Mecânica dos Solos de Estados Cr´ıticos via Elementos ...pi/cursos/GEO45/britto_20060826.pdf · 1.3 Mecânica dos solos ... 1.6 Convenção de deformação cisalhante positiva

Mecanica dos Solos de Estados Crıticos viaElementos Finitos(Capıtulos 1 e 2)

A. M. BrittoM. J. GunnTraduzido por

Paulo Ivo Braga de Queiroz

26 de agosto de 2006

2

Sumario

1 Mecanica 111.1 Mecanica computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Mecanica do contınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Tensoes e equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Deslocamentos e deformacoes (compatibilidade) . . . . . . . . 151.2.3 Relacoes entre tensoes e deformacoes elasticas . . . . . . . . . 16

1.3 Mecanica dos solos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1 Tensoes efetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 Uma interpretacao fısica das tensoes efetivas . . . . . . . . . . 191.3.3 Constantes elasticas do solo seco . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.4 Constantes elasticas para o solo saturado . . . . . . . . . . . . 211.3.5 Fluxo de agua atraves do solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Mecanica dos solo de estados crıticos 292.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Idealizacao do comportamento plastico . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3 Funcoes de plastificacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.1 Funcoes de plastificacao para metais . . . . . . . . . . . . . . 332.3.2 Algumas funcoes de plastificacao sugeridas para solos . . . . . 352.3.3 A lei de endurecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Deformacoes plasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.1 Coincidencia dos eixos principais . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.2 Leis de fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.3 O postulado de estabilidade de Drucker . . . . . . . . . . . . . 432.4.4 Sistemas friccionais e a teoria da plasticidade . . . . . . . . . 45

2.5 Cam-clay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.5.1 Parametros de estados crıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5.2 Relacoes pressao-volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.5.3 A linha de estados crıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5.4 Escoamento do Cam-clay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.5.5 Deformacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.6 Ensaios triaxiais com o Cam-clay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.6.1 Preparando a amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3

4 SUMARIO

2.6.2 Ensaios de compressao drenada . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.6.3 Calculo das deformacoes em ensaios drenados . . . . . . . . . 642.6.4 Ensaios de compressao nao drenada . . . . . . . . . . . . . . . 672.6.5 Calculo de deformacoes em ensaios nao drenados . . . . . . . 722.6.6 Outros tipos de ensaios triaxiais . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.7 Comentarios sobre o Cam-clay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.7.1 Derivacao do Cam-clay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.7.2 A lei de fluxo do Cam-clay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.7.3 O Cam-clay modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.7.4 Cam-clay: ultrapassado? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Lista de Figuras

1.1 Forcas atuantes sobre um corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Tensoes internas atuantes em um corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Definicao dos componentes de tensao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Tensoes atuantes em um campo variavel (sao mostradas apenas as

tensoes que aparecem na equacao de equilıbrio para a direcao y). . . . 141.5 Definicao dos deslocamentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Convencao de deformacao cisalhante positiva utilizada neste trabalho. 171.7 Forcas atuantes sobre o plano do contato entre duas partıculas. . . . . 201.8 Considera-se uma colecao de partıculas esfericas dispostas em um ar-

ranjo do tipo ‘cubico simples’ (onde cada esfera esta em contato comseis esferas vizinhas). Uma deformacao direta de 1% nas tres direcoescorresponde a uma deformacao volumetrica de 3% na ‘celula unitaria’e portanto, no volume inteiro de solo. Se as partıculas sao rıgidas forados pontos achatados de contato, entao aproximadamente 0.02% destadeformacao e devida a uma mudanca no volume dos solidos, enquantoos 2.98% restantes sao devidos a uma mudanca de volume nos espacosvazios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.9 A mudanca do volume das partıculas de solo e causada principalmentepor variacoes na poropressao de agua que atua sobre elas. . . . . . . . 23

1.10 Gradiente hidraulico = − δhδs

, um gradiente positivo causando fluxo deB para A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.11 Fluxo saindo de um elemento de solo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 Curva tensao-deformacao tıpica de muitos metais. . . . . . . . . . . . 302.2 Curva tensao-deformacao tıpica de muitos metais. . . . . . . . . . . . 322.3 Idealizacoes do comportamento plastico. . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4 A superfıcie de escoamento de Tresca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5 A superfıcie de escoamento de von Mises. . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6 A superfıcie de escoamento de Mohr-Coulomb. . . . . . . . . . . . . . 382.7 A superfıcie de escoamento de Drucker-Prager. . . . . . . . . . . . . . 402.8 Duas formas de descrever o endurecimento . . . . . . . . . . . . . . . 402.9 Respostas elastica e plastica de um cubo submetido a um cisalhamento

(apenas a vista lateral e mostrada; σc e a tensao fora do plano). . . . 422.10 O potencial plastico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5

6 LISTA DE FIGURAS

2.11 Estabilidade do equilıbrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.12 Respostas estavel e instavel a um ensaio de tracao . . . . . . . . . . . 46

2.13 O potencial plastico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.14 Perda de normalidade em um sistema simples com atrito. . . . . . . . 48

2.15 Respostas tıpicas de solos em termos de tensao-deformacao e em ter-mos de deformacao volumetrica, quando cisalhados em um ensaiostriaxiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.16 Duas vistas ortogonais do espaco (p′, V, q). . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.17 Grafico tıpico (p′, V ) de uma compressao isotropica, com descarga erecompressao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.18 Grafico (p′, V ) idealisado como na teoria dos estados crıticos. . . . . . 53

2.19 Cada ponto em um grafico (ln(p′), V ) esta univocamente determinadocom um par de valores (Vκ, Vλ) e vice-versa. . . . . . . . . . . . . . . 54

2.20 A linha de estados crıticos nos graficos (p′, q) e (p′, V ). . . . . . . . . 54

2.21 A linha de estados crıticos no espaco (p′, V, q) e dada pela intersecaode duas superfıcies: o plano q = Mp′ e a superfıcie cilındrica verticalV = Γ − λ ln(p′). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.22 A deformacao volumetrica de um solo vista como um comportamentoplastico com endurecimento por deformacao. . . . . . . . . . . . . . . 56

2.23 Preparacao de uma amostra de solo por adensamento normal isotropicoe posterior descarga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.24 O escoamento de uma amostra no espaco (p′, V, q). A preparacao daamostra segue as duas primeiras curvas, que estao no plano q = 0. Oavanco em direcao ao escoamento e feito ao longo da trajetoria verticalAB que e paralela ao eixo q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.25 A superfıcie envoltoria dos estados estaveis no espaco (p′, V, q). . . . . 59

2.26 A superfıcie de plastificacao do Cam-clay (assume-se que a superfıciee simetrica em relacao ao eixo p′). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.27 Perspectiva isometrica de uma parede elastica. . . . . . . . . . . . . . 60

2.28 O tamanho da superfıcie de plastificacao do Cam-clay e determinadopela pressao de adensamento isotropico p′c. . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.29 Preparando a amostra atraves de compressao normal isotropica e pos-terior descarga, obtem-se o tamanho inicial da superfıcie de plasti-ficacao p′c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.30 ESP drenada para um ensaio de compressao. . . . . . . . . . . . . . . 64

2.31 Ensaio de Compressao com o Cam-clay (Razao de pre-adensamentoR = 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65


2.33 Respostas de tensao-deformacao para ensaios drenados. . . . . . . . . 68


LISTA DE FIGURAS 7


2.36 ESP drenada para um ensaio de compressao. . . . . . . . . . . . . . . 732.37 Respostas de tensao-deformacao para ensaios drenados. . . . . . . . . 752.38 A lei de fluxo do Cam-clay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.39 A superfıcie de plastificacao do Cam-clay modificado e elıptica. . . . . 82

8 LISTA DE FIGURAS

Lista de Tabelas

1.1 Modulos elasticos do solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9

10 LISTA DE TABELAS

Capıtulo 1

Mecanica

1.1 Mecanica computacional

Nos dias de hoje, os engenheiros utilizam rotineiramente programas de computadorespara prever o comportamento de edifıcios, pontes, componentes mecanicos e macicosde terra, quando estes estao sujeitos a cargas. Como argumentado no prefacio, eimportante que os engenheiros entendam as hipoteses fundamentais que sao admitidasnestas analises para que eles possam apreciar e interpretar o significado dos resultadosnumericos gerados pelos computadores. ‘Mecanica Computacional’ e o nome coletivodado para as varias teorias e tecnicas que estao envolvidas neste entendimento. Amecanica e um dos ramos mais antigos das ciencias naturais1. Alguns cientistas eengenheiros usam o termo nos dias de hoje para descrever a area da fısica que trata dasleis que governam o comportamento dos corpos rıgidos. Aqui, entretanto, considera-seque a mecanica abrange areas como a mecanica do contınuo, a mecanica dos materiais,a mecanica dos solidos deformaveis e as teorias da elasticidade e da plasticidade, assimcomo a area mais tradicional que trata do equilıbrio e do movimento dos corposrıgidos.

Em todos os ramos da engenharia, o metodo dos elementos finitos esta ficandocada vez mais popular como um metodo para resolver sistemas de equacoes diferenci-ais parciais que descrevem varios fenomenos fısicos. Estas equacoes podem descreveras deformacoes dos solidos, os movimentos dos fluidos ou quase qualquer efeito quepossa ser descrito pelas leis da mecanica classica. O metodo dos elementos finitosesta avancando em duas frentes: em primeiro lugar, ele esta substituindo metodostradicionais de analise, e em segundo lugar, esta abrindo novos campos de analiseque eram considerados ate entao como intrataveis. As razoes para a popularidadedeste metodo podem ser facilmente identificadas. Os programas tıpicos de elementosfinitos provem uma ferramente analıtica que e capaz de ser aplicada em uma largaserie de configuracoes geometricas, envolvendo variacao espacial das propriedades dosmateriais. E claro que o avanco da analise de elementos finitos esta relacionado com

1Arquimedes (287-212 BC), que se preocupou com o equilıbrio de alavancas e com o empuxo decorpos submersos, e normalmente lembrado como sendo o primeiro teorico neste campo.

11

12 CAPITULO 1. MECANICA

a crescente disponibilidade de computadores digitais para analises de engenharia.

1.2 Mecanica do contınuo

1.2.1 Tensoes e equilıbrio

As Figuras 1.1 a 1.4 ilustram as ideias essenciais sobre equilıbrio de corpos e tensoesque sao assumidas neste livro.

A Figura 1.1 mostra um corpo material submetido a varias forcas. Se o corpoesta em equilıbrio, entao ser escritas seis equacoes de equilıbrio que relacionam asforcas que agem sobre o corpo entre si. Tres destas equacoes estabelecem que assomas de todas as componentes das forcas sobre tres direcoes ortogonais sao zero. Asoutras tres equacoes estabelecem que as somas dos momentos das forcas sobre treseixos ortogonais tambem sao zero. Se o corpo nao esta em equilıbrio estatico, entaoestas equacoes podem ser substituıdas pelas formas apropriadas da segunda lei domovimento de Newton.

A Figura 1.2 mostra um corte plano sobre um corpo material similar ao da Fi-gura 1.1. Uma vez que as partes de cada lado do corte tem que estar em equilıbrio,devem haver forcas internas atuantes no corpo (i.e., no plano de corte), para queo estado de equilıbrio seja mantido apos o corte. Usando as equacoes de equilıbriodescritas anteriormente, seis resultantes equivalentes a este sistema de forcas (tresforcas e tres momentos) podem ser calculados. Considerando as forcas transmitidasatraves de uma pequena area δA inscrita neste plano, e posssıvel definir uma medidada intensidade local deste sistema de forcas internas. Estas sao, e claro, as forcasinternas atuantes no material. Tomando o plano perpendicular ao eixo x, as seguintesforcas internas sao obtidas:

σx = limδA→0

−δFx

δA,

τxy = limδA→0

−δFy

δA,

τxz = limδA→0

−δFz

δA.

O leitor deve observar que, enquanto seis resultantes de forcas sao necessarias paradescrever a interacao entre as duas partes do corpo, apenas tres tensoes sao ne-cessarias para descrever a intensidade local das forcas em um ponto de sua superfıcie.Isto acontece porque a distribuicao de forcas e tomada como sendo essencialmentecontınua, e a medida que a area δA diminui, a distribuicao da forca sobre a area seaproxima de um valor contante. Os binarios surgem das integrais das tensoes sobreo plano de corte.

Para definir completamente o estado de tensoes em um ponto do corpo material,e necessario considerar os componentes das focas internas que agem em tres planosmutuamente perpendiculares que passam pelo referido ponto. Os componentes de

1.2. MECANICA DO CONTINUO 13

Figura 1.1: Forcas atuantes sobre um corpo.

δA

x

yz

Fx

Fy

Fz

Cx

CyCz

Figura 1.2: Tensoes internas atuantes em um corpo.


x

y

zσz

τzy

τzx

τxy

σx

τxzτyx

τyz σy

Figura 1.3: Definicao dos componentes de tensao.

y

z

τzy

σyτxy + ∂τxy

∂xδx σy + ∂σy

∂yδy

τzy + ∂τzy

∂zδz

Figura 1.4: Tensoes atuantes em um campo variavel (sao mostradas apenas as tensoesque aparecem na equacao de equilıbrio para a direcao y).


tensao σy, τyx e τyz agem sobre um plano perpendicular ao eixo y e os componentesde tensao σz, τzx e τzy agem sobre um plano perpendicular ao eixo z. Considerandoo equilıbrio de um cubo infinitesimal do corpo material (Figura 1.3):

τxy = τyx,

τyz = τzy,

τzx = τxz.

Portanto, existem seis componentes independentes de tensao em um ponto de umcorpo material.

Usualmente, o estado de tensoes em um corpo nao e constante, mas varia de umponto a outro. Considerando o equilıbrio de um cubo infinitesimal de um materialsujeito a um campo de tensoes variaveis (Figura 1.4), as seguintes equacoes saoobtidas:

∂σx

∂x+

∂τyx

∂y+

∂τzx

∂z= wx, (1.1)

∂τxy

∂x+

∂σy

∂y+

∂τzy

∂z= wy, (1.2)

∂τxz

∂x+

∂τyz

∂y+

∂σz

∂z= wz, (1.3)

onde wx, wy e wz sao as forcas de massa (por unidade de volume) atuantes nas direcoesdos eixos x, y e z, respectivamente. Se o eixo y aponta verticalmente para cima, entaoas forcas de massa correspondentes ao peso proprio serao wx = 0, wy = −γ e wz = 0,respectivamente, onde γ e o peso proprio.

1.2.2 Deslocamentos e deformacoes (compatibilidade)

Quando um material e deformado, um ponto tıpico com coordenadas (x, y, z) se movepara uma nova posicao (x + dx, y + dy, z + dz). Os deslocamentos (dx, dy, dz) deveraovariar ao longo do corpo (i.e., cada um deles devera ser funcao de x, y e z), excecaofeita para o caso de quando e atribuıda ao corpo uma translacao de corpo rıgido,.

A Figura 1.5 mostra tres fibras infinitesimais, de comprimentos δx, δy e δz, de umcorpo material e suas novas posicoes devidas a deformacao. As deformacoes diretasεx, εy e εz e as deformacoes cisalhantes de engenharia γxy, γyz e γzx sao dadas por

εx = −∂dx

∂x, (1.4)

εy = −∂dy

∂y, (1.5)

εz = −∂dz

∂z, (1.6)

γxy = −∂dy

∂x−

∂dx

∂y, (1.7)


γyz = −∂dz

∂y−

∂dy

∂z, (1.8)

γzx = −∂dx

∂z−

∂dz

∂x. (1.9)

A maioria dos textos sobre mecanica do contınuo ou sobre elasticidade utiliza ossımbolos u, v e w para representar os deslocamentos. Utilizam-se aqui dx, dy edz para evitar confusao com a convencao normal de mecanica dos solos, em que udesigna as poropressoes e v, a velocidade de percolacao da agua. Observa-se queuma consequencia da reversao da convencao de sinal dos esforcos normais e que umadeformacao cisalhante positiva γxy corresponde a um aumento do angulo entre duasfibras inicialmente alinhadas com os eixos x e y (vide Figura 1.6).

1.2.3 Relacoes entre tensoes e deformacoes elasticas

Se um material elastico e tensionado na direcao x por uma tensao direta σx, entaoele sofre as seguintes deformacoes:

εx =σx

E,

εy = −νσx

E,

εz = −νσx

E,

onde E e o modulo de Young (ou modulo de elasticidade) do material e ν e o seucoeficiente de Poisson. Uma tensao cisalhante τxy causa a seguinte deformacao:

γxy = τxy2(1 + ν)

E.

Os efeitos de tres tensoes diretas e tres tensoes cisalhantes podem ser superpostospara produzir a forma generalizada da lei de Hooke:

εx =σx

E− ν

σy

E− ν

σz

E,

εy = −νσx

E+

σy

E− ν

σz

E,

εz = −νσx

E− ν

σy

E+

σz

E,

γxy = τxy2(1 + ν)

E,

γyz = τyz2(1 + ν)

E,

γzx = τzx2(1 + ν)

E.


yx

z

δyδx

δz

d =

dx

dy

dz

Figura 1.5: Definicao dos deslocamentos.

x

y

Figura 1.6: Convencao de deformacao cisalhante positiva utilizada neste trabalho.


Estas equacoes podem ser escritas na forma matricial:

εx

εy

εz

γxy

γyz

γzx

=

1E

− νE

− νE

0 0 0− ν

E1E

− νE

0 0 0− ν

E− ν

E1E

0 0 00 0 0 1

G0 0

0 0 0 0 1G

00 0 0 0 0 1

G

σx

σy

σz

τxy

τyz

τzx

, (1.10)

onde G = E2(1+ν)

e o modulo de cisalhamento elastico. Estas relacoes podem serinvertidas para fornecer as tensoes em termos das deformacoes:

σx

σy

σz

τxy

τyz

τzx

= A

1 − ν ν ν 0 0 0ν 1 − ν ν 0 0 0ν ν 1 − ν 0 0 00 0 0 1

2− ν 0 0

0 0 0 0 12− ν 0

0 0 0 0 0 12− ν

εx

εy

εz

γxy

γyz

γzx

, (1.11)

onde A = E(1−2ν)(1+ν)

. Esta relacao pode ser escrita em notacao matricial:

σ = Dε. (1.12)

Por vezes, e mais conveniente escrever estas equacoes utilizando os parametros e-lasticos G (definido anteriormente) e K (o modulo elastico volumetrico). De fato,pode-se argumentar (como na proxima secao) que e preferıvel usar estes parametrospara definir as propriedades dos solos. K e o modulo elastico que aparece na equacaoque relaciona deformcoes volumetricas a mudanca na tenssao normal media:

σx + σy + σz

3= K

εx + εy + εz

3onde

K =E

3(1 − 2ν).

A matriz D pode ser escrita como

D =

D1 D2 D2 0 0 0D2 D1 D2 0 0 0D2 D2 D1 0 0 00 0 0 D3 0 00 0 0 0 D3 00 0 0 0 0 D3

,

onde

D1 = K +4

3G,

D1 = K −2

3G,

D3 = G.

1.3. MECANICA DOS SOLOS 19

1.3 Mecanica dos solos

1.3.1 Tensoes efetivas

O solo saturado e um ‘contınuo’ de duas fases, que consistem de partıculas solidas eagua nos poros. Terzaghi mostrou que a definicao das tensoes efetivas permite umtratamento racional do comportamento tensao-deformacao. As tensoes efetivas saodefinidas atraves das equacoes

σ′

x = σx − u,

σ′

y = σy − u,

σ′

z = σz − u,

τ ′

xy = τxy,

τ ′

yz = τyz,

τ ′

zx = τzx,

onde u e a poropressao da agua.

O princıpio das tensoes efetivas de Terzaghi estabelece que todos os efeitos men-suraveis de uma mudanca das tensoes no solo (tais como compressao, distorcao ouuma mudanca na resistente ao cisalhamento) ocorrem devidas a mudancas nas tensoesefetivas. Portanto, mudancas nas poropressoes acompanhadas de mudancas de igualmonta nas tensoes normais nao produzem deformacoes.

Uma consequencia do princıpio de Terzaghi e que quando o solo (seco ou saturado)e descrito por relacoes tensao-deformacao elasticas, as equacoes tem que se referir atensoes efetivas (e nao a tensoes totais). Portanto, e apropriado que se escreva

σ′ = D′ε, (1.13)

onde a matriz D′ contem os modulos elasticos E ′ e ν ′ ao inves de E e ν. O significadodestes ‘parametros efetivos’ (i.e., E ′ e ν ′) sera discutido mais adiante. Em problemasgeotecnicos existe o interesse frequente em deformacoes causadas por mudancas nastensoes efetivas, de modo que a equacao 1.13 e re-escrita como

δσ′ = D′δε. (1.14)

σ′ e ε representam mudancas incrementais nas tensoes efetivas e nas deformacoes.

1.3.2 Uma interpretacao fısica das tensoes efetivas

Uma interpretacao fısica das tensoes efetivas e util quando se pensa sobre o compor-tamento do solo e, em particular, no papel das tensoes como definidas anteriormente.Uma boa imgem mental sobre a estrutura do solo e a de uma colecao de partıculas


solidas aproximadamente esfericas envolvidas por agua2. Quando as cargas sao apli-cadas no solo, elas sao transferidas internamente atraves do mesmo, em parte pelafase solida e em parte pela agua. As cargas transferidas pela fase solida sao transferi-das entre as partıculas atraves de pontos de contato. Se um plano e tracado atravesdo ponto de contato (Figura 1.7), o equilıbrio de forcas ao longo deste plano fornece

A σ = Awu + Asσc,

onde A e a area do plano, Aw e a area do plano atraves da qual a forca e transmitidapela agua, As e a area do plano atraves da qual a forca e transmitida pelo contatoentre as partıculas, σ e a tensao total atuando normal ao plano, u e a poropressaoda agua e σc e a tensao de contato media entre as duas partıculas. Uma vez queAw ≫ As, i.e., Aw e aproximadamente igual a A, e possıvel escrever que

As

Aσc

∼= σ − u.

Portanto, as tensoes efetivas podem ser consideradas como sendo as forcas de contatoentre as partıculas de solo distribuıdas sobre toda a area do solo.

1.3.3 Constantes elasticas do solo seco

Esta secao trata de como fazer o uso dos ‘modulos de tensoes efetivas’ apropriadosquando o solo e carregado. Inicialmente, sera considerado o caso (relativamente)simples do solo seco, com ar no espaco dos poros. O ponto importante a se apreciare que o modulo elastico para tensoes efetivas descreve as propriedades elasticas deum agregado de partıculas de solo, e nao o modulo elastico do material que compoe a

2E claro que nem argilas nem a maioria das areias sao assim. Fato e que esta ‘imagem mental’simplificada produz resultados que sao apropriados para o comportamento de solos reais. Naoe necessario que se refine esta imagem mental para incluir fatores como a forma verdadeira daspartıculas.

A

As

σc u

Figura 1.7: Forcas atuantes sobre o plano do contato entre duas partıculas.


fase solida do solo. Considere-se uma amostra cilındrica de solo seco em um aparelhotriaxial. Novamente, considera-se o solo como sendo uma colecao de partıculas apro-ximadamente esfericas, agora com propriedades elasticas3. Se uma pressao total eaplicada em todo o contorno da amostra, entao as deformacoes podem ser calculadaspela equacao 1.14 (neste caso, as tensoes efetivas sao as mesmas que as tensoes totaisimpostas, uma vez que as poropresoes de agua sao zero). As deformacoes cisalhantessao nulas e as deformacoes volumetricas podem ser calculadas como

δV

V=

δσ

K ′. (1.15)

Um exame da colecao de partıculas de solo revelaria algum “achatamento” dos pontosde contato entre as partıculas, mas a parte disso, elas nao iriam mudar muito suasformas. Uma pequena mudanca no volume das partıculas seria acompanhado poruma mudanca muito maior nos espacos vazios (vide Figura 1.8). Portanto, o moduloelastico volumetrico K ′ esta medindo a rigidez de uma colecao de partıculas, e nao arigidez do material que constitui estas partıculas. Em outras palavras, o solo e mais‘amassavel’ do que seria se nao houvessem vazios presentes.

1.3.4 Constantes elasticas para o solo saturado

Considera-se agora uma amostra de solo saturado em um aparelho triaxial. A poro-pressao de agua e inicialmente igual a pressao atmosferica e a valvula de drenagem efechada antes do carregamento do solo. Uma pressao total δσ e aplicada em todo ocontorno da amostra.

Se V e o volume do solo e Vs e Vw sao os volumes das fases solida e de agua, entao

V = Vs + Vw. (1.16)

Como resultado da mudanca de pressao em seu contorno, a amostra de solo tera seuvolume diminuıdo por δV . Este decrescimo global de consiste da soma de decrescimosde volume das fases lıquida e solida de δVs e δVw, respectivamente. Claramente,

δV = δVs + δVw. (1.17)

Observa-se que a hipotese comumente aceita e de que o solo saturado e imcompressıvelquando nao e permitida drenangem de agua. Entretanto, sera feita aqui uma tentativade analise acurada das pequenas mudancas de volume que acontecem neste caso. Elassao dadas por

δV

V=

1

Ku

δσ (1.18)

3Mesmo quando o modelo elastico e apropriado para o solo (por exemplo, no calculo de pequenasdeformacoes de solos sobreadensados), esta imagem mental nao e muito acurada. Entretanto, tem-senovamente que as conclusoes tiradas deste modelo sao apropriadas para o comportamento do solo.


Figura 1.8: Considera-se uma colecao de partıculas esfericas dispostas em um arranjodo tipo ‘cubico simples’ (onde cada esfera esta em contato com seis esferas vizinhas).Uma deformacao direta de 1% nas tres direcoes corresponde a uma deformacao vo-lumetrica de 3% na ‘celula unitaria’ e portanto, no volume inteiro de solo. Se aspartıculas sao rıgidas fora dos pontos achatados de contato, entao aproximadamente0.02% desta deformacao e devida a uma mudanca no volume dos solidos, enquantoos 2.98% restantes sao devidos a uma mudanca de volume nos espacos vazios.

δVw

V=

1

Kwδu (1.19)

δVs

V=

1

Ksδu (1.20)

onde Ku, Kw e Ks sao os modulos elasticos do composito de solo e das duas fases (i.e.,agua e solo), respectivamente. As equacoes 1.18 e 1.19 sao as definicoes de Ku e Kw.A equacao 1.20 talvez precise de alguns comentarios: a compresao volumetrica daspartıculas solidas e causada pelo aumento da poropressao da agua (veja Figura 1.9).A mudanca nas tensoes efetivas δσ′ tem que ser consistente com as duas equacoes

δσ = δσ′ + u (1.21)

δV

V=

1

K ′δσ′. (1.22)

As equacoes 1.17 a 1.22 podem ser consideradas como seis equacoes a seis incognitas(δV , δVw, δVs, δσ′, δu e Ku). A manipulacao das mesmas resulta

Ku = K ′ + KwV

Vw

1Kw

Ks

Vs

Vw+ 1

. (1.23)

Sendo o modulo elastico dos graos aproximadamente 30 vezes maior que o da agua,a equacao 1.23 pode ser re-escrita como

Ku = K ′ + KwV

Vw.


Figura 1.9: A mudanca do volume das partıculas de solo e causada principalmentepor variacoes na poropressao de agua que atua sobre elas.

Uma outra simplificacao se segue a obervacao de que K ′ e muito menor que Kw:

Ku = KwV

Vw.

Aqui, e conveniente se introduzir a definicao normal da mecanica dos solos de ındicede vazios:

Ku =(

1 +1

e

)

Kw.

Portanto, a compressibilidade do solo saturado e efetivamente devida a compressibi-lidade volumetrica da fase lıquida somente (mas levando em conta o fato de que aagua ocupa apenas uma fracao do volume do solo). As aproximacoes que foram feitaspara obter este resultado sao equivalentes a se tomar δV = δVw, δVs = 0, δσ′ = 0 eδu = δσ nas equacoes 1.17 a 1.22. Portanto, o carregamento nao drenado nao produzmudancas nas tensoes efetivas: a carga externa e suportada pelas poropressoes.

Supoe-se agora que a valvula de denagem e aberta. A diferenca entre as pressoesda agua na amostra e da agua do lado de fora faz a agua fluir para fora da amostra. Avelocidade com que ocorre este fluxo para fora e controlada pelo tamanho dos porosdo solo, mas em algum momento a poropressao da agua na amostra vai retornar apressao atmosferica. A mudanca nas tensoes efetivas e agora igual a mudanca nastensoes totais (δσ′ = δσ) e as deformacoes volumetricas podem ser calculadas como

δV

V=

1

K ′δσ.

Esta equacao e igual a equacao 1.15, que forneceu a deformacao volumetrica dosolo seco. Quando se calculam as deformacoes do solo em longo prazo, tem que


se obviamente usar as propriedades elasticas de tensoes efetivas para o solo seco.Quando observado do ponto de vista da mecanica do contınuo tradicional, o solo eum material de um tipo bastante especial. Isto acontece porque as ‘deformacoes’volumetricas associadas a definicao do modulo volumetrico efetivo sao devidas aodesaparecimento de uma parte da agua de um pequeno elemento de solo, e nao pormudanca de volume dos componentes individuais que compoem o solo.

Este exemplo demonstra a diferenca entre os dois modos de comportamento dosolo que os engenheiros geotecnicos frequentemente identificam. As deformacoes dre-nadas ocorrem quando o solo e deformado lentamente e a agua em seus poros escapa amedida que as poropressoes retornam a seus valores originais (talvez, hidrostaticos).Nas deformacoes nao drenadas, as deformacoes ocorrem rapidas o suficiente paraque a agua nao tenha tempo de fluir para fora dos poros, i.e., o solo se comportaessencialmente como um material incompressıvel. Ate agora, observou-se o compor-tamento do solo e identificaram-se dois modulos elasticos volumetricos: o Ku, quee apropriado para o comportamento nao drenado e o K ′, apropriado para o com-portamento drenado. Na Tabela 1.1, sao apresentadas sumariamente as relacoesentre os componentes de um conjunto de oito modulos elasticos que descrevem ocomportamento isotropico. Uma vez que a agua nos poros nao tem rigidez ao ci-salhamento, ela nao pode contribuir para a rigidez cisalhante do solo. Portanto, osımbolo G(= G′ = Gu) e usualmente empregado para o modulo cisalhante. Observa-se que isso implica E′

2(1+ν)= Eu

3, e esta equacao e empregada na obtencao da relacao

entre E ′ e Eu apresentada na Tabela 1.1.

E possıvel agora apreciar o comentario da secao 1.2.3, de que K e G sao aspropriedades mais adequadas para a descricao do comportamento do solo (ao menos,mais apropriadas que E e ν). G permanece o mesmo, tanto para o comportamentodrenado como para o comportamento nao drenado, e o modulo volumetrico efetivoK ′ permite o calculo das deformacoes volumetricas drenadas. Se o comportamentoparcialmente drenado e considerado (o que ocorre antes do equilıbrio de poropressoesser alcancado), entao G e ainda apropriado para o calculo das deformacoes cisalhantes

Tabela 1.1: Modulos elasticos do solo

Constanteelastica

E ′ (considerado como parametro independente)ν ′ (considerado como parametro independente)

K ′ = E′

3(1−2ν′)

G′ = E′

2(1+ν′)

Eu = 1.5E′

1+ν′(vide texto)

νu 0.5Ku ∞Gu = G′ (vide texto)


e algum valor para K entre K ′ e ∞ deve ser inferido para o calculo das deformacoesvolumetricas.

1.3.5 Fluxo de agua atraves do solo

A velocidade de fluxo da agua atraves do solo e controlada por dois fatores, inicial-mente pelo tamanho dos poros e secundariamente pelo gradiente de poropressoes quetende a causar o fluxo. Estes dois fatores sao contemplados na lei de Darcy:

v = k i

onde v e a velocidade ‘artificial’ da agua (i.e., a taxa de fluxo dividida pela area dasecao transversal do solo), k e a permeabilidade do solo (independente da taxa defluxo para um grande intervalo de velocidades) e i e o gradiente hidraulico. A de-finicao de gradiente hidraulico e mostrada na Figura 1.10. Oberva-se que a referenciamostrada na figura e arbitraria – apenas o gradiente hidraulico surge na lei de Darcy.Neste trabalho, o termo ‘excesso de poropressoes’ e definido como a carga hidraulicamultiplicada pela densidade volumetrica da agua:

u = h γw; (1.24)

portanto, e sempre possıvel se calcular as verdadeiras poropressoes a partir do excessode poropressoes (e vice-vera) por uma equacao da forma

u = u + zγw (1.25)

onde z e a altura do ponto no qual as poropressoes estao sendo medidas em relacao auma referencia arbitraria. O leitor deve observar que a definicao de carga hidraulicaaqui apresentada e a definicao padrao. Entretanto, a definicao de excesso de poro-pressoes difere da apresentada em alguns textos de mecanica dos solos. Esta diferencasurge porque normalmente se considera os problemas de percolacao (onde as poro-pressoes nao mudam com o tempo) separadamente dos problemas de adensamento(onde as poropressoes variam com o tempo). No primeiro caso, a carga hidraulica e avariavel basica utilizada para resolver o problema, enquanto o excesso de poropressoese utilizado no segundo. Para os propositos da formulacao de elementos finitos a sertratada neste trabalho, e necessario que se relacione estas duas quantidades, o que efeito atraves da equacao 1.24. Considere-se a analise de um adensamento com drena-gem na base (como na secao 3.6.4). Utilizando-se a presente definicao para o excessode poropressoes, o estado final de fluxo descendente permanente tem uma variacaolinear de excesso de poropressoes. Em contraste, poderia-se assumir que o excessode poropressoes e o componente dependente do tempo, que sempre cai para zero. Oponto a se notar e que ambas as definicoes de excesso de poropressoes satisfazem asequacoes diferenciais basicas derivadas por Terzaghi e Frolich (1936):

∂u

∂t= cv

∂2u

∂z2


uB

γw

zB

hB

hA

uA

γw

zAδs

δh

B

A

Figura 1.10: Gradiente hidraulico = − δhδs

, um gradiente positivo causando fluxo deB para A.

onde cv e o coeficiente de adensamento.Engenheiros geotecnicos frequuentemente precisam prever a ditribuicao de poro-

pressoes em uma massa de solo sob condicoes de fluxo permanente. A equacao basicaque deve ser satisfeita em todos os pontos dentro do solo e obtida considerando-se ofluxo de agua que sai e entra de um elemento infinitesimal de solo, como na Figura1.11 (sob condicoes de fluxo permanente, nao devera haver mudanca de volume):

∂vx

∂x+

∂vy

∂y+

∂vz

∂z= 0. (1.26)

A permeabilidade do solo pode ser diferente nas direcoes dos tres eixos de coorde-nadas, e a forma geral da lei de Darcy sera

vx = −kx

γw

∂u

∂x,

vy = −ky

γw

∂u

∂y,

vz = −kz

γw

∂u

∂z.

Substituindo estas relacoes na equacao da continuidade (1.26):

kx∂2u

∂x2+ ky

∂2u

∂y2+ kz

∂2u

∂z2= 0. (1.27)

Para a mesma permeabilidade em todas as direcoes, esta equacao se reduz a equacaode Laplace, que governa uma serie de outros fenomenos da fısica (e.g., fluxo de eletri-cidade em um meio condutor e tensoes em uma barra elastica sob carga de torsao).


x

y

zvz + ∂vz

∂zδz

vx + ∂vx

∂xδx

vy + ∂vy

∂yδy

Figura 1.11: Fluxo saindo de um elemento de solo.

As equacoes podem ser extendidas para o caso de fluxo de agua no solo dependentedo tempo. A equacao basica se torna

kx∂2u

∂x2+ ky

∂2u

∂y2+ kz

∂2u

∂z2+

∂v

∂t= 0 (1.28)

onde o ultimo termo nesta equacao e a velocidade da variacao volumetrica de umelemento de solo.

Esta equacao em conjunto com as equacoes diferenciais de equilıbrio, as equacoesque definem as tensoes efetivas e as relacoes tensao-deformacao sao conhecidas comoas equacoes do adensamento de Biot (1941). A forma unidimensional destas equacoese equivalente a teoria do adensamento unidimensional de Terzaghi.


Capıtulo 2

Mecanica dos solo de estadoscrıticos

2.1 Introducao

As teorias do comportamento do solo conhecidas como ‘mecanica dos solos de estadoscrıticos’ foram desenvolvidas como aplicacao da teoria da plasticidade na mecanicados solos. E possıvel se apreciar e usar muitas das ideias da mecanica dos solosde estados crıticos sem fazer muitas referencias a teoria da plasticidade. De fato,existe uma tendencia a se ensinar a mecanica dos solos de estados crıticos destamaneira, pois em muitos cursos de engenharia civil nao se encontra espaco para umaabordagem adequada da teoria da plasticidade. Os autores deste livro lamentameste fato. Na opiniao dos mesmos, uma apreciacao verdadeira da mecanica dos solosde estados crıticos requer o conhecimento da teoria da plasticidade. Para entendercomo as deformacoes do solo podem ser previstas (por exemplo, por um programade elementos finitos como o CRISP) utilizando as teorias da mecanica dos solos deestados crıticos, a familiaridade com a teoria da plasticidade e essencial. Portanto,as primeiras secoes deste capıtulo sao dedicadas a explicacao de algumas das ideiasfundamentais desta teoria.

A Figura 2.1 apresenta a curva tensao-deformacao obtida no ensaio de tracao deuma barra de metal. Inicialmente, a relacao entre as tensoes e as deformacoes elinear (trecho OA na figura). Se a barra e descarregada a partir de qualquer pontoem OA, entao a relacao tensao-deformacao para o material segue a mesma trajetoria,mas em sentido reverso em relacao a origem. Se a barra e carregada um poucoalem do ponto A, entao o descarregamento ainda e reversıvel, ainda que parte dasrelacoes tensao-deformacao nao seja mais linear. Entretanto, existe um ponto Balem do qual o descarregamento nao e mais reversıvel: este e chamado de ponto deescoamento (‘yeld point’) do material. Quando a barra e carregada ate o ponto Ce depois descarregada, a trajetoria CD e seguida. OD representa uma deformacaopermanente que se mantem apos o descarregamento. Esta deformacao permanente econhecida como deformacao plastica do material.

29

30 CAPITULO 2. MECANICA DOS SOLO DE ESTADOS CRITICOS

A

B

C

D E

F

G Deformacao

Tensao

O

Figura 2.1: Curva tensao-deformacao tıpica de muitos metais.

Ate o ponto B, o comportamento do material e considerado elastico. E a rever-sibilidade, e nao a linearidade, a caracterıstica importante do comportamento, quedistinguuira as deformacoes elasticas e plasticas dos materiais. Entretanto, os pon-tos A e B podem ser considerados coincidentes para propositos praticos. Quando omaterial esta em um estado representado pelo ponto C, a deformacao total OE eformada por uma componente de deformacao plastica OD e uma deformacao elasticaDE que e completamente recuperada apos o descarregamento. A derivada da linhade descarregamento CD e normalmente muito proxima a do trecho elastico inicialOA.

Recarregando o metal do ponto D, tem-se a linha DC sendo seguida ate se al-cancar o ponto C, que passou a ser o novo ponto de escoamento do material. Car-regamentos adicionais seguem uma continuacao da curva tensao-deformacao originalate a tensao maxima ser alcancada (ponto F ), quando a barra rompe. A tensaono ponto F (i.e., FG na figura) e a resistencia do metal em tracao direta. Ela efrequentemente chamada de resistencia a tracao ultima (‘ultimate tensile strength’ ouUTS).

Suponha-se que duas barras similares do mesmo material sao ensaiadas. A pri-meira passou por um ciclo de tensoes OCD, mas a segunda nao. A primeira teraum ponto de escoamento maior que o da segunda e portanto seu material pareceramais ‘duro’. O processo de elevacao do ponto de escoamento e chamado de ‘en-durecimento’ do material. O montante que o ponto de escoamento se elevou estafrequuentemente ligado a deformacao plastica ou ao trabalho mecanico que e reali-zado sobre o material. Portanto, os termos ‘endurecimento por deformacao’ (‘strainhardening’) ou ‘endurecimento por trabalho’ (‘work hardening’) sao frequentementeutilizados para descrever este tipo de comportamento. O tipo de comportamentodescrito anteriormente e tıpico de uma liga de alumınio como a duralumınio. Ou-tros metais (e solos) apresentam comportamento plastico que e similar em aspectos

2.2. IDEALIZACAO DO COMPORTAMENTO PLASTICO 31

gerais ao que foi apresentado anteriormente, mas o comportamento mostra algumasdiferencas nos detalhes. Algumas dessas diferencas estao mostradas na Figura 2.2. AFigura 2.2a apresenta o fenomeno de pico na tensao de escoamento, que acontece emacos com baixos teores de carbono. A Figura 2.2b mostra que, quando um material edescarregado apos escoar em tracao, ele pode escoar por compressao em uma tensaomais baixa do que se ele fosse recarregado a tracao. Isso e conhecido como EfeitoBauschinger. A Figura 2.2c mostra o fenomeno de anelasticidade ou histerese. Ummaterial que foi submetido a um descarregamento elastico, e depois recarregado, nemsempre segue exatamente a mesma trajetoria de tensao-deformacao. A area dentrodo ‘laco de histerese’ (hysteresis loop) da curva de tensao-deformacao representa aquantidade de energia que e dissipada durante a deformacao.

2.2 Idealizacao do comportamento plastico

A plasticidade e uma caracterıstica muito util do comportamento dos metais por umaserie de razoes. Em primeiro lugar, a grande quantidade de deformacao plastica antesda ruptura (conhecida como ductilidade) indica o colapso iminente de uma estruturaantes de uma ruptura catastrofica acontecer. Em segundo lugar, a habilidade dese deformar metais plasticamente sob altas tensoes e a base de muitos processos demanufatura como a laminacao, a trefilagem, a usinagem e a prensagem em estampas.Em terceiro lugar, a descricao completa da resistencia dos metais dentro da teoriamatematica da plasticidade permite que edifıcios e componentes de maquinas sejamprojetados para prover um fator de seguranca contra o colapso global (ao inves de seprojetar para evitar que uma unica parte da estrutura seja sobrecarregada).

O comportamento plastico de solos permite um tratamento racional da capaci-dade de carga de fundacoes e da ruptura de taludes, escavacoes e tuneis. Ele tambempermite a discussao completa do comportamento tensao-deformacao de solos de modoque suas deformacoes possam ser preditas ate a ruptura. Admite-se que o compor-tamento de solos e mais complexo do que o levado em conta nos modelos correntesde comportamento elasto-plastico. Entretanto, tentativas de se produzir novas des-cricoes matematicas do comportamento de solos usam a moldura da elastoplastici-dade.

Para predizer o comportamento de estruturas de engenharia quando o compor-tamento plastico esta envolvido, o primeiro passo e escolher a idealizacao de plas-ticidade apropriada. A Figura 2.3a mostra a idealizacao conhecida como modeloelastico-perfeitamente plastico. Aqui, a primeira parte da curva tensao-deformacaoe linear e elastica ate o material escoar. Entao, o material continua a se deformara uma tensao de escoamento constante. A Figura 2.3b mostra o modo mais facilde se incorporar o endurecimento em uma idealizacao. Quando o material escoa, acurva tensao-deformacao e ainda linear, mas com uma derivada reduzida. Este tipode comportamento e referenciado como elastico-linear com endurecimento plastico.Por vezes (quando apenas as cargas de colapso sao consideradas em um determinadocalculo), e conveniente que se idealize o comportamento como rıgido-plastico (Figura


Deformacao

Tensao

O(a) Escoamento com tensao de pico.

Deformacao

σY 1

σY 2

Tensao

(b) O efeito Bauschinger (σY 1 > σY 2).

Deformacao

Tensao

(c) Histerese em ciclos de carga.

Figura 2.2: Curva tensao-deformacao tıpica de muitos metais.

2.3. FUNCOES DE PLASTIFICACAO 33

2.3c).As idealizacoes do comportamento plastico descritas anteriormente poderao por

vezes ser adequadas para descrever o comportamento de solos (de fato, a idealizacaorıgido-plastica e subjacente a maioria dos calculos de estabilidade na mecanica dossolos). Entretanto, o solo exibe um comportamento mais complexo que os metais eo objetivo principal deste capıtulo e descrever uma idealizacao mais apropriada.

Para descrever completamente as relacoes tensao-deformacao para um materialelasto-plastico, quatro tipos diferentes de definicao sao requeridos:

1. Uma funcao de plastificacao para o material. Ela generaliza o conceito de tensaode escoamento descrito anteriormente para estados de tensao bi- e tridimensi-onais.

2. Uma relacao entre as direcoes das deformacoes plasticas principais e as tensoesprincipais.

3. Uma lei de fluxo para o material. Ela especifica as magnitudes relativas dasdeformacoes plasticas quando o material esta escoando.

4. Uma lei de endurecimento para o material. E uma relacao do quanto o materialendurece com as deformacoes plasticas que o material sofre ou com o trabalhorealizado sobre o material quando ele esta escoando.

Cada tipo de definicao e considerado com mais detalhes nas secoes seguintes.

2.3 Funcoes de plastificacao

Ate aqui, a discussao do comportamento plastico estava limitada ao caso de de-formacoes unixiais – apenas uma tensao estava envolvida na descricao da carga apli-cada ao material. Quando um material esta submetido a estados de tensoes bi- etridimensionais, entao o fato do material estar em regime elastico ou plastico depen-dera de todos os componentes do estado de tensoes, em geral (estes componentesserao em numero de seis, no caso completamente tridimensional). Quando o com-portamento do material e isotropico (que tem as mesmas propriedades em todas asdirecoes), entao e necessario se considerar apenas os valores das tensoes principais(σa, σb e σc).

2.3.1 Funcoes de plastificacao para metais

Para o caso de metais, dois criterios de ‘ruına elastica’ sao atribuıdos a Tresca e avon Mises. O criterio de Tresca estabelece que o escoamento plastico comeca quandoa tensao cisalhante maxima atinge um certo valor k. Isto acontece quando as tensoesprincipais satisfazem a seguinte equacao:

max(|σa − σb|, |σb − σc|, |σc − σa|) = 2k. (2.1)


Deformacao

Tensao

O(a) Elastico-perfeitamente plastico.

Deformacao

σY 1

σY 2

Tensao

(b) Easto-plastico com endurecimento.

Deformacao

Tensao

(c) Rıgido-perfeitamente plastico.

Figura 2.3: Idealizacoes do comportamento plastico.


Esta equacao pode ser representada no espaco das tensoes principais como a superfıciede um prisma com secao transversal hexagonal, centrado no eixo hidrostatico (σa =σb = σc, vide Figura 2.4). Quando o estado de tensoes de um elemento do materiale representado como um ponto interior a superfıcie, o comportamento do material eelastico. Quando o estado de tensoes e descrito por um ponto sobre a superfıcie, entaoo material esta escoando (estados de tensoes exteriores a superfıcie sao impossıveisde serem atingidos).

O criterio de von Mises estabelece que o escoamento plastico comeca quando aseguinte equacao e satisfeita:

(σa − σb)2 + (σb − σc)

2 + (σc − σa)2 = 2σ2

Y . (2.2)

Este criterio e equivalente a se dizer que o escoamento plastico comeca quando aenergia de deformacao elastica alcanca um valor crıtico. Aqui, σY e a tensao deescoamento em tracao uniaxial (considerando-se o estado de tensoes uniaxial, observa-se que a constante k de Tresca sera igual a 0.5σY ). No espaco de tensoes principais,a equacao 2.2 e equivalente a uma superfıcie cilındrica (Figura 2.5) que coincide coma superfıcie de Tresca nas arestas (i.e., onde σa = σb, σb = σc ou σc = σa). Em geral,a funcao de plastificacao de um material isotropico e escrita como

f(σa, σb, σc)

e esta equacao representa uma superfıcie no espaco de tensoes tridimensionais. Oscriterios de plastificacao de Tresca e von Mises sao dois exemplos de uma forma maisgeral. Convenciona-se que se escreva a funcao de plastificacao de modo que se osvalores correspondentes ao estado corrente de tensoes sao substituıdos na formula,entao um valor negativo da funcao indica que o comportamento e elastico (interior dasuperfıcie de plastificacao). Um valor nulo indica que esta acontencendo escoamentoe, por convencao, valores positivos nao sao permitidos.

2.3.2 Algumas funcoes de plastificacao sugeridas para solos

Agora, apresenta-se uma superfıcie de plastificacao mais apropriada para solos. Em1773, o engenheiro frances Coulomb (Coulomb, 1773) introduziu em suas analisesde esforcos sobre muros de arrimo a condicao de ruptura para solos (usualmentechamada de criterio de Mohr-Coulomb) que ainda e utilizada:

τ = c + σ tan(φ).

Nos dias de hoje, os engenheiros geotecnicos preferem escrever esta equacao em termosde tensoes efetivas:

τ = c′ + σ′ tan(φ′). (2.3)

Embora esta equacao seja normalmente interpretada atraves da representacao docırculo de Mohr, pode-se tambem representar este criterio de ruptura no espaco tri-dimensional que foi utilizado ate entao para descrever o escoamento de metais. Isto


σb

σa

σc

Eixo hidrostatico

Figura 2.4: A superfıcie de escoamento de Tresca.


σb

σa

σc

Eixo hidrostatico

Figura 2.5: A superfıcie de escoamento de von Mises.

pode ser feito reescrevendo-se a equacao

σ′

1 − σ′

3 = sin(φ′) [σ′

1 + σ′

3 + 2c′ cot(φ′)]

onde σ′

1 e σ′

3 sao as tensoes principais maior e menor, respectivamente. Tomando-seas seis permutacoes possıveis das magnitudes de σ′

a, σ′

b e σ′

c (i.e., σ′

a > σ′

b > σ′

c,σ′

a > σ′

c > σ′

b, etc.), seis planos sao gerados no espaco (σ′

a, σ′

b, σ′

c). Portanto, o criteriode plastificacao de Mohr-Coulomb e equivalente a piramide hexagonal nao regular noespaco das tensoes principais mostrada na Figura 2.6. De fato, o criterio de Mohr-Coulomb representa uma imagem incompleta do escoamento de solos. Em primeirolugar, os solos mostram evidencias de escoamento volumetrico quando sujeitos aum aumendo isotropico de tensoes, enquanto o criterio de Mohr-Coulomb sugerecomportamento elastico. Em segundo lugar, se e utilizada a abordagem convencionalpara calculo de deformacoes plasticas no escoamento (como utilizada para metais edescrita na secao 2.4.2), as deformacoes volumetricas previstas serao irreais.

Conclui-se esta secao sobre superfıcies de plastificacao apresentando a superfıcieproposta por Drucker e Prager (1952). Para alguns calculos de plasticidade de me-tais, o criterio de von Mises e mais conveniente que o de Tresca, de modo que Druc-ker e Prager acreditaram que poderia ser conveniente ‘arredondar’ a superfıcie deplastificacao de Mohr-Coulomb, para produzir a superfıcie conica para solos, comomostrada na Figura 2.7. Ela tem todas as desvantagens da superfıcie de plastificacaode Mohr-Coulomb e fornece um ajuste pior aos dados de ruptura de solos. Como


σb

σa

σc

Eixo hidrostatico

Figura 2.6: A superfıcie de escoamento de Mohr-Coulomb.

2.4. DEFORMACOES PLASTICAS 39

superfıcie de ruptura para solos, ela nao tem muito a seu favor, e esta aqui incluıda,em parte para ‘completar o conjunto’, e em parte porque ela reaparece no modeloCam-Clay, nao como uma superfıcie de plastificacao, mas como o ‘cone de estadoscrıticos’ (vide Capıtulo 5).

2.3.3 A lei de endurecimento

A lei de endurecimento generaliza o conceito de tensao de escoamento uniaxial acres-centando a ele o endurecimento por deformacao em estados de tensao generalizados.O endurecimento de um material pode resultar do alargamento da superfıcie de plas-tificacao ou de seu translado no espaco de tensoes (ou talvez em uma combinacaodos dois). Estas duas possibilidades sao mostradas na Figura 2.8. A primeira enormalmente chamada de ‘endurecimento isotropico’ e a segunda, ‘endurecimentocinematico’. O endurecimento cinematico pode descrever comportamentos como oEfeito Bauschinger, descrito anteriormente. Ainda que o endurecimento isotropicoseja o menos realıstico para muitos materiais, ele e mais usado porque e mais sim-ples de se descrever matematicamente. Se a carga aplicada em um material formonotonica, entao hipotese de endurecimento isotropico sera adequada (pois o lado‘oposto’ da superfıcie de plastificacao nunca sera atingido). A lei de endurecimentoe incorporada na equacao da superfıcie de plastificacao escrevendo-se

f(σ,h) = 0, (2.4)

onde h e o vetor de parametros de endurecimento. Os parametros de endurecimentoirao definir o tamanho da superfıcie de plastificacao e havera uma relacao prescritaentre os parametros de endurecimento e os componentes da deformacao plastica (paraum material que endurece por deformacao). No caso mais simples, pode haver apenasum parametro de endurecimento, diga-se h1, que pode ser a propria tenao de escoa-mento em tracao uniaxial, por exemplo. Um valor particular de h1 sera associado auma superfıcie de plastificacao de um certo tamanho, e depois do endurecimento pordeformacao, havera uma superfıcie maior asociada com um valor maior de h1.

2.4 Deformacoes plasticas

2.4.1 Coincidencia dos eixos principais

Considera-se um cubo de um material que esta sujeito a tensoes principais σa, σb e σc

(vide Figura 2.9a). Um pequeno incremento de tensoes cislhantes δτ e aplicado nasquatro faces do cubo. Se o cubo se deforma elasticamente, entao os incrementos dedeformacao sao mostrados na Figura 2.9b. Se o cubo se deforma plasticamente, entaoos incrementos de deformacao sao mostrados na Figura 2.9c. No regime elastico, asdirecoes dos incrementos principais de deformacoes coincidem com as direcoes dosincrementos principais de tensoes. No regime plastico, as direcoes dos incrementosprincipais de deformacoes coincidem com as direcoes das tensoes principais (e nao


σb

σa

σc

Eixo hidrostatico

Figura 2.7: A superfıcie de escoamento de Drucker-Prager.

σb

σa

δσ

O

(a) Endurecimento isotropico.

σb

σa

δσ

O

(b) Endurecimento cinematico.

Figura 2.8: Duas formas de descrever o endurecimento


dos incrementos principais de tensoes). Esta coaxialidade dos incrementos princi-pais de deformacoes com as tensoes principais e associada a teorias que descrevem ocomportamento de materiais isotropicos.

2.4.2 Leis de fluxo

A lei de fluxo para um material plastico fornece as taxas de incrementos das de-formacoes plasticas quando o material esta escoando em um estado de tensoes par-ticular. Portanto, uma lei de fluxo descreve o tamanho relativo dos incrementos dedeformacoes, mas nao seus valores absolutos. A lei de fluxo e dada pela seguinteequacao:

δεp = δm∂g

∂σ. (2.5)

Nesta equacao, δm e conhecido como o multiplicador plastico (o leitor deve observarque muito autores utilizam δλ ao inves de δm; este uso nao e feito aqui para evitarconfusao com o λ da mecanica dos solos de estados crıticos). A funcao g e conhecidacomo potencial plastico.

O uso de uma funcao potencial e uma forma natural de descrever uma quantidadevetorial que depende apenas da localizacao de um ponto no espaco. Uma funcaopotencial e uma funcao escalar da posicao, e tomando-se as derivadas parciais dopotencial com respeito aos eixos de coordenadas, uma direcao univocamente definidae obtida.

O potencial plastico g(σa, σb, σc) = 0 define uma superfıcie no espaco de tensoesprincipais. Se os vetores que representam os incrementos de deformacao plastica saodesenhados no espaco de tensoes, entao estes vetores de incrementos de deformacaosao normais a superfıcie potencial (Figura 2.10).

A forma da funcao do potencial plastico para um material poderia ser deter-minada atraves de experimentos cuidadosos. Entretanto, para muitos materiais, afuncao de plastificacao e o potencial plastico sao aparentemente iguais: g(σa, σb, σc) =f(σa, σb, σc). Quando f = g, frequentemente se fala que a condicao de normalidadee obedecida (e assim porque os vetores de incrementos de deformacao plastica saonormais a superfıcie de plastificacao). Alternativamente, esta situacao e por vezesdescrita como sendo fluxo ‘associado’, em contraste com o caso em que g nao e iguala f e entao se diz que o fluxo e ‘nao associado’.

Hill (1950) discute a deformacoes plasticas de graos de cristais metalicos e comenta‘aparentemente, portanto, existe uma relacao, de uma media estatıstica sobre aspossıveis orientacoes do graos em um policristal, entre o potencial plastico g e afuncao f que define a superfıcie de plastificacao. Nao se sabe ainda qual deveria seresta relacao, teoricamente, para algum metal em particular.

Parece, entretanto, que a relacao simples g = f tem um lugar especial na teoriamatematica da plasticidade, para que, conforme sera mostrado mais adiante, certosprincıpios variacionais e teoremas de unicidade possam ser formulados.’

Ainda que a normalidade (g = f) pareca ser verdadeira para certos metais, sera


σaσa

σb

σb

(a) Vista lateral de um cubo de material.

σaσa

σb

σb

δτ

δτ

δτ

δτ

(b) Resposta elastica a um incremento detensoes cisalhantes.

σaσa

σb

σb

δτ

δτ

δτ

δτ

(c) Resposta plastica a um incremento detensoes cisalhantes.

Figura 2.9: Respostas elastica e plastica de um cubo submetido a um cisalhamento(apenas a vista lateral e mostrada; σc e a tensao fora do plano).


σa, δεa

Potencial plastico

σb, δεb

Vetor de incrementode deformacoes

Figura 2.10: O potencial plastico.

visto que exite alguma discussao (ate mesmo controveria) sobre se ela pode ser apli-cada para solos.

2.4.3 O postulado de estabilidade de Drucker

Drucker (1950) (e Drucker, 1951) introduziu o ‘postulado da estabilidade’ que ajudaa entender o significado fısico da normalidade. O conceito de estabilidade e familiarna analise de sistemas de engenharia. Considere-se por exemplo o caso de umaesfera repousando sobre uma superfıcie possivelmente curva (vide Figura 2.11). Sea superfıcie tem concavidade para cima e a esfera e submetida a uma pequena forcaperturbativa, sua resposta sera estavel (quando a forca e removida, a esfera voltapara sua posicao inicial). Se, entretanto, a superfıcie tem concavidade para baixo,a resposta e instavel. Uma superfıcie plana fornece uma resposta que e ‘indiferente’em termos de estabilidade. Observa-se que em cada caso a esfera esta inicialmenteem equilıbrio; entretanto, a estabilidade do equilıbrio e diferente para cada caso.

Drucker considera um sistema que esta em equilıbrio em algum estado de tensoesσ e que e entao carregado com um pequeno incremento extra de carga δσ. Druckerconsidera a tensao incremental como sendo devida a um agente externo (i.e., externoao sistema que ele esta considerando). Subsequentemente, δσ e removido. Um sis-tema estavel e aquele que aborve trabalho do agente externo, enquando um sistemainstavel fornece trabalho. Se o agente externo e incapaz de absorver trabalho dosistema (por exemplo, se ele e suprido por uma carga morta colocada sobre o sis-tema), entao o sistema colapsa. Schofield e Wroth (1968) ilustram estes conceitos em


(a) Equilıbrio estavel. (b) Equilıbrio instavel.

(c) Equilıbrio indiferente.

Figura 2.11: Estabilidade do equilıbrio.


relacao as cargas atuantes em um aparelho de ensaio triaxial para solos, e ao leitore indicada esta referencia para uma discussao mais detalhada. Para os propositosdeste trabalho, e suficiente observar que a definicao da estabilidade do equilıbrio deDrucker corresponde aquela utilizada em outros ramos da engenharia (e.g., na teoriada flambagem de estruturas). Os engenheiros sempre preferem tratar com sistemasestaveis que sao capazes de absorver trabalho se forem submetidos a pequenas cargasperturbadoras.

O trabalho plastico realizado em um pequeno incremento de deformacao e apro-ximadamente σ δεp + δσ δεp

21. Drucker mostra que sua definicao de estabilidade cor-

responde a um valor de δσ δεp maior ou igual a zero. Nos termos de um ensaiotraxial, a deformacao estavel e equivalente ao comportamento de ‘endurecimento pordeformacao’ (strain-hardening), enquanto a deformacao instavel corresponde ao com-portamento de ‘amolecimento por deformacao’ (strain-softening), conforme mostradona Figura 2.12.

Porque o postulado de Drucker e equivalente a normalidade? Considere-se umpequeno incremento de tensoes δσ, aplicado em um material plastico, que resultaem endurecimento, i.e., uma nova superfıcie de plastificacao e estabelecida (Figura2.13). De fato este endurecimento poderia ser causado por diversos incrementosδσ, todos eles partindo do mesmo estado de tensoes (e direcionados para fora dasuperfıcie de plastificacao inicial). A unica direcao possıvel para o vetor de incrementode deformacoes plasticas (satisfazendo o postulado de Drucker) e aquela normal asuperfıcie de plastificacao. Isto porque, caso contrario, seria possıvel achar um δσque faz um angulo maior de 90◦ com δε.

Drucker introduziu seu postulado no contexto da plasticidade de metais, onde ocomportamento de endurecimento por deformacao e ‘regra’ e os sistemas sao geral-mente estaveis. Alguns autores tem criticado a aplicacao deste postulado a situacoesem que o amolecimento por deformacao pode ocorrer (e.g., solos). Os autores destelivro concordam com Palmer (1973), que diz que o postulado e basicamente umaclasificacao da resposta do material. Na secao 7.7.2 serao examinadas as implicacoesdo postulado de Drucker para o comportamento do solo.

2.4.4 Sistemas friccionais e a teoria da plasticidade

Sistemas com interfaces friccionais tem uma certa similaridade com solidos perfeita-mente plasticos. Considera-se o caso simples de um bloco rıgido que repousa sobreum plano, submetido a uma forca horizontal F e uma forca vertical N (Figura 2.14a).Quando F < µN nao existe movimento e a linha F = µN poderia ser identificadacomo uma superfıcie de plastificacao para o sistema. Entretanto, quando se dese-nham os deslocamentos ‘plasticos’ incrementais para este sistema, fica claro que anormalidade nao se aplica a ele (Figura 2.14b). Drucker (1954) considera alguns ca-

1Uma consequencia das definicoes de tensoes e deformacoes dadas no capıtulo 1 e que o trabalhomecanico fornecido (por unidade de volume de material) e igual ao produto escalar dos componentesdos vetores de tensao e de incremento de deformacao


εa

δεa

σa

δσa

(a) Resposta estavel.

εa

δεa

σa

-δσa

(b) Resposta instavel.

Figura 2.12: Respostas estavel e instavel a um ensaio de tracao

σa

σb

δε

σ

δσ

Figura 2.13: O potencial plastico.

2.5. CAM-CLAY 47

sos de sistemas feitos de blocos friccionais e conclui que eles tem que ser excluıdos desua definicao de sistemas plasticos estaveis.

Agora, a resistencia dos solos ao cisalhamento e frequentemente descrita por umangulo de atrito drenado. Logo, a questao imediatamente surge: e legıtimo descrevero solo como um material plastico para o qual pode-se aplicar o princıpio da norma-lidade? Claramente, o comportamento real de um meio particular como uma areiaou uma argila e muito mais complexo que o comportamento de um bloco deslizandosobre um plano. Uma resposta possıvel para esta questao podera vir da realizacao deensaios em amostras de solo e da medida de deformacoes plasticas. Se a superfıcie deMohr-Coulomb e considerada uma superfıcie de plastificacao apropriada (para a qualo princıpio da normalidade pode ser aplicado), entao o escoamento deveria ser acom-panhado de deformacoes volumetricas negativas (i.e., expansao ou ‘dilatacao’). Naverdade, os solos as vezes se comprimem quando sao cisalhados; as vezes, eles dilatam;e as vezes, eles se deformam a volume constante. Um padrao tıpico do comporta-mento de areias fofas ou de ensaios drenados em argilas ligeirmente sobreadensadaspoderia ser a compressao durante uma primeira parte do ensaio, seguida por umaeventual deformacao a volume constante (Figura 2.15a). Em contraste, areias densasa medianamente densas e argilas muito sobreadensadas tendem a dilatar inicialmentee se deformar a volume constante mais tarde, no ensaio (Figura 2.15b). Portanto, emuma primeira vista, a normalidade nao poderia ser aplicada a solos. Sera mostrado,entretanto, que este comportamento mais complexo dos solos pode ser descrito poruma teoria de plastica de deformacao que usa o princıpio da normalidade.

2.5 Cam-clay

Cam-clay e o nome dado para um modelo elasto-plastico para comportamento desolos. Portanto, Cam-clay nao e o nome dado a um solo real, no sentido de que naose acham depositos do mesmo em algum lugar no subsolo. As equacoes do Cam-claypodem ser usadas para descrever muitos solos reais, se parametros adequados saoescolhidos.

Esta secao prove uma descricao completa do Cam-clay. Ela tem a pretensao deser tanto uma introducao como uma secao de pronta referencia, que contenha todasas equacoes basicas e definicoes. Inicialmente, a notacao simbolica usada na descricaodo Cam-clay e revista. Posteriormente, as hipoteses governantes das relacoes entrevolume e pressao (isotropica) aplicada sao descritas. O conceito de estados crıticos eentao apresentado. Em seguida, as equacoes que governam o escoamento plastico saofornecidas. As ultimas secoes do capıtulo mostram como as equacoes do Cam-claypodem ser utilizadas para prever a resistencia e a deformacao de solos em ensaios tri-axiais. Por enquanto, sera omitido um dos aspectos mais interessantes do Cam-clay:sua derivacao teorica. Logo, a abordagem inicial do Cam-clay e apenas descritiva eas equacoes sao introduzidas sem justificativas. Estas ultimas virao na secao 2.7.1.


F, δy

N, δx

(a)

N, δx

Vetor de Incrementode deslocamentos

F, δy

F = µN

(b)

Figura 2.14: Perda de normalidade em um sistema simples com atrito.

2.5.1 Parametros de estados crıticos

Tres parametros, p′, q e V , descrevem o estado de uma amostra de solo durante umensaio triaxial. Estes parametros sao definidos como:

• p′ = σ′

a+2σ′

r

3= σa+2σr

3− u,

• q = σ′

a − σ′

r = σa − σr

• V e o volume especıfico i.e., o volume de solo que contem um volume unitariodo material solido (Nota: V = 1 + e, onde e e o ındice de vazios do solo).

p′ e frequentemente chamada de pressao normal efetiva e q e a ‘tensao desviatoria’. Oleitor deve observar que estes tres parametros deverao variar durante um ensaio2. Oprogresso de um ensaio triaxial sobre uma amostra de solo pode ser representado porum serie de pontos que descrevem uma linha no espaco tridimensional com os eixosp′, V e q. Ensaios de tipos diferentes (drenado, nao drenado, compressao, extensao, eassim por diante) levam a diferentes trajetorias neste ‘espaco (p′, V, q)’. A mecanicados solos de estados crıticos fornece um conjunto de regras para calculo de trajetoriasem (p′, V, q): usualmente, duas das coordenadas sao determinadas pelo tipo de ensaioe existe um procedimento simples para se determinar a terceira.

O progresso de ensaio sera descrito com referencia a graficos em (p′, q) ou (p′, V ).Eles correspondem simplesmente a duas vistas ortogonais do espaco (p′, V, q), con-forme mostrado na Figura 2.16. O leitor deve observar que no grafico (p′, V ) o eixo

2Infelizmente, quase todos os livros sobre mecanica dos solos de estados crıticos usam um conjuntoligeiramente diferente de notacoes para este mesmo conjunto de parametros. Schofield e Wroth(1968) utiliza p, q e v. Atkinson e Bransby (1978) usa p′, q′ e v. Neste livro, e utilizada a mesmanotacao de Wood (1984)

2.5. CAM-CLAY 49

εa

τ

εa

V

(a) Argilas ligeiramente sobreadensadas e areias fofas.

εa

τ

εa

V

(b) Argilas muito sobreadensadas e areias densas.

Figura 2.15: Respostas tıpicas de solos em termos de tensao-deformacao e em termosde deformacao volumetrica, quando cisalhados em um ensaios triaxiais.


p′ nao corresponde a V = 0, mas que o eixo V e cortado em um valor convenientepara mostrar a parte do grafico (p′, V ) de interese.

Existem ainda quatro parametros que sao constantes do solo: M, Γ, κ e λ. Estessao introduzidos em seguida. Eles descrevem propriedades fundamentais de um solocom uma determinada mineralogia. Outros parametros sao definidos com base nossete ja mencionados; por exemplo, a razao de tensoes η = q/p′.

Correspondentes aos parametros de tensoes p′ e q, existem ainda o parametros dedeformacao v (deformacao volumetrica) e ε (deformacao desviatoria):

v = εa + 2εr, (2.6)

ε =2

3(εa − εr). (2.7)

v e ε descrevem as deformacoes a partir do inıcio do ensaio: sera feito frequentementeo uso dos sımbolos δv e δε (para incrementos de deformacoes), onde

δv = δεa + 2δεr, (2.8)

δε =2

3(δεa − δεr). (2.9)

A razao de existencia do fator 2/3 que aparece na definicao da deformacao cisalhanteε e que o trabalho realizado por um pequeno incremento de deformacoes e dado porp′δv + qδε = σ′

aδεa +2σ′

rδεr. Esta formula para o trabalho e valida para deformacoesem regime drenado, parcialmente drenado e para o regime nao drenado, conformeSchofield e Wroth (1968).

2.5.2 Relacoes pressao-volume

Se uma amostra e submetida a um ensaio de compressao isotropica (e de descarga),entao ele segue trajetorias (p′, V ) como as mostradas na Figura 2.17. Basicamente,este grafico e similar ao mais familiar (σ′

v, e), obtido em ensaios edometricos. Nateoria dos estados crıticos, assume-se que a linha de compressao virgem e a linha dedescarga e recompressao sao retas nos graficos (ln(p′), V ), com derivadas −λ e −κ,respectivamente, como mostrado na Figura 2.18. A equacao da linha de compressaoisotropica virgem (frequentemente chamada de adensamento normal isotropico) e

V = N − λ ln(p′) (2.10)

onde N e uma constante para cada solo particular. N e o valor de V quando ln(p′) = 0,i.e., p′ = 1: claramente, N depende das unidades utilizadas para medir pressao. Aunidade adotadas aqui sera kN/m2, as vezes chamada de kPa (quilopascals). Aindaque N seja uma constante para cada solo, ela esta relacionada com as outras cons-tantes ja definidas (N = Γ + λ− κ): isto vai ser demonstrado adiante. A equacao deuma linha de descarga e recompressao e dada por

V = Vκ − κ ln(p′). (2.11)

2.5. CAM-CLAY 51

p′

V

q

B

A

(a) Espco tridimensional (p′, V, q).

p′

q

(b) Grafico (p′, q) (vista na direcao A).

p′

V

(c) Grafico (p′, V ) (vista na direcao B).

Figura 2.16: Duas vistas ortogonais do espaco (p′, V, q).


Quando se sobe ou desce por uma destas ‘linhas-κ’, o solo esta sobreadensado. Aequacao 2.11 e escrita por vezes como

Vκ = V + κ ln(p′). (2.12)

O valor de Vκ dependera de sobre qual ‘linha-κ’ o solo esta, mas permanecera cons-tante enquanto o solo estiver se movendo pela mesma linha.

Por vezes, e conveniente se introduzir o parametro Vλ. A definicao de Vλ e similaraquela de Vκ:

Vλ = V + λ ln(p′). (2.13)

Ja foi mostrada uma ‘linha-κ’ particular, que e a linha do adensamento normalisotropico, quando Vλ = N. Observa-se que, se os valores de V e p′ forem especi-ficados, entao Vκ e Vλ podem sempre ser determinados utilizando-se as equacoes 2.12e 2.13. Inversamente, se Vκ e Vλ sao conhecidos, entao e sempre possıvel se deduzir Ve p′ (vide Figura 2.19). Portanto, Vκ e Vλ podem ser considerados como um conjuntode parametros que descreve o estado de um solo, como alternativa para V e p′.

Vale observar que, para pressoes efetivas muito grandes, a equacao 2.10 preve va-lores de V menores que 1 (o que e fisicamente impossıvel). Claramente, esta equacaorepresenta uma aproximacao para o comportamento do solo que e valida dentro dointervalo de tensoes do interesse da engenharia.

2.5.3 A linha de estados crıticos

Quando amostras sao cisalhadas, elas se aproximam da linha dos estados crıticos(‘Critical State Line’ ou CSL)3. As equacoes da CSL sao

q = Mp′, (2.14)

V = Γ − λ ln(p′). (2.15)

M e Γ sao constantes de cada solo em particular. Elas determinam a derivada da CSLno grafico (p′, q) e a posicao da CSL no grafico (p′, V ), respectivamente4. As Figuras2.20a e 2.20b mostram a CSL nos graficos (p′, q) e (p′, V ). Observa-se que a equacao2.15 e a propria equacao de uma ‘linha-λ’ com Vλ = Γ. A linha de estados crıticosrepresenta o estado final de amostras de solo em ensaios triaxiais quando e possıvelcontinuar a cisalhar a amostra sem mudanca nas tensoes impostas ou no volume dosolo. Portanto, em estados crıticos, tem-se:

δv

δε= 0;

δq

δε= 0;

δp′

δε= 0.

As equacoes 2.14 e 2.15 descrevem uma linha curfa no espaco tridimensional (p′, V, q),como mostrado na Figura 2.21.

3Estritamente falando, isto so e verdade quando a trajetoria de tensoes efetivas obedece a relacaoδq

δp′> M ou δq

δp′< −M. Entretanto, esta condicao se aplica a todos os ensaios triaxiais normais,

2.5. CAM-CLAY 53

p′

V

Figura 2.17: Grafico tıpico (p′, V ) de uma compressao isotropica, com descarga erecompressao.

ln(p′)

VN

Vκ1

Vκ2

Figura 2.18: Grafico (p′, V ) idealisado como na teoria dos estados crıticos.


ln(p′)

VVλ

Vκ

(ln(p′), V )

Derivada= −λ

Derivada= −κ

Figura 2.19: Cada ponto em um grafico (ln(p′), V ) esta univocamente determinadocom um par de valores (Vκ, Vλ) e vice-versa.

p′

q

(a) CSL no grafico (p′, q)

p′

V

(b) CSL no grafico (p′, V ) (compressao nor-mal isotropica em linha pontilhada)

Figura 2.20: A linha de estados crıticos nos graficos (p′, q) e (p′, V ).

2.5. CAM-CLAY 55

p′

V

q

Figura 2.21: A linha de estados crıticos no espaco (p′, V, q) e dada pela intersecao deduas superfıcies: o plano q = Mp′ e a superfıcie cilındrica vertical V = Γ − λ ln(p′).


2.5.4 Escoamento do Cam-clay

Inicialmente, considera-se o grafico (ln(p′), V ) da Figura 2.18 rodado no sentido anti-horario por um angulo de 90◦ (Figura 2.22). Este esboco e basicamente o mesmo dometal com endurecimento linear por trabalho (Figura 2.3). Entretanto, uma diferencasignificativa fica aparente quando se compara solos com metais. Nos solos, observamosum comportamento elastoplastico associado a deformacoes volumetricas. As funcoesde plastificacao para metais de von Mises e de Tresca sugerem que poderia-se com-primir hidrostaticamente os metais indefinidamente, sem que ocorresse escoamento.

A proxima parte desta descricao do escoamento de solos considera o efeito docisalhamento de uma amostra. Supoe-se que o estado de um solo pode ser inicialmenterepresentado pelo ponto A em um grafico (p′, V ) (Figura 2.23). A tensao desviatoria,q, e agora aumentada, enquanto p′ e V permanecem constantes. Subsequentemente,observa-se o que acontece com uma amostra nao adensada em um ensaio triaxial naodrenado. A medida que o ensaio avanca, o estado da amostra pode ser representadopor um ponto no espaco tridimensional (p′, V, q) que fica acima do ponto original(Figura 2.24). A amostra escoa em um ponto B quando o valor de q e dado pelaequacao:

q =Mp′

(λ − κ)[Γ + λ − κ − V − λ ln(p′)]. (2.16)

A equacao 2.16 descreve uma superfıcie no espaco (p′, V, q). A Figura 2.25 mostrauma perspectiva isometrica desta superfıcie. Quando o estado de uma amostra de solopode ser representado por um ponto abaixo da superfıcie, entao o solo esta em regimeelastico. Estados descritos por pontos sobre a superfıcie indicam escoamento, sendo

onde se cisalha uma amostra ate a ruptura4E claro que muitas pessoas pronunciam M como a letra romana maiuscula (e nao a letra grega).

A razao para esta convencao (talvez surpreendente) e que M representa uma constante de atrito doCam-clay, e µ e frequentemente utilizada na mecanica para designar um coeficiente de atrito

Deformacao de compressaovolumetrica

Tensao

V

ln(p′)

Figura 2.22: A deformacao volumetrica de um solo vista como um comportamentoplastico com endurecimento por deformacao.

2.5. CAM-CLAY 57

impossıvel para amostras de solo alcancarem estados equivalentes a pontos acima dasuperfıcie. Por esta razao, esta superfıcie e conhecida como Superfıcie Envoltoriados Estados Estaveis (Stable State Boundary Surface ou SSBS). Um outro modo deescrever a equacao 2.16 e

Vλ = Γ + (λ − κ)(

1 −η

M

)

. (2.17)

A equacao 2.17 e provavelmente a forma mais util de se escrever esta equacao.Observa-se que quando η e zero, recupera-se a equacao da reta do adensamentonormal isotropico (EF na Figura 2.25). Se a equacao 2.14 e substituıda na equacao2.17, obtem-se a equacao 2.15. Por outro lado, se a equacao 2.15 e substituıda naequacao 2.17, obtem-se a equacao 2.14. Isto demonstra que a CSL esta na SSBS (GHna Figura 2.25).

Ainda que tanto a equacao 2.16 como a equacao2.17 descrevam a combinacao detensoes que causa o escoamento, nenhuma delas e a equacao da superfıcie de escoa-mento no sentido introduzido na Secao 2.3.3. A razao para isso e que V aparece emambas as equacoes. A equacao de uma superfıcie de plastificacao deveria ser expressaem termos das tensoes correntes em conjunto com um parametro de endurecimentopara definir seu tamanho. V nao pode desempenhar o papel de um parametro deendurecimento porque ele muda para incrementos de tensao dentro da superfıcie deplastificacao.

Deformacoes elasticas abaixo da SSBS correspondem a um movimento ao longo deuma linha-κ, com a mudanca correspondente emV . Portanto, quando uma amostraem regime elastico e levada ate a plastificacao, ela deve estar simultaneamente sobrea linha-κ e sobre a SSBS. Portanto, a intersecao da SSBS com a linha-κ produz asuperfıcie de plastificacao corrente:

q = Mp′ ln

(

p′cp′

)

. (2.18)

A forma da funcao de plastificacao e mostrada na Figura 2.26. Conforme mencio-nado anteriormente, as deformacoes elasticas sao governadas pela equacao da linha-κe, portanto, em termos do espaco (p′, V, q), o estado de um material deve se manterem uma ‘parede elastica’ (Figura 2.27). O ‘ponto’ da superfıcie de plastificacao jazsobre a reta de adensamento normal isotropico. p′c e a pressao isotropica de pre-adensamento para uma amostra que esta em uma linha-κ particular (Figura 2.28).

2.5.5 Deformacoes

As deformacoes volumetricas e cisalhantes podem ser expressas como a soma doscomponentes elasticos e plasticos:

v = ve + vp (2.19)

ε = εe + εp, (2.20)


p′A

V

Figura 2.23: Preparacao de uma amostra de solo por adensamento normal isotropicoe posterior descarga.

qp′

A

B

V

Figura 2.24: O escoamento de uma amostra no espaco (p′, V, q). A preparacao daamostra segue as duas primeiras curvas, que estao no plano q = 0. O avanco emdirecao ao escoamento e feito ao longo da trajetoria vertical AB que e paralela aoeixo q.

2.5. CAM-CLAY 59

qp′

V

F

GE

H

Figura 2.25: A superfıcie envoltoria dos estados estaveis no espaco (p′, V, q).

p′

p′cp′c

2.72

q

Figura 2.26: A superfıcie de plastificacao do Cam-clay (assume-se que a superfıcie esimetrica em relacao ao eixo p′).


qp′

V

Figura 2.27: Perspectiva isometrica de uma parede elastica.

p′

p′c

V

Figura 2.28: O tamanho da superfıcie de plastificacao do Cam-clay e determinadopela pressao de adensamento isotropico p′c.

2.6. ENSAIOS TRIAXIAIS COM O CAM-CLAY 61

e um par de equacoes similares e valido para deformacoes incrementais:

δv = δve + δvp (2.21)

δε = δεe + δεp. (2.22)

O Cam-clay corresponde as seguintes hipoteses sobre as deformacoes elasticas eplasticas:

• deformacoes elasticas:

– δve e calculada pela equacao da linha-κ

– δεe = 0

• deformacoes plasticas:

– δvp = δVκ

V

– δεp e calculada atraves da seguinte lei de fluxo: δvp

δεp = M − η

2.6 Ensaios triaxiais com o Cam-clay

As equacoes da secao anterior podem ser utilizadas para predizer trajetorias detensoes, resistencia ao cisalhamento e deformacoes em ensaios triaxiais.

2.6.1 Preparando a amostra

Em cada um dos exemplos mostrados a seguir, a amostra para ensaio triaxial epreparada atraves de adensamento normal isotropico ate p′ = p′c, seguido por descargaate p′ = p′0. A Figura 2.29 mostra o caminho seguido pela amostra em um grafico(p′, V ). O valor de V no inıcio do ensaio, V0 pode ser calculado pelas equacoes doNCL e da linha-κ como se segue:

Vc = N − λ ln(p′c),

vκ = Vc + κ ln(p′c) = V0 + κ ln(P ′

0);

portanto,

V0 = N − λ ln(p′c) + κ ln

(

p′cp′0

)

. (2.23)

Em um grafico (p′, q) esta equacao estabelece o estado inicial de tensoes como estandodentro de uma superfıcie de plastificacao que intercepta o eixo p′ em p′ = p′c (Figura2.29). De fato, este procedimento de preparo da amostra foi descrito previamente(mas sem as equacoes): a Figura 2.24 mostra uma vista dele no espaco (p′, q, V ).


p′

q

p′

V

V0

Vc

p′cp′0

Figura 2.29: Preparando a amostra atraves de compressao normal isotropica e pos-terior descarga, obtem-se o tamanho inicial da superfıcie de plastificacao p′c.


2.6.2 Ensaios de compressao drenada

Em ensaios normais de compressao drenada a pressao na camara σr se mantem cons-tante enquanto a tensao axial σr aumenta. Neste exemplo, assume-se que as poro-pressoes sao mantidas a um valor de fundo que e nulo (i.e., a pressao atmosferica).Portanto, a Trajetoria de Tensoes Efetivas (Effective Stress Path ou ESP) semprecorresponde a Trajetjoria de Tensoes Totais (Total Stress Path ou TSP), uma vezque p′ = p, e a ESP pode ser determinada considerando-se as tensoes totais atuandona amostra de solo. Por outro lado, se uma pressao de fundo constante fosse mantida,haveria sempre um deslocamento horizontal u entre as trajetorias total e efetiva. Oestado inicial do solo em um grafico (p′, q) e (p′0, 0) (vide Figura 2.30). Durante aparte inicial do ensaio, antes da ESP interceptar a superfıcie de plastificacao em B(vide grafico (p′, q), na Figura 2.31), o comportamento do solo e elastico. Depois doponto B o solo esta escoando e cada estado de tensoes em BF estassociado a umasuperfcie de plastificacao nova (e maior). Finalmente, o solo rompe quando a ESPatinge a CSL (ponto F da Figura 2.31. Observa-se que a superfıcie de plastificacaona ruptura intercepta o eixo p′ em H , e que esta superfıcie corresponde a linha-κ queintercepta a NCL no ponto H do grafico (p′, V ). Sendo os parametros de estadoscrıticos conhecidos, torna-se facil o calculo do valor de p′ e q na ruptura, a partir daintersecao entre a ESP e a CSL:

q = 3p′ − 3p′0q = M p′,

o que fornece p′ =3p′

0

3−Me q =

3M p′0

3−M.

No grafico (p′, V ) da Figura 2.31, o solo segue a linha-κ enquanto estiver emregime elastico (ate o ponto B) e depois muda de direcao para buscar a ruptura sobrea CSL, no ponto F . Cada linha-κ que o solo cruza corresponde a uma superfıcie deplastificacao no grafico (p′, q) embora a Figura 2.31 mostre apenas a ultima delas.Uma vez que o valor de p′ na ruptura e conhecido, o valor de V pode ser calculado coma equacao 2.15. Portanto, a deformacao volmetrica na ruptura pode ser calculadacomo V −V0

V0

.

Considera-se agora um ensaio em uma amostra que tem uma razao de sobreaden-samento maior (R = p′c/p

′

0) de modo que seu estado inicial A no grafico (p′, V ) esta aesquerda da CSL. O progresso desta amostra em um ensaio de compressao drenadae mostrado na Figura 2.32. Observa-se que embora a ESP pareca interceptar a CSLantes do escoamento, isto de fato nao ocorre no espaco tridimensional (p′, q, V ), o quee mostrado claramente no grafico (p′, V ) da Figura 2.32. Depois de escoar, o estadoda amostra se move de volta em sua ESP para o ponto F na CSL. Este movimentoe acompanhado por uma “retracao” da superfıcie de plastificacao, ao inves de umcrescimento que foi observado no caso da amostra considerada anteriormente.


p′

q

x/3

x

Figura 2.30: ESP drenada para um ensaio de compressao.

2.6.3 Calculo das deformacoes em ensaios drenados

Nesta secao, os procedimentos para calculo das deformacoes em um ensaio triaxialdrenado e apresentado como uma sequencia de passos sob a forma de itens. Em-bora tenha sido ate entao considerado apenas o ensaio normal de compressao, estasequencia pode ser usada para calcular as deformacoes em outros tipos de ensaio. Ba-sicamente, as deformacoes sao calculadas para um numero de incrementos de tensaoapos a amostra comecar a escoar. Embora existam algumas situacoes em que epossıvel se obter expressoes analıticas para a curva tensao-deformacao (e.g., ensaioscom p′ constante), em geral, o procedimento descrito a seguir sera necessario.

1. Estabelecem-se valores iniciais para p′, q, V e p′c.

2. Calculam-se os valores de p′ e q para os quais inicia-se o escoamento. Istoenvolve achar o ponto de intersecao entre a trajetoria de tensoes efetivas (ESP)e a superfıcie de plastificacao corrente. Em geral, e necessario que se resolva umaequacao nao linear devido a natureza da funcao de plastificacao. Entretanto,isto pode ser feito rapidamente substituindo-se alguns valores de p′ tanto nasuperfıcie de plastificacao como na ESP ate os valores de q ficarem proximos.

3. Calculam-se as deformacoes (elasticas) volumetricas ate esse ponto. Dado queas deformacoes cisalhantes elasticas sao nulas, δεa = δεr e δεa = δv/3.

4. Dividir a ESP entre o ponto de inıcio do escoamento e a intersecao com a CSLem um numero de incrementos (diga-se, n). Posteriormente, repetir as etapasseguintes para valores de i variando de 1 a n.


p′

p′

V

q

H

HC

C

A

A

B

B

F

F

Figura 2.31: Ensaio de Compressao com o Cam-clay (Razao de pre-adensamentoR = 2).


p′

p′

V

q

C

CH

H

A

AB

B

F

F



5. Calcular o incremento de deformacoes volumetricas no incremento i a partirdos valores de p′ e q no inıcio e no fim do incremento (os valores de V podemser calculados a partir da equacao da SSBS).

6. Calcular as deformacoes volumetricas elasticas para este incremento a partir daequacao da linha-κ.

7. Calcular as deformacoes volumetricas plasticas para este incremento subtraindoas deformacoes elasticas calculadas no item 6 das deformacoes calculadas noitem 5.

8. Calcular as deformacoes cisalhantes para este icnremento a partir das deforma-coes volumetricas plasticas e da lei de fluxo do Cam-clay (usar os valores de p′

e q correspondentes ao inıcio do incremento).

9. Usar as deformacoes cialhantes obtidas no item 8 e as deformacoes volumetricasobtidas no item 5 junto com as definicoes basicas destas deformacoes paracalcular δεa e δεr.

10. Adicionar δεa para os valores calculados a partir dos incrementos anteriorespara obter um ponto do grafico q versus εa.

A Figura 2.33 compara o comportamento das duas amostras que foram considera-das na secao anterior. A primeira endureceu apos o inıcio do escoamento (q aumen-tou) e exibiu deformacoes volumetricas plasticas de compressao. A segunda sofreuamolecimento (q diminuiu) e exibiu deformacoes volumetricas plasticas de expansao.Observa-se a similaridade destes resultados com o comportamento experimental mos-trado na Figura 2.15.

2.6.4 Ensaios de compressao nao drenada

Agora, considera-se o comportamento de uma amostra de Cam-clay em um ensaiode compressao nao drenada. A trajetoria de tensoes totais e identica a trajetoria dosensaios drenados (porque a trajetoria de tensoes totais e especificada pelas tensoestotais aplicadas no solo). Durante todo o ensaio nao drenado, o volume especıficose mantem constante uma vez que nao e permitido o fluxo de agua para dentro oupara fora do solo. Embora a deformacao volumetrica total tenha que ser zero, oscomponentes elastico e plastico podem nao ser nulos, a medida que

vp + ve = 0. (2.24)

Antes da amostra escoar, as deformacoes plasticas sao nulas e, consequuentemente,as deformacoes elasticas tem que ser tambem nulas. Se as deformacoes volumetricaselasticas sao nulas, nao havera mudanaca em p′. Em outras palavras, a trajetoriade tensoes efetivas no grafico (p′, q) deve ser paralela ao eixo q. Portanto, no espaco


εa

0.10.080.060.040.020

q

0

0.8

0.6

0.4

0.2

1

R = 2

R = 7

(a) εa × q

εa

0.10.080.060.040.020

δV

0.01

0.008

0.006

0.004

0.002

0

−0.002

−0.004

−0.006

R = 2

R = 7

(b) εa × δV

Figura 2.33: Respostas de tensao-deformacao para ensaios drenados.


tridimensional (p′, q, V ), a trajetoria do ensaio sera vertical antes de acontecer esco-amento. Quando a amostra escoa, valores iguais (com sinais opostos) de vp e ve saopossıveis e a trajetoria de tensoes segue a secao transversal da SSBS de V constanteate a amotra atingir a CSL (Figura 2.34).

O ponto final do ensaio (e consequentemente a resistencia nao drenada do solo)pode ser calculada substituindo-se o valor de V0 da equacao 2.23 na equacao 2.15 dalinha de estados crıticos. Portanto,

p′f = exp(

Γ − V0

λ

)

(2.25)

e

cu =1

2qf =

1

2M p′f =

1

2M exp

(

Γ − V0

λ

)

(2.26)

As poropressoes no fim do ensaio sao dadas por

uf = p′0 +1

3qf − p′f (2.27)

enquanto as poropressoes no escoamento sao dadas por

uy =qy

3. (2.28)

Considera-se agora uma amostra de solo que esta muito sobreadensada, iniciando emum ponto do grafico (p′, V ) como o mostrado na Figura 2.35. Esta amostra tambemtem uma ESP inicial que e vertical (seguindo o mesmo argumento apresentado ante-riormente). Novamente, no escoamento, a amostra se move sobre uma secao verticalconstante da SSBS ate alcancar a CSL. Inicialmente, a amostra parece sofrer endu-recimento por deformacao (q aumenta), mas a medida que o ensaio avanca, ela sofreamolecimento por deformacao (q diminui). Entretanto, tanto o endurecimento comoo amolecimento estao associados com uma diminuicao da superfıcie de plastificacao.

Observa-se que a vista isometrica da SSBS mostrada na Figura 2.25 foi feita delinhas com V constante e linhas com p′ constante. Cada linha com V constante incluiuma parte (o escoamento) da ESP nao drenada comecando no valor de V . Supoe-seque uma amostra esta inicialmente normalmente adensada a uma pressap p′e. Entaoseu volume inicial e dado por

Ve = Γ + λ − κ − λ ln(p′e).

Substituindo-se este valor de Vc na equacao 2.16 da SSBS, obtem-se a seguinteequacao:

q =M p′

1 − κλ

ln

(

p′ep′

)

. (2.29)

A equacao 2.29 e a equacao da ESP nao drenada para uma amostra inicialmentenormalmente adensada a uma pressao p′c. Amostras sobreadensadas ao mesmo volumeinicial V0 = Vc tem ESP vertical ate encontrarem esta linha, a partir da qual elas


p′

p′

V

q

C

C H

H

A

A, B

B

F

F



p′

p′

V

q

C

CH

H

A

A, B

BF

F



seguem a mesma trajetoria em direcao ao estado crıtico (Figura 2.36). Observa-seque a ESP nao drenada tem a mesma equacao basica da superfıcie de escoamento(equacao 2.18), exceto pelo fato de que o M da equacao 2.18 foi substituıdo por M

1−κ/λ

na equacao 2.29 e que p′c foi substituıdo por p′e. De fato, o papel de p′e e p′c e fixar otamanho da superfıcie nao drenada ou da superfıcie de escoamento, e o papel de 1

1−κ/λ

e o de “esticar” a superfıcie de escoamento na direcao do eixo q para formar a equacaoda ESP. O fato de 1− κ/λ ocorrer frequentemente quando ensaios nao drenados saoconsiderados levou a alguns autores (notavelmente, Wroth, 1984) usarem o sımboloΛ para esta razao.

O modelo Cam-clay leva elegantemente em conta o efeito do sobreadensamentosobre a resistencia nao drenada. Considera-se uma amostra que e normalmente aden-sada a uma pressao p′c, e que depois e permitido que ela expanda de volta para uma

pressao isotropica p′0, o que resulta em uma razao de sobreadensamento de R = p′cp′0

.

Entao, a partir da equacao 2.23, o volume inicial V0 e dado por

V0 = Γ + λ − κ − λ ln(p′c) + κ ln(R).

V0 vai permanecer o mesmo durante o ensaio e portanto, pode-se dizer que estaexpressao e igual a Γ − λ ln(p′f), onde p′f e o valor de p′ no final do ensaio. Portanto(apos algumas manipulacoes algebricas),

p′f = p′0RΛ exp(−Λ)

e a resistencia nao drenada cu e dada por

cu =1

2qf =

1

2M p′f =

1

2M p′0R

Λ exp(−Λ). (2.30)

De fato, a equacao anterior e apenas a equacao 2.26 com o valor apropriado de V0

substituıdo. Quando R = 1, a equacao 2.30 fornece a rasistencia de uma argilanormalmente adensada, de modo que o efeito do sobreadensamento e expresso pelofator RΛ. Os dados experimentais de Ladd et al. (1977) sustentam esta relacao (videtambem Wroth, 1984).

E possıvel tambem se obter uma expressao para o parametro de poropressoesde Skempton como uma funcao da razao de sobreadensamento. Substituindo-se aequacao 2.29 e qf = M pf na equacao 2.27, obtem-se a seguinte equacao para oparametro A de Skempton:

Af =1

3−

1

M+

RΛ

Mexp(Λ). (2.31)

2.6.5 Calculo de deformacoes em ensaios nao drenados

1. Estabelecem-se valores para p′, q, V e p′c.

2. Calcula-se o valor de q quando o escoamento se inicia, a partir da equacao dasuperfıcie de plastificacao (a ESP nao drenada e vertical dentro da superfıciede plastificacao).


p′

qCSL

Figura 2.36: ESP drenada para um ensaio de compressao.

3. Observa-se que sao nulas tanto as deformacoes cisalhantes (por definicao) quan-to as deformacoes volumetricas. (porque o ensaio e nao drenado). Logo, εa eεr sao tambem zero.

4. Divide-se a distancia horizontal entre o ponto inicial e a CSL no grafico (p′, V )em um numero igual de incrementos (diga-se, n). Depois, repetem-se os passosa seguir para i variando de 1 a n.

5. Calculam-se os valores de q no final do incremento a partir da equacao da SSBS.

6. Calculam-se as deformacoes volumetricas elasticas para este incremento a partirda equacao da linha-κ.

7. As deformacoes volumetricas plasticas para este incremento e igual a deforma-cao calculada no item 6 com o sinal invertido (a deformacao volumetrica totalno incremento e zero devido ao regime nao drenado).

8. Calcula-se a deformacao cisalhante para este incremento a partir das defor-macoes volumetricas e da lei de fluxo do Cam-clay (usam-se valores de p′ e qcorrespondentes ao inıcio do incremento).

9. Usam-se os resultados obtidos no item 8 para calcular δεa e δεr (utiliza-se ofato de que as deformacoes volumetricas sao nulas).

10. Adiciona-se δεa aos valores calculados nos incrementos anteriores para se obterum ponto no grafico (q, εa).


A Figura 2.37 mostra os graficos de q e das poropressoes versus εa para os doisensaios considerados anteriormente. Nota-se que embora as poropressoes aumen-tem linearmente com q durante a parte inicial do ensaio (elastica), no escoamento ocomportamento e diferente, com a primeira amostra tendendo a gerar poropressoespositivas e, a segunda, poropressoes negativas. O primeiro ensaio mostra q crescendoantes da ruptura, enquanto no segundo mostra q decrescendo.

2.6.6 Outros tipos de ensaios triaxiais

Os calculos descritos anteriormente para ensaios de compressao podem ser facilmenteextendidos para outros tipos de ensaios triaxiais (e.g., extensao, p′ constante, etc.).Em ensaios drenados, tem-se simplesmente uma TSP (equivalente a ESP) inclinadapor algum angulo no grafico (p′, q) e e uma questao simples de geometria calculara intersecao da ESP com a CSL ou com a superfıcie de plastificacao. Nos ensaiosnao drenados, embora a TSP seja diferente, a ESP continua a mesma. O calculo dasporopressoes em um ensaio e de novo um exercıcio de geometria.

2.7 Comentarios sobre o Cam-clay

O conceito geral de se usar um modelo de plasticidade com endurecimento paradescrever o comportamento tensao-deformacao de solos foi proposto pela primeiravez por Drucker et al. (1957). Essencialmente, os referidos autores sugeriram quese colocasse um “cap” no “cone de Drucker-Prager”. O “cap” poderia ser alargado(acompanhdo de um pequeno alargamento do cone) por carregamento hidrostatico dosolo. O artigo citado especula sobre o que acontece com o cone no descarregamentoelastico durante ensaios triaxiais, mas nao faz proposta mais firme sobre o assunto.O artigo expressa duvidas como por exemplo, se a normalidade poderia ser aplicadaao escoamento “friccional” no cone (compara-se isto a secao 2.4.4). Ao construir osmodelos de estados crıticos o grupo de Cambridge levou em conta algumas propostasde Drucker et al. (1957) e descartou outras. Fazendo isso, tal grupo produziu ummodelo de comportamento do solo que e “simples”, no sentido de que o modelo edesenvolvido partir de um numero pequeno de hipoteses basicas, ainda que reproduzapela primeira vez uma descricao apropriada das respostas volumetricas do solo sobcisalhamento. O que realmente coloca os modelos de estados crıticos separado dasoutras tentativas de se formular modelos elasticos-perfeitamente plasticos para solos ea linha de estados crıticos no grafico (p′, V ). Isto permite um tratamento consistente,tanto de ensaios drenados como de ensaios nao drenados. Ainda que que o Cam-claytenha sido inicialmente proposto para razoes entre tensoes menores que M , Schofielde Wroth (1968) estenderam o proposito para razoes entre tensoes maiores que M(conforme ja visto anteriormente neste capıtulo). Entretanto, eles adiantaram boasrazoes para que as previsoes do modelo nao fossem tao boas nesta regiao (vide secao2.7.4).

2.7. COMENTARIOS SOBRE O CAM-CLAY 75

εa0.060.050.040.030.020.010

q

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35 R = 1.5

R = 7

(a) εa × q

εa0.060.050.040.030.020.010

u

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

R = 7

R = 1.5

(b) εa × u

Figura 2.37: Respostas de tensao-deformacao para ensaios drenados.


2.7.1 Derivacao do Cam-clay

O Cam-clay e baseado nas seguintes hipoteses:

1. O adensamento normal isotropico tem a seguinte equacao:

V = Γ + λ − κ − λ ln(p′),

e as linhas de descarga e recarga isotropicas tem a seguinte equacao (equacao2.11):

V = Vκ − κ ln(p′).

Γ, λ e κ sao constantes.

2. Deformacoes elasticas volumetricas para o Cam-clay sao fornecidas pela equacaoda linha-κ. Deformacoes elasticas cisalhantes sao nulas (isto equivale a se atri-buir um valor infinito para o modulo de cisalhamento elastico, G).

3. Quando o Cam-clay esta escoando, o trabalho plastico e dado por Mp′δεp.Portanto:

p′δvp + qδεp = Mp′δεp. (2.32)

4. A equacao 2.32 representa uma lei de fluxo. A normalidade pode ser aplicadapara esta relacao para fornecer a equacao da superfıcie de plastificacao do Cam-clay.

5. O tamanho da superfıcie de plastificacao do Cam-clay e determinado especifi-cando-se que a intersecao entre o eixo p′ e a superfıcie de plastificacao corres-ponde a NCL.

Embora existam dados experimentais que suportam a hipotese 3 (Roscoe et al.,1963), existe tambem uma forte intuicao sobre a natureza da deformacao do solo, quee subjacente a equacao 2.32. De acordo com Schofield e Wroth (1968):

Considera-se um agregado randomico de partıculas “solidas” irregu-lares de diversos tamanhos que se partem, se atritam, se lascam ou atemesmo se resvalam umas contra as outras, durante o processo de de-formacao contınua. Se o movimento fosse visto de perto, poderia-sever um processo estocastico de movimentos; entretanto, coloca-se umadistancia maior, e ve-se um fluxo contınuo. Em uma vista mais proxima,poderia-se observar varias causas complicadas para a dissipacao de tra-balho e para o dano de partıculas; entretanto, colocam-se para tras os pe-quenos detalhes e descreve-se vagamente o processo inteiro de dissipacaode trabalho como “atrito”, desprezando-se a possibilidade de degradacaoou orientacao das partıculas.


A equacao 2.32 e rearranjada:

δvp

δεp= M −

q

p. (2.33)

Da condicao de normalidade, a direcao do vetor de deformacao plastica incrementalespecificado por esta equacao ndeve interceptar a superfıcie de plastificacao em umangulo reto. Portanto:

δvp

δεp

δq

δp′= −1. (2.34)

Combinando-se as equacoes 2.33 e 2.34, e tomando-se o limite quando δp′ → 0 eδq → 0, obtem-se uma equacao diferencial:

d q

d p′= −M +

q

p. (2.35)

A equacao 2.35 e entao rearranjada para que se obtenha a superfıcie de plastificacao.O que se segue e apenas uma manipulacao algebrica: substitui-se η = q

p′e utiliza-se

a relacao

dη

d p′=

p′ d qd p′

− q

p′2(2.36)

para se substituir d qd p′

e obter a equacao p′ dηd p′

= −M , que pode ser integrada direta-

mente (A equacao 2.36 e obtida diretamente da regra da derivada de um quociente).A equacao resultante e η = q

p′= −M ln(p′)+c, onde c e uma constante de integracao.

A constante de integracao e obtida usando-se o item 5 das hipoteses do Cam-clay;portanto, quando q

p′= 0, p′ = p′c, e a superfıcie de plastificacao do Cam-clay e obtida:

q = Mp′ ln

(

p′cp′

)

.

A equacao da SSBS e obtida da seguinte forma: considera-se uma amostra de Cam-clay que esta escoando; entao os valores correntes de p′ e q tem que satisfazer aequacao da superfıcie de plastificacao. O valor corrente do volume especıfico, V , edado por

V = Γ + λ − κ − λ ln(p′c) + κ ln

(

p′cp′

)

. (2.37)

Esta equacao segue exatamente o mesmo raciocınio utilizado na secao 2.6.1. Oproximo passo e eliminar p′c entre as equacoes 2.18 e 2.37, e o resultado e a equacaoda SSBS (equacao 2.16),

q =Mp′

(λ − κ)[Γ + λ − κ − V − λ ln(p′)]. (2.38)

ou, alternativamente (forma preferida, que e a da equacao 2.17),

Vλ = Γ + (λ − κ)(

1 −η

M

)

. (2.39)


Observa-se que as equacoes da linha dos estados crıticos nao foi utilizada em momentoalgum na derivacao de qualquer equacao desta secao. As hipoteses utilizadas podemser basicamente fundidas em duas afirmacoes:

1. O trabalho realizado em deformacoes plasticas e M p′εp, que fornece a lei defluxo, e por integracao, a superfıcie de plastificacao.

2. As deformacoes elasticas dentro da superfıcie de plastificacao correspondem aomovimento sobre uma linha-κ. O tamanho da superfıcie de plastificacao e fixadopela compressao normal de adensamento isotropico p′c (dada a interpretacaovisual conveniente de que a superfıcie de plastificacao “fica no topo” da linha-κno espaco (p′, V, q)).

Do ponto de vista da teoria da plasticidade, o item 1 e a funcao de plastificacaoe o item 2 e a lei de endurecimento. Ambas as hipoteses podem ser variadas paraproduzir modelos ligeiramente diferentes (mas similares, basicamente).

Quando as regras de calculo de deformacoes (da teoria da plasticidade) sao aplica-das a amostras triaxiais com o Cam-clay, as amostras terminam na condicao definidapelas equacoes da linha dos estados crıticos, deformando-se a volume constante e semmudanca no estado de tensoes. Este ponto e por vezes mascarado pelo modo comoa mecanica dos solos de estados crıticos e ensinada, onde as equacoes da linha dosestados crıticos e descrita inicialmente (e consequentemente, parece fazer parte dashipoteses basicas da teoria). Embora este provavelmente seja o melhor modo de ex-plicar a teoria para iniciantes, ele tem o efeito colateral infeliz de esconder o pequenonumero de hipoteses que sao realmente necessarias para produzir uma descricao so-fisticada do comportamento dos solos.

E claro que, na pratica, a linha de estados crıticos foi “descoberta” primeiro(Roscoe et al., 1958). Do presente ponto de vista, ela pode ser considerada comouma consequencia das hipoteses do Cam-clay (Roscoe et al., 1963).

2.7.2 A lei de fluxo do Cam-clay

O Cam-clay resolve o dilema (mencionado na secao 2.4.4) sobre se o princıpio da nor-malidade pode ser aplicado para solos. No Cam-clay, a normalidade e aplicada, masnao ao que era anteriormente considerado como a superfıcie de plastificacao apro-priada (i.e., Mohr-Coulomb ou Drucker-Prager). O Cam-clay separa a superfıcie deplastificacao do criterio de escoamento: e na superfıcie de plastificacao (i.e., equacao2.18) que a normalidade deve ser aplicada.

A Figura 2.38 mostra a superfıcie de plastificacao do Cam-clay com os vetores dedeformacoes incrementais plasticas superpostos. Quando ocorre o escoamento comη < M , entao ocorrem tambem deformacoes de compressao (em ensaios drenados)ou ocorre uma tendencia a se gerarem poropressoes positivas. Quando ocorre o es-coamento com η > M , entao ocorrem tambem deformacoes de dilatacao (em ensaiosdrenados) ou ocorre uma tendencia a se gerarem poropressoes negativas. No grafico(p′, V ), estes dois tipos diferentes de comportamento sao associados com amostras de


solo que escoam abaixo e acima (ou a direita e a esquerda) da CSL, respectivamente.O primeiro tipo de comportamento e chamado de “molhado” (porque as poropress oespositivas fazem a agua fluir para fora do solo) enquanto o ultimo tipo de compor-tamento e chamado de “seco” (porque as poropressoes negativas resultam na aguasendo “sugada” pelo solo). Portanto, o escoamento ocorre ou “do lado molhado docrıtico” ou “do lado seco do crıtico”.

Pode-se ir mais longe, distinguindo-se os tipos de comportamento seco e mo-lhado a luz do postulado de Drucker. Uma vez que a superfıcie de plastificacaosempre contrai no lado seco e expande no lado molhado, o termo de segunda ordemδσ δvarepsilonp e sempre negativo no lado seco (o que corresponde ao comportamentoinstavel) e sempre positivo no lado molhado (o que corresponde ao comportamentoestavel). Em situacoes em que o solo e continuamenteo cisalhado na mesma direcao,o comportamento no lado molhado corresponde ao endurecimento por deformacao eo comportamento no lado seco corresponde ao amolecimento por deformacao (talvezprecedido de algum endurecimento).

A mecanica dos solos de estados crıticos fornece um bom modelo qualitativo decomo as deformacoes se dao tanto em argilas “secas” como em argilas molhadas.Supoe-se que uma zona particular de uma argila “molhada” e deformou mais que aszonas vizinhas. Esta zona tera sofrido mais endurecimento e sera mais resistente.Deformacoes adicionais deverao ocorrer ao redor desta zona endurecida e existe umatendencia do solo se deformar de um modo uniforme e homogeneo. Por outro lado,se uma zona em um solo “seco” se deformou mais que o solo ao seu redor, ela vai sermenos resistente que o material ao seu redor. Deformacoes posteriores vao tendera se concentrar nesta zona enfraquecida, que vai continuar a sofre amolecimentopor deformacao. Este ultimo comportamento descreve muito bem a formacao desuperfıcies de ruptura. Henkel (1956) fez medidas de teor de umidade proximos auma superfıcie de escorregamento que sao consistentes com o comportamento descritoacima.

Existe frequentemente uma boa correspondencia entre os dados experimentais deargilas “molhadas” e a teoria do Cam-clay (ou do Cam-clay modificado). No lado“seco”, a concordancia nao e tao boa e os dados de ruptura sao melhor descritos pelaequacao de Hvorslev (Schofield e Wroth, 1968). Atkinson e Bransby (1978) sugeremque solos que encostam na superfıcie de Hvorslev continuam escoando ate chegar noestado crıtico. Embora alguns solos sigam este padrao, existem outros solos que naoo fazem. Ambas as abordagens fornecem a mesma resistencia nao drenada do lado“seco”, que tende a superestimar a resistencia observada em alguns solos.

Embora a equacao de Hvorslev possa ser util em alguns contextos, a experienciados autores deste trabalho e que ela nao tem vantagem alguma sobre o Cam-clayquando usada em elementos finitos.


p′

q

Figura 2.38: A lei de fluxo do Cam-clay.


2.7.3 O Cam-clay modificado

Ainda que o Cam-clay tenha sido um grande passo adiante na modelagem do com-portamento de solos, existem alguns aspectos da modelagem de tensao-deformacaonos quais ele e deficiente. E claro, ele nao esta sozinho neste aspecto. Toda descricaoteorica do comportamento de materiais tem algum sucesso na correspondencia coma realidade e algumas falhas. A utilidade global de uma idealizacao particular irarepousar primariamente na questao se estes aspectos da resposta do material saopertinentes para o problema em questao

O Cam-clay modificado (Burland, 1965; Roscoe e Burland, 1968) e enderecadoa duas insatisfacoes particulares a respeito do Cam-clay original: o ponto sobre asuperfıcie de plastificacao e o valor previsto de K0 (o coeficiente de empuxo emrepouso). A objecao ao ponto e ate certo ponto estetica (parece nao estar correto),e ate certo ponto, baseada em evidencias experimentais (as deformacoes cisalhantesprevistas pelo Cam-clay sao muito elevadas para baixas razoes entre tensoes). Defato, nao existem objecoes teoricas para superfıcies de plastificacao com derivadadescontınua: Koiter (1953) mostra que os vetores de incremento de deformacoesplasticas neste ponto devem estar em um “leque” de direcoes possıveis (e.g., videFigura 2.38 para a condicao do ponto no Cam-clay). Conforme sera visto no capıtulo5, o Cam-clay preve um valor de K0 = 1 para uma argila normalmente adensada,enquanto os valores medidos estao normalmente entre 0.5 e 0.7.

O Cam-clay modificado muda a hipotese do trabalho dissipado no Cam-clay ori-ginal (i.e., equacao 2.32) para

p′δvp + q δεp = p′√

(δvp)2 + (δεp)2, (2.40)

o que muda a lei de fluxo para

δvp

δεp=

M2 − η2

2η(2.41)

(compara-se com a equacao 2.33).Como anteriormente, a lei de fluxo pode ser integrada para fornecer a superfıcie

de plastificacao do Cam-clay modificado:

q2 + M2p′2

= Mp′p′c (2.42)

que e mostrada na Figura 2.39. A superfıcie de plastificacao do Cam-clay modificadotem forma elıptica: esta e a principal diferenca entre o Cam-clay modificado e oCam-clay original. Devido a esta diferenca na foma da superfıcie de plastificacao, adistancia vertical entre a NCL isotropica e a CSL se torna (λ−κ) ln(2) e nao (λ−κ).

Para uma descricao completa do modelo, apresentam-se a seguir as equacoes doCam-clay modificado na mesma ordem apresentada para o Cam-clay original na secao2.5:


p′

q

Figura 2.39: A superfıcie de plastificacao do Cam-clay modificado e elıptica.

1. Relacoes pressao-volume: a equacao da NCL isotropica e a mesma apresentadaanteriormente (equacao 2.10):

V = N − λ ln(p′) (2.43)

mas N = Γ+(λ−κ) ln(2). As definicoes de Vλ e Vκ sao as mesmas apresentadasanteriormente (equacoes 2.12 e 2.13).

2. A linha dos estados crıticos: as equacoes sao as mesmas do Cam-clay original(i.e., equacoes 2.14 e 2.15).

3. Escoamento: a equacao da SSBS e agora

V = Γ + (λ − κ)

[

ln(2) −(

η

M

)2]

. (2.44)

4. Deformacoes: as mesmas hipoteses do Cam-clay original, com excecao da lei defluxo que e dada pela equacao 2.41.

As regras de calculo das deformacoes dadas nas secoes 2.6.3 e 2.6.5 podem ser usadaspara calcular as deformacoes em ensaios triaxiais, desde que as equacoes apropriadaspara a SSBS e para a lei de fluxo sejam usadas.

A impressao estabelecida e de que nao existe muita diferenca entre o Cam-clayoriginal e o Cam-clay modificado para efeitos de previsao de comportamento emengenharia. Genericamente falando, isto e verdade, mas as vezes esta diferenca podeser maior que a esperada. Isto se deve basicamente ao modo como os parametrosmateriais sao escolhidos: um assunto a ser discutido no capıtulo 5.


2.7.4 Cam-clay: ultrapassado?

Desde que o Cam-clay foi proposto em 1963, muitas de suas deficiencias tem sidoapontadas e muitas modificacoes tem sido propostas. E portanto relevante que sepergunte: o Cam-clay esta ultrapasado? Os autores deste trabalho acreditam quenao, e que o Cam-clay (ou o Cam-clay modificado) vai ser lembrado de um modomuito similar ao do criterio de ruptura de Mohr-Coulomb. Isto e colocado no sentidode que o Cam-clay descreve muito bem certos aspectos do comportamento dos solos.Partindo de um pequeno conjunto de parametros materiais, fazem-se calculos simplese extremamente poderosos. Por outro lado, nao se coloca que ele prove explicacaouniversal para todos os fenomenos geotecnicos.

Ensaios de laboratorio em solos reais demonstram aspectos do comportamentodo solo que nao sao preditos por teorias de estados crıticos. Por exemplo, so-los com um elevado teor de argila submetidos a deformacoes cisalhantes relativa-mente elevadas usualmente exibem resistencia residual muito inferior ao estado crıtico(Skempton, 1985). Ensaios de laboratorio recentes usando aparatos internos para me-didas de deformacoes mostraram que muitos tipos de solos tem rigidez nao linear embaixos nıveis de deformacoes (Jardine et al., 1984). Algumas argilas naturais nor-malmente adensadas rompem em ensaios nao drenados bem antes do estado crıticoser alcancado. Por outro lado, tem ocorrido sucesso no uso de modelos em Cam-claypara previsao em geotecnia, particularmente quando se envolvem argilas ligeiramentesobreadensadas como, por exemplo, em aterros e tanques de oleo sobre solo mole.Em muitos problemas geotecnicos, existirao uma ou duas caracterısticas do compor-tamento basico dos solos que irao determinar (junto com as cargas do sistema) aresposta de um modo geral. Estas caracterısticas podem estar ou nao entre aquelasincluıdas na estrutura da teoria dos estados crıticos.

Embora o Cam-clay possa ser considerado deficiente em alguns aspectos, a maioriadas tentativas de se refinar as previsoes teoricas do comportamento dos solos fazemuso dos conceitos da mecanica dos solos de estados crıticos, ao inves de abandona-la completamente. Talvez a principal area de desenvolvimento de novas equacoesconstitutivas para solos seja a area de cargas dinamicas, relevante para o carrega-mento dinamico em terremotos ou em plataformas submarinas ou em plataformas“offshore” para a industria de petroleo. Sob a acao de cargas cıclicas, as poropressoesno solo tendem a crescer ate um certo montante, acumulado ao longo de cada ciclo.Se o Cam-clay (ou o Cam-clay modificado) e usado nestas circunstancias, as poro-pressoes crescem no primeiro ciclo, mas, depois disso, se mantem constantes. Esteproblema pode ser obviamente contornado abandonando-se a hipotese de comporta-mento elastico sob a SSBS, e este caminho foi percorrido por muitos autores. (Mroze Norris, 1982) propuseram modelos com superfıcies de plastificacao menores “ani-nhadas” dentro de uma superfıcie de plastificacao maior. Dafalias e Herrman (1982)propuseram um modelo de “bounding surface”, onde o montante de comportamentoplastico associado com um estado de tensoes representado por um ponto interior da“bounding surface” depende da sua distancia a um ponto que e sua “imagem” na“bounding surface”. Um outro modelo envolvendo plasticidade dentro da superfıcie


de plastificacao foi proposto por Pender (1982). Modelos mais recentes dentro destaslinhas incluem um modelo de “plasticidade contınua” proposto por Naylor (1985) ea “funcao de trabalho distribuıdo” de Dean (1985). Alguns destes modelos tem apromessa de descrever melhor o escoamento anisotropico e o comportamento no lado“seco”.

Entretanto, deve-se colocar que todos esses modelos sao mais complicados que oCam-clay. Se um desses modelos vai superar o Cam-clay, entao o trabalho adicionalenvolvido em seus calculos deve ser superado por um quadro conceitual melhor e porprevisoes numericas melhores.

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