MECHANIKA TEORETYCZNA - limba.wil.pk.edu.pllimba.wil.pk.edu.pl/kpmoc/images/stories/kpmoc/... · © 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0 MECHANIKA TEORETYCZNA

© 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0

MECHANIKA TEORETYCZNAZASADA PRAC WIRTUALNYCH

dr inż. Paweł Szeptyński

1/37

MECHANIKA TEORETYCZNA


adres: p. 320 – III p. WILtel. 12 628 20 30e-mail: [email protected]




2/37

ZASADA PRAC WIRTUALNYCH




3/37

PRZEMIESZCZENIA DOPUSZCZALNE I RZECZYWISTEWięzi skleronomiczne, holonomiczne, dwustronne i gładkie opisane są równaniami:

Są to równania rozmaitości w przestrzeni konfiguracyjnej układu.

W przypadku pojedynczego punktu w przestrzeni równanie więzi ma postać:

co odpowiada równaniu powierzchni.

f k (r1 , r2 , ... ,rN ) = 0 , k=1,2 , ... , c

f ( x , y , z) = 0

y

x

z

rf (x,y,z) = 0




4/37

PRZEMIESZCZENIA DOPUSZCZALNE I RZECZYWISTERuch rzeczywisty –ruch zgodny z nałożonymi więziami, działającymi siłami (spełniający zasady dynamiki Newtona) oraz warunkami początkowymi.

Ruch dopuszczalny – dowolny ruch zgodny z więziami. Trajektorii takiego ruchu może być wiele. Dla ustalonych więzi odpowiadają one różnym siłom wymuszającym ruch oraz różnym warunkom początkowym.

y

x

z

rf (x,y,z) = 0

Przemieszczenie dopuszczalne (w ustalonej chwili) – wektor łączący punkt położenia aktualnego z dowolnym punktem na rozmaitości reprezentującej więzi.

Prędkość dopuszczalna (w ustalonej chwili) – wektor styczny do rozmaitości reprezentującej więzi określony w aktualnym punkcie położenia.

u

v

u – przemieszczenia dopuszczalne

v – prędkości dopuszczalne




5/37

PRZEMIESZCZENIA WIRTUALNE

y

x

z

rf (x,y,z) = 0

δ

Przemieszczenie wirtualne (w ustalonej chwili) – dowolny niezerowy wektor o wymiarze przemieszczenia współliniowy z dowolnym wektorem prędkości dopuszczalnej. Dawniej: przemieszczenie przygotowane – może zajść, bo jest zgodne z więziami.

δ

δ = τ v , τ∈ℝ∖{0}

wirtualny – „będący czymś przez swoją istotę lub wywierany skutek, ale nie będący tym czymś w rzeczywistości”

Przemieszczenie wirtualne (w ustalonej chwili) – wektor styczny do rozmaitości reprezentującej więzi określony w aktualnym punkcie położenia.

To nieskończenie mały (infinitezymalny) zgodny z więziami przyrost przemieszczenia względem położenia aktualnego.




6/37


Warunki, jakie spełniać muszą składowe wektorów przemieszczeń wirtualnych w układzie mechanicznym złożonym z N punktów materialnych, na który nałożono c niezależnych więzi skleronomicznych, holonomicznych, dwustronnych i gładkich

f k (x1 , y1 , z1 , ... , x N , yN , zN )= 0 , k=1,... , c /dd t

dd t [ f k (x1 , y1 , z1 , ... , x N , yN , zN )]= 0 , k=1,... , c

∑j=1

N [∂ f k

∂ x j

d x j

d t+∂ f k

∂ y j

d y j

d t+∂ f k

∂ z j

d z j

d t ]= 0 , k=1, ... , c

∑j=1

N [∂ f k

∂ x j

τ x j +∂ f k

∂ y j

τ y j +∂ f k

∂ z j

τ z j]= 0 , k=1,... , c

∑j=1

N [∂ f k

∂ x j

x j +∂ f k

∂ y j

y j +∂ f k

∂ z j

z j]= 0 , k=1,... , c /⋅τ




7/37


δ j =[δ j , x ;δ j , y ;δ j , z ] =df

τ r j= [τ x j ; τ y j ; τ z j ]

∑j=1

N [∂ f k

∂ x j

δ j , x+∂ f k

∂ y j

δ j , y+∂ f k

∂ z j

δ j , z]= 0 , k=1,... , c

∑j=1

N

([∂ f k

∂ x j

;∂ f k

∂ y j

;∂ f k

∂ z j ]⋅[δ j , x ;δ j , y ;δ j , z ])= 0 , k=1, ... , c

[∂ f k

∂ x j

;∂ f k

∂ y j

;∂ f k

∂ z j]=df

grad j f k = ∇r jf k

∑j=1

N

grad j f k⋅δ j= 0 , k=1,... , c




8/37


∑j=1

N

grad j f k⋅δ j= 0 , k=1,... , c

● W każdym j-tym punkcie materialnym wyznaczamy przemieszczenie wirtualne.

● Wyznaczamy gradienty wszystkich funkcji opisujących więzi względem współrzędnych położenia każdego z punktów materialnych.

● Wybieramy ustaloną więź. Dodajemy do siebie iloczyny skalarne jej gradientów względem współrzędnych każdego z punktów oraz przemieszczenia wirtualnego odpowiedniego punktu.

● Każda z tych sum iloczynów skalarnych (odpowiadająca różnym więziom) ma być równa 0.




9/37


grad f⋅δ = 0

Dla układu złożonego z jednego punktu ( N = 1 ), na który nałożono jedną więź ( c = 1 ):

grad f ⊥ fgraf f⋅δ=0 ⇒ δ⊥grad f } ⇒ δ jest styczny do f




10/37

WSPÓŁRZĘDNE UOGÓLNIONE

LSS = 3 N−c= s

r j= r j (q1 , q2 , ... , qs) , j=1,... , N

Rozważamy układ złożony z N punktów materialnych, na który nałożono c niezależnych więzi skleronomicznych, holonomicznych, dwustronnych i gładkich.

Istnieje zatem s parametrów qi (i=1,2,...,s) zwanych współrzędnymi uogólnionymi, za pomocą

których można wyrazić wszystkie wektory położeń.

Wtedy:

v j =d rkd t

=∑i=1

s ∂ r j∂qi

d qi

d t=∑

i=1

s ∂ r j∂qi

qi

δ j = τ v j=∑i=1

s ∂r j∂ qi

τ qi =∑i=1

s ∂ r j∂qi

δqi

δ j=∑i=1

s ∂r j∂ qi

δqi δqi= τ qigdzie




11/37

WSPÓŁRZĘDNE UOGÓLNIONEPRZYKŁAD:

Punkt poruszający się po paraboloidzie obrotowej

Równanie więzi:

Liczba stopni swobody:

Wprowadzamy współrzędne uogólnione – współrzędne biegunowe na płaszczyźnie (x,y):

Wektor położenia wyrażony przez współrzędne uogólnione i uwzględniający równanie więzi:

Przemieszczenie wirtualne:

z= H−x2− y2

r = {x=ρcosϕy=ρsinϕz=H−ρ2

q1=ρ q2= ϕ {x=ρcosϕy=ρsinϕ

LSS = 3⋅1−1= 2

δ =∑i=1

s ∂ r∂qi

δqi=∂ r∂ρ δρ +

∂ r∂ϕ δϕ = [cosϕδρ−ρ sinϕδϕ ; sin ϕδρ+ρcosϕδϕ ;−2ρδ r ]

y

x

z

r

ρϕ

f (x,y,z) = z + x2 + y2 – H = 0




12/37

ZASADA PRAC WIRTUALNYCHTWIERDZENIE

DOWÓD (układ w równowadze → praca wirtualna zerowa):

Równania ruchu:

Dla więzów gładkich:

Sumujemy względem j:n QED (→)

δ L=∑j=1

N

F j⋅δ j= 0 ∀δ j

Układ sił czynnych działających na układ N punktów materialnych, na który nałożono c niezależnych więzi skleronomicznych, holonomicznych, dwustronnych i gładkich, jest w równowadze wtedy i tylko wtedy gdy praca wirtualna sił czynnych na przemieszczeniach wirtualnych jest równa 0 dla dowolnie wybranego przemieszczenia wirtualnego.

m j r j= F j+R j= 0 , j=1,... , N

F j⋅δ j + R j⋅δ j= 0 , ∀δ j

j=1,... , N

R j⋅δ j = 0 ∀δ j

δ L=∑j=1

N

F j⋅δ j= 0 , ∀δ j




13/37

ZASADA PRAC WIRTUALNYCHDOWÓD (praca wirtualna zerowa → układ w równowadze):

Zasada prac wirtualnych:

Dla więzów gładkich:

Dodajemy zerową pracę reakcji:

Z dowolności :

n QED (←)

R j⋅δ j = 0 ∀δ j

⇒ ∑j=1

N

(R j⋅δ j)= 0 , ∀δ j

δ L=∑j=1

N

F j⋅δ j= 0 , ∀δ j

δ L=∑j=1

N

(F j+R j)⋅δ j= 0 , ∀δ j

δ L=∑j=1

N

(F j+R j)⋅δ j= 0 ∀δ j⇒ F j+R j = 0δ j




14/37

ZASADA PRAC WIRTUALNYCHUWAGA:

W dowodzie wymaga się, aby:

Jest to warunek słabszy od tego, który wynika z przyjętej definicji więzi gładkich:

Zasada przemieszczeń wirtualnych spełniona jest również dla tego słabszego warunku. Warunek ten trudno zinterpretować fizycznie – więzi musiałyby być w jakiś sposób powiązane („wiedzieć o sobie nawzajem”), aby ich sumaryczna praca była w każdej chwili zerowa. Tymczasem każda z więzi z osoba sama wykazuje charakter więzi gładkiej. Należy przyjąć, że

słabszy warunek ma jedynie charakter matematycznyi jest konsekwencją

silniejszego warunku o charakterze fizycznym.

∑j=1

N

(R j⋅δ j) = 0 , ∀δ j

R j⋅δ j = 0 ∀δ j

R j⋅δ j = 0 ∀δ j

⇒ ∑j=1

N

(R j⋅δ j)= 0 , ∀δ j

(Sumaryczna praca wirtualna reakcji jest zerowa.)

(Praca wirtualna każdej reakcji jest zerowa.)




15/37

ZASADA PRAC WIRTUALNYCHPRZYKŁAD:

Znaleźć taką wartość nieznanej siły R, aby układ był w równowadze.

4 m

4 m

2 m

12 kN

9 kN

R B

C

D

A

Więzi:● Punkt A może poruszać się tylko w pionie.● Punkt D może poruszać się tylko w poziomie.

Przemieszczenia wirtualne:● współliniowe do prędkości dopuszczalnych.

Prędkości dopuszczalne:● Wyznaczane na podstawie chwilowego środka obrotu.




16/37

ZASADA PRAC WIRTUALNYCHPRZYKŁAD:

4 m

4 m

2 m

12 kN

9 kN

R

A

B

C

D

O*

Chwilowy środek obrotu znajduje sięw punkcie przecięcia się prostych prostopadłych

do kierunków prędkości.




17/37

ZASADA PRAC WIRTUALNYCH

A

BC

D

O*

4δ

4δ

4δ

2δ

6δ 6δ

2δ

2δ

6δ

12 kN

9 kN

R

A

B

C

D

Przemieszczenia wirtualne: Siły:

Praca wirtualna: δ L=∑j=1

3

F j⋅δ j= [R ; 0 ]⋅[6δ ; 4δ]+ [0 ;−12]⋅[6δ ; 2δ]+ [−9 ; 0 ]⋅[4δ ; 0]

δ L= (6 R−24−36)⋅δ = 0 ∀δ

ZPW:

R= 10 kN

PRZYKŁAD:




18/37

WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ SWOBODNEJ

OrO

ρj=OA

j

x

y

z

ξ

ηζ

Aj

A1

A2

AN

F1

F2

Fj

FN

v j= vO +ωO×OA j /⋅τ

δ j =δO +φO× OA j

δOφO

δ L=∑j=1

N

[F j⋅(δO +φO× OA j)]

Prędkość dopuszczalna:


● Przemieszczenie punktu O:

● Przemieszczenie kątowe (obrót):

Praca wirtualna:

δ L=∑j=1

N

[F j⋅δO + F j⋅(φO× OA j)]




19/37


δ L=∑j=1

N

[F j⋅δO + F j⋅(φO× OA j)]

OrO

ρj=OA

j

x

y

z

ξ

ηζ

Aj

A1

A2

AN

F1

F2

Fj

FN

F j⋅(φO× OA j) = [φO , OA j ,F j ] ==−[F j , OA j ,φ j ] = −φO⋅( F j× OA j)

δ L=∑j=1

N

[F j⋅δO −φO⋅(F j× OA j)]

δ L=∑j=1

N

[F j⋅δO +φO⋅(F j× A j O)]

δ L= (∑j=1

N

F j)⏟S

⋅δO + φO⋅[∑j=1

N

(F j× A j O)]⏟MO




20/37


OrO

ρj=OA

j

x

y

z

ξ

ηζ

Aj

A1

A2

AN

F1

F2

Fj

FN

δ L= δO⋅S + φO⋅MO

δ L= δO⋅S + φO⋅MO= 0 ∀δO ,φO

{S= 0MO= 0

⇒




21/37

WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ NIESWOBODNEJ

OrO

ρj=OA

j

x

y

z

ξ

ηζ

Aj

A1

A2

AN

Bk

Bc

F1

F2

Fj

FN




22/37


{S=∑j=1

N

F j +∑k=1

c

Rk= 0

MO=∑j=1

N

(F j× A j O)+∑k=1

c

(R k× Bk O)= 0

OrO

ρj=OA

j

x

y

z

ξ

ηζ

Aj

A1

A2

AN

Bk

Bc

F1

F2

Fj

FN

Rk

Rc




23/37


S x =∑j=1

N

F j , x +∑k=1

c

Rk , x = 0

Układ wszystkich sił (sił czynnych i sił reakcji) przyłożonych do bryły sztywnej w równowadze

jest statycznie równoważny układowi zerowemu.

M O , x=∑j=1

N

M O , x(F j) +∑k=1

c

M O , x (R k) = 0

S y=∑j=1

N

F j , y +∑k=1

c

Rk , y = 0 M O , y=∑j=1

N

M O , y (F j) +∑k=1

c

M O , y (R k) = 0

S z =∑j=1

N

F j , z +∑k=1

c

Rk , z = 0 M O , z =∑j=1

N

M O , z(F j) +∑k=1

c

M O , z(Rk) = 0

6 równań równowagi




24/37


S x =∑j=1

N

F j , x +∑k=1

c

Rk , x = 0



S y=∑j=1

N

F j , y +∑k=1

c

Rk , y = 0

M O , z =∑j=1

N

M O , z(F j) +∑k=1

c

M O , z(Rk) = 0

W przypadku płaskim – wariant I:

3 równania równowagi




25/37




M B , z =∑j=1

N

M B , z(F j) +∑k=1

c

M B , z(Rk) = 0

W przypadku płaskim – wariant II:


M A , z =∑j=1

N

M A , z(F j) +∑k=1

c

M A , z(Rk) = 0

M C , z=∑j=1

N

M C , z(F j) +∑k=1

c

M C , z(R k) = 0

AB∦AC




26/37


S AB =∑j=1

N

(F j⋅AB) +∑k=1

c

(Rk⋅AB) = 0



M B , z =∑j=1

N

M B , z(F j) +∑k=1

c

M B , z(Rk) = 0

W przypadku płaskim – wariant III:


M A , z =∑j=1

N

M A , z(F j) +∑k=1

c

M A , z(Rk) = 0




27/37


S⋅e = 0⋅e = S x e x+S y e y+S z e z= 0

MQ=MO + S×(OQ) = 0+0×OQ= 0

Mamy:

● 6 równań równowagi w przypadku przestrzennym● 3 równań równowagi w przypadku płaskim

Każde inne równanie, jest równaniem zależnym, które można wyrazić jako kombinację liniową tych podstawowych. Jeśli są one spełnione, to dowolna kombinacja liniowa tych równań także będzie tożsamościowo spełniona.

Rzut sumy na dowolny kierunek:

Rzut momentu na dowolny kierunek:

Moment względem dowolnego bieguna:

MO⋅e = 0⋅e= M O , x e x+M O , y e y+M O , z e z= 0




28/37

WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA UKŁADU DWÓCH BRYŁ SZTYWNYCH POŁĄCZONYCH PRZEGUBEM

O

rO

OAi

x

y

zξ

ηζ

Ai

PB

j

rP

PBj

Fj

Fi

κ

λ

μ

2

1 vi= vO+ ωO×OA i

δ i= δO + φO×OAi

Prędkość dopuszczalna:Bryła ①:

Bryła ②:


Bryła ①:

Bryła ②:

vP = vO +ωO×OP

v j = vP +ω P× PB j== vO +ωO×OP+ω P× PB j

δ j =δO +φO×OP+φP× PB j




29/37


δ L=∑i

(F i⋅δi)+∑j

(F j⋅δ j) =∑i[F i⋅(δO + φO×OA i)]+∑

j[F j⋅(δO + φO×OP +φP× PB j)]

Praca wirtualna:

δ L=∑i[F i⋅δO+ F i⋅(φO×OAi)]+∑

j[F jδO+ F j⋅(φO×OP) + F j⋅(φ P× PB j)]

F⋅(φ×OA) = [φ ,OA , F]=−[F , OA ,φ]= [F , AO ,φ]=φ⋅(F×AO)

δ L=∑i[F i⋅δO + φO⋅(Fi× Ai O)]+∑

j[F jδO +φO⋅(F j×PO)+ φP⋅(F j× B j P)]

δ L= [∑i (F i⋅δO)+∑j

(F j δO)] + [∑i (φO⋅(Fi× A i O))+∑j

(φO⋅(F j×PO))]+∑j[φP⋅(F j× B j P)]

δ L= [∑i F i+∑j

F j]⋅δO + [∑i (Fi× Ai O) +∑j

(F j×PO)]⋅φO + [∑j

(F j×B j P)]⋅φP




30/37



δ L= [∑i F i+∑j

F j]⋅δO + [∑i (Fi× Ai O) +∑j

(F j×PO)]⋅φO + [∑j

(F j×B j P)]⋅φP = 0 ∀δO ,φO ,φP

{∑i Fi+∑j

F j= 0

∑i

(F i× A i O)+∑j

(F j×PO)= 0

∑j

(F j×B j P) = 0

S(1)=∑i

F i , S(2)=∑j

F j ⇒ S= S(1)+S(2)= 01 równanie:

3 równanie: MP( 2)=∑

j

(F j× B j P) ⇒ MP(2)= 0

MO( 2)= MP

(2)⏟= 0

+ S(2)×PO=∑j

(F j×PO)

3 równanie: MP(1)=∑

i

(F i× A i O) ⇒ MO=MO(1)+MO

(2)= 0

Z twierdzenia o zmianie bieguna:




31/37


{S= 0MO = 0

MP(2)= 0

O

rO

OAi

x

y

zξ

ηζ

Ai

PB

j

rP

PBj

Fj

Fi

κ

λ

μ

2

1

O – dowolny punktP – przegub

● Dodatkowe równania równowagi.




32/37


UWAGI:

MP←= 0 ∨ MP

→= 0

{S= 0MO= 0

⇒ MP = 0 {MP = 0

MP(2)= 0

⇒ MP(1)= 0

● Dodatkowe równanie wektorowe dotyczy którejkolwiek z brył składowych.

● Rozumowanie można powtórzyć dla większej liczby brył, połączonych przegubami i nie tworzących obiegu zamkniętego. Wszystkie bryły po jednej stronie traktowane są jak jedna bryła, wszystkie bryły po drugiej stronie jak druga bryła. Obecność każdego przegubu w układzie daje nam dodatkowe niezależne wektorowe równanie równowagi.

P

1

2




33/37


UWAGI:

{S x= 0S y = 0M O , z= 0M P , z→ = 0

● W przypadku płaskim – dla układu dwóch brył połączonych przegubem mamy 4 równania równowagi.

● Obecność każdego przegubu w układzie płaskim daje nam jedno dodatkowe niezależne równanie równowagi.




34/37

WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ WYKONUJĄCEJ OBRÓT WOKÓŁ PUNKTU

v j= vO + ω× OA j ⇒ v j= ω×OA j

ω O

x

zξ

ζ

rO

η

y



δ j= φ×OA j

Praca wirtualna:

δ L=∑j=1

N

[F j⋅(φ× OA j)]= φ⋅[∑j=1

N

(F j× A j O)]= φ⋅MO


δ L= φ⋅MO= 0 ∀φ

Warunek równowagi:

MO= 0




35/37

WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ WYKONUJĄCEJ OBRÓT WOKÓŁ PUNKTU

ω O

x

zξ

ζ

rO

η

y

MO= 0

Układ sił działających na bryłę sztywną wykonującą obrót wokół punktu (unieruchomioną w jednym punkcie) jest w równowadze wtedy i tylko wtedy, gdy moment tego układu względem punktu nieruchomego jest zerowy:




36/37

WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ WYKONUJĄCEJ OBRÓT WOKÓŁ PROSTEJ k

ω=ωk

x

z

η

y

ζ

ξ

ϕ

k

O

v j= vO +ω× OA j


Przemieszczenie wirtualne: δ j =φk× OA j

Praca wirtualna:

δ L=∑j=1

N

[F j⋅(φk× OA j)]= φk⋅[∑j=1

N

(F j× A j O)]=


δ L= φ⋅M k= 0 ∀φ

Warunek równowagi:

M k = 0

⇒ v j= ωk× OA jω= ωk , k∥k

=φk⋅MO =φM k = 0

∣M k∣=∣Mk∣ Mk = 0

O∈k




37/37

WARUNKI RÓWNOWAGIWARUNKI RÓWNOWAGI DLA BRYŁY SZTYWNEJ WYKONUJĄCEJ OBRÓT WOKÓŁ PROSTEJ k

ω=ωk

x

z

η

y

ζ

ξ

ϕ

k

OMk = 0

Układ sił działających na bryłę sztywną wykonującą obrót wokół prostej (unieruchomioną w dwóch punktach należących do tej prostej punkcie) jest w równowadze wtedy i tylko wtedy, gdy moment tego układu względem osi obrotu jest zerowy:

Documents

MECHANIKA TEORETYCZNA - limba.wil.pk.edu.pllimba.wil.pk.edu.pl/kpmoc/images/stories/kpmoc/... · © 2020 – Paweł Szeptyński – Creative Commons BY-SA 4.0 MECHANIKA TEORETYCZNA