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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Aula 07
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
II.1. Introdução
II.2. Tração e Compressão de Barras
II.3. Flexão Pura de Barras
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
II.3. Flexão Pura de Barras
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
xddz
ydzdw z com varia:
dwdzAA'
xx yddzdyAA'
xdydw dz
dθy
dz
dw xz
Supondo :0 e 0 yx MM
dz
dEyE x
z
zLogo,
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
eixo da barra
A A’dz
dx
y
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
0 0 A
x
A z dAdz
dEydAN
0 0 A
x
A zy dAdz
dExydAxM
O eixo de flexão x é central
Os eixos x e y são principais
eixo da barra
A A’dz
dx
y
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
0 0 xASydA
0 0 xyAIxydA
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
Flexão Reta:
eixo da barra
A A’dz
dx
y
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
O momento resultante M = Mx atua segundo um eixo principal
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
A
xxA zx dA
dz
dEyMdAyM
2
, Como z dz
dEy x
x
x
I
yMz
x
x
EI
yMz
eixo da barra
A A’dz
dx
y
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
x
xxx
xxA
xx EI
M
dz
dI
dz
dEMdAy
dz
dEM
2
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
xM
zy
z
eixo da barra
A A’dz
dx
y
z
x
SN: Superfície Neutra
LN: Linha Neutra
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
x
x
I
yMz
x
x
EI
yMz
LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas.
As tensões variam linearmente com y.
De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
x
x
I
yMz
Resumindo:
0 0 xA z SdAN
0y Equação da LN
0A zy dAxM
dAyMA zx
Flexão Reta (os eixos x e y são principais)
x
x
EI
yMz
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
0 xyI
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
xdzdw z com varia:
eixo da barra
A A’dz
dy
xdz
dθx
dz
dw yz
dz
dExE y
z
z
M M
dz
(variável) dwAnalogamente,
dz
z
x
y
A
yMII.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
A
yM
M M
dz
(variável) dw
0 0 A
y
A z dAdz
dExdAN
0 0 A
y
A zx dAdz
dExydAyM
O eixo de flexão y é central
Os eixos x e y são principais
0 0 yASxdA
0 0 xyAIxydA eixo da barra
A A’dz
dy
x
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
A
yM
M M
dz
(variável) dwFlexão Reta:
O momento resultante M = My atua segundo um eixo principal
dAxMA zy
y
y
I
xMz
y
y
EI
xMz
eixo da barra
A A’dz
dy
x
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
A
yM
M M
dz
(variável) dw
eixo da barra
A A’dz
dy
x
y
y
I
xMz
y
y
EI
xMz
LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas.
As tensões variam linearmente com x.
De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão
dz
yM
zx
zz
y
SN: Superfície Neutra
LN: Linha Neutra
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
A
yM
M M
dz
(variável) dw
y
y
I
xMz
Resumindo:
0 0 yA z SdAN
0x Equação da LN
0A zx dAyM
dAxMA zy
Flexão Reta (os eixos x e y são principais)
y
y
EI
xMz
0 xyI
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
Se o eixo de flexão não é um eixo principal, obtém-se, do PSE,
22yx MMM y
y
x
x
I
xM
I
yMz
As tensões e as deformações variam linearmente com x e com yy
y
x
x
EI
xM
EI
yMz
y
y
x
xy EI
xM
EI
yM x
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
22yx MMM
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
M
Flexão Oblíqua:
O momento resultante M não atua segundo um eixo principal
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
Equação da LN:
22yx MMM
0zy
y
x
x
I
xM
I
yM xM
M
I
Iy
x
y
y
x
,sen e cos Se MMMM yx
x
y M
xI
Iy
y
x
tan ou xy tan
LN
A LN não coincide necessariamente com o eixo de flexão
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
Tensões Máximas:
22yx MMM
x
y M
LN
y
y
x
x
I
xM
I
yMz é a equação de um plano que
intercepta a seção na LN.
Logo, as máximas tensões na seção ocorrerão nos pontos mais afastados da LN: A e B A
B
xAyA
xB
yB
tA xx
tA yy cB xx
cB yy
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
Tensões Máximas:
22yx MMM
yt
y
xt
x
y
ty
x
txTmáx W
M
W
M
I
xM
I
yM
LN
yc
y
xc
x
y
cy
x
cxCmáx W
M
W
M
I
xM
I
yM onde
t
xxt y
IW
t
yyt x
IW
c
yyc x
IW
c
xxc y
IW x
y M
LN
A
B
xAyA
xB
yB
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
22yx MMM
LN
yt
y
xt
xTmáx W
M
W
M
yc
y
xc
xCmáx W
M
W
M
y
y
x
x
EI
xM
EI
yMz
y
y
x
xy EI
xM
EI
yM x
W [cm3]: Módulos de Resistência à Flexão da Barra
EI [kN.cm2]: Módulos de Rigidez à Flexão da Barra
x
y M
LN
A
B
xAyA
xB
yB
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
22yx MMM
LNx
y M
LN
A
B
xAyA
xB
yB
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
M
,sen e cos Se MMMM yx
tytxtyt
y
xt
xTmáx W
M
WWM
W
M
W
M
sencos
cycxcyc
y
xc
xCmáx W
M
WWM
W
M
W
M
sencos
onde ctiWWW yixii , ,sencos1
II.3. Flexão Pura de Barras
Supondo :0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
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Cálculo dos Deslocamentos
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
xddz
eixo da barra
A A’dz
dx
y 23
21
1
v
v
Da Geometria Analítica, dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
(equação da curvatura)
xM
S
v
vx
z
x
xx
EI
M
dz
d
1
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
xddz
23
21
1
v
v
Da Geometria Analítica, dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dwx
xx
EI
M
dz
d
1
(equação da curvatura)
xM
S
vz
vx
Como 1x(hipótese das pequenas deformações),
x
x
EI
M
dz
vdv
12
2
Cálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dwx
x
EI
M
dz
vd
2
2
Equação Diferencial da Linha Elástica (LE)
Integrando esta equação,
1 CdzEI
M
dz
dv
x
xx (expressão da rotação)
21 CzCdzEI
Mv
x
x (expressão da flecha)
Cálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
1 CdzEI
M
x
xx
21 CzCdzEI
Mv
x
x As constantes de integração são determinadas a partir de:
a) condições de apoio;
b) condições de continuidade da LE
Observação importante:Não se deve utilizar condições relacionadas ao carregamento; não são gerais para a viga e sim particulares para aquele carregamento específico.
Cálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
1 CdzEI
M
x
xx
21 CzCdzEI
Mv
x
x
2
22z
qz
qLM x
Exemplos:q
L
S
za)
2qL2qL Condições de apoio:e 0 ,0 em vz. 0 , em vLz
Substituindo-se a expressão de Mx e as condições de apoio nas expressões da rotação e da flecha, determina-se C1 e C2.
Cálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
Exemplos:
20 ,21
LzzP
MSx
P
2L
1S
zb)
2P2P
2S
2Lz
LzLPL
zP
MSx 2 ,
222e
11
1 Cdz
EI
M
x
x
xS
S
211
1 CzCdz
EI
Mv
x
x
SS
32
2 Cdz
EI
M
x
x
xS
S
432
2 CzCdz
EI
Mv
x
x
SS
Cálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
dz
z
x
y
AxM
M M
dz
(variável) dw
Exemplos:P
2L
1S
zb)
2P2P
2S
2Lz
Condições de apoio:e 0 ,0 em vz. 0 , em vLz
Substituindo-se a expressão de Mx e as condições de apoio nas expressões da rotação e da flecha, determina-se C1, C2, C3 e C4.
Condições de continuidade da LE:e ,2 em
21Sx SxLz . ,2 em
21 SS vvLz
Cálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
M M
dz
(variável) dwy
y
EI
M
dz
ud
2
2
Equação Diferencial da Linha Elástica (LE)
Integrando esta equação,
1 CdzEI
M
dz
du
y
yy (expressão da rotação)
21 CzCdzEI
Mu
y
y (expressão da flecha)
dz
z
x
y
A
yMCálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
M M
dz
(variável) dwy
y
EI
M
dz
ud
2
2
dz
duy
22yx
dz
z
x
y
A
M
x
x
EI
M
dz
vd
2
2
dz
dvx
22 vu
(expressão da rotação)
(expressão da flecha)
Cálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
:0 e 0 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
Convenção de Sinais: zq
zVy
zM x
zdVzV yy
zdMzM xx
dz
0v0x
Cálculo dos Deslocamentos
II.3. Flexão Pura de Barras
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
Analogia de Mohr:
2
2
dz
Mdq x
x
x
EI
M
dz
vd
2
2
equação diferencial da LE
equação fundamental da Estática
Viga Real: Viga Conjugada:
x
x
EI
M
dz
vd
2
2
qdz
Md x 2
2
viga real viga conjugada
v xM
xdzdv yx VdzMd
xx EIM q
II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Analogia de Mohr:
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)
viga real: 0x 0x
0yVviga conjugada:
0xM
q
xx EIM
viga conjugadaviga real
v xM
xdzdv yx VdzMd
xx EIM qq
0x0v0v 0v
0xM0yV
0x0v
0yV0xM
0yV0xM
xx EIM
II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
viga real: 0x 0x
0yVviga conjugada:
0xM
q
viga conjugadaviga real
v xM
xdzdv yx VdzMd
xx EIM q
0v 0v
0xM
diry
esqy VV
dirx
esqx
0v
0yV0xM
xx EIM
Analogia de Mohr:A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)
II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
viga real: 0x 0x
0yVviga conjugada:
dirx
esqx MM
viga conjugadaviga real
v xM
xdzdv yx VdzMd
xx EIM q
0v 0v
0xM
diry
esqy VV
dirx
esqx
diresq vv
0yV0xM
xx EIM
q
Analogia de Mohr:A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)
II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
viga real: 0x 0x
0yVviga conjugada:
0xM
viga conjugadaviga real
v xM
xdzdv yx VdzMd
xx EIM q
0v 0v
0xM
diry
esqy VV
dirx
esqx
0v
0yV0xM
xx EIM
q
Analogia de Mohr:A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE)
II.3. Flexão Pura de Barras
Cálculo dos Deslocamentos
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
MProjeto de Barras Submetidas ao Momento Fletor
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
R
limd
Resistência e Estabilidade: onde
lim
R
d é a máxima tensão de cálculo
é a tensão limite (função do estado limite considerado) e
é o coeficiente de resistência
R
Tlim
t
dTmáxdd W
M
,
R
Clim
c
dCmáxdd W
M
,
RTlimtd WM
RClimcd WM
e
II.3. Flexão Pura de Barras
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
limyx 22
limvu 22
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura
Projeto de Barras Submetidas ao Momento Fletor
M M
dz
(variável) dw
dz
z
x
y
A
M
Rigidez: e/ou
onde
é a rotação limite elim
é a flecha limitelim
Ex:q
L 2qL2qL300384
5 4 L
EI
qLv
xmáx
máxv
3256,0
L
EIq x
II.3. Flexão Pura de Barras
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Fim da Aula 07