Mecanica fluidelor II

Ecuatiile miscarii laminare1. Ecuatia constitutiva a fluidelor2. Ecuatiile Navier – Stokes

Ecuatia constitutiva a fluidelor

Miscarea laminara studiata se refera la miscarea laminara a unui fluid real (la care nu se neglijeaza viscozitatea). Viscozitatea este o proprietate care se manifesta diferit la gaze si la lichide. La gaze viscozitatea e data de energia cinetica a particulelor fluide(notata η’) si este direct proportionala cu temperatura fluidului iar la lichide viscozitatea e data de tensiunile tangentiale care apar intre particule si este invers proportionala cu temperatura.

Demonstratie ca solicitarile externe la care sunt supuse fluidele se traduc prin aparitia unor tensiuni normale si tangentiale si sunt descrise de tensorul tensiunilor.

T⃗=τ i , j≤tensorul

i=j – tensiuni normale

i≠j – tensiuni tangentiale

S-a aratat ca miscarea unui mediu continuu este descrisa de relatia lui Cauchy:

∆ v⃗∆ t

=⃗f +¿ 1

ρ∇ T⃗ ¿

Dar aceasta relatie nu permite rezolvarea tuturor problemelor. Pentru aceasta este necesar sa se stabileasca o relatie de genul cauza – efect(o relatie intre modul in care raspunde fluidul – viteza de deformare – si solicitarile externe – tensiunile). Aceasta reprezinta o legatura intre tensorul tensiunilor si tensorul vitezelor de deformatie (S⃗). O astfel de ecuatie reprezinta ecuatia constitutiva a fluidelor.

Cea mai simpla forma a unei ecuatii constitutive este relatia lui Newton: τ yx=ηdvx

dy. Prin analogie s-

a considerat ca si in forma generala relatia intre tensorul tensiunilor si tensorul vitezelor de deformare e tot liniara. S-a tinut cont ca viscozitatea se poate manifesta ca la gaze sau ca la lichide, in consecinta ecuatia constitutiva trebuie sa tina cont de ambele viscozitati. Astfel s-a propus urmatoarea forma pentru ecuatia constitutiva:

T⃗=2η S⃗−(p−η ' θ) ε⃗ - forma generala a ecuatiei constitutive a fluidelor

τ ij=2η sij – ( p−η ’θ)δij - forma generala a ecuatiei constitutive

θ – viteza de deformatiei

θ - ∇ v⃗

ε⃗ - tensor unitate

δij – elementul lui Kronecker

δij={1, i= j0 , i≠ j

Intre cele doua forme de viscozitate se poate scrie relatia lui Stokes:

{ 2η+3η'=0η−viscozitatealichidelorη'−viscozitatea gazelor

Ecuatiile miscarii (Navier – Stokes)

Plecand de la ecuatia constitutiva si relatia lui Stokes pentru viscozitate, relatia lui Cauchy va putea fi exprimata in functie de vitezele de deformare si in functie de presiune.

Relatia lui Cauchy:

∆v x

∆ t=f x+

1ρ ( ∂ τ xx

∂ x+∂ τ yx

∂ y+∂ τ zx

∂ z )∆v y

∆ t=f y+

1ρ ( ∂ τ xy

∂x+∂ τ yy

∂ y+∂ τ zy

∂ z )∆v z

∆ t=f z+

1ρ ( ∂τ xz

∂x+∂ τ yz

∂ y+∂ τ zz

∂ z )Ipoteze:

S-a aratat ca in cazul repaosului fluidelor tensiunile normale (τxx= τyy= τzz)sunt egale intre ele si egale cu (-p), p fiind o tensiune de compresiune independenta de orientarea suprafetei pe care actioneaza. De asemenea s-a aratat ca τxy= τyz= τzx=0, dar in cazul fluidelor viscoase tensiunile normale nu sunt egale intre ele dar suma lor este constanta.S-a luat in considerare o presiune medie pe cele 3 directii. Se introduce notiunea de presiune in cazul fluidelor viscoase.

p=−τ xx+τ yy+τ zz

3 => tensiunile normale pot fi scrise:

{τ xx=−p+τ xx'

τ yy=−p+τ yy'

τ zz=−p+τ zz'

τ zz' - tensiune normala datorata viscozității

Plecand de la relatia lui Newton care e valabila pentru o miscare plana, prin analogie putem scrie:

τ xy=η( ∂v x

∂ y+∂v y

∂x )τ yz=η( ∂v y

∂ z+∂ vz

∂ y )τ zx=η( ∂v z

∂ x+∂ vx

∂ z )Pentru exprimarea tensiunilor normale care depind de viscozitatea fluidului s-a considerat ca in cazul fluidelor incompresibile aceste tensiuni sunt proportionale cu vitezele de deformatie liniara corespunzatoare.( La un fluid incompresibil ρ=ct.)

τ ' xx=η( ∂v x

∂ x+∂vx

∂ x )=2η ∂v x

∂x

τ ' yy=2η∂v y

∂ y

τ ' zz=2η∂vz

∂ z

Se observa ca suma lor va fi nula:

τ ' xx+τ ' yy+τ ' zz=2η( ∂v x

∂x+∂v y

∂ y+∂ vz

∂ z )=0∂v x

∂ x+∂v y

∂ y+∂ vz

∂ z=0 - ecuatia constitutiva este nula pentru fluide incompresibile

Pentru fluidele compresibile, tensiunile normale pot fi influentate si de vitezele de deformare a elementelor de volum:

1dt

∙δ (dv )dv

=θ=∇ v⃗=∂ vx

∂ x+∂v y

∂ y+∂v z

∂ z

In acest caz tensiunile normale datorate viscozitatii devin:

τ ' xx=2η∂v x

∂ x+ηx

' ( ∂ vx

∂ x+∂ v y

∂ y+∂v z

∂z )τ ' yy=2η

∂v y

∂ y+ηy

' ( ∂vx

∂ x+∂v y

∂ y+∂v z

∂ z )τ ' zz=2η

∂vz

∂ z+ηz

' ( ∂v x

∂x+∂v y

∂ y+∂vz

∂ z )

ηx’, ηy’, ηz’ – constante specifice fluidului

Pentru fluidele izotrope toate aceste constante se considera egale intre ele:

τ xx=2η∂v x

∂ x−p+η❑

' ( ∂ vx

∂ x+∂ v y

∂ y+∂v z

∂ z )τ yy=2η

∂v y

∂ y−p+η❑

' ( ∂v x

∂ x+∂v y

∂ y+∂ vz

∂ z )τ zz=2η

∂vz

∂ z−p+η❑

' ( ∂v x

∂ x+∂v y

∂ y+∂v z

∂ z )

Din relatia lui Stokes :

2η+3η’=0 => η'=−23

η

{τ xx=−p+2η∂ vx

∂ x−23η( ∂v x

∂x+∂v y

∂ y+∂vz

∂ z )τ yy=−p+2η

∂ v y

∂ y−23η( ∂v x

∂ x+∂v y

∂ y+∂ vz

∂ z )τ zz=−p+2η

∂v z

∂z−23η( ∂ vx

∂x+∂v y

∂ y+∂vz

∂ z )Dvx

Dt=f x+

1ρ [−∂ p

∂x+2η

∂2 vx

∂ x2−23η( ∂

2 vx

∂ x2+∂2 v y

∂ y2+∂2 vz

∂ z2 )+η( ∂2v y

∂ x∂ y+∂2v z

∂ y2 )+η ( ∂2 vz

∂x ∂ z+∂2 vx

∂ z2 )]Dvx

Dt=f x+

1ρ [−∂ p

∂x+η( ∂

2 vx

∂ x2+∂2 v y

∂ y2+∂2 v z

∂z2 )+ η3 ( ∂ vx

∂ x+∂v y

∂ y+∂v z

∂z )]Dvx

Dt=f x−

1ρ

∂ p∂x

+ν ∆v x+ν3

∂θ∂x

Dv y

Dt=f y−

1ρ

∂ p∂ y

+ν ∆v y+ν3

∂θ∂ y

Dvz

Dt= f z−

1ρ

∂ p∂ z

+ν ∆v z+ν3

∂θ∂ z

D v⃗Dt

=f⃗ −1ρ∇ p+ν ∆ v⃗+ ν

3∇(∇ v⃗) - ecuatia miscarii laminare (Navier – Stokes)

Sistemul Navier - Stokes

{∂ vx

∂t+v x

∂vx

∂ x+v y

∂vx

∂ y+v z

∂v x

∂ z=f x−

1ρ

∂ p∂ x

+ν ( ∂2 vx

∂ x2+∂2 v x

∂ y2+∂2 v x

∂ z2 )+ ν3 ( ∂

2 v x

∂x2+

∂2 v y

∂x ∂ y+

∂2v z

∂ x ∂ z )∂ v y

∂ t+vx

∂ v y

∂ x+v y

∂v y

∂ y+v z

∂ v y

∂ z=f y−

1ρ

∂ p∂ y

+ν ( ∂2 v y

∂ x2+∂2 v y

∂ y2+∂2 v y

∂z2 )+ ν3 ( ∂2 v x

∂ x∂ y+∂2 v y

∂ y2+

∂2 vz

∂ y ∂ z )∂vz

∂ t+vx

∂ vz

∂ x+v y

∂vz

∂ y+vz

∂vz

∂ z=f z−

1ρ

∂ p∂ z

+ν ( ∂2 vz

∂ x2+∂2 vz

∂ y2+∂2 v z

∂ z2 )+ ν3 ( ∂2 v x

∂x ∂ z+

∂2 v y

∂ y∂ z+∂2 v z

∂ z2 )∂ ρ∂ t

+ ∂∂x

( ρ vx )+ ∂∂ y

(ρ v y )+ ∂∂ z

( ρ vz )=0 – ecuatiadecontinuitate pentrulichide compresibile

ρ=ρ ( p )−ecuatiade stare

Sistemul Navier – Stokes este un sistem neliniar si neomogen cu derivate partiale. Necunoscutele

sistemului sunt proiectiile vitezei, presiunii si densitatii.

Rezolvarea acestui sistem se face utilizand conditia de unicitate( conditiile initiale si conditiile la

limita).

Conditiile initiale = se precizeaza parametrii curgerii (v,p,ρ) la momentul initial t0.

Conditiile la limite = se precizeaza parametrii fluidului pe frontiere

Pentru fluidele incompresibile ecuatia Navier – Stokes devine:

∂ v⃗∂ t

+ ( v⃗∇ ) v⃗= f⃗−1ρ∇ p+ν ∆ v⃗

Aceasta ecuatie permite rezolvarea a trei grupe de probleme:

- Probleme la care a fost posibila rezolvarea exacta

- Probleme rezolvate dupa neglijarea unor termeni ( Ex: prin neglijarea componentei convective a

fortei de inertie [( v⃗∇ ) v⃗] se obtine ecuatia lui Reynolds:

∂ v⃗∂ t

= f⃗−1ρ∇ p+ν ∆ v⃗

- Probleme la care se utilizeaza metode aproximative de calcul cu diferente finite (metoda

elementelor finite)