MECHANIKA I

Jaromr vgler

2

OBSAH

Pedmluva ........................................................................................................................... 3

1. Rozdlen a zkladn pojmy mechaniky ....................................................................... 4

Statika

2. Zkladn pojmy a axiomy statiky. Sla. Moment sly k bodu a k ose.

Silov dvojice. Zkladn vta statiky. Prce a vkon sly a momentu.......................... 5

3. Silov soustavy. Soustavy sil o spolenm psobiti, nhrada,

ekvivalence, rovnovha. Aplikace na hmotn bod ..................................................... 18

4. Obecn soustavy sil. Obecn rovinn soustava sil. Aplikace na tleso v rovin ........ 27

5. Obecn prostorov soustava sil. Aplikace na tleso v prostoru. Tit.

Vnitn statick inky................................................................................................ 35

6. Rovinn soustavy tles. Statick een soustav. Soustavy s ozubenmi koly ........... 46

Kinematika

7. Kinematika hmotnho bodu. Pmoar pohyb bodu a kivoar pohyb bodu. ......... 55

8. Kinematika tlesa. Rovinn pohyb tlesa. Posuvn pohyb. Rotan pohyb.

Obecn pohyb. ........................................................................................................... 64

9. Souasn pohyby tlesa .............................................................................................. 72

10. Stedy kivosti trajektori a oblek.............................................................................. 76

11. Kinematick een mechanism. Soustavy s ozubenmi koly .................................. 78

een.......................................................................................................................... 85

LITERATURA

[1] Rosenberg J.: Statika. Skriptum, VSE Plze 1987 [2] [3]

Rosenberg J.: Kinematika. Skriptum VSE Plze 1981 Brt V., Rosenberg J., J V.: Kinematika. SNTL/ALFA Praha 1987

[4] [5]

Ken J.: een pklady ze statiky. Skriptum, VSE Plze 1985 Ken J.: een pklady z kinematiky. Skriptum, VSE Plze 1986

[6] Juli K., Brepta R. a kol.: Mechanika I. dl. Statika a kinematika. Technick prvodce 65. SNTL Praha 1986

3

PEDMLUVA

Tento uebn text je uren studentm v kombinovan form studia, studujcm pedmt Mechanika I, kter nle k pedmtm tvocm zklad znalost nutnch pro pochopen a zvldnut modelovn technickch a prodnch jev a proces. Pedmt Mechanika I, kter je zamen na klasickou mechaniku bod, soustav bod, tuhch tles a soustav jimi vytvench, je rozdlen do dvou st. V prvn sti vnovan statice jsou uvedeny zkladn poznatky potebn pro silov een technickch a prodnch jev a druh, kinematick, st se zabv eenm pohybovch stav tchto jev. Poznatky jsou uvdny maximln strun, pevn bez odvozovn a dkaz, nicmn se sna zachytit vechny dleit a nezbytn znalosti. Ltka je rozdlena do kapitol a v kad kapitole jsou k probranmu tmatu uvedeny een pklady. Budu velmi vden za jakkoliv pipomnky k pedkldanmu textu, nebo jenom tak lze zlepit jeho kvalitu. Velk podkovn pat pan Jan Nocarov za jej pelivost a trplivost pi kreslen obrzk a grafick prav.

Autor

4

1 ROZDLEN A ZKLADN POJMY MECHANIKY

Mechaniku meme dlit podle rznch hledisek a zejm se nm stejn nepoda provst dlen pln uspokojujc. Pidrme se proto dlen ponkud konzervativnho, ale nm vyhovujcho rozdlen, kter meme schematicky zachytit nsledovn. Mechanika klasick cv

5

STATIKA 2 ZKLADN POJMY A AXIOMY STATIKY. SLA. MOMENT SLY

K BODU A K OSE. ZKLADN POJMY

Sly, jimi rzn tlesa, i rzn sti tho tlesa, na sebe navzjem psob, oznaujeme jako odpor, tah, tlak, ppadn jako akce nebo reakce. Pipomeme, e thov sla mg je silou akn! Pro nzornost uvedeme pklady sil.

Pklady druh sil NfT < T ten sla Nf tec sla

AR reakce kloubu A

CB RRS == osov sla v podprnm prutu a souasn reakce (= reakn sla) v kloubech B, C.

k konstanta pruiny prodlouen pruiny

N tah (tlak) T smykov sla vnitn statick M ohybov moment inky M, N, T silov inky ekvivalentn psobc, akn, sle F

Poznmka: Moment je na obrzku symbolicky znzornn obloukem, take nen zakreslen jako

vektor a proto nem ipku! AXIOMY STATIKY Nsledujc axiomy, nazvme je pouky, jsou velmi jednoduch a adu z nich ji znte, nicmn jsou a budou zkladnmi stavebnmi prvky vaich znalost statiky. Proto si je dobe zapamatujte. est zkladnch pouek pro statiku 1. inek sly na tleso se nezmn, kdy slu,

na jej nositelce libovoln posuneme.

6

2. Dv sly skldme ve vslednici podle zkona rovnobnka.

Poznmka: Grafickou konstrukci meme symbolicky vyjdit vektorovm zpisem

21 FFVrrr

+= 3. Dv sly mohou bt v rovnovze jen tenkrt, le-li na tme paprsku, jsou stejn velik a maj

opan smysl.

( ) 0rrr =+ FF 4. Ti sly mohou bt v rovnovze jen tenkrt, le-li v te rovin, prochz jednm bodem a

poloeny za sebou tvo uzaven trojhlenk.

0321rrrr

=++ FFF 5. K soustav sil lze pipojit libovolnou jinou soustavu sil, kter je v rovnovze, ani se zmn

psoben prv soustavy.

K sle Fr

v bod A pipojm Fr

a Fr

v bod . Psoben pvodn sly F se nezmn. Poznmka: K tomuto obrzku se vrtme u momentu dvojice sil a vimneme si M.

6. inek tlesa A na tleso B vyvod stejn, ale opan inek tlesa B na tleso A. A jde o slu,

dvojici sil, moment, i o celou soustavu sil.

BAAB NNrr

=

Odvozen pouky 1. Ti sly v prostoru skldme ve vslednici podle zkona rovnobnostnu.

321 FFFVrrrr

++=

7

2. Ekvivalence Dv soustavy sil jsou ekvivalentn, maj-li stejnou vslednici.

VSSFFrrrrr

=+=+ 2121 3. Rovnovha Dv soustavy sil jsou v rovnovze, kdy jejich vslednice se ru.

02121r

321

rr

321

rr

rr

=+++ VV

FFSS

4. Rozklad kme, e jsme slu rozloili ve sloky, kdy vslednic sloek je dan sla.

Minimln poet sloek sly v rovin jsou 2 sloky, v prostoru 3 sloky. SLA F Sla je vektor vzan ke sv nositelce a je po n libovoln posunuteln. Je to klouzav vektor. Rozmrovou jednotkou pro slu je Newton [N].

Skldn a rozklad sly Skldn sil bylo zmnno v zkladnch poukch pro statiku. Rozkladem sly, kter je opanm djem ke skldn sil, zskme sloky sly. Pozor musme dt na odlien sloky sly od prmtu sly, tak jak je to patrn pro rznobn pmky 21 , pp . Opt plat jednoduch vztahy

21 FFFrrr

+=

( ) += cos2 212221 FFFFF

Uren sly Abychom mohli slu jednoznan urit, potebujeme k tomu jist minimln poet prvk. Rovina Prostor

Potebujeme 3 prvky: Fx ,, Potebujeme 5 prvk: Fzx ,,,,

psobit sly

nositelka p

sloka sly ve smru p2 prmt sly do smru p2

8

Vztahy mezi hly u sly Pro hly kter jsou mezi silou F, jejmi slokami zyx FFF ,, a jejmi prmty III FF , , do prvn a druh prmtny, meme pst trigonometrick vztahy, kter plynou z pravohlch trojhelnk

coscoscoscoscos FFFFx === ,

sincossincos === FFFFy ,

sinsincoscos FFFFz === .

pravou vztah, na pklad dlenm druh rovnice rovnic prvn, dostaneme

tgtg =

cos .

Podobn, provedeme-li dlen tet rovnice rovnic prvn, zskme ze tetch a tvrtch vraz dal vztah

costgtg = .

Takto meme postupovat dle podle toho, kter vztahy jsou pro ns potebn. Vznamnou technickou aplikac rozkldn sil na sloky je een silovch pomr u ozubench kol, kde provdme rozklad ve vpotovm bod P pru spoluzabrajcch kol. Vpotov bod umisujeme do stedu ky a dlky zubu a zbr zub idealizujeme do tohoto bodu. Jedinou silou, neuvaujeme pasivn inky, psobc mezi boky zub, je sla normlov, lec na normle dotykovho bodu. Je to vdy sla reakn, tedy sla, kterou psob spoluzabrajc kolo na kolo, kter eme. Nam kolem je urit sloky normlov sly ve smru obvodovm ( TF ), radilnm ( RF ) a axilnm ( AF ) smru. Pklad 1 eln kola s pmmi zuby ez A - A Dno: KM Urit: RT FF ,

Poznmka: Z danho kroutcho momentu KM urme nejdve obvodovou, tenou, ( )OT FF = sloku ze vztahu

rMF kT = .

Pak ji meme urit radiln sloku

tgFF TR =

9

a ppadn vslednou normlovou slu

cosTFN = .

V ppad pmch zub je 0=AF . Urovn sloek N je dleit pro navazujc een, napklad pro zjitn namhn hdele, na kterm je kolo uloeno. Pklad 2 eln kola se ikmmi zuby Dno: 27=z , Poznmka: 4=m , Hovome o kolech se ikmmi zuby, ale ve o20= , skutenosti se jedn o zuby roubovit o25= , zakiven. Pro lep pedstavu je pr WP 4000= , spoluzabrajcch zub znzornn oddlen. min/3000 otn = . Urit: RAO FFF ,, EZ A- A Mezi polomrem rozten krunice r a potem zub z plat vztah

cos2

mzr = ,

kde m je modul a je hel sklonu roubovice na roztenm vlci. Velikost hlu zbru je 20. Z vkonu urme nejdve moment

NmPMMP 13

303000

4000==== &

.

10

Potom meme urit obvodovou slu

Nmz

Mr

MF 220059,013

102

11013

cos23

0 ==

===

.

Dle jet urme prmt sly N do roviny ten k roztenmu vlci

NFFI 7,242cos0 ==

a nyn je ji mon vyjdit axiln a radiln sloku normlov sly N tgFFA 0= N58,102= , tgFF IR = N3,88=

a ppadn i samotnou normlovou slu N

cosIFN = N3,258=& ,

kterou samozejm meme urit jako vslednici jejch ji urench sloek

.3,2582022 NFFFF AR =++=

Pklad 3 Kuelov kola s pmmi zuby Jedn se o dal typ ozubench kol, j