Meccanica applicata alle macchine.pdf

8/20/2019 Meccanica applicata alle macchine.pdf

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Alessandro Gasparetto

MECCANICA APPLICATA

ALLE MACCHINEAppunti delle lezioni

www.mechatronics.it


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Indice

1 Meccanica delle superfici 31.1 Richiami sulle caratteristiche dei solidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Proprietà di volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Fenomeni superficiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Contatti superficiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Contatti lineari e puntiformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Forze agenti negli accoppiamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Contatto di strisciamento e attrito radente . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Influenza della rugosità delle superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.3 Influenza delle condizioni operative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Relazioni fondamentali dell’usura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.1 Coefficiente di durata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Forze di contatto per le coppie elementari 252.1 Attrito di rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Coppia prismatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Coppia rotoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Il rendimento 333.1 Rendimento delle macchine poste in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Rendimento delle macchine poste in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Moto retrogrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Accoppiamento motore-utilizzatore 414.1 Caratteristica del motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Funzionamento da motore, da freno o da generatore . . . . . . . . . . . . . . 454.3 Campi operativi di un motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4 Curva caratteristica del carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.5 Luogo dei carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6 Accoppiamento diretto motore-utilizzatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.7 Accoppiamento motore-utilizzatore mediante riduttore di velocità . . . . . . 50

4.7.1 Riduzione all’asse motore e all’asse utilizzatore . . . . . . . . . . . . . 52

4.7.2 Trasformazione di un moto rotatorio in un moto rettilineo . . . . . . 544.8 Funzionamento a regime e in transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

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II INDICE

4.9 Stabilità del funzionamento a regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.10 Transitorio e tempo di avviamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.11 Il transitorio in un sistema motore-utilizzatore con riduttore di velocità . . . 594.12 Effetti della variazione del rapporto di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . 634.13 Criteri di verifica e di scelta del motore e del riduttore . . . . . . . . . . . . 654.14 Scelta del motore e del riduttore per carichi a velocità costante . . . . . . . . 674.15 Scelta del motore e del riduttore per carichi statici . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.15.1 Adattamento statico dei campi operativi . . . . . . . . . . . . . . . . 684.15.2 Cambi di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.16 Scelta del motore e del riduttore per carichi dinamici . . . . . . . . . . . . . 714.16.1 Adattamento dinamico del motore al carico . . . . . . . . . . . . . . 73

4.17 Regime periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.17.1 Inerzia e coppia ridotta alla coordinata libera per un sistema meccanico

a un grado di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.17.2 Grado di irregolarità del moto periodico . . . . . . . . . . . . . . . . 764.17.3 Progetto del volano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.18 Equilibramento dei rotori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.18.1 Progetto del contrappeso per l’equilibramento statico di un meccanismo 81

5 Organi per la trasmissione del moto: gli ingranaggi 855.1 Ruote di frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 Ruote dentate piane ad evolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3 Ruote dentate cilindriche a denti diritti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.4 Ruote cilindriche a denti elicoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.5 Ingranaggi conici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.6 Ingranaggi ad assi sghembi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.6.1 Ingranaggi elicoidali ad assi sghembi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.6.2 Ingranaggi ipoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.6.3 Ingranaggi a vite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.7 Rotismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.7.1 Rotismi ordinari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.7.2 Rotismi epicicloidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6 Altri organi di trasmissione del moto 1176.1 Trasmissione del moto mediante organi flessibili . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.1.1 Cinghie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.1.2 Catene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.1.3 Paranchi di sollevamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.2 Confronto tra organi a rapporto di trasmissione costante . . . . . . . . . . . 1286.3 Giunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.3.1 Giunto di Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.3.2 Doppio giunto di Cardano e altri giunti omocinetici . . . . . . . . . . 1336.3.3 Altri giunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.4 Sistemi vite-madrevite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.4.1 Vite-madrevite a filetto rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137


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6.4.2 Vite-madrevite a filetto trapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4.3 Vite a circolazione di sfere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.5 Frizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.5.1 Frizioni a disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.5.2 Frizioni coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.6 Freni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.7 Cuscinetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.7.1 Classificazione dei cuscinetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.7.2 Criteri di selezione dei cuscinetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7 Camme 1597.1 Legge del moto del cedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607.2 Tracciamento di una camma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.2.1 Camma piana con punteria centrata a rotella . . . . . . . . . . . . . . 1657.2.2 Camma piana con punteria eccentrica a rotella . . . . . . . . . . . . . 1667.2.3 Camma piana con punteria a piattello piano . . . . . . . . . . . . . . 1667.2.4 Camma piana con bilanciere a rotella . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.3 Analisi cinetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.4 Leggi del moto elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8 Meccanica delle vibrazioni 1738.1 Oscillatore semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.2 Risposta libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.3 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.4 Risposta a forzanti non sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

8.4.1 Risposta ad una forzante periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818.4.2 Risposta ad un impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828.4.3 Risposta ad una forzante generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.5 Vibrazioni torsionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183


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2 INDICE


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Capitolo 1

Meccanica delle superfici

Lo studio delle interazioni superficiali fra i membri, modellati come corpi solidi, è un argo-mento fondamentale della Meccanica delle Macchine. Infatti:

• l’attrito è legato al movimento relativo dei membri (in genere deve essere combattutocome fonte di perdite e di temperature elevate, altre volte è necessario al funzionamentodelle macchine)

• l’usura colpisce le superfici dei membri a contatto delle macchine provocando undecadimento progressivo delle caratteristiche funzionali.

L’usura, inoltre è fonte di:

– aumento dei giochi– aumento della rumorosità

– comparsa dei fenomeni d’urto

– aumento delle vibrazioni e di sollecitazioni per fatica

– disuniforme distribuzione delle pressioni

– imprecisioni di funzionamento

La classificazione delle interazioni fra i membri solidi può essere fatta dal punto di vistageometrico, da quello chimico-fisico e da quello cinematico.

Dal punto di vista geometrico (Fig.1.1) si hanno contatti:

• superficiali • lineari • puntiformi Sotto il profilo fisico-chimico il contatto può essere

• diretto fra i due membri accoppiati• indiretto o mediato dalla presenza di sostanze lubrificanti

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4 CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI

Figura 1.1: Tipi di contatto geometrici

? ? ?

v

Strisciamento? ? ? ? ? ?

v

ω

Rotolamento Urto

Figura 1.2: Tipi di contatto cinematici

In termini cinematici (Fig.1.2) i contatti possono essere

• di strisciamento

• di rotolamento

• d’urto

1.1 Richiami sulle caratteristiche dei solidiLe deformazioni dei solidi possono essere di tipo elastico o anelastico (plastiche o viscoelas-tiche).

Per i metalli, la deformazione elastica è praticamente indipendente dalla velocità di de-formazione e il ritorno allo stato indeformato è pressoché istantaneo con ciclo di isteresiirrilevante.

La presenza di un’eventuale fase di deformazione plastica prima della rottura caratterizzail materiale come duttile o fragile .

Dopo ogni deformazione plastica, al cessare della sollecitazione che l’ha provocata, il mate-

riale duttile non torna nella configurazione originaria ma resta soggetto ad una deformazioneresidua (nel grafico in Fig.1.4 tale deformazione residua è indicata con ǫ0).


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1.1. RICHIAMI SULLE CARATTERISTICHE DEI SOLIDI 5

Figura 1.3: Caratteristiche dei solidi

Figura 1.4: Materiali duttili, materiali fragili ed elastomeri


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1.1.1 Proprietà di volume

Tra le proprietà di volume è importante ricordare la durezza, che è definita come la resisten-

za offerta dal materiale alla penetrazione di un corpo più duro. Di solito viene utilizzata ladurezza alla penetrazione HB (prova di Brinell ) (Fig.1.3).

Per i metalli puri la durezza di Brinell è pari a circa tre volte il carico unitario disnervamento1 σs:

HB ∼= 3σs (1.1)

1.2 Fenomeni superficiali

I fenomeni superficiali determinano la grandezza e la direzione delle forze scambiate negliaccoppiamenti, l’entità e la natura dei fenomeni dissipativi, il deterioramento delle carat-

teristiche funzionali per effetto dell’usura, imponendo vincoli nella scelta dei materiali dacostruzione e dei trattamenti cui gli stessi debbono essere sottoposti e vincoli nella forma deimembri accoppiati.

Dal punto di vista geometrico si è già visto come i contatti possano essere superficiali,lineari o puntiformi:

• i contatti fra superfici di contatto nominalmente combacianti sono tipici delle coppieelementari (guide, viti, cuscinetti)

• i contatti lineari e puntiformi sono caratteristici di molte coppie superiori con membririgidi: ruote dentate, camme, piste con interposti elementi rotolanti.

Questa suddivisione teorica, che trae origine dalla forma geometrica ideale dei membri acontatto, non è tuttavia realizzata in pratica per varie cause, quali:

• la presenza di giochi• l’irregolarità delle forme dei corpi• la deformabilità delle loro superfici

1.2.1 Contatti superficiali

Si considerino due superfici accoppiate soggette all’azione di una forza esterna normale F nall’area di contatto. Essa teoricamente è estesa all’intera superficie, in realtà è limitataad alcune areole deformate, in quanto le superfici dei corpi solidi a contatto presentanoondulazioni e rugosità superficiali (Fig.1.5).

La massima distanza fra i picchi delle ondulazioni superficiali, per superfici prodotteindustrialmente, è in genere compresa fra 0.7 mm e 1.2 mm.

La rugosità superficiale (Ra) varia invece tra millesimi e centesimi di millimetro.Imprecisioni di lavorazione e deformazione dei membri, per effetto delle tensioni e/o della

temperatura, fanno dunque sì che il contatto avvenga non su tutta la superficie geometrica,ma solo su piccole aree.

1Si tratta di una relazione puramente sperimentale


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1.2. FENOMENI SUPERFICIALI 7

Figura 1.5: Tipi di contatti geometrici

Per la presenza delle ondulazioni, tali aree sono localizzate in zone definite: il numero deicontatti dipende

• dal carico applicato

• dalla rugosità delle superfici

Nel caso dei contatti diretti fra superfici idealmente combacianti è quindi possibile distinguerepiù aree di contatto fra i membri solidi accoppiati. In particolare si deve distinguere tra:

• Area apparente o geometrica di contatto Ag: è definita dalle dimensioni dei solidia contatto ed è indipendente dal carico

• Area reale di contatto Ar: è la somma di tutte le piccole aree attraverso le quali isolidi si toccano.

Per contatti fra superfici di acciaio soggette a pressioni specifiche modeste l’area realepuò essere, per esempio, dell’ordine di 1/1000 di quella geometrica. Quando il carico esternoaumenta e la pressione locale supera il carico unitario limite di snervamento σs del mate-riale più tenero quest’ultimo comincia a deformarsi plasticamente , di solito in punti postiimmediatamente al di sotto della superficie.

Se il carico aumenta ancora, il materiale attorno a questi punti diventa plastico sinché tut-ta la regione attorno agli originali punti di contatto è deformata plasticamente e l’estensionedella nuova area di contatto è in grado di sopportare il carico.

Raggiunto l’equilibrio, la pressione media dei contatti pm, detta pressione di snervamentotriassiale, è pari al valore di durezza determinato mediante la prova di Brinell . Quando èraggiunta la completa plasticità, pm è indipendente dal carico esterno. Questo significa cheogni aumento del carico fa aumentare l’area reale di contatto, in modo tale che pm resticostante.

L’area reale di contatto può quindi essere calcolata, in prima approssimazione e percarichi statici, mediante la relazione:

Ar = F n pm

(1.2)


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Figura 1.6: Definizione dei raggi di curvatura nel punto teorico di contatto

In zone sufficientemente lontane dalle asperità a contatto, la deformazione delle superfici èancora elastica, mentre nelle zone che costituiscono le zone di effettivo contatto tra i membriaccoppiati (Fig.1.5) si presentano legami di natura atomico-molecolare, detti comunementedi adesione , la cui intensità varia con la natura e con lo stato delle superfici.

1.2.2 Contatti lineari e puntiformi

All’inizio del contatto due corpi con superfici a diversa curvatura hanno idealmente un solopunto o al più una linea di contatto. Per effetto del carico esterno il punto di contatto siespande fino a diventare una piccola area.

Di conseguenza, anche se la forza esterna è modesta, la sollecitazione indotta nella zonadi contatto è di solito elevata. Ad esempio, non sono rare nei cuscinetti a rotolamentosollecitazioni di compressione superiori a 1.4 kN/mm2. Poiché l’area interessata dalle de-formazioni aumenta rapidamente, al di sotto della superficie di contatto le sollecitazioni dicompressione non si estendono a tutto il corpo e nel complesso i corpi in contatto possono an-cora essere considerati rigidi e si possono applicare macroscopicamente le leggi della dinamicadei corpi rigidi.

La teoria classica dei contatti superficiali elastici fu stabilita da Hertz.L’analisi di Hertz, valida per contatti puntiformi o lineari , parte dalle seguenti ipotesi:

1. i solidi a contatto sono omogenei e isotropi

2. le deformazioni sono elastiche e contenute entro limiti di elasticità lineare


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1.2. FENOMENI SUPERFICIALI 9

3. le dimensioni dell’area di contatto sono piccole, rispetto al raggio di curvatura dei corpinon deformati in vicinanza della zona di contatto

4. i raggi di curvatura della zona di contatto sono grandi, se confrontati con le dimensionidell’area di contatto

5. fra i due solidi non vi sono forze di attrito radente e quindi durante il contatto agisce solola forza normale: vengono dunque trascurati le sollecitazioni di taglio e gli spostamentinel piano tangente comune ai corpi a contatto.

Per contatti puntuali, il modello hertziano prevede che la forma della zona di contattosia data da un’ellisse (vedi Fig.1.6), rappresentata dall’equazione:

z = Ax2

1

+ By2

1

+ Cx1y1 (1.3)

rispetto ad un sistema di riferimento con l’origine posta nel punto di contatto P , prima delladeformazione, e con assi x1 e y1 giacenti nel piano tangente comune ai corpi a contatto.

I coefficienti A e B sono definiti dalle curvature principali r = 1/R delle superfici acontatto secondo le relazioni:

2 (A + B) = 1

R1M +

1

R1N +

1

R2M +

1

R2N (1.4)

2 (B −A) =√

Γ + Λ (1.5)

Λ =

1R1M

− 1R1N

2+

1R2M

− 1R2N

2(1.6)

Γ = 2

1

R1M − 1

R1N

1

R2M − 1

R2N

cos(2β ) (1.7)

ove β è l’angolo formato dai due piani contenenti le curvature r1M = 1/R1M e r2M =1/R2M .

In generale i piani contenenti i raggi di curvatura principali delle due superfici a contattonon sono coincidenti. Per semplicità grafica, in (Fig.1.6) essi sono stati disegnati nel casoparticolare di β = 0.

Indicando con

• F n la forza normale di contatto

• a e b i semiassi dell’ellisse che rappresenta l’area deformata di contatto

• d l’avvicinamento dei due corpi

• D la quantitàD =

1 − ν 2E

(1.8)

che tiene conto delle caratteristiche meccaniche del materiale (essendo ν il modulo diPoisson, E il modulo di Young)


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Figura 1.7: Valori di a∗, b∗ e d∗

il modello di Hertz giunge a stabilire le dimensioni dell’area deformata e il valore delloschiacciamento, che sono rispettivamente dati da:

a = a∗ 3

3

4

F n (D1 + D2)

A + B (1.9)

b = b∗ 3

3

4

F n (D1 + D2)

A + B (1.10)

d = d∗ 3

3

4F n (D1 + D2)

2 (A + B) (1.11)

ove i coefficienti a∗, b∗, d∗ sono funzioni solo del rapporto (A/B) e sono uguali a unoquando i due corpi in contatto hanno la stessa forma.

Nel caso i corpi a contatto abbiano diversa curvatura sono unicamente funzione di

B − AB + A

= 1 − A

B

1 + AB

(1.12)

Alcuni valori di a∗, b∗, d∗ sono riportati in (Fig.1.7)).La teoria hertziana permette inoltre di derivare la legge di distribuzione delle pressioni

nella zona di contatto mediante la relazione:

p = 3F n2πab

1 − x

a

2 − yb

2= pMAX

1 − x

a

2 − yb

2(1.13)


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1.3. FORZE AGENTI NEGLI ACCOPPIAMENTI 11

Figura 1.8: Distribuzione delle pressioni nella zona deformata di contatto

il cui massimo, ottenuto per x = 0, y = 0, vale:

pMAX = 3F n

2πab

(1.14)

Le pressioni nei vari punti del’area deformata di contatto hanno quindi una distribuzionesemiellissoidale (Fig.1.8).

Nel caso di contatti lineari, ad esempio fra corpi cilindrici con assi paralleli di ugualelunghezza l, l’area deformata diventa un rettangolo di larghezza b data da:

b =

2F n (D1 + D2)πl (A + B)

= (r1M + r1N ) + (r2M + r2N ) (1.15)

e la distribuzione delle pressioni normali ha la forma di un semicilindro, con valore p dato

da: p =

2F nπlb

1−

y

b

2(1.16)

il cui massimo si ha ovviamente per y = 0.

1.3 Forze agenti negli accoppiamenti

1.3.1 Contatto di strisciamento e attrito radente

L’esperienza dimostra che tra due solidi a contatto si sviluppano, anche in assenza di motorelativo, forze di superficie aventi direzione tangenziale tra le superfici a contatto.


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Consideriamo dapprima un corpo 1 che viene premuto contro un corpo 2 con una forzaN normale alla superficie comune di contatto. Per l’equilibrio, il corpo 2 eserciterà sul corpo1 un insieme di forze la cui risultante F N sarà uguale ed opposta a N , e avrà la stessa rettad’azione di N , in modo tale che il momento risultante sia nullo.

Supponiamo ora di applicare al corpo 1 una piccola forza T parallela alla superficie dicontatto: sperimentalmente si osserva che il corpo rimane fermo nella posizione iniziale.Dovrà quindi essere che tra i due corpi, lungo la superficie di contatto, si origina un insiemedi forze la cui risultante F T è uguale ed opposta a T . Affinché sussista l’equilibrio staticodel corpo 1, la forza F N si sarà spostata lungo la superficie di contatto, in modo tale chela coppia formata da F N e N equilibri quella formata da F T e T (che hanno rette d’azionediverse).

La forza F T , esercitata dal corpo 2 sul corpo 1 in condizioni di equilibrio statico, è detta forza di attrito statico o forza di aderenza . Aumentando il valore della forza tangenziale T

applicata al corpo 1, si osserva che il corpo continua a rimanere in equilibrio statico: ciòsignifica che anche l’intensità di F T aumenta di conseguenza sino a raggiungere un valorelimite, che rappresenta la massima forza di attrito statico (o aderenza) che si può svilupparetra le superfici a contatto. Per valori di T superiori a questo valore limite, non sussistonopiù le condizioni di equilibrio statico, e il corpo 1 si muove strisciando sul corpo 2.

Anche in questa situazione di strisciamento sussistono delle forze lungo la superficie dicontatto, la cui risultante ha direzione parallela a quella del moto relativo dei due corpi everso opposto a quello della velocità del corpo 1 relativa al corpo 2. Tale risultante è detta forza di attrito dinamico o forza di attrito cinetico o, qualora non si dia adito ad ambiguità,semplicemente forza di attrito. Nel suo complesso, il fenomeno descritto prende il nome di

attrito di strisciamento o attrito radente .Dalla descrizione fatta, si può evincere che la proprietà fondamentale delle forze di attrito

è di avere sempre verso tale da opporsi al moto relativo tra i corpi a contatto.Il fenomeno dell’attrito radente può anche essere modellato considerando, oltre alle forze

di contatto normale F N e tangenziale F T , anche la loro risultante F , la cui inclinazionerispetto alla normale è data dall’angolo

ϕ = arctan F T F N

(1.17)

come indicato in Fig.1.9.

L’angolo ϕ prende il nome di angolo di attrito.Il rapporto tra le componenti tangenziale e normale delle forze di contatto è definitocoefficiente (o fattore) di attrito:

f = F T F N

(1.18)

Risulta f = tan ϕ. f è quindi un coefficiente adimensionale.Se vi è movimento relativo tra i corpi a contatto, f è detto coefficiente di attrito dinamico

(f d) o coefficiente di attrito cinetico (f c), se siamo in situazione di equilibrio statico f prendeil nome di coefficiente di attrito statico (f s) o coefficiente di aderenza (f a).

Si può allora dire che la condizione di equilibrio statico fra due corpi a contatto permanefinché il rapporto F T /F N tra i moduli delle componenti tangenziale e normale delle forze


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Figura 1.9: Risultante delle forze di contatto e cono di attrito

di contatto non è superiore al coefficiente di aderenza, ovvero finché F T /F N ≤ f a. Nonappena il valore della componente tangenziale supera il valore limite F T = f aF N , si inizia ad

avere strisciamento tra i due corpi a contatto, il fenomeno di attrito diventa dinamico ed ègovernato dall’equazione:

F T = f dF N (1.19)

Con riferimento alla Fig.1.9, la condizione da soddisfare affinché sussista l’equilibrio stati-co può essere formulata graficamente, imponendo che l’angolo formato dalla risultante delleforze di contatto con la normale alla superficie sia minore dell’angolo di aderenza in condizionilimite, ovvero

ϕ ≤ ϕa = arctan(f a) (1.20)

In altre parole, in condizioni di equilibrio statico il vettore della risultante può assumerequalunque direzione, purché giacente all’interno del cono (cono di attrito) avente come assela normale alle superfici a contatto e come generatrice la retta d’azione della risultante incondizioni limite di aderenza (ovvero la retta inclinata dell’angolo ϕa rispetto alla normale).In condizioni di strisciamento, la risultante delle forze scambiate è invece inclinata rispettoalla normale di un angolo pari a ϕ = arctan(f d).

L’attrito tra corpi solidi prende il nome di attrito coulombiano. Secondo Coulomb ilfattore di attrito f :

• dipende dalla natura dei materiali che si toccano e dallo stato delle superfici a contatto

• non dipende dalle forze normali, né dall’estensione del contatto, né dalla forma dellesuperfici coniugate


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Figura 1.10: Andamento dell’attrito in funzione della velocità

• non dipende dalla velocità relativa di strisciamentoIl modello coulombiano dell’attrito ha il pregio della semplicità e per questo motivo viene

comunemente utilizzato per rappresentare il fenomeno dello strisciamento tra corpi solidi, perquanto esso non risulti, ad una verifica sperimentale, particolarmente preciso. Il fenomenodell’attrito è infatti estremamente complesso da un punto di vista fisico e rifugge pertantoda una modellazione accurata.

Ad esempio, da risultati sperimentali è emerso che il coefficiente d’attrito non è indipen-dente dalla velocità (come assunto nel modello coulombiano), ma ha piuttosto un andamento

del tipo raffigurato in Fig.1.10: dopo una brusca diminuzione passando da velocità nulla(attrito statico) a velocità piccolissime, il coefficiente di attrito subisce un certo aumentoal crescere della velocità. Per velocità maggiori di un dato valore, il coefficiente d’attritorimane dapprima costante, poi tende a decrescere con la velocità.

Vediamo ora di capire le motivazioni fisiche del fenomeno dell’attrito.Come abbiamo già avuto modo di sottolineare, il contatto fra due corpi solidi con superfici

nominalmente combacianti non si attua sull’intera area geometrica di contatto, ma su unasomma di areole (l’area reale di contatto). Non appena la distanza fra le superfici diventacosì piccola da rendere operanti le forze intermolecolari, si manifestano fra di esse legami diadesione .

Come rappresentato in Fig.1.11, la resistenza al movimento relativo di due superfici acontatto è dovuta ad un complesso di fenomeni, fra loro interagenti. Si ha dunque che lacomponente tangenziale della forza di contatto è data dalla somma di vari contributi:

F t = F t1 + F t2 + F t3 + F t4 (1.21)

che sono rispettivamente:

• F t1: la forza necessaria per vincere i legami di adesione (microgiunzioni)

• F t2: la forza necessaria per produrre deformazioni viscoelastiche

• F t3: la forza necessaria per asportare le asperità che interferiscono geometricamente


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Figura 1.11: Componenti della forza tangenziale tra superfici

• F t4: la forza necessaria per produrre solcature plasticheIl valore di ciascuna componente è funzione dei materiali a contatto, delle caratteristiche

delle superfici, della presenza o meno di lubrificanti e delle condizioni operative.Il grafico (Fig.1.12) mette in luce la variazione del fattore d’attrito in funzione dei

materiali e delle condizioni di lubrificazione.Come si vede, le caratteristiche dei materiali incidono sensibilmente sul fattore d’attrito

in assenza di lubrificazione, ma perdono importanza quando il contatto fra i solidi avvienein condizioni di lubrificazione limite.

La componente F t1 è legata al carico unitario di taglio τ del materiale meno duro, secondola:

F t1 = Arτ = F nτ

pm(1.22)

Il componente del fattore d’attrito legato a questo fenomeno risulta perciò:

f 1 = F t1F n

= τ

pm(1.23)

con i valori di τ e pm che variano a seconda dei materiali. Per molti materiali metallicirisulta:

τ ∼= 0.6σs (1.24) pm ∼= H B = 3σs (1.25)

essendo σs il carico unitario di snervamento. Perciò il rapporto τ /pm vale all’incirca 0, 2.

1.3.2 Influenza della rugosità delle superfici

I contributi alla forza d’attrito espressi dai due ultimi termini (F t3 e F t4) della (1.21) sono

legati principalmente alla rugosità delle superfici, quali risulta dalle lavorazioni tecnologicheche le hanno prodotte.


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Figura 1.12: Variazione del fattore di attrito in funzione dei materiali e delle condizioni dilubrificazione

Come si può vedere dalla Fig. 1.14, nel campo di valori di rugosità di componenti metallici

prodotti da ordinarie lavorazioni tecnologiche (Ra = 0.4 − 1.4µm), non si hanno sensibilivariazioni del fattore di attrito.In generale, se la rugosità è molto bassa, l’attrito tende ad essere alto perché l’area

reale di contatto aumenta notevolmente e sono esaltati i fenomeni di adesione. Anche inpresenza di rugosità molto alta l’attrito aumenta per la necessità di sollevare continuamenteuna superficie al di sopra delle asperità dell’altra. Nel campo intermedio, invece, l’influenzadella rugosità sul fattore d’attrito è modesta.

1.3.3 Influenza delle condizioni operative

Prove sperimentali hanno dimostrato che il fattore d’attrito varia anche sensibilmente, aparità di caratterizzazione fisico-chimiche delle superfici, in funzione

• del tempo di contatto,• delle velocità di strisciamento,• della pressione media di contatto,• della temperatura dell’interfaccia• delle condizioni di lubrificazione• dell’atmosfera, specie nel caso dei polimeri.


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Figura 1.13: Valori medi dei fattori d’attrito per diversi accoppiamenti


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Figura 1.14: Variazione del fattore di attrito in funzione delle rugosità superficiali dellesuperfici a contatto

Influenza del tempo di contatto

Numerose esperienze hanno mostrato che il fattore d’attrito statico, in assenza di lubrifi-cazione, è funzione del tempo di contatto fra i corpi. Esso varia rapidamente in un brevissimo

periodo iniziale del contatto (0.1s), poi cresce più lentamente sino a stabilizzarsi (Fig.1.15).

Influenza della velocità relativa

Il fattore di attrito cinetico, fra superfici in moto relativo, è generalmente inferiore al fattoredi attrito statico. L’andamento generale del fattore di attrito in funzione della velocità èriportato in Fig.1.10. Risultati sperimentali, condotti su un campo di velocità più ristrettoe per varie coppie di materiali a contatto, sono raffigurati nelle Fig.1.16 e 1.17.

Influenza della pressione di contatto

L’influenza della pressione di contatto va analizzata distinguendo i casi di pressioni normalied elevate. Queste ultime si hanno quando la pressione specifica si avvicina o supera ilcarico unitario di snervamento del materiale. In questo caso all’aumentare della pressione(Fig.1.18) il fattore di attrito diminuisce.

Influenza della temperatura

Nei metalli le variazioni di temperatura dovute ad effetti esterni non provocano, in generale,

sensibili variazioni del fattore di attrito, anche perchè i due termini τ e pm risentono nellostesso modo della variazione di temperatura. Solo nel caso di brevi surriscaldamenti dell’in-


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Figura 1.15: Variazione del fattore di attrito in funzione del tempo di contatto fra i solidi

Figura 1.16: Variazione del fattore di attrito con la velocità per alcuni metalli


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Figura 1.17: Variazione del fattore di attrito con la velocità per alcuni polimeri

Figura 1.18: Variazione del fattore di attrito in presenza di elevate pressioni


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Figura 1.19: Variazione del fattore di attrito di polimeri in funzione della temperaturaambiente

terfaccia per effetto di alte velocità di strisciamento, il fattore di attrito diventa più basso,con ogni probabilità perché il carico di taglio τ diminuisce più di pm.

I polimeri presentano invece una maggiore variabilità del coefficiente di attrito con latemperatura (Fig.1.19).


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Figura 1.20: Contatto di strisciamento. Calcolo del volume del materiale usurato

1.4 Relazioni fondamentali dell’usura

Quando due membri solidi sono animati da moto relativo di strisciamento il volume delmateriale asportato per usura ∆V può essere valutato mediante l’equazione proposta daHolm:

∆V = kF n

pm∆s = kAr∆s (1.26)

essendo

• k un fattore adimensionale sperimentale,• F n la forza normale esterna,• pm la pressione di snervamento superficiale (misurata dalla durezza di Brinell HB )• ∆s lo spazio percorso.Se A è l’area geometrica di contatto e ∆h l’altezza usurata, si può riscrivere la precedente

in funzione della pressione di contatto p nella forma:

∆h = ∆V A = k F n

pmA∆s = k 1 pm

F nA ∆s = k p pm∆s (1.27)

o in quella equivalente che esprime la velocità di usura:

∆h

∆t = k

p

pm

∆s

∆t = k

p

pmv (1.28)

Il fattore k è funzione dei materiali a contatto e dello stato delle loro superfici, della durez-za e delle dimensioni delle particelle abrasive. Varia sensibilmente a seconda del meccanismoprevalente di usura (adesiva, abrasiva, ecc.)

In ogni caso, va tenuto presente che i risultati sperimentali presentano una limitataripetibilità, anche per test condotti su componenti identici.


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1.4. RELAZIONI FONDAMENTALI DELL’USURA 23

Figura 1.21: Coefficiente di durata per vari tipi di guarnizioni per freni

1.4.1 Coefficiente di durata

Nello studio dei freni il volume di usura è spesso espresso in modo da mettere in luce ilrapporto fra lavoro di frenatura L e il volume di usura ∆V . Dalla

∆V = kF n

pm∆s = kAr∆s (1.29)

si ottiene la relazione che esprime la cosiddetta ipotesi di Reye: il volume del materiale asportato per usura è direttamente proporzionale al lavoro compiuto dalle forze di attrito

∆V = kF n

pm∆s =

k

pmf F t∆s = k1L (1.30)

sicché l’usura specifica , ∆V /L, può essere espressa dal rapporto, misurato in mm3/kJ :

k1 = k pmf

(1.31)

detto coefficiente di usura. Dai grafici di figura (Fig.1.21) si nota che il fattore di usuradipende fortemente dal tipo di materiale per guarnizioni da freno e aumenta più del fattoredi attrito, passando da un tipo di guarnizione all’altro.

Il reciproco dell’usura specifica

k2 = 1

k1=

pmf

k (1.32)

è detto coefficiente di durata. Valori tipici di k2 per i freni vanno da 2 a 100 kJ/mm3.


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Capitolo 2

Forze di contatto per le coppie

elementari

2.1 Attrito di rotolamento

Il contatto di rotolamento può avvenire soltanto fra coppie rigide e non combacianti; adesempio fra un cilindro ed un piano, fra due cilindri, fra una sfera ed un piano.

In molti casi della pratica non si ha un contatto di puro rotolamento, bensì un contattocon rotolamento e strisciamento sovrapposti (ad esempio, il contatto fra i denti di due ruotedentate). In questi casi, dal punto di vista della distribuzione delle pressioni valgono leconsiderazioni che svolgeremo nel presente paragrafo, mentre dal punto di vista dell’attrito

l’effetto dello strisciamento prevale, di solito, su quello del rotolamento, per cui in molti casisi può prescindere da quest’ultimo contributo.

Figura 2.1: Area di contatto e distribuzione delle pressioni: a) sfera, b) cilindro

Nel contatto fra superfici a doppia curvatura la distribuzione delle pressioni può esseretrovata, come visto nel capitolo precedente, utilizzando i risultati della teoria di Hertz. A

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26 CAPITOLO 2. FORZE DI CONTATTO PER LE COPPIE ELEMENTARI

stretto rigore tale teoria è valida per corpi perfettamente elastici caricati entro il limitedi proporzionalità; in realtà i suoi risultati sono applicabili con ottima approssimazione aimateriali comunemente impiegati nelle costruzioni meccaniche.

Figura 2.2: Distribuzione delle pressioni di contatto in presenza di rotolamento

Ciò premesso, consideriamo un rullo rotolante su di un piano fisso. Se la distribuzionedella pressione normale fosse hertziana e mancassero azioni tangenziali, non si avrebbe spesadi energia. Invece l’esperienza dimostra che anche in questo moto di puro rotolamento si ha

dissipazione di energia. Cerchiamo di esaminarne le cause.Queste sono molteplici e spesso concomitanti:

• imperfetta elasticità del rullo e del corpo fisso;• fenomeni di elasticità ritardata;• urti fra le asperità superficiali dei due corpi;• slittamento fra i due corpi, che si manifesta quando al rullo sia applicata, oltre ad una

forza Q normale alla direzione del moto, anche una forza T parallela a questa direzione.

Tralasciando le altre cause di dissipazione, che intervengono sensibilmente soltanto incasi particolari, soffermiamoci brevemente sugli effetti dell’imperfetta elasticità (e su quellidell’elasticità ritardata, con essi strettamente collegati).

Se i due corpi non sono perfettamente elastici, parte dell’energia spesa nella deformazionenon viene resa nella successiva fase di restituzione, ma viene dissipata per vincere le resistenzedi attrito interno del materiale. Può anche accadere che parte dell’energia accumulata neidue corpi come energia potenziale elastica venga restituita con ritardo e che pertanto finiscacon essere anch’essa dissipata.

Ragionando in termini di forze, invece che in termini di energie, possiamo dire che ladistribuzione di pressione nel contatto non è simmetrica rispetto alla direzione della forza

Q, poiché la pressione nella zona anteriore risulta mediamente più elevata della pressionenella zona posteriore. II diagramma della pressione dà luogo, pertanto, ad una risultante


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2.1. ATTRITO DI ROTOLAMENTO 27

che ha sempre modulo pari alla Q, ma la cui retta di azione è spostata in avanti, nel sensodel moto, rispetto alla Q. Chiamiamo parametro dell’attrito volvente tale spostamento,che indichiamo con il simbolo δ .

Per mantenere il rullo in rotazione con velocità angolare costante è necessario applicaread esso una coppia che eguagli il momento dato dal prodotto della forza Q per il braccio δ :

M m = Qδ (2.1)

Il lavoro speso per spostare in avanti l’asse del rullo di una distanza s è pertanto datoda:

L p = M ms

R = Q

δ

Rs (2.2)

dove R è il raggio del rullo.

Il rapporto δR è chiamato coefficiente di attrito volvente. Lo indicheremo con ilsimbolo f v.

In tal modo si avrà:L p = f vQs (2.3)

che è formalmente analoga alla espressione che dà il lavoro perduto per attrito fra duecorpi striscianti l’uno sull’altro, premuti da una forza Q. La forza orizzontale T da applicareal rullo per farlo rotolare a velocità costante è dunque data da:

T = f vQ (2.4)

II valore del coefficiente di attrito volvente può essere determinato soltanto in via speri-mentale; ma il suo ordine di grandezza può essere valutato anche con considerazioni teoriche.

Ad esempio i risultati della teoria di Hertz permettono di fissare un limite superioreal valore di f v. Soffermiamoci, a questo proposito, sul contatto fra un rullo ed un piano.Dall’espressione della semilarghezza nel caso di due rulli paralleli:

b = 1.52

QE 1R1

+ 1R2

l

(2.5)

ponendo R2 → ∞ otteniamo:

b = 1.52

QE 1R1

l

(2.6)

É evidente che deve essere δ < b (spesso δ è dell’ordine di 0.1b) e quindi:

f v


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Cuscinetti radiali orientabili a sfere 0,0010Cuseinetti assiali a sfere 0,0013Cuscinetti radiali rigidi a sfere 0,0015Cuscinetti a rulli cilindrici 0,0011-0,0020Cuscinetti orientabili a rulli 0,0018Cuscinetti a rulli conici 0,0018Cuscinetti obliqui a sfere 0,0020-0,0024Ruota su rotaia (D è il diametro della ruota in mm) 0.026/

√ D

Pneumatico su strada (a velocità inferiore a c. 100 km/ora) 0,01

Tabella 2.1: Valori orientativi del coefficiente di attrito volvente

2.2 Coppia prismatica

Consideriamo una coppia prismatica realizzata con un’asta rigida guidata da due collari A eB; conoscendo i coefficienti di attrito fra l’asta e i due collari, vogliamo determinare l’intensitàdella forza motrice P (della quale si conoscono la retta d’azione e il verso) necessaria pervincere la forza resistente Q nota.

Figura 2.3: Coppia prismatica con due collari

Le reazioni RA e RB dei collari sull’asta hanno ciascuna una componente normale e una

componente tangenziale, dovuta all’attrito; per determinare le rette d’azione di RA e RB,occorre innanzitutto stabilire quali sono i versi delle componenti normali. Per fare ciò, bastaconsiderare le condizioni di equilibrio dell’asta alla rotazione attorno ai punti in cui le retted’azione di RA e RB incontrano la retta d’azione di Q.

Per l’equilibrio dei momenti di RB e di P rispetto al punto di incontro delle rette d’azionedi RA e di Q, ad esempio, si vede che RB è orientata verso il basso; con un ragionamentoanalogo, si vede che RA è invece orientata verso l’alto. Le componenti di attrito di RA e RBhanno sempre versi tali da opporsi all’avanzamento dell’asta, per cui si può concludere chele rette d’azione di RA e RB sono quelle riportate in figura.

Se le rette d’azione di P e di Q fossero state tali da incontrarsi in un punto compreso fra

i due collari, anzichè in un punto esterno ad essi, le forze RA e RB sarebbero state orientateentrambe o verso l’alto o verso il basso.


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2.2. COPPIA PRISMATICA 29

Una volta determinate le rette d’azione di RA e RB, il problema è quello di scomporrela forza nota Q in tre forze P , RA e RB aventi rette d’azione assegnate. Il problema si puòrisolvere con metodi grafici o analitici.

Graficamente, si può osservare che se le rette d’azione di tre forze passano tutte per unostesso punto, esterno alla retta d’azione della forza rimanente, si verifica l’ impuntamentodell’asta: in tali condizioni infatti non esiste alcun valore finito dell’intensità della quartaforza che possa fare equilibrio alla risultante delle prime tre.

Risolviamo ora il problema con il metodo analitico, applicando cioè all’asta le equazionidi equilibrio statico secondo Newton. Ciò ci permetterà anche di formulare analiticamentela condizione di impuntamento.

Con riferimento alla Fig. 2.4, sia P la forza resistente, con retta d’azione passante perl’asse della coppia prismatica, e F la forza di trazione, parallela a P ma con retta d’azione

traslata di una quantità pari a e (eccentricità). Nei punti di contatto A e B l’asta è soggettaalle reazioni vincolari della guida, essendo T A e T B le componenti parallele all’asse, N A e N Ble componenti perpendicolari.

Figura 2.4: Fenomeno dell’impuntamento

Scriviamo le due equazioni di equilibrio alla traslazione dell’asta, e l’equazione di equi-librio alla rotazione prendendo come polo il punto A:


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F − T B − P − T B = 0N B

−N A = 0

N Bh− 2aT B − P a + F (a− e) = 0(2.8)

Se ora si vuole trovare il valore della forza minima necessaria per muovere l’asta, èsufficiente porsi nelle condizioni limite di aderenza. Tra le componenti tangenziali e normalidelle reazioni vincolari sussiste dunque la relazione:

T A = f aN AT B = f aN B

(2.9)

Sostituendo tali relazioni nel sistema precedente, si ricava che la minima forza necessariaper muovere l’asta è data da:

F = P

1 − 2f aeh

(2.10)

Pertanto F è tanto maggiore quanto maggiori sono P , f a ed e, ed è tanto minorequanto maggiore è h. Il caso dell’impuntamento si verifica quando 2f ae/h = 1, perché ildenominatore si annulla e F tende ad infinito.

2.3 Coppia rotoidale

Esaminiamo ora l’equilibrio della coppia rotoidale. Supponiamo che il perno rotante siacaricato da due forze esterne non passanti per l’asse della coppia: una forza resistente Q eduna forza motrice P .

La forza R12 trasmessa al perno dalla sua sede deve fare equilibrio alla risultante della P e della Q.

La forza resistente Q è nota ed è nota la sua linea di azione. Altri elementi noti sono: lalinea di azione della P , e l’angolo di attrito ϕ nel contatto fra gli elementi cinematici dellacoppia rotoidale.

Si vuole trovare l’intensità della forza P capace di equilibrare la Q in condizioni di motouniforme. In Fig. 2.5 è rappresentata una possibile realizzazione della coppia. Sono anche

indicate le forze agenti nel piano medio della coppia.Se non ci fossero attriti la reazione R12 sarebbe diretta secondo un raggio del perno epertanto passerebbe per l’asse della coppia rotoidale. A causa dell’attrito fra perno e sedela R12 risulta inclinata dell’ angolo ϕ rispetto al raggio del perno passante per il punto delcontorno in cui la R12 può considerarsi applicata.

Ne discende che la R12 è tangente ad una circonferenza di raggio ρ = Rsinϕ (R è il raggiodel perno). Tale circonferenza è chiamata circolo di attrito (spesso il raggio del circolo diattrito è espresso, in via approssimata, come prodotto di R per il coefficiente di attrito f .Con i valori usuali di ϕ questa approssimazione è di solito legittima).

La R12 deve passare anche per il punto di incontro di Q e P . Le due condizioni, unitamente

alla considerazione che la R12 deve dare, rispetto all’asse del perno, momento che si opponeal moto, permettono di individuare la retta di azione della R12.


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2.4. PIANO INCLINATO 31

Figura 2.5: Coppia rotoidale

Nota la linea di azione di R12 , la P può essere immediatamente calcolata in via grafica,con la costruzione del triangolo delle forze.Volendo procedere per via analitica conviene esprimere l’equilibrio dei momenti delle forze

attorno all’asse del perno. Si ottiene:

P = Qa + R12ρ

b (2.11)

Inoltre, applicando il teorema di Carnot al triangolo delle forze, si può scrivere:

R12 =

P 2 + Q2 − 2P Q cos θ (2.12)

Da queste due equazioni si possono calcolare P e la R12.

2.4 Piano inclinato

Consideriamo infine l’equilibrio di un grave che poggia su di un piano inclinato (Fig. 2.6).Tale sistema può essere considerato una coppia piana. Supponiamo noti, oltre al peso delgrave (forza resistente Q), l’inclinazione α del piano di appoggio rispetto ad un piano oriz-zontale, l’angolo di attrito ϕ e l’angolo θ che la forza motrice P forma con la normale alpiano inclinato. Ci proponiamo di calcolare l’intensità della forza P , in condizioni di moto

uniforme.Non essendo richiesta la determinazione di R12, una sola equazione è sufficiente per lasoluzione del quesito. Essa può essere scritta considerando l’equilibrio delle forze secondouna direzione ortogonale alla R12. Proiettando su tale direzione si ottiene:

P sin (θ + ϕ) = Q sin(α + ϕ) ⇒ P = Q sin(α+ϕ)sin(θ+ϕ) (2.13)


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Figura 2.6: Piano inclinato


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Capitolo 3

Il rendimento

Le forze (e le coppie) agenti sulle macchine possono essere classificate secondo diversi puntidi vista. Così, per esempio, una classificazione consiste nel distinguere le forze in motrici eresistenti.

Una forza

• è motrice, se nel movimento della macchina compie lavoro positivo;• è resistente, se compie lavoro negativo.Distingueremo pure le forze in esterne ed interne.

• Le forze esterne derivano dall’azione di campi di forze (peso, forze d’inerzia) o di corpiesterni alla macchina,• Le forza interne sono le forze trasmesse fra i membri della macchina.Due corpi a contatto fra loro si trasmettono una forza, nella quale in genere (sempre, se

fra i due corpi c’è moto relativo) è presente una componente dovuta all’attrito. Questa com-ponente d’attrito costituisce una resistenza passiva e durante il moto compie lavoro negativo,cioè dissipa energia.

Un effetto analogo danno pure resistenze passive di altro genere, come la resistenza cheun fluido esercita su un corpo che si muove immerso in esso, gli attriti interni dei fluidi

viscosi, e cosi via.Un indice che ben si presta alla valutazione dell’energia spesa per attrito, così in unacoppia cinematica come in una macchina nel suo complesso, è il rendimento.

Consideriamo una macchina alla quale siano applicate dall’esterno una o più forze (ocoppie) resistenti ed una o più forze (o coppie) motrici.

Dopo un certo periodo di funzionamento della macchina le forze resistenti esterne abbianoassorbito il lavoro Lr e le forze motrici abbiano erogato il lavoro Lm.

Come si è accennato poco sopra, le componenti d’attrito delle forze interne assorbonolavoro. Indichiamo con L p, questo lavoro perduto per attrito, riferito allo stesso periodo ditempo.

Indichiamo con E l’energia cinetica della macchina (somma delle energie cinetiche deisuoi membri) e prendiamo i lavori in valore assoluto.

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34 CAPITOLO 3. IL RENDIMENTO

Se le variazioni di energia interna, come ad esempio quella elastica, sono trascurabili, valeil seguente bilancio energetico:

Lm−

Lr−

L p = ∆E (3.1)

cioè la somma algebrica dei lavori compiuti, in un certo intervallo di tempo, da tutte leforze agenti sulla macchina, è uguale alla variazione subita dall’energia cinetica nello stessointervallo di tempo.

Se il secondo membro dell’equazione si mantiene costantemente uguale a zero per un certointervallo di tempo del funzionamento della macchina, diciamo che la macchina funziona in condizioni di regime assoluto.

In tale situazione vale la relazione:

Lm = Lr + L p (3.2)

Può accadere che durante il funzionamento di una macchina il secondo membro della (3.1)risulti uguale a zero soltanto al termine di regolari intervalli di tempo. Può cioè accadereche valga ancora l’equazione (3.2), ma a condizione che i lavori vengano valutati per tempiuguali, o multipli interi, di un tempo base, chiamato periodo. Quando si verificano queste circostanze si dice che la macchina funziona in condizioni di regime periodico.

É ovvio che le condizioni di regime, sia assoluto sia periodico, sono condizioni partico-lari, per quanto frequenti, di funzionamento per una macchina. In generale (per esempioall’avviamento, all’arresto, nel passaggio da un regime all’altro) il secondo membro della 3.1è diverso da zero, potendo essere, a seconda dei casi, positivo (ad esempio all’avviamento)o negativo (ad esempio all’arresto). Di conseguenza, nel primo caso il lavoro motore prevale

sulla somma del lavoro resistente e del lavoro perduto; l’opposto accade nel secondo caso.Questa condizione generale è chiamata transitorio meccanicoCiò premesso, consideriamo una macchina che funzioni in condizioni di regime; valga cioè

la (3.2), con le limitazioni sopra menzionate per il caso di regime periodico. In tale situazionedefiniamo rendimento della macchina il rapporto:

η = LrLm

(3.3)

É evidente che il rendimento è un numero sempre minore di uno.

• In alcuni casi (per certe coppie o per certe macchine strutturalmente semplici, realiz-

zate con cura, funzionanti in condizioni particolarmente favorevoli) il rendimento puòassumere valori prossimi ad uno.

• In altri casi il suo valore può scendere a valori molto bassi, fino ad annullarsi oaddirittura a divenire negativo; caso questo cui corrisponde impossibilità di movimento.

Al rendimento può essere data anche un’espressione diversa. Se immaginiamo che lamacchina funzioni in condizioni ideali di assenza di attrito, si ha la seguente relazione:

Lm0 = Lr (3.4)

nella quale con Lm0 si è indicato il lavoro motore richiesto in questa situazione puramenteideale.


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3.1. RENDIMENTO DELLE MACCHINE POSTE IN SERIE 35

Si può così scrivere:

η = Lm0

Lm(3.5)

ossia il rendimento è anche dato dal rapporto fra il lavoro motore in condizioni ideali ed illavoro motore in condizioni reali.

Tale espressione del rendimento può essere ulteriormente trasformata. Se indichiamocon P la forza motrice, con P 0 la forza motrice in condizioni ideali di assenza di attrito,ricordando che il lavoro è uguale al prodotto scalare della forza per il suo spostamento (cheè lo stesso sia per P , sia per P 0), si può scrivere:

η = P 0

P (3.6)

Indichiamo con perdita di rendimento la quantità:

1− η = L pLm

(3.7)

Nel calcolo e nella determinazione sperimentale del rendimento di una macchina di rendi-mento elevato, è spesso conveniente fare uso di quest’ultima espressione; conviene, cioè,giungere alla valutazione di η attraverso quella di 1 − η. Per rendersene conto basta os-servare che l’uso di tale espressione permette l’introduzione, nel calcolo di L p e di Lm diespressioni approssimate, spesso preferibili, perchè più maneggevoli, alle espressioni esatte;infatti eventuali errori, percentualmente anche sensibili, commessi nel calcolo di L p ed Lmincidono poco sul calcolo di 1 − η, se η è prossimo ad uno. Analogamente nella determi-nazione sperimentale di 1

−η poco incidono, se η è prossimo ad uno, errori percentualmente

sensibili compiuti dagli strumenti nella misura di L p ed Lm.

3.1 Rendimento delle macchine poste in serie

Si consideri la trasmissione meccanica rappresentata in figura. In essa un motore M pone inmovimento una macchina operatrice O attraverso un certo numero di dispositivi intermedi(una trasmissione a cinghia ed un riduttore R). Lo schema è un esempio di come si realizzauna disposizione di macchine in serie.

Tutti i componenti della serie sono interessati, prescindendo dalle perdite per attrito,

dall’intera potenza fornita dal motore, la quale viene in definitiva utilizzata sulla macchinaoperatrice.In generale un sistema di macchine disposte in serie può essere schematizzato come nella

figura successiva, dove fra il motore e la macchina operatrice sono stati inseriti n elementiintermedi.

Si dimostra facilmente che il rendimento della serie di n componenti è uguale al prodottodegli n rendimenti parziali.

A tal fine osserviamo che, se indichiamo ad esempio con Lr1 il lavoro resistente utile com-piuto dalla macchina T 1, e con Lm2 il lavoro motore erogato alla macchina T 2, è Lr1 = Lm2.Analogamente si ottiene Lr2 = Lm3 .... Il rendimento della trasmissione è per definizione:

η = LrnLm1

(3.8)


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Figura 3.1: Macchine in serie

Figura 3.2: Più macchine in serie. Schema a blocchi.

Per quanto si è visto si può anche scrivere:

Lrn

Lm1

= Lr1

Lm1

Lr2

Lm2

.. Lrn

Lmn

(3.9)

ossia:

η = η1η2..ηn (3.10)

3.2 Rendimento delle macchine poste in parallelo

Si consideri ora un impianto come quello schematizzato in figura, nel quale più macchineoperatrici ricevono potenza da uno stesso motore, attraverso differenti trasmissioni. Siamo

in presenza di una disposizione di macchine in parallelo; ciascuno dei rami della trasmissioneè percorso da una parte della potenza erogata dal motore.In questo caso il rendimento della trasmissione vale

η = LrLm

= Lr1 + Lr2 + .. + LrnLm1 + Lm2 + .. + Lmn

= η1Lm1 + η2Lm2 + .. + ηnLmn

Lm(3.11)

Ossia il rendimento del complesso è uguale alla media ponderata del rendimento dei singolicomponenti, essendo pesi i lavori motori.

Si può concludere che, mentre con la disposizione in serie il rendimento complessivorisente direttamente del rendimento di ciascun componente, nella disposizione in parallelo

sul rendimento complessivo influiscono decisamente soltanto i rendimenti dei componenti che assorbono una sensibile aliquota della potenza erogata dal motore.


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3.3. MOTO RETROGRADO 37

Figura 3.3: Schema a blocchi di macchine in parallelo

Le considerazioni svolte possono essere facilmente estese al calcolo del rendimento diimpianti contenenti macchine con disposizioni miste, parte in serie e parte in parallelo.

3.3 Moto retrogrado

Consideriamo le semplicissime macchine rappresentate nelle figure che seguono: una carru-cola ruotante attorno ad un asse fisso, sulla quale è avvolta una fune per il sollevamento diun carico ed un piano inclinato sul quale è poggiato un grave. In entrambi i casi si è indicatacon Q la forza resistente, con P la forza motrice.

Figura 3.4: Esempio di macchina semplice

Supponiamo che, a partire da una condizione di funzionamento a regime, la forza motricesi riduca di intensità. Può accadere che, a seguito di tale riduzione, la macchina si arresti e simetta successivamente in movimento in senso opposto a quello normale, sotto l’azione della

forza Q divenuta motrice; come può accadere che il sistema, arrestatosi per la diminuzionedi intensità della P , rimanga in quiete, comunque si riduca il valore della P , fino al suo


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Figura 3.5: Esempio di macchina semplice

annullarsi. É probabile che la carrucola si comporti nel primo modo; mentre è probabile cheil piano inclinato si comporti nel secondo modo. La prima situazione si verifica quando ilrendimento del sistema nel moto diretto è abbastanza elevato, mentre la seconda situazione

si verifica quando il rendimento nel moto diretto è basso.Quando si verifica la prima situazione diciamo che il sistema ammette moto retrogrado.Ciò premesso, passiamo a considerare una macchina che funzioni in condizione di moto

retrogrado (cioè che si muova, in senso opposto, a quello di funzionamento diretto, sottol’azione della forza che nel moto diretto è la forza resistente); e calcoliamone il rendimentonel moto retrogrado.

Il rendimento nel moto retrogrado η′ è per definizione il rapporto fra il lavoro resistentenel moto retrogrado L′r ed il lavoro motore nel moto retrogrado L

′

m:

η′ = L′rL′m

(3.12)

Tenendo presente che la forza Q, motrice nel moto retrogrado, è la forza resistente nelmoto diretto, e che pertanto, per uguali spostamenti nei due movimenti Lr = L′m si puòscrivere:

η′ = L′rLr

(3.13)

A sua volta la perdita di rendimento nel moto retrogrado vale:

1 − η′ = L′

p

Lr(3.14)

dove si è indicato con L′ p il lavoro perduto per attrito nel moto retrogrado.Cerchiamo adesso una relazione fra η ed η′. É comodo passare attraverso la perdita di

rendimento. Si ottiene, dividendo membro a membro:

1− η′1 − η =

L′ pL p

LmLr

= L′ pL p

1

η =

k

η (3.15)

E dopo qualche passaggio:

η′ = η (1 + k) − k

η (3.16)

la quale, noto che sia k, permette di trovare η′

in funzione di η. Dalla precedente risulta, inparticolare, che η ′


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3.3. MOTO RETROGRADO 39

è di norma poco diverso da uno, si giunge alla conclusione che il moto retrogradoè possibile (ossia è η′ ≥ 0) quando il rendimento nel moto diretto è superiore a0, 5 circa. Per valori di η inferiori a 0, 5 non si ha moto retrogrado, ma l’arrestodel dispositivo.


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Capitolo 4

Accoppiamento motore-utilizzatore

La maggior parte dei sistemi meccanici comprende un motore, il quale sviluppa forze ocoppie motrici che compiono lavoro positivo, e un utilizzatore (o carico), che sviluppaforze o coppie resistenti, le quali compiono lavoro negativo.

Il motore e l’utilizzatore sono solitamente accoppiati per mezzo di una trasmissionemeccanica.

Si potrebbero citare numerosissimi esempi di sistemi motore-utilizzatore. Si consideri unventilatore: il motore compie un lavoro positivo per vincere la resistenza aerodinamica dellepale in movimento (la coppia resistente). Si consideri un argano che solleva un carico: laforza resistente è costituita dal peso del carico sollevato. Se invece il carico si abbassa, inquesto caso il peso diventa la forza motrice e il momento frenante sviluppato dall’argano è

la coppia resistente.Sia per il motore che per l’utilizzatore, le due grandezze fondamentali sono la coppia C e la velocità (angolare) ω (nel caso di attuatori e utilizzatori in moto rettilineo si parleràovviamente di forza e velocità lineare). Normalmente queste due grandezze (il cui prodotto,lo ricordiamo, dà la potenza) sono dipendenti l’una dall’altra, pertanto C = C (ω), sia peril motore che per l’utilizzatore. E’ allora possibile rappresentare graficamente la dipendenzadella coppia dalla velocità, ottenendo così la caratteristica meccanica, rispettivamentedel motore o dell’utilizzatore.

4.1 Caratteristica del motore

La caratteristica meccanica del motore è dunque una curva nel piano (C, ω). In Fig. 4.1sono rappresentate, rispettivamente, le caratteristiche dei seguenti motori:

a) motore a combustione interna (ciclo Otto)b) motore a combustione interna (ciclo Diesel)c) motore elettrico asincronod) motore elettrico a corrente continua a eccitazione separata (o a magnete permanente)e) motore elettrico a corrente continua eccitato in serief) motore idraulico.

La velocità di rotazione dipende principalmente da due fattori:

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42 CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Figura 4.1: Caratteristiche meccaniche di alcuni motori

• dalla coppia che è richiesta dal carico;

• dal valore dei parametri di regolazione.

Quando si parla di velocità di un motore senza far riferimento alle condizioni di caricoci si riferisce normalmente alla velocità nominale, ovvero alla velocità per la quale è statoottimizzato il progetto del motore, oppure alla velocità di funzionamento a vuoto,ossia alla velocità assunta dal motore in assenza di carico (ricavabile dall’intersezione dellacaratteristica con l’asse delle ascisse).

La relazione coppia-velocità (caratteristica meccanica) può essere valutata per via teoricao per via sperimentale qualora si disponga di un carico con coppia resistente regolabile (adesempio un freno). Il rilievo sperimentale va effettuato a velocità costante per escluderel’effetto di altri parametri meccanici (inerzia) o elettrici.

Questa caratteristica consente di studiare il comportamento del motore in alcune con-

dizioni indipendentemente dalle caratteristiche elettriche sue e di tutto ciò che gli sta amonte.


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4.1. CARATTERISTICA DEL MOTORE 43

La curva caratteristica è particolarmente utile per studiare i casi in cui l’azionamentofunziona a regime stazionario, ma può dare qualche informazione anche sui transitori.

Figura 4.2: Esempi di variazione della curva caratteristica. Motore asincrono regolato infrequenza (y = f )

Figura 4.3: Esempi di variazione della curva caratteristica. Motore c.c. regolato in tensione(y = V )

Indichiamo con y (variabile di comando) le eventuali condizioni che possono essere mutatea comando dall’esterno. Al variare di y la curva caratteristica del motore varia. Nei casipiù semplici y può assumere soltanto una piccola serie di valori prefissati, corrispondenti asituazioni di tipo marcia avanti/indietro/arresto; all’estremo opposto, in presenza di variatorielettronici, essa può essere rappresentata ad esempio dalla tensione di alimentazione (o dalla

intensità o dalla frequenza della corrente) e, quindi, può assumere con continuità una seriedi valori compresi tra un minimo ed un massimo.


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Ovviamente, quando sul rotore (e quindi sull’albero d’uscita del motore) si genera unacoppia motrice C m sullo statore (e, quindi, sulla parte fissa del motore) si genera una coppiauguale e contraria; a causa di questo fenomeno bisogna sempre prevedere l’ancoraggio dellostatore sul basamento della macchina.

Scelto un verso positivo di rotazione, coppia e velocità assumono il valore positivo seequiverse con esso.

Figura 4.4: Caratteristiche meccaniche dei motori (scala lineare)

Figura 4.5: Caratteristiche meccaniche dei motori (scale entrambe logaritmiche)

A scopo didattico è possibile definire tre tipi ideali di caratteristica meccanica del motore:

• retta verticale: il motore funziona come un generatore di velocità. Questi motorigirano a velocità costante indipendentemente dalla coppia richiesta dal carico (per

esempio il motore sincrono alimentato da corrente alternata a frequenza costante, o unmotore in corrente continua o brushless retroazionati in velocità).


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4.2. FUNZIONAMENTO DA MOTORE, DA FRENO O DA GENERATORE 45

• retta orizzontale: il motore funziona come un generatore di coppia (ad esempiomotori in corrente continua o brushless comandati in corrente)

• iperbole equilatera: il motore funziona come generatore di potenza (per esempio,un motore in corrente continua con eccitazione in serie o universale approssima questacurva)

Solitamente le curve caratteristiche reali dei motori differiscono da quelle indicate, maalcuni tratti possono approssimarle abbastanza bene.

4.2 Funzionamento da motore, da freno o da generatore

Assegnato un verso positivo per la coppia e la velocità, in generale il motore può trovarsi adover funzionare con valori positivi o negativi di coppia e/o velocità, ossia in uno qualunquedei quattro quadranti del piano cartesiano < C m, ωm >.

Indicando con W m = C mωm la potenza meccanica generata dal motore, si avrà:

• primo e terzo quadrante, W m > 0: funzionamento da motore• secondo e quarto quadrante, W m < 0: funzionamento da freno

Figura 4.6: Azionamento di un ascensore: possibilità di funzionamento

Il passaggio da un quadrante all’altro può avvenire senza soluzione di continuità (inparticolare anche senza variazioni di y ), semplicemente al variare del carico resistente, perchènormalmente le curve caratteristiche non sono limitate al primo quadrante.

Esse possono passare dal primo al quarto quadrante attraversando l’asse delle wm, nel

punto di funzionamento a vuoto, mentre possono passare dal primo al secondo quadranteattraversando l’asse delle C m nel punto di stallo.


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4.4. CURVA CARATTERISTICA DEL CARICO 47

Figura 4.8: Campi di lavoro di un motore asincrono alimentato direttamente da rete

I motori funzionano prevalentemente nel primo e terzo quadrante e le loro caratteristichedi funzionamento sono generalmente simmetriche rispetto all’origine e, quindi, nei cataloghivengono spesso rappresentati solo i campi operativi relativi al primo quadrante.

Alcuni motori sono sprovvisti di sistemi di regolazione ed i loro campi operativi si riduconoa tratti di curve.

4.4 Curva caratteristica del carico

Similmente a quanto visto per il motore, è talvolta possibile o conveniente descrivere il com-portamento del carico attraverso la sua caratteristica meccanica, ossia il legame intercorrentetra la sua velocità ωr e la corrispondente coppia C r richiesta per mantenerlo in movimento.

Per la scelta dei segni di C r e ωr si usa una convenzione opposta rispetto aquella impiegata per i motori: Scelto il verso positivo per la velocità ωr il segno di C r è positivo quando la coppia esercitata dal carico è resistente, ossia si oppone ad essa; pertantoil carico si comporta effettivamente come tale quando il suo punto di funzionamento si trova nel primo o nel terzo quadrante.

Normalmente la coppia C r richiesta dal carico è la somma di altri due termini, uno

costante e uno crescente con la velocità. La componente predominante è generalmente laprima nelle macchine utensili e nelle macchine di sollevamento e trasporto, mentre è laseconda nelle pompe idrauliche, agitatori, mescolatori.

La curva caratteristica di un carico puramente passivo ovviamente si troverà solo nelprimo e terzo quadrante, passando dall’uno all’altro attraverso l’origine degli assi, punto cherappresenta la tendenza del carico ad arrestarsi in assenza di una coppia motrice applicataad esso.

In presenza di perdite per attrito radente può essere presente una discontinuità nell’orig-ine.

La caratteristica per velocità prossime allo zero assume quel valore di coppia (positiva o

negativa) che permette di vincere gli attriti di primo distacco e mettere in moto il carico, inun verso o nell’altro.


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Figura 4.9: Funzionamento nei quattro quadranti di un carico

Al crescere di ωr, normalmente cresce anche la coppia resistente C r; in qualche casotuttavia, limitatamente alla zona di velocità molto basse, si ha dapprima una diminuzionedi C r, il che può dar luogo ad inconvenienti nel funzionamento.

Carichi di tipo non completamente passivo sono ad esempio quelli in cui interviene l’azionedi pesi che abbassandosi producono lavoro. In questi casi la curva caratteristica passa dal

primo al secondo quadrante in un punto la cui ordinata rappresenta la coppia necessariaa tener fermo il carico e solo in un secondo tempo, per velocità negative sufficientementeelevate, passa dal secondo al terzo quadrante.

É chiaro allora che in generale occorre predisporre un freno, che si inserisce o si disinserisceautomaticamente quando il motore viene spento o riacceso (motori autofrenanti), o cheinterviene almeno quando la velocità si è già annullata (freni di stazionamento)

Le curve caratteristiche del carico possono variare in funzione delle mutate condizioni dilavoro: ad esempio negli apparecchi di sollevamento possono traslare verticalmente a secondadel peso che viene sollevato, in un tornio possono variare al variare del diametro del pezzo inlavorazione. Pertanto si avranno tante curve caratteristiche del carico in relazioni a diversivalori assunti da una variabile z rappresentativa delle diverse condizioni di lavoro possibili(parametro di carico).

4.5 Luogo dei carichi

Analogamente a quanto visto per il motore, è possibile definire il campo operativo delcarico, chiamato comunemente luogo dei carichi. Per luogo dei carichi s’intende dunquel’insieme delle condizioni di possibile funzionamento a regime in cui il carico possa trovarsi .

Il luogo dei carichi è rappresentato nel piano < C r, ωr > da un’area delimitata da linee,

che in generale potranno avere un andamento diverso da quello delle curve caratteristiche.Ad esempio, tali linee possono essere del tipo a velocità costante (una per la velocità min-


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4.6. ACCOPPIAMENTO DIRETTO MOTORE-UTILIZZATORE 49

Figura 4.10: Curva caratteristica di un carico (a) puramente passivo, (b) non puramentepassivo

ima, l’altra per la velocità massima), del tipo a coppia costante, del tipo a coppia crescentecon la velocità, o del tipo a potenza costante.

Il luogo dei carichi è determinato, in generale, dall’insieme dei punti coppia-velocità diregime che si possono determinare nelle diverse situazioni.

4.6 Accoppiamento diretto motore-utilizzatore

In una minoranza di casi il motore è collegato direttamente all’utilizzatore (un esempioclassico è dato da un ventilatore). In tal caso, la condizione di funzionamento a regime sipuò ottenere molto facilmente riportando nello stesso piano le caratteristiche meccanichedel motore e dell’utilizzatore: poiché a regime la coppia motrice deve essere uguale a quellaresistente, le coordinate del punto di intersezione tra le due curve sono proprio i valori di

coppia e di velocità cercati (Fig. 4.12). Ovviamente a regime, in condizioni di accoppiamentodiretto, motore e utilizzatore hanno la stessa velocità.

Nel caso si voglia regolare la velocità di regime del sistema, si dovrà agire sulla variabile diregolazione y già menzionata in precedenza, in modo tale che la caratteristica meccanica delmotore si sposti finchè il punto di intersezione con la curva del carico sia quello desiderato.

La potenza erogata dal motore (che ovviamente coincide con quella assorbita dal carico,essendo il sistema in condizioni di regime), è:

W m = C mωm = C rωr = W r (4.1)


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Figura 4.11: Luogo dei carichi

4.7 Accoppiamento motore-utilizzatore mediante ridut-

tore di velocità

In molti casi è conveniente implementare un sistema in cui motore e utilizzatore hannovelocità angolari diverse (tipicamente ω

m > ω

r), tra loro in rapporto costante. Per realizzare

ciò, si interpone tra motore e carico un riduttore di velocità, che ha lo scopo di adattarele caratteristiche meccaniche del motore (coppia e velocità) a quelle del carico.

Infatti i motori generalmente possono generare velocità molto superiori a quelle richiestedai carichi, mentre le coppie erogabili sono limitate.

Supponendo di trascurare le perdite di potenza per attrito all’interno del riduttore (ipotesispesso non lontana dalla realtà), l’effetto del riduttore consiste nel ridurre la velocità edamplificare la coppia con lo stesso rapporto:

ωr = τ ωm (4.2)

C m = τ C r (4.3)

dove ωr e ωm sono la velocità del motore e del carico e C r e C m le rispettive coppie; τ èdetto rapporto di trasmissione e generalmente si ha τ


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Figura 4.13: a) sistema reale; b) sistema ridotto all’asse motore; c) sistema ridotto all’asseutilizzatore

4.7.1 Riduzione all’asse motore e all’asse utilizzatore

Un modo conveniente di rappresentare l’accoppiamento motore-utilizzatore in presenza diriduttore si basa sulla cosiddetta riduzione, che può essere effettuata all’asse motore,oppure all’asse utilizzatore.

Nel primo caso, il sistema viene rappresentato come un accoppiamento diretto equiva-lente , con motore e utilizzatore che ruotano alla velocità ωm del motore. Il sistema risultasottoposto all’azione di una coppia resistente equivalente C ∗r = τ C r, che a regime è pari allacoppia C m erogata dal motore. La C ∗r è detta coppia resistente ridotta all’asse motore .

Nel secondo caso, il sistema viene rappresentato come un accoppiamento diretto equiva-lente , con motore e utilizzatore che ruotano alla velocità ωr dell’utilizzatore. Il sistema risultaallora sottoposto all’azione di una coppia motrice equivalente C ∗m = C m/τ , che a regime èpari alla coppia C r assorbita dall’utilizzatore. La C ∗m è detta coppia motrice ridotta all’asse utilizzatore .

La Fig. 4.13 illustra il concetto di riduzione del sistema.

La riduzione del sistema ad un unico asse, sia esso quello motore o quello utilizzatore,consente di determinare in modo agevole il punto di funzionamento. Da un punto di vistagrafico, la procedura di riduzione consiste nel riportare le caratteristiche meccaniche delmotore e dell’utilizzatore sul medesimo piano (C, ω): il loro punto di intersezione fornirà lavelocità angolare del sistema a regime.

Si consideri ad esempio la Fig. 4.14, ove sono riportate le caratteristiche meccanichedi un motore e di un carico che devono essere accoppiati tramite un riduttore di rapportodi trasmissione τ , e si supponga di voler ridurre il sistema all’asse utilizzatore. Si tratteràallora di riportare nel piano (C r, ωr) la caratteristica meccanica del motore ridotta all’asseutilizzatore, ovvero il grafico della coppia motrice equivalente C ∗m = C m/τ in funzione della

velocità dell’utilizzatore ωr = τ ωm. Ciò significa che il grafico originario della C m si modi- ficherà moltiplicando il valore dell’ascissa di ogni suo punto per τ e dividendo per lo stesso


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4.7. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE MEDIANTE RIDUTTORE DI VELOCITÀ53

Figura 4.14: Accoppiamento motore-carico con riduttore: determinazione del punto difunzionamento a regime

Figura 4.15: Riduzione della curva caratteristica del motore nel piano del carico

τ il valore della corrispondente ordinata (vedi Fig. 4.15).

L’intersezione della curva così ottenuta con la caratteristica meccanica del carico fornisceil punto di funzionamento a regime nel piano dell’utilizzatore, le cui coordinate darannopertanto la velocità del carico e la coppia assorbita dallo stesso. Il loro prodotto sarà lapotenza assorbita dal carico.

Per determinare velocità, coppia e potenza del motore basterà poi usare le equazioni (4.2)e (4.3).

Lo stesso risultato può essere ovviamente ottenuto riducendo il sistema all’asse motoreanziché all’asse utilizzatore. In questo caso si dovrà riportare la caratteristica del carico nelpiano del motore, dividendo per τ il valore dell’ascissa di ogni punto e moltiplicando per lostesso τ il valore della corrispondente ordinata (vedi Fig. 4.16).

La procedura di riduzione qui descritta può essere anche svolta senza ricorrere ai grafici,eguagliando le formulazioni analitiche delle due caratteristiche meccaniche, avendo cura che


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Figura 4.16: Riduzione dell

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