)

𝑥𝑦 = 256

7 ∙ (log𝑥 𝑦 +1

log𝑥 𝑦) = 50

}

Értelmezési tartomány: 𝑥 > 0 𝑥 ≠ 1 𝑦 > 0 𝑦 ≠ 1

Az első egyenletből fejezzük ki az egyik ismeretlent: 𝑦 =256

𝑥.

Ezt helyettesítsük a második egyenletbe: 7 ∙ (log𝑥256

𝑥+

1

log𝑥256

𝑥

) = 50.

Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 7 ∙ (log𝑥256

𝑥)

2

− 50 ∙ log𝑥256

𝑥+ 1 = 0.

Legyen 𝑎 = log𝑥256

𝑥.

Ezt behelyettesítve a következő másodfokú egyenlet adódik: 7𝑎2 − 50𝑎 + 1 = 0.

A megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑎1 =1

7 és 𝑎2 = 7.


𝑎1 =1

7 → log𝑥

256

𝑥=

1

7 → 𝑥1 = 128

𝑎2 = 7 → log𝑥256

𝑥= 7 → 𝑥2 = 2

Az újabb visszahelyettesítés után a következők adódnak:

𝑥1 = 128 → 𝑦1 =256

128= 2

𝑥2 = 2 → 𝑦2 =256

2= 128




17

d)

𝑥𝑦 = 300

𝑥lg 𝑦 = 9

} Értelmezési tartomány: 𝑦 > 0.

Az első egyenletből fejezzük ki az egyik ismeretlent: 𝑦 =300

𝑥.

Ezt helyettesítsük a második egyenletbe:

𝑥lg300

𝑥 = 9


lg 𝑥lg300

𝑥 = lg 9

lg300

𝑥∙ lg 𝑥 = lg 9

(lg 300 − lg 𝑥) ∙ lg 𝑥 = lg 9

(lg 𝑥)2 − lg 300 ∙ lg 𝑥 + lg 9 = 0

Legyen 𝑎 = lg 𝑥.

Ezt behelyettesítve a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑎2 − 𝑎 ∙ lg 300 + lg 9 = 0.

𝑎1,2 =lg 300±√𝑙𝑔2300−4∙lg 9

2=

lg 3+2±√(lg 3+2)2−4∙lg 32

2=

lg 3+2±√(lg 3−2)2

2=

lg 3+2±(lg 3−2)

2

A megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑎1 = lg 3 és 𝑎2 = 2.


𝑎1 = lg 3 → lg 𝑥 = lg 3 → 𝑥1 = 3

𝑎2 = 2 → lg 𝑥 = 2 → 𝑥2 = 100

Az újabb visszahelyettesítés után a következők adódnak:

𝑥1 = 3 → 𝑦1 =300

3= 100

𝑥2 = 100 → 𝑦2 =300

100= 3



Documents

Megoldások - BZmatek · Az egyenlet rendezése után a következő adódik: y∙ @log 256 A 2 − w r∙log 256 + s= r. Legyen =log 256 . Ezt behelyettesítve a következő másodfokú