Universidade do Algarve

Departamento de Fısica

Problemasde Mecanica de Fluidos

Orlando Camargo Rodrıguez

12 de Setembro de 2005

Capa:

Waterval(Queda d’agua)

por:

M.C. Escher

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1 Hidrostatica

Problema 1 Determine a pressao do fluido contido numa seringa, quando uma enfer-meira aplica uma forca de 42 N sobre o embolo cujo raio e igual a 1,1 cm.

Problema 2 A uma distancia de 6 km do local onde foi detonada uma bomba nuclearcom uma potencia de 1 megaton1, o excesso de pressao corresponde a 0,2 atm. Determinea forca de impacto com que explosao atinge uma parede de area 80 m2 (1 atm = 1,013×105

Pa).

Problema 3 Um cilindro de 8 cm de diametro encontra-se fechado com uma tampa bemajustada. Determine o valor mınimo de pressao que deve existir no interior do cilindro,para que um homem capaz de exercer uma forca de 500 N na tampa o consiga abrir.

Problema 4 Uma ventosa, com um diametro de 10 cm, e aplicada no tecto, para pen-durar diversos objectos. Determine o valor maximo de massa que pode ser pendurada,considerando que a pressao no interior da ventosa corresponde a 1/10 da pressao at-mosferica.

Problema 5 Em 1654 Otto von Guericke, burgomestre de Magdeburgo e inventor dabomba de ar, fez uma demonstracao perante a corte imperial em que dois grupos de oitocavalos nao conseguiram separar dois hemisferios no interior dos quais foi criado o vacuo,conforme indicado na Figura No.1. (a) Mostre que a forca, F , necessaria para separar osdois hemisferios e dada por F = 2πR2patm, em que R e o raio dos hemisferios e patm apressao atmosferica; (b) se R = 0, 3m e a pressao atmosferica for patm = 1,013×105 Pa,qual a forca que os grupos de cavalos teriam que exercer para separar os hemisferios?

Figura No.1

Problema 6 Calcule a variacao da componente hidrostatica da pressao sanguınea entrea cabeca e os pes, ∆p, de uma pessoa cuja altura e 1,83 m, assumindo que a densidadedo sangue e 1,06×103 kg/m3.

Problema 7 Determine a pressao atmosferica a uma altitude de 16 km acima do nıveldo mar (considere que a este nıvel ρa = 1,2 kg/m3).

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(a) (b)Figura No.2

Problema 8 Considere uma represa que retem a agua a uma altura D, conforme mostraa Figura No.2(a). Suponha que a largura da represa e W . Determine a forca horizontalresultante, exercida pela agua sobre a represa.

Problema 9 Um recipiente cilındrico, contendo um lıquido com densidade ρ, roda comvelocidade angular constante ω, em torno de um eixo vertical, conforme indicado naFigura No.2(b). (a) Mostre que o gradiente de pressao na direccao radial e dado por:

∂p

∂r= ρω2r .

(b) Mostre que o gradiente de pressao na direccao vertical e dado por:

∂p

∂y= ρg .

(c) Considere p = pc no eixo de rotacao (r = 0); verifique que a pressao, p, em qualquerponto da superfıcie livre do lıquido e dada por:

p = pc + ρω2r2/2 .

Problema 10 Um objecto cubico de aresta L e peso no vacuo P esta suspenso por umacorda num tanque aberto cheio de lıquido de densidade ρ. A face supensa do cubo eparalela a superfıcie livre do lıquido e dista desta L/2. Calcule: (a) a forca total exercidana face suspensa do cubo; (b) a forca total exercida na face inferior do cubo; (c) a tensaona corda.

Problema 11 Uma mola, que tanto pode ser de bronze como de latao, tem uma massade 1,26 g medida no ar e uma massa aparente de 1,11 g quando se econtra mergulhadaem agua. Determine o material com que a mola foi feita.

1Um megaton corresponde a um milhar de toneladas de TNT.

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Problema 12 Um bloco de madeira flutua na agua com dois tercos do seu volume sub-mersos. Em oleo o mesmo bloco de madeira tera 0,9 do seu volume submerso. Determinea massa especıfica: (a) da madeira; (b) do oleo.

Problema 13 Uma peca de ferro fundido, contendo varias cavidades, tem o peso de 270N no ar e de 162 N na agua. Qual o volume das cavidades na peca? considere a densidadedo ferro como sendo 7,8 g/cm3.

Problema 14 Uma esfera oca de ferro flutua completamente imersa na agua. Se o seuraio externo mede 120 cm e a densidade do ferro e 7,8×103 kg/m3, qual e o valor do seuraio interno?

Problema 15 Tres estudantes, cada um de um peso de 360 N, fazem uma jangada jun-tando troncos, com diametro e comprimento 0,3 m e 1,8 m respectivamente cada um.Quantos troncos sao necessarios para construir uma jangada e mante-la em flutuacao?considere ρm = 667 kg/m3.

Problema 16 Uma esfera de densidade ρ1 e solta do fundo duma tina. A tina contemdois lıquidos A e B, de densidades ρA e ρB, de alturas h1 e h2 e viscosidades desprezaveis.Sabe-se que ρ1 = ρA. Caracterize, calculando o valor da aceleracao, o movimento da esferano seu percurso ate atingir a superfıcie do lıquido, localizada a uma distancia h1 + h2 emrelacao ao fundo da tina (ρ1 < ρB).

Problema 17 Um tubo em forma de U contem um lıquido homogeneo. Durante umcerto tempo um embolo faz baixar o nıvel do lıquido num dos lados. Quando o embolo eretirado o nıvel do lıquido nos dois lados oscila. Mostre que o perıodo de oscilacao e

T = π√

2L/g ,

em que L e o comprimento total do lıquido no tubo.

Problema 18 Determine qual deve ser a area mınima de um bloco de gelo de 0,3 m deespessura para que flutue na agua suportando um automovel de massa igual a 1100 kg.Utilize para a densidade do gelo o valor ρg = 0,92 g/cm3.

Problema 19 A tensao num fio que suporta um bloco solido abaixo da superfıcie deum lıquido (de densidade maior que a do bloco) e T0, quando o recipiente que o contemesta em repouso (ver Figura No.3). Mostre que quando o recipiente sofre uma aceleracaovertical, ~a, dirigida para cima, a tensao no fio e dada por:

T = T0

(1 +

a

g

).

Sugestao: Considere os pesos do lıquido e do bloco quando o sistema inteiro e acelerado.

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Figura No.3

2 Escoamentos

Problema 20 Considere V como sendo o volume de uma certa massa de fluido. O fluxode volume, ou caudal, e definido pela razao ∆V/∆t no limite quando ∆t tende para zero.Obtenha uma expressao para o caudal.

Problema 21 O fluxo de massa e definido pela razao ∆m/∆t no limite, quando ∆t tendepara zero. Obtenha a expressao diferencial do fluxo de massa.

Problema 22 Um tubo cilındrico transporta oleo. A massa especıfica do oleo vale 0,85g/cm3. Ao passar pela seccao recta do tubo, a velocidade e constante e igual a 1,2 m/s.O diametro do tubo vale 10 cm. Calcule: (a) o caudal; (b) o fluxo de massa.

Problema 23 A mangueira de um jardim possui um diametro de 2 cm e esta ligadaa um irrigador que consiste num recipiente munido de 20 orifıcios, cada um dos quaiscom diametro de 0,14 cm. A velocidade da agua na mangueira vale 0,85 m/s. Calcule avelocidade da agua ao sair dos orifıcios.

Problema 24 Considere agua a escoar continuamente, com velocidade inicial v0, atravesdo cano de uma torneira que possui um diametro interno d. Determine o diametro dojacto de agua em funcao da distancia, h, abaixo da torneira. Despreze a resistencia do are suponha que nao se formam gotıculas.

Problema 25 Um gas circula continuamente no interior de um sistema de tubos. Numacerta seccao recta da tubulacao verificam-se os seguintes valores: ρ = 1,2 mg/cm3, v =0,2 m/s, A = 25 cm2 (area da seccao recta). Calcule a massa especıfica do gas noutraseccao do sistema em que a velocidade do gas e 0,1 m/s e a area da seccao recta 20 cm2.

Problema 26 Um embolo no interior de um tubo vertical empurra uma coluna de 0,2 m3

de agua de baixo para cima, com uma velocidade de 1 m/s. O embolo desloca-se ate umaaltura de 8 m, em relacao ao nıvel inicial. O tubo esta aberto para a atmosfera apenasna sua parte superior. O diametro do tubo e igual a 10 cm. (a) Qual a pressao externa,p, sobre o embolo? (b) Calcule a pressao dinamica, ρv2/2, da agua sobre o embolo. (c)Calcule a pressao barometrica, ρgh, exercida pela agua sobre o embolo. (d) Determine apressao total que a agua exerce sobre o embolo.

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Problema 27 Num oleoduto horizontal, de area transversal constante, a pressao diminui0,34 atm entre dois pontos distanciados de 300 m. Qual a perda de energia por litro deoleo e por unidade de distancia?

Problema 28 A Figura No.4 mostra um lıquido que se escoa atraves de um orifıcio de umtanque. O orifıcio encontra-se a uma profundidade h abaixo da superfıcie livre do lıquido.(a) Calcule a velocidade do lıquido que sai do orifıcio. (b) Se o orifıcio se encurvassedirectamente para cima, qual seria a altura maxima atingida pelo jacto desse lıquido?

Figura No.4

Problema 29 Um tanque de grandes dimensoes contem agua ate uma altura H. E feitoum pequeno orifıcio na sua parede a profundidade h abaixo da superfıcie da agua (verFigura No.4). (a) Mostre que a distancia x da base da parede ate onde o jacto atinge osolo e dada por

x = 2√

h (H − h) .

(b) Poder-se-ia ter perfurado a outra profundidade de modo a que esse segundo jactotivesse o mesmo alcance? Em caso afirmativo, a que profundidade?

Problema 30 A superfıcie superior da agua num dado recipiente fica a altura H do solo.(a) Determine a que altura h do solo deve ser feito um pequeno orifıcio para que a aguaque sair por ele atinja o solo a distancia maxima da base do recipiente. (b) Qual o valordesta distancia maxima?

Problema 31 Uma pessoa sopra ar, com a velocidade de 15 m/s, atraves de um dosramos de um tubo em U , que contem agua. Qual sera a diferenca entre os nıveis da aguanos dois ramos do tubo? Considere a densidade do ar igual a 1,2 kg/m3.

Problema 32 Um gas ideal flui ao longo de um tubo horizontal. Numa dada seccao dotubo verifica-se que ρ1 = 2 mg/cm3 e que v1 = 3 m/s, enquanto noutra seccao sao medidosos valores ρ2 = 3 mg/cm3 e v2 = 4 m/s. Calcule a diferenca de pressao entre as duasseccoes do tubo.

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Problema 33 Um tubo de Pitot e montado na asa de um aviao para determinar avelocidade do aparelho em relacao ao ar, que esta a temperatura de 0 C. O tubo contemalcool e indica uma diferenca de altura nos nıveis de 26 cm. Qual a velocidade do aviaoem relacao ao ar? considere a densidade do alcool igual a 8,1×102 kg/m3.

Problema 34 Atraves de um sistema de tubos com area transversal de 4 cm2 circulaagua a uma velocidade de 5 m/s. A agua baixa de nıvel 10 m de uma forma gradual,enquanto a area dos tubos aumenta para 8 cm2. (a) Qual a velocidade do escoamento nonıvel mais baixo? (b) se a pressao no nıvel superior for igual a 1,5×105 Pa, qual a pressaono nıvel mais baixo?

Problema 35 Um pequeno aviao tem uma area de 9,3 m2 em cada asa. Para uma certavelocidade do ar, este escoa sobre a superfıcie superior da asa com velocidade igual a 49m/s e sob a superfıcie inferior com a velocidade de 40 m/s. (a) Qual o peso do aviao? (b)Suponha que o aviao voa a velocidade constante e que os efeitos de elevacao, associadosa construcao da fuselagem e da cauda, sao pequenos. Discuta a impulsao dinamica se oaviao, voando a mesma velocidade do ar, estiver (i) em voo plano, (ii) a subir com umainclinacao de 15 e (iii) a descer com a mesma inclinacao. Considere a densidade do arigual a 1,2 kg/m3.

Problema 36 A velocidade do ar ao passar na superfıcie inferior de uma asa e de 100m/s. Qual deve ser a velocidade na face superior para que a pressao da impulsao sejaigual a 1,2×105 N/m2?

Problema 37 Um tubo de Venturi tem 25 cm de diametro enquanto no estrangulamentoo diametro vale 12,5 cm. A pressao da agua no tubo vale vale 0,54 atm e no estrangula-mento vale 0,41 atm. Determine o caudal do escoamento.

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Problema 38 Considere o tubo de Venturi da Figura No.5, sem o manometro. Seja A= 5a e considere que a pressao em A e igual a 2 atm. (a) Quando a pressao p′, em a, seaproxima de zero ocorre um fenomeno designado por cavitacao, em que a agua se evaporaformando pequenas bolhas. Calcule os valores da velocidade v em A e da velocidade v′ ema que fariam com que a pressao p′ fosse igual a 0. (b) Calcule o caudal para um diametrodo tubo em A igual a 5 cm.

Figura No.5

3 Fenomenos Capilares

Problema 39 Calcule a pressao no interior de uma gota lıquida esferica com 2 mm deraio, sendo a pressao atmosferica 760 mmHg. Considere que a tensao superficial do lıquidoe γ = 72,8 dine/cm, e que a densidade (ou massa especıfica) do lıquido e ρ = 13,6 g/cm3.

Problema 40 Qual e a pressao no interior de uma bola de sabao de raio exterior R,sendo γ a tensao superficial da solucao de sabao e P0 a pressao exterior?

Problema 41 Uma bola formada de 5 mg de solucao de sabao, flutua no ar quandocheia de hidrogenio. Determine o excesso de pressao, em relacao a pressao atmosferica,no interior do sabao. Dados: ρar = 1,29 g/l, ρH = 0,090 g/l, γ = 25×10−3 N/m.

Problema 42 Determine o trabalho requerido para aumentar o diametro de uma bolade sabao de 2 para 6 cm. Utilize a tensao superficial dada no problema anterior.

Problema 43 Qual e a diferenca de energias entre sistemas constituidos por duas gotasde mercurio de raios 0,3 cm e 0,1 cm e o sistema que resulta da juncao das duas? para omercurio γ = 500 dine/cm.

Problema 44 Um lıquido situa-se sobre uma superfıcie solida, sendo o angulo de con-tacto 60. A tensao superficial do lıquido e de 50×10−3 N/m e a tensao de contactosolido-lıquido e de 40×10−3 N/m. Determine a tensao de contacto solido-ar.

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Problema 45 O trabalho de adesao entre um lıquido e um solido e de 60 erg/cm2 e atensao superficial do lıquido e de 40 erg/cm2. Determine o angulo de contacto entre osdois meios.

Problema 46 Um lıquido de densidade 0,8 g/cm3 eleva-se 50 cm num tubo capilar de0,04 mm de diametro interior. Qual e a tensao superficial do lıquido? considere que odiametro do menisco e igual ao diametro interior do tubo.

Problema 47 Um tubo capilar com diametro interior 0,25 mm esta mergulhado em agua,cuja tensao superficial e de 72,7×10−3 N/m. A que altura se eleva a agua dentro do tubo?considere que o angulo de contacto e zero. Indique o que acontece se depois o tubo capilarcontinuar a ser mergulhado gradualmente na agua.

Problema 48 Num tubo capilar de vidro a agua sobe ate a altura de 9,6 cm acima donıvel de agua na tina. Qua altura deveria descer mercurio no mesmo tubo sabendo-se quea tensao superficial da agua e de 72 dine/cm, a do mercurio 540 dine/cm e os angulos decontacto sao respectivamente 0 e 140. Dado: ρHg = 13,6 g/cm3.

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4 O sistema SI de unidades

Unidades basicasQuantidade Unidade Sımbolo

Comprimento metro mMassa quilograma kgTempo segundo sTemperatura kelvin KCorrente electrica ampere AIntensidade luminosa candela cdQuantidade de substancia mol mol

Unidades adicionais

Angulo plano radiano rad

Angulo solido esteradiano sr

Unidades derivadas com nome proprioQuantidade Unidade Sımbolo Derivacao

Frequencia hertz Hz s−1

Forca newton N kg×m×s−2

Pressao pascal Pa N×m−2

Energia joule J N×mPotencia watt W J×s−1

Carga coulomb C A×sPotencial electrico volt V W×A−1

Capacidade electrica farad F C×V−1

Resistencia ohm Ω V×A−1

Conductancia electrica siemens S A×V−1

Fluxo magnetico weber Wb V×sDensidade do fluxo magnetico tesla T Wb×m−2

Inductancia henry H Wb×A−1

Fluxo luminoso lumen lm cd×srIluminancia lux lx lm×m−2

Actividade becquerel Bq s−1

Dose absorbida gray Gy J×kg−1

Dose equivalente sievert Sv J×kg−1

5 Prefixos

yotta Y 1024 giga G 109 deci d 10−1 pico p 10−12

zetta Z 1021 mega M 106 centi c 10−2 femto f 10−15

exa E 1018 quilo k 103 milli m 10−3 ato a 10−18

peta P 1015 hecto h 102 micro µ 10−6 zepto z 10−21

tera T 1012 deca da 10 nano n 10−9 yocto y 10−24

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6 Relacoes uteis

Unidades de comprimento1 angstrom = 1×10−10 m1 polegada = 0,0254 m1 pe = 0,3048 m1 pe (USA) = 1200/3937 m1 jarda = 0,9144 m1 jarda (USA) = 3600/3937 m1 milha nautica = 1852 m1 milha terrestre = 1609,344 m1 milha terrestre = 6336000/3937 m(USA)

Unidades de area1 acre = 4046,8564224 m2

1 are = 1×102 m2

1 hectare = 1×104 m2

Unidades de volume1 litro = 1×10−3 m3

1 barril de petroleo = 0,15898729492 m3

1 galao (USA) = 3,785411784×10−3 m3

1 galao (UK) = 4,54609929488×10−3 m3

Unidades de massa1 libra = 0,45359237 kg1 onca = 0,02834952312 kg1 slug = 14,5939029372 kg

Unidades de pressao1 atm = 101325 Pa1 atmosfera tecnica = 98066,5 Pa1 metro de agua = 9806,65 Pa1 milimetro de mercurio = 101325/760 Pa1 torr = 101325/760 Pa1 pe de agua = 2989,06692 Pa1 polegada de agua = 249,08891 Pa1 polegada de mercurio = 3386,38815789 Pa1 libra por polegada quadrada = 6894,75729317 Pa

Unidades de forca1 dine = 1×10−5 N1 quilograma-forca = 9,80665 N1 libra-forca = 4,44822161526 N

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7 Densidade de algumas substancias

ρSubstancia kg/m3 kg/dm3 ou g/cm3

Agua∗ 1 ×103 1

Agua de mar∗ 1,02×103 1,02Gelo 9,2 ×102 0,92

Alumınio 2,71×103 2,71Ar 1,29 1,29×10−3

Betao 2,2 ×103 2,2Bronze 8,8 ×103 8,8Cobre 8,92×103 8,92

Duralumınio 2,79×103 2,79Glicerina∗ 1,26×103 1,26Granito 2,8 ×103 2,8Eter∗ 7,1×102 0,71Ferro 7,8×103 7,8Invar 8,7×103 8,7Irıdio 2,24×104 22,4Latao 8,4×103 8,4

Mercurio∗ 1,36×104 13,6

Oleo 9,2 ×102 0,92Ouro 1,93×104 19,3

Petroleo 8,5 ×102 0,85Prata 1,05×104 10,5

Volframio 1,91×104 19,1Zinco 7,14×103 7,14

∗A 20 C/293 K.

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